Une fonction est dite périodique lorsque sa représentation graphique est constituée
d’un motif qui se répète.
L’écart entre les abscisses situées aux extrémités de ce motif correspond à la
période de la fonction.
Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.
Le comportement d’une masse
suspendue à un ressort qui oscille
verticalement sans friction peut être modélisé par une
fonction périodique.
D’après ce graphique, on déduit que la masse revient à sa position initiale toutes les 2 s. La période de la fonction est donc de 2 s.
La fonction sinus est une fonction périodique de période 2π.
sin( 2 ) sinx x
sin x
L’amplitude de la fonction sinus de base est de 1.
Point de départ : (0,0)
La fonction cosinus est une fonction périodique de période 2π.
cos( 2 ) cosx x
cos x
L’amplitude de la fonction cosinus de base est de 1.
Point de départ : (0,1)
La fonction tangente est une fonction périodique de période π.
tan( ) tanx x
tan x
La fonction tangente admet une infinité d’asymptotes verticales d’équations:
Point de départ : (0,0)
2 où x n n
sin ( )y a b x h k
Amplitude = a
2Période =
b
, = point de départ d'un cycleh k
, = point d'inflexion de la courbeh k
2 situations possibles selon les signes de a et b
0
cycle croissant au départ
ab
0
cycle décroissant au départ
ab
ou
sin ( )y a b x h k
cos ( )y a b x h k
Amplitude = a
2Période =
b
, = point de départ d'un cycleh k a , = point extremum de la fonctionh k a
2 situations possibles selon le signe de a
0
( , )
cycle décroissant au départ
Point de départ :
a
h k A
ou
cos ( )y a b x h k
0
( , )
cycle croissant au départ
Point de départ :
a
h k A
tan ( )y a b x h k
Période = b
,( , )
= point milieu d'un cycle
est situé à égale distance de 2 asymptotes consécutives
h k
h k
2 situations possibles selon les signes de a et b
0
Fonction croissante
ab ou
tan ( )y a b x h k
0
Fonction décroissante
ab
On identifie un cycle à l'aide d'un rectangle dont
la base correspond à la période p et la hauteur au
double de l'amplitude A. On part d'un point de départ (h,k).
( , ) (-2,5)
10
1,5
Pour cet exemple, prenons .
La période est de (longueur du rectangle)
et l'amplitude est de .
h k
La fonction réciproque de la fonction sinus est une fonctions appelée arcsinus
arcsiny x
arcsin 1,1dom
arcsin ,2 2
ima
La fonction réciproque de la fonction cosinus est une fonctions appelée arccosinus
arccosy x
arccos 1,1dom
arccos 0,ima
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