1 T. Masrour - Analyse 2 http://tawfik-masrour.blogspot.com
Université My Ismaïl Meknès
Ecole Nationale Arts et Métiers
ENSAM 2013-2014
Cours d’Analyse 2
Semestre 1
T. Masrour
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Leçon 2
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1. Espaces vectoriels normés EVN
1.2.Définition (norme)
Soit un espace vectoriel sur ( ) On définit une norme sur comme une application de à valeurs réélles positives :
et qui vérifie les conditions suivantes:
1.3.Propriétés
A partir d’une norme sur E, on peut toujours construire une distance par la formule :
En effet, on a :
1.4.Exemples de normes.
1. Sur on a les trois normes classiques :
2. Soit l’ensemble des fonctions bornées de dans lui-même, on le munit de la
norme sup :
3. On peut définir la même norme sur l’ensemble des fonctions continues
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2. Topologie engendrée par une distance
2.2.Définition (voisinage)
Soient un espace normé et , on appelle voisinage de tout ensemble de tel que contient une boule ouverte avec .
2.3.Propriétés
Tout ensemble contenant un voisinage de est aussi un voisinage de . Toute de voisinages de est aussi un voisinage de .
Preuve.
Soit des voisinages de . On a alors : pour tout ; .
Soit avec . On a ainsi , Donc
Donc: est un voisinage de .
cqfd.
On définit une structure sur qui à chaque élément lui fait associer l’ensemble de tous les voisinages ouverts de .Cela définit une « Topologie » sur .
est un espace topologique. Soit une famille telle que pour tout vérifiant . On dit alors, que:
définit un système fondamental de voisinages de
2.4.Exemples :
forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n.
forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n..
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2.5.Exercice 1 (en séance de cours)
Montrer que tout espace métrique est séparé i.e.
et t.q. . Correction :
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3. Ensembles Ouverts et Ensembles fermés
3.2.Définition « Ouverts »
Soit un ensemble de l’espace métrique . On dit que est un ouvert ssi est voisinage de chacun de ses points i.e.:
.
3.3.Propriétés
sont des ouverts de ouverts ouvert ouverts ouvert
3.4.Preuve
Preuve de : immédiat. Preuve de :
Soit et , où l’ensemble des indices est quelconque. Montrons alors que . Or ceci est clairement vérifié puisque implique qu’il existe au moins un tel que , et comme est un ouvert, donc enfin comme il en découle que
Preuve de :
Soit avec cette fois l’ensemble des indices fini i.e. par exemples. Montrons que . et est un ouvert, il existe alors tel que
Soit , alors comme l’ensemble des indices est fini . On vérifie, alors, facilement que , et donc que ce qui montre bien que
. Cqfd.
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3.5.Exercice 2
Monter que: ssi un ouvert contenant tel que
Correction : / un ouvert tq or tout ensemble qui contient un voisinage de est aussi voisinage de . / , il suffit alors de prendre
3.6.Exercice 3
Montrer que toute boule ouverte est un ouvert. Correction :
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3.7.Définition (fermé)
est un fermé ssi est un ouvert.
3.8.Propriétés
sont des fermés de ( sont des fermés) fermés fermé fermés fermé
3.2.Preuve (à faire en exercice en séance de cours)
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3.3.Remarques
ouverts en général ouvert
Par exemples :
ouvert.
fermés fermé
En efet , on sait que A = or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé ! Par exemples :
L’ouvert et pourtant les sont des fermés.
3.4.Exercice 3
Montrer que est un fermé. (à faire en séance de cours)
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