1
Electromagntique 3 :
Induction - Diples - Energie
1. RAPPELS D'ELECTROSTATIQUE 3
1.1. loi de Coulomb Champ lectrique 3
1.2. Proprits du champ lectrique E 5
2. RAPPELS DE MAGNETOSTATIQUE 6
2.1. Le courant lectrique 6
2.2. Force magntique et Champ magntique 9
2.3. Proprits du champ magntique : 10
2.4. Potentiel vecteur du champ magntique 11
3. L'INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE 13
3.1. Prambule 13
3.2. Dplacement dun conducteur filiforme dans un champ B indpendant du temps 14
3.3. Force lectromotrice d'induction loi de Faraday 16
3.4. Loi de Faraday 17
3.5. Travaux Dirigs Induction 19
3.6. Circuits filiformes Coefficients d'induction 20
3.7. Travaux dirigs Coefficients d'induction 22
3.8. Rappel dlectrocintique - circuit contenant une bobine 23
3.9. Applications 24
3.10. Circuit non-filiforme : Courants de Foucault 26
4. TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE 27
5. ENERGIE MAGNETIQUE 28
5.1. Circuits filiformes 28
5.2. Association de circuits filiformes 30
Chap I : Equations locales du champ 2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 2
5.3. Circuits non filiformes 31
5.4. Travaux Dirigs 33
6. DIPOLE ELECTROSTATIQUE 35
6.1. Systmes de charges ponctuelles 35
6.2. Le diple lectrostatique moment dilectrique 35
6.3. Action dun champ sur un diple 36
6.4. Travaux dirigs 37
7. DIPOLE MAGNETIQUE 38
7.1. Moment magntique 38
7.2. Potentiel vecteur cr grande distance par une spire 39
7.3. Champ magntique cr par une spire circulaire 41
7.4. Lignes de champ du diple 42
7.5. Actions mcaniques subies par un diple 43
7.6. Exemple 44
7.7. Analogie moment lectrique / magntique : diple magntique 44
7.8. Travaux dirigs 44
Chap I : Equations locales du champ 2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 3
1. Rappels d'lectrostatique
1.1. loi de Coulomb Champ lectrique
Loi de Coulomb
121 2
12 21
0
.1 .
.4
uq q
F Frpi
= =
0 = 91
36 10pi = 8,854 . 10
-12 S.I. ou
0
1
4pi = 8,9875.10
9 S.I. 9.10
9
Principe de superposition : Dune manire plus gnrale : ii
F F=
(Exemples avec 2 charges )
E cr par une charge ponctuelle q1 : 1
2 12 1 2 2 1
0
1. .
4
qE u F q E
rpi = =
Potentiel cr par une charge ponctuelle q1 : 1
2
0
1.
4
qV
rpi=
densit volumique de charges : ( , , )dq
x y zdV
= C/m3
densit surfacique de charges : ( , , )dq
x y zdS
= C/m
densit linique de charges : ( , , )dq
x y zd
= C/m
Et, en vertu du principe de superposition, laction du
volume V sur une charge q quelconque place en P de
coordonne (x, y, z) scrit :
0
( , , ). .
4 ( , , )MP
V
q x y zF dV u
MP x y z
pi
=
ou
0
1 ( , , ). .
4 ( , , )MP
V
x y zE dV u
MP x y z
pi
=
(x, y, z)
M(x, y, z) (V)
q P(x, y, z)
q1 u12
r
F12
q2
Chap I : Equations locales du champ 2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 4
Exemples :
disque charg
soit =cste soit 'une charge Q uniformment rpartie"
dS = r.dr.d MP = r+x cos=x/(r+x)1/2
0
. 12
xE
R x
= +
0
0
1
4
R dSV
PM
pi= ( )0
0 0
2 2
R rdrV r x x
r x
= = +
+
on peut retrouver E partir de
E est discontinu au franchissement du disque :
V est TOUJOURS continu au franchissement de
on peut donner une forme non constante
Autre exemple : fil infini charg par
x
02r
V
0
0
x
E
5
1.2. Proprits du champ lectrique E
a) La circulation du champ lectrique d'un point P1 un point P2 est indpendante du chemin choisi :
2
2
.P
PE d cste=
On appelle :
- la fonction potentiel : .V E d= (intgrale indfinie)
(Ce calcul fait intervenir une constante)
- la diffrence de potentiels : 2
22 1. ( ( ) ( ))
P
PV E d V P V P = =
- relation inverse : E gradV=
disque : ( )0
2
V r x x
= +
0
. 12
xE
R x
= +
b) Le flux du champ lectrique E travers une surface ferme S quelconque vaut 1 / 0 fois la charge totale contenue dans le volume V dlimit par la surface S :
Thorme de Gauss :
0
0
arg.
..
tan lim
S
V
S
ch es dans VE dS
dVou E dS
V t le volume d it par S
=
=
Exemples :
- sphre charge en volume
- Disque charg : comparer au calcul prcdent avec R - Fil infini : idem
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 6
2. Rappels de magntostatique
2.1. Le courant lectrique
courant lectrique = tt mvt densemble de particules charges
Le dplacement des porteurs de charges se fait dans un milieu 3
dimensions concept de densit de courant
vecteur densit de courant :
on considre : - S, une surface oriente - , la densit de charges par unit de volume - v, la vitesse moyenne des charges
- t un intervalle de temps quelconque
la quantit de charges Q qui traverse S pendant t est quivalente la charge enferme dans le volume
fictif:
V = S.v.t
soit : Q = .V= . (S.v) . t
on dfinit le vecteur densit de courant : .J v=
et donc .Q
J St
=
= le flux de J travers S
REM : - sil y a plusieurs types de charges mobiles : J = i i. vj
(S)
S v
v.t
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 7
Courants permanents
Dans le cas gnral, si l'on considre un volume V dlimit par une surface S, on a
:
J dS
tdV
S V. . =
Equation de continuit
Le flux de J reprsente la quantit de charges qui entre ou sort du volume
Rgime permanent ou stationnaire (courant indpendant du temps)
J dS
S. = 0
"en rgime permanent J est flux conservatif"
REMARQUES :
1/ J dS
S. = 0 n'entrane pas v = cste ou = cste !
Exemple : Diode vide
2/ L'intensit I d'un courant dans un conducteur de section S est le flux de J
travers S.
.S
I J dS=
Au 3me
semestre
3/ J dS divJ dV
tdV
S V V. . . = =
divJt
+ =
0 Equation de continuit
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 8
Ligne et tube de courant
- une ligne de courant est telle qu'elle est tangente en tout point J
REM : en rg. permanent ces lignes la trajectoire des charges
- un tube de courant est la surface engendre par des lignes de champ
s'appuyant sur un contour ferm.
PROPRIETE : en rg. permanent, l'intensit du courant est la mme travers
tte section d'un tube de courant car J est flux conservatif:
1 2
0
1 2
1 2
. 0
. . . .
. 0
S
S S S S
S
J dS
J dS J dS J dS J dS
J dS I I
I I
=
=
= + +
= + =
=
- un tube lmentaire de courant est un tube s'appuyant sur une surface
lmentaire dS. On a alors :
dI = J.dS
D'un point de vue pratique,
on a vu : source lectrostatique .dV
on verra : source magntostatique J.dV
On sera donc souvent amen considrer la quantit J.dV . Il sera alors
commode de dcomposer l'espace en tubes lmentaires, de sommer le long
d'un tube et d'intgrer sur tous les tubes.
J.dV = J. (dS.d)
J.dV = (J. dS) . d
. .J dV dI d=
S2
J
S1 C2 C1
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 9
2.2. Force magntique et Champ magntique
Il y a manifestation de la force magntique chaque fois qu'une charge est en mvt
dans un champ magntique :
Charge en mouvement:
f qv B=
0 .
4
PMM
qv uB
PM
pi
=
Courant filiforme :
C
df Id B f Id B= =
0 .
4
PMM
C
Id uB
PM
pi
=
Exemples de calculs de champs magntiques (prciser les lignes de champ)
au voisinage d'un fil infini : 0
2
IB e
D
pi=
le long de l'axe d'une spire : 30 sin .
2
IB n
R=
le long de l'axe d'un solnode fini: 0 1 2(cos cos ) .2
nIB n = +
le long de l'axe d'un solnode infini: 0 .B nI n=
Dplacement d'un ensemble de charges
On a vu : . .J dV dI d
.V
f J B d=
0 .
4
PMM
V
J uB d
PM
pi
=
Exemple : Roue de Barlow
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 10
2.3. Proprits du champ magntique :
Flux du champ magntique :
Le flux lmentaire travers le volume lmentaire dV se dcompose en :
1 20
. . . .B dS B dS B dS B dS
=
= + +
symtrie de rvolution autour du fil
flux travers toute section dS du tube lmentaire est constant
1 2. .B dS B dS=
On peut dcomposer V en autant de tubes lmentaires qu'on le souhaite :
. 0SB dS =
B est flux conservatif
Circulation du champ magntique
0
int.
. .CB d I=
Thorme d'Ampre
Exemples :
fil infini; conducteur cylindrique
Volume V quelconque
courant filiforme infini
tube de champ
1dS2dS
Volume lmentaire dV=dS1 + dS2 + dS
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 11
2.4. Potentiel vecteur du champ magntique
Dfinition
Par analogie avec l'lectrostatique on va dfinir un potentiel "magntique".
Compte tenu des proprits de B (lignes fermes-flux conservatif) ce potentiel
est un vecteur :
Expression du potentiel vecteur dans le cas d'un circuit filiforme
0 .4
IdA d
rpi=
0 .4 C
I dA
rpi=
Autre relation entre champ et potentiel
. .S CB dS Ad=
S tant une surface dlimite par le contour C
Exemple :
Soit un fil rectiligne indfini parcouru par un courant dintensit I. En calculant le flux du
champ magntique travers une surface convenable, dterminez le potentiel vecteur du
champ.
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 12
RESUME
Electrostatique
magntostatique
source de champ
charges fixes charges en mouvement
action dune source
lmentaire dE
q
ru
=
1
40
.. dB
I d u
r
=
pi0
4.
circulation
conservative
E d ==== 0 non conservative
B d I ==== 0
(Ampre)
flux
non conservatif E dS
q ====
int
0
(Gauss)
conservatif B dS ==== 0
lignes de champ
- non fermes
- peuvent diverger
- fermes
- ne peuvent diverger
potentiel
scalaire
E = - grad V
vecteur
B = rot A
2. Profondeur de pntration d'un plasma. Une
rgion de l'espace, limite par 2 plans parallles la
distance d l'un de l'autre, est peuple de charges q
rparties uniformment raison de n particules par
unit de volume. L'origine est choisie sur la plaque
de gauche et le potentiel nul en x = d/2.
a) Par application du thorme de Gauss trouver le champ lectrique d'abord l'extrieur
des plans, puis l'intrieur.
b) En dduire le potentiel en fonction de x, on posera : V0 = -nqd/80 c) Tracer le champ et le potentiel en fonction de x
Une particule de charge q se dplace le long de l'axe Ox vers les x croissants. Elle pntre dans
l'espace entre les plans avec une vitesse v.
d) quelle doit tre la valeur minimale de cette vitesse pour que la particule ressorte de
l'autre ct.
O
V = 0
x
d
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 13
3. L'induction lectromagntique
3.1. Prambule
Expriences de Faraday : montrer que si un courant est capable de
produire un champ magntique la rciproque
est vraie.
Dcouverte empirique : premires manifestations des champs variables
Linduction magntique: traduit les effets de la variation du flux de B
= B dS.
variation de si variation de B variation de S
C1 : circuit inducteur C2 : circuit induit
I 1 : courant inducteur I2 : courant induit dans C2
Linduction magntique: cest la production deffets lectriques par
laction magntique
Linduction magntique : elle est la base de llectrotechnique :
production et utilisation des courants
lectriques.
rhostat
batterie
C1 C2
I
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 14
3.2. Dplacement dun conducteur filiforme dans un champ B indpendant du temps
Tige conductrice
La tige conductrice contient des charges libres
... qui sont mises en mouvement (vitesse v) dans un champ magntique (B).
elles sont donc soumises la force magntique : fm = qv ^ B
on choisit d'crire la force fm sous la forme suivante : fm = qEm
On donne le nom de "champ lectromoteur" au champ : Em = v ^ B
Em ne doit pas tre confondu avec le champ de Hall EH
Si v et B sont constants l'quilibre est maintenu entre les 2 forces magntiques et lectriques (effet Hall) :
fm = - fe
z
B
y
v
x
B suivant
Oz
v suivant
Oy
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 15
Boucle conductrice
La boucle C1 cre un champ magntique non homogne
... la boucle rectangulaire C2 se dplace dans ce champ magntique
apparition d'un courant dans la boucle C2
Le long des deux brins _|_ au dplacement, il apparat 2 champs lectromoteurs Em
Em1 = v ^ B1 et Em 2 = v ^ B2
J'appelle e la circulation du champ lectromoteur le long de la boucle C2 :
21 2. .( ( ) ( )).m
Ce E d v B x B x a= =
a la dimension d'une diffrence de potentiels et tout se passe comme si un
gnrateur de f.e.m. e tait plac dans C2 :
Si B homogne B(x1) = B(x2) sparation des charges mais pas de courant
I
e
rhostat
batterie
a v
x1 x2 x
v
C1 C2
I
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 16
3.3. Force lectromotrice d'induction loi de Faraday
Dfinition :
Dans le cas gnral, on appellera force lectromotrice d'induction la quantit :
.mC
e E d=
Remarque : 0 Em n'est pas un champ lectrostatique Em - grad V
Variation du flux d lors du dplacement lmentaire dy de la spire :
dy = v.dt
position (1) 1
position (2) 2 = 1 + B2 a v.dt - B1 a v.dt
1 2( ). .d
B B a vdt
=
Si on compare cette expression de d/dt et celle de la f.e.m. e on obtient :
d
edt
=
REM : le signe "-" traduit la loi de Lenz :
le courant induit, produit par la f..m. e, a un sens tel quil soppose, par ses
effets, aux causes qui lui ont donn naissance
B1 B2
a
v
v.dt
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 17
3.4. Loi de Faraday
Gnralisation tout circuit soumis une variation de flux :
d
edt
= loi de Faraday
la force lectromotrice dinduction = la variation du flux travers le circuit
REMARQUE :
Pour appliquer la loi de Faraday il faut :
a) orienter le circuit (sens positif)
(il est bien sr intressant de choisir n dans le mme sens que B)
b) valuer algbriquement le flux : si B et n de mme sens : > 0 si B et n de sens contraire : < 0
c) valuer le signe de d /dt, puis de e = - d /dt
Si e > 0 I est dans le sens +
Si e < 0 I dans le sens -
Analyse dimensionnelle :
B = E / vitesse [B] = V.T / L (le Tesla) [] = V.T / L x L = V . T (le Weber) [d/dt] = V.T / T = Volts
n
+
n
e>0 I
n
e
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 18
Exemples
I augmente sens de I ?
I diminue sens de I ?
'aimant se rapproche
sens de I ?
Solnode ou aimant sont les inducteurs - la bobine est l'induit
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 19
3.5. Travaux Dirigs Induction
1. Courant induit dans une bobine tournante. Une bobine plate, circulaire, de rayon r, comportant
N spires, tourne autour dun axe fixe de son plan une vitesse angulaire constante . Elle est place dans un champ magntique B uniforme perpendiculaire laxe de rotation.
a) Calculez le courant induit, R tant la rsistance totale du circuit contenant la bobine.
b) Si le champ magntique est variable, dterminez le pour que le courant induit soit nul tout
instant. Considrez deux cas, a) seul le module varie, b) seule la direction varie.
2. Courant induit dans un circuit carr. Considrez une spire carre de ct a qui se dplace dans
un plan horizontal avec une vitesse v. Dans lespace rgne un champ magntique B permanent,
uniforme et vertical.
1/ Dterminez la f.e.m. induite dans le carr.
2. Le champ magntique est maintenant produit par un fil rectiligne
indfini parcouru par un courant dintensit I et orient de telle manire
quil soit dans le plan du carr. On dplace le carr avec une vitesse de
module v perpendiculairement au fil (la position du cadre est repre par
r). Dterminez la f.e.m. induite dans le carr :
a) en exprimant la variation du flux (loi de Faraday)
b) en exprimant la circulation du champ lectromoteur suivant le
carr.
a
I
r a
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 20
3.6. Circuits filiformes Coefficients d'induction
Coefficient d'induction mutuelle de 2 circuits filiformes
2 21 2 1 2 1 2.
S CB dS A d = =
avec : 1
0 1 11
124C
I dA
rpi=
Les 2 intgrations portent sur des variables indpendantes
1 2
0 1 1 21 2
12
.
4 C C
I d d
rpi =
ou encore : 1 2 21 1M I =
avec : 1 2
0 1 221 12
12
.
4 C C
d dM M
rpi= =
M21 est le coefficient d'induction mutuelle des 2 circuits
M21 est une grandeur purement gomtrique
Unit : le Henri (H)
d1
C2
I1 I2
C1
d2
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 21
Coefficient d'auto-induction
Un circuit C cre un champ Bproportionnel I
le flux de ce champ travers le circuit qui l'engendre est aussi proportionnel I
.L I =
L = coefficient d'auto-induction / inductance propre / self inductance
L ne dpend que de la gomtrie
L est toujours positif
Matrice inductance
Pour un systme de n circuits, le flux total i travers le circuit Ci est :
1
n n
i i i ij j ij j
j i j
L I M I M I =
= + = avec L = Mjj
1 12 13 11 1
2 21 2 23 2 2
12 2 3
...
...
. .................................
. ................................
. ................................
...
n
n
n nn n n
L M M M I
M L M M I
IM M M L
=
C'est une matrice symtrique
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 22
Exemple : Inductance propre dune bobine torique
a) Inductance propre dune bobine forme de N spires enroules sur un tore section
rectangulaire de rayon intrieur a, de rayon extrieur b et de hauteur h.
b) Un fil infini concide avec laxe de symtrie de la bobine. Calculez le coefficient
dinductance mutuelle du fil et de la bobine et vrifiez que M12 = M21 .
3.7. Travaux dirigs Coefficients d'induction 1. Inductances combines. La partie a) de la figure ci-dessous dfinit les deux bobines par leur self,
L1 et L2 et leur position par linductance mutuelle M. Dterminez les f.e.m. de chacune de ces
bobines. Exprimez galement les self-inductances L et L (figures b et c) en fonction de M, L1 et L2
2. Inductance propre dun solnode
On considre un solnode constitu par un cylindre de rayon R et de longueur 2l sur lequel
on a bobin N tours de fil. En confondant le champ magntique dans le plan de chaque spire
avec sa valeur sur laxe, calculez linductance de ce solnode. Examinez le cas l >> R.
Rappel: champ magntique en un point M de l'axe : 0 1 2( ) (cos cos )2
nIB M = +
(cours
EM2).
I1 L1
I2
I
I
(a) (b) (c)
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 23
3.8. Rappel dlectrocintique - circuit contenant une bobine
Effet selfique
Maintenant linducteur et linduit sont confondus. On considre :
un circuit C1 ferm auto-inductance L
parcouru par i source de B et = Li si i est variable B variable flux variable source de Em
d dIe L
dt dt
= =
self-inductance (composant) dans un circuit
Dune manire gnrale :
R = Rgn +Rfil +Rbobine
L = Lbobine + Lcircuit
Forces lectromotrices du circuit : e0 = batt. e0 - L di / dt =Ri
e = - L di / dt e0 = Ri + L di / dt
Lorsquon ferme linterrupteur, i varie de 0 Io, tat final : eo = RI0
A t = 0 on considre Ri = 0 di / dt = e0 / L L limite la variation de i et compense par e
Rsolution de lquation du circuit 0 (1 )RLte
i eR
=
L
e0 R
i
i pente e0/L
I0=e0/R
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 24
3.9. Applications
Le transformateur
On applique une f.e.m. variable e1 au primaire : e1 - d1dt
= R1.I1
Soit le flux du champ B dans une spire du primaire n1 spires 1 = n1 .
1re approximation :
B reste le mme dans le secondaire 2 = n2 . et dans le secondaire apparat : e2 = -
d2dt
2me approximation: R1 0 e1
d1dt
Application
Le matriau ferromagntique guide les lignes de champ du primaire dans le
secondaire
I1 I2
e1 n1 n2 e2
circuit
primaire circuit
seconda
circuit primaire e1 (n1 spire, R, L)
circuit secondaire e2 (n2 spires)
Principe
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 25
Lalternateur
= N.B.S = NBS.cos(t + )
| e | = NBS.sin(t + )
Le mouvement mcanique est produit par des turbines
(centrales thermiques, nuclaires, hydraulique, olienne )
ou par une roue de bicyclette
Le moteur
Le mvt de rotation contacteurs
est utilis
chaque demi tour
I change de sens
la bobine est alimente par une tension continue
S
B
e
e =
forces de Laplace
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 26
3.10. Circuit non-filiforme : Courants de Foucault
Masse mtallique soumise aux phnomnes dinduction
courants induits dans la matire
courants de Foucault
Au champ lectromoteur Em (v^B ou -dA/dt), induit dans la masse, correspond
une densit de courant :
mJ E=
Exemple : four induction
2
m
OM B dAA et E
dt
= =
La charge libre en M est mise en mvt cause du champ variable chauffage
Exemple : frein magntique
- Le disque mtallique est en rotation.
- L'aimant produit un champ B dans le volume v + B Em : Em = -vB.i
- il apparat des courant de Foucault : J = - Em.i
- Le volume subit alors la force :
f = J^B = = = = . v
force de freinage
conductivit de la masse mtallique
f
i B
v
B disque
courant
alternatif
O
M B(t)
solnod
e
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 27
4. Travail des forces de Laplace
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 28
5. Energie magntique
5.1. Circuits filiformes
A. - tablissement du courant dans le circuit :
t = 0 on branche : di
e Ri Ldt
= +
0(1 )RL
t
tI
R
ei e
R
ei
= ==
phase transitoire phase permanente
- bilan de puissance :
le gnrateur lutte contre la rsistance du circuit et la f.e.m. de
linductance
.edi
Ri Lid
it
= +
- nergie dpense durant la phase transitoire :
0 2
00 0
1.
2
IdiW Li dt Li di LI
dt
= = =
2
0
1
2W LI =
L'nergie 2
0
1
2LI est stocke par linductance
Lnergie 2
0 .RI t dissipe par effet Joule est perdue.
puissance ncessaire pour
vaincre les effets dinduction puissance
fournie puissance
dissipe
i
e/R
t
R
L
e
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 29
B. - coupure du courant dans le circuit :
t = t1 on teint le gnrateur : 0di
Ri Ldt
= +
solution : 1( )
0.RL t t
te i
ei
R
==
phase transitoire phase permanente
- bilan de puissance :
0 di
Ri Lidt
= +
e = 0 pourtant i 0 et de lnergie est dissipe dans la rsistance
- nergie dissipe durant la phase transitoire :
1
1 1
2
0
2( )
2
01
2
Rt t
L
t tRi dt RI e dtW LI
= = =
L'nergie 2
0
1
2LI est restitue puis perdue par effet Joule : 20RI
Conclusion : un circuit selfique est capable demmagasiner et de restituer
de lnergie en rgime variable. Cette nergie scrit chaque instant :
1
2
W Li=
et est appele nergie magntique du circuit.
R
L
i
e/R
t
t1
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 30
5.2. Association de circuits filiformes
cas de 2 circuits
1 21 1 1 1di di
e R i L Mdt dt
= + + 22 2 2 21di di
e R i L Mdt dt
= + +
- nergie fournie linstant t : 1 1 2 20( )
t
fW e i e i dt= +
- nergie perdue linstant t : 2 2
1 1 2 20( )
t
pW R i R i dt= +
- nergie stocke linstant t :
1 2 2 11 1 2 2 1 20[ ( )]t
s
di di di diW L i L i M i i dt
dt dt dt dt= + + +
2 2
1 1 2 2 1 2
1 1.
2 2sW L i L i M i i = + +
ou encore avec les flux : 1 1 2 2 2 1Li Mi et Li Mi = + = +
1 1 2 21( )
2sW i i = +
cas de n circuits
(C1) (C2) ........... (Cn)
i1 i2 ............ in 1
1
2
n
s j j
j
W i=
=
1 2 ........... n
R1 R2
e1 L1 L2 e2
M
i1 i2
flux
travers le
circuit 1
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 31
5.3. Circuits non filiformes
dmonstration 1
courant volumique : distribution de courant caractrise en tout point par le
vecteur densit de courant J
sur un tube lmentaire
- nergie stocke par le tube l. : 1
2dW di=
- courant dans le tube l. : .di J ds=
- flux travers le tube l. : . .B d Ad = =
. . .tube
di A d Jds =
1.
2s
cylindre
W A Jd =
W est l'nergie magntique de la distribution de courant
W est l'nergie stocke par la distribution de courant
tube de
courant
B
ds
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 32
dmonstration 2
courant volumique distribution de courant caractrise en tout point par le
vecteur densit de courant J
un porteur de charge subit : ( )f q E v B= +
travail de cette force : qv B | v
ne travaille pas
A
qE gradVt
=
puissance fournie par la source par unit de volume aux particules :
. .n f v nqv E J E= =
pour toute la distribution de volume V :
P J E d J gradV d J At
dVVV
= =
. . . . . .
travail effectu pendant dt :
( . . ). . .V V
AdT J dt d J dA d
t
= =
ce travail correspond lnergie stocke :dW = - d
Dans le vide, ou dans les conducteurs, de lnergie peut tre stocke sous forme magntique et cette nergie est donne par :
W J A dV
= 12 . .
nergie magntique
de la distribution de courant
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 33
5.4. Travaux Dirigs 1. Flux maximal. Le dispositif ci-contre, constitu de deux
cadres conducteurs carrs orthogonaux de cts a, baigne
dans un champ magntique uniforme et se trouve initialement
dans la disposition indique sur la figure, B // Ox (Ox tant
un axe contenu dans le plan dun des deux cadres).
a) Calculer le flux magntique travers le dispositif dans sa
position initiale.
b) Le dispositif peut tourner autour de son axe vertical . La rotation du double cadre est repre par lcart angulaire que fait laxe Ox avec la direction du magntique B. Exprimer le flux magntique travers le dispositif en fonction de .
c) Dterminer la ou les position(s) dquilibre stable du systme.
2. Glissement dun rail sur deux rails fixes parallles
Considrez le dispositif schmatis ci-contre. La
rsistance interne du gnrateur est gale R. Considrez
les deux cas suivants :
1er cas e = 0
La barre glisse vitesse constante v sans
frottement sur les rails en sloignant du
gnrateur.
a) Exprimez la variation par rapport au temps du flux coup en fonction de B, v et l.
b) Donnez le sens et lexpression du courant induit dans le circuit lorsque lon ferme K.
2me
cas e 0. La barre est immobile et linterrupteur K est ferm. En ngligeant les frottements de la barre,
dterminez les variations de sa vitesse de dplacement.
Montrez quelle tend vers une valeur limite. 3. Dformation d'une bobine. Un solnode de N spires non jointives, de surface S, de longueur au repos 0, parcouru par un courant dintensit I est lentement comprim de faon
ce que sa longueur passe de 0 1. Cette compression engendre une variation de son
inductance propre L .
a) Exprimez l'nergie magntique W emmagasine par ce solnode au repos (longueur 0)
b) exprimez l'nergie supplmentaire emmagasine W en fonction de L, puis en fonction de 0 1 lorsqu'on l'a comprim (longueur 1) si on garde le courant constant
c) Qui fournit cette nergie supplmentaire?
d) e peut s'exprimer en considrant que le gnrateur doit compenser la variation de la force lectromotrice e' due la compression du solnode e'. Exprimez e'.
e) En crivant le bilan d'nergie (fournie et emmagasine) montrez qu'un troisime terme
apparat. A quoi correspond il?
a) Calculez la force (dduite de l'nergie apparue au d)) quil faut exercer pour maintenir le
solnode comprim.
B
e
K
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 34
12. Equilibre dans un champ magntique Un circuit dformable sans frottement est constitu par un losange plan
de ct a = 10 mm et articul en A, B, C et D. Il est parcouru par un
courant I = 5.0 A dont le sens est indiqu sur la figure. Le point B tant
fix, le circuit, dont le plan est vertical, est plong dans un champ
magntique uniforme ( 0.1B T=
), orient comme indiqu sur la figure.
Chaque tige du losange pse 0.5g.
a) Dfinir l'nergie potentielle du circuit dans le champ magntique
b) Dfinir l'nergie potentielle totale Ep du systme
c) Dterminer la position d'quilibre du circuit qui correspond un minimum de Ep
(valeur de l'quilibre). On posera =u=sin. 13. Paradoxe. Une spire circulaire de rayon R, d'axe Ox, comportant N tours de fil, parcourue
par un courant I est plonge dans un champ magntique de la forme suivante : 0 (1 )B B ax= +
o B0 et a sont des constantes et ile vecteur unitaire de l'axe Ox. Le centre de la spire est en x.
Calculer la rsultante des forces d'origine magntique agissant sur la spire :
a) en appliquant la loi de Laplace
b) en appliquant le thorme de Maxwell
En utilisant une des 2 proprits du champ magntique dmontrer que a est forcment nul et
que les 2 calculs sont alors quivalents.
B
C
A
I
D
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 35
6. Diple lectrostatique
6.1. Systmes de charges ponctuelles
Faire la dmonstration crite au crayon
6.2. Le diple lectrostatique moment dilectrique
- un systme de 2 charges +q et q (q=0)
- a = PN est trs petite devant toute autre distance (P 0)
Ce systme constitue un diple lectrique de moment dipolaire : p = qNP
(en C.m.)
Reprendre la calcul
Potentiel cr par un diple grande distance
Vp
rsoit V
p u
r= =
1
4
1
40 0
pi
pi
.cos
..
avec u = OM/OM
Champ cr grande distance
E = Er er + E e Er = 2
40
3pi
.
cosp
r
et E :
E = -gradV E = 1
40
3pi
.
sinp
r
REMARQUE : V et E sont parfaitement dfinis par p
Exemple : 2 fils parallles uniformment chargs
N P
-q a +q
M
O
p
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 36
6.3. Action dun champ sur un diple
Cas dun champ uniforme E0
Bilan des forces : F = qE0 - qE0 = 0 pas de mvt densemble
Bilan des moments : = OP ^ qE0 - ON ^ qE0
= NP ^ qE0 = qNP ^ E0
F = 0 et = p ^ E0
Cas dun champ quelconque
Bilan des forces F = q(E(P) - E(N))
Intressons nous une composante de F, Fx =q(Ex(P) - Ex(N))
Dsignons par : x, y, z : les composantes de 0 milieu de NP
x, y, z : les composantes de NP
coordonnes de P : x + x / 2, y + y / 2, z + z / 2 coordonnes de N : x - x / 2, y - y / 2, z - z / 2
Il vient :
Fx = q(Ex(x + x/2, y + y/2, z + z/2) - Ex(x - x/2, y - y/2, z - z/2))
En se limitant au premier ordre en x, y, z on obtient :
. . .x x xxE E E
F q x y zx y z
= + +
Fx = (p.grad)Ex F = (p.grad).E
REM : p.grad est quivalent un oprateur : . . .x x xx y zE E E
p p px y z
+ +
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 37
Bilan des moments :
Dans une bonne approximation on peut conserver la mme expression :
= p ^ E Conclusion :
Dans un champ non uniforme, le diple est soumis :
- un couple qui tend lorienter suivant une ligne de champ
- une force qui tend le dplacer (pas forcment suivant une ligne de
champ)
Exemple :
Action mutuelle de 2 diples. Considrons deux diples permanents dont les
moments p0 et p0 sont ports par le mme axe Ox, et qui sont la distance r
lun de lautre. Les 2 diples sont soit parallles soit antiparallles.
Calculer dans chaque cas la force qui sexerce entre les 2 diples.
6.4. Travaux dirigs
Champ uniforme + diple
Action et raction d'une charge ponctuelle et d'un diple
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 38
7. Diple magntique
7.1. Moment magntique
Moment magntique d'une spire circulaire
Spire de rayon R parcourue par I
Surface de la spire : S = piR
Vecteur surface : .S S n=
Le moment magntique de la spire est : M IS=
Moment magntique d'un circuit quelconque
surface quelconque : 1
2S OP d=
moment magntique : 1
.2
OP I d =
Moment magntique d'une distribution volumique de courant
1.
2 VOP J dV=
M
M SIn=
n
R
I
I.d
O P
OP
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 39
7.2. Potentiel vecteur cr grande distance par une spire
. . zI S e= M
En coordonnes sphriques :
: ( , , )2
OP R pi
P ds le plan xOy
: ( , , )2
OM r pi
M ds le plan yOz
et r >> R
.I d cre en M un champ dont le potentiel vecteur vaut :
0 .4
I ddA
PMpi=
Dans le repre Oxyz on a :
cos sin .
: sin : cos .
0 0
R R d
OP R d dOP R d
=
et
0 cos
: sin : sin sin
cos cos
R
OM r OM OP r R
r r
2
2 sin sin 1 sin sin
R RPM R r Rr r
r r = + = +
1/ 2
1 1 2 1 11 sin sin 1 sin sin
R R R
PM r r r r r r
= + + +
z
M r
M y
I
x
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 40
0 0
sin . .(1 sin sin )
. . cos . .(1 sin sin )4 4
0
RR d
r
I Id RdA R d
PM r
pi pi
+
= = +
avec :
22
0
2
0
1 cos2sin sin
2
2sin cos sin 2 sin cos 0
aa a
b b b b b
pi
pi
pi+
= =
= =
spire
A dA=
0 0 sinsin4 4
: 0
0
IR
r r
A
pi
=
M
En remarquant que :
- A est colinaire ex
- // zr e M
- .sinr r = M
03
.4
rA
rpi=
M ou 0
1.
4
A grad
rpi=
M
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 41
7.3. Champ magntique cr par une spire circulaire
B rotA=
avec A dans le repre (r, , )
REM :
- dans Oxyz A(Ax, 0, 0)
- mais dans (r, , ) A : (0, 0, A)
1(sin . )
.sin
( )1 1
sin
1 ( )
r
r
AA
r
rAArotA
r r
rA A
r r
=
0
3
0
3
2 cos
4
sin
4
0
r
B
r
B B
r
B
pi
pi
=
= =
=
.M.
.M.
z er M r e
M y
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 42
7.4. Lignes de champ du diple
Le dplacement lmentaire : rdM dr e rd e= +
est colinaire : r rB B e B e = +
r
dr rd
B B
=
avec :
0
3
0
3
2 cos
4
sin
4
0
r
B
r
B B
r
B
pi
pi
=
= =
=
.M.
.M.
sinr k =
et 0
3.
4
rA
rpi
=
M
A est colinaire e lignes de A sont des cercles centrs sur M
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 43
7.5. Actions mcaniques subies par un diple
Dans un champ uniforme
Voir TD derrire
Dans un champ non uniforme
( . )F grad B=
M et B = M
2003
DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 44
7.6. Exemple
Champ magntique cr par une sphre en rotation.
Une sphre de rayon R portant une densit surfacique de charges uniforme tourne autour de son diamtre Oz avec une vitesse angulaire . Calculez le moment magntique de cette sphre.
7.7. Analogie moment lectrique / magntique : diple magntique
Photocopie
7.8. Travaux dirigs
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