II-5 Théorèmes de Thévenin et de Norton
Modèle de Thévenin
E
i
R.i
u
R
E = Tension mesurée à vide (i=0)
R = résistance équivalente lorsque
toutes les sources d’énergie sont éteintes
Modèle de Norton
Iccu/R
uR
Icc = Intensité du courant mesuré
en court-circuit
R = résistance équivalente lorsque
toutes les sources d’énergie sont éteintes
21
Exemple
E2
R2
I1
R1
On donne :
R1=R2=50 ΩI1=0,5 A
E2=10 V
Modèle Norton
équivalent ?
I
U
Modèle Thévenin
équivalent ?
II-6 Théorème de superposition
Le théorème de superposition permet de simplifier l’étude descircuits « complexes » (comportant plusieurs sources de tensionet/ou de courant).
U
R2
I1
R1
R
Dans le cas des circuits électriques composés exclusivement
d'éléments linéaires la réponse dans une branche (tension ou
courant) est égale à la somme des réponses pour chaquegénérateur indépendant pris séparément, en désactivant(passivant) tous les autres générateurs indépendants.
E2
u
i
II-6 Théorème de superposition
Passivation des sources ?
i
u
i i
La tension deux points A et B d’un circuit linéaire comportant plusieurssources est égale à la somme des tension obtenues entre les deux pointslorsque chaque source agit seule.
u u
L’intensité du courant dans une branche d’un circuit linéaire comportantplusieurs sources est égale à la somme des intensités des courantscirculant dans cette branche lorsque chaque source agit seule.
Exemple
E2
R2
I1
R1
R
On donne :
R=50 ΩR1=R2=30 ΩI1=0,5 A
E2=10 V
Req U = ?
III Point de fonctionnement d’un circuit ?
Lorsque l’on associe un dipôle générateur et un dipôle récepteur, ils ont en commun la tension à leurs bornes et le courant qui les traverse.
GENERATEUR
RECEPTEUR
I
La tension U et le courant I dépendent des caractéristiques du
générateur et du récepteur. L’intersection des deuxcaractéristiques U=f(I) correspond au point de fonctionnement.
GENERATEUR
U
RECEPTEUR
III Point de fonctionnement d’un circuit ?
Générateur U=E-r.I
Récepteur U=R.I
Point de fonctionnement UF=E-r.U/R et IF=UF/R
r
I
Gé
né
rate
ur
Ré
cep
teu
r
U
UF
R
r
U
EGé
né
rate
ur
Ré
cep
teu
rI
F
IF
Exemple
R
r
U
I
EGé
né
rate
ur
Ré
cep
teu
r
On donne :
E = 20 V
r = 1 ΩR = 99 Ω
U = ?
I = ?I = ?
Exemple
On a I1 = 2 mA ; R = 1 kΩ Ω Ω Ω on cherche à calculer I et E
A I3
I4
E
I I1R R R
R2R
2R
I2
B C D
M
Exemple
Relation reliant U à E, R1 et R2 ?
R2R1 U
I2
I
E
I
R1
2 U
Relation reliant I2 à I, R1 et R2 ?
ER2 U
Pont diviseur de tension Pont diviseur de courant
2
1 2
RU E
R R= ⋅
+1
2
1 2
RI I
R R= ⋅
+
IV Puissance électrique
Lorsque l’on relie un dipôle
générateur à un dipôle récepteur,
ils ont en commun l’intensité I du
courant électrique et la tension à
leurs bornes U. La puissance
électrique échangée par les deux
dipôles s’exprime par la relation :
R
r
U
I
EGé
né
rate
ur
Ré
cep
teu
rQuelques ordres de grandeur :
µµµµW mW W kW MW
micro-électronique, électronique électronique de puissance
électrotechnique, production et transport énergie électrique
P = U . IW V A
IV Puissance électrique
R
r
U
I
EGé
né
rate
ur
Ré
cep
teu
rr.i
Générateur : Récepteur :
Pfournie = PE - Ppertes
Pfournie = U.I = E.I – r.I²
PE = E.I
Ppertes = r.I.I = r.I²
Preçue = Pfournie
Preçue = U.I
Preçue = U²/R
Preçue = R.I²
IV Puissance électrique
De même que le courant est défini par convention par le sens de
déplacement des trous, il est nécessaire de prendre une convention
pour la puissance électrique.
Comme le courant et la tension, la puissance est une variable
algébrique : positive ou négative.
v
P < 0
P > 0
P > 0
P < 0
v
i Puissance reçue ou fournie ?
IV Puissance électrique
Dipôle Dipôle
I
P < 0
Puissance
fournie
Puissance
reçue
P > 0
Dipôle
source
Dipôle
chargeV
Convention
Générateur
Convention
Récepteur
Puissance
reçue
Puissance
fournie
V Energie
Pendant une durée t, l’énergie transférée est :
Energie : unité le joule
E = P . tJ W s
P = U . IW V A durée t
Energie : unité le joule
1 J = 1 W pendant 1 s
Dans la vie quotidienne, on utilise le Wh ou le kWh :
1 Wh = 1 W pendant 1 heure = 3600 J
1 kWh = 1 kW pendant 1 heure = 3,6.106 J
Partie 2 : Partie 2 :
Régimes transitoiresRégimes transitoiresRégimes transitoiresRégimes transitoires
Régimes Transitoires - Plan
I. Régime transitoire ?II. Rappels équations différentielles d’ordre 1III. Dipôles linéaires
1. Résistance
2. Condensateur
3. Bobine
IV. Etude d’un circuit RC sérieIV. Etude d’un circuit RC série1. Charge du condensateur
2. Décharge du condensateur
3. Etude énergétique
V. Etude d’un circuit RL série1. Etablissement du courant dans la bobine
2. Arrêt du courant dans la bobine
3. Etude énergétique
VI. Circuit RLC ?
I Régime transitoire ?
Dans la première partie, nous avons étudié des circuits en régimepermanent. Nous allons maintenant nous intéresser aux régimestransitoires.
Par exemple, l’établissement d’un courant ou d’une tension dans
un circuit.
u
E
u
t
équations différentielles
III Rappels équations différentielles d’ordre 1
Une équation différentielle est une équation liant une fonction etsa ou ses dérivée(s). La résoudre revient à trouver une expression
générale pour toutes ses solutions.
On se limitera aux équations différentielles linéaires du premierordre à coefficients constants.
( )dy t( ) ( ) ( ).dy t
a y t f tdt
+ =
La résolution se fait en 2 temps :
recherche de la forme générale de toutes les solutions
recherche de celle vérifiant la condition initiale
III Rappels équations différentielles d’ordre 1
Exemple : résolution de
où E est une constante
Equation homogène associée :
solution de l’équation homogène
( ) ( ).dy t
a y t Edt
+ =
( ) ( ). 0dy t
a y tdt
+ =
( ) ( )expHy t K a t= ⋅ − ⋅
solution particulière de l’équation avec second membre (yP(t)=cste)
solution générale
Calcul de K à partir des conditions initiales (à t=0, y(t)=y0)
( )P
Ey t
a=( ) ( )
0P
P
dy ty t cste
dt= ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( )expH P
Ey t y t y t K a t
a= + = ⋅ − ⋅ +
( ) ( )0 expE E
y t y a ta a
= − ⋅ − ⋅ +
III Dipôles linéaires
COMPORTEMENT
ÉLECTRIQUE ?ÉLECTRIQUE ?
III-1 Résistance
i(t)
u(t)R
Loi d’Ohm ( ) ( )⋅u t = R i t
III-2 Condensateur
Un condensateur est constitué de deux surface conductrices (lesarmatures) séparées par un isolant électrique (le diélectrique).
A
+ + + + + + + + +
A
B
armatures
diélectrique
III-2 Condensateur
Le fait d’avoir un isolant entre les 2 armatures signifie qu’il n’y apas de courant qui traverse le condensateur …
A
I
R
Principe de fonctionnement du condensateur ?
B
diélectriqueE C UC
A
III-2 Condensateur
Principe de fonctionnement ?
E
i
R
C uC
A
B
+
-
+ + + + + + + + +
charge +q
B
diélectrique
Accumulation de charges sur les armatures (électrodes)
B + + + + + + + + +
charge -q
III-2 Condensateur
La charge q d’un condensateur est proportionnelle
à la tension à ses bornes :
Capacité d’un condensateur plan ?
C UC
+q
-q
i
Cq C u= ⋅q : charge en coulombs (C)
C : capacité en farad (F)
u : tension en volt (V)
0 r SCe
ε ε⋅ ⋅=
ε0 : permittivité du vide (≈8,854.10-12 F.m-1)
εr : permittivité relative (εr ≥ 1)
S : surface (m²)
e : épaisseur du diélectrique (m)
A
B
diélectrique
III-2 Condensateur
Quelques exemples de valeurs de permittivité relative …
Polymères thermoplastiques
Céramiques
III-2 Condensateur
Courant dans un circuit comportant un condensateur ?
dQi
dt=
E
i
R
C uC
A
+ avec dQ = quantité d’électricité
traversant une section du +q
( ) ( )Cdu ti t C
dt= ⋅
E C
B
-
traversant une section du
circuit pendant dt
Conservation de la charge
dQ=dq
Cq C u= ⋅
-q
En régime continu, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert
Discontinuité de tension interdite !
III-2 Condensateur
Association de condensateurs ?
en parallèle : en série :
C1
uC
+q1
-q1
+q2
-q2
i
C2
C1
uC
+q
-q
i
+qC +q
-q
C2
( )1 2
1 2 1 2C C C
q q q
q C u C u C C u
= +
= ⋅ + ⋅ = + ⋅
1 2
1 2 1 2
1 1C
q q q
q qu q
C C C C
= =
= + = ⋅ +
1 2eqC C C= +1 2
1 1 1
eqC C C= +
III-2 Condensateur
Applications :
- Circuits électroniques (fonctions …)
- Filtrage (équaliseur audio, …)
Energie emmagasinée : sous forme électrostatique
21( )
2E C V J= ⋅ ⋅
pF nF µµµµF mF F
Quelques ordres de grandeur :
micro-électronique, électronique électrotechnique
- Filtrage (équaliseur audio, …)
- Stockage d’énergie (flash appareil photo, etc.)
…
III-3 Bobine
Une bobine (inductance, self) est généralement constituée d’unbobinage réalisé sur un circuit magnétique.bobinage réalisé sur un circuit magnétique.
III-3 Bobine
i(t)
uL(t) L
Relation entre la tension et le courant :
( ) ( )L
di tu t L
dt= ⋅
uL : tension en volt (V)
L : inductance en henry (H)
i : courant en ampère (A)
En régime continu, la bobine se comporte comme un fil (court-circuit)
Discontinuité de courant interdite !
III-3 Bobine
Inductance d’une bobine ?
2
0 (H)r
SL n
lµ µ= ⋅ ⋅ ⋅
µ0 : perméabilité du vide (4.π.10-7 H/m)µr : perméabilité relative
S : section du circuit magnétique (m²)
l : longueur du circuit magnétique (m)
section Slongueur l
l : longueur du circuit magnétique (m)
III-3 Bobine
Association de bobines ?
en parallèle : en série :
u L di dt L di dt= ⋅ = ⋅
i(t)uL(t)
L1
L2
i(t)
uL(t)
L1L2
1 1 2 2Lu L di dt L di dt= ⋅ = ⋅
( )
1 2
1 2
L
L
di diu L L
dt dt
diu L L
dt
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
1 2
1 1 1
eqL L L= +
1 2eqL L L= +
1 2 1 2i i i di dt di dt di dt= + ⇒ = +
1 2 1 2
1 1L LL
u udiu
dt L L L L
= + = ⋅ +
III-3 Bobine
Applications :
- Circuits électroniques (fonctions …)
- Filtrage (équaliseur audio, …)
- Electro-aimant
Energie emmagasinée : sous forme magnétique
21( )
2E L I J= ⋅ ⋅
nH µµµµH mH H
Quelques ordres de grandeur :
- Electro-aimant
- Stockage d’énergie
…
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