Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE
Professeur : Franck Besnard CPGE PSI
1
Exercice 5 : dtermination de la matrice centrale dinertie dun cylindre (CORRECTION)
De plus, les axes (G,x)
et (G,y)
jouent le mme rle dans la rpartition des masses. On en
dduit que A=B. On a donc la matrice suivante :
G
R
A B 0 0
I (S) 0 B A 0
0 0 C
=
= =
Choix du paramtrage : Nous utiliserons les coordonnes cylindriques r, et z avec dV=rdrd dz Domaine dintgration : r varie de 0 R, z de H/2 H/2 et de 0 2pi Calcul :
H
2 R 423
H0 0
2
RC (x y)dm r .dr.d .dz .2 .H.
4
pi
= + = = pi avec 2M
.R .H =
pi soit
2MRC
2=
ox Gxz GxyI A (y z)dm ydm zdm I I B ' C '= = + = + = + = +
oy Gyz GxyI B (x z)dm xdm zdm I I A ' C '= = + = + = + = +
oz Gyz GxzI C (x y)dm xdm ydm I I A ' B '= = + = + = + = + Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le mme rle pour la rpartition de la matire. On peut donc
en dduire que A=B=C/2 et par consquent que GxyC C
A I C '2 2
= + = +
H
2 R 32
Gxy
H0 0
2
M H R MHI C ' zdm z.rdr.d .dz .2 . .
RH 12 2 12
pi
= = = = pi =pi
Do : MR MH
A4 12
= +
1) Dterminez la matrice centrale dinertie dun cylindre de rvolution plein et homogne de masse M , de rayon R et de hauteur H. Dtermination de la base centrale dinertie :
Le repre (G,x,y,z)
est bien le repre central dinertie du
cylindre. Laxe (G,z)
est axe de symtrie donc E=D=0.
De mme laxe (G,x)
est axe de symtrie donc F=E=0.
Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE
Professeur : Franck Besnard CPGE PSI
2
La matrice centrale dinertie du cylindre scrit ainsi :
G
R
MR MH0 0
4 12
MR MHI (S) 0 0
4 12
MR0 0
2
+
= +
2) Dduisez-en la matrice dinertie au centre de lune de ses bases. On peut appliquer le thorme de Huygens, soit :
O G
R
b c ab ac
I I M. ab c a bc
ac bc a b
+
= + + +
+
Avec H
GO a.x b.y c.z .z2
= + + =
On obtient :
( )
O G
R x,y,z
R HH0 00 0
4 34
H R HI I M. 0 0 M. 0 0
4 4 3
0 0 0 R0 0
2
+
= + = +
3) Cas particulier dun disque et dun barreau cylindrique. Masse M, rayon R et dpaisseur ngligeable devant R :
Le terme MH
12 est alors ngligeable devant
MR
4 et on obtient alors au centre du disque :
( )G
x,y,z
1 0 0MR
I (disque) . 0 1 04
0 0 2
=
Cas dune tige cylindrique de masse M dont le rayon est ngligeable devant la longueur H.
Cest alors le terme MR
4 qui trs petit devant le terme
MH
12. Si G est le centre dinertie du
barreau et O lune de ses extrmits.
Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE
Professeur : Franck Besnard CPGE PSI
3
G
R
H0 0
12
HI (tige) M. 0 0
12
R0 0
2
=
et O
R
H0 0
3
HI (tige) M. 0 0
3
R0 0
2
=
Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE
Professeur : Franck Besnard CPGE PSI
4
Exercice 6 : 1)
Chap2 : Elments dinertie EXERCICES de MECANIQUE
Professeur : Franck Besnard CPGE PSI
5