Groupe de travail SDH (GdR MACS)Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007
Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS)
et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov
Julien Bect
Département Signaux et Systèmes Électroniqueshttp://www.supelec.fr/deptsse
20 septembre 2007
Plan de l’exposéIntroduction aux GSHS
Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeConclusion / perspectives
Références
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
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Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeConclusion / perspectives
Références
GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
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Références
GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Généralités sur les SHS
modélisation probabiliste de l’incertitudesystème hybrides stochastiques
vs modélisation non-déterministe
automates hybrides
99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens
on s’y ramène (souvent) par augmentation de l’étatprocessus de Markov à temps continu
sujet de recherche assez anciendepuis les 70’s : modèles à sauts de paramètres markoviensintroduction de modèles « à sauts forcés »
processus déterministes par morceaux (Davis, 1984)formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004)
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Dynamique hybride & probabilités (1)
E1
E2
E3
X−τ1
X−τ2
Xτ1 ∼ K (X−τ1
, · )
Xτ2 ∼ K (X−τ2
, · )
X0 saut forcé
saut spontané
λ(Xt) ≥ 0
(Librement inspiré d’un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006)
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Dynamique hybride & probabilités (2)
Résumé des éléments définissant un GSHS :
Espace d’état « hybride » : E = ∪q∈Q{q} × Eq
Dynamique continue : EDS
Deux types de sauts :sauts spontanés, intensité stochastique λ(Xt) ≥ 0sauts forcés, déclenché par la garde G ⊂ ∂E
Réinitialisation : noyau de transition K (x , dx ′)
« Domaine invariant » : E0 = E \ G
(par déf. on a toujours E0 ∩ G = ∅ !)
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Comparaison avec les automates hybrides
Automate hybride GSHS
inclusion différentielle équation différentielle stoch.
E0 ∩ G 6= ∅ en général E0 ∩ G = ∅ (par déf.)
sauts possibles dans E0 ∩ G sauts spontanés dans E0
(non déterminisme) (probabiliste, intensité λ ≥ 0)
sauts forcés dans G \ E0 sauts forcés dans G
réinit. non-déterministe réinit. stochastiquexτk
∈ Reset(x−τk
) Xτk∼ K (X−
τk, · )
x0 détermine un ensemble x0 détermine une loi de proba.de trajectoires admissibles sur l’ensemble des trajectoires
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
On trouve des GSHS dans des domaines très variés !
ateliers de fabrication : machines avec pannes
consommation optimale de resources renouvelables
systèmes embarqués (projet Columbus)
gestion du trafic aérien (projet Hybridge)
biologie : réseaux de régulation génétique
énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable
. . .
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985)
thermostatQt ∈ {0, 1}
pièce n 1
(temp. Z 1t
)pièce n 2
(temp. Z 2t
)
« vecteur » d’état : Xt = (Qt , Zt)
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Modélisation par un GSHS à sauts forcés
Qt = 0dZt = f(0, Zt) dt + σ dBt
Z 1t > zmin
Qt = 1dZt = f(1, Zt) dt + σ dBt
Z 1t < zmax
f(q, z ) = Az + zextfext + qfchauff
σ =(
σ1 00 σ2
)
Z 1t = zmin
Z 1t = zmax
Z1 t
Z2 t
temps (minutes)
Qt
0 20 40 60 80 1000
0.5
1
20
2224
20
2224
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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
Espace d’état hybride du modèle
E = {0} × E0 ∪ {1} × E1
mode on (q = 1)E1 =
]
−∞; zmax
]
× R
mode off (q = 0)E0 =
[
zmin; +∞[
× R
z1
z1z2
z2
zmax
zmax
zmin
zmin
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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
1 Plan de l’exposé
2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique
3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
4 Conclusion / perspectives
5 Références
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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
Caractérisation de l’incertitude ?
l’état Xt est une variable aléatoire. . .mais quelle est sa loi de probabilité µt ?
Xt n’est (presque) jamais une V.A. gaussienne, doncpour caractériser µt , il ne suffit pas de s’intéresser à lamoyenne et à la variance !
deux situations où la question se pose :propagation de l’incertitudeµ0 est connue : évolution t 7→ µt ?
GSHS stable (en loi)comment trouver la loi stationnaire µst ?
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Références
Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
Rappel : cas des EDO et des EDS
systèmes dynamiques « classiques » : tps continu, E = Rn
on suppose l’existence d’une ddp : µt(dx ) = pt(x ) dx
deux cas particuliersen l’absence de bruit : évolution déterministe (EDO)
X0 ∼ p0(x ) dx
Xt = f(Xt)
en présence de bruit : processus de diffusion (EDS)
X0 ∼ p0(x ) dx
dXt = f(Xt) dt +∑
k
gk (Xt) dBk
t
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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov
cas déterministe (EDO) : l’équation de Liouville
∂pt
∂t+ div (fpt) = 0 −→
jt = fpt
∂pt
∂t+ div jt = 0
cas diffusif (EDS) : l’équation de FPK
jt = fpt −12
∑
k
gk div (gk pt)
lorsque la dynamique est hybride :
équation de FPK généralisée !
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Quelques références
Processus de diffusion & équation de FPKKolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966)
Généralisation aux processus diffusifs par morceaux
sauts spontanés (assez bien connu)Kolmogorov (1931), Gardiner (1985),
Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005)
sauts forcés (seulement en dimension 1 !)Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985)
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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts
Soit R (A) = Eµ0
∑
k≥1 1A
(
X−τk
, τk
)
.
On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour lamesure initiale µ0, s’il existe une application t 7→ rt , à valeursdans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que :
1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t 7→ rt(Γ) est mesurable ;2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t ]) =
∫ t
0 rs(Γ) ds.
Que vaut rt(dx ) ?
sauts spontanés : r0t (dx ) = λ(x )µt(dx )
sauts forcés : rGt (dx ) = ???
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Références
Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
L’équation de FPK généralisée
notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation
t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution
µ′t = L∗µt + rt (K − I )
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L’équation de FPK généralisée
notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation
t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution
µ′t = L∗µt + rt (K − I )
dérivéepar rapportau temps
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L’équation de FPK généralisée
notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation
t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution
µ′t = L∗µt + rt (K − I )
dérivéepar rapportau temps
effet dela diffusion
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L’équation de FPK généralisée
notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation
t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution
µ′t = L∗µt + rt (K − I )
dérivéepar rapportau temps
effet dela diffusion
effet des sautsrtK =
∫
E rt(dx )K (x , · )
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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques
Corollaire important
On en déduit l’expression de l’intensité moyenne de sauts forcés.
Si µt(dx ) = pt(x ) dx au voisinage de G , avec p de classe C 2,1,
rGt (Γ) =
∫
Γ∩G
〈jt , n〉ds ,
avec n la normale sortante sur G .
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Retour sur l’exemple du thermostat
Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation.
Cette vidéo (≈ 2.3 Mo) est disponible sur la page « réunions »du site web du groupe SDH, à l’adresse suivante :
http ://www.rennes.supelec.fr/sdh.
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Considérations numériques
Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis
conservation de la masse garantie
matrices « très creuses » (densité : 10−6 – 10−8)
Efficace pour le calcul du régime stationnaire
calcul « direct » (recherche d’un vecteur propre)
compris précision / temps de calcul comparable à uneméthode de type Monte-Carlo
intérêt de résoudre FPK : construction d’uneapproximation de µst, stockable donc réutilisable
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Références
Conclusion / perspectives
GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybridesformalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004)
⇒ besoin d’outils unifiés également !
Caractérisation de l’incertitudeune équation de FPK généralisée a été établieunification + prise en compte de sauts forcésconcept d’intensité moyenne de sauts
Directions de recherchephénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc.
fonctions de Lyapunov multiples ?
méthodes numériques
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Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeConclusion / perspectives
Références
Références en lien avec le travail présenté
J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux :
outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ.Paris-Sud 11, 2007.http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00169791/fr
J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck
equation for piecewise-diffusion processes with boundary
hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet 2006.http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016373/en
J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the
Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems :
application to a wind turbine model, PMAPS 2006,Stockholm, juin 2006.http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016375/en
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