EXPERIMENTER EN MATHEMATIQUES

Dans les programmes

« L’objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités

• d’expérimentation et de raisonnement,

• d’imagination et

• d’analyse critique.

• Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. »

Dans les programmes

Les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique :

identifier et formuler un problème,

conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples,

bâtir une argumentation,

contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié,

communiquer une recherche,

mettre en forme une solution.

Dans les programmes

(programme de sixième)La démarche d’apprentissage renforce également la formation intellectuelle de l’élève, développe ses capacités de travail personnel (individuellement et en équipes) et concourt à la formation du citoyen. Elle vise notamment à :• développer les capacités de raisonnement : observation, analyse, pensée déductive ;• stimuler l’aptitude à chercher qui nécessite imagination et intuition ;• habituer l’élève à justifier ses affirmations, à argumenter à propos de la validité d’une solution, et pour cela à s’exprimer clairement aussi bien à l’écrit qu’à l’oral;• affermir les qualités d’ordre et de soin.

Dans les programmes(programmes de cycle central)• l’étude des mathématiques au cycle central permet aux élèves

d’appréhender l’existence de lois logiques et développe :le sens de l’observation ;

– l’imagination raisonnée, l’ouverture d’esprit ;– une attitude critique et réfléchie vis-à-vis de l’information disponible ;– la rigueur et la précision ;– le respect de la vérité rationnellement établie ;– l’esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l’incertain, la

prédiction et la prévision, situation d’un résultat ou d’une information dans son contexte ;

– la volonté de justesse dans l’expression écrite et orale, du goût pour l’enrichissement du vocabulaire ;

– la volonté de se prendre en charge personnellement ;– l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat ;– l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper, d’être indépendant et inventif en

développant les qualités de curiosité et créativité.

Introduction commune aux disciplines scientifiques

La démarche d’investigationS’appuie sur le questionnement des élèves sur la résolution

de problèmesCanevas :1. choix d’une situation par le professeur2. Appropriation du problème par les élèves3. Formulation de conjectures…4. Investigation ou résolution du problème par les élèves5. Échange argumenté autour de propositions élaborées6. Acquisition et structuration des connaissances7. Opérationnalisation des connaissances

L’expérimentation en mathématiques

LES HUIT MOMENTS DE L’ACTIVITÉ MATHÉMATIQUE(GTD de Mathématiques – “anciens programmes”)1. Formuler un problème2. Conjecturer un résultat3. Expérimenter sur des exemples4. Bâtir une démonstration5. Mettre en œuvre des outils théoriques6. Mettre en forme une solution7. Contrôler les résultats obtenus8. Évaluer la pertinence de ces résultats

Les situations – problèmes

Elles permettent de découvrir une nouvelle notion- Problème facilement compréhensible- Que les élèves peuvent aborder avec leurs

propres connaissances

Mais- Les anciennes connaissances ne suffisent pas- Les nouvelles connaissances sont le meilleur

outil

Les situations – problèmes

Exemple 1 : la division

Exemple 2 : les cartes

LES PROBLEMES OUVERTS :DEFINITION

– Énoncé court– Facilement compréhensible par tous– Accessible à tous– Ni réponse ni méthode dans la question– Un problème pouvant avoir plusieurs

démarches de résolution (donc non lié au chapitre en cours)

LES PROBLEMES OUVERTS :COMPETENCES VISEES

• Développer une « démarche scientifique »

• s’approprier un problème

• Prendre des initiatives

• Mobiliser et structurer des connaissances

• Avoir un regard critique sur son propre travail

• Se confronter aux autres : argumenter, critiquer, comparer…

LES PROBLEMES OUVERTS : QUELLE MISE EN OEUVRE?

• Le plus tôt possible dans l’année et dans le cursus

• D’abord en classe entière (dégager une méthodologie)

• En groupes

• En recherches individuelles

• En temps libre

• En évaluation

LES PROBLEMES OUVERTS : QUELLE MISE EN OEUVRE?

• Gestion en classe entière :– Analyse collective– Phase de recherche individuelle– Phase de recherche collective– Écriture d’une démarche aboutissant à la

solution

LES PROBLEMES OUVERTS :DEMARCHE

(un exemple possible) Celle-ci pourra être utilisée de façon non chronologique, avec des allers retours entre les différentes étapes.

• Représenter de la situation– En géométrie, faire une figure, éventuellement dynamique ( avec un logiciel) ;– Faire un arbre, un tableau ;– Donner des exemples…

• Expérimenter• Observer ;

– Faire des essais… en utilisant la calculatrice, ou le tableur …• Conjecturer

– Emettre des conjectures (vraies ou fausses) ;– Indiquer des pistes de résolutions ;– Indiquer des méthodes pouvant être utilisées…

• démontrer• Sélectionner les outils géométriques, numériques, graphiques :• Rédiger une solution  ( si les outils choisis ne conviennent pas, recommencer)…• vérifier• Vérifier la cohérence entre expérimentation et justification ;• Revenir sur les conjectures pour les valider ou non…

LES PROBLEMES OUVERTS :COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS :COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS :COMMENT EVALUER?

LES PROBLEMES OUVERTS :DES EXEMPLES

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

exemple 5

Travaux en groupes

Quelques remarques :

- Il ne s’agit pas de détailler tous les types de travaux en groupes

- Il s’agit de diversifier les pratiques pédagogiques- Le travail en groupes peut se pratiquer aussi

bien lors d'une activité préparatoire, d'une démonstration, d’une séance d’exercices, en correction de contrôles...

DES CHOIX A FAIRE

• Groupes homogènes ou hétérogènes?

• Groupes imposés ou par affinités?

• Même travail pour tous ou travaux différentiés?

• Quel type de production est attendue?

• Quel type de restitution est la plus adaptée?

Déroulé succinct du Travail en Groupes :

Temps de préparation

Prévoir l’organisation de la synthèse finale

Présentation aux élèves  Installation des groupes Distribution des rôles dans les groupes

…

Définir l’objectif de l’activité de groupe

Définir la forme de la production

Définir l’organisation du travail

Elaborer des consignes (nb de groupes, nb d’élèves dans chaque groupe, choix des élèves, choix des rôles à attribuer …)

Distribution des consignes

Formation des groupes

Déroulé succinct du Travail en Groupes :

Temps de travail

Il doit faire la part des choses entre :

• Le travail individuel (appropriation)• Le travail de groupe• L’élaboration de la production

Mise en commun

Bilan qui sert de conclusion avec plusieurs orientations :• Chaque groupe est représenté par un rapporteur, le professeur sélectionne des groupes « représentatifs », …• Le professeur peut aussi décider de présenter un document de travail individuel ou représentatif d’un groupe d’affectation

Pour le professeur : rester en retrait…Observation du travail de chaque groupe

Inconvénients ou difficultés du travail en groupes

Pour l’élève

Il y a quand même des règles à respecter (autorité du prof, respect des autres,…)

Pour le professeur

Période d’adaptation

Temps de préparation

Nécessité d’une évaluation diagnostique pour définir les objectifs de la séance, constituer les groupes et les gérer

S’adapter aux rendus des élèves prise de risques

Bruit

Vigilance de l’enseignant instaurer des règles avec les élèves

Avantages du travail en groupes

Pour l’élève

Formation du citoyen : Les élèves permettent aux autres d’apprendre, Plus d’idées à plusieurs

Pour le professeur :

Gestion des élèves en difficulté peut se trouver facilitée (en faisant évoluer les groupes , ou en donnant des activités différentiées,...)

Motivant : Approche ludique, Valorisation du travail

Renforce la formation intellectuelle : Développe l’esprit d’initiative de l’élève

Adaptation au rythme des élèves : voulue par le professeur en fonction des groupes, organisée par les élèves eux-mêmes au sein d’un groupe

Expression orale ou écrite : Verbalisation , Production obligatoire

Mieux repérer les origines des erreurs des élèves (en direct)

Le temps d'activité de l’élève est supérieur à celui d’un élève en travail frontal

Exemple de guide d’organisation

CADRE CONTENU

Type de groupe

Thème du travail et problématique

Durée et déroulement

Groupe de productionGroupe de 4 élèvesUn très bon élève dans chaque groupe, puis répartition suivant les affinités

Premier sujet problème type brevetRéussir à gérer un problème avec des questions qui s’enchaînent

1h pour faire le sujet1h pour la mise en commun

Supports mis à disposition

Consignes et négociation

du cadre de travail

Mode de mise en commun envisagé

Mode d’évaluation

Le livre et le cahier

Chaque groupe travaille à son rythme et gère son tempspas de mise en commun pendant l’heure. Attention il y a une copie par groupe à rendre et tous les élèves devront prendre la correctionTout le groupe doit rester au même niveau

Correction au tableau: chaque groupe corrigera une partie au tableau après avoir reçu sa copie et après avoir eu le temps de faire les rectifications nécessaires.C’est moi qui choisit l’élève de chaque groupe qui passera au tableau

Une copie par groupe sera notée /12Une note non chiffrée sera donnée au groupe après le passage au tableau (cela permet de voir s’il y a eu une bonne communication dans le groupe, et s’il y a eu des progrès lors du travail de groupe suivant)