Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes
1- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes
vues sur une ligne de transmission
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2- Smith
II.8. L’abaque de SmithII.8.a. Rappels
Im
Re
T
O
rv
rv
1
T’ri
ri
Ro
rzZc
Zr
ri
rv
rirv
ri
ri
rv
rv
OT
OT
'
Impédance réduite
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3- Smith
II.8. L’abaque de Smith
10 RIm
O1 Re
Im
O1 Re
Onde progressiveOP
Tout est concentré sur 1
Onde stationnaireOS
Cercle maximum
Onde pseudo stationnaireOPS
Valeurs intermédiaires
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4- Smith
II.8. L’abaque de Smith
r
rj
r
r
i
ieRo
V
V R
γy2γy2
r
r
xeeR
Rv
v
)2(2R
yjy
xeeRo
Rx
RxZcZx
1
1
R
RZcZr
1
1
Impédance réduite :Rx
Rxzx
1
1
R
Rzr
1
1
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5- Smith
II.8. L’abaque de Smith
1
1
x
xx z
zR
Sans pertes :)2(
Ryj
xeRo
jeRoxzxz
1
1
Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un
point de la ligne
II.8.b. Construction en impédance
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6- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Ox
MjeRo
xzxz
1
1
Ro
Représentation polaire
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7- Smith
II.8. L’abaque de Smith
O
M
jqpjeRo
Représentation cartésienne
Im
Re
q
p
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8- Smith
II.8. L’abaque de Smith
jqpjeRo Im
O
M
Re
q
p
Ro
sin
cos
Roq
Rop
On pose l’impédance réduite sous la forme :
jurzx
jeRoxzxz
1
1 jur
jurjqp
1
1
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9- Smith
II.8. L’abaque de Smith
22
2
1
1
1
rq
r
rp
On arrive à :
Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r)
Cercle r=0 correspond à une impédance purement imaginaire
Cercle r=1 correspond à Zx=Zc
Cercle r=infini correspond au point de partie réelle 1
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10- Smith
II.8. L’abaque de Smith
5
21
0,6
0,3
- 0,6
- 0,3
- 1- 2
- 5
0Axe des réels
Axe p=1
0,2 0,5 1 2
Valeur de r
Valeur de u
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11- Smith
II.8. L’abaque de Smith
5
210,6
0,3
- 0,6
- 0,3
- 1- 2
- 5
0 0,2 0,5 1 2
II.8.c. Utilisation de l’abaque
Si on connaît l’impédance
Calcul de l’impédance réduite
Exemple : zx=0.5-j0.6
zx
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12- Smith
II.8. L’abaque de Smith
5
21
0,6
0,3
- 0,6
- 0,3
- 1- 2
- 5
0 0,2 0,5 1 2
zx
Déduction du coefficient de
réflexion
Ro
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13- Smith
II.8. L’abaque de Smith
On trouve alors :
Rx = 0.48 e-j108°
1
1
x
xx z
zR
On peut vérifier :
Rx = -0.15 - j.0.46
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14- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Si la ligne est à pertes négligeables
csteRoRx
Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un
cercle de rayon |Ro|
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15- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Le déplacement autour de l’abaque est gradué en
fraction de longueur d’onde
Tour complet : /2
Demi-tour : /4
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16- Smith
II.8. L’abaque de SmithII.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque
Zi
ei
ZrRZc=50
Ligne 50 fermée sur une impédance Zr=25 +j75
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17- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) :
zr=25/50+j.75/50zr=0.5+1.5j
r=0.5
u=1.5
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18- Smith
II.8. L’abaque de SmithDétermination directe du
coefficient de réflexion au niveau de la charge :
R=0.75 ej64°
r=0.5
u=1.5
Lecture de
Lecture de |Ro|
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19- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Zi
ei
ZrRx1
Zc=50
On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à /4 de la charge
Zx1 /4
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20- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la chargePour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du
point de la charge, et on parcourt 0.25 vers le
générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport
au centre)
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21- Smith
II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement
le nouveau coefficient de réflexion :
Rx1=0.75 e-j116°
De même on trouve la nouvelle impédance réduite :
zx1 = 0.2 - 0.6j
D’où une impédance ramenée:
Zx1 = 10 - 30j
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22- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Zi
ei
ZrRx2
Zc=50
Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de
0.1vers la charge
Zx2 /4
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23- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Point précédent à 0.088 vers la charge
déplacement jusqu’au point à 0.188 vers la charge
Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|
Impédance de la charge
Impédance à /4 de la charge
Déplacement de 0.1 vers la charge
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24- Smith
II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement
le nouveau coefficient de réflexion :
Rx2=0.75 e-j45°
De même on trouve la nouvelle impédance réduite :
zx2 = 0.9 - 2.1j
D’où une impédance ramenée:
Zx2 = 45 - 105j
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25- Smith
II.8. L’abaque de Smith
On va détailler les autres données que l’on peut
extraire de la représentation sur l’abaque
II.8.e. Autres grandeurs
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26- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Zi
ei
ZrZc=50 R
Représentation des tensions et courants :
y
xv
xv 2jeRo1
xRxv
xv
xv
xv 1Tension :
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27- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la charge
rv
rv
Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point
sur l’abaque
On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste
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28- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la chargeOn peut suivre alors le long
de la ligne l’évolution de
passant par des valeurs min et max
xv
xv
xv
xv
maxmin
xv
xv
1+|R|
1-|R|
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29- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la charge
On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le
point diamétralement opposé
On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste
Détermination du courant
ri
ri
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30- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la charge
xi
xi
On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de
passant par des valeurs min et max
xi
xi
1+|R|
1-|R|
xi
xi
v et i toujours en quadrature
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31- Smith
II.8. L’abaque de SmithReprésentation des admittances :
Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance
ZxxY
1 x
YZccYxY
xy .
admittance normalisée
Rx
Rxxy
1
1On a alors
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32- Smith
II.8. L’abaque de Smith
jeRo
jeRoxz
1
1
jeRo
jeRoxy
1
1
Si on compare :
Ajout de à
yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque
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33- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Impédance de la charge
Admittance de la charge
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34- Smith
II.8. L’abaque de SmithAutres grandeurs :
R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR
R
R
i
i
1
1
min
max
minvmax
vρ
Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant
par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S.
À l’origine, TOS=100Vr/Vi
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35- Smith
II.8. L’abaque de Smith
ROS
ROS dB=20 log ROS
Coefficient de réflexion en dB : Return loss
valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la
puissance réfléchie
RxPx
Pxlog20log10
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36- Smith
II.8. L’abaque de Smith
Pertes d’adaptation en dB : Reflected lossvaleur négative correspondant au rapport entre la puissance
arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise
21log10log10 Rx
Px
Px
Coefficient de réflexion en puissance :
Px
Px
Atténuation en dB : y
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37- Smith
II.8. L’abaque de Smith
A avoir en tête, les ordres de grandeurs :
ROS Return loss (dB)
Puissance transmise (%)
Puissance réfléchie (%)
|R|
1
1.5
2
3
0
0.2
0.33
0.5
- infini
-14
-10
-6
100
96
90
75
0
4
10
25
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