Exercices sur les circuits magnétiques : corrigé
Exercice I
Un circuit magnétique est constitué d'un tore en matériau ferromagnétique de perméabilité relative 1000, de longueur moyenne 200 mm, de section 10 cm² et d'un entrefer de 1 mm de long.Sur ce circuit, on enroule 25 spires d’un conducteur parcouru par un courant de 2 A.
On suppose que le champ dans le fer est 1,25 fois plus important que dans l'entrefer.
Calculer en utilisant le théorème d'Ampère le module du champ magnétique dans l'entrefer et les excitations magnétiques dans l'acier et l'entrefer.
Exercice II
Une bobine est constituée de 30 spires enroulées sur un circuit magnétique constitué d'un matériau ferromagnétique de perméabilité relative µr = 1000 et d'un entrefer de 1 mm, la fibre moyenne mesure 300 mm. La section du fer est de 10 cm² et celle supposée de l'entrefer de 12 cm².
1. L’intensité du courant dans le bobinage étant de 8 A, calculer le champ magnétique dans l'entrefer.Le circuit magnétique est décomposé en une partie « acier » et en une partie « air » :
• Partie « acier » : longueur la=300.10−3 m , section Sa=10.10−4 m2 et perméabilité magnétique
a=4 .10−4 SI
• Partie « air » : longueur le=10−3 m , section Se=12.10−4 m2 et perméabilité magnétique
a=4 .10−7 SI
D'après le théorème d'Ampère : H a . laH e . le=N I avec Ha et He les modules de l'excitation dans l'acier et l'entrefer, N = 30 spires et I l'intensité du courant dans le bobinage.
Comme B a=a H a et B e=0 H e , l'équation précédente devient Ba
a. la
Be
0. le=N I
D'après la loi de conservation du flux : B a .Sa=Be .Se avec Ba et Be les modules du champ magnétique
dans l'acier et l'entrefer. On obtient B a=B e .Se
Sa
D'où Be
Se
Sa
1a
.laBe
0. le=N I qui devient Be
Se
Sa
1a
. la10
. le=N I en factorisant Be et
finalement Be=
N ISe
Sa
1a
. la10
. le
=30. 8
12.10−4
10.10−4
14 .10−4 . 300.10−3
1
4 .10−7 . 10−3
=0,221 T
2. Quelle est le flux à travers le circuit magnétique ?
Puisque =B a .Sa=Be .Se alors =Be .Se=0,221 . 12.10−4=265 µWb
3. Calculer le flux total vu par la bobine.C'est le flux vu par une spire (flux à travers une section du circuit magnétique) multiplié par le nombre de spires : T=N=30 .265=7,95 mWb
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Exercice III
On considère un circuit magnétique torique de section carrée sur lequel est bobiné un enroulement de N = 20 spires parcourues par un courant d’intensité I.
La perméabilité relative de l'acier vaut 10000.Rayon intérieur R1 = 4 cm.Rayon extérieur R2 = 6 cm.Épaisseur de l'acier 2 cm.La longueur de l'entrefer est variable
IR2
R1
e
La section de l'entrefer est supposée égale à celle de l'acier.
1. En utilisant la relation d’Hopkinson, écrire le flux à travers une section du matériau en fonction de l'épaisseur e de l'entrefer et du courant I (la longueur de l'entrefer est négligée pour le calcul de la réluctance de l’acier).
2. Calculer l'intensité du courant permettant d'obtenir un champ magnétique de 100 mT.
a. lorsque l'entrefer est nul.
b. lorsque l'entrefer vaut 0,5 mm.
3. L'énergie W emmagasinée par la bobine s'écrit : W=12T . I , ΦT étant le flux total vu par la bobine.
a. Exprimer l'énergie en fonction de e et Φ.
b. Tracer la courbe W = f(e) (énergie stockée en fonction de la longueur d'entrefer) pour la même valeur du flux qu'au 2 (e varie de 0 à 3mm). Dans quelle partie du circuit magnétique l'énergie estelle majoritairement stockée ?
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Exercice IV
On réalise une bobine de 20 spires sur le noyau central du circuit magnétique cicontre :La perméabilité relative du matériau vaut 1000.
1. Le circuit magnétique peut être représenté par le schéma cidessous à droite (analogie électrique) :
a. Calculer les valeurs des réluctances de chaque partie du circuit magnétique (On suppose que les sections des entrefers sont égales à celles des pôles qui les encadrent. On néglige la longueur de l'entrefer pour le calcul des réluctances des parties fer).
2 cm 2 cm5 cm
0,5 cm0,5 cm
10cm
2 cm
7 cm
7 cm
entrefer0,1 cm
La réluctance d'une portion de circuit magnétique est donnée par ℜ=1
lS
Les longueurs sont celle de la fibre moyenne du circuit, les notation sont celles du circuit magnétique analogue de le figure suivante :
Pour les colonnes verticales latérales : ℜ1=1a
l1
S1
avec l1 = (7 – 1) = 6 cm, S1 = 2x7 = 14 cm2 et la
perméabilité magnétique a=0 .r avec r=1000 . Ce qui donne :
ℜ1=1
4 . 10−7. 10006.10−2
14.10−4=34,1 kH−1
Pour les portions verticales et latérales de la colonne horizontale inférieure : ℜ2=1a
l2
S2
avec l2 = 1 cm,
S2 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique a=0 .r . Ce qui donne :
ℜ2=1
4 . 10−7. 100010−2
14.10−4=5,7 kH−1
Pour les portions horizontales de la colonne horizontale supérieure : ℜ3=1a
l3S3
avec l3 = (5 – 1) =
4 cm, S3 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique a=0 .r . Ce qui donne :
ℜ3=1
4 . 10−7. 10004.10−2
14.10−4=22,7 kH−1
Pour la colonne centrale : ℜ4=1a
l4
S4
avec l4 = (7 – 1) = 6 cm, S4 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité
magnétique a=0 .r . Ce qui donne : ℜ4=1
4 .10−7 . 10006.10−2
35.10−4=13,6 kH−1
Pour la portion verticale et centrale de la colonne horizontale inférieure : ℜ5=1a
l5S5
avec l5 = 1 cm,
S5 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique a=0 .r . Ce qui donne :
ℜ5=1
4 . 10−7. 100010−2
35.10−4 =2,8 kH−1
Pour les entrefers extérieurs : ℜe1=10
le1
Se1
avec le1 = 0,1 cm, Se1 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité
magnétique du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe1=1
4 . 10−7 0,1.10−2
14.10−4=568 kH−1
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Pour l'entrefer central : ℜe2=10
le2
Se2
avec le2 = 0,1 cm, Se2 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique
du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe2=1
4 . 10−7 0,1.10−2
35.10−4=227 kH−1
b. Mettre le schéma sous la forme d’une force magnétomotrice « alimentant » une réluctance, le flux dans le circuit étant celui de la colonne centrale.
Les réluctances des branches extérieures sont en série (même flux), la réluctance équivalente est égale à la somme des réluctances : ℜlat=2.ℜ3ℜ1ℜ2ℜe1
ℜlat=2.22,734,15,7568=653 kH−1
Ces deux réluctances sont en parallèle et comme elle sont identiques, elle peuvent être remplacées par une seule égale à ℜlat
2=
6532
=326 kH−1
Les réluctances de la branche centrale sont en série soit ℜcent=ℜ4ℜ5ℜe2=13,62,8227=243 kH−1
Finalement, les réluctances ℜlat
2 et ℜcent sont en série ce qui donne une réluctance équivalente :
ℜeq=ℜlat
2ℜcent=326243=569 kH−1
2. Module du champ magnétique
a. Calculer la valeur du courant permettant d'obtenir un champ de 140 mT dans l'entrefer central.D'après la relation d'Hopkinson ℜeq=N I avec F le flux dans le circuit magnétique, N le nombre de
spires et I l'intensité du courant dans la bobine.
La section Sc de l'entrefer central est égale à 35 cm2 et les vecteurs champ magnétique B c et surface sont supposés colinéaires et de même sens donc = B c . Sc=Bc . Sc et la relation d'Hopkinson devient ℜeq Bc . Sc=N I ce qui donne :
I=ℜeq Bc .Sc
N=
569.103 .0,14 .35.10−4
20=13,9 A
b. En déduire le champ magnétique dans les colonnes extérieures.D'après la loi de conservation du flux : B ext .Sext=Bc .Sc (indice « ext » pour extérieur) soit
B ext=Bc .Sc
Sext
=0,14 .3514
=0,35 T
3. Calculer le flux dans la bobine et le rapport de ce flux sur l'intensité du courant dans la bobine.
La bobine est constituée de 20 spires qui « voient » chacune =Bc .Sc soit un flux total :
T=20.=20.Bc . Sc=20 . 0,14 . 35.10−4=9,8 .10−3 Wb
Le rapport du flux sur l'intensité du courant : T
I=9,8
.10−3
13,9=7,05 .10−4 H (c'est l'inductance de la
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bobine).
Exercice V
On considère l'électroaimant cicontre. Les cotes sont données en mm, la profondeur est égale à 30 mm. Perméabilité relative des culasses et du noyau : 1500.
Le ressort de rappel maintient la partie mobile dans une position telle que l'on ait un entrefer de 2,5 mm sur chaque branche.
1. Exprimer l'énergie W emmagasinée par la bobine en fonction du flux F à travers une section du circuit magnétique, du nombre de spires et du courant I qui la traverse.
Relation de l'exercice III question 3 : W=12T . I et T=N avec N le
nombre de spires. Finalement W=12
N . I
2. Exprimer le flux F en fonction de la réluctance du circuit magnétique, du nombre de spires et du courant I. En déduire l'expression de W en fonction de la réluctance du circuit, du nombre de spires et du courant I.
10
10
10 1020
40
40
D'après la relation d'Hopkinson ℜ=N I avec ℜ la réluctance du circuit magnétique, F le flux dans le circuit magnétique, N le nombre de spires et I l'intensité du courant dans la bobine.
3. Donner la réluctance en fonction de la longueur x d'un entrefer.
La longueur de la fibre moyenne de l'acier est la=2 .302. 35=130 mm et sa section
Sa=10 .30=300 mm2 soit une réluctance ℜa=1
0.a
la
Sa
=1
4 .10−7 .1500130.10−3
300.10−6=230 kH−1
La réluctance de l'entrefer dépend de sa longueur :
ℜe=10
xSe
=1
4 . 10−7
x
300.10−6=2,65 .109 .x (en H−1 et x en m)
La réluctance du circuit est égale à la somme de ces deux réluctances soit :
ℜe=230.1032,65 .109. x (en H−1 et x en m)
4. Exprimer l'intensité F de la force de rappel en fonction de x ( F=dWdx
)
On remplace W par son expression dans F=dWdx
ce qui donne F=ddx
12
N . I et comme =N Iℜ
alors
F=ddx
12
NN Iℜ
. I =12N . I 2
ddx
1ℜ (le produit
12N I 2 est constant)
En remplaçant ℜ par son expression : F=12N . I 2 d
dx
1230.1032,65.109 . x
Dérivée de 230.1032,65.109 . x : ddx
1
230.1032,65.109 . x=
−2,65.109 . x230.1032,65 .109 . x 2
D'où l'expression de la composante verticale de la force : F v=−12N . I 2 2,65.109
230.1032,65.109 . x 2 soit une
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intensité (module du vecteur) : F=12N . I 2 2,65.109
230.1032,65.109 . x 2
5. Le ressort créé une force de rappel constante et égale à 5 N. Calculer la force magnétomotrice pour que l'armature soit attirée. La bobine étant constituée de 200 spires, calculer l'intensité du courant.
D'après l'équation précédente : N . I 2=2. F .230.1032,65.109 . x 2
2,65.109 d'où l'expression de l'intensité :
I=1N 2. F .230.1032,65.109 . x 2
2,65.109
L'entrefer a une longueur égale à 2,5 mm : I=1
200 2. 5 .230.1032,65.109 .2,5 .10−32
2,65.109 =2,1 A
6. L’armature est maintenant collée, quelle résistance fautil placer en série avec la bobine pour que le courant suffise au maintien de l'armature lorsque l'alimentation est de 12 V.
La longueur d'entrefer est nulle : I=1
200 2. 5 .230.1032,65.109 .0 2
2,65.109 =71 mA
Dans la question précédente, le courant a une intensité de 2,1 A pour une tension de 12 V soit une résistance
de la bobine Rb=122,1
=5,7 . Si une résistance R est placée en série avec la bobine, l'intensité du
courant s'écrit I=12
RRb soit R=
12I−Rb . Pour limiter le courant à 71 mA, il faut
R=12
71.10−3−5,7=163
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