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Devoir de vacances Terminale S – 1er trimestre

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1 Devoir de vacances TERMINALE S

1er trimestre

ETUDE DE FONCTIONS

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3



2 Exercice 4



3 PROBABILITES

Type bac

Exercice 5 Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.

Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.

Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture.

Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu’il demande une barquette de

myrtilles est de 0,3 et la probabilité qu’il demande une barquette de groseilles est de 0,5. Lorsqu’un client

achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises

dans 60 % des cas.

Un client achète une barquette. On notera :

− C l’évènement « le client achète une barquette de fruits à confiture »,

− F l’évènement « le client demande des framboises »,

− G l’évènement « le client demande des groseilles »,

− M l’évènement « le client demande des myrtilles ».

1. Reporter sur l’arbre donné les données de l’énoncé.

On pourra compléter l’arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes.

2. a. Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu’il achète une barquette de

fruits à confiture.

b. Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu’il demande des

myrtilles ?

3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24.

4. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de

fruits à confiture ?

5. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, 2 euros la

barquette de framboises à déguster et 3 euros la barquette de myrtilles à déguster ;

a. On note xi les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et pi leur

probabilité.

Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette

vendue. On justifiera les réponses.

Valeur xi 5 2 3

Probabilité associée : pi

b. Calculer l’espérance de cette loi de probabilité.

c. Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150 barquettes vendues ?



4

Exercice 6



5

Exercice 7

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents

tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus

rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté.

Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un

premier jeton figure la lettre V, sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur

le dernier la lettre L.

Un concurrent tire au hasard un jeton :

– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo,

– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller,

– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied,

– s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport

parmi les trois précédents.

On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le

vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas el il décide de faire le

parcours à pied dans 10% des cas.

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.

Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.

2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo.

3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu’il ait

tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des

autres.

L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le

vainqueur, d’avoir effectué le trajet à vélo est 2/3.

Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée

au moins une fois par un concurrent « non cycliste ».



6

LES SUITES

Exercices intermédiaires

Récurrence, limites, sens de variation ….

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11



7

Type bac

Exercice 12



8

Exercice 13



9

FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 14

Exercice 15



10

Exercice 16



11

LES COMPLEXES

Exercices intermédiaires

Exercice 17

Mettre sous forme algébrique :

1) 2�3 + �

2) (2 − �)² + (−3 + 2�)²

3) (5� − 3)(−3� + 4)

4 − �

4) (� + 2) − (5 − �)²

−3 + �

Exercice 18

On donne : � = 2 + 5�et �′ = −1 − � Mettre sous forme algébrique :

1)�. �′ 2)1�

3) �

�′

4) � − 3

�� + 1

Exercice 19

On pose � = �� et �′ = ��

Montrer que � + �′ est réel et � − �′est imaginaire pur

Exercice 20

Pour quelles valeurs du réel � , le nombre complexe � = (� + �)[� + 5 − �(� − 7)]est-il un

nombre imaginaire pur ?

Exercice 21

Calculer les modules des nombres suivants :

1)�� = 1 + 3�2)�� = −5 + 2�3)� = −2 + �

3� − 4 4)�� = (3 − �)²

(1 + 2�)



12 Exercice 22 (module et géométrie)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; ; ), on donne les points B et C

d'affixes ZB = 2+2i et ZC = 2 -2i

Vérifier que B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

2) On considère le point A d'affixe ZA = (ZC -ZB)/2

Calculer ZA, puis | ZB - ZA | , | ZC - ZA | et | ZB - ZC |

3) Déterminer la nature du triangle ABC.

Exercice 23 : (Modules et ensembles de points) Déterminer, puis construire, l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant :

�)|� − 2| = |� + �| )|�� + 3| = |� + 4 + �|!)|1 + ��| = 2")(� − �)(2�� + 3)#$%�&�'�(��)#*+)Exercice 24 : (forme trigonométrique)

Mettre sous forme trigonométrique les nombres suivants :

1)�� = −1 − �2)�� =−√32 + �2 3)� = (1 − �)(1 + �√3)4)�� = (1 + �)

Exercice 25 : (complexes et trigonométrie)

On considère le nombre complexe :

� = (√3 + 1) + �(√3 − 1)1) Ecrire z2 sous forme algébrique.

2) Déterminer le module et un argument de �² . En déduire le module et un argument de

�.

3) Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos /12 et sin /12

4) Résoudre dans les réels, l'équation :

(√3 + 1)!-$� + (√3 − 1)$�(� = √2 et placer les points images des solutions sur le

cercle trigonométrique.



13

Exercice 26 : (Notation exponentielle)

Donner la forme exponentielle des nombres suivants :

8; −3; 5�; −�; 2 + 2�; (1 − �) ; (√3 + �)0

Exercice 27 : (Equations complexes)

Résoudre les équations suivantes dans :

1)�² + 2� + 6 = 02)3�² − 2� + 1 = 03)3� − 3�

� + 2 4�− 6 3� − 3�

� + 2 4 + 13 = 0

Exercice 28 :(Equation en complexes)

On considère la fonction 5de la variable complexe � définie par

5(�) = � − 2(√3 + �)�² + 4(1 + �√3)� − 8�1) Vérifier que 5(�) = (� − 2�)(�² − 2√3� + 4) 2) Résoudre dans l'équation 5(�) = 0

3) Ecrire les solutions sous forme algébrique et trigonométrique.

TRIGONOMETRIE

Exercice 29



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Exercice 30

On considère la fonction 5 définie sur ℝpar 5(�) = sin(2� + :)Exprimer 5(�) en fonction de sin � et de cos �

Exercice 2

On considère la fonction 5 définie sur ℝpar 5(�) = cos � sin 2� − 2 sin �Donner le tableau de variations de 5sur ℝ

Exercice 3

On considère la fonction 5 définie sur ℝpar 5(�) = 2 sin² � + 4 sin � + 2Résoudre l’équation 5(�) = 0 sur ℝ

Exercice 4

On considère la fonction 5 définie sur ℝpar 5(�) = 3 cos =2� + >�?

1) Montrer que pour tout � ∈ ℝ, on a : −3 ≤ 5(�) ≤ 3

2) Déterminer la parité de la fonction f

3) Montrer que pour tout ∈ ℝ, 5(� + :) = 5(�). En déduire que 5 est

périodique et préciser sa période.

4) Montrer que pour tout � ∈ ℝ, 5�(�) = −6 sin =2� + >�?

5) a) Montrer que si

− >� ≤ � ≤>� ,2� +

>� ∈ [0; :]. Endéduirelesignede5�sur K−

>� ;

>�L

b) Etudier le signe de 5�(�) sur l’intervalle K>� ; >� L

c) Dresser le tableau de variations de f sur K− >� ;

>� L

6) Donner l’équation de la tangente en f au point d’abscisse >�

*** BON COURAGE ***