mecanique_spatiale

7/22/2019 mecanique_spatiale

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UNIVERSIT DE LA MDITERRANE - AIX-MARSEILLE II

DESS DES TECHNIQUES DE L'ESPACE

MCANIQUE SPATIALE

Robert GUIZIOU

Mise jour le 16 juin 2000

Technople de Chteau-Gombert

60, rue Joliot Curie - 13453 MARSEILLE CEDEX 13 - Tl :04.91.11.38.02 - Fax : 04.91.11.38.38


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SOMMAIRE

A- Les Mouvements Kperiens ................................................................ 3

CHAPITRE 1-CONSTANTES PHYSIQUES SPATIALES DU SYSTEME SOLAIRE....... 5

CHAPITRE2-MOUVEMENTS KEPELERIENS.......................................................... 9

CHAPITRE3-PARAMETRAGE DU MOUVEMENT.................................................. 29

CHAPITRE4-PARAMETRES ORBITAUX................................................................ 35

CHAPITRE5-PARAMETRES DINJECTION........................................................... 43CHAPITRE 6-TRGIONOMETRIE SPHERIQUE....................................................... 51

CHAPITRE 7-POINTS SURVOLES.......................................................................... 55

CHAPITRE 8-CHANGEMENT DORBITES............................................................. 65

CHAPITRE9-ETUDE DE LORBITE GEOSTATIONNAIRE..................................... 75

CHAPITRE 10-PROBLEME DE GIBBS................................................................... 93

CHAPITRE 11-ECLIPSE -VISIBILITE................................................................... 95

B- Pertubations orbi tales ..................................................................... 101

CHAPITRE 1-PERTURBATIONS ORBITALES....................................................... 103

CHAPITRE2-HELIOSYNCHRONISME................................................................. 113

CHAPITRE3-FREINAGE ATMOSPHERIQUEDUREE DE VIE.......................... 123

CHAPITRE4-PERTUBATION LUNI-SOLAIRE ..................................................... 129

C- Voyages interplantaires ................................................................. 134

D- Rentre dans une atmosphre ........................................................ 161

CHAPITRE 1-MANUVRE DE RENTREE............................................................ 163

CHAPITRE2-RENTREE DALLEN ....................................................................... 175

CHAPITRE3-RENTREE DE CHAPMAN................................................................ 181


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A- LES MOUVEMENTS KPLERIENS


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4 Dess Techniques de lespace - Mcanique spatiale


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MOUVEMENTS KEPLERIENS 5

Chapitre 1

CONSTANTES PHYSIQUES SPATIALES

DU SYSTEME SOLAIRE

Le lecteur trouvera ici les principales constantes associes aux corps du systme solaire :- Constantes physiques.- Caractristiques du systme solaire.

1- CONSTANTES PHYSIQUES -Notation Valeur Unit Signification

G 6.67 10-11 M3s-2kg-1 Constante de gravitation universelle

J2 1.08253 10-8 sans Coefficient du dveloppement en srie du potentiel terrestre

J3 -2,54 10-6 sans Coefficient du dveloppement en srie du potentiel terrestre

TT 86164,1 s Priode sidrale de la Terre

Rte 6378,14 km Rayon quatorial terrestre

F 3.352836 10-3 sans Aplatissement de l'ellipsode terrestreGe 9.78033 ms-2 Acclration de la pesanteur au niveau de l'quateur

39.860064 1013 m3s-2 Constante de gravitation terrestre

S/T 1.99099299 10-7 rd.s-1 Vitesse angulaire moyenne du soleil par rapport la Terre

T 7,292115 10-5 rd.s-1 Vitesse angulaire moyenne de la Terre autour de son axe

1 UA 149,59787 106 km Unit astronomique = distance moyenne Terre-Soleil

S 13,371244 1019 m3s-2 Constante de gravitation solaire

L 4,9027989 1012 m3s-2 Constante de gravitation lunaire

23 27' Inclinaison de l'quateur terrestre sur l'cliptique

2- CARACTERISTIQUES DES PLANETES -

Vous ne trouverez pas ici le dtail exhaustif des proprits des plantes, mais seulement

les caractristiques essentielles, ncessaires ce cours. Les ouvrages spcialiss vous

renseigneront pour tout le reste.


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2-1- Positionnement en distance partir du soleil -

Mercure - Vnus - Terre- Mars - Jupiter - Saturne - Uranus - Neptune Pluton.

2-2- Caractristiques orbitales -

d : distance moyenne au soleil en 106km

e : excentricit de l'orbite

i : inclinaison de l'orbite sur l'cliptique en degrs

= GM: constante de gravitation de la plante, en km3s-2

T : priode orbitale en jours (j) ou annes (a)

Nom d e i TMercure 57,9 0,206 7 2,192 10

4 88 j

Vnus 108,2 0,007 3,4 32,486 104 224,7 j

Terre 149,6 0,167 0 39,86 104 365,26 j

Mars 227,9 0,093 1,9 4,305 104 687 j

Jupiter 778,3 0,048 1,3 1,267 108

11,86 a

Saturne 1427 0,056 2,5 3,795 107 29,46 a

Uranus 2869,6 0,047 0,8 5,82 106 84,01 a

Neptune 4496,6 0,009 1,8 6,85 106

164,8 a

Pluton 5900 0,25 17,2 ? 247,7 a

2-3- Rayons des plantes et environnement -

Nom Rayon (km) Atmosphre

Mercure 2440 sans

Vnus 6052 Gaz carbonique

Terre 6378 Azote + Oxygne

Mars 3393 Gaz carbonique

Jupiter 71400 Hydrogne + HliumSaturne 60000 Hydrogne + Hlium

Uranus 25900 Hydrogne + Hlium

Neptune 24750 Hydrogne + Hlium

Pluton 3000 sans


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3- JOUR SOLAIRE MOYEN -

Notre vie sur Terre est rythme par le mouvement apparent du soleil.

Le jour solaire moyen de 24 h = 86400 secondes, est le temps moyen, au cours de l'anne

qui spare deux passages conscutifs du soleil dans un mme mridien donn.

T=2

TES/ T=

2

2

86164,1

2

365, 25* 86400

= 86400 s

On peut aussi dire qu'en une anne de 365.25 jours solaires moyens, la Terre fait un tour de

plus sur elle-mme que la ligne vernale , c'est dire une anne sidrale de 366.25 jours

sidraux, donc nous avons aussi :

1 jour solaire moyen =366,25 * 86164,1

365,25= 86400s


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Chapitre 2

MOUVEMENTS KEPLERIENS

1- HISTORIQUE -

Pour fixer les ides de l'tude du mouvement des corps clestes, quelques dates sont

ncessaires :

- 1602 : KEPLER observe que les rayons vecteurs des plantes balaient des airesgales en des temps gaux. C'est la fameuse LOI DES AIRES.

- 1605 : Toujours par l'observation, KEPLER identifie les orbites des plantes desellipses de foyer le Soleil. Plus tard, NEWTON qui retrouvera par le calcul

diffrentiel ces trajectoires coniques, en dduira la loi de la gravitation.

- 1618 : de nouvelles mesures permettent d'tablir la loi des priodes, savoir :Cste

a

T=

3

2

- 1667 : NEWTON maintenant muni de la thorie du calcul diffrentiel et intgral,reprend les observations de KEPLER et nonant la loi de la gravitation

universelle, confirme toutes les lois de KEPLER et ouvre ainsi la priode du

dterminisme scientifique et la voie la conqute spatiale.

2- LOI DE LA GRAVITATION -

2-1- Enonc en hypothse newtonienne -

Sans revenir au point matriel, nonons :

Tout corps sphrique de centre O, homogne par couches concentriques, de masse M,

exerce sur un point S de masse m situ une distance r du point O, une force attractive F,

donne par :

rr

MmGu

r

MmGF

32

rrr==


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G = 6.67 10-11 m3kg-1s-2constante de la gravitation universelle.

Les conditions restrictives sur la forme du corps attirant, forment l'hypothse

newtonienne. La mcanique nous apprend par ailleurs qu'une telle force ne dpendant que

du rayon vecteur, drive d'un potentiel U dit POTENTIEL NEWTONIEN :

r

MmGFUgradUu

r

MmGF

2 ====

rrr

2-2- Valeurs numriques du systme solaire -

Les masses des corps principaux attirants, sont normes, par exemple la Terre MT =

5.976 1024 kg, le soleil dont la masse est environ 300000 fois celle de la Terre, etc

On voit donc que le produit GM fait intervenir la constante G trs petite et la masse trs

grande d'un astre, les astrophysiciens ont donc dcid de ne faire intervenir qu'une seule

constante caractristique de la gravitation cre par l'astre le produit GM, appel

CONSTANTE DE GRAVITATION DE L'ASTRE note =GM.

Par exemple pour la Terre et le soleil on a :

23102319s

2342313T

skm102713sm102713

skm108639sm108639

==

==

..

..

Donnons ci-dessous les caractristiques principales des corps du systme solaire,

constante m, demi-grand axe a de l'orbite elliptique, excentricit e, inclinaison i du plan

orbital sur l'cliptique

NB : L'cliptique est le plan de l'orbite de la Terre. RAYON TERRESTRE = 6378 km

l'quateur.


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Astre m en km3s

-2a en 10

6km e I

Soleil 13.27 1010

Mercure 2.232 104 57.9 0.22056 7.004

Vnus 3.257105 108.1 0.0068 3.394

Terre 39.86 104 149.6 0.0167 0

Mars 4.305 104 227.8 0.0934 1.85

Jupiter 126.8 106 778 0.0482 1.306

Saturne 37.95 106 1426 0.0539 2489

Uranus 5.820 106 2868 0.0514 0773

Neptune 6.896 106 4494 0.0050 1.773

Pluton 3.587 103 5896 0.25583 17.136

Lune 4.903 103 384000 Km/ Terre 5.1/quateur

3- MISE EN PLACE DU CADRE DE L'ETUDE -

Nous allons subir trois contraintes, dans l'tude du mouvement d'un satellite ou d'une

sonde spatiale :

- Travailler en repre inertiel.- Utiliser le potentiel newtonien U.- Ne conserver que 2 corps en interaction, car il a t prouv par le mathmaticien

Poincar que le problme des 3 corps n'avait pas de solution exprimable par des

fonctions lmentaires.

L'ensemble de ces conditions constitue le cas newtonien simplifi.

3-1- Problme des deux corps en interaction de gravitation -

M1ET M2sont les deux corps de masses m1et m2, de centre d'inertie G.

La mcanique classique nous indique que pour un systme isol, le centre d'inertie G a

un mouvement rectiligne uniforme. Le principe de relativit de Galile permet de choisir G

comme origine d'un repre inertiel Ra. Bien sr, en pratique ce n'est pas trs commode


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parce que l'tude du mouvement est en gnral rapporte un repre R relatif, non inertiel,

d'origine l'un des corps. C'est ce problme que nous abordons.

a- Repres -

b- Equations du mouvement -

La loi fondamentale applique dans Ra donne les relations suivantes

rr

mmGFrmr

r

mmGFrm

321

22321

11rr&&rr

r&&r ====

La gomtrie du centre d'inertie fournit :

rmm

mrr

mm

mrrrr

21

12

21

2112

rrrrrrr

+=

+=+=

c-. Transformation du problme -

Si on imagine que M1 est la plante intressante pour suivre le mouvement du

satellite, alors il faut former une quation vrifie par le rayon vecteur. Le lecteur fera les

calculs simples qui conduisent :

rr

mmGMFor

mm

mmM

321

21

21 rr&&r ==+

=


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Ce rsultat montre que le repre relatif R, d'origine M1, peut tre considr comme

galilen, condition de remplacer la masse m2du corps attir M2par la MASSE REDUITE

M ci-dessous :

21

21

mm

mmM

+=

d- Cas particulier -

En gnral, sauf pour les astronomes s'occupant des corps clestes de masses non

ngligeables, nous nous intressons au mouvement d'un satellite de masse m infiniment

petite devant la masse M du corps principal. Dans ces conditions la masse rduite est gale

la masse inertielle m. Ce sera notre cas dans tout le cours.

3-2- Notion de sphre dinfluence dune plante -

Le problme des 3 corps est prsent dans toute mission, mme en excluant, ce qui est

lgitime, les actions des plantes lointaines.

En effet, prenons une mission telle que Galilo, lance pour tudier l'environnement de

Jupiter.

La sonde passe par trois phases bien distinctes :

- Le dpart sous l'action de la Terre, du soleil. On pressent bien que l'attractionterrestre est prdominante.

- La phase hliocentrique o probablement les actions des plantes devraientpouvoir tre ngliges.

- L'arrive dans les parages de Jupiter, o certainement l'attraction de Jupiter finirapar devenir prpondrante.

QUESTION : A quelle distance de la plante pourra-t-on estimer que l'on peut ngliger son

attraction devant celle du soleil ? Et peut-on prs de la plante "oublier" la perturbation

solaire ?

EQUATIONS DU MOUVEMENT RAPPORTEES A CHAQUE REPERE :


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Set Pdsignent les constantes de gravitation du soleil et de la plante. Sur la figure,

on lit r1, r2, r les rayons vecteurs, u1, u2, v, les unitaires des rayons vecteurs de reprage.

Nous considrons un repre hliocentrique, directions stellaires, comme un excellent

repre inertiel ou galilen, not Ra. R dsignera un repre "quipollent" Ra mais, relatif,

d'origine une plante P (pour exemple le Terre). M est le satellite ou la sonde de masse m,

en mouvement sous l'action du soleil et de la plante.

La loi fondamentale applique la sonde M dans Ra donne :

( )T

2

p12

1

s1T

MSa

ru

rrFFMm

+=+=

r&&rrrr

Le premier terme sera considr comme attraction principale du corps central, origine

du repre, le second comme perturbation due la plante. Applique la Terre, et en

ngligeant l'attraction sonde sur Terre, devant celle du soleil, il vient :

( ) ( ) ( )Mur

TFTm e222

sa

MSa ===

rrrrr

o edsigne, en terme de composition des mouvements, l'acclration d'entranement du

point M du repre R, par rapport Ra. On notera que l'acclration de CORIOLIS est nulle.

En repre relatif, on a :


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( )S

121

s22

2

s

2

peT

MSR u

ru

ru

rrmFFMm

+=+=

rrr&&rrrrr

Comme plus haut, nous faisons apparatre l'attraction principale due la plante et un

terme entre crochets qui reprsente la contribution du soleil, considre comme une

perturbation.

INTRODUCTION DE LA NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE :

Le but poursuivi est de ngliger le terme perturbateur devant l'attraction principale,

mais alors quel est le repre dans lequel l'approximation est la meilleure? La rponse est

apporte par la comparaison des deux rapports suivants :

12

p

S2

1

s22

2

s

p

121

S

T2

p

s

ur

1ur

ur

ur

ur

r

rr

r

r

=

=

CONCLUSION :

L'galit entre les deux rapports dfinit une surface entourant la plante, trs voisined'une sphre, appele sphre d'influence de la plante.

S= P Relation de dfinition de la sphre d'influence

S< P Il vaut mieux travailler en repre hliocentrique, c'est le cas de la partie

hliocentrique d'un voyage interplantaire. Hors sphre dinfluence, la

perturbation plante est nglige, seule L'ATTRACTION SOLAIRE agit.

S> P Il vaut mieux travailler en repre plantocentrique, c'est le cas de la phase

de dpart d'un voyage interplantaire ou des mouvements des satellites

artificiels au voisinage de la plante. Dans la sphre dinfluence, la

perturbation solaire est nglige, seule L'ATTRACTION PLANETE agit.

Naturellement, les affirmations ci-dessus n'ont de sens que si:

- La sphre d'influence a un rayon suprieur celui de la plante. voir calcul durayon en exercice. Le calcul donne pour la Terre Rsphre= 924000 km


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- L'approximation n'est pas grossire. Voir calcul de l'erreur commise pour ungostationnaire ce la Terre. Le calcul donne une erreur relative de 1.5 10-5

Donnons une relation classique du rayon moyen de la sphre d'influence

plante)(soleildistanceD

influenced'Sphre

=

=

5

2

s

pDR

3-4- Points de LAGRANGE -

Prsentons ici, sans dveloppement thorique et seulement titre d'information, lanotion de sphre de point de Lagrange. Vous trouverez la thorie dtaille dans tous les

ouvrages de mcanique spatiale avance.

Il faut disposer d'un systme isol de 3 corps, par exemple le Soleil O en corps

principal, la Terre P comme astre secondaire sur orbite circulaire et une sonde spatiale M.

Dans le bilan des masses, la sonde n'apparat pas et pour un systme isol, le centre

d'inertie G de ce systme est donc en mouvement rectiligne uniforme dans un repre

galilen. G peut donc tre considr comme fixe et origine lui-mme d'un autre repregalilen Ra : G XaYaZa(non explicit sur la figure).

Dans Ra, la loi fondamentale s'applique en toute rigueur, mais elle n'est pas

intressante. Par contre, on peut introduire un repre relatif R GXYZ, tournant avec la ligne

OP une vitesse angulaire constante, ce qui est le cas pour la Terre avec une excellente

approximation.

Nous savons que R peut tre accept comme repre absolu si on ajoute aux forces

physiques classiques de gravitation les "forces dites d'inertie" de Coriolis et d'entranement

cette dernire appele "force centrifuge".

Proposons-nous de dterminer des points d'quilibre de M dans le champ des forces de

gravitation et d'inerties. Il est clair alors que la force d'inertie de Coriolis disparat

l'quilibre, puisque la vitesse relative R est nulle (quilibre dans R). Le lecteur se

convaincra aisment qu'un tel quilibre est possible dans le plan GXY pour 5 positions

distinctes L1 L2 L3 L4 L5. Ces points sont appels POINTS DE LAGRANGE du systme

astre principal O et plante P.


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Il est trs facile de vrifier que les points L1 L2 L3 sur l'axe OP sont instables. Il est

plus difficile de montrer que dans le plan GXY les points de Lagrange L4 et L5 sont

stables. Ces points sont mis profit, dans le systme Terre-Soleil, pour y placer unobservatoire fixe par rapport au Soleil, comme la sonde SOHO, lance en novembre 1995.

D'ailleurs, on peut observer que naturellement, dans le systme Soleil-Jupiter, des

satellites dits galilens de Jupiter qui restent en quilibre aux points de Lagrange L4 et L5.

NB : naturellement aucune force ne peut contrler le mouvement perpendiculaire au plan

GXY, ce qui demande un contrle en permanence mais trs faible consommation d'ergols.

3-5- Repres de calcul adopts -

a- Mouvements autour de la Terre -

A la lumire des rsultats prcdents :

- En ngligeant les perturbations solaires (et lunaire) devant l'attraction principaleterrestre, donc en travaillant dans la sphre d'influence de la Terre.

- En remarquant que pour un satellite, la masse rduite est gale la masseinertielle.


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On peut choisir un repre inertiel Ra, appel GEOCENTRIQUE EQUATORIAL,

d'origine le centre Terre et de directions stellaires. Lequel ?

Conventionnellement, les spcialistes de l'espace et de l'astronomie, ont convenu de

prendre un repre associ au jour 2000

SYSTEME DE COORDONNEES J2000 : La date de rfrence est le 1/1/2000 12 h TU,

considr comme origine 0 des jours juliens.

- Origine centre Terre- Troisime axe K ou Z, l'axe de la rotation terrestre (considr comme fixe, mais

en ralit drivant avec la prcession de Hipparque 50" arc/an autour du nord

cliptique, dans le sens rtrograde)

- Premier axe I ou X, unitaire de la ligne vernale g2000, qui est l'intersection du planquatorial moyen de la Terre et de l'cliptique le 1/1/2000 12 h, cet axe pointe

donc depuis le centre Terre, le soleil au premier instant du printemps de l'an 2000.

Mouvements autour du soleil :

NB : le calendrier julien est un calendrier o les dates sont comptes linaires et dcimales,

avec origine le 1/1/2000 12 TU, par exemple le 25/12/1999 11h 24mn 45s = -7.0244792

JJ (Voir routine J_JULIEN.EXE)


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Nous savons que l'cliptique est le plan de l'orbite terrestre, donc la ligne vernale ou

axe I du repre gocentrique quatorial, appartient ce plan. On peut donc dfinir, un autre

repre inertiel, pour les mouvements hliocentriques, le REPERE HELIOCENTRIQUEECLIPTIQUE, XE = I, YE, ZE, qui se dduit du prcdent par une rotation autour de I

d'angle -2327'.

4- GRANDES LOIS DU MOUVEMENT -

Nous allons tablir deux intgrales premires du mouvement, traduisant deux

conservations importantes.

4-1- Conservation du moment cintique = Loi des Aires -

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du

corps principal. Il en rsulte la conservation du vecteur moment cintique, soit :

WKVrVrhhmVmrH 00rrrrrrrrrr

=====

Le vecteur est l'unitaire de H ou de hr

appel MOMENT CINETIQUE rduit. K

s'appelle la CONSTANTE DES AIRES.


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Consquences : Le mouvement du satellite est plan, dans un plan fixe, passant par O et

orient par le moment cintique rduit h. On retrouve une des lois de KEPLER.

La figure ci-dessous rassemble les lments essentiels des coordonnes polaires, utiles

ce cours.

R, sont le rayon vecteur, mesur positivement sur l'unitaire u, et l'angle polaire mesur >0

autour d.

- u et v sont les axes associs aux coordonnes polaires. u le RADIAL, vl'orthoradial

- S(t) est la position courante S(t0) la position l'instant initial t0.- V est le vecteur vitesse absolue, de composantes V r sur le radial, V sur

l'orthoradial.

- est la pente absolue de la vitesse, compte positive (comme sur la figure) quandle vecteur vitesse est au dessus de l'horizontale locale.


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- La zone colorie en bleu est l'aire A balaye par le rayon vecteur entre t 0et t.On rappelle quelques rsultats :

dt

dA2rVVrrVrhK

vVuVvrurdt

rdV

0002 ======

+=+==

coscos

cossin

&rrr

rrr&r&rr

la dernire relation donne son nom la loi des aires, puisque la drive de l'aire balaye est

constante.

4-2- Conservation de lnergie mcanique -

S'il est un endroit de l'univers o les lois de la mcanique sont parfaitement vrifiables,

c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrmement

faibles. Dans le champ d'une seule force drivant d'un potentiel, le mouvement vrifie la

CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE.

On aboutit ainsi l'quation dite de l'nergie, dans laquelle E dsigne l'ENERGIE

SPECIFIQUE c'est dire par kg envoy.

0

20

22cm

rV

21

rV

21EmE

rmmV

21UEE ====+=

APPLICATION : DEUXIEME VITESSE COSMIQUE

On appelle deuxime vitesse cosmique la distance r0, la vitesse minimale

ncessaire pour se librer de l'attraction de l'astre. En d'autres termes la trajectoire doit

avoir une branche infinie, donc quand r tend vers l'infini, V doit rester calculable, ce qui

ncessite une nergie spcifique positive E > 0.

Dans ces conditions la vitesse est donne par :

Numriquement, pour la Terre 200 km/sol, V2est voisine de 11 km/s :

( ) ( )0

0102r

2rVrV

==


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NB : Vous rflchirez cette question. Pourquoi les petites plantes n'ont-elles pas

d'atmosphre alors que les grosses ont pu conserver la leur ? Rponse avec vitesse de

libration et agitation molculaire, mettre en forme.

5- OU L'ON RETROUVE QUE LES TRAJECTOIRES SONT DESCONIQUES -

5-1- Equation polaire de la trajectoire -

Plaons nous dans le plan orbital, en coordonnes polaires (voir figure plus haut).

Nous possdons 2 intgrales premires dpendant des deux constantes essentielles E etK.

222222 rrVrKr

V2

1E &&& +=== &&

L'limination de q entre les deux quations donne:

2

2

2

Kr

KE2

r

K

r

2E2

dt

dr

=+=

2

2

2

2

2

2

2

KE2

Kr

K

1

KE2

Kr

K

d

Kr

KE2

r

K

dr

dt

dt

d

dr

d

+

+

=

==

Le lecteur achvera un calcul maintenant vident qui fournit l'quation polaire de la

trajectoire.


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( )

( )02

2

2

0 EK2

11

K

e1

pr

++

=+

=

cos

cos

5-2- Conclusions -

On reconnat l'quation d'une conique dont les lments caractristiques sont :

Excentricit

2

2EK2

1e +=

Paramtre K

p

2

=

Angle polaire du prige 0

Rappels : K = V0r0cos0a2r

V2

1

rV

2

1E

0

20

2 ===

Nous ne connaissons que trois types de coniques.

- La parabole correspondant e=1 ou E=0, physiquement irralisable, car laprobabilit de raliser un tir d'nergie nulle, est nulle.

- L'ELLIPSE, trs courante, pour e


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Les conditions initiales sont strictes, le lecteur le vrifiera :

0rV 000 ==

&

QUELQUES REPERES NUMERIQUES :

- Premire vitesse cosmique : Conventionnellement, bien qu'elle n'ait pas de ralitphysique, c'est la vitesse ncessaire pour se placer en orbite circulaire au ras du

sol terrestre, elle ncessite V0= 7.9 km/s.

- Vitesse en orbite basse d'altitude Z = 230 km, V0= 7.766 km/s, c'est la vitessepratique par Gagarine et Glenn, lors de leur premier vol circumterrestre.

- Vitesse en orbite gostationnaire, elle sera calcule plus tard et vaut V0= 3.075km/s

- Vitesse de la lune : sensiblement en orbite circulaire vers 384000 km du centre dela Terre, V0= 1.018 km/s.

5-3- Longueurs et relations remarquables dans lellipse -

Une figure illustre clairement les dfinitions suivantes.

a- Longueurs remarquables-


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- a demi grand axe, 2a = AP.- A est l'apoge, point le plus loign du centre O.- P est le prige, point le plus rapproch du centre O.- b demi petit axe, b = IB, I est le centre.- c demi distance focale, c = OI, o O est le foyer actif.

b- Relations remarquables -

Nous les donnons sans dmonstration, renvoyant le lecteur aux traits classiques de

gomtrie.

( )( ) ( )

e1

pe1ar

e1

pe1ar

e1abe1ap

a

cecba

ap

22

222

=+=

+==

==

=+=

c- Dfinition bifocale de l'ellipse

Une ellipse est l'ensemble des points du plan dont la somme des distances 2 points

fixes O et F est constante et gale 2a. De plus la TANGENTE EN M l'ellipse est

BISSECTRICE EXTERIEURE DE L'ANGLE DES RAYONS VECTEURS

d- Priode orbitale -


26/184


La loi des aires permet de calculer la priode orbitale kplrienne T. En effet l'aire A de

l'ellipse vaut A = ab :

( ) ( ) 2222 e1aabT2

e1aA

2

e1a

2

K

dt

dA==

=

==

2

3

2 4

a

Taa2T ==

Nous retrouvons ainsi une des lois de KEPLER les plus remarquables.

NB : On peut ds lors calculer le rayon de l'orbite gostationnaire, puisque la priode

orbitale est celle de la Terre, soit T = 23 h 56 mn 04,1 s = 86164,1 s. Le calcul donne alors

rg= 42164 km.

5-4- Energie et demi-grand axe -

Il existe une relation remarquable entre E et a, que nous tablissons pour une ellipse :

( ) a2E

e1aK

p

EK21e

22

2

2

=

==

+=

Pour l'hyperbole il suffit de changer de signe.

6- RESUME DES EQUATIONS -

Pour tout ce qui concerne le calcul des vitesses et des angles sur une trajectoire

kplrienne, les quations de conservation sont suffisantes. Nous nous limitons l'ellipse etdonnerons plus loin les relations propres l'hyperbole.

6-1- Conservations -

Equation de l'nergie :a2r

V2

1

rV

2

1E

0

20

2 ===

Conservation du moment cintique ou mieux LOI DES AIRES :


27/184


( )2

ppaa

0p02

e1arVrVK

rVVrrK

===

===

coscos&

6-2- Quelques relations courantes -

Pour l'ellipse :

e1

e1

aV

e1

e1

aV

ee21

e

Vpe

VVVrV

ap

2

0r

+

=+

=

++==

===

cos

sinsinsin

cossin&

7- ERREURS DE TIR -

Nous nous intressons ici, aux consquences des erreurs sur l'orbite, commises sur la

vitesse de tir V0, la distance r0, l'angle de tir 0. En clair, uniquement les variations de forme

de l'orbite mais pas le plan orbital lui-mme.

Soit X un paramtre quelconque li au mouvement (a, e, p, ra, rp, T, Vp, Va, ), il est

uniquement fonction des paramtres V0, r0, 0, soit X = f(V0, r0, 0). Imaginons des

dispersions de tir dV0, dr0, d0petites, comment calculer les consquences sur X. De toutevidence l'outil mathmatique est la diffrentielle.

00

00

00

dX

drr

XdV

V

XdX

+

+

=

NB : Surtout ne pas calculer les drives partielles, mais travailler numriquement, avec

des variables intermdiaires.

EXEMPLE SUR LA PERIODE T :

On dispose des liens suivants :

( )

2

3

2

0

20000

4

a

T

a2rV

2

1ErV ===,,

Le calcul des diffrentielles en cascade donne :


28/184


0020

00

020

002

d0drr

aT3dVaTV3dT

drr

dVVdaa2a

da3

T

dT2

++=

+== &

fournissant les drives partielles, qui sont les facteurs d'amplification des erreurs.

De manire gnrale, vous utiliserez les tableaux de drives donns ci-dessous, pour

obtenir toute erreur sur un paramtre.

ORBITES CIRCULAIRES

0T

r

T3

r

T

V

T3

V

T

0a

2r

a

V

r2

V

a

0e

r

1

r

e

V

2

V

e

00000

000

0

0

00000

=

=

=

=

=

=

==

=

ORBITES ELLIPTIQUES

0T

r

aT3

r

TTaV3

V

T

0a

r

a2

r

aVa2

V

a

e

e1e

rr

e

V

2

V

e

1rVre

V

02

00

0

0

02

0

2

0

02

0

02

00

02

00

02

0

0200

2

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

tancoscos

Par exemple, pour la distance apoge ra= a(1+e),on adra= ade+(1+e) da, avec deet

daaisment calculables.


29/184


Chapitre 3-

PARAMETRAGE DU MOUVEMENT -

Jusqu' prsent, dans l'tude des mouvements kplriens, vous avez pu constater que la

variable temps a t soigneusement vite, et pour cause : il a t dmontr qu'on ne

pouvait pas exprimer la solution par des fonctions lmentaires du temps. Dans ce chapitre,

nous introduisons une variable intermdiaire qui permet de relier les principales variables

au temps t.

1- ANOMALIE EXCENTRIQUE -

1-1- Dfinition de lanomalie excentrique -


30/184


On appelle S' l'image de S, le satellite en orbite elliptique, dans l'affinit orthogonale

d'axe P, de rapport a/b. L'ANOMALIE EXCENTRIQUE est l'angle entre OP et OS',

mesur positivement dans le sens du mouvement. Une rvolution complte est ralisequand varie de 0 2. Nous constatons que la correspondance est biunivoque.

Lors de la rsolution de problmes numriques ou informatiques, mettant en jeu l'angle

, il faudra se montrer prcis.

0Vr0r22Descente

0Vr0r00Monte


31/184


Enfin en remplaant r par son expression en fonction de et en tenant compte du fait

que la drive de est > 0, il vient :

( ) ( )

sincos e

aatt1

dt

de1

aa p ==

tp dsigne une heure de passage au prige. Nous rassemblons toutes ces relations dans le

tableau suivant.

( ) ( )

sine

aatt

cose1

ecoscoscose1ar p =

==

REMARQUE IMPORTANTE : La relation qui donne la drive de est souvent trsutile dans les problmes informatiques, lorsqu'on souhaite oprer des intgrations par

rapport au temps. Elle permet un changement de variable.

d

dt=

a

1

a 1 ecos( )=

1

r

a

ANOMALIE MOYENNE : On appelle ainsi la quantit M; n est le moyen mouvement,

reli la priode T que l'on retrouve par

T= 2aa

=

2

n

M= esin= n t tp(

n=a3

1-3- Quelques relations classiques -

Nous laissons au lecteur le soin d'tablir ou de se renseigner sur les relations suivantes,

mettant en jeu .

, pente de la vitesse

cos=1 e2

1e 2 cos2

sin=esin

1 e2 cos2

tan=esin

1 e2


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, anomalie vraie

cos=cos e1 ecos

sin=1 e2 sin1 ecos

tan

2=

1 +e1 e

tan2

, anomalie excentrique

cos=cos+ e

1+ ecos

sin=1 e2 sin1+ ecos

tan=1 e2 sincos+ e

2- Position-Vitesse en fonction de -

Dans la plupart des tudes informatiques, il est ncessaire de travailler avec les vecteurs

position r et vitesse V, que nous allons calculer dans la base prifocale PQW en fonction de

.

2-1- Repre prifocal -

On appelle ainsi le repre d'origine O centre du corps principal, d'axes P unitaire de la

direction du prige, W unitaire du moment cintique et Q qui complte la base directe

PQW

2-2- Calcul de r et V en fonction de -

Nous utilisons des calculs raliss plus haut sur les mesures de OH et HS et la drive de

:

rr= a cos e( )

rP+ a 1 e

2sin

rQ= a cos e( )

rP+ 1 e

2sin

rQ

Par drivation par rapport au temps on obtient la vitesse V, puisque les vecteurs Pr

et Qr

sont fixes en hypothse kplrienne.


33/184


+=

+= Qe1P

r

aQe1aPaV 22

rr&

rrr

cossincossin

Dans un cours ultrieur nous donnerons les composantes des vecteurs de base WQPrrr

,, en

fonction des paramtres orbitaux angulaires.

Conclusions

rr= a cos e( )

rP+ 1e

2sin

rQ

rV=

a

r sin

rP+ 1 e

2cos

rQ

t t =T

2 esin( ) = a

a esin( )


34/184



35/184


Chapitre 4-

PARAMETRES ORBITAUX

Ce cours est capital pour les applications, car il conditionne le positionnement et le

reprage prcis d'un satellite.

L'ide gnrale est qu'on considre un instant t fix le satellite comme correspondant

la donne :

- D'un solide C qui n'est autre que la trajectoire, son reprage ncessite donc- De reprer un plan, surface qui demande 2 paramtres angulaires, nots et i.- De prciser la position du grand axe de la conique, donc avec un paramtre

angulaire not .

- De prciser la forme de l'ellipse, simple avec a et e dj connusDe donner un "top", c'est dire un instant initial et une position initiale partir de

laquelle on peut dduire toutes les autres positions. Il faudra donc 2 autres paramtres, unangle et un temps.

Au total les paramtres orbitaux seront au nombre de 6 plus un temps initial.

1- DEFINITION DES VECTEURS FONDAMENTAUX -

Le tir tant ralis, nous appelons :

- les conditions initiales l'instant t0: 00 ,Vr rr - les conditions au point courant l'instant t : Vr rr,

Le mouvement kplrien possde des intgrales premires vectorielles remarquables,

qui s'expriment naturellement avec le rayon vecteur et le vecteur vitesse.

1-1- Moment cintique rduit hr

-

Nous avons dj tabli la constance du vecteur :


36/184


WrVWrWWrWKVrVrh 0002

00

rrrr&

rrrrrr coscos ======

Ce vecteur hr

donne par son module la constante des aires K, il oriente le sens dumouvement et donne la direction du plan orbital.

1-2- Vecteur excentricit er

-

Curieuse construction pour ce vecteur, puisqu'on pose :

r

rhVe

rrrr

=

On commence par dmontrer que ce vecteur est constant, en calculant sa drive.

constant& e0dt

ed

vrurVdt

rd

r

r

dt

VdWrh

r

rr

dt

rd

r

1h

dt

Vd

dt

ed

3

2

2

rrr

r&r&rr

rrr&

r

r&

rrrr

=

+==

==

+=

Ensuite, nous montrons que, puisque ce vecteur est constant le long de la trajectoire, onpeut le calculer en tout point et en particulier au prige P de l'orbite. Nous conservons les

notations P, Q, W pour le repre prifocal et rppour le rayon vecteur.

Pee

e1

pr

Kp

r

KrrK

P1r

PWrQr1

e

p

2

p

22p

3p2

2p

3p

p2

ppp

rr&&

r&rr&

r&r

=

+==

==

==

Donc le vecteur er

fournit par sa norme l'excentricit de l'orbite, mais surtout il donne

l'unitaire P qui "pointe" le prige. Donc la principale utilit de er

est de dsigner le

prige.


37/184


1-3- Vecteur nodal nr

-

Le vecteur nodal nr

se dfinit par hKnrrr

=

Ce vecteur n'existe que pour les orbites non quatoriales. Le vecteur nr

a la proprit de

"pointer" le nud ascendant de l'orbite, puisqu'il appartient au plan quatorial et au plan

orbital.

2- DEFINITION DES PARAMETRES ORBITAUX -

La figure ci-dessous illustrera la dfinition des paramtres orbitaux.

2-1- Reprage du plan orbital -

Nous savons qu'avec une excellente approximation, le plan quatorial terrestre est fixe

dans le repre inertiel IJK. Le plan orbital coupe le plan quatorial suivant une droite

appele LIGNE DES NOEUDS.


38/184


- N point o le satellite passe de l'hmisphre sud l'hmisphre nord, s'appelle leNUD ASCENDANT de l'orbite.

- N' point o le satellite passe de l'hmisphre nord l'hmisphre sud, s'appelle leNUD DESCENDANT de l'orbite.

Ces 2 points sont importants dans les applications pratiques, parce que d'une part nous

verrons que c'est le lieu des corrections d'inclinaison, mais galement ils dlimitent, pour

les pays de l'hmisphre Nord, la zone utilisable.

NB : Des dfinitions quivalentes pourront tre donnes, des paramtres orbitaux ou des

vecteurs fondamentaux, pour le repre hliocentrique cliptique ou tout autre repre

plantocentrique. Ce n'est que par habitude que nous les fournissons dans IJK.

a- Longitude vernale ou heure sidrale de la ligne des nuds -

On appelle l'angle, mesur positivement autour de K, entre l'unitaire I et le vecteur

nodal nr

. Conventionnellement, il est exprim entre 0 et 360.

) [ ]= 3600Knl ,/, rrr


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Cet angle conditionne naturellement le positionnement du plan orbital par rapport

l'espace inertiel environnant. Donc tout naturellement, comme le soleil est mobile dans cet

espace, et le temps interviennent dans les problmes d'clairement des panneaux solaireset la gestion de l'nergie.

Le calcul de est simple, si on lui adjoint une test ne pas oublier.

=

0Jnn

nlArc2

0Jnn

nlArc

rrr

rr

rrr

rr

.si.

cos

.si.

cos

b- Inclinaison orbitale i -

On appelle inclinaison de l'orbite l'angle i, mesur entre 0 et 180 positivement autour

de l'axe n, entre le plan quatorial et le plan orbital. C'est encore l'angle entre les normales

aux 2 plans, donc entre K et h (ou ).

Le calcul donne sans difficult :h

hKArci r

rr.

cos=

Nous le verrons plus loin, mais l'vidence plus l'inclinaison orbitale est forte, plus on

peut survoler des latitudes leves.

Quelques valeurs classiques :

- i=0 Orbite quatoriale, essentiellement l'orbite gostationnaire.- i=28 Inclinaison habituelle des orbites des vols Navette US- i=63.4 Inclinaison orbitale frquemment utilise par les satellites sovitiques, car

c'est une valeur qui leur permet de pallier une perturbation due J2.- i=90 Orbites polaires pratiques par les satellites mtorologiques en orbite

basse, leur permettant de suivre 15 fois par jour les masses d'air polaire.

- i=98.7 Inclinaison choisie par les satellites de la famille SPOT, gravitant vers822 km du sol, travaillant en imagerie spatiale et utilisant grce une valeur bien

choisie de i, la proprit d'hliosynchronisme. Vu du nud ascendant, le satellite

se dplace vers l'Ouest, contrairement 90% des satellites.


40/184


- i=5 Inclinaison de l'orbite lunaire- i=23 27' Inclinaison de l'orbite dcrite par le soleil vu de la Terre, avec passage

au nud ascendant au moment du printemps.

2-2- Reprage du grand axe dans son plan -

On appelle ARGUMENT NODAL DU PERIGEE, l'angle orient des vecteurs n et e

mesur positivement entre 0 et 360 autour de l'axe .


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CONCLUSIONS :

Paramtres orbitaux :

00

00

00

p

,Mt

,t

,t

,priget

au choixa,e,i,,e,

3- CALCUL DES VECTEURS P, Q, W DANS IJK -

3-1- Calcul des composantes -

Dans les tudes numriques, il est indispensable de passer de la base absolue d'autresbases et en particulier, dans la base PQW du repre prifocal.

Le lecteur ralisera les calculs classiques qui donnent les composantes de P, Q, W dans

I, J, K.

=

i

i

i

P

sinsin

coscossinsincos

cossinsincoscos

r

+

=

i

i

i

Q

sincos

coscoscossinsin

cossincoscossin

r

==

i

i

i

QPW

cos

sincos

sinsinrrr

3-2- Matrice de passage de (IJK) (PQW) -

Le lecteur se convaincra, en utilisant ses connaissances en algbre linaire que la

matrice de passage P de la base IJK la base PQW vaut :

+

K

J

I

i

i

i

W

i

i

i

Q

i

i

i

P

r

r

rrrr

cos

cossin

sinsin

sincos

coscoscossinsin

cossincoscossin

sinsin

coscossinsincos

cossinsincoscos

Naturellement la matrice de passage inverse est la transpose de P.

Avec les rsultats acquis du cours sur l'utilisation de l'anomalie excentrique, on a :


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( )

+= Qe1Pear 2

rrr sincos

+= Qe1P

r

aV

2 rrr

cossin

Le lecteur pourra aussi s'exercer redmontrer les relations ci-dessus.

Et naturellement avec la chronologie :

( ) ( )

sinsin ea

ae2

Ttt p ==

On obtient alors les coordonnes du satellite dans le repre associ J2000.


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Chapitre 5-

PARAMETRES D'INJECTION

Ce chapitre est consacr aux conditions d'injection en orbite, ralise par le lanceur

charg soit :

- De la mise en orbite quasi dfinitive, aux dispersions prs invitables.- D'une satellisation sur une orbite de transfert, par exemple Ariane en GTO, vers

l'orbite gostationnaire.

- D'une mise en orbite de drive intermdiaire, par exemple pour rejoindre un pointde stationnement.

- D'une mise en orbite de parking, avant une vasion vers une plante.

1- DEFINITIONS DES PARAMETRES D'INJECTION -

La ralit physique d'un tir impose un suivi du lanceur, durant sa phase propulse,

depuis des stations de poursuite sol, multiples en gnral. Par exemple pour un tir classique

Ariane, les stations sont Kourou, Ascension, Libreville,

L'acquisition des donnes est donc rapporte un repre li la station et donc entran

dans la rotation terrestre. Or les calculs de trajectoire ncessitent un repre inertiel, comme

J2000.

Il est donc ncessaire de prciser les lments permettant de raliser un changement de

base.

1-1- Repre gographique -

Dans la figure suivante, on retrouve O IJK, inertiel, associ au jour J2000. Il apparat le

mridien de Greenwich, et c'est l'occasion de dfinir une donne d'EPHEMERIDES

importante : l'HEURE SIDERALE DE GREENWICH un instant t.

( ) ( ) ( ) ( ) srd107292115tttlXltl 11T0T0gGg /, =+== rr


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Une valeur particulire peut tre obtenu par les phmrides, publies tous les ans par le

BUREAU DES LONGITUDES Paris.

Une routine est fournie sur ce site, dans le pack des routines en Pascal, elle s'appelle

heure_sid.exe (voir routines)

Le satellite l'instant t se trouve en S, la verticale du point de la Terre S', qu'il survole.

En S', nous avons trac le mridien et le parallle. Il apparat clairement la longitude L et la

latitude l du satellite S

La tangente N au mridien est le Nord local. La tangente E au parallle orient vers

l'Est est l'Est local. La verticale ascendante Z est le znith local, oppos au NADIR.

Le repre S' ENZ constitue le REPERE GEOGRAPHIQUE LOCAL.


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1-2- Paramtres dinjection -

On appelle ainsi un ensemble de 6 donnes plus la date t0de l'injection :

a- Un positionnement du point de tir :

- L0LONGITUDE du tir,- 0LATITUDE du tir

b-Les conditions balistiques du tir dfinissant la forme de la trajectoire :

- Le rayon vecteur r0= RT+ Z0(Z0altitude sol)- L'angle absolu de tir 0entre la vitesse absolue et l'horizontale locale.- V0norme de la vitesse absolue inertielle, si une mesure de vitesse relative a t

ralise, on appliquera alors la composition des vitesses.


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( ) EZRVV 0TTR0rrr

cos++=

c- Le positionnement du plan de tir :

Le plan de tir est dfini par la vitesse absolue V0et le rayon vecteur port par le znith

Z.

L'AZIMUT ABSOLU 0du tir, mesur positivement vers l'Est. Plusieurs aspects sont

possibles, une figure est ncessaire (voir plus loin).

- Angle entre le plan mridien et le plan de tir- Angle entre le Nord local N et la projection horizontale de la vitesse- Angle entre le Nord local N et la direction orthoradiale v du tir

REMARQUES PRATIQUES :

- 0=90 et 0= 0 s'appelle un TIR PLEIN EST, qui permet de profiter pleinementde la vitesse d'entranement due la rotation terrestre (465 m/s l'quateur).

- 0=90 et 0quelconque est un TIR VERS L'EST.- 0=0 et 0=0 TIR EN ORBITE POLAIRE CIRCULAIRE.-

0=97, 0 et 0 voisins de 0, TIR GTO ARIANE, avec le prige au nuddescendant, de manire placer l'apoge sur l'quateur.

- 0< 0 tir de direction Ouest; si 0 est voisin de 98 ce sont des orbiteshliosynchrones.

- La DATE t0du tir :PARAMETRES D'INJECTION EN S0: L0, 0, V0, r0, 0, 0, t0

1-3- Passage de IJK ENZ -

Donnons d'abord deux dfinitions, plus particulirement utilises en astronomie 0:

a = lg(t)+L s'appelle l'heure sidrale du satellite ou encore longitude vernale.

d = l porte aussi le nom en astronomie, de dclinaison


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Le lecteur effectuera le calcul des composantes des vecteurs ZNErrr

,, dans la base

inertielle IJK, ceci afin de construire la matrice de passage P(,) de la base IJK ENZ ou

son inverse.

( )

=

sincos

sincossinsincos

coscoscossinsin

0

ENZIJKP

Naturellement ces formules s'utilisent dans les deux sens, ce qui explique que nous

n'ayons pas cherch rsoudre.

2- CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX -

Cette partie relve plus des procdures informatiques que des calculs d'application la

main. Connaissant les conditions d'injection (absolues ou relatives) on en dduit les

paramtres orbitaux kplriens.

2-1- Passage des conditions relatives aux conditions absolues -

Quand on s'intresse aux performances d'un lanceur, on s'aperoit vite que le

mouvement doit tre rapport et suivi par rapport la Terre. On est alors amen dfinir

les conditions relatives du tir, azimut relatif R, vitesse relative VR, pente ou angle de tirrelatif R.

La figure et les notations sont suffisamment explicites pour justifier les relations ci-

dessous :

RR00

RRR000

eTRRR000

VV

VV

VVV

sinsin

coscoscoscos

sincossincos

=

=

+=


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2-2- Calcul de paramtres orbitaux -

L'ide est de calculer le rayon vecteur et la vitesse absolue, par leurs composantes dans

ENZ et d'oprer le changement de base pour les exprimer dans IJK.

=

=

00

000

000

ENZ0

0

ENZ0

V

V

V

V

r

0

0

r

sin

coscos

sincos

// rr

Le passage IJK est ais, grce la matrice P(,) :

( ) ( )

=

=

00

000

000

IJK0

0

IJK0

V

V

V

PV

r

0

0

Pr

sin

coscos

sincos

,, //rr


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Le calcul s'achve ensuite conformment au cours sur les paramtres orbitaux.

3- CALCUL DE L'INCLINAISON ORBITALE -

Dans les applications pratiques, l'inclinaison orbitale i est un paramtre capital et faisant

l'objet d'une surveillance trs stricte. Les corrections d'inclinaison tant trs coteuses, tout

tir demande une tude prcise des conditions d'injection, pour affiner au mieux cette

inclinaison.

Si on revient la figure des paramtres d'injection, on constate que le plan orbital est

orient par le vecteur Wr

produit vectoriel de Zrparu

r, d'o :

( )

ZNE01

0

00

uZKKWiuZW

rrr

rrrrrrrr

/sin

coscos

sin

..cos

====

On obtient ainsi, une relation simple et d'un grand intrt pratique cosi= cossin.

En particulier :

- i est toujours suprieure ou gale la latitude de l'injection 0.- i = 0uniquement si le tir est effectu vers l'Est.- Une orbite polaire ncessite un azimut gal 0.- Un tir hliosynchrone, o l'inclinaison orbitale est de l'ordre de 98.7 pour SPOT

par exemple, demande un azimut ngatif (tir vers le Nord-Ouest).


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Chapitre 6-

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

Ce chapitre traite de complments de trigonomtrie sphrique qu'on ne peut pas ne pas

connatre, tant l'usage en est rpandu en astronautique et astronomie.

1- DEFINITIONS DE BASE -

1-1- Triangle sphrique -

Considrons une sphre de centre O et de rayon unit, et sur sa surface 3 points A, B, C

non tous trois situs sur un mme grand cercle de la sphre. Ces 3 points constituent les


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sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cots sont les arcs des 3 grands cercles

de la sphre, qui passent respectivement par AB, AC, BC.

1-2- Angles -

On peut alors dfinir des angles.

- Angles au sommet A, B, C : Par exemple ou A : on dsigne ainsi, l'angleinfrieur 180, arithmtique form par les tangentes Au et Av aux deux grands

cercles passant par A. De mme pour les autres sommets.

- Angles au centre a, b, c : Par exemple ou a est l'angle arithmtique infrieur 180, en O entre les directions OB et OC. Souvent on dit qu'on "voit" le ct BC

sous l'angle au centre .

NB : si un des angles au sommet est gal 90, on dit que le triangle est rectangle.

REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan,

gale 180, mais suprieure 180.

2- RELATIONS TRIGONOMETRIQUES -

Nous allons tablir les relations les plus gnrales dans un triangle sphriquequelconque.

2-1- Relation gnrale -

Les vecteurs OB et OC sont dcomposs sur u et w (resp v et w), ce qui donne :

[ ][ ]Avuor

vbvbwcwcBOAOa

cos.

sincos.sincos.cos

=

++==rr

rrrrrr

ce qui donne

Acbcba cos.sin.sincos.coscos +=

2-2- Relation des sinus -

Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut crire :


53/184


cba

cb2cba1

a

A

a

cb

cba1

a

A1

a

A

222

2

2

sinsinsin

coscoscoscos-cos-cos-

sin

sin

sin

sinsin

cos.cos-cos-

sin

cos-

sin

sin

+=

==

La dernire relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc

nous obtenons une relation remarquable du triangle sphrique, appele RELATION DES

SINUS :

c

C

b

B

a

A

sin

sin

sin

sin

sin

sin==

2-3- Relations gnrales

( )

( )( )( )4cos.sin.sincos.coscos3cos.sin.sincos.coscos

2cos.sin.sincos.coscos

1sin

sin

sin

sin

sin

sin

Cbabac

Bacacb

Acbcba

c

C

b

B

a

A

+=

+=

+=

==

2-4- Exemple : Distance entre 2 points de la Terre -

Soient 2 lieux donns par leur coordonnes gographiques, longitude et latitude, B=(L0,

0), C=(L1, 1). Le rayon terrestre tant not RT, le lecteur tablira, en utilisant un triangle

constitu de B, C, et du ple nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesure sur

un grand cercle (distance loxodromique ou godsique) est :

( )[ ]011010T LLRD += coscoscossinsin

3- CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A -

Comme la trigonomtrie sphrique est souvent utilise sur Terre, avec souvent 2 grands

cercles trs particuliers et orthogonaux : l'quateur terrestre ou un parallle quelconque et

un mridien, ce cas revt un intrt particulier. Le lecteur pourra s'exercer retrouver les

relations ci-dessous.


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==

==

====

=

==

cabCB

bacBC

cCBabCBcba

2A

c

C

b

B

a

A

tancotcossincos

tancotcossincos

tancotsinsinsincotcotcoscoscos

sin

sin

sin

sin

sin

sin

Exemple, pour les points survols :

Le triangle sphrique considrer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS'

= a= +, S''Os' = S= b. La relation des sinus donne immdiatement le rsultat cherch,

savoir :

( ) += sinsinsin is

Formule importante dj rencontre.


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Chapitre 7-

POINTS SURVOLES

Ce chapitre est consacr l'tude de la trace au sol d'un satellite et de son mode de

calcul.

On pressent bien que le calcul de la latitude ne devrait pas poser de problme, parce que

la rotation terrestre n'intervient pas. Par contre pour la longitude, il n'en sera pas de mme.

La connaissance de la trace au sol et de l'instant de survol est indispensable dans

l'exploitation des donnes satellitaires par exemple en :

- Imagerie et cartographie spatiale (SPOT, HELIOS)- Mtorologie (METEOSAT en gostationnaire, et d'autres en orbite polaire.)- Tlcommunications (radio, tlvision, tlcommande et tlmesure)

EUTELSAT, TELECOM 2A 2B 2C,

- Contrle arien ou maritime (MARECS)- Scurit en mer (Systme ARGOS)- Etude des ocans (TOPEX-POSEIDON)- Godsie spatiale

1- HYPOTHESES ET CALCULS -

Une mission satellite est parfaitement dfinie par ses paramtres orbitaux, ce qui

quivaut naturellement la donne des paramtres d'injection (voir PARAMETRES

D'INJECTION ou PARAMETRES ORBITAUX)

On supposera donc connus les paramtres orbitaux a, e, i, , , tpet l'instant courant t.

Nous devons alors calculer la position du satellite par rapport la Terre, par ses

coordonnes gographiques longitude LSet latitude S.

Les perturbations orbitales ne seront pas prises en compte dans l'tude initiale, nous

travaillons en kplrien, mais nous verrons que les rsultats peuvent tre extrapols au cas

du mouvement rel.


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1-1- Repres et notations -

- IJK dsigne le repre inertiel Ra, associ J2000.- XgYgZg (Zg=K) est le repre Rg li la Terre, en rotation autour de l'axe nord-

sud, avec Xg dans le mridien de Greenwich. LSet Ssont rapportes ce repre.

Le satellite S a pour coordonnes Xg, Yg, Zg

- PQW est le repre prifocal dj rencontr, associ l'orbite, avec P point versle prige et W unitaire du moment cintique.

- * = - lg(t) est la longitude Greenwich de la ligne des nuds au temps t. Onrappelle que lg(t) est l'heure sidrale de Greenwich, calculable par la routine heur-

sid.exe ou donne par les phmrides du bureau des longitudes.


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1-2- Matrices de passage -

Nous verrons plus loin que le satellite est facilement reprable dans la base prifocale,

et que nous devrons le positionner dans XgYgZg. La matrice de passage est donc ncessaire.

Un calcul analogue a dj t ralis, dans lequel il suffit simplement de changer en *.

Passage XgYgZg(Zg=K) XNYNZN(ZN=K) : la rotation d'angle * autour de K permet

ce passage, de matrice associe P1.

Passage XNYNZN XNY*NW : la rotation d'angle i autour de XNpermet ce passage, de

matrice associe P2.

Passage XNY*NW PQW : la rotation d'angle autour de W permet ce passage, dematrice associe P3.

Ce qui donne en dtail les matrices :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )iPii0

ii0

001

WYXKYXP

P

100

0

0

WQPWYXP

P

100

0

0

KYXZYXP

2NNNN2

3NN3

1NNggg1

=

=

=

=

=

=

cossin

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

*

*

***

**

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

La matrice de passage cherche est : P=P1(*)P2(i)P3()

2- METHODE DE CALCUL -

Les paramtres orbitaux sont connus a, e, i, , , tpainsi que l'instant t. Nous donnons

ci-aprs l'organigramme de calcul.

1- La donne de l'instant t permet de calculer la valeur de l'anomalie excentrique de

manire unique.


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( )

sinea

att p =

NOTE DE CALCUL : l'quation tant transcendante, une bonne mthode consiste

calculer par itration, en partant d'une valeur quelconque 0 , et d'utiliser la relation ci

dessous :

( ) np31n etta

sin+=+

La convergence est assure et assez rapide vers la solution unique.

2- On calcule les coordonnes du satellite dans la base PQW par :

( )

+= Qe1Pear 2

rrr sincos

et donc

( )

=

0

e1a

ea

Z

Y

X2

PQW

sin

cos

On effectue le changement de base, qui donne les coordonnes dans le repre de

Greenwich

( ) ( ) ( )

( )

=

=

0

e1a

ea

PiPP

Z

Y

X

Z

Y

X2

321

PQWZYX ggg

sin

cos

*

On en dduit les coordonnes gographiques LSet S.

( )[ ]

2g

2g

gs

gg

gs

YX

Z

Xsgn12X

YL

+=

+=

arctan

arctan


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3- ETUDE DE LA TRACE -

3-1- Formule explicite donnant la latitude -

Les calculs prcdents sont particulirement obtus et ne permettent pas d'apprhender la

forme de la trajectoire d'un satellite.

Si on revient au repre XgYgZg, on peut crire Zg= r sinS, et en revenant la base

XNY*NW, on a aussi la relation

( ) ( ) NN YrXrr rrr +++= sincos

La combinaison des 2 relations fournit une relation trs importante en pratique

( ) 0is =+= initial,instantl'sin.sinsin


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3-2- Exploitation du rsultat -

Sur la trajectoire l'anomalie vraie varie de0 2 lors dune orbite complte. Donc la

latitude oscille entre +i et -i. En particulier lorsqu'on souhaite pouvoir survoler une latitude

donne, il faut choisir une inclinaison orbitale suprieure ou gale cette latitude.

Nous avions dj vu que lors du lancement la latitude de l'injection et l'azimut du tir

dfinissaient compltement l'inclinaison orbitale par cosi = cos0sin0

On peut donc en dduire qu'avec une inclinaison orbitale leve, il faudra ou injecter une latitude leve en profitant de la rotation terrestre dgrade une latitude forte, ou

garder une latitude moyenne et choisir un azimut proche de 0, empchant donc de profiter

pleinement de la rotation terrestre. Dans les 2 cas le tir est pnalis. La recherche d'une

inclinaison orbitale leve est pnalisante en masse utile.

Pour les orbites basses faiblement excentriques, on peut donner l'allure d'une trace

correspondant une priode.


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En effet, sur orbite basse quasi-circulaire la vitesse angulaire satellite est environ 15 fois

celle de la Terre. Donc le satellite se dplace rapidement et en continu vers l'Est, de plus il

oscille en latitude entre +i et -i. La combinaison des deux mouvements va donner la trace,la forme approximative d'une sinusode.

La trace a donc l'allure ci-dessous, pour un satellite inject L0=20, 0=45, 0=45,

sur une orbite circulaire type navette US 280 km du sol terrestre. L'inclinaison orbitale est

i = 60, la priode T= 1 h 30 mn 7 s.

On remarque alors trs simplement que la trace de l' orbite i+1 se dduit de celle de

l'orbite i par une translation vers l'Ouest de L donne par :

aa

86164

4T

86164

2TL

2

s

2

ss ===

3-3- Notion de phasage en kplrien -

En pratique certaines applications, notamment en surveillance militaire ou en imagerie

spatiale, ncessitent que la trace se referme au bout d'un certain temps, de manire

survoler nouveau le mm lieu gographique de la Terre.

Cette proprit s'appelle PHASAGE DE L'ORBITE. Le temps sparant 2 survols

conscutifs d'un mme lieu s'appelle PERIODE DE REPETITIVITE TR.


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En hypothse kplrienne, TRest un nombre entier n de priode satellite TSet nLest

congru 0(2). Si TTdsigne la priode sidrale de la Terre, le phasage se traduit par :

TT

ssTL kT2

knTk2Tnn ====

Qn

k

T

TNnk

T

s = ,KEPLERIENPHASAGE

3-3- Phasage non kplrien -

En prsence de perturbations, ce qui est le cas rel, les paramtres orbitaux ont des

drives sculaires. En particulier et i varient, entranant un mouvement Est-Ouest etNord-Sud du plan orbital. La notion de phasage devient plus difficile. On convient de la

dfinir l'quateur au nud ascendant.

TN dsignera la priode nodale, temps sparant 2 passages conscutifs au nud

ascendant. TNest trs lgrement diffrente de TS cause des perturbations.

Par rapport au cas kplrien o le plan orbital est fixe, ici le plan orbital drive autour

de l'axe nord-sud, une vitesse qui est la drive moyenne d. Tout se passe comme si on

changeait de vitesse angulaire T.

( ) NTTT TL = &&

( ) k2TnNk,n NT = &c

KEPLERIENNONPHASAGE

REMARQUE : Si on ne tient compte que de la perturbation due la non sphricit de la

Terre (perturbation due J2), et si on recherche l'hliosynchronisme, c'est dire un choix

de a et i de telle manire que la ligne des nuds drive exactement la vitesse angulaire

moyenne du soleil autour de la Terre, alors la quantit ci-dessous vaut 1 jour de 24 h.

( )

joursknTTNnk

jour1s864002

TS

NR

T

Phasage

==

==

=

,

/&

&

TR est la priode de rptitivit, un nombre entier de jours. C'est le cas de SPOT et

dHELIOS.


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4- VARIANTE POUR LE CALCUL DE LA TRACE -

Nous exploitons ici les rsultats de trigonomtrie sphrique, qui vont permettred'apprhender un peu mieux le calcul des points survols par un satellite.

L'application des relations de trigonomtrie sphrique dans le triangle rectangle S''NS'

(~ABC), donne :

b

Bac

bCB

Cac

cos

cossinsin

cossincos

sinsinsin=

=

=

Moyennant les correspondances angulaires ci-dessous, on obtient :

( )

ss

iL

Lcb

aiB

cos

cossinsin

+

=

==

+==


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Il est clair que l'inversion qui conduit L ne pose pas de problme si +est entre -

90 et +90, mais peut poser problme dans le cas contraire. Il faut alors remarquer que le

dessin doit tre regard depuis le nud descendant. Le lecteur vrifiera alors l'affirmationsuivante :

( )( )

( )( )

( )

( )[ ]

+=

+=

+

+

=

sinsinsin

coscos

cossinsin

coscos

cossinsin

iArc

LtLL

0i

Arc180

0i

Arc

L

s

gs

s

s


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Chapitre 8-

CHANGEMENT DORBITES -

1- GENERALITES -

Ce chapitre est destin l'tude gnrale des manuvres en orbite, soit :

IMPORTANTES, DEMANDANT UN INCREMENT DE VITESSE ELEVE :

- Manuvre d'apoge pour passer d'une orbite GTO une orbite gostationnaire.- Correction d'inclinaison orbitale.- Changement de programme d'une sonde spatiale, par exemple droutement vers

une comte nouvelle.

- Manuvre de dorbitation pour un retour sur Terre, partir d'une station orbitale.- Injection sur une orbite d'vasion hyperbolique prparant un voyage

interplantaire.

IMPULSIONNELLES, DE MAINTENANCE D'UN SATELLITE EN ORBITE

- Corrections minimes de paramtres orbitaux.- Recalage de temps orbital.- Ajustement d'une heure d'arrive sur une plante.

La ralit physique d'une manuvre impose une certaine dure et donc un dplacement

pendant la manuvre. Sans approximation, il est impossible " la main" de calculer les

dtails de l'opration. L'exprience montre, qu'avec une excellente approximation, on peutconsidrer que les positions en dbut et en fin de manuvre, peuvent tre considres

comme identiques.

1221 VVVrrrrrrr

=

On conviendra que le satellite repasse toujours par le point de la manuvre.

1-1- Donnes -


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Afin de bien poser le problme, il faut fixer le cadre de l'tude.

- L'orbite initiale C1, est connue par ses paramtres orbitaux a1, e1, i1, 1, 1, tP1.- L'orbite aprs correction C2, est connue par ses paramtres orbitaux a2, e2, i2, 2,

2, tP2.

- La position de la manuvre est choisie, aprs tude prcise.1-2- Figure de manuvre

1-3- Calcul des lments de la manuvre


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La connaissance des paramtres orbitaux et de la position commune aux deux ellipses

permet le calcul des vecteurs vitesses 1V et 2V , par les relations ci-aprs, adaptes

naturellement chaque orbite C1 ou C2

rr= a cos e( )

rP+ a 1 e

2sin

rQ= a cos e( )

rP+ 1 e

2sin

rQ

+=

+= Qe1P

r

aQe1aPaV 22

rr&

rrr

cossincossin

Les composantes des vecteurs P et Q tant accessibles, par des relations dj vues.

=

i

ii

P

sinsin

coscossinsincos cossinsincoscos

r

+ =

i

ii

Q

sincos

coscoscossinsin cossincoscossin

r

==

i

i

i

QPW

cos

sincos

sinsinrrr

On obtient alors les composantes des vecteurs 1V et 2V dans le repre inertiel.

Le calcul s'achve alors par celui de l'incrment de vitesse V ncessaire, caractris

par sa norme, qui en pratique doit tre la plus petite possible et une direction, celle que la

pousse du moteur devra adopter dans l'espace.

Le schma ci-dessous donne V.

CAS PARTICULIER COURANT : Pour des trajectoires coplanaires, les calculs ne

ncessitent pas le passage par les composantes inertielles.

La norme d'une vitesse se calcule par l'nergie


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a2rV

2

1

rV

2

1E

0

20

2 ===

On obtient ainsi V1et V2au point commun. La pente apparat dans la loi des aires :

( )2ppaa0p0

2

e1arVrVK

rVVrrK

===

===

coscos&

Suivant les cas, vaut : 12 =

Le calcul s'achve alors classiquement en rsolvant le triangle des vitesses, ce qui

fournit la norme de l'incrment V de vitesse et ventuellement l'orientation de l'axe de lapousse.

cos212

22

1 VV2VVV +=

2- EXEMPLES DE MANUVRES -

Nous ne pouvons passer en revue toutes les manuvres, mais en indiquons de

classiques.

2-1- Transfert de HOHMANN -

Le problme se pose souvent, soit pour des orbites terrestres, soit pour des trajectoires

hliocentriques : Comment transfrer un engin initialement sur orbite circulaire basse

(haute) sur une orbite circulaire haute(basse) coplanaire la prcdente ?

HOHMANN a rpondu la question, en indiquant que la manuvre la plus conomique :

- Utilisait une orbite de transfert dite de HOHMANN, bitangente aux deux orbitesde dpart et d'arrive.

- Ncessitait deux incrments de vitesse V1 et V2, dlivrer au prige et l'apoge de ce transfert.


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La figure suivante illustre la procdure, qui ncessite deux moteurs et deux allumages.

C'est ce qui fait la diffrence entre un vol Ariane, o la manuvre de prige disparat,

ralise dans la phase propulse par l'tage 3, et une mise en orbite par la navette

amricaine, avec une orbite d'attente circulaire basse qui demande la double motorisation.

NB : Ce type de transfert est encore couramment utilis lors de tirs interplantaires, o

l'orbite de dpart est celle de la Terre, et celle d'arrive sensiblement l'orbite quasi

circulaire dcrite par la plante cible.

2-2- Correction dapoge (prige) -

Un tir prsente toujours des dispersions et des ajustements minimes d'orbite sont

ncessaires. Nous nous plaons dans cette hypothse d'une manuvre quasi impulsionnelle

de faible incrment V. On ne souhaite pas modifier la position du prige, donc la


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manuvre a lieu en ce point. Comme a = rp+ ra , et rp constant, nous avons ra = 2a,

l'quation de l'nergie fournit :

pp

2

a2 V

Va4r

a2rV

2

1E ===

On notera qu'une manuvre du mme type ralise l'apoge, permet de rectifier le

prige moyennant la relation :

aa

2

p VVa4

r =

On peut galement vrifier que pour une mme modification de a ou d'une altitude

apoge ou prige, le cot est minimal avec une manuvre au prige.

2-3- Correction du phasage -

L encore on supposera que l'erreur de date (cart de phasage), est petite, nous

permettant de travailler en calcul diffrentiel. L'ide est d'utiliser une orbite de drive

voisine de l'orbite initiale, parcourue n fois (n choisir en fonction de critres

conomiques), telle que les n dcalages de priode compensent l'cart t initial.


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La correction totale demande un retour l'orbite initiale, donc avec deux incrments de

vitesse opposs, ainsi on obtient le cot total en s'appuyant sur des diffrentielles de

relations simples comme :

a2rV

2

1Ecste

a

T 23

2 ===

n

t

aTV3

2V2V

pp

==

Ce type de correction coupl est classique pour ramener un gostationnaire dans sa

fentre de positionnement, puisqu'un dcalage en longitude quivaut un dcalage horaire.

2-4- Correction dinclinaison -

C'est certainement la correction qui donne le plus de soucis, dans la maintenance d'un

satellite. La lune et le soleil, en particulier, provoquent une drive nord-sud du plan orbital,

avec variation annuelle de l'ordre de 1/an. Corriger l'inclinaison est quivalent faire

tourner un vecteur vitesse, en pratique sans variation de norme.

REMARQUE : On comprend alors facilement que, pour un satellite en orbite basse

terrestre, o la vitesse avoisine 8 km/s, une correction de 1 cote environ 140 m/s.


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Pire dans les trajectoires hliocentriques, on peut avoir des vitesse de 20 30 km/s

sinon plus. Ainsi pour V=30 km/s une correction d'inclinaison orbitale coterait 523 m/s.

Supposons donc que l'on veuille uniquement corriger l'inclinaison orbitale sans

changement des autres paramtres orbitaux.

- La correction doit obligatoirement tre ralise un des nuds de l'orbite.- Le vecteur vitesse doit tourner, sans changer de norme afin de ne pas altrer le

demi grand axe. Il faut donc choisir le nud le plus lev en altitude ce qui

minimise la vitesse et garde l'nergie spcifique E constante.

- Autre consquence de la rotation, qui ne peut se faire qu'en conservantl'excentricit, la constante des aires K doit rester invariante :

2

2EK21e

+=

Donc la vitesse orthoradiale se conserve. Elle vaut Vcos, et elle doit tourner de i.

- La correction ncessite donc:

( ) 2i

r

e1a22

i

r

K22

iVV

2 =

=

= sinsinsincos

2-5- Rorientation du grand axe -

Ce cas correspond une correction de argument nodal du prige, sans modification

des autres paramtres orbitaux.

On souhaite faire pivoter le grand axe d'une orbite C1, d'un angle orient , pour

l'amener dans une configuration 2, et ceci sans modification de la forme de l'ellipse.

S est le point commun aux deux orbites, donc le point de manuvre. La gomtrie

impose que la droite OS est axe de symtrie des deux C1et C2:

- Le demi-grand axe tant inchang, E est inchange et donc la norme V de lavitesse est la mme.


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- L'excentricit demeurant inchange, la constante des aires reste la mme. Donc lavitesse orthoradiale Vcos est inchange. Force est donc de conclure que la

vitesse radiale est algbriquement la mme et que seule la pente est inverse.

- Ainsi nous obtenons ci-dessous la position angulaire du point de manuvre Ssur l'orbite C1et la valeur V de la manuvre en fonction de .

+=

=

+=

==

2

2p

e2V

2

p

e2V2V

sinsinsin


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Chapitre 9-

ETUDE DE L'ORBITE GEOSTATIONNAIRE

Cette partie concerne une application trs importante, celle des satellites

gostationnaires avec :

- La caractrisation de l'orbite dite gostationnaire et son intrt.- Le lancement GTO.- Quelques lments de la mise poste.- Les perturbations qui affectent le satellite.- Le principe de la maintenance poste.

1- ORBITE GEOSTATIONNAIRE -

Les tlcommunications ont envahi notre monde moderne, et la ncessit de disposer de

satellites fixes par rapport la Terre, s'est rapidement impose. En effet, un tel satellite jouele rle de relais de transmission ou d'un il pour la surveillance globale de la Terre. Nous

allons vrifier que ce type d'application est possible.

1-1- Orbite gosynchrone -

On appelle ainsi une orbite de priode identique celle de la Terre, soit T=23 h 56 mn

4.1 s = 86164.1 s. En hypothse kplrienne, le demi-grand axe est donn par :

T2

a3= 4

2

ag= T

2

42

1

3 = 42164,16km

Une telle orbite possde la proprit de survoler un mme lieu gographique, chaque

priode, puisque la Terre et le satellite auront tous les deux effectu un tour complet et

retrouv la mme position par rapport aux toiles, mais avec l'inconvnient de ne pas rester

la verticale d'aucun point de la Terre.

1-2- Orbite gostationnaire kplrienne -


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Si on impose en plus ce satellite de rester fixe par rapport un point de la Terre, alors

:

- Ce point ne peut tre que sur l'quateur, sinon le satellite serait la fois au nord etau sud de l'quateur.

- L'orbite est ncessairement quatoriale.- L'orbite est obligatoirement circulaire pour viter une oscillation Est-Ouest.

Il n'existe donc qu'une seule orbite satisfaisant ces critres :

Orbite circulaire quatoriale de rayon Rg= 42164.16 km en kplerien.

REMARQUE : Classiquement, on rencontrera dans la littrature, qu'un tel satellite gravite

36000 km du sol. C'est en ralit la valeur arrondie correspond une altitude relle

kplrienne de 35786.16 km.

1-3- Orbite gostationnaire relle -

Nous savons que la Terre est en premire approximation assimilable un ellipsode. Le

renflement quatorial terrestre cre donc un supplment d'attraction qui acclre la vitesse.

Pour que le satellite retrouve la bonne vitesse angulaire ou linaire, donnant la priode

sidrale, il faut le placer un peu plus haut. Le calcul, que vous trouverez dans les exercices,donne une ALTITUDE GEOSTATIONNAIRE VRAIE DE 42164.68 KM, en ne prenant

pas en compte les autres perturbations.

1-4- Intrt de l'orbite gostationnaire relle -

On comprend aisment que trois satellites disposs 120 sur l'orbite gostationnaire,

permettent "de voir" quasiment toute la Terre, part une petite zone polaire situe aux

extrmes.

En utilisant deux satellites on peut communiquer d'un point quelconque de la Terre un

autre sans problme.

Seules les latitudes au-dessus de 81 environ ne sont pas accessibles.

2- POINT DE STATIONNEMENT -


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Un satellite en orbite gostationnaire est caractris par sa LONGITUDE DESTATIONNEMENT= LS. Cette donne est capitale pour la rception des missions par

une antenne satellite, car elle conditionne l'orientation en azimut et en dclinaison locale del'axe de l'antenne.

La longitude de stationnement est surveille 0.1 prs.

Exemples pour les satellites europens : Actuellement en 1998, les principaux satellites

utiliss en France sont :

- ASTRA 19.2 EST- EUTELSAT II-F3 16 EST- EUTELSAT II-F1 et HOT BIRD 1 -> 3 13 EST- TELECOM 2B/2D 5 OUEST- TELECOM 2A 8 OUEST

2-1- Calcul de l'orientation de l'antenne -

La rception correcte d'une mission satellite consiste orienter l'axe de la parabole de

rception vers le satellite. Ce qui demande la connaissance de :

- La longitude de stationnement LS.- Les coordonnes gographiques longitude L et latitude du lieu de rception.

On peut alors calculer par des considrations gomtriques simples, dans le repre

gographique local : l'azimut gographique Azmesur positivement vers l'Est et l'lvation

El, qui est l'inclinaison sur le plan horizontal local de l'axe de l'antenne.

2-2- A propos de l'antenne -

Peut tre avez-vous oubli la proprit gomtrique d'un miroir parabolique : celle de

rflchir tous les rayons lumineux, parallles l'axe de la parabole, vers un point

remarquable qu'on appelle le foyer. Cette proprit est utilise dans les tlescopes pour

concentrer soit des rayons lumineux, soit des ondes de nature diverse.


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- On peut viter une mise en orbite d'attente quasi circulaire et injecter la chargeutile directement en orbite GTO (GEOSTATIONARY TRANSFER ORBIT)

- Cette procdure qui consiste "grimper" jusqu'au niveau gostationnaire, prsentel'avantage de n'utiliser qu'un seul moteur pour une correction d'apoge, alors

qu'un parking intermdiaire demande deux incrments de vitesse et donc deux

allumages de moteurs diffrents, car ces incrments ne sont pas ngligeables.

REMARQUES : Un tir effectu par le Lanceur Ariane, qui effectue une injection directe

sur l'orbite GTO, ne demandera au satellite qu'un seul moteur d'apoge. Par contre, la

navette amricaine ralise une mise en orbite de "parking" vers 280 km du sol, et impose

donc la charge utile ainsi satellise d'tre pourvue de 2 moteurs :

- Un moteur d'apoge qui placera le satellite sur l'orbite GTO.- Un moteur d'apoge qui ralisera les mises en orbite de drive et la mise poste

dfinitive.

La manuvre est donc plus dlicate et moins sre, puisque demandant un allumage

moteur supplmentaire.

3-2- ORBITE GTO -

Dtaillons ces calculs lmentaires, donnant des ordres de grandeur, reposant sur un

transfert de type HOHMANN, entre une injection au prige bas, vers 200 km du sol et une

position haute, vers 42164 km du centre de la Terre.

Le lancement consiste, grce une phase propulse, utilisant en pratique trois tages

d'un lanceur, injecter au prige P d'une orbite GTO une masse qui comprend : Le moteur

du dernier tage (en rose) accompagn d'un moteur inutilis (en noir) et de la charge utile

proprement dite (le point rouge).

Cet ensemble est satellis une vitesse Vpque l'on calcule sur l'orbite GTO :

1p

p

T2p

22T

skm23910Vkm6578r

rV

2

1skm177788

a2E

km48742200637842164a2

==

===

=++=

.,

..


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Si l'on se souvient que la premire vitesse cosmique pour rester en circulaire est de

7.784 km/s 200 km du sol, on ralise que la vitesse Vp=10.240 km/s est un exploit, ce qui

explique que l'on ait attendu avant de lancer des gostationnaires.

Nous sommes maintenant sur l'orbite GTO, pour laquelle le lecteur se convaincra, en

calculant la priode qu'on parvient l'apoge aprs 5 h 15 mn 32 s de vol. Cette phase de

monte a permis d'affiner les paramtres de l'orbite GTO, de dfinir l'orientation prcise de

la pousse d'apoge, d'orienter le moteur d'apoge aprs s'tre dbarrass du troisime tage

lanceur. Celui-ci va rester sur l'orbite GTO un certain temps, pendant lequel la trane au

prige usera l'orbite, le satellite spiralant sur une trajectoire de moins en moins

excentrique, jusqu' ce que, le prige descendant, une rentre atmosphrique se produise.

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