CESI FI Mathmatiques suprieures 3 Fonctions de plusieurs variables : exercices

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Exercice 1

Soit f la fonction dfinie par :

; 3 2 si ; 0; 0 et 0; 0 0 1) Dterminer lensemble de dfinition D de f et le reprsenter graphiquement.

2) Dterminer lim ; 0 ; lim 0; ; lim ; pour des valeurs appropries de Montrer que la courbe (C) dquation est incluse dans D et dterminer lim ; " f est-elle continue en 0; 0 ?

Exercice 2

Soit f la fonction dfinie par :

; " " sin $ 1 & si ; 0; 0 et 0; 0 0 Dmontrer que f est diffrentiable sur '" mais quelle ny est pas de classe (). Exercice 3

Soit f la fonction dfinie par :

; * * si ; 0; 0 et 0; 0 0 Dmontrer que f admet des drives partielles en 0; 0, mais quelle ny est pas diffrentiable.

Exercice 4

Soit f la fonction dfinie par :

; 4" " si ; 0; 0 et 0; 0 0 Dmontrer que f est de classe (" sur '"\-0; 0., mais pas sur '". Exercice 5

Etudier les extrema ventuels sur son ensemble de dfinition de : ; 0 1ln" 2 Exercice 6

Etudier les extrema ventuels sur son ensemble de dfinition de : ; 0 3 3 2 Exercice 7

Etudier les extrema ventuels sur son ensemble de dfinition de : ; ; 4 0 44 4 Exercice 8

Dterminer les paralllpipdes daire latrale fixe A dont le volume est maximal.

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Exercice 9

Optimiser 5 ; ; 4 0 4 sous les contraintes 6 2 4 12 34 47, par deux mthodes.

Interprter gomtriquement ce problme et son rsultat.

Exercice 10

Soit lunivers dune preuve alatoire.

Soit 89):9:; une partition de . On note