8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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- GEOTECHNIQUE II -
Chapitre II :POUSSEE ET BUTEE
2ème génie civil
ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS
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I/ TERRES AU REPOS
Soit un massif de sol homogène à surface horizontale.Si le sol n’est pas soumis à un déplacement latéral (εh=0), il se trouve dans unétat initial qui dépend de son histoire géologique, on nomme cet état : pousséedes terres au repos (sans déplacement).
Pour définir l’état des terres au repos, on relie la contrainte effective horizontale
ζ’h0 à la contrainte effective verticale ζ’v0=γ’z par le coefficient de pression desterres au repos K 0
Géotechnique II
0'' 00 vh K
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I/ TERRES AU REPOS
Le coefficient des terres au repos pourrait être déterminé expérimentalement àl’aide de l’appareil triaxial:
Géotechnique II
v
h K
'
'0
Coefficient des terres au repos:
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I/ TERRES AU REPOS
La valeur de K 0 varie suivant le type du sol. Elle est donnée, de façonapproximative, au tableau suivant :
Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés, on pourrautiliser la formule simplifiée de JAKY si le terre plein est horizontal :
Géotechnique II
'sin10 K
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I/ TERRES AU REPOS
S’il existe un talus de pente β, la valeur de K 0, avec la même définition, sera :
Par rapport aux sols normalement consolidés, la valeur de K 0 augmente pour
les sols surconsolidés. D’autant plus que le coefficient de surconsolidation R OCest important. On pourra utiliser la relation suivante :
Avec :
Géotechnique II
)sin1(00 K K
2/1
0 )'sin1( OC R K
0'
'
v
p
OC R
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Soit un massif de sol homogène à surfacehorizontale, maintenu par un écran, et soit Fl’effort nécessaire pour maintenir l’écranimmobile.
Si l’effort F est relâché, il y a un léger déplacement Δ de l’écran.
Si le déplacement est important; il y a rupture dusol derrière l’écran (éboulement) par formation desurfaces de glissement.
Géotechnique II
1) Cas actif: équilibre de poussée
La rupture correspond àl’équilibre de poussée ouactif: le sol agit surl’écran
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Soit un massif de sol homogène à surfacehorizontale, maintenu par un écran, et soit Fl’effort nécessaire pour maintenir l’écranimmobile.
Si l’effort F est augmenté, i l y a un léger déplacement Δ de l’écran.
Si le déplacement est important; il y a rupture dusol derrière l’écran (refoulement) par formation desurfaces de glissement.
Géotechnique II
2) Cas passif: équilibre de butée
La rupture correspond àl’équilibre de butée oupassif: le sol subitl’action de l’écran
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
pour qu’il y est équilibre de poussée ou de butée,il faut qu’il y est déplacement, grossièrement, de:
l’ordre de H/1000 pour mobiliser la poussée(pour H=10m, il faut un déplacement Δa=1cm)
Supérieur à H/100 pour mobiliser la butée (pour H=10m, il faut un déplacement Δ p=10cm).
Géotechnique II
3) Déplacements nécessaires pour atteindre les équilibres limites
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Lors de l’expansion latérale (Le sol pousse sur l’écran), la contrainte ζ’v0reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 diminue, jusqu’à ceque le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour unecontrainte horizontale: ζ’a.
C’est l’équilibre actif ou de poussée.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintesa) équilibre limite actif ou de poussée
Remarque: ζ’v reste la contrainte principale majeure.
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planesdont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe
intrinsèque.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintesa) équilibre limite actif ou de poussée: plans de rupture
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Lors de la contraction latérale (L’écran pousse sur le sol), la contrainte ζ’v0reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 augmente, jusqu’à ceque le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour unecontrainte horizontale: ζ’ p.
C’est l’équilibre passif ou de butée.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée
Remarque: ζ’v devient la contrainte principale mineure.
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II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE
Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planesdont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe
intrinsèque.
Géotechnique II
4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée: plans de rupture
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A NOTER:
On admet que les ouvrages de soutènement sont susceptibles de se déplacersuffisamment pour qu’apparaissent dans le sol des lignes de glissementcorrespondant à l’équilibre plastique.
Géotechnique II
Cette hypothèse estpratiquement toujours vérifiéepuisque les déplacementsnécessaires pour passer de l’état
de pression au repos à l’état depoussée sont faibles(Δa=H/1000).
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Les sols contenus par les ouvrages de soutènement sont: pesants généralement cohérents peuvent supporter des surcharges
La force de poussée est obtenue en superposant les trois états d’équilibre plastique: Pesant, non cohérent, non surchargé Non pesant, non cohérent, surchargé Non pesant, cohérent, non surchargé
1) Principe de superposition
A NOTER:
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
La théorie de Rankine repose sur les hypothèses suivantes: le sol est isotrope la présence de discontinuité (écran, mur) ne modifie pas la répartition descontraintes verticales.
1) Coefficients de poussée et de butée
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
1) Coefficients de poussée et de butée• la contrainte de poussée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par lecoefficient de poussée K a :
• la contrainte de butée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par lecoefficient de butée K p :
0'.' vaa K
0
''v p p
K
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:
2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 3
2
1
c
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 1
2
3
c
- Trouver les coefficients de poussée K a et de butée K p.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Coefficient de poussée K a:
Coefficient de butée K p:
2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
0q
0c'0γ
3
1
'..'
'.'
z K
z
aa
v
2
'
4tan
2 a K
1
3
'..'
'.'
z K
z
p p
v
2
'
4tan
2 p K
État de poussée État de butée
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
La distribution des contraintes sur un écran plan varie linéairement avec z:
La force de poussée résultante est:
z K aa ..
H
aa dz z K F 0
...
2..
2
1 H K F aa
La force de poussée s’exerce autiers inférieur de H.
2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:
2) Massif horizontal b) Milieu non pesant, non cohérent, surchargé:
0q
0c'0γ
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 3
2
1
c
2
'
4tan'2'
2
'
4tan' 1
2
3
c
- Trouver les coefficients de poussée K aq et de butée K pq.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Coefficient de poussée K aq:
Coefficient de butée K pq:
2) Massif horizontal b) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:
0q
0c'0γ
3
1
'.'
''
q K
q
aqa
v
2
'
4tan
2 aq K
1
3
'.'
''
q K
q
pq p
v
2
'
4tan
2 pq K
État de poussée État de butée
N.B: la surcharge q a une valeur constante, indépendante de la profondeur.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
La distribution des contraintes sur un écran plan est uniforme:
La force de poussée résultante est:
q K aqa .
H
aqaq dz q K F 0
..
H q K F aqaq ..
La force de poussée s’exerce au milieu de H.
2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: Théorème des états correspondants
2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
0q
0c'0γ
- L’état du sol vis-à-vis de la rupture est identique dans les deux cas.
a: la courbe intrinsèque d’un sol cohérent
(c’#0 et φ’#0) avec 2 cercles de Mohr:C1 (en équilibre limite)
C2 ( en équilibre surabondant).
b: la courbe intrinsèque d’un sol pulvérulent (c’=0 et φ#0) de même anglede frottement interne que le sol précédent:
C1 et C2 sont obtenues par translation égale à:
'tan
''
cOO
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Rappel: Théorème des états correspondants (suite)
2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
0q
0c'0γ
Un milieu cohérent peut être
transformé en milieu pulvérulentde même angle de frottementinterne, en appliquant autour dumassif une pression hydrostatiqued’intensité égale à c’/tanφ’.
Appliquer une translation c’/tanφ’ sur un
cercle de Mohr quelconque revient àappliquer une contrainte normalesupplémentaire d’intensité c’/tanφ’ sur chaque facette de chaque point.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Application du théorème des états correspondants:
- On suppose un milieu fictif pulvérulent (non pesant) chargé en surface: q=c’/tanφ’
- on applique le théorème des états correspondants pour passer au milieu réelcohérent on soustrait la pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.
2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
État de poussée État de butée
0q
0c'
0γ
- Trouver les contraintes de poussée et de butée ζ’a et ζ’p.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
En équilibre de poussée:
2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
'tan
'.'
'tan
''
c K
c
ah
v
0q
0c'
0γ
Milieu fictif (non cohérent) Milieu réel(cohérent)
'tan
'''
'tan
'''
c
c
hh
vv
'tan
').1('
c
K ah
ah K c'.2' traction
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
En équilibre de butée:
2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:
'tan
'.'
'tan
''
c K
c
ph
v
0q
0c'0γ
Milieu fictif (non cohérent) Milieu réel(cohérent)
'tan
'''
'tan
'''
c
c
hh
vv
'tan
').1('
c
K ph
ph K c'.2' compression
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Superposition des trois états:
2) Massif horizontald) Cas général: milieu pesant, cohérent, surchargé
0q
0c'
0γ
aah K cq z K '.2)..('
q
K
c z
a
c '2
Traction jusqu’à:
p ph K cq z K '.2)..('
En équilibre de poussée:
En équilibre de butée:
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Exercice:
Nous avons une tranchée de 5m de profondeur à creuser dans undépôt argileux. La résistance moyenne en compression simple estde 44 KPa et la densité du matériau est de γ=16 KN/m3 .
1) Calculer et tracer le diagramme de pression des terres requis
pour le design du mur de soutènement à court terme.
1) Calculer également la force résultante et commenter le résultat.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif inclinéa) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Contrainte géostatique:
Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de poids volumique γ).
La contrainte géostatique qui s’exerce en un point M à une profondeur h, sur la facette parallèle à la surface libre est:
cos.. z
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Conventionde signes:
-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.
φ’: angle de frottement interne du sol
θ: inclinaison du mur
β: inclinaison du massif
α: angle de frottement sol-écran
Massif de sol gauche Massif de sol droite
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif inclinéa) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
θα
θα
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Etat de poussée:Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontaleen équilibre limite inférieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottementinterne φ et de poids volumique γ).Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de poussée est linéaire:Avec K aγ coefficient de poussée:
2sin)2cos(.sin21.
)sin(
)cos(.sin
a K
sin
sinsin
r K T a ..
α
θ
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif inclinéa) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Etat de poussée:L’inclinaison θ de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est
constante tout le long du rayon vecteur est égale à:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
α
θ
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de poussée résultante est:
2
..2
1
l K F aa
La force de poussée s’exerce autiers inférieur de l.
2) Massif inclinéa) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
r K T a ..
l
aa dr r K F 0
...
Faγ
θ
α
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif inclinéa) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticaleLe long de la demi-droite verticale, la répartition des contraintes de poussée est
linéaire:
Avec K aγ coefficient de poussée:
cos... z K T a
cos.
coscoscos
coscoscos22
22
aa K K
α=β
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale
La distribution des contraintes sur un écran plan vertical varie linéairementavec H (avec une inclinaison α=β):
La force de poussée résultante est: H
aa dz z K F 0
..cos..
2.cos..2
1 H K F aa
La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.
2) Massif inclinéa) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
cos... z K T a
0q
0c'0γ
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Etat de butée:Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontaleen équilibre limite supérieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle defrottement interne φ et de poids volumique γ).Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de butée est linéaire:Avec K pγ coefficient de butée:
)2cos(.sin1.)sin(
)cos(.sin
p K
sin
sinsin
r K T p ..
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné
a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
Etat de butée:L’inclinaison α de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL estconstante tout le long du rayon vecteur est égale à:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale
varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de butée résultante est: l
p p dr r K F 0
...
2..
2
1l K F p p
La force de butée s’exerce au tiersinférieur de l.
2) Massif inclinéa) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:
r K T p ..
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'0γ
Etat de poussée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de poussée est uniforme:Avec K aq coefficient de poussée:
)cos(
aaq
K K
q K T aq.
L’inclinaison de la contrainte de poussée
par rapport à la normale à OL est:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
α
θ
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de poussée résultante est: l
aqaq dr q K F 0
..
l q K F aqaq ..
La force de poussée s’exerce aumilieu de l.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'0γ
q K T aq.
α
Faqθ
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'0γ
Etat de butée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de butée est uniforme:Avec K pq coefficient de butée:
)cos(
p pq
K K
q K T pq.
L’inclinaison de la contrainte de butée par
rapport à la normale à OL est:
)2cos(.sin1
)2sin(.sintan
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):
La force de butée résultante est: l
pq pq dr q K F 0
..
l q K F pq pq
..
La force de butée s’exerce au milieu de l.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement
0q
0c'0γ
q K T pq.
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de poussée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de poussée est uniforme:Avec K ac coefficient de poussée:
)cos(.sin1
cos2
ac K
c K T ac.
L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est:
)(
Traction
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la
verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):La force de poussée résultante est:
l
acac dr c K F 0
..
l c K F acac ..
La force de poussée s’exerce au milieu de l.
c K T ac.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Fac
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'
0γ
Etat de butée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la
répartition des contraintes de butée est uniforme:Avec K pc coefficient de butée:
)cos(.sin1
cos2
pc K
c K T pc.
L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:
)(
Compression
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III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale
varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):La force de butée résultante est:
l
pc pc dr c K F 0
..
l c K F pc pc ..
La force de butée s’exerce au milieu de l.
c K T pc.
2) Massif incliné:
a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé
0q
0c'0γ
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3) Insuffisance de la théorie de Rankine
Hypothèse de la théorie deRankine:
la présence d’un écran ne modifie pas larépartition des contraintes dans lemassif.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
Inconvénient de la théorie de Rankine:
l’angle de la contrainte de poussée avec lanormale à l’écran dépend des conditionsgéométrique mais n’a pas la réalité physiqued’un angle de frottement sol-écran.
δ=α
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δ#α
3) Insuffisance de la théorie de Rankine
Interaction sol-écran:
- le déplacement relatif du sol sur un écran rugueux frottement d’angle δ.
III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE
- l’angle de frottement sol-écran δ dépend de l’état de surface de l’écran et de lanature du sol: 0≤ δ ≤φ
- δ=0: écran parfaitement lisse (ex: palplanche métallique)
- δ=2φ’/3: surface rugueuse (ex: béton lisse)
- δ=φ: surface très rugueuse (ex: béton sous des fondations)
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
(Boussinesq (1882) a amélioré lathéorie de Rankine en prenant
l’interaction réelle entre le sol etl’écran, c.à.d. en choisissant la valeurde l’angle de frottement δ sol-écran.
δ#α
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
a) Hypothèses
massif pesant, non cohérent et non surchargé; massif à surface plane.
écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)
La mise en équation du problème a donné unsystème d’équations différentielles non intégrablesexplicitement
résolution numérique de Caquot et Kérisel
Dans cet équilibre, Boussinesq considère une première zone ou on al’équilibre de Rankine se raccordant à une seconde zone ou il tient comptedes conditions aux limites sur l’écran.
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
b) Lignes de glissement
Deux équilibres à considérer:
Equilibre de Rankine: dans la zone entre surface
libre et plan de glissement passant par O. Equilibre de Boussinesq: dans la zone entre écranet plan de glissement passant par 0
Remarque: Pour la poussée etpour un écran pas trop incliné,les courbes de glissement sont, àpeu près, des lignes droites.
Etat de poussée
Etat de buée
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes
Conventionde signes:
-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.
φ’: angle de frottement interne du sol
λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif
δ: angle de frottement sol-écran
Massif de sol gauche Massif de sol droite
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes
L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:
Poussée:
Butée:
r K T a ..
r K T p ..
K aγ
et K pγ
sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, λ , β/φ’ et δ/φ’
φ’: angle de frottement interne du sol
λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif
δ: angle de frottement sol-écran
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
1) Théorie de Boussinesq:
c) Calcul des contraintes: table de Kérisel et Absi de K aγ et K pγ pour β=λ =0
K aγ et K pγ sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, λ , β/φ’ et δ/φ’
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de poussée résultante est:
2..2
1l K F
aa
La force de poussée s’exerce au tiersinférieur de l.
r K T a .. l
aa dr r K F 0
...
Faγλ
δ
1) Théorie de Boussinesq:
d) calcul des forces
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticalevarie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de butée résultante est: l
p p dr r K F 0
...
2..
2
1l K F p p
La force de butée s’exerce au tiersinférieur de l.
r K T p ..
1) Théorie de Boussinesq:
d) Calcul des forces
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
a) Hypothèses
Théorie de Boussinesq Théorie de Prandtl
massif pesant, non cohérent et non
surchargé .
massif non pesant, non cohérent et
surchargé uniformément.massif à surface plane (inclinaison β) massif à surface plane (inclinaison β)
écran rugueux (angle de frottementsol-écran est δ)
écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)
mise en équation du problème:
- système d’équations différentiellesnon intégrables explicitement:
résolution numérique de Caquotet Kérisel
mise en équation du problème :
- système d’équations différentiellesanalogues à celles régissant les équilibresde Boussinesq:
Intégration analytique possible
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
b) Lignes de glissement
Les lignes de glissement est une juxtaposition de deux zones en équilibre deRankine reliées par une zone en équilibre de Prandtl.
L’évantail de Prandtl est unfaisceau de droites issues del’origine coupées par des
spirales logarithmiques
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
b) Lignes de glissement
Équilibre de Rankine (leslignes de glissement sontconstituées de deux famillesde plans faisant entre euxun angle de π/2±φ)
Équilibre de
Rankine
Équilibre de Prandtl (les lignes de glissement sontconstituées:-d’une part, par des plans rayonnants passant par O-D’autre part, par des spirales logarithmiques.
Ω
O
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la poussée
Soient OT et OT’ les plans limitant les formesd’équilibre, on désignera par:
•
µ: l’angle• Ψ: l’angle• ε: l’angle
Le calcul conduit aux formules générales suivantes:
TOA'TOT
' BOT
1tan2
12 .'cossincoscossincos q K eqq a
sin
sinsin
sin
sinsin
22
1
22
1
22
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la poussée
Les conventions de signe relatives à α et δ sont données comme suit:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: cas de la butée
Le calcul conduit aux formules générales suivantes:
1
tan2
12 .'
cossincos
cossincosq K eqq p
sin
sinsin
sin
sinsin
22
1
22
1
22
Les conventions de signe relatives à α et δ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: coefficients de poussée
L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:
Poussée:
Butée:
12 .' q K q a
12 .' q K q p
K’a et K’ p sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, Ω, α et δ
φ’: angle de frottement interne du sol
α: obliquité de la surcharge q1δ: angle de frottement sol-écran
λ : inclinaison du mur β: inclinaison du massif
2
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
c) Calcul des contraintes: tables de Kérisel et Absi
K’a et K’ p sont donnés par les tables de Kérisel et Absien fonction de: φ’ et δ pour Ω=π et α=0
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de poussée résultante est: l
aaq dr q K F 0
..'
l q K F aaq ..'
La force de poussée s’exerce au milieu de l.
q K T a.'
δ
Faqλ
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
d) Calcul des forces:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
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Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):
La force de butée résultante est: l
p pq dr q K F 0
..'
l q K F p pq ..'
La force de butée s’exerce au milieu de l.
q K T p.'
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
2) Théorie de Prandtl:
d) Calcul des forces:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE
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L’application du théorème des états correspondants consiste à appliquer une pression hydrostatique H’=c’/tanφ’ aux limites du massif.
La force de poussée résultante à prendre en compte est:Pc (traction): résultante de P et de C
L’écran, dans ce cas, est soumis à deux actions:1.action correspondant à H’: perpendiculaire
au mur et s’exerçant au milieu de l:
2.action de la poussée des terres sous l’effet dela surcharge H’ (calculée par la théorie dePrandtl pour surcharge normale à la surface
libre) s’exerçant au milieu de l:
3) Prise en compte de la cohésion:
IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ
l H C '.
'.' H K P a
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le remblai en sable de la figure ci-contre est retenu par un mur de soutènement à paroi verticale. il est mal drainé et il est complètement saturé.
Sachant qu’est appliquée sur le remblai une surcharge uniforme q=50KPa,déterminer la force de poussée exercée sur le mur (δ=10°).
déterminer aussi les composantes normales et tangentielle de la force de poussée
Exercice n°1:
c’=0
φ=30°
γd=16KN/m3
γs=27KN/m3
V/ METHODE DE COULOMB
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V/ METHODE DE COULOMB
Mise au point par Coulomb en 1773,cette méthode (la plus ancienne)
permet de déterminer les forces depoussée et de butée limites s’exerçantdans le sol derrière un écranquelconque sans considération del’état des contraintes dans le sol
derrière le mur.
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
71/87
V/ METHODE DE COULOMB
La méthode de Coulomb repose sur des hypothèses très différentes de celles de
Boussinesq.Le principe de la méthode repose sur:
L’ouverture d’une fissure au remblai,suivant une surface plane passant par le
pieds de l’écran, lors de la rupture Laligne de glissement est une droite.
La séparation d’une masse de sol qui suitle mur dans son déplacement
La force agissante sur l’écran a une
direction connue l’angle de frottementδ entre l’écran et le sol est connu.
La méthode repose sur l’étude de l’équilibre d’un prisme à base
triangulaire: c’est le coin de Coulomb
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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La théorie du coin de Coulombs’applique aux milieux pulvérulents,
pesants et surchargés. Elle est moinssatisfaisante que la théorie del’équilibre limite puisqu’elle neconsidère qu’une surface de rupture
plane. Cependant, elle a retrouvé unregain d’intérêt pour une raisontotalement matérielle.
V/ METHODE DE COULOMB
Cette méthode consiste à étudier l’équilibre du prisme limité par un planincliné. Le prisme est soumis à son poids W, à la surcharge éventuelle q, à laréaction R inclinée de –φ (poussée) et de +φ (butée) et à la réaction del’écran – Fa ou – F p inconnue mais d’inclinaison δ.
Fa
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
73/87
Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottementinterne φ. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle θavec l’horizontale.
1) Principe de la méthode:
V/ METHODE DE COULOMB
En chaque point M du plan derupture s’exerce une contrainte ζfaisant l’angle φ avec la normaleau plan est située d’un coté ou del’autre de cette normale, suivantque le massif est en poussée ou
en butée. Donc la réaction totaleR du sol sur ce plan de rupturefait avec la normale à ce planl’angle φ.
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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le calcul de la force agissante sur le mur consiste à considérer l’équilibre statiquedes forces agissantes sur le coin de sol ABC. Ces forces sont: le poids W; la réaction R exercée par le mur sur le plan de rupture AC;La force F exercée par le mur: inclinée de l’angle δ sur la normale au
parement du mur; cette force est notée Fa ou F p selon que la force de réaction estinclinée de +φ ou de –φ sur la normale au plan de rupture avec l’horizontale.
1) Principe de la méthode:
V/ METHODE DE COULOMB
On détermine ainsi la valeur de la forceF en fonction de l’angle θ que fait le
plan de rupture avec l’horizontale. Laméthode de Coulomb consiste à
prendre le maximum F+ ou le minimumF- de F(θ) pour calculer Fa ou F p: dansles deux cas on a:
0)(
d
dF
V/ METHODE DE COULOMB
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Le diagramme des forces appliquées sur le coin ABC donne, dans le cas de lapoussée:
Avec:
2) Calcul: milieu pesant, non surchargé
V/ O COU O
)sin(
)sin(
W F
)sin(
)sin().sin(
2
1 2
l W
Pour trouver l’orientationdu plan de rupture, il fautdéterminer le maximum deF+, c’est-à-dire chercher
la valeur de θ qui vérifie:
0)(
d
dF
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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2) Calcul: milieu pesant non surchargé
La force de poussée est:
Avec:
La force de butée a, de même, pour expression générale:
Avec:
2
2
1l K F aa
2
2
)sin().sin(
)sin().sin(1)sin(
)(sin
a K
2
2
1l K F p p
2
2
)sin().sin(
)sin().sin(1)sin(
)(sin
p K
)sin()sin(
)sin()sin(
)sin(
1)cot(cot
arca
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale
et δ=0:Cas de la poussée:
?a K
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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Cas de la poussée:
Avec:
2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale
et δ=0:
)tan()cos(
)sin(
W W F
cot2
1 2
H W
On cherche le maximum de F:
Le maximum a lieu pour Ce qui correspond à:
La valeur de la force de poussée Fa est alors:
)(cos
cot
sin
)tan(
2
1)(22
2
H
d
dF
)tan(cot2
1 2 H F
0)(cossin
)(2sin2sin
4
122
2
H
24
24tan2 a K
24tan
2
1 22 H F a
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
79/87
Cas de la poussée:
2) Calcul: milieu pesant non surchargé (Formule de Poncelet):
2..2
1l K F aa
2
2
)cos().cos(
)sin().sin(1)cos(
)(cos
a K
2
2
)cos().cos(
)sin().sin(1)cos(
)(cos
p K
2..21 l K F p p Cas de la butée:
)cos()sin(
)cos()sin(
)cos(
1)tan(cot
arca
2
V/ METHODE DE COULOMB
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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Cas de la poussée:
2) Calcul: milieu non pesant, surchargé:
l q K F aqaq ..
)cos(
aaq
K K
l q K F pq pq ..Cas de la butée:
)cos(
p pq K
K
Fa
VI/ METHODE DE CULMANN
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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Lorsque les conditions géométriquesne permettent pas de déterminer
analytiquement la force de pousséeou de butée, on utilise alors laméthode graphique de Culmann.
VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN
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on détermine, grâce au graphique de la
résultante générale des forces appliquées(W i , Ri , F i), la force correspondante F iexercée sur le parement du mur. Pour cela:
La masse de sol derrière le mur estsubdivisée en une succession de coins.
Pour chacun de ces coins, délimité par un plan de rupture passant par le point B au pied du mur et incliné de l’angle θi sur l’horizontale, on reporte: les poids Wi des différents coins sur un axe B X faisant l’angle φ avec la direction
horizontale;
les forces F i qui sont tracées à partir des extrémités des W i, parallèlement à l’axe BY faisant l’angle (δ+η) avec l’axe B X .
Les extrémités des forces F i sont sur les plans de rupture inclinés de θi ( constituent laligne de Culmann).
VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
83/87
Le point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe B X correspond à la
valeur maximale de F , soit à la poussée limite F a, et détermine le plan de rupturele plus dangereux, incliné de l’angle θa sur l’horizontale.
METHODES DE COULOMB ET CULMANN
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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1) Avantages et cas d’utilisation
Méthode simple
Prise en compte de configurations compliquées facile à résoudregraphiquement (massifs non rectilignes, surcharges non uniformes,forces d’écoulement,…)
Bons résultats en poussée pour des écrans peu inclinés.
2) Inconvénients et cas de non utilisation
Théoriquement insuffisante (surface de rupture rectiligne)
Inclinaisons marquées (les poussées sont sous-estimées) Inexactes dans le cas de la butée ( grandes courbures dans les lignes
de rupture).
VII/ CAS PRATIQUES
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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1) Massif stratifié:
VII/ CAS PRATIQUES
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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1) Massif stratifié: Remarque
A la limite de deux couches; par exemple au point A, la contrainte peut être différente selonque le point A est considéré:
comme étant situé à la base de la couche i-1de caractéristiques c
i-1 et φ
i-1 (point A-)
ou comme étant situé en tête de la couche ide caractéristiques ci et φi (point A+).
Il est donc indispensable de considérer
séparément les points A- et A+ pour établir lediagramme de pression des terres.
Le calcul conduit à des discontinuités parfois importantes. Dans lapratique, de telles discontinuités ne sauraient exister de façon brutale.
VII/ CAS PRATIQUES
8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)
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2) Massif à nappe d’eau
La présence d’une nappe d’eau dans lemassif de sol implique la superposition de:
l’action de la poussée du sol immergé;
la poussée hydrostatique de l’eau;
Remarque: la poussée de l’eau sur les ouvrages est considérable; c’estpour cette raison que, dans les murs on prévoit toujours des systèmes dedrainage et des évacuations (barbacanes) pour éviter la mise en pression
hydrostatique. Beaucoup d’accidents survenus sur des ouvrages desoutènement proviennent du mauvais fonctionnement du système dedrainage (du au colmatage par exemple).
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