Leonhard Euler
Leben und Werk
Dr. rer. nat. Frank Morherr Technische Universität
Dresden
Messer Seminar 2018/19
Leonhard Euler
-- Pierre-Simon Laplace
Lies Euler, lies Euler, er ist unser aller Meister.
Bilder von Euler
http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.amt.canberra.edu.au/euler.jpg&imgrefurl=http://www.amt.canberra.edu.au/euler.html&h=259&w=225&sz=26&hl=en&start=9&um=1&tbnid=dzF6RJnLseImXM:&tbnh=112&tbnw=97&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.usna.edu/Users/math/meh/euler.gif&imgrefurl=http://www.usna.edu/Users/math/meh/euler.html&h=337&w=260&sz=99&hl=en&start=1&um=1&tbnid=haA86Fbqj3Vj1M:&tbnh=119&tbnw=92&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/euler.jpg&imgrefurl=http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physlist.html&h=600&w=549&sz=99&hl=en&start=15&um=1&tbnid=5hU1y81TnKWBKM:&tbnh=135&tbnw=124&prev=/images?q=Euler&svnum=10&um=1&hl=en&sa=N
Leonhard Eulers Lebenslauf
Geboren: 15. April, 1707, Basel, Schweiz
Gestorben: 1783, St. Petersburg, Russland
Vater: Paul Euler (1670 1745), Calvinistischer
Pastor
Mutter: Margaretha Brucker (1677 1761),
Tochter eines Pastors
Euler war zweimal verheiratet:
1. Frau: Katharina Gsell
2. Frau: Ihre Halbschwester Salomea Abigail
Dreizehn Kinder (drei haben ihn überlebt)
Er besucht das Gymnasium am Münsterplatz, nahm gleichzeitig Privatunterricht
beim Theologen Johannes Burckhardt (16911743), der von der Mathematik
begeistert war.
Ab 1720 (mit 14) Studium an der Universität Basel, er hört hier Vorlesungen von
Johann I Bernoulli.
1723 erlangt er durch einen Vergleich der newtonschen und cartesianischen
Philosophie in lateinischer Sprache die Magisterwürde.
Den Plan, auch Theologie zu studieren, gab er 1725 auf.
Am 17. Mai 1727 beruft ihn Daniel Bernoulli an die Petersburger Akademie der
Wissenschaften.
Er erbt die Professur des 1726 verstorbenen Nikolaus II Bernoulli. Hier trifft er
auf Christian Goldbach, mit dem er jahrzehntelang in Briefwechsel stand.
1730 erhält Euler die Professur für Physik und tritt schließlich 1733 die
Nachfolge von Daniel Bernoulli als Professor für Mathematik an. Er bekommt
in den folgenden Jahren immer stärkere Probleme mit seinem Augenlicht und ist
ab 1740 rechtsseitig blind.
1741 wird er von Friedrich II. an die Königlich-Preußische Akademie der
Wissenschaften berufen. Euler korrespondiert weiterhin mit Christian Goldbach
vergleicht dessen Theorien mit seinen eigenen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Augenlicht
Nach 25 Jahren in Berlin kehrt er 1766 zurück nach Sankt Petersburg, wo
Katharina die Große seit 1762 als Kaiserin von Russland residiert.
An der Akademie der Wissenschaften wird Euler ein ehrenvoller Empfang
bereitet. Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der
Kunstkammer und lebte in einem von Katharina der Großen geschenkten Palais
mit seinem Sohn Johann Albrecht direkt an der Newa.
1771 erblindet er vollständig. Trotzdem entsteht fast die Hälfte seines
Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhält er dabei von seinen
Söhnen Johann Albrecht, Karl und Christoph sowie von seinem Sekretär
Nikolaus Fuß, der nach seinem Tod als erster eine Würdigung verfasst.
Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wird er nie Präsident der
Universität.
1783 stirbt Euler an einer Hirnblutung und wird neben seiner Frau auf dem
lutherischen Smolensker Friedhof auf der Wassiljewski-Insel in Sankt Petersburg
begraben.
An seine Tätigkeit und sein damaliges
Wohnhaus in Berlin erinnert eine
Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22,
dem heutigen Haus der Bayerischen
Vertretung in Berlin.
Zum Verständnis des Menschen Euler gehört auch seine religiöse Überzeugung im
Sinne des reformierten Glaubens, der für sein Verständnis der Wissenschaft wichtig
war.
Da sich Euler und Friedrich II. sich im Streit trennten, befinden sich heute neben
den Originaldokumenten aus der ersten und zweiten Petersburger Periode auch die
Dokumente aus der Berliner Zeit im Archiv in Sankt Petersburg.
In der Sowjetzeit wurden seine
sterblichen Überreste auf den
Lazarus-Friedhof des
Alexander-Newski-Klosters
umgebettet.
Euler war extrem produktiv: Insgesamt
gibt es 866 Publikationen von ihm.
Eulers Bedeutung für die Mathematik Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Ein großer Teil
der heutigen mathematischen Symbolik geht auf ihn zurück (zum Beispiel e, , i,
Summenzeichen , f(x) als Bezeichnung eines Funktionsterms).
1736 findet er den Grenzwert für die unendliche Summe der reziproken
Quadratzahlen (siehe weiter unten). In einer Verallgemeinerung dieses sogenannten
Basler Problems findet er eine geschlossene Darstellung für die «geraden» (mit
geradem Index) Bernoulli-Zahlen.
1744 gibt er ein Lehrbuch der Variationsrechnung heraus.
1748 publiziert er das Grundlagenwerk Introductio in analysin infinitorum, in dem
In den Werken Institutiones calculi differentialis (1755) und Institutiones calculi
integralis (1768 1770) beschäftigte er sich außer mit der Differential- und
Integralrechnung unter anderem mit Differenzengleichungen und elliptischen
Integralen sowie mit der Theorie der Gamma- und Betafunktion.
Andere Arbeiten setzen sich mit Zahlentheorie, Algebra (Vollständige Anleitung zur
Algebra, 1770) und mit der Anwendung mathematischer Methoden in den
Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (Rentenrechnung, Lotterien,
Lebenserwartung). Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt.
1736 Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis beschäftigt sich mit
dem Königsberger Brückenproblem, erste Arbeit auf dem Gebiet der Graphentheorie.
Eulers Bedeutung für die Physik In der Mechanik arbeitet Leonhard Euler auf den Gebieten der Hydrodynamik
(Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik, Turbinengleichung) und der
Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen).
Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft
belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründet damit die Stabilitätstheorie.
In Schriften wie Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wendet Euler die
Mathematik auf Fragen der Physik an.
Am 3. September 1750 liest er vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein
Mémoire
und neue Entdeckung vorstellt.
In der Optik veröffentlicht er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung
von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern.
1745 übersetzt Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin
Robins ins Deutsche. Es erscheint im selben Jahr in Berlin unter dem Titel Neue
Grundsätze der Artillerie enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst
einer Untersuchung über den Unterschied des Wiederstands der Luft in schnellen und
langsamen Bewegungen.
Seit Galilei hatten die Artilleristen die Flugbahnen der Geschosse als Parabeln
angesehen, wobei sie den Luftwiderstand für vernachlässigbar hielten.
Robins hat als einer der ersten Experimente zur Ballistik ausgeführt und gezeigt,
dass die Flugbahn durch den Luftwiderstand wesentlich beeinflusst wird.
Es wird in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in
den Militärschulen eingeführt.
Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.
Weniger bekannt sind seine Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in
denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von
Archimedes erneuert.
Eulers Bedeutung für die Physik
Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige
Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen
Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-
Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte. Werden die
gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die
Schwerpunktsverbindung das Äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der
gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-
Dreieck. Das Napoleon-Dreieck ist unabhängig von der Form des
ursprünglichen Dreiecks stets gleichseitig.
Satz von Napoleon
Mathematische Vorgänger
Isaac Newton
Pierre de Fermat
René Descartes
Blaise Pascal
Gottfried Wilhelm Leibniz
Mathematische Nachfolger
Pierre-Simon Laplace
Johann Carl Friedrich Gauss
Augustin Louis Cauchy
Bernhard Riemann
Mathematische Zeitgenossen
Bernoullis: Johann, Jakob,
Daniel
Alexis Clairaut
Jean le Rond
Joseph-Louis Lagrange
Christian Goldbach
Nicht-mathematische Zeitgenossen
Voltaire
Candide oder der Optimismus Buch von Voltaire
Akademie der Wissenschaften, Berlin
Benjamin Franklin
George Washington
Vielzahl mathematischer Arbeiten
856 Publikationen - 550 vor seinem Tod
1904 Arbeiten werden katalogisiert durch Gustav
Eneström (schwedischer Mathematiker)
Tausende Briefe an Freunde und Kollegen
12 große Bücher
Precalculus, Algebra, Analysis, Populäre
Wissenschaftsbücher
Beiträge zur Mathematik
Analysis
Zahlentheorie Eigenschaften der natürlichen
Zahlen, Primzahlen.
Logarithmus
Unendliche Reihen - unendliche Summen von
Zahlen
Analytische Zahlentheorie Benutzung von
unendlichen Reihen, Grenzwerten, Analysis,
Funktionentheorie, um die Eigenschaften
natürlicher Zahlen und hier speziell Primzahlen zu
untersuchen
Beiträge zur Mathematik
Komplexe Zahlen
Algebra Nullstellen (Wurzeln) von
Polynomen, Faktorisierung von Polynomen
Geometrie - Eigenschaften von Kreisen,
Dreiecken (Euler Gerade), in Dreiecken
einbeschriebene Kreise.
Kombinatorik - Abzählmethoden
Graphentheorie (Königsberger
Brückenproblem, Eulersche Polyederformel
Über 50 mathematische Objekte sind nach
Euler benannt
Andere Beiträge und Highlights Mechanik
Bewegungen in der Himmelsmechanik
Bewegungen von starren Körpern
Antrieb von Schiffen
Optik
Strömungsmechanik
Theorie von Maschinen
Euler-
Winkel
Gyroskop: Euler Kreisel
Eulersche Polyeder-Formel (Euler
Charakteristik )
Angewandt auf ebene Polygone
Anzahl Ecken-Anzahl Kanten = 0
E K = 0
Ohne Fläche:
Mit Fläche:
E K + F= 2
Anzahl Ecken - Anzahl Kanten + Anzahl Flächen = 2
Eulersche Polyeder Formel
(Euler- Charakteristik)
Fünf Platonische Körper Tetraeder
Hexaeder (Würfel)
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
#Ecken - #Kanten + #Flächen = 2
Mit der Eulerschen Polyederformel kann man beweisen, dass es nur die obigen fünf platonischen Körper geben kann.
E K + F= 2
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Tetrahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Hexahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Octahedron.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Dodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Icosahedron.jpg
Eulersche Polyeder Formel
(Euler Charakteristik)
Was ist die Euler-Charakteristik eines
eines dreiseitigen Prismas ?
einer quadratischen Pyramide?
http://images.google.com/imgres?imgurl=http://cse.ssl.berkeley.edu/rainbows/img/lightproject/prism.gif&imgrefurl=http://cse.ssl.berkeley.edu/rainbows/layouts/U2/U2.2.html&h=143&w=197&sz=4&hl=en&start=9&um=1&tbnid=xmXEKAr2__n0QM:&tbnh=75&tbnw=104&prev=/images?q=triangular+prism&svnum=10&um=1&hl=en&sa=Nhttp://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.korthalsaltes.com/foto/Cheops_pyramid_Egypt_3.jpg&imgrefurl=http://www.korthalsaltes.com/pyramid.htm&h=1011&w=1011&sz=293&hl=en&start=2&um=1&tbnid=Eo6CTqFFwH3y-M:&tbnh=150&tbnw=150&prev=/images?q=pyramid&svnum=10&um=1&hl=en
Eulersche Polyederformel und
Eulercharakteristik
Gegeben Polyeder (Vielflach)
e : Anzahl der Ecken
k : Anzahl der Kanten
f : Anzahl der Flächen
Dann gilt
Eulercharakteristik:
Platonsche Körper
www.solon-line.de/2007/03/31/
mysterium-cosmographicum
http://www.faltgeometrie.ch/ueberuns/
platonische-koerper/index.html
Historisch: Versuch der Gleichsetzung der
Platonischen Körpern mit den 4 bzw. 5 (Quintessenz!)
Elementen der griechischen Antike
http://www.rhenania-
buchversand.de/data/pictures/930864_1.jpg
Flächen unterschiedlicher
Eulercharakteristik
Kugel Torus Brezelfläche
2006 Heiko Burkhardt Lilano.com
http://mathworld.wolfram.com
GriffithsHarrisAlgebraicGeometry
Mathematik im Fernsehen: Simpsons
Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)
Beweis des Eulerschen
Polyedersatzes
Beweisschritt 1
Beweis des Eulerschen
Polyedersatzes
Beweis des Eulerschen
Polyedersatzes
Beweis des Eulerschen
Polyedersatzes
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Beweis mit Polyedersatz: Es gibt nur
5 Platonische Körper
Eulersche Polyederformel und
planare Graphen Ein Graph heißt eben dargestellt oder planar dargestellt, wenn er ohne
Überkreuzung seiner Kanten gezeichnet ist. Graphen,
die eine solche Darstellung besitzen, heißen planar.
Ob ein Graph planar ist, ist gar nicht so leicht festzustellen, aber mit
der Eulerschen Polyederformel kann man feststellen, dass er es nicht
ist. Für jeden planaren Graph gilt die Eulersche Polyederformel. Kann
man zeigen, dass ein Graph die Eulersche Polyederformel nicht
erfüllt, dann kann er nicht planar sein. Beispiel: Petersengraph.
Dies ist der sogenannte Petersengraph. Ist der Petersen-Graph planar?
Nun kann man zeigen, dass der Graph nicht planar ist.
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
1. Frage: Gibt es irgendeinen Weg durch
Königsberg, der jede Brücke genau einmal
(Eulerscher Weg)
2. Frage Gibt es irgendeinen Rundweg durch
Königsberg, der jede Brücke genau einmal
benutzt und wieder am selben Punkt endet
(Eulerscher Rundweg, Eulerkreis)
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Man kann von A nach B gehen via a (AaB).
Man benutzt Folgen dieser Buchstaben um einen
Pfad (Weg) zu identifizieren, Euler zählte, wie
auftaucht.
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Wenn A mit einer ungeraden Anzahl k an
Brücken verbunden ist, wie aktuell, dann muss
A n mal verlassen werden, wobei n=(k+1)/2.
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Euler fand, dass die Folge der Brücken (kleine
Buchstaben), die notwendig waren, größer war, als
die vorhandenen sieben Brücken, unter der
Voraussetzung ihrer Orte.
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Der endgültige Satz in moderner Form und zwei bekannte Beispiele:
Das Königsberger Brückenproblem lässt sich auf folgenden Graphen
reduzieren:
Das Königsberger Brückenproblem
- Die Geburt der Graphentheorie
Beispiele im Mathematikum:
Nicht-Eulersch:
Rösselsprung auf einem Schachbrett
http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.sjgames.com/proteus/img/chessboard.jpg&imgrefurl=http://www.sjgames.com/proteus/&h=1210&w=1200&sz=198&tbnid=lezl536gQYNMKM:&tbnh=150&tbnw=149&prev=/images?q=chessboard&start=1&sa=X&oi=images&ct=image&cd=1http://images.google.com/imgres?imgurl=http://user.cybrzn.com/~dpintar/knight.jpg&imgrefurl=http://www.worth1000.com/cache/contest/contestcache.asp?contest_id=12268&h=1050&w=585&sz=53&hl=en&start=14&um=1&tbnid=bvLsu269UHC_hM:&tbnh=150&tbnw=84&prev=/images?q=knight+chess&svnum=10&um=1&hl=en&sa=N
Das Problem wurde von Euler während eines
Schachspiels vorgeschlagen:
Ist es möglich, und wenn ja, von welchen
Feldern aus, mit einem Springer alle Felder des
Schachbretts genau einmal zu besuchen?
Rösselsprung auf einem Schachbrett
Rösselsprung auf einem Schachbrett
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Knights_tour_(Euler).png
Rösselsprung auf einem Schachbrett
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Knight's_tour.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/Image:Turk-knights-tour.svg
Baseler Problem
1644 fragte sich der Italiener Pietro Mengoli, ob diese Summe konvergiere,
und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten.
Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker Jakob Bernoulli von diesem
Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich
mehrere Mathematiker an der Fragestellung, waren aber alle erfolglos.
1726 begann Leonhard Euler, ebenfalls Basler Mathematiker und Schüler von
Jakob Bernoullis Bruder Johann, sich mit dem Problem zu befassen.
1735 fand er die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk "De Summis
Serierum Reciprocarum".
6...
1...
3
1
2
1
1
1 2
2222 k
Lösung des Baseler Problems
durch Euler
Lösung des Baseler Problems
durch Euler
Moderner Beweis über Fourierreihen
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