Groupe de travail SDH (GdR MACS)Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007

Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS)

et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov

Julien Bect

Département Signaux et Systèmes Électroniqueshttp://www.supelec.fr/deptsse

20 septembre 2007

Plan de l’exposéIntroduction aux GSHS

Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeConclusion / perspectives

Références

1 Plan de l’exposé

2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

4 Conclusion / perspectives

5 Références

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Plan de l’exposéIntroduction aux GSHS

Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeConclusion / perspectives

Références

GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

1 Plan de l’exposé

2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

4 Conclusion / perspectives

5 Références

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Références

GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Généralités sur les SHS

modélisation probabiliste de l’incertitudesystème hybrides stochastiques

vs modélisation non-déterministe

automates hybrides

99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens

on s’y ramène (souvent) par augmentation de l’étatprocessus de Markov à temps continu

sujet de recherche assez anciendepuis les 70’s : modèles à sauts de paramètres markoviensintroduction de modèles « à sauts forcés »

processus déterministes par morceaux (Davis, 1984)formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004)

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Dynamique hybride & probabilités (1)

E1

E2

E3

X−τ1

X−τ2

Xτ1 ∼ K (X−τ1

, · )

Xτ2 ∼ K (X−τ2

, · )

X0 saut forcé

saut spontané

λ(Xt) ≥ 0

(Librement inspiré d’un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006)

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Dynamique hybride & probabilités (2)

Résumé des éléments définissant un GSHS :

Espace d’état « hybride » : E = ∪q∈Q{q} × Eq

Dynamique continue : EDS

Deux types de sauts :sauts spontanés, intensité stochastique λ(Xt) ≥ 0sauts forcés, déclenché par la garde G ⊂ ∂E

Réinitialisation : noyau de transition K (x , dx ′)

« Domaine invariant » : E0 = E \ G

(par déf. on a toujours E0 ∩ G = ∅ !)

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Comparaison avec les automates hybrides

Automate hybride GSHS

inclusion différentielle équation différentielle stoch.

E0 ∩ G 6= ∅ en général E0 ∩ G = ∅ (par déf.)

sauts possibles dans E0 ∩ G sauts spontanés dans E0

(non déterminisme) (probabiliste, intensité λ ≥ 0)

sauts forcés dans G \ E0 sauts forcés dans G

réinit. non-déterministe réinit. stochastiquexτk

∈ Reset(x−τk

) Xτk∼ K (X−

τk, · )

x0 détermine un ensemble x0 détermine une loi de proba.de trajectoires admissibles sur l’ensemble des trajectoires

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

On trouve des GSHS dans des domaines très variés !

ateliers de fabrication : machines avec pannes

consommation optimale de resources renouvelables

systèmes embarqués (projet Columbus)

gestion du trafic aérien (projet Hybridge)

biologie : réseaux de régulation génétique

énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable

. . .

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985)

thermostatQt ∈ {0, 1}

pièce n 1

(temp. Z 1t

)pièce n 2

(temp. Z 2t

)

« vecteur » d’état : Xt = (Qt , Zt)

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Modélisation par un GSHS à sauts forcés

Qt = 0dZt = f(0, Zt) dt + σ dBt

Z 1t > zmin

Qt = 1dZt = f(1, Zt) dt + σ dBt

Z 1t < zmax

f(q, z ) = Az + zextfext + qfchauff

σ =(

σ1 00 σ2

)

Z 1t = zmin

Z 1t = zmax

Z1 t

Z2 t

temps (minutes)

Qt

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

20

2224

20

2224

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GénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

Espace d’état hybride du modèle

E = {0} × E0 ∪ {1} × E1

mode on (q = 1)E1 =

]

−∞; zmax

]

× R

mode off (q = 0)E0 =

[

zmin; +∞[

× R

z1

z1z2

z2

zmax

zmax

zmin

zmin

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

1 Plan de l’exposé

2 Introduction aux GSHSGénéralitésGSHS : dynamique hybride & probabilitésComparaison avec les automates hybridesDomaines d’applicationUn modèle de consommation électrique

3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitudeCaractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

4 Conclusion / perspectives

5 Références

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Caractérisation de l’incertitude ?

l’état Xt est une variable aléatoire. . .mais quelle est sa loi de probabilité µt ?

Xt n’est (presque) jamais une V.A. gaussienne, doncpour caractériser µt , il ne suffit pas de s’intéresser à lamoyenne et à la variance !

deux situations où la question se pose :propagation de l’incertitudeµ0 est connue : évolution t 7→ µt ?

GSHS stable (en loi)comment trouver la loi stationnaire µst ?

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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Rappel : cas des EDO et des EDS

systèmes dynamiques « classiques » : tps continu, E = Rn

on suppose l’existence d’une ddp : µt(dx ) = pt(x ) dx

deux cas particuliersen l’absence de bruit : évolution déterministe (EDO)

X0 ∼ p0(x ) dx

Xt = f(Xt)

en présence de bruit : processus de diffusion (EDS)

X0 ∼ p0(x ) dx

dXt = f(Xt) dt +∑

k

gk (Xt) dBk

t

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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov

cas déterministe (EDO) : l’équation de Liouville

∂pt

∂t+ div (fpt) = 0 −→

jt = fpt

∂pt

∂t+ div jt = 0

cas diffusif (EDS) : l’équation de FPK

jt = fpt −12

∑

k

gk div (gk pt)

lorsque la dynamique est hybride :

équation de FPK généralisée !

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Références

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Quelques références

Processus de diffusion & équation de FPKKolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966)

Généralisation aux processus diffusifs par morceaux

sauts spontanés (assez bien connu)Kolmogorov (1931), Gardiner (1985),

Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005)

sauts forcés (seulement en dimension 1 !)Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985)

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Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts

Soit R (A) = Eµ0

∑

k≥1 1A

(

X−τk

, τk

)

.

On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour lamesure initiale µ0, s’il existe une application t 7→ rt , à valeursdans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que :

1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t 7→ rt(Γ) est mesurable ;2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t ]) =

∫ t

0 rs(Γ) ds.

Que vaut rt(dx ) ?

sauts spontanés : r0t (dx ) = λ(x )µt(dx )

sauts forcés : rGt (dx ) = ???

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

L’équation de FPK généralisée

notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation

t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution

µ′t = L∗µt + rt (K − I )

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

L’équation de FPK généralisée

notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation

t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution

µ′t = L∗µt + rt (K − I )

dérivéepar rapportau temps

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

L’équation de FPK généralisée

notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation

t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution

µ′t = L∗µt + rt (K − I )

dérivéepar rapportau temps

effet dela diffusion

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

L’équation de FPK généralisée

notationsµt(dx ) loi de Xt (mesure de probabilité)L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib.rt(dx ) intensité moyenne de sautsK (x , dy) noyau de réinitialisation

t 7→ µt obéit à l’équation d’évolution

µ′t = L∗µt + rt (K − I )

dérivéepar rapportau temps

effet dela diffusion

effet des sautsrtK =

∫

E rt(dx )K (x , · )

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Corollaire important

On en déduit l’expression de l’intensité moyenne de sauts forcés.

Si µt(dx ) = pt(x ) dx au voisinage de G , avec p de classe C 2,1,

rGt (Γ) =

∫

Γ∩G

〈jt , n〉ds ,

avec n la normale sortante sur G .

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Retour sur l’exemple du thermostat

Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation.

Cette vidéo (≈ 2.3 Mo) est disponible sur la page « réunions »du site web du groupe SDH, à l’adresse suivante :

http ://www.rennes.supelec.fr/sdh.

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Références

Caractérisation de l’incertitude ?Rappel : cas des EDO et des EDSL’équation de FPK généralisée aux GSHSRésultat numériques

Considérations numériques

Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis

conservation de la masse garantie

matrices « très creuses » (densité : 10−6 – 10−8)

Efficace pour le calcul du régime stationnaire

calcul « direct » (recherche d’un vecteur propre)

compris précision / temps de calcul comparable à uneméthode de type Monte-Carlo

intérêt de résoudre FPK : construction d’uneapproximation de µst, stockable donc réutilisable

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Références

Conclusion / perspectives

GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybridesformalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004)

⇒ besoin d’outils unifiés également !

Caractérisation de l’incertitudeune équation de FPK généralisée a été établieunification + prise en compte de sauts forcésconcept d’intensité moyenne de sauts

Directions de recherchephénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc.

fonctions de Lyapunov multiples ?

méthodes numériques

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Références

Références en lien avec le travail présenté

J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux :

outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ.Paris-Sud 11, 2007.http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00169791/fr

J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck

equation for piecewise-diffusion processes with boundary

hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet 2006.http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016373/en

J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the

Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems :

application to a wind turbine model, PMAPS 2006,Stockholm, juin 2006.http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016375/en

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