Démonstration et aires

Triangles de même aire

Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire.

A

B

C

A'

Triangles de même aire

Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC].

A

B CM

M est un point du segment [BC].

Triangles de même aire

La droite d est parallèle à la droite (BC).

Les triangles MBC et ABC ont la même aire.

A

B

C

M

d

Triangles de même aire

La droite d est parallèle à la droite (BC).

Les triangles MBI et ACI ont la même aire.

A

B

C

M

dI

Lemme des proportions

Soient ABC et AB’C’ deux triangles ayant en commun le sommet A et dont les côtés [BC] et [B’C’] sont portés par la même droite.

Le rapport des aires a(ABC) et a(AB’C’) est égal au rapport des longueurs BC et B’C’.

A

B

CB'

C'

Lemme du chevron

Soit ABC un triangle et M un point du plan, distinct de A. On suppose que la droite (AM) coupe la droite (BC) en A’.

Alors on a :

A

B

C

A'

M

C'A

B'A

)AMC(

)AMB(

aa

Théorème de Thalès

Soit ABC un triangle. Soient B’ un point du segment [AB] et C’ un point du segment [AC]. On suppose (B’C’) parallèle à (BC).

On a les égalités :

A

B C

B' C'CA

'CC

BA

'BB

BC

'C'B

AC

'AC

AB

'ABet

Théorème de Thalès : démonstration

)BCA(

)'BCC(

CA

'CC

aa

)CBA(

)'CBB(

BA

'BBet

aa

A

B C

B' C'

d’après le lemme des proportions.

Mais a(BCC’)=a(BCB’) car les droites (B’C’) et (BC) sont parallèles.

Donc on obtient l’égalité : CA

'CC

BA

'BB

s’en déduit par complément à 1.AC

'AC

AB

'ABL’égalité

Théorème de Thalès : démonstration

Il reste une égalité à prouverou de l’intérêt en géométrie d’introduire de nouveaux éléments.

A

B C

B' C'

Théorème de Thalès : démonstration

Il suffit d’appliquer ce qui vient d’être prouvé dans le triangle ABC avec la sécante (C’C’’) parallèle à (AB).

A

B C

B' C'

C"BC

'C'B

BC

"BC

AC

'AC

Le théorème des milieux

Soit un triangle ABC, B’ le milieu du segment [AC] et C’ un point du segment [AB].

Si la droite (B’C’) est parallèle à la droite (BC) alors le point C’ est le milieu du segment [AB].

Le théorème des milieux : démonstration

B’ est le milieu du segment [AC].

Donc aire(C’AB’)=aire(C’B’C). aire(C’B’C)=aire(C’B’B)

car (B’C’)//(BC). Par conséquent,

aire(C’AB’)=aire(C’B’B).

On en déduit que le point C’ est le milieu du segment [AB].

Concourance des médianes d’un triangle

Il suffit d’appliquer le lemme du chevron.

aire(AMB)=aire(AMC) car M est sur [AA’].

aire(AMB)=aire(BMC) car M est sur [BB’].

Donc aire(AMC)=aire(BMC).

On en déduit par une nouvelle application du lemme du chevron que la droite (MC) coupe le segment [AB] en son milieu.

Références

Aires et volumes : découpage et recollement. Daniel Perrin.

Mathématiques d’école. Daniel Perrin. Éditions Cassini. Démontrer par les aires. André Laur. Bulletin vert de

l’APMEP, n° 463 de mars-avril 2006. Les aires comme outil géométrique. Jean-Marie

Bouscasse. Les revues pédagogiques de la Mission Laïque Française. Activités mathématiques et scientifiques (janvier 1999).

Initiation au raisonnement déductif au collège. IREM de Lyon.