TTerm STI2DSTL
Agns Excellent-Savart
Mathieu Hibou
Ccile Redon
ric Sorosina
Jean-Franois Libaut
Frdric Xerri
L i v r e d u p r o f e s s e u r
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Ralisation : Lasergraphie
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HACHETTE LIVRE 2012, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15ISBN : 978-2-01-182120-1
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En complment
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S o m m a i r e
Suites1 5Limites2 20Drives et primitives3 34Fonctions logarithmes4 49Fonction exponentielle5 68Intgration6 84quations diffrentielles7 100Nombres complexes8 116Exemples de lois densit9 135Prise de dcision et estimation10 145Statistiques deux variables11 154Mmento 164
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5Chapi t re 1 : Su i tes
111111 SuitesAc t iv i ts
A c t i v i t 1 Des cureuils
Dans cette activit, on modlise lvolution de deux populations dcureuils en sintressant au nombre A
n dindividus adultes par kilomtre carr. Ces deux populations cohabitent actuellement en Europe. Les
cureuils gris dAmrique ont t introduits au dbut de XXe sicle en Angleterre. Plus gros et plus forts que les cureuils roux dEurasie, ils rsistent mieux certaines maladies quils colportent. Aujourdhui, lcureuil gris dAmrique devient invasif, en particulier en Angleterre et en Italie, o la population dcureuils roux diminue de faon inquitante.Ce contexte est loccasion dtudier des suites dont le comportement linfini change en fonction dun paramtre, ici le taux de survie annuel des adultes. On sappuie sur des tableaux de valeurs et des repr-sentations graphiques obtenues sur un tableur. On peut ainsi introduire lide de limite infinie (on peut trouver un seuil au-del duquel les termes de la suite sont suprieurs 10k, k entier naturel tant donn) ou finie (on peut trouver un seuil au-del duquel lcart entre les termes de la suite et la limite est inf-rieur 10 k, k entier naturel tant donn).A
1 ch1_act1.ods, feuille ProfesseurA .
2 a) Quand n devient grand, la suite (A
n) semble prendre des valeurs de plus en plus grandes.
b) On a n0 = 179 et n1 = 240.c) On retrouve bien cette observation : il semble que le nombre dcureuils gris dAmrique ne cesse daugmenter danne en anne suivant le modle choisi (ce qui correspond la ralit observe, en par-ticulier en Angleterre et en Italie).B
1 ch1_act1.ods, feuille ProfesseurB .
a) Lorsque n devient grand, la suite (An) semble prendre des valeurs de plus en plus petites (proches de 0).
b) On a n0 = 337 et n1 = 522.c) Il semble que la suite (A
n) tende vers 0 lorsque n tend vers linfini.
d) La modification du taux s de survie a modifi le comportement de la suite. La population des cureuils roux dEurasie semble diminuer et tendre vers lextinction.2
a) Par ttonnements , en testant des valeurs de s entre 0,29 et 0,33, et en regardant les modifications du graphique, on trouve quen prenant s environ gal 0,311, les valeurs de la suite (A
n) semblent se
stabiliser une valeur environ gale 66,9035 (arrondie 104 prs).b) La valeur arrondie 104 prs de 113
1 689, est 66,9035, donc le rsultat admis est cohrent avec la simu-
lation sur tableur.
C H A P I T R E
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6 Chapi t re 1 : Su i tes
Pour dterminer le plus petit entier n tel que A ln2
10 4 , on peut ajouter une colonne dans la feuille de calcul dans laquelle on calcule cet cart (voir fichier). On obtient : n2 = 35.
A c t i v i t 2 Un puits de sciences
Dans la premire question, on ractive les connaissances de premire sur les suites gomtriques. laide dune reprsentation graphique, on illustre la notion de somme des termes dune suite. On utilise alors une mthode gomtrique, dont on peut imaginer assez simplement la gnralisation, pour calculer la somme des premiers termes dune suite gomtrique.1
a) u1 = 1, u24
5= , u
3
16
25= .
b) Pour tout entier n 1, u un n+
=1
4
5. La suite (u
n) est la suite gomtrique de premier terme u1 = 1 et
de raison q = =45
0 8, .
c) On dduit de la question prcdente que, pour tout entier n 1, u u qn
n n= =
11 10 8, .
A0
A1
A2
A3
2 La reprsentation ci-contre nest pas lchelle demande dans lactivit.
3 On lit P3
2,5.On calcule : P
42 31 0 8 0 8 0 8 2 952= + + + =, , , ,
4 Daprs lexpression crite au 1
c), on a bien Pn
n= + + + + 1 0 8 0 8 0 82 1, , ..... , .
5 a) La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande dans lactivit.
A B6 B5 B4 B3 B2 B1
b) On a : B B2 1
1 0 8 0 2= =, , , puis B B3 2
20 8 0 8 0 8 1 0 8 0 8 0 2= = = , , , ( , ) , , ,
de mme B B4 3
2 3 2 20 8 0 8 0 8 1 0 8 0 8 0 2= = = , , , ( , ) , , ,
B B5 4
3 4 3 30 8 0 8 0 8 1 0 8 0 8 0 2= = = , , , ( , ) , , etB B6 5
4 5 4 40 8 0 8 0 8 1 0 8 0 8 0 2= = = , , , ( , ) , , .
c) On a dune part : B B AB AB6 1 1 6
51 0 8= = , ,
et dautre part : B B B B B B B B B B B B6 1 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1
= + + + + .
Daprs le b), on a alors : B B6 1
4 3 20 8 0 2 0 8 0 2 0 8 0 2 0 8 0 2 0 2= + + + +, , , , , , , , ,
== + + + +0 2 1 0 8 0 8 0 8 0 82 3 4, ( , , , , ).Do le rsultat demand.
T ravaux P rat iques
T P 1 Plus il y a de gruyre
Ce TP est loccasion de rencontrer un exemple de fractale, et de voir une mthode de construction dune figure partir dun algorithme. laide de suites gomtriques, on vrifie que la suite des aires des figures ainsi construites tend vers zro et celle des primtres tend vers linfini.Pour des lves ayant quelques difficults, on pourra ne pas traiter la question 3 , dmonstration du fait que la suite des aires est gomtrique, et admettre le rsultat conjectur la question 2 .
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7Chapi t re 1 : Su i tes
1 La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande dans le TP.
2 a) On a : A
081= , A
181 9 72= = , A
272 8 1 64= = et A
364 8 8
1
9
512
9= = .
b) A
A1
0
72
81
8
9= = ,
A
A2
1
64
72
8
9= = et
A
A3
2
512
964
8
9= = . On peut conjecturer que la suite (A
n) est une suite
gomtrique de raison q = 89
.
3 a) On a : a1 = 9, a2 = 1 et a3
1
9= .
b) Pour passer de Fn F
n + 1 on supprime des carrs dont le ct est le tiers de ceux supprims ltape
prcdente, donc a an n+
=1
1
9.
b) On retire M carrs daire a an n+
=1
1
9 une figure daire A M a
n n= . On obtient donc une figure
daire A M a M a M an n n n+
= = 1
1
9
8
9.
c) On dduit de la relation prcdente que A M a An n n+
= =1
8
9
8
9. La suite (A
n) est donc bien une suite
gomtrique de raison q = 89
, comme cela avait t conjectur la question 2
b).
4 a) La suite (A
n) est une suite gomtrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1, donc elle
converge vers 0.b) On a, pour tout entier n, A
n
n
=
81
8
9. Soit en utilisant un tableau de valeurs des termes de la suite,
soit par ttonnements et encadrements successifs, soit en utilisant un algorithme, on obtient n0 = 77.5
a) On p0
9 4 36= = , p1
36 3 4 48= + = ; p2
48 8 1 56= + = ;
p3
56 8 8 41
3
424
3= + = .
b) On a bien les mmes rsultats pour les quatre premiers primtres en utilisant la formule indique.
c) On a : 1 83
8
3
8
3
18
3
1
2 1
+ +
+ +
=
...n
n
=
8
3
3
5
8
31
n
, donc
pn
n n
=
+ =
12
3
5
8
31 36
36
5
8
31
+ =
+
5
36
5
36
5
8
34
n
.
d) Daprs 4
b), la premire figure dont laire est infrieure 1 mm2 est la figure F77, elle a pour pri-mtre : P77 4 54 10
33, cm (arrondi 1031 prs).
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8 Chapi t re 1 : Su i tes
e) Daprs les rsultats sur la limite dune suite gomtrique, le rel 83
tant strictement suprieur 1, on
a : limn
n
+
= +
8
3. On en conclut que : lim
n np
+ = + .
Puisque la suite (pn) tend vers + , quelque soit le nombre P choisi, il existe un rang au-del duquel tous
les termes de la suite sont suprieurs P. Donc il existe un rang au-del duquel tous les termes de la suite (p
n) sont suprieurs 500. laide dun algorithme, ou dun tableau de valeurs ou dencadrements
successifs, on trouve n1 = 5.6
Laire de la figure Fn tend vers 0 alors que son primtre tend vers + .
T P 2 Achille et la tortue
Dans ce TP, on travaille sur un paradoxe clbre, le paradoxe de Znon. On traite ce problme par deux modlisations : continue (question 2) et discrte (question 3). On illustre ici lide que la somme dune infinit de nombres rels strictement positifs peut tre finie. 1
Intuitivement, il est clair quAchille va rattraper la tortue, abstraction faite de la taille dAchille et de la tortue. Le raisonnement de Znon est imag, mais il faudrait le faire en utilisant des points mathmatiques se dplaant sur une demi-droite. 2
a) La distance parcourue vitesse constante est donne par d = vt, soit ici pour la tortue, la distance parcourue, exprime en mtres, en t secondes est 0,1t. Aprs t secondes, la distance entre la ligne de dpart dAchille et la position de la tortue est 100 + 0,1t.b) En t secondes, Achille parcourt la distance de 10t puisquil court la vitesse de 10 m.s 1.c) Achille rejoint la tortue linstant t, solution de lquation 100 + 0,1t = 10t, soit t = 100
9 910 10
,, secondes
0,01 prs.3
a) et b) Achille se dplace 100 fois plus vite que la tortue, donc met 0,1 s pour aller de M1 M2. La tortue met donc 0,1 s pour aller de M2 M3. Achille met alors 0,001 s pour aller de M2 M3, donc la tortue met ce mme temps pour aller de M3 M4. On a donc t2 = 0,1 et t3 = 0,001.c) Pour tout entier n 1, t
n est le temps mis par Achille pour aller de M
n1 Mn. Pendant ce temps, la tortue va de M
n M
n + 1. Comme Achille avance 100 fois plus vite que la tortue, il mettra un temps tn
100
secondes pour aller de Mn M
n + 1 ; on a donc tt
nn
+=
1 100.
d) La suite (tn) est donc la suite gomtrique de premier terme t1 = 10 et de raison q =
1
100.
e) t q q q q qi
i
nn n
=
= + + + + = + + +1
2 110 10 10 10 10 1... ... ( ) =
=
1 101
1
1000
991
1
100
q
q
n n
.
f) Le nombre q est strictement compris entre 0 et 1, donc limn
n
+
=
1
1000 .
On en dduit la limite demande.g) Sil faut un nombre infini dtapes Achille pour rejoindre la tortue, il ne lui faut pas un temps infini puisque la limite de la somme des temps est 1000
99. On obtient bien le mme rsultat quavec la modli-
sation continue de la question 2.
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9Chapi t re 1 : Su i tes
2. a) ch1_ex8a.alg. On trouve N0 = 32.b) ch1_ex8b.alg. On trouve N1 = 1683.3. Au vu des questions prcdentes, il semble que la suite (u
n) tende vers + en prenant, pour un
mme rang, des valeurs beaucoup plus grandes que celles prises par les termes de la suite (v
n). On
voit la question 2 que, si on admet que les deux suites sont croissantes, le seuil au-del duquel les termes de la suite (u
n) sont suprieurs 1010 est
beaucoup plus petit que le seuil correspondant pour la suite (v
n).
9 1. ch1_ex9.ods. On peut faire la conjec-ture que la suite tend vers + .2. a) ch1_ex9.alg. On trouve N0 = 2549.b) En remplaant le seuil demand dans lalgo-rithme, on obtient N1 = 250481.Remarque : on a ici, avec les exercices 8 et 9, des exemples de suites qui tendent vers linfini de faons trs diffrentes.10 1.
x 0 100 200 300 400 500f (x) 5 9 999 39 999 89 999 159 999 249 999
x 600 700 800 900 1 000f (x) 359 999 489 999 639 999 809 999 999 999
Pour tout entier naturel n, on a vn = f (n). partir
de ce tableau de valeurs, on peut faire la conjec-ture que la suite (v
n) tend vers + .
2. Daprs le tableau prcdent, il semble que N soit compris entre 300 et 400. On obtient succes-sivement que N est compris entre 310 et 320, puis que N = 317. Remarque : pour justifier quon a bien ici le plus petit entier n tel que v
n soit suprieur 105, il
faut justifier que la fonction f est croissante sur [0 ; + [, ce qui assure que, pour n infrieur 317, f (n), donc v
n est infrieur 105.
12 1. Il semble que la suite (un) tende vers + .
2. ch1_ex12.alg et ch1_ex7_8_11_12_13.pdf. On obtient N = 1002. 3. a) Pour tout x de [ ; [0 + , on a :
f xx x
x9( )
( )=
+
+
2
2
4 1
2.
Exerc ices
2 a) u4
2= ; u5
1= ; u6
2
3= .
b) u0
1= ; u1
2
2= ; u
20= .
c) u1
1= ; u2
3= ; u3
19= .
4 a) Pour tout x de [ ; [1 + , f xx
9( )( )
=
2
2 1 2,
donc f x ( ) 0. La fonction f est donc stricte-ment dcroissante sur [ ; [1 + .b) Le graphique ci-dessous nest pas lchelle demande dans le texte de lexercice.
u2
u1
u3u4
u50
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
6 N = 49.8 1. a) Les deux suites semblent tendre vers
+ . On peut galement observer que les valeurs prises par la suite (u
n) semblent beaucoup plus
grandes que celles prises par la suite (vn) ds que
n dpasse 10.b) Sur ce graphique, les croix reprsentent les termes demands pour la suite (v
n), les carrs les
termes demands pour la suite (un). Pour cette der-
nire, les points pour n 15 sont hors cran .Remarque : on a utilis ici les graphiques statis-tiques. Aprs avoir entr les dfinitions des suites, on passe en mode dition de liste statistique, on entre dans L1 les entiers de 0 40 avec un pas de 5, en mettant le curseur sur L2, on entre L2 = u(L1) et en mettant le curseur sur L3 on entre L3 = v(L1), puis on utilise les graphiques statistiques pour afficher les deux nuages de points.
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10 Chapi t re 1 : Su i tes
Le dnominateur tant un carr, f x9( ) est du signe de son numrateur, polynme de degr 2 qui sannule en 2 5 et +2 5 . Pour tout x de [ ; [ + + 2 5 , f x9( ) est strictement positif. La fonction f est donc strictement dcrois-sante sur [ ; [0 2 5 + et strictement croissante sur [ ; [ + + 2 5 donc sur [ ; [1 + . b) La fonction f tant strictement croissante sur [ ; [1 + , pour tout entier n 1002, f (n) f (1002). Or f (1002) 103, on en dduit donc que u
n 103. N = 1002 est un seuil au-del
duquel tous les termes de la suite sont suprieurs 103.
13 1. Il semble que la suite (un) tende vers .
2. ch1_ex13.alg et ch1_ex7_8_11_12_13.pdf. On obtient N = 216. 3. a) Pour tout x de [ ; [0 + , on a f x x9( ) = 3 12 . Pour tout x de [ ; [0 + ,f x9( )
est strictement ngatif. La fonction f est donc strictement dcroissante sur [ ; [0 + .b) La fonction f tant strictement dcrois-sante sur [ ; [0 + , pour tout entier n 216, f (n) < f (216). Or f (216) 107, on en dduit donc que u
n 107. N = 216 est un seuil au-del
duquel tous les termes de la suite sont infrieurs 107.
15 1. On peut conjecturer que la suite (un) a pour
limite + .2. Linquation n 7 103 quivaut :n 7 106 , soit n 10 76 + . Do N3 = 1 000 007.3. a) Linquation n p 7 10 quivaut n p 7 102 , do Np = 10
2p + 7.
b) On a montr que, pour tout entier naturel p, il existe un rang Np partir duquel tous les termes de la suite sont suprieurs 10p. On a donc mon-tr que lim
n nu
+ = + .
16 1. On peut conjecturer que la suite (un) a pour
limite + .2. a) Pour tout x de [ ; [0 + , on a f x x x9( ) = 3 42 , polynme de degr 2 qui sannule en 0 et 4
3. Pour tout x de 0 4
3;
, f 9(x)
est ngatif, donc f est dcroissante sur cet inter-valle ; pour tout x de 4
3; +
, f x'( ) est stricte-
ment positif, donc f est strictement croissante sur cet intervalle.
b) On a f (2) = 0 et f strictement croissante sur [ ; [2 + , donc, pour tout x de [ ; [2 + , f (x) est suprieur f (2), donc est positif.3. a) Daprs la question prcdente, pour tout entier n 2, f (n) 0, soit n3 2n2 0, soit encore n3 n2 n2.b) Comme lim
nn
+ = + 2 , daprs la dfinition,
cela signifie que pour tout entier naturel p, il existe un rang Np partir duquel tous les n
2 sont
suprieurs 10p. Donc, pour tout entier n Np, u
n n2 10p. Donc, au-del du rang Np, tous les
termes de la suite (un) sont suprieurs 10p.
c) On a donc dmontr la question prcdente le rsultat conjectur, savoir que la suite (u
n) a
pour limite + .
18 On lit N = 32. On a : u32
0 1 0 05+ , , . + .
xp = 4 10p + 3.
d) lim ( )x
f x +
= 5 .
10 a) lim ( )xx
f x
= 22
; lim ( )xx
f x >
= + 22
;
lim ( )xx
f x
= 11
.
b) La courbe reprsentative de la fonction g admet la droite dquation x = 4 pour asymptote.
11 a) lim ( )x
f x
= 0 ; lim ( )x
f x +
= 0 ;
lim ( )xx
f x
= + 22
.
b) Les droites dquation x = 1 et x = 3 sont asymptotes la courbe reprsentative de g ; la droite dquation y = 4 est asymptote la courbe reprsentative de g en + .
13 a) lim ( )x
f x
= 3 ; lim ( )x
f x +
= 5 ;
lim ( )xx
f x <
= + 33
; lim ( )xx
f x >
= 33
.
Les droites dquation y = 3 et y = 5 sont asymptotes la courbe reprsentative de f res-pectivement en et + . La droite dquation x = 3 est asymptote la courbe reprsentative de f.b)
y = 5
y = 3x = 3
20 15 10 5 00
5 10 15 20
15
10
-5
5
10
14 a) lim ( )x
f x
= 0 ; lim ( )xx
f x
= + 22
; lim ( )xx
f x
= 11
.
On la retrouve sur la reprsentation graphique de f :
3. a) Pour tout x 1,4
110 1 4 10
+ x
xk k .
Pour que f (x) 10k, on peut prendre x dans ]1 ; 1 + 4 10k [. Pour la question 2. b) on a : 1 + 4 10 3 = 1,004.b) lim ( )
xx
f x>
= 11
.
20 a) Cest h qui est reprsente.b) lim ( )
xh x
= 0 ; lim ( )
xh x
+ = + ;
lim ( )xx
h x >
= + 22
; lim ( )xx
h x
= 00
.
22 a) lim ( )x
f x
= ; lim ( )xx
f x
= + 00
; lim ( )xx
f x
= + 11
; lim ( )x
f x +
= 3.
Les droites dquation x = 0 et x = 1 sont asymp-totes la courbe reprsentative de f. La droite dquation y = 3 est asymptote la courbe reprsentative de f en + .
16 1. a)
b) Il semble que la courbe reprsentative de f admette plusieurs asymptotes verticales.2. a) x = kp, k Z. b) f est dfinie sur R\{kp, k Z}. Pour tout k Z, lim ( )x k
f x
= + pi
ou lim ( )x k
f x
= pi
suivant le signe de sin x donc la droite dquation x = kp est asymptote la courbe reprsentative de f.
17 1. f xx
9( )( )
=
3
5 2 0 donc f est stricte-
ment croissante sur ] ; 5[.2. a)
x 4,99 4,98 4,97 4,96 4,95f (x) 300 150 100 75 60
x 4,999 4,998 4,997 4,996 4,995f (x) 3 000 1 500 1 000 750 600
x 4,9999 4,9998 4,9997 4,9996 4,9995f (x) 30 000 15 000 10 000 7 500 6 000
Pour avoir f (x) 104, on peut prendre x dans ]4,9997 ; 5[.b) Il semble que lim ( )
xx
f x > x
xk k .
Pour que f (x) 10k, on peut prendre x dans ]5 3 10k ; 5 [. Pour la question 2. a), on a : 5 3 104 = 4,9997.b) lim ( )
xx
f x
+
= 1
21
2
1
2 2 1
et lim( )x x
c c +
+
=
1
2 2 1.
83 a) On a, pour tout x de R , H9(x) = h(x). On lit donc sur la courbe de H le coefficient directeur de la tangente pour obtenir la valeur de h. On obtient h(3) = 4, h(0) = 2 et h(1) = 0.
b)
9 3 4
2
0
a b c
c
a b c
+ =
=
+ + =
. On obtient a = 1, b = 1 et
c = 2, do h x x x( ) = + 2 2 .c) Les primitives de h sont les fonctions de la forme x
x xx c
3 2
3 22+ + . Par lecture graphique,
on a H(0) = 0,5, do H x x x x( ) = + +3 2
3 22
1
2.
5493_9782011821201_Prof.indd 45 25/06/12 12:37
46 Chapi t re 3 : Dr ives et p r imi t ives
on obtient D v=2
11 : la distance de freinage est
proportionnelle au carr de la vitesse.86 1. Pour t ] ; , [0 0 3 i t t c( ) = +10 et lim ( ) ( ) ,t
i t i
= =
00 1 5 , donc i t t( ) ,= 10 1 5 .
2. a) lim ( ) ,,,
tt
i t
+ = +0 30 3
10 3 .
c) c = 4,5 et pour t appartenant ]0,3 ; 0,6[, i(t) = 10t + 4,5.d) Les reprsentations ci-dessous ne sont pas lchelle demande.
00
0,3 0,6
10
5
5
10
00
0,3 0,6
2
1
1
2
87 La difficult de ce problme est de traiter le cas gnral, donc davoir une fonction de la variable r dpendant de deux constantes E et R. Lillustration par GeoGebra peut permettre aux lves de mieux comprendre les rles respectifs de la variable et des paramtres. On peut aussi traiter dabord le TP2, qui aborde le mme pro-blme dans un cas particulier, E et R ayant une valeur numrique.1. P E
r
r R=
+2
2( )2. ch3_pb87.ggbEn faisant varier E, on observe que les courbes semblent toutes avoir un sommet dont labscisse ne varie pas quand E varie, mais dont lordonne augmente lorsque E augmente. En faisant varier R, il semble que labscisse du sommet ait pour
annule f. On a vu que pour ce nombre on a : sin
0
3
3= .
f) On a alors h = =sin0
3
3 et
r = = cos sin 0
20
1 (en effet, sur 02
;pi
le
cosinus est positif), soit r = = =1 13
2
3
6
3.
Le volume du cylindre est alors :
V r h pi pi0
2 2 3
9( ) = = .
Le cylindre de volume maximum a pour dimen-sions h 0 58, m et r 0 82, m, pour un angle
00 62 , rad et un volume V 1 21, m3. Ces
rsultats sont conformes ceux conjecturs dans la partie A.
85 1. a) V t t c( ) ,= +5 5 , o c est une constante relle. Or, V c( ) ,0 13 9= = , donc V t t( ) , ,= +5 5 13 9.b) D t t t c( ) , ,= + +2 75 13 92 9, o c9 est une constante relle. D c( )0 0= =9 , donc D t t t( ) , ,= +2 75 13 92 .
c) On a V(t) = 0 pour t = 13 95 5
2 53,
,, .
d) On a D 13 95 5
193 21
1117 6
,
,
,,
= . Il faut environ
17,6 mtres pour sarrter lorsque lon exerce la dclration maximale sur un vhicule roulant 50 km.h1 (On peut, pour sensibiliser les lves, comparer la longueur de la salle de classe par exemple).2. a) V t t( ) , ,= +5 5 36 1.b) D t t t( ) , ,= +2 75 36 12
c) On a V(t) = 0 pour t = 36 15 5
6 56,
,, .
d) D36 1
5 5
1303 21
11118 5
,
,
,,
= . Il faut environ
118,5 mtres pour sarrter lorsque lon exerce la dclration maximale sur un vhicule roulant 130 km.h1.3. Si on fait le quotient des distances de freinage pour une vitesse de 130 km.h1 et pour une vitesse de 50 km.h1, le rapport est 6,75, alors que le rap-port des vitesses est 2,6. La distance de freinage nest donc pas proportionnelle la vitesse.On peut pousser le questionnement plus loin avec de bons lves en leur faisant faire le calcul de la distance de freinage en fonction de la vitesse v :
5493_9782011821201_Prof.indd 46 25/06/12 12:37
47Chapi t re 3 : Dr ives et p r imi t ives
b) g(0) = c = 1, g(1) = a + b + c = 2 et g9(1) = 2a + b = 0. On obtient un systme dont les solutions sont a = 1, b = 2 et c = 1. Do g(x) = x2 + 2x + 1.3. a) Les primitives de g sont les fonctions de la forme x x x x c + + +
32
3, o c est une
constante relle.b) La courbe de G passe par le point de coordon-nes (0 ; 1), donc G(0) = 1, do c = 1 et G x
xx x( ) = + +
32
31 .
90 1. a) f(0) = 1 car la courbe passe par B, f( 1) = 0 car la courbe passe par A et f 9(0) = 0 car la courbe a une tangente de coefficient directeur 0 au point B.b) lim ( )
xf x
+ = 0 car laxe des abscisses est
asymptote la courbe de f en + .c)
x 0 + f 9(x) 0 +
f+ 0
1 d) Lquation f(x) = 0 admet une unique solution dans R daprs le tableau de variation et cette solution est 1 daprs le a). Daprs le tableau de variation (ou par lecture graphique), f 9(x) est positif ou nul pour x appar-tenant [0 ; + ].e)
x 1 + f (x) + 0
2. La tangente la courbe reprsentative de F passe par le point dabscisse 0 de cette courbe et par lecture graphique ce point a pour ordonne F(0) = 2. Cette droite a pour coefficient directeur F 9(0) = f(0) = 1. Donc elle a pour quation : y = x + 2.
91 1. a) lim ( )x
x x
+ + = 4
2 8 7 9 et
lim ( )x
x
+ =4
24 0 ; de plus ( )x + 4 02
sur ] 4 ; + [, donc lim ( )x
f x
= 4
.
b) La courbe C admet pour asymptote la droite dquation x = 4.
abscisse environ R. (Il est ncessaire de changer plusieurs reprises dchelle, ventuellement de modifier le rapport axeX :axeY pour obtenir ces rsultats.)3. a) g r E
rR
r
( ) =
+
22
1
1
, donc lim ( )r
g r +
= 0.
b) On peut faire faire le calcul de la drive (il nutilise que des formules au programme de ter-minale), mais on risque alors de faire perdre le fil du problme aux lves.
g r Er rR R r rR
r R
R r
r R
9( )( )
( )
=
+ +
+
=
+
22 2 2
4
2 2
4
2 2 2
==
+
( )
( ).
R r
r R 3
c)
r 0 R + g 9(r) + 0
g
E2
4R
0 0d) Le maximum de g est atteint pour r = R et est gal E
R
2
4. On a dmontr la conjecture.
4. Pour obtenir une puissance rcupre maxi-male il faut donc choisir r = R. La puissance maximale est alors E
R
2
4.
Vers le Bac88 1. b) 2. a) 3. b) 4. c)
89 1. Si la courbe de g tait la courbe rouge, alors, g serait ngative sur [ 1 ; 0], donc ses primitives seraient toutes dcroissantes sur cet intervalle, or la fonction reprsente par la courbe bleue est croissante sur cet intervalle. La courbe de g nest donc pas la courbe rouge. On peut aussi raisonner de faon directe : la primi-tive G change de sens de variation lorsque la fonc-tion g sannule et change de signe, donc la courbe de G est la courbe rouge et celle de g la courbe bleue.2. a) g(0) = 1, g(1) = 2 et g9(1) = 0 (la tangente au sommet dune parabole est parallle laxe des abscisses).
5493_9782011821201_Prof.indd 47 25/06/12 12:37
48 Chapi t re 3 : Dr ives et p r imi t ives
b) Les primitives de f sont les fonctions de la forme x x
xc +
++
9
4, o c est une
constante relle. On a F c( ) = +1 2 , do 2 + c = 0, soit c = 2, donc F x x
x( ) = +
+
9
42 .
92 1. a) Lquation propose est quivalente sinx = 0 ou 1 + 2cosx = 0.Sur [ ; ]0 2p , sinx = 0 pour x = 0, x = p ou x = 2p.Sur [ ; ]0 2p , cos x = 1
2 pour x = 2
3
pi ou
x =4
3
pi.
Conclusion : S = 0 2
2
3
4
3, , , ,pi pi
pi pi.
b)
x 0 2p
3 p
4p
3 2p
f (x) 0 0 + 0 0 + 02. a) f x x x x x x( ) sin cos sin sin sin( ).= = 2 2b) Les primitives de f sont les fonctions de la forme x x x c cos cos( )+ +1
22 .
c) F c( )03
2= + , do 3
22+ =c , soit c = 1
2
et F x x x( ) cos cos( )= + +1
22
1
2.
3. On a F9 = f, do le tableau suivant :
x 0 2p
3 p
4p
3 2p
F 9(x) = f (x) 0 0 + 0 0 + 0
f2 0 2
1
4
1
4
La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
00 pi
2pi 3pi2
2pi
1
2
c) Pour x non nul, f x x x
x
( ) =+ +
+
18 7
14
2
2, donc
lim ( )x
f x +
= 1.
d) La courbe # admet la droite dquation y = 1 pour asymptote en + .2.
f xx x x x x x
x9( )
( )( ) ( ) ( )
( )=
+ + + + + +
+
2 8 8 16 8 7 2 4
4
2 2
44
4 3
2 4 9
4
18
4=
+
+=
+
( )
( ) ( ).
x
x xPour tout x de ] 4 ; + [, x + 4 0, donc f 9(x) 0. La fonction f est donc strictement croissante sur ] 4 ; + [.3. On a f 0 7
16( ) = , donc le point dintersection
de # avec laxe des ordonnes a pour coordonnes
07
16;
.
Lquation f(x) = 0 est quivalente x 4 et x x2 8 7 0+ + = . Cette dernire quation a deux solutions, 1 et 7, une seule dans lintervalle de dfinition. Le point dintersection de # avec laxe des abscisses a pour coordonnes ( 1 ; 0).4. a) On utilise f( 1) = 0 et f 9 ( ) =1 2
3.
Le graphique ci-dessous nest pas lchelle demande.
4 3 2 1 00
1 2 3 4 5
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
A B
y = 1
Tx = 4
5. Pour tout x de ] 4 ; + [, 1
9
4
8 16 9
42
2
2
+=
+ +
+=
( ) ( )( )
x
x x
xf x .
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49Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
Ac t iv i ts
A c t i v i t 1 Stockage des entiers dans les systmes informatiques
Dans cette activit, on prsente une situation concrte lie linformatique. On montre ainsi lintrt de rechercher une fonction transformant un produit en une somme (ce qui justifie lintrt de la fonction ln). A
1 a) 102 = 1 2
1 + 0 20 = 2.
On procde de mme pour les suivants.b) 11 c) 17 d) 24 e) 149 f) 247.2
a) Le nombre 11 scrit 10112 en base 2 donc 4 bits sont ncessaires au stockage de ce nombre.On procde de mme pour les suivants.b) 2 c) 8 d) 8 e) 5 f) 5.B
1 a) 111111112 = 1 2
7 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 = 255.
b) Sur 8 bits, on peut donc stocker les 256 entiers compris entre 0 et 255, 0 et 255 compris. On peut donc stocker 28 entiers sur 8 bits.c) De mme : 512 = 29 et 9 reprsente le nombre de bits ncessaires au stockage des 512 entiers compris entre 0 et 511, 0 et 511 compris.d) De mme, comme 1 024 = 210 donc sur 10 bits, on peut stocker les 1 024 entiers compris entre 0 et 1 023, 0 et 1 023 compris.2
a) f (4) = f (22) = 2 et de mme, on a : f (256) = 8 et f (1 024) = 10.b) 4 256 = 1 024 et donc f (1 024) = f (4 256) = f (4) + f (256).c) f (2) = 1 et f (128) = 7 donc f (256) = f (2 128) = f (2) + f (128).d) f (2m) = m, f (2n) = n et f (2m 2n) = f (2m+n) = m + n donc f (a b) = f (a) + f (b).
A c t i v i t 2 Du produit la sommeCette activit est la suite naturelle de lactivit prcdente : aprs avoir justifi lintrt de disposer dune fonction transformant produit en somme, on sintresse ici aux proprits dune telle fonction.1
a) On remplace a par 0 dans (*) donc f f f b( ) ( ) ( )0 0= + do le rsultat.b) On en conclut que la fonction nulle est la seule fonction vrifiant (*) et dfinie en 0, do le choix de se restreindre ]0 ; + [.2
En posant a = b = 1 dans (*), on a : f f f( ) ( ) ( )1 1 1= + do f (1) = 0.
Fonctionslogarithmes444444
C H A P I T R E
5493_9782011821201_Prof.indd 49 25/06/12 12:37
50 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
3 a) g x f x
29 9( ) ( )= car f (a) est une constante.
b) Daprs (*), les fonctions g1 et g2 sont gales sur ]0 ; + [ donc leurs drives le sont aussi.c) De lgalit g x g x
1 29 9( ) ( )= , on en dduit que f ax f x
a9
9( )
( )= , et cela pour tous rels a et x strictement
positifs.
En posant x = 1, on en dduit que pour tout a 0, f a fa
99
( )( )
=
1.
4 a) f (1) = 0.
b) Pour tout x 0, f x fx
99
( )( )
=
1.
5 a) f (1) = 0 et pour tout x 0, f x f
x9
9( )
( )=
1.
b) h x u x v x9 9 9( ) ( ) ( ) .= = 0La drive de h sannulant sur ]0 ; + [, il existe un rel k tel que pour tout x 0, h x k( ) .=c) On a : h(1) = u(1) v(1) = 1 1 = 0 do pour tout x 0, h x( ) .= 0 On en dduit que u = v do lunicit dune fonction f vrifi ant la relation (*), dfi nie et drivable sur ]0 ; + [ telle que f x
x9( ) =
1.
T ravaux P rat iques
T P 1 Comparaison du comportement en + de la fonction ln avec les fonctions puissances
Le but de ce TP est de dcouvrir graphiquement de deux faons diffrentes la limite lim lnx
x
xn+ (soit par
comparaison des reprsentations graphiques des fonctions x x ln et x xn , soit par utilisation de la reprsentation graphique de la fonction x x
xn
ln ) puis dutiliser la limite de rfrence correspondante dans des calculs de limite. A
1 On a : lim ln
xx
+ = + et lim
xxn
+ = + . On ne peut donc pas en dduire la limite lim ln
x
x
xn+ grce au thorme sur la limite dun quotient : on est en prsence dune forme indtermine.2
a) ch4_tp1.ggb. b) On conjecture que lordre de grandeur de xn est bien plus grand que lordre de grandeur de ln x pour une mme grande valeur de x, et cela dautant plus que x est grand . c) On conjecture alors de b) que lim ln .
x
x
xn+ = 0
3 a) ch4_tp1.ggb.
b) On conjecture que laxe des abscisses est asymptote la courbe Cn en + , donc que lim ln .
x
x
xn+ = 0
c) On retrouve la conjecture mise la question 2. c).B
1 a) On a : lim ln
xx
+ = + et lim
xx
+ = + 2 . On ne peut donc pas en dduire la limite
lim lnx
x x+
( )2 grce au thorme sur la limite dune somme : on est en prsence dune forme indtermine.b) En mettant x2 en facteur, on a : f x x x
x( )
ln=
2 2 1 .
Or lim lnx
x
x+ =
20 daprs la limite de rfrence prcdente donc lim ln
x
x
x+
= 2 1 1 .
5493_9782011821201_Prof.indd 50 25/06/12 12:37
51Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
Comme limx
x+
= + 2 , on obtient : lim lnx
x x+
( ) =2 lim ln .x
xx
x+
= 2 2 1
2 a) On a : lim ln
xx
+ +( ) = + 1 et lim
xx
+ = + 3 . On ne peut donc pas en dduire la limite
limlnxx
x+ +
3
1 grce au thorme sur la limite dun quotient : on est en prsence dune forme indtermine.
b) En factorisant le dnominateur de g x( ) par x3, on a : g x xx
x
x
x
( )ln ln
=
+=
+
3
3 3
1
1
1.
c) Or lim lnx
x
x+ =
30 daprs la limite de rfrence prcdente et lim
x x+ =
10
3 donc lim ln
x x
x
x+ +
=
10
3 3.
Comme, pour x e, 1 03 3x
x
x+
ln , on obtient : lim
lnxx
x+ +=
3
1 lim
ln.
x
x
x
x
+ +
= + 1
13 3
T P 2 Du logarithme dcimal dans les toiles
Le but de ce TP est double : dans la partie A, on introduit la fonction logarithme dcimal ; dans la partie B, on lutilise en contexte pour tudier le lien entre la magnitude apparente dune toile et son clat. On trouvera dautres applications dans les problmes.
A
1 a) On a : log ln
ln1
1
100= = . De mme, on a log(10) = 1 et log(100) = = =ln
ln
ln
ln
10
10
2 10
102
2
. On vrifie ces rsultats en se servant de la touche log de la calculatrice.
b) Pour entier relatif p, log lnln
ln
ln10
10
10
10
10p
p pp( ) = = = .
c) Pour tout entier relatif p et tout rel x 0 tel que log x = p , ln ln lnx p p= =10 10 donc x = 10p.2
a) La fonction ln est drivable sur ]0 ; + [ donc, par dfinition de la fonction log, la fonction log est aussi drivable sur ]0 ; + [ et sa drive est x
x
1
10ln. Comme ln10 0 et x 0, on en
dduit que la fonction log est strictement croissante sur ]0 ; + [. Enfi n, comme lim lnx
x+
= + et
lim lnx
x
=
0, on a par dfi nition de la fonction log : lim log
xx
+ = + et lim log
xx
=
0. Do
le tableau de variation de la fonction log :
x 0 +
1
10x ln+
log +
5493_9782011821201_Prof.indd 51 25/06/12 12:38
52 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
b) Les reprsentations ci-dessous ne sont pas lchelle demande :
00
1 2 3 4y = logx
y = lnx
5 6 7 8 9 10
4
3
2
1
1
2
3 Pour tous rels strictement positifs x et y, on a :
log(x) + log(y) = lnln
ln
ln
ln ln
ln
ln ( )
ln
x y x y xy
10 10 10 10+ =
+= = log(xy).
On dmontrerait de mme que toutes les proprits algbriques de la fonction ln restent vraies pour la fonction log.
B
1 a) On a : m m k E k E
E
EA B A BA
B
= ( ) = 2 5 2 5 2 5, log , log , log .
b) Si EA EB alors E
EA
B
1 donc log
E
EA
B
0 do, daprs a), m mA B 0 soit mA mB.
2 a) Daprs 1 a), m m
E
EPL QLPL
QL
=
2 5, log avec PL pour Pleine Lune et QL pour Quartier de Lune,
donc mPL
= ( ) , log8 2 5 631 soit mPL
= 2 5 631 8 15 0, log , 0,1 prs.
b) Soit deux toiles A et B telles que E
EA
B
=
1
100, alors m m
E
EA BA
B
=
= =2 5 2 5 2 5, log , ( ) ,
leurs magnitudes apparentes diffrent donc de 5.
c) On a : m mE
ES PS
P
=
2 5, log . Comme mS mP , m mS P 0 donc log
E
ES
P
0 soit
E ES P
: ltoile la plus brillante des deux est Sirius. De plus, on a : m mE
ES PS
P
=
2 5, log
donc =
1 4 1 1 2 5, , , log
E
ES
P
do logE
ES
P
= 1 soit
E
ES
P
= 10 .
d) Daprs 1 a), m mE
EH TH
T
=
2 5, log avec H pour une toile de magnitude 30 photographie par
Hubble et T pour une toile photographie par le tlescope implant sur la Terre.
On a alors : 30 22 5 2 5 =
, , log
E
EH
T
soit logE
EH
T
= 3 donc
E
EH
T
=10 3 . On en dduit que le
tlescope Hubble permet de voir des toiles dont lclat est 1 000 fois plus faible que celles observes avec le tlescope T.
5493_9782011821201_Prof.indd 52 25/06/12 12:38
53Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
Exerc ices2 a) ln 15 = ln ( ) ln ln3 5 3 5 = + ;
b) ln 45 = ln ( ) ln ln3 5 2 3 52 = + ; c) ln 375 = ln ( ) ln ln3 5 3 3 53 = + ;
d) ln ln ln ln9
125
3
52 3 3 5
2
3= = ;
e) ln1
135 = ( ) = ln ln ln3 5 3 3 53 ;
f) ln ln ln ln ln .751
275
1
23 5
1
23 52= = ( ) = +
4 a) A(x) = ln((3 x)(1 + 2x)) ;b) B(x) = ln ln ( )3 6
32
xx
= .
5 a) A(x) = ln(1 2x)2 ;
b) B(x) = ln ln ( ) ln lnx x xx x
= =22
1
2.
6 a) A(x) = ln xx
x3
2
3
1
3=
ln ;
b) B(x) = ln 12
2x
.
8 a) f 9(x) = 3 2 1 3 22 2xx
xx
= ;
b) f 9(x) = 5 1 544
=x
xx
x(ln )
(ln ).
9 a) f 9(x) =
=
11
2 2xx x x(ln ) (ln )
;
b) f 9(x) = 1
1
1
1
12 2x
x x
x
x x x
x x
( ) ln ln
( ).
+
+( ) =+
+
10 a) f 9(x) =
+
=
31
3 11
3
2
2
xx x
x
x
x x
ln ( ln )
(ln )
(ln );
b) f 9(x) =
=
12 1 2
2
4 3x
x x x
x
x
x
ln ln.
11 a) f 9(x) = 1 1+x
; g9(x) = +2 4x
et h9(x) = 1 2x
.
b) Comme x 0, f 9(x) 0 donc f est strictement croissante sur ]0 ; + [ donc la courbe rouge est la reprsentation graphique de f.Pour 0 x < 2, g9(x) 0 et pour x 2, g9(x) < 0 donc g est croissante sur ]0 ; 2] et dcroissante sur [2 ; + [ donc la courbe verte est la reprsentation graphique de g.Par limination, la courbe bleue est la reprsenta-tion graphique de h.13 a) lim ln
xx
=
0 donc lim ( )
xf x
=
00 ;
lim lnx
x
=
10 avec ln x 0 pour x 1
donc lim ( )x
f x
= 1
;
b) limx
x
=
0
2 0 et lim lnx
x
= 0
donc lim ( )x
f x
= 0
; limx
x+
= + 2
et lim lnx
x+
= + donc lim ( )x
f x+
= + .
14 lim lnx
x
= 0
et limx
x
=
00 avec x 0
donc lim ( ) .x
f x
=
0
15 On a : lim ( )x
f x
= 0 1
; lim ( )x
f x
=
0 20 ;
lim ( )x
f x
= 0 3
et lim ( )x
f x
= + 0 4
donc la courbe bleue correspond f2 et la courbe verte f4. Par ailleurs, f1 1 0( ) = et f3 1 1( ) = donc la courbe rouge correspond f1 et la courbe noire f3 (la dtermination des limites en + de ces deux fonctions ne permettait pas de conclure).16 a) lim ( )
xf x
= +
0 donc la courbe C admet
la droite dquation x = 0 pour asymptote (cest laxe des ordonnes) et lim ( ) .
xf x
+ =
b) f 9(x) = 3x
.
c) Comme x 0, f 9(x) 0 donc f est strictement dcroissante sur ]0 ; + [, do le tableau de variation de f :
x 0 + f (x) +
f +
d) f (1) = 1 et f 9(1) = 3 donc la tangente tracer est la droite passant par le point A(1 ; 1) et de coefficient directeur 3.
5493_9782011821201_Prof.indd 53 25/06/12 12:38
54 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
e) La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
A
T
0 2 4 6
6
4
2
2
4
6
8
10
18 1. ch4_ex18_ggbOn conjecture que la distance PN est constante et gale 1.2. a) M(a ; ln a), P(0 ; ln a). Par ailleurs, lecoefficient directeur de T est 1
a donc T a pour
quation rduite ya
x a a= +1( ) ln soit
yax a= +
11 ln .
b) Par dfinition, labscisse de N est 0 donc son ordonne est y a
N= +1 ln . Do
N(0 ; 1 + ln a).c) PN a a= + ( ) =1 12ln ln do la dmonstration de la conjecture.3. a) On place les points A1(0,5 ; ln 0,5), A1 (5 ; ln 5) et A1 (10 ; ln 10).b) Pour la tangente en A1, il suffit de placer le point P1 projet orthogonal de A1 sur laxe des ordonnes puis de placer le point N1 image de la translation de P1 par le vecteur OJ
(car
P1N1 = 1). La tangente cherche est alors la droite (A1 N1). On fait de mme pour A2 et A3.
e) La reprsentation ci-aprs nest pas lchelle demande.
0 1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
1
2
3
4
5
A
17 a) lim ( )x
f x
= 0
donc la courbe C admet la droite dquation x = 0 pour asymptote (cest laxe des ordonnes) et lim ( ) .
xf x
+ = +
b) f 9(x) = 2 1+x
.
c) Comme x 0, f 9(x) 0 donc f est strictement croissante sur ]0 ; + [, do le tableau de varia-tion de f :
x 0 + f (x) +
f +
d) f (1) = 2 et f 9(1) = 3 donc la tangente tracer est la droite passant par le point A(1 ; 2) et de coefficient directeur 3.
5493_9782011821201_Prof.indd 54 25/06/12 12:38
55Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
26 a) Linquation existe si et seulement si x 1. Elle scrit encore x 1 1 donc linqua-tion admet [2 ; + [ pour ensemble de solutions. b) Linquation existe si et seulement si x 2. Elle scrit encore x + 2 e2 donc linquation admet ] ; e2 2] pour ensemble de solutions.28 a) Lquation existe si et seulement si
4x 1 0 et x2 1 0 donc si et seulement si x 1. Lquation devient : ln ln4 1
14
2
x
x
=
soit 4 4 3 02x x = . Cette dernire quation admet 3
2 et
1
2 pour solutions donc lquation
tudie admet 32
pour seule solution.
b) Lquation existe si et seulement si x + 1 0 et 10x + 10 0 donc si et seulement si x 1. Lquation devient : x2 3x 4 = 0 qui admet 1 et 4 pour solutions donc lquation tudie admet 4 pour seule solution.30 a) Linquation existe si et seulement si
x 0, x 1 0 et x + 1 0 donc si et seulement si x 1. Elle scrit encore x(x 1) x + 1. Cette dernire inquation scrit encore x2 2x 1 0, quiadmet + + ; ;1 2 1 2 pour ensemble de solutions. On dduit de la con-dition x 1que linquation tudie admet1 2+ + ; pour ensemble de solutions.
b) Linquation existe si et seulement si x 0, x 3 0 et 15 x 0 donc si et seulement si 3 x 15. Elle scrit encore x(x 3) < 15 x. Cette dernire inquation scrit encore x2 2x 15 < 0, qui admet [ 3 ; 5] pour ensemble de solutions. On dduit de la condition 3 x 15 que linquation tudie admet ]3 ; 5] pour ensemble de solutions. 31 a) Linquation existe si et seulement si
x 1 0 et 3 x 0 donc si et seulement si 1 x 3. Elle scrit encore x
x
1
33 .
Comme x 3, cette dernire inquation scrit
encore x 1 9 3x, qui admet 52;+
pour
ensemble de solutions. On dduit de la condi-tion 1 x 3 que linquation tudie admet5
23;
pour ensemble de solutions.
La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5
4 3
45
A1N1
N2N3
T1
T3
T2
P2P3
P1
A2A3
y = lnx
20 a) 2 ln e3 = 6 ;
b) ln ln1 1
2
1
2ee= = ;
c) ln ln .ee
24
12 4 2+ = =
21 a) f ( )ln
ee
e e= =
1 ;
b) f ( )ln
;ee
e e2
2= =
2
2
2
c) f1
e
1
e1
e
1
e
e
= =
=
ln 1 ;
d) f ee
e 2 e( ) = =ln 1 .
22 a) f ( ) lne e= =3 2 1 ;
b) f e e2 2( ) = = 3 2 1ln ;c) f
1
e e
= = + =3 2
13 2 5ln ;
d) f e e( ) = = =3 2 3 1 2ln .24 a) Lquation existe si et seulement si x 0.
Lquation ln x = 3 admet e3 pour seule solution.b) Lquation existe si et seulement si 2x 1 0 et 4 x 0 donc si et seulement si 1
2 x 4.
Lquation devient : 2x 1 = 4 x soit x = 53
.
Or 12
5
34 donc lquation admet 5
3 pour
seule solution.
c) Lquation existe si et seulement si x 32
. Elle
admet 2 pour seule solution.
5493_9782011821201_Prof.indd 55 25/06/12 12:38
56 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
36 1. Lquation existe si et seulement si x 0 et admet ]e2 ; + [ pour ensemble de solutions.2. a) f x x9( ) ln= +2 .b) et c) On obtient pour tableau de signes de f 9(x) et tableau de variation de f :
x 0 e2 + f 9(x) 0 +
f
e2
3. a) f (1) = 3 donc, daprs le tableau de varia-tion, pour tout rel x de [1 ; e2], f (x) appartient [ e2 ; 3] donc lquation f (x) = 5 a une unique solution dans lintervalle [1 ; e2].Par ailleurs, f (15) 5 donc lquation f (x) = 5 admet une unique solution dans lin-tervalle [e2 ; 15] daprs le tableau de variation prcdent.b) Par balayage la calculatrice, on obtient pour valeur approche 0,1 prs de ces deux solu-tions : 2,3 et 14,1.
38 a) 4n 1010 si et seulement si n 10 104
ln
ln.
Or 10 104
ln
ln 16, 6 donc les solutions de 4n 1010
sont les entiers naturels suprieurs ou gaux 17.
b) 1
310 10
n
< si et seulement si n 10 103
ln
ln.
Or 10 103
ln
ln 20,96 donc les solutions de
1
310 10
n
< sont les entiers naturels suprieurs ou gaux 21.c) 0 7 10 8, n si et seulement si n 8 10
0 7
ln
ln ,.
Or 8 100 7
ln
ln , 51,6 donc les solutions de
n 8 10
0 7
ln
ln , sont les entiers naturels suprieurs
ou gaux 52.39 a) u
nn
= 2 0 4, .
b) On rsout 2 0 4 10 5 , n . On trouve
n ln
ln ,
10
20 4
5
donc le plus petit entier n cherch est 14.
b) Linquation existe si et seulement si x 1 0, x + 2 0 et 5 x 0 donc si et seulement si 2 x 5. Elle scrit encore x
x x
+
1
2
1
52( ) .
Comme 2 x 5, cette dernire inquation scrit encore ( )( ) ( )x x x +1 5 2 2 soit encore 2 2 9 02x x + , qui nadmet pas de solution. On en dduit que linquation tudie nadmet pas de solution.
33 1. Lquation admet 12
et 3 pour solutions.
2. a) Avec X = ln x, lquation propose scrit encore 2 5 3 02X X+ = soit X = 1
2ou X = 3
daprs 1. Do le rsultat. b) Daprs a), lquation 2 5 3 02ln lnx x( ) + = admet e
1
2 et e3 pour solutions.
34 1. Lquation admet 12
et 2 pour solutions.
2. a) Avec X = ln x, lquation propose scrit encore 2 3 2 02X X = soit X = 1
2 ou X = 2
daprs 1.. Do le rsultat. b) Daprs a), lquation 2 3 2 02(ln ) lnx x =
admet e
1
2 et e2 pour solutions.
35 1. Lquation existe si et seulement si x 0 et admet ]0 ; e[ pour ensemble de solutions.2. a) f x x9( ) ln= 1 .b) et c) On obtient pour tableau de signes de f 9(x) et tableau de variation de f :
x 0 e + f 9(x) +
f e
3. a) f (1) = 2 donc, daprs le tableau de varia-tion, pour tout rel x de [1 ; e], f (x) appartient [2 ; e] donc lquation f (x) = 1 na pas de solution dans lintervalle [1 ; e].Par ailleurs, f (10) 1 donc lquation f (x) = 1 admet une unique solution dans lintervalle [e ; 10] daprs le tableau de variation prcdent.b) Par balayage la calculatrice, on obtient pour valeur approche 0,1 prs de cette solution : 6,3.
5493_9782011821201_Prof.indd 56 25/06/12 12:38
57Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
47 a) lim ( )x
f x
= 1
car limx
x
x
+=
1
1
10 et
lim ( )x
f x+
= 0 car limx
x
x+
+=
1
11 do deux
asymptotes : la droite dquation x = 1 et laxe des abscisses dquation y = 0.b) lim ( )
xf x
= +
3 car
limx
x
+( ) =32 1 7 et lim
xx
( ) =
33 0 ;
lim ( ) lim ln lnx x
f xx
x+ + =
+
=
2 1
32 car
limx
x
x+ +
=
2 1
32 do deux asymptotes :
les droites dquation x = 3 et y = ln 2.
48 a) lim ( )x
f x
= + 2
car limx
x
x
+= +
2
2 3
2
et lim ( ) lnx
f x
= 2 car limx
x
x
+=
2 3
22 do
deux asymptotes : les droites dquation x = 2 et y = ln 2.b) lim ( )
xf x
=
5 car lim
xx
( ) =
55 0 et
limx
x
+( ) =53 2 17 ;
lim ( ) ln lnx
f xx
x + =
+=
5
3 23 car
limx
x
x +
+=
5
3 2
1
3 do deux asymptotes :
les droites dquation x = 5 et y = ln 3.49 a) On a : lim ( )
xf x
=
0 ; lim ( )
xg x
=
0
et lim ( )x
h x
= + 0
; lim ( )x
f x+
= ;
lim ( )x
g x+
= 0 et lim ( )x
h x+
= 0 .
b) On en dduit que la courbe rouge est celle de f, la violette celle de g et la verte celle de h.50 a) On a : lim ( )
xf x
+ = 0 donc laxe des
abscisses est asymptote la reprsentation graphique de f en + ; lim ( )
xg x
+ = et
lim ( ) lnx
h x +
=
2
5 donc la droite dquation
y = ln2
5 est asymptote la reprsentation gra-
phique de h en + .b) On en dduit que la courbe rouge est celle de f, la violette celle de g et la verte celle de h.51 a) On conjecture que les droites dquation
x = 0 (axe des ordonnes), y = 0 (axe des abs-cisses) et x = 1 sont trois asymptotes la repr-sentation graphique de f.
c) On rsout 2 0 4 10 , n p . On trouve
n
p
ln
ln ,
10
20 4
do lexistence de N.
d) Par dfinition de la limite, on en dduit que limn n
u+
= 0 . Ce rsultat tait prvisible car la raison de la suite gomtrique de u
n( ) est dans [0 ; 1[. 40 a) u
nn
= 4 3 .
b) On rsout 4 3 105 n . On trouve n ln
ln
10
43
5
donc le plus petit entier n cherch est 10.
c) On rsout 4 3 10 n p . On trouve n
p
ln
ln
10
43
do lexistence de N.d) Par dfinition de la limite, on en dduit que limn n
u+
= + . Ce rsultat tait prvisible car la raison de la suite gomtrique ( )u
n est stricte-
ment suprieure 1.
42 a) f xx x
9( ) = =2
2
1 ;
b) f xx
x
x9( )
( )=
+
+
=
+
3
3 11
3 1
3
3 1
2
.
43 a) f xx
x x9( ) =
+
+ +
2 3
3 42 ;
b) f xx
x x9( ) =
+
+ +
2 1
22.
44 a) f xxx
x
x x9( )
( )( )( )
=++
+
=
+ +
1
13 2
1
1
1 3 2
2
;
b) f xxx
x
x x9( )
( )( )( )
=+
+
=
+
8
2 42
2 4
8
2 4 2
2
.
46 a) lim ( )x
f x
= + car limx
x
( ) = + 2 et lim ( )
xf x
=
2 car lim
xx
( ) =
22 0 ;
b) lim ( )x
f x
= + 0
car limx
xx
+
= + 0
0
31
;
lim ( ) lnx
f x+
= 3 car limx x+
+
=3
13 .
5493_9782011821201_Prof.indd 57 25/06/12 12:38
58 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
b) On en dduit que les droites dquation x = 0 (axe des ordonnes) et x = 6 sont des asymptotes la courbe reprsentative de f.2. a) f x
x x
x
x x9( )
( )=
=
1
62
1 12
6. Or
0 x 6 donc f 9(x) 0. On en dduit que f est strictement dcroissante sur ]0 ; 6[.b)
x 0 6
f 9(x) +
f +
3. a) Lquation quivaut ln ( ) ln6 2 =x x , x appartenant ]0 ; 6[. On rsout alors 6 2 =x x qui admet 3 et 2 pour solutions. Comme x appartient ]0 ; 6[, x0 = 2.b) On a : f 9( )2 5
4= et f (2) = 0 do lquation
rduite de la tangente T : y x= +54
5
2.
4. La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
D1D2
T
2 00
2 4 6
6
4
2
2
4
6
8
A
55 a) F xx x
x x
x xf x9( )
( )( )=
=
=
1 1
1
1
1
donc F est une primitive de f sur ]1 ; + [.
b) Cette conjecture est dmontre avec :lim ( ) lim ( )
x xf x f x
+ = = 0 (la droite dquation
y = 0 est bien asymptote) ; lim ( )x
f x
= 0
(ladroite dquation x = 0 est bien asymptote) et lim ( )x
f x
= + 1
(la droite dquation x = 1 estbien asymptote) .
52 1. a) lim ( )x
f x
= 0 car limx
x
x
+=
2
21 et
lim ( )x
f x
= + 2
car limx
x
x
+= +
2
2
2 .
b) On en dduit que les droites dquation y = 0 (axe des abscisses) et x = 2 sont asymptotes.
2. a) f xxx
x
x x9( )
( )( )( )
=+
+
=
+
4
22
2
4
2 2
2
. Or
x 2 donc ( )( )x x+ 2 2 0 donc, pour tout x 2, f 9(x) 0. On en dduit que f est stricte-ment croissante sur ] ; 2[.b)
x 2f 9(x) +
f +
03. On trace la tangente comme tant la droite pas-sant par A( 4 ; ln 3) et de coefficient directeurf 9( ) =4
1
3.
La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
A
D1
D2 12 10 8 6 4 0
2
4
6
2
53 1. a) lim ( )x
f x
= + 0
car
lim ln ( ) lnx
x
=
06 6 et lim ln
xx
=
0 ;
lim ( )x
f x
= 6
car lim ln ( )x
x
= 6
6 et
lim ln lnx
x
=
66 .
5493_9782011821201_Prof.indd 58 25/06/12 12:39
59Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
69 a) h xx
xx
x9( ) ln
ln.= =2
12
b) F x x x k k( ) (ln ) ;= + 1
6
1
23 2 R .
Or F(1) = 0 do k = 16
donc F x x x( ) (ln ) .= 16
1
23 2
1
6
71 a) limln
x
x
x + =
20 donc lim ( )
xf x
+ = 1 : la
droite dquation y = 1 est asymptote la courbe reprsentative de f en + .b) On lve lindtermination en factorisant par
x : f x xx
x( )
ln=
1 . Or lim
lnx
x
x + = 0
donc lim ( )x
f x +
= + .
72 a) On lve lindtermination en factorisant par
x : f x xx
x x( )
ln= +
3
1. Or lim ln
x
x
x + = 0
donc lim ( )x
f x +
= + .
b) On lve lindtermination en factorisant par
x3 : f x xx
x( )
ln=
3 2 1 . Or lim
lnx
x
x + = 0
donc lim ( )x
f x +
= .
73 a) On a : f x x xx
( )ln
=
4 1 . Or
limln
x
x
x + = 0 donc lim ( )
xf x
+ = . De plus,
lim ( )x
f x
= 0
car lim lnx
x
= 0
donc laxedes ordonnes dquation x = 0 est asymptote la courbe reprsentative de f.b) f x
x
x
x9( ) .= =
41
4
c) Comme x 0, f 9(x) est du signe de 4 x. Do le tableau de signes de f 9(x) et tableau de variation de f :
x 0 4 +
f 9(x) + 0
f 4 ln 4 4
d) On dduit du tableau de variation que lqua-tion f (x) = 0 admet exactement deux solutions
b) F x xx x
xf x9( )
ln( )=
=
11
2 donc F est
une primitive de f sur 0 ; + ] [ .56 a) F x x x
xf x9( ) ln ( )= + =
11 donc F
est une primitive de f sur ]0 ; + [.b) F x
xx f x9( ) ln ( )= + =2
11 donc F est
une primitive de f sur 0 ; + ] [ .58 a) F x x x x k k( ) ln ;= + + +
3
222 R.
b) F x xx
k k( ) ln ;= + 1
2
1
3R .
59 a) F x x x x k k( ) ln ;= + + 2
3
1
233 2 R.
b) F x x k k( ) (ln ) ;= + 1
22 R .
61 a) F x x( ) ln ( )= +2 3 + k, k [ R.
b) F x x k k( ) ln ( ) ; .= + + 1
44 1 R
c) F x x x k k( ) ln ( ) ; .= + + + 2 12 R
62 a) F x xx
( ) ln ( )= +
2 11
1 + k, k [ R.
b) F x xx
k k( ) ln ( ) ; .= + +
+ 3 21
2R
63 a) F x x x( ) ln ( ) ln= + 1
55 1 + k, k [ R.
b) F xx
x k k( ) ln ( ) ; .= + 1
3 3 1 R
64 a) G x x( ) ln ( )= 2 3 .b) F x x x x k k( ) ln ( ) ; .= + 2 5 2 3 R
65 a) G x x( ) ln ( )= 1
22 3 .
b) F x x x x k k( ) ln ( ) ; .= + + 1
3
1
22 33 R
66 a) G x x( ) ln ( )= +1
222 .
b) F x x x k k( ) ln ( ) ; .= + + + 1
2
1
222 2 R
68 F x x k k( ) ln ( ) ;= + 5
212 R.
Or F (2) = ln 3 donc 52
3 3ln ln+ =k do
k = 3
23ln donc F x x( ) ln ( ) ln .= 5
21
3
232
5493_9782011821201_Prof.indd 59 25/06/12 12:39
60 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
lim ( )x
f x +
= 1 . On en dduit que la droite dquation y = 1 est asymptote la courbe C en + .3. a) Pour tout x de ]0 ; + [, on a :
f x xx x x
x
x
x9( ) =
=
12 2 1
2
4 3
ln ln.
b) Linquation 2 ln x 1 0 existe si et seu-lement si x 0 et quivaut ln lnx 1
2e soit
x e donc linquation propose admet poure;+ ensemble de solutions.
3. c) et 4. On en dduit le tableau de signes de f 9(x) et le tableau de variation de f :
x
0
e
+
f 9(x) 0 +
f
+ 1
11
2
e
5. La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande
1 00
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
C
D1
D2
80 1. On a : lim lnx
x x
=
00 et lim
xx
=
00
donc lim lnx
x x
=
0
2 0 . Or limx
x
=
0
2 0
donc lim ( )x
f x
=
01 .
2. Pour tout x 0, f x x xx
( ) ln= +
2 2
3
2
1 .
Or lim lnx
x +
= + et limx x +
=
10
2
donc lim lnx
xx +
+
=
3
2
12
.
dans ]0 ; + [ : lune dans ]0 ; 4[ et lautre dans ]4 ; + [. Do le rsultat.e) Valeurs approches 10 2 prs : 1,43 et 8,61.
74 a) limln
x
x
x + = 0 donc lim ( )
xf x
+ = 0 . De
plus, lim ( )x
f x
= 0
donc laxe des ordonnes dquation x = 0 est asymptote la courbe repr-sentative de f.b) f x
x
x9( )
ln.=
41
2
c) Comme x2 0, f 9(x) est du signe de 1 ln x. Do le tableau de signes de f 9(x) et le tableau de variation de f :
x 0 e +
f 9(x) + 0
f
4
e
0d) La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
6
4
2
2
75 h(1) = 1 donc la courbe propose nest pas celle de h. Or lim ( )
xf x
= +
0 et lim ( )
xg x
=
0
3
2
donc la courbe propose est celle de f.
P rob lmes79 1. On a : lim ln
xx
=
0 et lim
xx
=
0
2 0 avec
x2 0 donc lim lnx
x
x=
0 2 soit lim ( ) .
xf x
= +
0
On en dduit que laxe des ordonnes est asymp-tote la courbe C.2. Daprs le cours, on a : lim ln
x
x
x + =
20 donc
5493_9782011821201_Prof.indd 60 25/06/12 12:39
61Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
2. a) Pour tout x de lintervalle ]0 ; + [, g x9( ) est du signe de x 1. On en conclut que si x 1, g x ( ) 0 , si x = 1, g x9( ) = 0 et si x 1, g x ( ) 0 .b) On en dduit le tableau de variation de g :
x 0 1 + g9(x) 0 +
g
4
3. Daprs 2. b), le minimum de g sur ]0 ; + [ est 4 donc, pour tout x de ]0 ; + [, g(x) 0.B
1. On a : lim lnx
x
= 0
et limx
x
=
00 avec
x 0 donc lim lnx
x
x=
0. Or lim
x
xx
= + 0
0
1
donc lim ( )x
f x
= 0
. On en dduit que laxe des ordonnes est asymptote la courbe C.Par ailleurs, daprs le cours, on a : lim ln
x
x
x + = 0 .
Or limx
x +
= + et limx x +
=
10
donc lim ( )x
f x +
= + .
2. Pour tout x de ]0 ; + [,
f xx
xx x
x
x x
x
g
9( )ln
( ln )
= + +
=
+ + =
11
2
11
1 2 1
2 2
2
2
(( ).
x
x2
3. a) Un carr tant toujours positif, f 9(x) est du signe de g(x) donc, daprs la question 3. de la partie A, on a : pour tout x de ]0 ; + [, f 9(x) 0.b) On obtient alors le tableau de variation de f :
x 0 + f (x) +
f +
c) On a : f (1) = 0 et f 9(1) = 4.d) On construit la tangente C au point dabscisse 1 comme la droite passant par le point A (1 ; 0) et de coefficient directeur 4, puis on construit C.
Comme limx
x +
= + 2 , on a : lim ( )x
f x +
= .
3. a) Pour tout x de ]0 ; + [, f x x x x x
x
x x x x
9( ) = +
= =
3
22 2
1
2 2 2 1
2ln
ln lln .x( )b) Comme x 0, f 9(x) est du signe de ( ln ).1 x On en conclut que si x e, f x ( ) 0 , si x = e, f x9( ) = 0 et si x e, f x ( ) 0 .
4. On en dduit le tableau de variation de f :x
0 e + f 9(x) + 0
f
1
212e +
1
5. a) Pour tout x de ]0 ; e], f x( ) ; +1
1
212e
donc lquation f (x) = 0 nadmet pas de solution sur ]0 ; e]. Par ailleurs, par lecture du tableau de variation prcdent, cette quation admet une unique solution dans lintervalle ]e ; + [. Do le rsultat.b) Par balayage la calculatrice, on a :4,6 4,7.6. On trace la courbe C, le point A de C dabscisse et la tangente T C au point dabscisse 1 comme
droite passant par le point B 1 52;
et de coeffi-
cient directeur f 9( )1 2= .La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
1 00
1 2 3 4 5
2
1
1
2
3
4
5
A
B
T
81 A
1. Pour tout x 0,
g x xx
x x
x9( )
( )( )= =
+2
2 2 1 1.
5493_9782011821201_Prof.indd 61 25/06/12 12:39
62 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
3. a) La drive de la fonction x x x x ( ) ln ( ) 1 1 est
x x xx
x ln ( ) ( ) ln ( ) +
= 1 11
11 1
do le rsultat.b) On en dduit que les primitives de la fonction f sur ]1 ; + [ sont les fonctionsF x x x x x k
x xk: ( ) ln ( ) ln ( )
( ) ln ( )
+
=
1 1 1
2 1 xx k k+ avec R.c) On cherche k tel que Fk (2) = 5 donc, avec lexpression prcdente, on a k = 3 donc F x x x x( ) ( ) ln ( ) .= 2 1 3
83 1. a) ch4_ex83.ggbb) On conjecture alors que : * la limite en + de f
a est + ;
* la limite en 0 de fa est pour a 0 et +
si a 0 ;* le point A(1 ; 1) est commun toutes les courbes C
a .
2. * Pour tout x 0,
f x x ax
x( )
ln= +
1 . Or, daprs le cours,
limln
x
x
x + = 0 donc lim ln
xa
x
x + +
=1 1
do lim ( )x
f x +
= + .
* Pour a 0, on a : lim lnx
x
= 0
donc lim lnx
a x
= 0
; or limx
x
=
00
do lim ( )x
f x
= 0
;
Pour a 0, on a : lim lnx
x
= 0
donc lim lnx
a x
= + 0
; or limx
x
=
00
do lim ( )x
f x
= + 0
.
* Pour tout rel a, on a : f a( ) ln1 1 1 1= + = donc le point A(1 ; 1) est commun toutes les courbes C
a.
84 1. Pour tout x de ]3 ; + [ , f x
x x
x x x x( )
( )
( )( ) ( )( )=
+
+=
+
2 3
3 2
5
3 2.
Or x 3 donc f (x) 0 pour tout x de I. do le tableau de signes de f (x) :
x 3 + f (x) +
b) Si F est une primitive de f alors F 9 = f donc F 9 est positive sur I : toute primitive F de f est croissante sur I.
La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
-1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
A
TD1
82 1. a) La fonction associe la courbe verte est positive sur ]1 ; + [ donc la drive de cette fonction est croissante sur ]1 ; + [. Par ailleurs, la fonction associe la courbe bleue est ngative sur ]1 ; a] avec a 2,8 et positive sur [a ; + [ donc la drive de cette fonction est dcroissante sur ]1 ; a] et croissante sur [a ; + [. On en dduit que la courbe bleue cor-respond f, la courbe rouge F et la courbe verte f 9. b) On a donc : F(2) = 5.2. a) On a : lim
xx
=
11 0 donc
lim ln ( )x
x
= 1
1 . Or limx
xx
= + 1
1
1
1
donc
lim ( )x
f x
= 1
. On en dduit que la droite dquation x = 1 est asymptote la courbe C.b) On a : lim
xx
+ = + 1
et lim ln ( )x
x +
= + 1 .
Or limx x +
=
1
10 donc lim ( )
xf x
+ = + .
c) Pour tout x de lintervalle ]1 ; + [,f x
x x
x
x
x
x9( )
( ) ( ) ( )=
+
=
+
=
1
1
1
1
1 1
1 12 2 2.
d) Comme x 1, on dduit de la question prc-dente le signe de f 9(x) et le tableau de variation de f :
x 1 + f 9(x) +
f +
5493_9782011821201_Prof.indd 62 25/06/12 12:39
63Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
do lim ( )x k
f x
= 0
;
* on a : f x xx
x x( )
ln.=
1
2
1
Or, daprs le cours, on a : lim lnx
x
x + = 0
donc lim lnx
x
x x +
=
1
2
1 1
2
do lim ( )x k
f x +
= ;
* on a : f ( ) ln ln .2 21
22 1 2 2= =
On en dduit le tableau de variation de f :x
0 1 2 + f 9(x) 0 +
f ln 2 2
3
2
86 On a : f (1) = 1 donc a = 1. Par ailleurs, f 9(1) est le coefficient directeur de la tangente C en A qui coupe laxe des abscisses en B9(2 ; 0). Or cette tangente a pour coef-ficient directeur 1 donc f 9(1) = 1. Enfin, f x a
b
x9( ) = + do f a b9( )1 1= + =
soit b = 2 et f x x x( ) ln= 2 .Comme la courbe C passe par un point B et admet en ce point une tangente parallle (Ox), on a :f x
B9( ) = 0 soit 1 2 0 =
xB
donc xB
= 2
et y fB
= = ( ) ln2 2 2 2 .
87 1. a) En arrondissant les valeurs 101 prs, on a :
t 0 4 8 12 16 20 24y = ln(N) 9,9 9,5 8,6 8,2 8,0 7,1 6,7
b) On place les points de coordonnes (t ; y) pour chacun des couples du tableau de la question 1. a).
c) Les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme
x x x kx
xk ln ( ) ln ( ) ln + + =
+
+3 2
3
2
avec k rel.2. ch4_ex84.ggb3. a) Toutes les courbes C
k obtenues semblent
avoir deux asymptotes : lune dquation y = k et lautre dquation x = 3.b) * On a : lim
x
x
x +
+=
3
21
donc lim lnx
x
x +
+
=3
20 do lim ( )
x kf x k
+ = :
la droite dquation y = k est asymptote la courbe Ck en + ;* On a : lim
x
x
x
+=
3
3
20 donc lim ln
x
x
x
+
= 33
2
do lim ( )x k
f x
= 3
: la droite dquation x = 3 est asymptote la courbe Ck .4. Comme F
k est une primitive de f sur I, on
dduit de question 1. a) le tableau de variation de Fk :
x 3 + Fk9(x) +
Fk
k
On dduit du tableau prcdent quon doit prendre k ngatif ou nul pour que F
k soit strictement
ngative sur I.
85 On a : f xx
a9( ) = +1
. Or f 9( )2 0=
donc a = 12. Par ailleurs, f ( )1 3
2=
et f a b( ) ln1 1= + + donc b = 1.On en dduit que pour tout x de ]0 ; + [,f x x x( ) ln .=
1
21 Sur cette expression, on
trouve les rsultats manquants dans le tableau :
* pour tout x de ]0 ; + [, f xx
9( ) = 1 1
2 donc
f 9 est positive sur ]0 ; 2] et ngative sur [2 ; + [ do f est croissante sur ]0 ; 2] et dcroissante sur [2 ; + [ ;* lim ln
xx
=
0 et lim
xx
=0
1
20
5493_9782011821201_Prof.indd 63 25/06/12 12:39
64 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
2. a) On a : N(Ic) = 60 donc 10 60
0
logI
Ic
= soit
I Ic
= 1060
. De mme, I It
= 1080
. On a alors :
N II
I
I
I
I
Ic t( ) log log=
= +
=
10 10
100 0 0
llog( ) ,10 10 80 046 8+ dB 0,01 prs.
Les niveaux sonores (60dB et 80dB) ne saddi-tionnent donc pas. b) En ritrant le raisonnement prcdent, le niveau sonore correspondant au passage simul-tan de deux voitures est donc :
N II
I
I
Iv v( ) log log( )= +
= +
=
10 10 10 10
100 0
8 8
((log ) log ,2 8 80 10 2 83 01+ = + dB 0,01 prs.
89 1. a) Pour passer du La de loctave n au La de loctave n + 1, on multiplie la frquence f
n du
premier par 2. On a alors fn + 1 = 2fn. Donc la suite (f
n) est une suite gomtrique de raison 2 avec
f3 = 440 Hz. Do fn = 440 2n 3.b) Linquation 440 2n 3 20000 quivaut
2n 3 20000440
500
11= do n 3
500
112
+ln
ln.
Comme 3
500
112
8 5+ ln
ln, , le numro de loctave
du La le plus aigu audible par lhomme est 8.2. a) On a : q12 = 2 donc 12 log q = log 2 soitlog logq =
1
122 .
b) On appelle f1 la frquence du Mi et f2 celle du Do. Par dfinition, f1 = q4f2 (comme q 1 de par sa dfinition, on a bien f1 f2) donc la diffrence de hauteur cherche est, en savarts, 1000 4000
1
1224log logq =
= 1000
32 100log lunit prs.
90 On a M E1 1
2
32 88= log ( ) , et
M E2 2
2
32 88= log ( ) , donc, par soustraction,
M M E EE
E2 1 2 12
1
2
3
2
3
2
3 = =
log log log .
b) On dduit du a) que M ME
EJ HJ
H
=
2
3log
La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
00
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
A
B
D
c) La droite D a pour coefficient directeury y
x xB A
B A
= =
3 2
24
2
15
, et pour ordonne
lorigine 9,9 donc pour quation y x= +215
9 9, .
En traant la droite D sur le graphique prcdent, on constate que cette droite approxime correcte-ment le nuage de points du graphique. 2. a) Il sagit de rsoudre lquation + =0 13 9 9 10000, , lnt soit
t = +
9 9 10000
0 135 3
, ln
,, donc il faut environ
5,3 h loprateur pour rtablir lalimentation en lectricit de 50% des foyers sinistrs donc lobjectif moins de 6 h est atteint.b) Par dfinition, on a + =0 13 9 9
1, , lnt N et
+ =0 13 9 922
, , lntN
do, par soustraction, on a : +( ) +( ) = 0 13 9 9 0 13 9 9
21 2, , , , ln lnt t N
N
soit 0 13 22 1
, lnt t( ) = do t t
2 1
2
0 135 3 =
ln
,, h.
Do la conclusion avec la question 2. a).
88 1. a) On a : N II
I00
0
10 0( ) = =log .
b) Le niveau sonore correspondant en dB est
N II
I00
17
0
1010
170( ) = =log .
c) Pour un marteau-piqueur, on a N(I) = 110 donc10 110
0
logI
I
= soit I I= 10
110
.
5493_9782011821201_Prof.indd 64 25/06/12 12:40
65Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
3. a) g xx
x
x
x
x x
x
9( )
( )( ).
= +
=
=
+
14
4 1 2 1 2 12
Or x appartient lintervalle ]0 ; + [ donc g x9( ) est du signe de ( )2 1x . On en conclut que, pour 0 x < 1
2, g x ( ) 0 , pour x = 1
2,
g x9( ) = 0 et pour x 12
, g x ( ) 0.b) On en dduit le tableau de variation de g :
x 0
1
2
+
g9(x) 0 +
g
3
22+ ln
c) On en dduit que le minimum de g sur ]0 ; + [ est
3
22 0+ ln donc g(x) est positif pour tout x
de lintervalle ]0 ; + [.B
1. lim lnx
x
= 0
et limx
x
=
00 avec x 0,
do lim lnx
x
x=
0 donc lim ( )
xf x
=
0. On
en dduit que laxe des ordonnes est asymptote la courbe Cf.Par ailleurs, daprs le cours, lim ln
x
x
x + = 0 . Or
limx
x +
= + 2 donc lim ( )x
f x +
= + .
2. Pour tout x de ]0 ; + [,
f x xx x
x
x x
x
g x
x
9( )ln
ln ( ).
=
+
=
+=
11
2
1 2
2
2
2 2
3. a) Comme g(x) est positif pour tout x de linter-valle ]0 ; + [, on en conclut que f x g x
x9( )
( )=
2
est positif pour tout x de lintervalle ]0 ; + [.b) On dduit de la question a) le tableau de varia-tion de f :
x 0 + f 9(x) +
f +
do logE
EJ
H
= 3 soit
E
EJ
H
= 103 .
Daprs le raisonnement prcdent, lnergie sismique est multiplie par 103 = 1 000 lorsque la magnitude est augmente de 2 degrs.c) En notant MA la magnitude du sisme dAquila,
on a : M ME
EJ AJ
A
=
= =
2
3
2
310
2
3log log
donc M MA J
= = = 2
39
2
3
25
38 3, au
dixime prs.91 1. a) On a : P2 = 0,98P1. On en dduit : G
P
PdB= = 10 10 0 98 0 092
1
log log , , 0,01 prs. b) Sil y a attnuation de la puissance, on a :P
P2
1
1 donc logP
P2
1
0 soit GdB
0. De
mme, sil y a augmentation du signal, on a : G
dB 0.
2. a) On a : P
P
P
P
P
P
P
P
P
PG G G G5
1
5
4
4
3
3
2
2
14 3 2 1
= =
donc G G G G GdB dB dB 2dB dB
= + + +4 3 1
.
b) On a : G G G G G
dB dB dB 2dB dB= + + +
= + + 4 3 1
1 7 2 10 1 7, ( ) ( , 88 37
10
) +
= dB.
On en dduit que 10 1051
logP
P=
soit P5 = P1 = 10 2 W.1,58 10 3 W. On en
conclut quavec cette installation, on a une puis-sance P5 suffisante.
92 1. B ; 2. C ; 3. A ; 4. C.
93 A
1. a) partir des informations sur Cg, on a : g(1) = 3 et g9 1
2
= 0.
b) Par lecture graphique, on conjecture que g(x) est positif pour tout x de lintervalle ]0 ; + [.2. a) On a : g(1) = a + 2 = 3 donc a = 1. Par ailleurs, g x b
xx9( ) = + 4 et g9
1
20
=
donc b = 1.On en conclut que pour tout x de ]0 ; + [, g x x x( ) ln= +1 2 2 .
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66 Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
c) lim( ln )x
x
+ = 01 et lim
xx
=
00 avec x 0,
do lim lnx
x
x+
= 0
1 donc lim ( )
xf x
=
0.
Par ailleurs, daprs le cours, lim lnx
x
x + = 0 .
Or limx x +
=
10 donc lim ( )
xf x
+ = 0 .
3. a) On a :
f1
11
11
1
2
1
2ee
e
e e e
=
+
=
=
lnln .
Do le rsultat.b) Le coefficient directeur de la droite (OA) est y
xA
A
= =
1
21
1
2
e
e
e et celui de la tangente C
en A est f 9 11
1
1
2
1
22ee
e
e e e
=
=
=
lnln
do le rsultat. 95 1. a) On conjecture que le point A(1 ; 1)
appartient toutes les courbes Ck.b) Pour tout rel k 0, on a : f kk( ) ln1 2 1 1 12= = do la confirmation
de la conjecture prcdente. 2. a) On conjecture que laxe des ordonnes est une asymptote commune toutes les courbes Ck.b) Pour tout rel k 0, on a : lim ln
xx
=
0
donc lim lnx
k x
= 0
. Or limx
x
=
0
2 0 donc lim ( )x
f x
= 0
.
Do la confirmation de la conjecture.3. a) Pour tout rel strictement positif k,
f xk
xx
k x
x
k x k x
x
k9 ( )
( )
.
= =
=
+( ) ( )2
22
2
2
Or x 0 donc f xk
9 ( ) est du signe de k x( ) . On en conclut que pour 0 x < k , f x
k ( ) 0 ,
pour x = k , f xk9( ) = 0 et pour x k ,
f xk ( ) .0 Conclusion : f
k admet un maxi-
mum sur ]0 ; + [, atteint en k . b) Le sommet de la courbe rouge a pour abscisse 2 donc k = 2 soit k = 4. Le maximum de la
4. a) On a : f (1) = 2 et f 9(1) = 3.b) On construit la tangente T Cf au point dabs-cisse 1 comme la droite passant par le point D (1 ; 2) et de coefficient directeur 3. On construit ensuite Cf.La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
D
T
00
1 2 3
8
6
4
2
2
4
6
8
94 1. a) En prenant X entre 0 et 10 et Y entre 5 et 2, on obtient :
b) On conjecture alors le tableau de variation de la fonction f :
x 0 1 +
f 9(x) + 0
f 1
0
2. a) Pour tout rel x de ]0 ; + [,
f 9(x) = +
=
11 1
2 2x
x x
x
x
x
( ln ) ln. Un carr
tant toujours positif, on en dduit que f 9(x) est du signe de ln x.b) On dduit de la question a) les variations de la fonction f : f 9 est positive sur ]0 ; 1] et ngative sur [1 ; + [ do f est croissante sur ]0 ; 1] et dcroissante sur [1 ; + [.
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67Chapi t re 4 : Fonct ions logar i thmes
c) La droite passant par les points A (0 ; 120) et B (3 ; 111) a pour ordonne lorigine 120 et pour coefficient directeur
y y
x xB A
B A
= 3 donc a pour
quation y = 3x + 120.2. a) Si t = 2 alors q = 120 3 ln 2 118C au degr prs.b) On a : q1 = 120 3 ln t1 et q2 = 120 3 ln(2t1). Par soustraction, on obtient :q2 q1 = 3 ln 2. Si on double le temps dexposi-tion la chaleur alors on peut baisser la tempra-ture de 3 ln 2 2,1 C 0,1 C prs pour dtruire 90 % des micro-organismes.
fonction reprsente par cette courbe est alors f42 8 2 4( ) ln= .
96 1. a) En arrondissant les valeurs 101 prs, on a :
x = ln t 0 1,1 1,9 3,0 3,4 4,1Temprature q
en degrs Celsius 120 117 114 111 110 108
b) On reprsente les points de coordonnes (ln(t) ; q) pour chacun des couples du tableau de la question a). Les points semblent quasiment aligns.La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
00
406080
100120
20
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
DA
B
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68 Chapi t re 5 : Fonct ion exponent ie l le
Ac t iv i ts
A c t i v i t 1 Mmoire vive
Dans cette activit, on tablit une relation entre le logarithme nprien dune tension et le temps, et cela dans un contexte concret. On utilise alors ce lien pour obtenir le temps, connaissant la tension. la der-nire question, on voit quon ne dispose pas des outils pour dterminer la tension, connaissant le temps. On justifie ici ainsi lintrt de dfinir la fonction rciproque de la fonction ln.1
Les points obtenus ne sont pas aligns donc on ne peut pas envisager de modliser la situation laide dune fonction affine. 2
a) t 0 0,8.10 3 1,6.10 3 2,4.10 3 3,2.10 3 4.10 3 8.10 3 12.10 3y = ln(uC) 0,405 0,207 0,010 0,198 0,400 0,598 1,609 2,659
b) La reprsentation ci-dessous nest pas lchelle demande.
00
0,40,2
0,2 0,4 0,6 0,8
1 1,2 1,4 1,6 1,8
2 2,2 2,4 2,6
0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
A
B
Les points semblent aligns.
Fonctionexponentielle555555
C H A P I T R E
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69Chapi t re 5 : Fonct ion exponent ie l le
c) On obtient pour quation de (AB) : y = 250,75t + 0,405.Cette droite (AB) semble constituer une approximation satisfaisante du nuage de points.
3 a) Linquation quivaut : 0 405 0 75
250 75
, ln( , )
, t donc linquation admet 0 ; 0,405 ln (0,75)
250,75
pour
ensemble de solutions. De plus, T = 0 405 0 75250 75
, ln( , )
, 0,0028. On doit rafrachir les informations toutes
les 2,8 ms.b) Pour t = 2.10 3, on obtient ln(uC) = 0,0965. ce stade du cours, on ne peut pas en dduire la valeur de uC correspondante.
A c t i v i t 2 En marche arrire, jusqu en perdre lnDans cette activit, on sintresse la fonction u, rciproque de la fonction ln. laide de GoGebra, on dcouvre et on exploite le lien entre la courbe de la fonction ln et la courbe de cette fonction u encore inconnue. On conjecture ainsi un certain nombre des rsultats sur la fonction exponentielle qui seront dmontrs dans le cours.A 1 a) x = e2. b) x = 1. c) x = e 3.
2 a)
x 0 x +
ln
+
3,1
b) Daprs le tableau de variation de la fonction ln, il existe un unique rel strictement positif x tel que ln x = 3,1. De plus, x 0,05.3
a) Daprs le tableau de variation de la fonction ln, pour tout rel b, il existe un unique rel strictement positif a tel que ln a = b.b) u(2) = e2, u(0) = 1 et u( 3) = e 3.B 1 ch5_act2.ggb
b) Les points A, B et E appartiennent la courbe C car, par exemple pour le premier point, on a : ln e2 2= . c) Les points A9, B9 et E9 appartiennent la courbe car, par exemple pour le premier point, on a
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