Jean Aubin
Mathématiques, logiciels et transport en commun
©GIRO inc. 20092
Objectifs de la session
Présenter rapidement GIRO
Expliquer la problématique de la planification du transport en commun
Donner un aperçu des modélisations des problèmes reliés au transport en commun
Discuter des algorithmes de résolution
Montrer des solutions logicielles
GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112
©GIRO inc. 20093
GIRO - Historique
Projet de maîtrise du président et co-fondateur, Jean-Yves Blais
Optimiser les horaires des conducteurs de la STM
Chapeauté par le Centre de Recherche sur les Transports (CRT)
GIRO : Génie Informatique et Recherche Opérationnelle
HASTUS : Horaires et Assignations de Systèmes de Transport Urbains et Suburbains
Implanté d’abord à Montréal, Québec puis ... Singapour !
GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112
©GIRO inc. 20094
Mission & Employés
Mission corporativeFournir à une clientèle internationale des logiciels et des services de qualité, spécifiques à nos domaines d’affaires se distinguant par l’utilisation d’algorithmes d’optimisation.
Environ 220 employés
Informaticiens
Mathématiciens
Ingénieurs
Groupe dédié aux algorithmes d’optimisations
©GIRO inc. 20095
Clients
New York, Los Angeles, Chicago, Montréal, …
Stockholm, Vienne, Genève, Hambourg, Bruxelles, …
Singapore, Hong Kong, …
Sydney, Melbourne, Canberra, Brisbane, …
250 sites dans plus de 25 pays...
©GIRO inc. 20096
Produits logiciels de GIRO
HASTUSHoraires de transport public et opérations
GeoRouteTournées postales ou autres besoins similaires
GIRO/ACCESGestion du transport adapté
©GIRO inc. 20097
Méthodes de résolution
Programmation linéaire
Méthodes de flot dans les réseaux
Programmation linéaire en nombres entiers
Génération de colonnes
Relaxation lagrangienne
Recherche avec tabous
Recherche à voisinage variable - échanges
Recherche à voisinage large
Coupes de Gomory
Algorithmes gloutons
Heuristiques spécialisés
Statistiques
Méthodes de recherche locale
Énumération explicite de l'espace de solution
Parallélisme
...
Utiliser ce qui fonctionne bien selon le problème à résoudre
©GIRO inc. 20098
Transport en communEstimation de la demande (matrice O-D)Estimation de la demande (matrice O-D)
Lignes et fréquencesLignes et fréquences
Graphicage (« vehicle scheduling »)Graphicage (« vehicle scheduling »)
Habillage (« crew scheduling »)Habillage (« crew scheduling »)
Roulements (« rostering »)Roulements (« rostering »)
Opérations (« dispatching »)Opérations (« dispatching »)
Horaire-maître (timetabling)Horaire-maître (timetabling)
©GIRO inc. 20099
Offre de service
3 premières étapes
Estimation de la demande (matrice O-D)
Lignes et fréquences
Horaire-maître (timetabling)
Aspects politiques et humains importants
©GIRO inc. 200910
Offre de service - Demande
GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112
©GIRO inc. 200911
Offre de service - Lignes
GIRO-STD-INTROGIROF(2009)-20090112
©GIRO inc. 200912
Offre de service - Fréquences
Établir les fréquences/types de véhicule sur chaque ligne à partir de données de fréquentation
©GIRO inc. 200913
Variables de décision
Heures de départ des voyages
Objectifs
Maximiser synchronisation (correspondances)
Minimiser ressources (véhicules, conducteurs)
Modèle mathématique
DdIiHxH
às
xVKxSKMin
ididid
VS
,
.
)()(
Problème d’optimisation
Offre de service - « Timetabling »
©GIRO inc. 200914
Offre de service - « Timetabling »
©GIRO inc. 200915
Offre de Service - « Timetable »
©GIRO inc. 200916
Graphicage
Données
Voyages productifs (« timetable »)
Temps de déplacement à vide ( « deadheads »)
Battements minimums
Garages (dépôts) avec capacités
Groupes de véhicules
…
Objectifs
Minimiser le nombre de véhicules nécessaire
Temps improductif (battements, « deadheads »)
©GIRO inc. 200917
Graphicage
Liens entre voyage
Véhicules
©GIRO inc. 200918
Graphicage
Variante simple à seul dépôt
Problème de flot à coût minimum dans un réseau
©GIRO inc. 200919
Graphicage – Modèle
©GIRO inc. 200920
Graphicage
Complications rencontrées en pratique
Stationnement temporaire des véhicules
Contraintes supplémentaires sur les véhicules
Modifications possibles de l’horaire-maître (« timetable »)
Synchronisation des correspondances
Génération de solutions similaires à celle de départ
Traiter les activités d’attelage/dételage (rail)
Traiter exceptions journalières
Variantes urbaines et régionales
…
L’algorithme doit demeurer efficace!
©GIRO inc. 200921
Graphicage
©GIRO inc. 200922
Graphicage
©GIRO inc. 200923
Habillage
Données
Horaire de véhicules
Relèves
Temps de déplacement entre les relèves
Convention collective ►Contraintes►Taux horaire, bénéfices marginaux►Primes
Résultat
Pièces et journées valides
©GIRO inc. 200924
Habillage - Modèle
Modèle mathématique :
I : l’ensemble des journées possibles
J : l’ensemble des tâches à couvrir
}1,0{
airessupplément linéaires scontrainte
,1
à s.
Min
i
Iiiij
Iiii
x
Jjxa
xc Couverture des tâches
sinon 0
journée la utiliseon si 1 ixi
©GIRO inc. 200925
Habillage
©GIRO inc. 200926
Habillage - Algorithmes
Historique
Avant 1990 : heuristiques spécialisés
Depuis 1990 : génération de colonnes►GERAD (Desrochers et Soumis 1989)►GIRO impliquée depuis début 1990
Développements récents►Décomposition►Parallélisme►Agrégation de tâches►Heuristiques complémentaires
©GIRO inc. 200927
Habillage – Génération de colonnes
Toutes les journées possibles(millions)
Sous-ensemble de journées possibles (milliers)
Solution (dizaines)
PL
Valeurs duales
Génération des journées
Aucune nouvelle journée générée : Stop
©GIRO inc. 200928
Roulement
©GIRO inc. 200929
Roulement
But
Affecter le travail et les jours de repos sur un horizon d’une ou plusieurs semaines
Réduire les coûts et maximiser la satisfaction des employés
Éléments de roulement►Journée de travail►Journée de repos►Période de disponibilité
Algorithme
Méthodes d’échanges
©GIRO inc. 200930
Roulement – échanges
1
2
3
...
n3
Dut8
Journées libres Jours de repos
Roulement 3
1
2
3
...
n2
Dut1
Off
Roulement 2
1
2
3
...
n1
Dut1
Dut7
Sun. Mon. Tue. Wed. Thu. Fri. Sat.Pos.
Roulement 1
Dut4
Dut2
Dut1
©GIRO inc. 200931
d8
123
...
n1123
...
n2
123
...
n3
d4
d3
Off
d6
d5
d7
Off
d9
d1
Off
Off
d13
Off
P1
P2
Roulement – Échanges +
Journées libres, Jours de repos
Roulement m
Roulement 2
Roulement 1
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
Off d10 d11 d11 d11 Off
d3
d12d4
d6
d11
d8d7
d3
d5
Off
Off
d9
d1
d15
Off
d13
d2
Off
P1
P2
Offd4
d12
d10
d8d12
Off
d5
d7
d3
d9
d1
d15
Off
d13
d2
Off
P1
P2
d12d4
d12
d10
d8Off
Off
d5
d7
d3
d9
d1
d15
Off
d13
d2
Off
P1
P2
d12d4
d12
d10
d8Off
d6
d5
d7
d3
d9
d1
d15
Off
Off
d2
Off
P1
P2
d12d4
d3
d10
d8Off
d6
d5
d7
Off
d9
d1
Off
Off
Off
d2
Off
P1
P2
d2Off
d11
d12
d1
Offd9
d7d5
d4
d6
d8
d15
Off d13
d10Off
P1
P2
d12
d10
d2
Problème d’optimisation linéaire
©GIRO inc. 200932
Opérations quotidiennes
Réagir aux perturbations quotidiennes
Absences et retards des employés
Interruptions de service
Ajout ponctuel de service
Problèmes
Affectation du travail libre aux employés disponibles
Optimisation de nouvelles journées de travail
Méthodes
Programmation mathématique
Heuristiques spécialisées
©GIRO inc. 200933
Opérations quotidiennes - Approche
Pour chaque employé, évaluer les jours de travail (JT) à couvrir
Identifier les candidats « Employé-JT »
Un coût est attribué à chaque candidat
Coût d’un candidat
Valeur composite avec plusieurs facteurs à considérer
Les coûts sont spécifiés par des règles
Les candidats Employé-JT avec des coûts élevés sont moins désirables
Coût d’une affectation globale
Somme des coûts de tous les candidats choisis
La meilleure solution est celle avec le coût le plus bas
Un conducteur n’obtient pas nécessairement son premier choix
©GIRO inc. 200934
Opérations quotidiennes - Modèle
1,0
,...,1,1
,...,1,1
où
Min
1
1
11 1
ij
n
jij
j
n
iij
m
jj
n
i
m
jijij
x
nix
mjex
eKxc
Minimiser le coût de la solution
Pénaliser les jours de travail non assignés
Importance relative de forcer l’assignation
Jours de travail
Conducteurs
©GIRO inc. 200935
Opérations quotidiennes - Optimisation
Employés Jours de travail
E1
E2E3
E4
E5E6
E7
JT1
JT2
JT3
JT4
JT5
JT6JT7JT8
Candidats
Coût total le plus bas
= Meilleure qualité globale
©GIRO inc. 200936
Opérations quotidiennes- Algorithmes
Approche de programmation linéaire en nombres entiers
Génère une solution optimale
Définir correctement les valeurs des coûts est la clé pour obtenir les meilleurs résultats en pratique
©GIRO inc. 200937
Opérations quotidiennes
©GIRO inc. 200938
Opérations quotidiennes - Modifications
©GIRO inc. 200939
Autres besoins/problèmes
Analyses statistiques et optimisation pour définir les temps de parcours
Recherche de chemin le plus court pour fournir des itinéraires à la clientèle
Problème d’ordonnancement pour la gestion des véhicules
©GIRO inc. 200940
Gestion des véhicules
©GIRO inc. 200941
Questions
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