Dérivation des équations fluides
Pour chaque fluide (ions et électrons) pris séparément.
1. Continuité
3dx
2dx 1dx
Nombre de particules quittant le volume à travers la surface S (le terme « quittant » fait référenceau fait que la normale au cube dans la direction x1 en x1+dx1 est orientée vers l’extérieur, i.e. les x1 positifs)
1V
S
32111 )( dxdxdxxVn
3211 )( dxdxxVn
Nombre de particules pénétrant dans le volume en x1 (en x1 la normale au cube est orientée vers les x négatifs)
Si l’on suppose qu’il n’y a pas de gain ou de perte
3211132113 )()( dxdxdxxVndxdxxVndx
t
n
+contribution des autres faces
)(
i
i i
Vnxt
n
donc
ou Snut
n
).(
Ionisations etrecombinaisons
n
n
2. Impulsion
Forces macroscopiques )( BuEnqF
Flux dans la direction d’impulsion dirigée dans la direction 1x 2xNombre de particules par unité de surface et par unité de temps passant à travers une surface x=cte fois l’impulsion dans la direction 2x 21 mVnV
En sommant sur les directions:)()()( 32
322
212
1
VVmnx
VVmnx
VVmnx
On définit le tenseur de pression par: ))(( jjiiij uVuVmnP
Le flux dans la direction i d’impulsion dans la direction j est donc: jiij umnuP
En combinant
mSuPBuEnquut
umn
.)()).((
mSuuumnPBuEnqt
mnu
).(.)()(
En utilisant l’équation de conservation de la masse:Note: Si P est isotrope: pP .
Equation d’état
Forme la plus simple Cnp
γ=1 : cas isotherme quand la compression est lente par rapport à la conduction thermique
γ=5/3 : cas adiabatique quand la compression est rapide mais suffisamment lente pour que l’énergie puisse être échangée par collision entre les trois degrés de liberté.
Si la compression est rapide par rapport à la conduction et aux collisions:Il faut tenir compte de l’anisotropie. On verra qu’alors:
0)(
nB
p
dt
d 0)(3
2// n
Bp
dt
d
Equations bi-fluides:
Les équations de continuité s’appliquent séparément pour chaque fluidemais il faut tenir compte dans l’équation pour l’impulsion des collisions entreparticules différentes. Le taux auquel l’impulsion par unité de volume est gagnépar l’espèce α du aux collisions avec l’espèce β s’écrit:
)( uunmR où est appelé fréquence de collision
RIl faut donc rajouter dans l’équation pour l’espèce α un terme de la forme
On doit avoir RR
RPBuEqnuu
t
unm .)()).((
Equations mono-fluide
On définit /)(et eeeiiieeii umnumnumnmn
On obtient alors:
PBjEuut
u
ut
).(
0) .(
oùeeeiiieeii uqnuqnjqnqn et
La pression P désigne ici la somme des pressions des ions et des électrons calculées avec la déviationentre la vitesse des particules et la vitesse barycentrique du fluide global u (et non la vitesse de chaquefluide pris séparément).
Et
c 1
Approximations supplémentaires conduisantaux équations de la MHD
Quatre étapes:
1. Lentes variations temporelles: négliger le courant de déplacement
2. Neutralité de charge:
1
c
u hypothèse ]][[][ B
c
uE
0 ei enZen
Mais où
Dans le soleil: 32310 cmne cmL 10102 GB 310
3. Loi d’Ohm: dans le référentiel des ions, les électrons, supposés froids, obéissent à
inertiels termes'''
ece
eee umB
c
uEe
dt
dum
0' eeeeii uenuenuZenj iee uuu '11210
4' cms
Len
cBu
ee
Négliger l’inertie des électrons (pas de contribution des mouvements de gyration aux courants)
Supposer que le champ magnétique n’a pas de gradient à petite échelle.
EuenjumEe eeece '0'ce
e
m
en
2
4. Passage du référentiel des ions au référentiel du laboratoire
Transformation de Galilée: jj
Transformation de Lorentz: BB
Bc
uEE i
Bc
uB
cB
c
ujE ii
4
1
Equation de Faraday: BBut
B
2
22
4 pe
ccc
est la résistivité.
On a: iuu
D’où:
uL
Rm est le nombre de Reynolds magnétique
Terme de diffusion
Force exercée sur le fluide:
La force de Lorentz moyenne sur la collection d’ions et d’électrons s’écrit
B
c
uEenB
c
uEZenf e
ei
iL
En utilisant la condition de neutralité:
I
BBBBBBB
BB
c
jfL 84
.8
1
4
1
4
22
Tension magnétique Pression magnétique
Paramètre β: champ du magnétique Energie
plasma du interne Energie
BP
P
Théorème du champ gelé
Dans le cas où le terme diffusif est négligeable:
0
But
B
udt
dl
A
dl
Flux du champ magnétique à travers la surface A:
)(tA
)( dttA
dntxBdntxBdntxBdndttxBtdtttAdttAdttAdttA
ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),()()()()()()(
En utilisant l’équation de divergence nulle : 0. B
dntxBttA
ˆ),()()(
0ˆ),(ˆ),(ˆ),()()(
dntxBdntxBdntxBdttAtA
on obtient
)(ˆ),(ˆ)()( 2dtOdntxBdnt
Bdttdtt
A
dtdBudtdlBudludtBdnBACC
)(.)().(ˆ.et
Donc: 0dt
d
C
Caractère gelé du champ:
P
Q
Soient P et Q deux éléments de plasma initiallementsitués sur une ligne de champ à l’intersection de deuxsurfaces magnétiques S1 et S2. Le flux magnétique sur ces deux surfaces est nul et le reste. Ces deux surfaces restent donc des surfaces magnétiques et leur intersection reste donc sur une ligne de champ.Le champ est gelé dans le plasma
1S
Autre forme de l’équation d’induction: uBuBDt
DB. .
En combinant avec l’équation de continuité: uBB
Dt
D
.
Autre démonstration:
1M
2M
B
L
Montrer que si initialement 0)0,()0( trBtL
21MML
alors L reste parallèle à B
Bdt
dL
dt
dBLtrBtL
dt
d )),()((
VLMVMVdt
dL).()()( 12
).().().()( VBVBBVBVdt
dB
0).().().()(
VLBVBLVBLdt
BLd
Nul par hypothèse
Conservation de l’énergie totale (pression isotrope, MHD idéale):
xdBpu
W 3
22
)812
(
2
2
4. j
cEj
En présence de diffusion, l’effet Joule conduit à
une dissipation d’énergie égale à
Références:
Solar Magneto-hydrodynamics, E.R. Priest, D. Reidel Publishing Company, 1984
Physique des plasmas (1 et 2), J.L. Delcroix, A. Bers, Savoirs Actuels, InterEditions, CNRS Editions, 1994
Introduction to Plasma Theory, D.R. Nicholson, Krieger Publishing Company, 1992.
Basic Space Plasma Physics, W. Baumjohann et R.A. Treumann, Imperial College Press, 2004.
Principles of magnetohydrodynamics, H. Goedbloed et S. Poedts, CambridgeUniversity Press, 2004
The Physics of Plasmas, TJM Boyd et J.J. Sanderson, CambridgeUniversity Press, 2003
Physique des plasmas, J.M. Rax, Cours License, Master, Dunod, 2005
The Physics of Astrophysics, vol II, Gas Dynamics, F.H. Shu, University Science Books, 1992
Nonlinear magneto-hydrodynamics, D. Biskamp, Cambridge University Press, 1993
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