Démonstration et aires
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Démonstration et aires
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Démonstration et aires. A. B. A. '. C. Triangles de même aire. Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire. Triangles de même aire. Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC]. M est un point du segment [BC]. Triangles de même aire. - PowerPoint PPT Presentation
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Démonstration et aires
Triangles de même aire
Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire.
A
B
C
A'
Triangles de même aire
Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC].
A
B CM
M est un point du segment [BC].
Triangles de même aire
La droite d est parallèle à la droite (BC).
Les triangles MBC et ABC ont la même aire.
A
B
C
M
d
Triangles de même aire
La droite d est parallèle à la droite (BC).
Les triangles MBI et ACI ont la même aire.
A
B
C
M
dI
Lemme des proportions
Soient ABC et AB’C’ deux triangles ayant en commun le sommet A et dont les côtés [BC] et [B’C’] sont portés par la même droite.
Le rapport des aires a(ABC) et a(AB’C’) est égal au rapport des longueurs BC et B’C’.
A
B
CB'
C'
Lemme du chevron
Soit ABC un triangle et M un point du plan, distinct de A. On suppose que la droite (AM) coupe la droite (BC) en A’.
Alors on a :
A
B
C
A'
M
C'A
B'A
)AMC(
)AMB(
aa
Théorème de Thalès
Soit ABC un triangle. Soient B’ un point du segment [AB] et C’ un point du segment [AC]. On suppose (B’C’) parallèle à (BC).
On a les égalités :
A
B C
B' C'CA
'CC
BA
'BB
BC
'C'B
AC
'AC
AB
'ABet
Théorème de Thalès : démonstration
)BCA(
)'BCC(
CA
'CC
aa
)CBA(
)'CBB(
BA
'BBet
aa
A
B C
B' C'
d’après le lemme des proportions.
Mais a(BCC’)=a(BCB’) car les droites (B’C’) et (BC) sont parallèles.
Donc on obtient l’égalité : CA
'CC
BA
'BB
s’en déduit par complément à 1.AC
'AC
AB
'ABL’égalité
Théorème de Thalès : démonstration
Il reste une égalité à prouverou de l’intérêt en géométrie d’introduire de nouveaux éléments.
A
B C
B' C'
Théorème de Thalès : démonstration
Il suffit d’appliquer ce qui vient d’être prouvé dans le triangle ABC avec la sécante (C’C’’) parallèle à (AB).
A
B C
B' C'
C"BC
'C'B
BC
"BC
AC
'AC
Le théorème des milieux
Soit un triangle ABC, B’ le milieu du segment [AC] et C’ un point du segment [AB].
Si la droite (B’C’) est parallèle à la droite (BC) alors le point C’ est le milieu du segment [AB].
Le théorème des milieux : démonstration
B’ est le milieu du segment [AC].
Donc aire(C’AB’)=aire(C’B’C). aire(C’B’C)=aire(C’B’B)
car (B’C’)//(BC). Par conséquent,
aire(C’AB’)=aire(C’B’B).
On en déduit que le point C’ est le milieu du segment [AB].
Concourance des médianes d’un triangle
Il suffit d’appliquer le lemme du chevron.
aire(AMB)=aire(AMC) car M est sur [AA’].
aire(AMB)=aire(BMC) car M est sur [BB’].
Donc aire(AMC)=aire(BMC).
On en déduit par une nouvelle application du lemme du chevron que la droite (MC) coupe le segment [AB] en son milieu.
Références
Aires et volumes : découpage et recollement. Daniel Perrin.
Mathématiques d’école. Daniel Perrin. Éditions Cassini. Démontrer par les aires. André Laur. Bulletin vert de
l’APMEP, n° 463 de mars-avril 2006. Les aires comme outil géométrique. Jean-Marie
Bouscasse. Les revues pédagogiques de la Mission Laïque Française. Activités mathématiques et scientifiques (janvier 1999).
Initiation au raisonnement déductif au collège. IREM de Lyon.
