Chapitre II Formulation du modèle
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CHAPITRE II
FORMULATION DU MODELE
II-1 INTRODUCTION................................................................................................................................. 71
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES............ 72
II-2.1 FORMULATION DU MODÈLE................................................................................................................. 73
II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT.................................................................................................. 75
II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITÉ ET ENDOMMAGEMENT......................................................................... 79
II-2.4 CRITÈRE DE PLASTICITÉ – POTENTIEL PLASTIQUE............................................................................... 80
II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BÉTON À HAUTES TEMPÉRATURES......................................................... 84
II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS................. 103
II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLÈME THERMO-MÉCANIQUE........................................................................... 103
II-3.2 RÉSOLUTIONS NUMÉRIQUES DU PROBLÈME THERMIQUE................................................................... 105
II-3.3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME MÉCANIQUE...................................................................... 108
II-3.4 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODÈLE............................................................. 110
II-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 134
Chapitre II Formulation du modèle
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II-1 INTRODUCTION
Le but de ce chapitre consiste en l’élaboration d’un modèle de comportement pour le béton
permettant de prendre en compte l’endommagement mécanique et l’effet unilatéral lors des
chargements cycliques d’une part, ainsi que l’endommagement thermique et l’influence du
chargement mécanique sur le processus de déformation thermique (fluage thermique
transitoire) lors des chargements combinés. L’objectif final de ce travail est de pouvoir
intégrer ces différents phénomènes dans un calcul de structure afin d’améliorer et de rendre
plus prédictive la modélisation thermo-mecanique du béton.
Dans ce but, un modèle couplant le niveau d’écrouissage atteint en traction/compression avec
l’endommagement est proposé. Ce couplage endommagement-plasticité est assuré en utilisant
le principe de la contrainte effective. Sans pour autant perdre de vue la physique des
phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée de manière phénoménologique dans
le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.
Chapitre II Formulation du modèle
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II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-
PLASTICITE COUPLES
Ainsi qu'il est apparu à travers l'analyse des résultats expérimentaux, donnés dans la partie
bibliographique, le comportement thermo-mécanique du béton en traction ou en compression
ne diffère du comportement à température ambiante que :
- par une résistance en compression /en traction et un module d'élasticité plus faibles,
fonction de la température
- par l'apparition d'une déformation d'interaction thermo-mécanique.
La modélisation du comportement micro-fissuré du béton sous chargement thermo-mécanique
peut être conduite de la même façon que sous chargement mécanique à température ambiante,
pourvu que les effets de température soient introduits dans la formulation du modèle.
S’intéressant maintenant à la modélisation non-linéaire du béton, pour des chargements
mécaniques à température ambiante, la connaissance de la variation de la déformation
plastique joue un rôle très important en ce qui concerne la description macroscopique non-
linéaire du béton (Frantziskonis & Desai 1987, Lubliner & al. 1989, Ulm 1996, Sercombe
1997). En effet, les déformations plastiques étant très fortement liées au développement de la
micro-fissuration. L'utilisation de cette variable pour piloter l'endommagement et
l'écrouissage semble adéquate pour la bonne représentation du couplage endommagement-
plasticité.
Le problème majeur est maintenant de savoir quel type de variable d’endommagement nous
allons choisir (endommagement anisotrope ou isotrope). On sait d’après l’analyse
expérimentale que les fissures se développent dans un plan perpendiculaire aux extensions,
créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade
ultime des surfaces de rupture de même sens. Une approche serait alors de considérer que
l’augmentation de l’endommagement induit une anisotropie et de choisir alors un
endommagement anisotrope.
Des résultats récents obtenus par Fichant & al. (1998) en statique montrent que dans des
situations où la fissuration du matériau est essentiellement pilotée par une extension
Chapitre II Formulation du modèle
-73-
unidimensionnelle, un endommagement scalaire donne des résultats numériques, au niveau de
la structure, similaires à ceux issus par des modèles d’endommagement orthotrope. Nous
ferons l’hypothèse que cela reste vrai dans le cas ou la fissuration du matériau est contrôlée
par une variable de nature déformation plastique.
En fait, l’anisotropie induite par l’endommagement n’est importante que lorsque le matériau
est soumis à des extensions multiaxiales ou quand l’histoire le chargement appliqué au
matériau est fortement non radiale.
Etant donné la complexité des modèles d’endommagement anisotrope, comparés aux modèles
isotropes (à la fois du point de vue de la calibration du modèle et de son implémentation
numérique) nous considérons que l’endommagement est une variable scalaire. Il est
important de noter que ce choix ne compromet pas la prise en compte de la dissymétrie entre
les comportements de traction et la compression.
II-2.1 Formulation du modèle
Dans le but d’effectuer une modélisation isotrope des phénomènes thermo-plastiques couplés
à l’endommagement dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles,
nous postulons l’existence d’un potentiel thermodynamique (dans notre cas, nous avons choisi
l’énergie libre Helmhotz) s’exprimant comme une fonction à valeur scalaire et convexe par
rapport aux variables d’états.
( ) ( )Λ+Λ= ,, , , , , DD pe
e θψθψψ κε (II.1)
Dans cette équation eψ désigne le potentiel thermo-élastique endommageable donnée par :
( )0
2
2
1
2
1 , , ,
TCD eeee
e
θθθψ −−=Λ εεεεε ::: mE (II.2)
dans lequel C représente la chaleur spécifique et 0T la température de référence du système.
Le tenseur de rigidité du matériau E et le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-
mécanique m sont donnés par :
( ) 1mEEE ⋅=Λ= αKD 3 ; , , 0 (II.3)
Chapitre II Formulation du modèle
-74-
où 0E est le tenseur de rigidité du matériau non endommagé. α,K désignent respectivement
le module de compressibilité volumique et le coefficient de dilatation thermique fonctions de
la température, 1 représente le tenseur unité.
Les variables d’états sont alors, le tenseur de déformation élastique eε , la température relative
0TT −=θ , la variable d’endommagement mécanique D et la variable d’endommagement
thermique Λ .
En outre, pψ désigne le potentiel thermo-plastique endommageable et κκ représente le
vecteur paramètre d’écrouissage qui contrôle le processus de plasticité. L’hypothèse du
découplage entre les effets de plasticité et les autres phénomènes est utilisée. La déformation
totale ε est alors décomposée en une part réversible, une part irréversible pε et une part
thermique θε comme suit :
θεεεε ++= pe (II.4)
L’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation thermique, décrit sous
le terme d’interaction thermo-mécanique, est introduite en utilisant le concept de déformation
d’interaction thermo-mécanique développé par Anderberg & Thelandersson (1973).
La déformation d’interaction thermo-mécanique est donnée par :
( )( )
+++−=
=
jkiljlikklijc
ijkl
tm
Q
T
δδδδγδγδβα
12
1
f
0
0
σε :Q
(II.5)
où Q est un tenseur du quatrième ordre d’interaction thermo-mécanique, 0cf est la résistance
en compression uniaxiale à 20°C, 0β et γ sont les paramètres matériau (Schneider 1988,
Thelandersson 1976).
L’équation II.4 est alors réécrite sous la forme :
tmpe εεεεε ++= + θ (II.6)
Nous pouvons noter que lors de la prise en compte du fluage transitoire, l’énergie libre du
système n’est plus donnée par l’équation (II.2). La définition d’une nouvelle forme de
l’énergie libre se heurte à des problèmes liés à la définition de la déformation d’interaction
Chapitre II Formulation du modèle
-75-
thermo-mécanique qui est obtenue par une approche phénoménologiquement (Baker &
Stabler 1998).
II-2.2 Evolution de l’endommagement
On a vu au premier chapitre que la variable d’endommagement associée au processus de
dégradation mécanique (i.e. thermique) peut être interprétée comme la densité de surfaces des
défauts affectant la matière (Kachanov 1958, Ju 1989) et peut alors être définie, comme la
proportion de la surface occupée par les micro-fissures ramenée à la surface totale. Cette
définition signifie que le paramètre d’endommagement ne peut pas être décroissant.
Vierge Endommagement mécanique Endommagement total
S~
S~
S~
SS =~ ( )DSS −= 1~ ( )( )Λ−−= 1 1
~DSS
Figure. II.1 : Représentation schématique de l’effet de l’endommagement
sur la surface résistante.
L'effet de la dégradation thermique sur le matériau béton se traduit par une baisse
supplémentaire de la surface résistante endommagée mécaniquement. La variable
d’endommagement total d, peut alors être définie à partir d’une combinaison des deux
endommagements mécanique et thermique, considérés comme complètement indépendants,
comme suit :
( )( )Λ−−−= 111 Dd (II.7)
où D est la variable d’endommagement mécanique fonction de la variable d’écrouissage κκ et
Λ représente la variable d’endommagement thermique fonction de la température T .
Chapitre II Formulation du modèle
-76-
On peut noter que la forme de l’équation (II.7) est similaire à celle proposé par Gerard,
Pijaudier-Cabot & Laborderie (1998) lors de l’étude du couplage mécanique-diffusion
chimique.
La relation contrainte-déformation s’écrit alors comme pour le cas de comportement elasto-
endommageable sous la forme:
( ) ed εσ :01 E−= (II.8)
où σ est le tenseur de contraintes apparentes.
En remplaçant l’équation (II.6) dans l’équation (II.8), on obtient :
( ) ( )tmpd εεεεσ −−−−= θ:01 E (II.9)
L’utilisation du principe de la contrainte effective conduit à une relation liant la contrainte
réelle à la contrainte effective donnée par :
d−=
1~ σσ (II.10)
où σ~ est la contrainte effective.
Une nouvelle relation peut être écrite en utilisant l’équation (II.8) et l’équation (II.10), liant le
tenseur de contrainte effective au tenseur de déformation élastique:
eεσ :0~ E= (II.11)
II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique
Comme on a ennoncé auparavant, notre choix s’est porté sur un modèle d’endommagement
scalaire. Le degré de dégradation du matériau sous un chargement externe est représenté par
une variable scalaire unique d’endommagement D affectant le module d’Young.
( ) 01 E E D−= (II.12)
Plusieurs auteurs (La Borderie 1991, Lee 1998) ont noté dans leurs études la forme
exponentielle de la variation de la variable d’endommagement en fonction de la déformation
Chapitre II Formulation du modèle
-77-
plastique. Notre choix s’est porté donc, sur une loi exponentielle fonction de la variable
d’écrouissage xκ (déformation plastique cumulée).
( )xxx cD κ exp1 −=− (II.13)
où xc est un paramètre du matériau ( tx = pour la traction et cx = pour la compression).
Cela signifie qu’en traction comme en compression nous considérons que le mécanisme
d’endommagement est lié au développement des micro-fissures contrôlé par la variable
déformation plastique cumulée. Il est à noter que cette formulation a l’avantage de la
définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement qui n’interviennent
qu’en même temps. Cette approche permet de s’affranchir de la définition d’une surface seuil
pour l’endommagement.
Pour décrire au mieux le comportement diffèrent du béton en traction et en compression,
l’endommagement total est ainsi subdivisé en deux parties (Mazars 1984, Lee 1998,
Ragueneau 1999). Une première partie pour décrire le comportement de traction et une
deuxième part pour décrire celui de compression.
( ) ( )( ) Ttcttcc DDD κκκκκ ,et )()( 111 =−−−= κκ (II.14)
Les essais de traction-compression cycliques permettent de mettre en évidence une propriété
importante du comportement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste
en une restauration de la raideur lors du passage d’un chargement de traction, où apparaît de
l’endommagement (fissuration), à un chargement de compression.
Le phénomène unilatéral observé lors d’un chargement cyclique est introduit en modifiant
l’endommagement de traction en le multipliant par un paramètre p fonction de l’état de
contrainte (Lee 1998, Nechnech & al. 2000), tels que 10 ≤≤ p .
L’équation (II.14) devient alors :
( ) ( ) ( )( ))()( ~111~ , ttcc DpDD κκ σσ −−−=κκ (II.15)
Chapitre II Formulation du modèle
-78-
Le paramètre p est choisi de telle manière à bien représenter la fermeture de fissure. Dans le
cas d’un chargement tridimensionnel, ce paramètre peut s’écrire en fonction du tenseur de
contrainte effective de la manière suivante :
( ) ( ) ( )σσ ~ 1~00 rppp −+= (II.16)
Dans cette équation, 10 0 ≤≤ p est un paramètre matériau et ( )σ~r une fonction poids scalaire
(cette fonction sert à quantifier le pourcentage des contraintes de traction par rapport aux
contraintes de compression dans le cas tridimensionnel) qui s’écrit :
( )
=
=
∑
∑
=
= +sinon
~
~
0~ si 0
~
3
1
3
1
ii
iir
σ
σ
σ
σ (II.17)
où i
σ~ représente la i ième composante du tenseur de contrainte effective principale, et
( ) 2xxx +=+
, désigne la partie positive de x .
La définition (II.15) signifie que la prise en compte du phénomène unilatéral, lors du passage
d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression, se fait par une diminution de
l’endommagement de traction affecté par la fonction ( )σ~p qui pilote la fermeture de fissure.
II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique
La haute température produit une dégradation irréversible du module d'élasticité. Dans une
description macroscopique des phénomènes, ce comportement est généralement décrit par une
dépendance du module d'élasticité à la température ( )TEE = . L'endommagement thermique
peut être défini à partir de la relation liant la variation du module d'élasticité à la température
( )TE , d'une manière analogue à celle qui a été utilisée pour définir l'endommagement
mécanique, de telle sorte que :
( ) ( )0
1E
TET −=Λ avec
0 si 0
0 si 0
≤=Λ
>>Λ
θθ
(II.18)
Chapitre II Formulation du modèle
-79-
La définition (II.18), est une hypothèse simplificatrice car le module d’élasticité du béton ne
dépend pas seulement du seuil de température mais aussi de la vitesse du chauffage, de la
teneur en eau, etc.…
II-2.3 Couplage entre plasticité et endommagement
Une fois les micro-fissures initiées, les contraintes locales dues à cette micro-fissuration, sont
redistribuées dans un domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes
dans ce domaine plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort
extérieur. En conséquence, l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives".
(Ju 1989).
En effet, si on utilise la théorie de la plasticité pour décrire d’une manière phénoménologique
le comportement du béton, la surface de charge peut être définie à partir de la connaissance de
la contrainte nominale en traction tτ , contrainte nominale en compression cτ et la
température T , comme suit :
( ) 0 , , , T22F ct ≤σ (II.19)
où la contrainte nominale de traction t2 , respectivement de compression c2 , est exprimée en
fonction de la déformation plastique équivalente de traction tκ et de la température,
respectivement la déformation plastique cumulée de compression cκ et de la température.
( ) ( )TT cccttt , ; , κττκττ == (II.20)
En effet, dans cette approche, les contraintes nominales ( )ct ττ , pilotent l’état de fissuration
du matériau. On suppose que ces dernières sont factorisées dans l’espace des contraintes
effectives de la même façon que le module d’élasticité (équation II.12), comme suit :
( )( ) ( ) ( )( ) ( )TT cccccttttt DD ,~ )(1 1 ; ,~ )(1 1 κτκτκτκτ −Λ−=−Λ−= (II.21)
où ct ττ ~et ~ représentent respectivement la contrainte nominale effective de traction et la
contrainte nominale effective de compression, quantités ne pouvant être déterminée
expérimentalement, mais déduites de II.21.
Chapitre II Formulation du modèle
-80-
En combinant les équations (II.10, II.19 et II.21), la surface de charge peut s’écrire sous sa
nouvelle forme :
( ) 0 ~ ,~ ,~ 22F ct ≤σ (II.22)
Il est à noter que du fait que les courbes uniaxiales dépendent explicitement de la température,
cela entraîne un couplage entre la variable d'écrouissage plastique κ et la température. Ce
couplage se traduit par un adoucissement de nature thermique (non-plastique).
Une différence fondamentale existe cependant entre les deux types d'écrouissage:
l'écrouissage plastique (instantané) n'apparaît que lorsque le point de charge se trouve sur la
surface de charge (c'est-à-dire lorsque 0=F ) et y reste (c'est-à-dire lorsque 0=F ), alors que
l'écrouissage thermique apparaît indépendamment de la position du point de charge, qu'il soit
dans le domaine élastique ou dans le domaine plastique. Cet adoucissement thermique
conduit à une évolution non-instantanée de la surface de charge qui permet ainsi de modéliser
la diminution de la résistance du béton en fonction de la température.
II-2.4 Critère de plasticité – Potentiel plastique
Nous nous intéressons dans ce paragraphe au choix du critère de charge. Un grand nombre de
propositions existent dans la littérature. Cependant le choix du critère pose un problème
relativement difficile pour le béton du fait de la variété des comportements observés selon le
chargement, le niveau de température et le confinement. Une première solution consiste à
formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions souvent compliquées
du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part, à des difficultés dans le
choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolutions. La deuxième approche, offrant plus
de souplesse dans la gestions des variables d’écrouissage. Elle consiste à utiliser une surface
multi-critères. L’inconvénient de cette approche reste dans le traitement des couplages entre
les critères élémentaires ainsi que dans mise en œuvre numérique.
Vu les avantages offerts par les surfaces multicritères en terme de la gestion distincte de
l’écrouissage (i.e. de l’endommagement car dans notre cas l’endommagement est relié
directement à la variable d’écrouissage) notre choix s’est porté sur l’utilisation d’un critère
multi-surface de plasticité (Feenstra 1993, Georgin 1998, Heinfling 1998). Il est formé d’un
critère de Rankine en traction
Chapitre II Formulation du modèle
-81-
( ) ( )TTF ttItt ,~~ , ,~ κτσκ −=σ (II.23)
et d’un critère de Drucker-Prager en compression
( ) ( ) ( ) ( )TIJTF ccfcc ,~ ~ ~ , ,~12 κτβακ −+= σσσ s (II.24)
où Iσ~ est la contrainte effective principale majeure, ( )σ~1I est le premier invariant du tenseur
de contrainte effective, ( )s~2J est le deuxième invariant du tenseur déviateur de contrainte
effective s~ , ( βα ,f ) sont deux paramètres du critère de compression déterminés à partir des
caractéristiques mécaniques du matériau: la résistance en compression simple cf et la
résistance en compression biaxiale bf .
( ) ( )( )
=−
=−−
=
TfTf cbc
c
c
c
cf
ββββ
ββα
12 ;
21
1
(II.25)
En utilisant des considérations d’équilibre du milieu continu (cercle de Mohr), entre la
contrainte principale majeure et les contraintes exprimées dans un repère quelconque, on
obtient :
( ) ( ) 22 ~~~4
1~~2
1~xyyxyxI σσσσσσ ++++= . (II.26)
Les deux critères peuvent se mettre sous la forme (Feenstra 1993) :
( ) ( ) ( )TfTF xxxx ,~~ , ,~ κτκ −= σσσ (II.27)
où ( )σ~f est une fonction du tenseur de contrainte effective.
La figure II.2, montre une représentation schématique de la surface seuil dans le plan de
contrainte principales en 2D.
Chapitre II Formulation du modèle
-82-
Adoucissement
Critère de Rankine
Ecrouissage
CritèreDrucker-Prager
σ1
σ2
fc0fc ft
Adoucissement thermique
Température Croissante
Adoucissement
Figure II.2 : Tracé du critère de rupture dans le plan des
contraintes principales
Pour prendre en compte l’augmentation de la sensibilité au confinement du béton en
compression avec la température il est nécessaire d’introduire la variation du paramètre cβ
avec la température (Heinfling 1998). La figure II.3 présente les surfaces de rupture
comparées aux surfaces expérimentales relevées par (Kordina & al. 1985). La figure II.4
présente la loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)
σ1/fc
Critère défini
Surface de rupture expérimentales
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
βc = cste
750°C
600°C
450°C
300°C
20°C
σ 2/f
c
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
Critère défini
Surface de rupture expérimentales
750°C
600°C
450°C
300°C20°C
βc = f(T)
σ1/fc
σ 2/f c
(a) (b)
Figure II.3 : Surfaces de rupture obtenues comparées aux surfaces de rupture Expérimentales
(Kordina & al. 1985) : (a) cβ constante ; (b) cβ variable
Chapitre II Formulation du modèle
-83-
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Température [°C]
βc
Figure II.4 : Loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)
En ce qui concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en
traction, par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du
comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982). Un potentiel plastique est alors
introduit pour pouvoir reproduire la dilatance du matériau observée en compression.
( ) ( ) ( )TIJG ccgc ,~ ~ ~12 κτβα −+= σσs (II.28)
Le paramètre gα est un paramètre matériau choisi d’une manière à bien restituer la
déformation volumique en compression.
Ainsi la loi d'évolution de la déformation plastique est donnée conformément à la proposition
de Koiter (1953) par :
σσε ~~ ∂
∂+
∂∂
= cc
tt
p GF λλ (II.29)
où tλ et cλ représentent respectivement le multiplicateur plastique en traction et en
compression,
où la loi de normalité est adoptée dans le cas de la traction. Sur le plan numérique, cette
expression nécessitera un traitement particulier pour la gestion de l’activation des deux
critères plastiques. Cet aspect sera traité ultérieurement.
Chapitre II Formulation du modèle
-84-
σ1
σ2
fc ft
Fc = 0
Gc (αg = 0.1)
Gc (αg = 0.2)
Ft = Gt
Figure II.5 : Tracé du potentiel plastique dans le plan des
contraintes principales
II-2.5 Lois de comportement du béton à hautes températures
Dans le cadre de la théorie de la plasticité couplée à l’endommagement, le comportement du
matériau est géré par la connaissance de la courbe uniaxiale (ou des courbes uniaxiales) liant
à chaque pas de temps la contrainte nominale à la variable d'écrouissage. De ce fait, il est
important de définir correctement cette courbe afin de décrire au mieux le comportement du
béton aussi bien en traction qu'en compression. Les relations contrainte-déformation du béton
présentées ici ont été établies a priori afin d'être les plus représentatives possibles du
comportement du béton à hautes températures tout en assurant une mise en œuvre numérique
simple.
En ce qui concerne les lois uniaxiales, une relation exponentielle appropriée est utilisée. Elle
s’exprime d’une manière unique pour la traction et la compression sous la forme:
( ) ( ) ( )[ ]xxxxxxxx babaf κκτ 2exp exp10 −−−+= (II.30)
où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction
et cc ff 3.00 = pour la compression), ( ) ( )( )TbTa xx , sont les paramètres du modèle déterminés
à partir des essais uniaxiaux, la constante xa détermine si oui ou non on a un écrouissage
positif après avoir atteint la limite d’élasticité.
- ( )1<ta correspond à un comportement de traction.
Chapitre II Formulation du modèle
-85-
- ( )1>ca correspond à un comportement de compression.
La combinaison des équations (II.21, II.30), nous donne l’expression de la contrainte effective
nécessaire pour exprimer le critère de plasticité dans l’espace effectives.
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
−−−+
Λ−=
−
−
x
x
x
x
b
c
xxxb
c
xxxx
x babaf 210 exp exp1
1~ κκτ (II.31)
Pour maintenir l’objectivité des résultats au niveau structurel, on utilise l’approche de
régularisation par l’énergie de fissuration (Hillerborg 1976) selon laquelle la densité de
l’énergie de fissuration ( )Tgx est liée à l’énergie de fissuration ( )TGx par :
( )c
xx l
TGg = (II.32)
où cl est la longueur caractéristique liée à la taille de zone localisée.
la densité d’énergie de fissuration est donnée par :
∫∞
=0
κτ dg xx (II.33)
t0f
W t
tN
ftg
cf
Wc
cN
fcg
c0f
Figure II.6 : Comportement non-linéaire local : (a) en traction,
(b) en compression
(a) (b)
Chapitre II Formulation du modèle
-86-
II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle
La détermination des paramètres du modèle est relativement aisée. Une description de la
méthode pour déterminer les différents paramètres est explicitée ci-après pour le cas d’un
chargement mécanique et thermique.
i. Cas de la traction
Le comportement du béton en traction est supposé élastique jusqu’à sa résistance en traction
0tf . Le comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (tt ba , ).
L’expression mathématique de cette courbe est donnée par l’équation (II.30) qui s’écrit dans
le cas uniaxial sous la forme :
( ) ( ) ( )[ ]tttttttt babaf κκτ 2expexp10 −−−+= (II.34)
Les paramètres tt ba et sont déterminés de sorte que cette courbe reproduise la réponse du
matériau lors de la traction.
L'endommagement de traction étant défini par :
( )ttt cD κ−=− exp1 (II.35)
l’expression de la contrainte effective est alors donnée par l’équation (II.31), comme suit :
( ) ( )( ) ( )( )
−−−+=
−
−
t
t
t
t
b
c
tttb
c
ttttt babaf 210 expexp1 ~ κκτ (II.36)
La densité d’énergie de fissuration est donnée par :
+== ∫
∞
21 0
0
t
t
ttt
a
b
fdg κτ (II.37)
Le paramètre ta pilote le comportement avant le pic (écrouissage positif), en traction ce
paramètre ne représente pas une caractéristique physique car le comportement du béton en
traction est supposé linéaire jusqu'au pic. De ce fait, on peut choisir une valeur fixe pour ce
paramètre (une valeur de 5.0−=ta donne une bonne représentation de la courbe uniaxiale)
et chercher la valeur de tb en se servant de l’équation (II.32) de l'énergie de rupture. En
combinant les équations (II.36, II.37), on obtient :
Chapitre II Formulation du modèle
-87-
+=
210
t
t
ctt
a
G
lfb (II.38)
La détermination du paramètre tc pilotant la loi d’endommagement de traction est réalisée en
spécifiant la valeur d’endommagement dans le cas uniaxial pour une certaine valeur de
contrainte, ceci permet de calibrer ce paramètre en fonction des données expérimentales.
Cette technique d’identification du paramètre tc à partir d’un point expérimental s’avère,
comme il sera montré lors des simulations d’essais uniaxiaux, très efficace pour reproduire
l’endommagement du module sur l’ensemble du processus de fissuration.
Supposons que l’on connaisse la valeur d'endommagement (notée tD ) pour une contrainte
égale à 20tf , et cherchons à déterminer la valeur de la déformation plastique pour cet état de
contrainte (figure II. 7):
σ
ε
0tf
20tf
0E ( ) 01 EDt−Figure II.7 : Comportement uniaxial en traction
La résolution de l’équation (II.34) pour 2
0tt
f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation
plastique correspondante.
( )
+−+−=
t
tt
t
p
a
aa
b 2
11ln
12
ε (II.39)
En combinant les équations (II.35, II.39), on obtient :
[ ]( )
+−+
−=
t
tt
t
t
t
a
aa
D
b
c
2
11ln
1ln2
(II.40)
Chapitre II Formulation du modèle
-88-
Ainsi, une identification de la valeur de l'endommagement tD (correspondant à 2
0tf=σ ), a
été réalisée en utilisant l’essai de traction cyclique figure (II.8) de Gopalaratnam & Shah
(1985) donne.
25.0=tD (II.41)
Cette valeur injectée dans la relation (II.40) permet de calculer la valeur du paramètre tc après
identification des paramètres tt ba et comme déjà spécifié.
0
1
2
3
4
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005
Déformations (-)
Con
trai
nte
(MP
a)
Figure II.8 : Essai de traction cyclique
(Gopalaratnam & Shah 1985)
ii. Cas de la compression
Le comportement du béton en compression est supposé élastique jusqu’à sa limite d'élasticité
0cf . Après cette limite, le béton présente un comportement écrouissable jusqu'à sa résistance
en compression cf , qui se termine par une branche adoucissante (figure II.5).
L'expression mathématique de la courbe uniaxiale est donnée de façon similaire à celle de la
traction :
( ) ( ) ( )[ ]pcc
pcccc babaf εετ 2expexp10 −−−+= (II.42)
L'endommagement quand à lui est défini par :
( )pcc dD ε−=− exp1 (II.43)
En utilisant l’équation (II.9), la relation contrainte-déformation s’écrit :
( ) ec ED εσ 1 0−= (II.44)
Chapitre II Formulation du modèle
-89-
Par transformations algébriques de l’équation (II.42), le paramètre ca peut être exprimé en
fonction de la résistance en compression cf du béton et sa limite d’élasticité 0cf de la
manière suivante :
( )[ ] ( ) ( )02
00 21 2 ccccccc ffffffa −+−= (II.45)
Par exemple, pour une valeur de cc ff 3.00 = , 2444.11=ca .
En ce qui concerne la détermination du paramètre cb , nous avons recours au même procédé
que celui évoqué précédemment dans le cas de la traction (équation II.38), dans ce cas
l’énergie de rupture en compression est utilisée. Le paramètre cb s’exprime alors sous la
forme :
+=
210
c
c
ccc
a
G
lfb (II.46)
La détermination du paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression est
réalisée en spécifiant la valeur d’endommagement cD dans le cas uniaxial de compression au
pic (figure II.9) et dans une démarche similaire au cas de la traction.
σ
ε
cf
0cf
( ) 01 EDc−mε
Figure II.9 : Comportement uniaxial en compression
La résolution de l’équation (II.42) pour cc f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation
plastique correspondante.
+−=
c
c
c
p
a
a
b 2
1ln
1ε (II.47)
Chapitre II Formulation du modèle
-90-
le paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression peut être lié au paramètre
cb de la courbe uniaxiale en utilisant l’équation (II.43), comme suit :
[ ]
+−
=
c
c
c
c
c
a
a
D
b
c
2
1ln
1ln(II.48)
Il est à noter qu’en combinant les équations (II.43, II.44 et II.47), nous pouvons obtenir une
nouvelle relation liant le paramètre cb à la déformation au pic mε .
( )
−
−
+
=m
c
c
c
c
c
ED
f
a
a
b
ε0 1
2
1ln
(II.49)
Vu la forme particulière de la courbe uniaxiale, il est impossible de caler le paramètre cb en
fonction de l’énergie de rupture en compression cG et de la déformation au pic mε
simultanément. Nous utilisons donc la relation (II.46) pour identifier le paramètre cb (sauf
dans le cas où le paramètre énergie de rupture n’est pas mentionné).
En ce qui concerne l’identification de la valeur de l'endommagement cD au pic, l’essai de
compression cyclique (figure II.10) de Karsan & Jirsa (1969) donne une valeur,
18.0=cD (II.50)
0
5
10
15
20
25
30
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Déformations (-)
Con
trai
nte
(MP
a)
Figure II.10 : Essai de traction cyclique
(Karsan & Jirsa 1969)
Chapitre II Formulation du modèle
-91-
En utilisant les paramètres précédemment établis, la réponse du modèle en traction simple est
représentée à titre d’illustration par la figure (II.11), nous pouvons remarquer que l’évolution
de l’endommagement est étroitement lié au développement de la plasticité dans le régime
adoucissant.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Déformations
Con
trai
nte
/ Rés
ista
nce Contrainte réelle
Contrainte effective
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Déformations
End
omm
agem
en
Figure II.11 : Réponse du modèle en traction et évolution
de l’endommagement correspondant
La réponse du modèle en compression simple est représentée par la figure (II.12). Nous
pouvons faire les mêmes remarques que dans le cas de la traction. La réponse montre
cependant un endommagement pré-pic à partir de 3cf=σ .
Chapitre II Formulation du modèle
-92-
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Déformations
Con
trai
nte
/ Rés
ista
nce Contrainte réelle
Contrainte effective
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Déformations
End
omm
agem
en
Figure II.12 : Réponse du modèle en compression et évolution
de l’endommagement correspondant
iii. Cas d’un chargement thermique
Dans le cas de la thermique, les paramètres du modèle sont détermines de la même manière
que dans le cas d’un chargement mécanique. A la différence que cette fois-ci, on introduit la
variation des différentes caractéristiques mécaniques avec la température.
- En ce qui concerne la traction à haute température, le comportement du béton à la
température T est considéré élastique jusqu’à sa résistance en traction ( )Tft0 . Le
comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (( ) ( )TbTa tt , ).
Le paramètre ta , comme on l’a vu précédemment, ne représente pas une caractéristique
physique du comportement. Ce paramètre est considéré indépendant de la température. Le
paramètre tb quant à lui, est donné par l’équation (II.32), dans laquelle l’énergie de
fissuration tG et la résistance en traction sont fonction de la température, comme suit :
Chapitre II Formulation du modèle
-93-
( ) ( ) ( )
+=
210
t
t
ctt
a
TG
lTfTb (II.51)
Peu d’auteurs se sont intéressés à l’étude de la variation de la longueur caractéristique cl avec
la température. Di Prisco & al. (1997) se sont récemment intéressés à l’évaluation de cette
dimension à partir d’essais réalisés à hautes températures sur des spécimens de béton à hautes
performances. Il s’agit à notre connaissance de la seule étude réalisée sur cet aspect du
comportement du béton. Du fait de la rareté des études experimentales présentées, nous ne
disposons pas d’information sur la sensibilité de l’evolution de ce paramètre aux conditions
thermiques, hydriques et mécaniques des essais. De ce fait, la longueur caractéristique est
supposée indépendante de la température.
La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.48). Le paramètre cD
dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement au pic de contrainte et
supposé indépendant de la température.
La détermination de ce paramètre se fait à partir de la connaissance de la courbe de
compression cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement
supplémentaire observé à haute température est dû à l’endommagement thermique TΛ ,
comme dans le cas de la traction.
σ
ε
( )Tft0
( )2
0 Tft
0E
( )( ) 011 ED Tt Λ−−
Courbes à :20°CT
Figure II.13 : Comportement uniaxial en traction
à différents températures.
- En ce qui concerne la compression à haute température, le comportement du béton est
supposé élastique jusqu’à sa limite d’élasticité ( )Tfc0 . Après cette limite, le béton présente un
Chapitre II Formulation du modèle
-94-
comportement écrouissable jusqu’à sa résistance en compression ( )Tfc , qui se termine par
une branche adoucissante.
Le paramètre ca est donné par l’équation (II.45) comme dans le cas du béton à température
ambiante. Le paramètre cb quant à lui, est donné par la connaissance de la variation de
l’énergie de rupture (équation II.46) sous la forme :
( ) ( ) ( )
+=
210
c
c
ccc
a
TG
lTfTb (II.52)
Une autre relation peut être obtenue en utilisant l’équation (II.8) comme suit :
( ) ( )( )( ) ( )
−
Λ−
+
=T
ED
Tf
a
a
Tbm
Tc
c
c
c
c
ε0 -11
2
1ln
(II.53)
Dans cette relation le paramètre cb est lié à l’endommagement thermique TΛ atteint à la
température T .
La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.40). Le paramètre tD
dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement pour une contrainte égale à
20tf est supposé indépendant de la température et est déterminé à partir de la connaissance
de la courbe de traction cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement
supplémentaire observé à haute température est due à l’endommagement thermique TΛ .
σ
ε
( )Tfc
( )Tfc0 ( )( ) 01 1 ED Tc Λ−−mε
Courbes à :20°CT
Figure II.14 : Comportement uniaxial en traction
à différentes températures.
Chapitre II Formulation du modèle
-95-
II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle
Nous allons mettre en évidence dans ce paragraphe l’influence des divers paramètres du
modèle sur la réponse contrainte-déformation ; notamment en terme d’évolution de
l’endommagement et de représentation de l’effet unilatéral. La connaissance du rôle de
chaque paramètre doit permettre une identification plus précise de la réponse du modèle et de
la sensibilité de celle-ci à ce paramètre.
i. Paramètres d’endommagement
Nous allons nous intéresser ici aux paramètres d’endommagement du modèle, pour la
simulation d’essais de traction directe et d’essais de compression directe. Ce type de
chargement permet en effet de comprendre directement l’effet de chacun des paramètres sur la
réponse en contrainte-déformation.
La figure (II.15-a) montre la réponse en compression pour 3 valeurs différentes du paramètre
d’endommagement cD rentrant dans la définition du coefficient cc , gérant la loi d’évolution
de l’endommagement de compression. La figure (II.15-b) quant a elle montre la réponse en
traction pour 3 valeurs différentes du paramètre d’endommagement tD rentrant dans la
définition du paramètre tc , gérant la loi d’évolution de l’endommagement de traction.
(a) (b)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,001 0,002 0,003
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
0,18
0,3
0,05
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,0001 0,0002 0,0003
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
0,1
0,25
0,4
Figure II.15 : Influence du paramètre cD en compression (a) et
du paramètre tD en traction (b)
Chapitre II Formulation du modèle
-96-
Des figures précédentes, on remarque qu’une augmentation du paramètre d’endommagement
de compression cD ou du paramètre d’endommagement de traction tD donnera une réponse
plus fragile sur les courbes contraintes-déformation correspondantes. Cependant la variation
est moins sensible dans le cas de la traction. Nous allons maintenant regarder l’influence du
paramètre lié à la refermeture de fissures.
ii. Paramètre lié à la fermeture de fissure
La figure (II.16) présente la réponse contrainte-déformation lors du passage de la traction à la
compression pour différentes valeurs du paramètre 0p .
-8
-6
-4
-2
0
2
4
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035
Déformations
Con
trai
nte
(MP
a)
Valeur de P00
0,10,40,81
Figure II.16 : Influence du paramètre 0p sur le passage
Traction-compression
Nous pouvons remarquer que selon la valeur prise par le paramètre 0p , le phénomène de
restitution de la raideur est différent. Une valeur zéro du paramètre de fermeture de fissure 0p
a pour conséquence une restitution complète de la raideur, alors qu’une valeur unitaire de
celui-ci a pour conséquence une non restitution de la raideur, le modèle conservera la raideur
endommagée acquise en traction lors du passage à la compression. Ce paramètre représente
en quelque sorte le pourcentage des micro-fissures restreint à rester ouvertes.
La figure II.17, présente une simulation du comportement du béton avec un cycle complet de
traction-compression. La valeur adoptée du paramètre de refermeture est 1.00 =p
Chapitre II Formulation du modèle
-97-
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-0,0016 -0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004
Déformation
Con
trai
nte
(MP
a)
O
AB
C
D
E
F
G
FigureII.17 : Simulation d’un essai traction-compression
Le résultat obtenu par le modèle et présenté à la figure III.17 valide la capacité du modèle à
décrire ce phénomène unilatéral. Lors de la décharge en traction (chemin B-C) et du passage à
la compression (chemin C-D). L’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la
raideur.
II-2.5.3 Bilans
Afin de conclure quant à la description du modèle précédemment développé, nous allons
dresser un bilan récapitulatif des paramètres introduits. Nous parlons de leur identification
dans le cas général d’un chargement thermo-mécanique.
Le modèle thermo-plastique endommageable proposé offre l’avantage de ne faire intervenir
que 15 paramètres, dont la plupart sont facilement identifiables (par des procédures
classiques) et leurs évolutions respectives avec la température.
Paramètres
ν ,E , c ,, βtc ff caractéristiques matériau
gα comportement dilatant
ct DD , endommagement
0p phénomène unilatéral
α thermique
γβ ,0 interaction thermo-mécanique
ct GG , cl régularisation (Hillerborg 1976)
Chapitre II Formulation du modèle
-98-
A l’exception de la longueur caractéristique uniquement liée aux caractéristiques
géométriques des éléments du maillage du fait de la régularisation adoptée, ces paramètres
sont tous identifiables à partir d’essais expérimentaux. L’identification expérimentale des
variations de ces paramètres avec la température est délicate. Les résultats des essais de
caractérisation sont en effet très fortement dépendant des conditions thermiques, hydriques et
mécaniques appliquées (vitesse de chauffage, confinement hydrique ou non, charge appliquée
pendant le chauffage ...). Les procédures d’essai utilisées doivent reproduire le plus
précisément possible les conditions dans lesquelles se trouve le béton au sein d’une structure.
L’identification expérimentale des lois de variations de certains paramètres font l’objet de
recommandations générales proposées par le comité TC129 MHT de la RILEM (RILEM
1997).
Dans ces recommandations différentes conditions d’essais à appliquer, selon le type de
structure à étudier sont proposées, afin de se rapprocher le plus possible des caractéristiques
réelles du matériau. Nous donnons ici quelques indications permettant d’évaluer les valeurs
initiales de ces paramètres et les lois de variations pour des bétons courants.
- Module d’élasticité ( )θE
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par la réalisation
d’essais classiques de compression à différentes températures. Les règles de calcul P92-701
(1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois de variations de ce paramètre avec
la température pour des bétons courants.
- Coefficient de poisson ( )θν
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. Khennane & Baker (1992) ont testé différentes lois de variations de ce coefficient
avec la température lors de la simulation d’essais biaxiaux à hautes températures (Ehm &
Schneider 1985, Kordina & al. 1985). Les résultats obtenus ne mettent pas en évidence un
apport significatif de l’utilisation d’un coefficient de Poisson variable avec la température sur
la précision des résultats obtenus. Nous utilisons donc un coefficient de Poisson constant dont
la valeur est généralement comprise entre 0,1 et 0,2.
Chapitre II Formulation du modèle
-99-
- Résistance en compression uniaxiale ( )θcf
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais
classiques de compression uniaxiale sur des spécimens en béton à différentes températures.
Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois
générales de variations de ce paramètre avec la température pour des bétons courants.
- Rapport de la résistance en compression biaxiale à la résistance en compression
uniaxiale ( )θβ c
La loi de variation de ce paramètre avec la température peut être obtenue à partir d’une série
d’essais biaxiaux isothermes à haute température tels que ceux réalisés par Ehm & Schneider
(1985) ou Kordina & al (1985).
- Résistance en traction uniaxiale ( )θtf
Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais
classiques de flexion ou de traction directe sur des spécimens en béton à différentes
températures. Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994)
proposent des lois générales de variations de ce paramètre avec la température pour des
bétons courants.
- Energie de fissuration ( )θtG
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. Quelques études (Bazant & Prat 1988, Baker 1996, Heinfling & al. 1997) semblent
indiquer une diminution significative de ce paramètre avec la température au delà de 300°C.
En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante de ce
paramètre sauf dans le cas où il est donné.
L’identification de celle-ci à température ambiante fait l’objet d’une recommandation par la
RILEM (RILEM TC 50-FMC, 1985). Le comité Européen du béton propose une règle
empirique (CEB-FIP model code 1990):
7.03 10 cft faG −= (II.54)
où fa est un coefficient fonction de la taille du plus gros granulat maxd .
Chapitre II Formulation du modèle
-100-
maxd :(mm) fa
8 4
16 6
32 10
Tableau II.1: Coefficient fa pour l’estimation de fG
Pour des bétons courants, l’application de cette formule conduit à des valeurs de fG
comprises entre 0,05 et 0,2 Nmm/mm2.
- Energie de rupture en compression ( )θcG
Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure
actuelle. En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante
de celui-ci. Les résultats obtenus par Vonk (1992) indiquent des valeurs comprises entre 10 et
25 Nmm/mm2, ce qui correspond à 50 à 100 fois la valeur de l’énergie de fissuration du
béton.
- Coefficient de dilatation thermique ( )θα
L’identification objective de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de
dilatation libre d’un spécimen en béton. Les conditions optimales d’essais pour différentes
applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129 MHT, Part 6: "Thermal strain,
for service and accident conditions", Draft n°11, May 1997. Une loi couramment adoptée (De
Borst & Peeters 1989, Khennane & Baker 1992) consiste en une valeur constante entre 0 et
400°C, puis une valeur constante égale au double de la valeur initiale entre 400°C et 800°C.
- Coefficient d’interaction thermo-mécanique γβ ,0
L'identification de ces paramètres peut être réalisée à partir d’essais expérimentaux durant
lesquels un spécimen en béton est chauffé sous charge constante. Les conditions optimales
d’essais pour différentes applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129
MHT: Part 7: Transient Creep, for service and accident conditions, Draft n°9, March 1997. Ici
ces paramètres sont considérés comme constants avec la température. Nous rappelons que le
phénomène d’interaction thermo-mécanique se produit uniquement durant le premier
Chapitre II Formulation du modèle
-101-
chauffage. Il ne se produit pas pendant le refroidissement ni lors d’une seconde phase
immédiate de chauffage jusqu’à la température maximale atteinte durant le premier cycle. Ce
coefficient est donc mis à zéro durant ces phases.
- Longueur caractéristique cl
Une estimation très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:
ec Arl = (II.55)
où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les
éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation
convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des
éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.
Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la
forme de l’élément.
- Endommagement en traction tD
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction cyclique
(Gopalaratnam & Shah 1985). Les données expérimentales concernant le comportement
cyclique en traction du béton sont rares. On considère que ce paramètre ne varie pas avec la
température. Une valeur de 25,0=tD est choisie pour effectuer la plupart des validations.
- Endommagement en compression cD
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de compression
cyclique (Karsan & Jirsa 1969). Comme pour le cas de la traction, ce paramètre ne varie pas
avec la température. Une valeur de 18,0=cD est choisie pour effectuer la plupart des
validations.
- Paramètre de refermeture de fissure 0p
L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction-
compression cyclique (Ramtani 1990, Reinhardt & Corneilessen 1984). Comme pour les deux
paramètres d’endommagement, il est très difficile de réaliser des essais de traction-
Chapitre II Formulation du modèle
-102-
compression cycliques à haute température. On considère que ce paramètre ne varie pas avec
la température.
- Paramètre du potentiel plastique gα
Ce paramètre peut être calibré à partir d’un essai de compression biaxiale. Il est à noter que
celui-ci peut s’exprimer en fonction du taux de la déformation plastique volumique pvε
comme suit :
ppv αλε 3 = (III.56)
Ce paramètre est choisi pour mieux représenter la dilatance. Dans le cas de variation de
température, on considère que la forme globale du potentiel plastique reste fixe, elle subit
juste une contraction isotrope par rapport au potentiel plastique initial. Ce choix nous permet
de considérer que ce paramètre n’est pas dépendant de la température. Une valeur 2.0=pα
identifiée numériquement à partir des essais de Kupfer & al. (1969) sera utilisée dans le reste
de cette étude.
Chapitre II Formulation du modèle
-103-
II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL
ELEMENT FINIS
Dans ce paragraphe, les équations différentielles non-linéaires pour le modèle thermo-élasto-
plastique endommageable présentées au paragraphe précédent sont résolus numériquement en
utilisant la méthode des Eléments Finis. Dans le cadre de cette méthode, fondée sur une
approche en déplacements, la structure est discrétisée en éléments pour lesquels une relation
entre les forces et les déplacements nodaux est établie. L’assemblage des éléments conduit à
un système d’équations traduisant l’équilibre de la structure. La réponse de celle-ci est
calculée suivant un processus incrémental dans lequel le chargement total est appliqué en
plusieurs pas reproduisant son historique. Supposons la structure en équilibre au temps nt , les
équations d’équilibre doivent être résolues au temps 1+nt . Celles-ci sont en général non-
linéaires et leur résolution passe par un processus itératif.
L’objectif principal de ce paragraphe est donc de décrire les méthodes de résolution des
équations non-linéaires d’équilibre pour la mécanique et les équations de thermique
transitoire utilisées dans le code de calcul CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) et de donner les
grandes lignes de l'algorithme général d’intégration des lois constitutives données par le
modèle.
II-3.1 Description du problème thermo-mécanique
Dans le cadre de la thermodynamique des milieux continus, notre problème est gouverné par
l’ensemble des équations d’équilibre et de conservation d’énergie :
( )( ) q
0
)(
)(
bdive
adiv
−=⋅
=
ε:σ
σρ
(II.57)
où σσ est le tenseur de contraintes, ε le tenseur de vitesses de déformation, e le taux
d’énergie interne, ρ la masse volumique du matériau et q le vecteur flux de chaleur donné
par la loi de Fourier,
gradTc λ−=q (II.58)
où cλ représente le coefficient de conductivité thermique.
Chapitre II Formulation du modèle
-104-
Il est à noter qu’en général, l’ensemble des variables thermiques et mécaniques intervenant
dans ce système d’équations sont couplées. La conductivité thermique par exemple dépend
fortement de la porosité. On peut donc penser, introduire une conductivité thermique
dépendant de la variable d’endommagement totale définie précédemment.
( )dcc λλ = (II.59)
Néanmoins, peu de données expérimentales sont disponibles pour quantifier l’effet du
chargement thermo-mécanique sur la conductivité. Cela peut s’expliquer par la complexité et
la simultanéité des phénomènes physiques et chimiques se produisant au sein du béton lors
d’un chargement thermo-mécanique combiné (Bazant & Kaplan 1996).
Nous nous orientons donc vers un traitement découplé du système d’équations (II.57). Ce
problème thermo-mécanique est donc séparé en deux étapes : la première consiste à résoudre
l’équation de la chaleur au sein de la structure. Cette étape, dans le cas du béton soumis à
haute températures, prend en compte les variations des caractéristiques thermiques de ce
matériau avec la température. Ensuite, un second calcul est mené dans lequel les distributions
de température sont des données du problème à chaque pas(figure II.18).
nnnn
n
D
T
, , , Λεεσσ nnnn
n
D
T
, , , 1
1
+
+
Λεεσσ 1111
1
, , , ++++
+
Λ nnnn
n
D
T
εεσσ
Calcul
Thermique
Calcul
Mécanique
Figure II.18 : Représentation schématique du traitement
découplée des équations (II.54)
où l’indice n correspond au numéro du pas de temps. Dans la plupart des situations de
structures en béton soumises à de hautes températures, cette approche adoptée par de
nombreux auteurs apparaît satisfaisante (Franssen 1987, De Borst & Peeters 1989, Khennane
& Baker 1992, Heinfling 1998). On peut signaler qu’il est nécessaire de rester attentif au
choix du maillage ainsi que la discrétisation temporelle qui peuvent ne pas être identiques
pour les deux calculs, thermique et mécanique, compte tenu des conditions aux limites de
chargement et des algorithmes de résolution différents employés dans les deux cas (Bliard &
Chapitre II Formulation du modèle
-105-
al. 1995, Heinfling 1998). Ce choix peut engendrer une perte de précision ou d’informations
ou des dispersions numériques. Dans cette étude, nous nous sommes efforcés de limiter les
pertes de précisions occasionnées dans les différents cas d’applications réalisés.
L’analyse complète du problème thermo-mécanique à résoudre passe, comme nous l’avons vu
dans un premier temps, par la résolutions d’un problème thermique transitoire prenant en
compte les variations des caractéristiques thermiques du béton avec la température puis la
résolution du problème mécanique. Dans ce qui suit, on verra avec plus de détails ces deux
algorithmes.
II-3.2 Résolutions numériques du problème thermique
Soit un volume Ω de masse volumique ρ soumis à chaque instant t de l’intervalle total de
temps [ ]1 ,0 t à un flux de chaleur q sur une partie de sa frontière, à une source volumique de
chaleur notée r (par effet de Joule ou réaction chimique) ainsi qu’à un champ de température
T sur la partie complémentaire de sa frontière (voir figure II.19).
q
cq
rq
TT1Ω∂
T2Ω∂
T3Ω∂
T4Ω∂
Ω
r
Ω∂=Ω∂∪Ω∂∪Ω∂∪Ω∂ TTTT4321
et
∅=Ω∂∩Ω∂∩Ω∂∩Ω∂ TTTT4321
Figure II.19 : Problème thermique de référence
Dans le code de calcul aux élément finis CASTEM2000 (Jeanvoine & De Gayffier 1995), le
problème thermique transitoire non-linéaire est gouverné par la loi de diffusion de la chaleur
suivante :
rt
H =∇+∂
∂q. (II.60)
Chapitre II Formulation du modèle
-106-
où H représente l’enthalpie volumique du système. Comme nous l’avons décrit dans le
chapitre précédent, ces propriétés dépendent de la température. On peut donc écrire :
TcTcTT
H
t
Hp
==∂∂=
∂∂ ρ (II.61)
où pc est la chaleur massique du béton et c représente sa capacité calorifique. En remplaçant
l’équation (II.61) dans l’équation (II.60), on obtient :
rTc =∇+ q. (II.62)
L’équation (II.62) est résolue par une méthode de Galerkin. Les conditions aux limites dans
un problème de diffusion de la chaleur sont de quatre types :
9 Une condition au limite de type Dirichlet (température imposée T ) sur la surface T1Ω∂ .
9 Trois conditions aux limites de type Newmann représentant respectivement :
i. Une condition de convection sur T2Ω∂ , tel que le flux de chaleur sur cette zone est
régit par l’équation : ( )ec TThq −= ,
ii. Une condition de rayonnement sur T3Ω∂ , tel que le flux de chaleur d’origine radiative
émis par cette zone est donné par la loi de Stephane-Boltzmann :
( )44 er TTq −−= ξϕ ,
iii. Une condition de flux de chaleur imposé sur T4Ω∂ ( qq = ).
où h et eT représentent respectivement le coefficient d’échange convectif et la température
extérieure correspondant à la surface T2Ω∂ .
ξ et ϕ représentent le facteur d’émission et la constante de Stephan.
La formulation variationnelle faible de l’équation de la chaleur s’exprime sous la forme :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∫∫∫
∫∫∫∫
ΩΩ∂Ω∂
Ω∂Ω∂ΩΩ
Ω=+−
+−++Ω∇∇+Ω
drTdSTdSTTT
dSTThTdSTdTTdTcT
TTe
T
eT
fTT
cT
TT
TT
..
43
21
44 δδξϕδ
δδλδδ
q
q
(II.63)
où Tδ représente une fonction virtuelle du champ de température et fq , le flux de chaleur
(inconnu) correspondant au champ de température (connu) sur la frontière T1Ω∂ , donné
conformément à la loi de Fourier :
Chapitre II Formulation du modèle
-107-
Tgradcf λ−=q (II.64)
La densité de flux de chaleur d’origine radiative émise par la surface 3Γ , peut être ramenée à
une condition aux limites de type convection en effectuant l’approximation suivante :
( ) ( )( )323344 eeee TTTTTTTT ++−=− ∗∗ (II.65)
Cette approximation n’est évidemment valable qu’au voisinage de ∗T .
La discrétisation du champ de température sur un élément fini de type C0, nous donne :
TT δδ NN == TT δ ; (II.66)
TT BN =∇=∇ T (II.67)
où N est la matrice des fonction de forme. T T δδet représentent respectivement le vecteur
variables nodales du champ de température et le vecteur variable nodales du champ virtuel de
température Tδ .
En remplaçant cette discretisation dans l’équation (II.63), on obtient :
( ) ( ) fK =+ T TCT T (II.68)
où
( )
Ω−−−=
Ω=
++Ω=
∫∫∫∫
∫
∫∫∫
ΩΩ∂Ω∂Ω∂
Ω
Ω∂
∗
Ω∂Ω
drdSqdSqdSTh
dc
dSTdShd
TTT
TT
fe
T
TTTc
412
32
NNNN f
NN
NN NN BB K3
C
ξϕλ
(II.69)
Deux types d’algorithmes sont disponibles dans CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) pour la
résolution numérique du système (II.69).
- Un schéma d’intégration classique à un pas de temps non itératif est proposé (Theta-
méthode). Celui-ci s’avère être inconditionnellement stable.
- Un schéma à deux pas de temps est également disponible (Dupont). Celui-ci offre des
propriétés de stabilité et de précision intéressantes pour la résolution de ce type de
problème. De plus, Hogge (1981) a constaté sur différents exemples, une très bonne
Chapitre II Formulation du modèle
-108-
précision des résultats obtenus et très peu d’oscillations. Ces observations sont
valables pour de grands pas de temps et pour des variations rapides des
caractéristiques thermiques du matériau avec la température, telles que celles
engendrée par un changement de phase sur la chaleur massique.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, la modélisation du comportement thermique du
béton à hautes températures peut nécessiter la prise en compte d’une variation rapide de la
chaleur de ce matériau à certaines températures. Ce type d’algorithme est donc
particulièrement adapté à notre problème.
II-3.3 Résolution numérique du problème mécanique
Considérons maintenant le même volume Ω en équilibre au temps 1+nt , soumis à des forces
de volume df ainsi qu’à des efforts surfaciques dF sur une partie de sa frontière notée M2Ω∂
et à des déplacements imposés du sur la partie complémentaire M1Ω∂ (voir figure II.17).
Ω
dF
df
du
M1Ω∂
M2Ω∂
Ω∂=Ω∂∪Ω∂ MM21
et
∅=Ω∂∩Ω∂ MM21
Figure II.20 : Problème mécanique de référence
La formulation variationnelle faible du principe des déplacements virtuels s’exprime, par
l’intermédiaire du résidu (Bathe & Wilson 1976) :
( ) ( )11int
++ −=Φ next
n tFF u (II.70)
où u est le vecteur des déplacements. intF et ( )1+next tF correspondent respectivement au
vecteur des forces internes et à celui des forces externes, qui s'expriment par:
Chapitre II Formulation du modèle
-109-
Ω= +Ω∫ d n
T1
int σBF (II.71)
Ω+= ∫∫ΩΩ∂
df dSF dT
dText
M
NN2
F (II.72)
où B est la matrice opérateur différentiel liant le tenseur de déformation 1+nε au vecteur
déplacement 1+nu , tel que:
11 ++ = nn u Bε (II.73)
La contrainte au temps 1+nt est donnée par:
( )1111 , , ++++ += nnnnn Tf σσσ u Bσ (II.74)
La fonction σf , est une fonction fortement non-linéaire fonction de l'état du point de charge
dans l'espace contrainte-déformation.
L'équilibre du volume Ω est défini à partir de:
0=Φ (II.75)
La résolution de ce problème est réalisés par une méthode itérative de type Newton-Raphson.
A chaque itération (i), le problème linéarisé suivant est résolu:
( )( )i
i
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
(II.76)
où la dérivée du résidu est donnée par l'expression suivante:
Ω=
Ω=Φ
+
+
Ω
+
+
+
+
Ω+
∫
∫
dd
d
dd
d
d
d
d
d
n
nT
n
n
n
nT
n
BB
uB
u
1
1
1
1
1
1
1
εσ
εεσ
(II.77)
jusqu’à ce que Φ devienne nul à une précision près. Dans la double notation employée,
l’indice 1+n correspond à l’incrément du temps et l’exposant (i ) correspond à l’itération
dans l’incrément.
L'algorithme de résolution de l'équation non-linéaire (II.77), pour 1+nu peut alors être décrit
par le tableau suivant:
Chapitre II Formulation du modèle
-110-
0. ( )nn uu =+
01
1. ( ) ( ) extn
extn
ext tt FFF ∆+=+1
2. ( )inn 11 ++ = u Bε
3. Evaluation de l'état de contrainte 1+nσ4. Ω= +
Ω∫ d n
T1
int σBF
5. ( ) ( ) ( )11int
++ −=Φ next
ni tFF u
6. Test de convergence:
Si ( ) ≤Φ i Tolérance, alors l'équilibre global est satisfait. Sinon
7. Evaluation de:( )
( )ii
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
pour uδ
8. ( ) ( ) uuu δ+= +++
in
in 1
11
9. Pas suivant:1+= ii , aller à (2)
Tableau II.2 : Algorithme de résolution du système non linéaire global
Il est à noter qu'à l'étape (3), un nouveau processus d'itération peut être nécessaire pour
obtenir l'état admissible de contrainte, ce processus est appelé processus d'itérations internes
et fait l’objet de notre travail décrit dans le paragraphe suivant.
II-3.4 Intégration des équations constitutives du modèle
Quelque soit l’algorithme de résolution du système non-linéaire global, l’étape locale
d’intégration de la loi de comportement demeure un point clé du calcul. Dans un code
éléments finis classique basé sur une approche en déplacement, elle permet de calculer en
chaque point de Gauss les efforts internes à partir du champ de déplacement prédit à chaque
itération. Il est à noter que la précision de cette intégration conditionne d’une manière
significative la qualité ainsi que l’efficacité de la résolution globale.
En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations
à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au
Chapitre II Formulation du modèle
-111-
temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt . On intègre à 1+nε fixe et on cherche
1+nσ :
( )1111111 , , , , , +++++++ = nnntmn
pnnn TDf κκεεεσ (II.78)
Dans ce qui suit, on présentera l’application de l’algorithme du type retour radial (ou return
mapping) à notre modèle (voir la figure II.21). Cet algorithme est basé sur le principe d’une
prédiction élastique de la contrainte puis une correction plastique. Les corrections plastiques
sont apportées en utilisant les propriétés de la surface seuil, dont principalement la loi de
normalité (Ortiz & Simo 1986).
001 >+nF
nσσ01
1 =++i
nF
11
++
inσσ
01+nσσ
nσσ
01+nσσ
11
++
inσσ
>
>
+
+
0
00
1 ,2
01 ,1
n
n
F
F
=
=+
+
++
0
01
1 ,2
11 ,1
in
in
F
F
(a) (b)
Figure II.21 : Algorithme de retour radial : (a) cas d’une seule surface de charge,
(b) cas d’une surface multicritère
Commençons tout d’abord par faire un récapitulatif des choix effectués en matière de critère
de charge, de potentiel plastique et de la loi d’écrouissage.
Comme on a vu précédemment, le critère de charge dans notre cas est une surface multicritère
formée de deux surfaces, un critère de Rankine noté 1F pour représenter la zone de traction et
un critère de Drucker-Prager noté 2F , pour la zone de compression.
Dans le cas où il s'agit d'un problème de contrainte plane, la condition 0=zσ est obtenue sur
les conditions d'équilibre en imposant la condition de contrainte plane dans l'algorithme
Chapitre II Formulation du modèle
-112-
présenté par de Borst (1991). Les composantes des tenseurs de contraintes et de déformation
sous forme vectorielle sont respectivement:
xyzyxT σσσσ ,,,=σ (II.79)
xyzyxT εεεε ,,,=ε (II.80)
Les deux critères précédemment définis peuvent s’écrie sous forme vectorielle de la façon
suivante :
( ) ( )( )[ ] ( )
−+==
−+==
TFF
TFFT
fT
c
TTt
,~~ ~~21
,~~21~~21
222
21
22
111
21
11
κτβα
κτ
σπσσ
σπσσ
P
P(II.81)
où 1P et 2P représentent les matrices de projections données par:
−
−
=
2000
0000
002121
002121
1
P (II.82)
et
−−−−−−
=
6000
0211
0121
0112
2
P (II.83)
T1π et T
2π représentent quand à eux les vecteurs de projections données par :
0 ,0 ,1 ,11 =Tπ (II.84)
0,1,1,12 T =π (II.85)
1~τ et 2
~τ représentent respectivement la contrainte effective équivalente en traction simple,
fonction du paramètre d'écrouissage 1κ et de la température T et la contrainte équivalente en
compression simple fonction du paramètre d'écrouissage 2κ et de la température T .
Chapitre II Formulation du modèle
-113-
Les deux paramètres du critère ( )βα ,f sont alors, déterminés à partir des caractéristiques
mécaniques du matériau: résistance en compression simple cf , résistance en traction simple
tf et la résistance en compression biaxiale bf .
c
cf β
βα
21
1
−−
= (II.86)
12 −=
c
c
ββ
β (II.87)
( )cbc ff=β (II.88)
En ce qui concerne la loi d'évolution de la déformation plastique, celle-ci est donnée par la
connaissance des fonctions potentielle plastique (21 ,GG ) et est donnée conformément à la
proposition de Koiter (1953) par :
∑= ∂
∂=
2
1~
i
ii
p G
σε λ (II.89)
où iλ est le multiplicateur plastique. Ainsi les conditions de Kuhn-Tucker doivent être
satisfaits.
0 et 0 ,0 =≤≥ iiii FF λλ (II.90)
Les fonctions potentielles plastiques, quant à elles, s’écrivent sous la forme suivante:
( )[ ] ( )
−+==
==
TGG
FGGT
gT
c
t
,~~ ~~21 222
21
22
11
κτβα σπσσ P(II.91)
où gα représente un paramètre matériau choisi de manière à bien représenter la dilatance du
matériau.
De plus, le paramètre d’écrouissage κ est égal à l’intégration dans le temps durant le
chargement de la déformation plastique cumulée κ donnée par :
( ) pTp ε:ε
3
2=κ (II.92)
Chapitre II Formulation du modèle
-114-
∫= dt κκ (II.93)
Dans le cas où deux critères sont actifs, la loi d’écrouissage peut être exprimée sous la forme
générale :
λλ
Lq =
=2
1
κκ
(II.94)
avec
=
2221
1211
LL
LLL et
=2
1
λλ
λλ (II.95)
En faisant l’hypothèse de découplage ( 02112 == LL ) des écrouissages en traction et en
compression, la loi d'écrouissage précédemment définie s'écrit :
=
2
1
22
11
2
1
0
0
λλ
κκ
L
L(II.96)
avec
( )
+=
=
21
121
22
11
gL
L
α(II.97)
obtenus pour les deux potentiels plastique iG adoptés par le biais du terme σ~∂
∂ iG.
Il est important de noter que l’utilisation de l’hypothèse de la déformation plastique cumulée
trouve sa justification dans la simplicité de la relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur
plastique. Dans notre cas (écoulement non-associée en compression), l’utilisation de
l'hypothèse du travail plastique nous aurait conduit à une expression plus complexe de la
relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur-plastique ( )
( ) ,~ 1 1
2222
−+= I
TL fg
κταα
.
II-3.4.1 Algorithme de retour radial
Nous présentons dans cette partie les développements numériques correspondant à
l’application de l’algorithme de type retour radial à notre modèle. Nous posons les équations
Chapitre II Formulation du modèle
-115-
de remise à jour de l’état de contrainte dans les différents cas selon le nombre de critères
actifs puis nous décrivons pour chacun la méthode de résolution employée.
Connaissant l’état du matériau ( nnn q , , σε ) au temps nt , on peut écrire la contrainte, la
déformation et la variable l’écrouissage au temps 1+nt sous la forme :
∑=
++
+
+
∆+=
∆+=∆+=
2
11,1
1
1
jijninn
nn
nn
L qq λ
εεεσσσ
(II.98)
L’équation (II.10), liant le tenseur de contrainte réelle au tenseur de contrainte effective,
s’exprime sous la forme :
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.99)
( )( )111 111 +++ −Λ−=− nnn Dd (II.100)
où 111 , , +++ Λ nnn Dd représentent respectivement la variable d’endommagement total (thermo-
mécanique), celle d’endommagement thermique et celle d’endommagement mécanique.
En utilisant l’équation (II.11), le tenseur de contrainte effective s’exprime sous la forme :
( ) ( )( ) tm
npn
trn
tmnnn
pnnn T
1101
101101101
~
~
+++
++++++
∆+∆−=
−∆−−=
εεσ
εεεσ
:
::
E
EmE(II.101)
avec
( ) Im 101011 3 ; ++++ =−=∆ nnnnn KTTT α (II.102)
où α , ,0 IK représentent le module de compressibilité initial, la matrice unitaire et le
coefficient d'expansion thermique.
trn 1
~+σ représente le prédicteur élastique du tenseur contrainte effective donné par:
( ) ( ) 110101 ~++++ ∆−−−= nn
tmn
pnn
trn TmE εεεσ : (II.103)
L'incrément de déformation d'interaction thermo-mécanique peut s’écrire dans l’espace des
contraintes effectives d’une manière analogue qu’en (II.5) :
1111~ ++++ ∆=∆ nnn
tmn T σε :Q (II.104)
Chapitre II Formulation du modèle
-116-
où 1+nQ est un tenseur du couplage thermo-mécanique donnée par l’équation (II.5).
Il est à noter que l’on considère que le fluage thermique transitoire n’a lieu que dans la partie
saine du matériau, donc piloté par la contrainte effective.
En remplaçant l’équation (II.104) dans l’équation (II.101), on obtient :
pnn
tmn
pn
trnn
111
1011
~
~~
+++
++++
∆−=
∆−=
εσ
εσσ
:
:
D
EH -11n (II.105)
avec
( )
=
∆+=
++
+++
0
101
EHD
EIH1-
1n1n
1n
:
Q: nnT(II.106)
et
( )
∆−
∆−−=
=
++=
++
+++
∑ 1100
1
11
~
~
nn
n
innn
pnn
trn
tmn
TT mHD
H
1-1n
-11n
::Q:
:
σεε
σσ(II.107)
Les équations (II.99) à (II.107) peuvent être interprétées comme une nouvelle façon d’utiliser
la méthode prédicteur-correcteur intégrant un terme de fluage :
9 tmn 1
~+σ représente le prédicteur thermo-élastique de la contrainte effective corrigé par effet
du fluage transitoire.
9 ( )pnn 11 ++ ∆εε:D représente le correcteur plastique corrigé par effet du fluage transitoire.
9 11~
++ nnd σ représente le correcteur d'endommagement.
Il est intéressant de signaler que l’utilisation du concept de la contrainte effective nous permet
de découpler la réponse thermo-elasto-plastique de celle de la réponse endommagée (figure
II.22). Cette méthode confère une souplesse dans l’implémentation numérique du modèle , car
les développements sont faits comme en plasticité classique avec des caractéristiques initiales
(non endommagés), sauf que cette fois-ci c’est dans l’espace des contraintes effectives.
tmn 1
~+σ est un terme en contrainte faisant intervenir des quantités au pas précédent plus la
variation de la température au pas 1+n . Ces quantités sont toutes connues à ce stade du
Chapitre II Formulation du modèle
-117-
calcul. La seule inconnue reste donc l’incrément de déformation plastique pn 1+∆εε . Une fois la
déformation plastique est estimée, on passe à la détermination de la contrainte réelle.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,002 0,004 0,006 0,008
Déformations
Co
ntr
ain
te/R
ési
sta
nce
Réelle
Effective
Figure II.22 : Réponse du modèle en compression en contraintes
réelles et effectives
Le calcul de la contrainte se fait alors en deux temps : tout d’abord nous pouvons nous
occuper de la plasticité puis, dans un second temps, de l’endommagement (figure II.23).
( )TfD i ,κ=
iT
Bloc 1:THERMIQUE
Bloc 2:MECANIQUE
ijε ijσ
iij κσ ,~
( ) ( ) fK =+ T TCT T
( )( )i
i
nd
d Φ−=δ
Φ
+
uu 1
( ) 0,,~ ≤TF itr
i κσ
Module 1: Plasticité Module 2: Endommagement
0
1
2
3
Figure II.23 : Schéma représentatif de l’organigramme
de calcul du tenseur des contraintes
Chapitre II Formulation du modèle
-118-
En utilisant les expressions des potentiels plastiques définies précédemment (l’équation II.91),
l'incrément de déformation plastique, dans le cas de deux critères actifs, s’exprime par :
( )( ) 21
1211 ,2
21
1111 ,1
21 ,2
121,21
1 ,1
111,11
~~21
~~21
2
~21
2
~
+++
+++
+
++
+
+++
=Ψ
=Ψ
+
Ψ∆+
+
Ψ∆=∆
nTnn
nTnn
gn
nn
n
nn
pn
σσ
σσ
πσ
πσ
ε
P
P
PP αλλ
(II.108)
En remplaçant l’expression de l’incrément de déformation plastique (équation II.108) dans
l’équation (II.105), on obtient une nouvelle expression de l’équation de remise à jour :
+
Ψ∆+
+
Ψ∆−=
+
++
+
+++++ 2
1 ,2
121,21
1 ,1
111,1111 2
~21
2
~~~ π
σπ
σσσ g
n
nn
n
nnn
tmnn αλλ PP
D : (II.109)
Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :
Ψ
∆+
Ψ∆
+=
∆−∆−=
++
++
+
++
+++++++
211 ,2
1,211
1 ,1
1,11
211,2111,111
22
21~~
P DP DIA
D DA 1-1n
nn
nn
n
nn
nngnntmnn
λλ
λαλ ππσσ
(II.110)
On remarque que les expressions (II.110), présentent un inconvénient lié au fait que le schéma
d’intégration des équations constitutives est alors implicite. En effet, par la forme de cette
expression, le vecteur de contrainte effective actualisé donné en (II.109) n’est pas lié de façon
linéaire à l’état de contrainte de test. D’une manière analogue à celle proposée par Feenstra
(1993), nous proposons d’utiliser la technique suivante pour s'affranchir de cette difficulté. La
condition de consistance doit être satisfaite à la fin du pas du temps 1+n , 021 == FF . Par
conséquent les expressions de 1 ,1 +Ψ n et 1 ,2 +Ψ n , peuvent s'écrire sous la forme :
( )( )
−=Ψ
−=Ψ
++++
++++
1211,221 ,2
1111,111 ,1
~ ,~
~21,~
nT
fnnn
nT
nnn
T
T
σπ
σπ
ακτβ
κτ(II.111)
En multipliant l’équation (II.110) par AT2π , on obtient la relation suivante :
2121,21121,112112 21~~ ππππσπσπ D DA +++++++ ∆−∆−= nT
ngnT
ntmn
Tnn
T λαλ (II.112)
or
Chapitre II Formulation du modèle
-119-
( )( )
=
=
+=
+=
+
+
+++
+++
T
T
0
0
2
1
PD
PD
D
D
12
12
12,1
11,1212
12,1
11,1112
23
22
nT
nT
nnn
T
nnn
T
DD
DD
π
π
ππ
ππ
(II.113)
donc,
21212112111212112 21~~ ππππσπσπσπ ++++++++ ∆−∆−== nT
,ngnT
,ntrn
Tn
Tnn
T DDA λαλ (II.114)
On peut donc finalement exprimer 1,2 +Ψ n sous la forme :
( ) ( )
∆
+∆+−
−=Ψ ++
++++++ 1211
12,1
11,11211,221 ,2 323~ ,~
,ng
,nnntm
nTf
nnn DDT λβ
αλ
βα
κτ σπ (II.115)
La méthode décrite ci-dessus n’est pas directement applicable dans le cas de 1Ψ car la
simplification alors obtenue n'est plus possible. Cependant en multipliant l'équation (II.110)
par AT1π , on obtient :
2112111111111 21~~ ππππσπσπ D DA T,ng
T,n
tmn
Tnn
T+++++ ∆−∆−= λαλ (II.116)
Les propriétés vérifiées sont désormais les suivantes :
( )( )
( )
−=
=
+=
+=
++
++
++
0 ,2 ,1 ,1
22
2
12,1
11,11
01
12,1
11,121
12,1
11,111
nnT
T
nnT
nnT
DD
DD
DD
2
1
P D
PE
D
D
π
π
ππ
ππ
T0(II.117)
Enfin, la relation (II.110) peut se mettre sous la forme :
( ) ( )
( ) ( ) 1z
1 ,2
12,1
11,11,21
2,11
1,112
12,1
11,1111111
1 ,2
12,1
11,11,2
~ 2 2
~~2
+
+
+++++
+
+++++
+
+++
Ψ
−∆++∆
−
+∆−=
Ψ
−∆+
n
n
nnnnn
,ng
nn,n
tmn
Tn
T
n
nnn
DDDD
DDDD
σβ
λλ
βα
λβ
λσπσπ1
(II.118)
Afin d’exprimer le tenseur des contraintes 1~
+nσ seulement en fonction des multiplicateurs
plastiques ( 11 +∆ ,nλ , 12 +∆ ,nλ ) comme inconnues, il est nécessaire de connaître l’expression de
1~ +nzσ rentrant dans la définition de l’équation (II.118). Cette dernière est obtenue à l'aide de
l'équation (II.105) :
Chapitre II Formulation du modèle
-120-
( )
( )12,1
11,11,2
11 ,2
12,1
11,11,21
2,1111,1
2
~0 ,2 ,1- ,1-2
~
+++
++
++++
+++
+∆
−
Ψ−∆
−∆−=
nnn
g
nn
nnnn
,ntr
nznz
DD
DDD 1
λβ
α
βλ
λσ σ(II.119)
cette dernière équation (II.119), peut se mettre sous la forme :
( )( )
( )
+∆
−
Ψ−∆
+
∆−
−∆+Ψ
Ψ=
+++
+
+++
+++
++++
++
12,1
11,112
112
12,1
11,11,2
12,1111,
12,1
11,1121 ,2
1 ,21
2
~2
~
~
nn,n
g
nT
nnn
n,n
trnz
nn,nn
nnz
DD
DD
D
DD
λβ
αβ
λ
λσ
λββ
σ σπ (II.120)
En substituant l'expression de 1~ +nzσ dans l’équation (II.118), on obtient l'expression finale de
11~
+nT σπ .
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
+∆
−
∆−
−∆+Ψ
−∆+
+∆
−
+∆−
−∆+Ψ
−∆+Ψ=
+++
+++
++++
+++
+++
++++
++++
++++
+
12,1
11,11n2,
12,11n1,1 ,
12,1
11,11,21 ,2
12,1
11,11,2
12,1
11,11n2,
12,1
11,11n1,11
12,1
11,11,21 ,2
12,1
11,11,21 ,2
11
2
~
3 2
2
2 2
~
3 2
2~
nng
ntrnz
nnnn
nnn
nng
nntmn
T
nnnn
nnnn
nT
DD
D
DD
DD
DD
DD
DD
DD
λβ
α
λσ
λβλ
λβ
α
λ
λλ
σπσπ
(II.121)
Enfin, en substituant l’expression de 11~
+nT σπ dans la l’équation (II.114), on obtient
l’expression de 1 ,1 +Ψ n .
Dans le cas où les deux surfaces de charge sont actives, deux possibilités peuvent conduire à
des indéterminations mathématiques dans le calcul de l’expression de 1+nA (équation II.110) :
- Lorsque 1Ψ devient égal à zéro, on suppose que l’apex du double critère est
complètement géré par la fonction de charge de Rankine. On utilise alors la méthode
décrite au paragraphe précédent qui correspond au critère de Rankine seul actif.
Chapitre II Formulation du modèle
-121-
- Lorsque le critère de Drucker-Prager est réduit à un point, on a ( 02 =Ψ ) ou ( 01 =Ψ
et 02 =Ψ ). On peut montrer que 1−A reste définie dans ces deux cas si une
décomposition spectrale est utilisée.
La matrice thermo-élastique transitoireD , la matrice de projection 1P et la matrice de
projection 2P possèdent le même sous espace de vecteurs propres. On peut donc exprimer la
matrice A dans sa base propre où elle est diagonale. Nous la notons alors AΛ :
22
1,21
1
1,1
22 PDn
PDn
IA Ψ
∆+
Ψ∆
+= ++ λλ(II.122)
Avec,
122
111
1
−
−
−
=
=
=
QQP
QQP
QQD
P
P
D
(II.123)
Et les matrices suivantes :
[ ]
3,33
2,11,12
2,11,11
3211
2
, , ,
D
DD
DD
diagD
=Ω+=Ω−=Ω
ΩΩΩΩ=
(II.124)
[ ]2,0,1,01 diagP = (II.125)
[ ]6,0,3,32 diagP = (II.126)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ et 2Ψ
tendent vers 0. On détermine la matrice 1−A à l’aide de la relation:
11 −−= QQA-1A (II.127)
avec,
−
−
=
1000
031062
0312161
0312161
Q (II.128)
Chapitre II Formulation du modèle
-122-
et,
=
−
−
−
−
−
144
133
122
111
1
000
000
000
000
A
A
A
A
A
Λ (II.129)
On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 et Ψ2 tendent vers 0:
=−
0000
0313131
0313131
0313131
1A (II.130)
Dans le cas où une seule surface est activée on obtient :
- critère de traction seul actif
la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :
+
Ψ∆−= +
+++ 11
111n1,11 21
2
~ ~~ πσσσ ntm
nn
PD λ: (II.131)
( ) ( ) 2,11,11n1,1111,111 ~ 2
1,~ DDT tm
nT
nn +∆−
−=Ψ ++++ λκτ σπ (II.132)
Dans le cas ou 01 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ce cas si une
décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.
11
1,1
2 PDn
IA Ψ
∆+= +λ
(II.133)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend
vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0 :
=−
0000
0100
002121
002121
1A (II.134)
Chapitre II Formulation du modèle
-123-
- critère de compression seul actif
la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :
+
Ψ∆−=
+
+++++ 2
1 ,2
121n2,111 2
~ ~~ π
σσσ g
n
nn
tmnn αλ P
D : (II.135)
( ) ( )
+∆
−
−=Ψ ++
+++++1
2,11
1,11n2,1211,221 ,2 2 3~,~ nngtmn
Tfnnn DDT λ
βα
βα
κτ σπ (II.136)
Dans le cas ou 02 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ces deux cas si une
décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.
22
1,2
2 PDn
IA Ψ
∆+= +λ
(II.137)
Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend
vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0:
=
−
−
−
−
−
144
133
122
111
1
000
000
000
000
A
A
A
A
A
Λ (II.138)
On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 tend vers 0:
=−
0000
0313131
0313131
0313131
1A (II.139)
II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés
Dans le paragraphe précédent nous avons développé les équations de remise à jour de l’état de
contrainte dans le cas des critères de Rankine et de Drucker-Prager. Le problème réside
maintenant dans l’évaluation de l’incrément de multiplicateur plastique vérifiant la condition
de consistance. Nous avons vu au paragraphe précédente que dans le cas général où deux
critères sont actifs, le système à résoudre est le suivant:
Chapitre II Formulation du modèle
-124-
=∆∆=∆∆
+++
+++
0),,(
0),,(
11,21,12
11,21,11
nnn
nnn
TF
TF
λλλλ
(II.140)
La mise à jour de l’écoulement est effectuée par une méthode de Newton-Raphson. La
relation vectorielle correspondant à l’application de cette méthode pour le calcul de
l’incrément de multiplicateur plastique s’écrit :
( ) ( )
( )
( )i
nnn
nnn-i
i
n
n
i
n
n
TF
TF
∆∆∆∆
−
∆∆
=
∆∆
+++
+++
+
++
+
+
),,(
),,(.
11,21,12
11,21,111
1,2
1,1
1
1,2
1,1
λλλλ
λλ
λλ
J (II.141)
où l’indice ( )i correspond à l’itération interne effectuée dans l’incrément 1+n .
L’actualisation du Jacobien à chaque itération est réalisée par une méthode de Broyden (Roux
1987). Cette méthode correspond à celle de la sécante en dimension supérieure. Nous avons
ainsi la relation:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111
111111 ,
,
−−
−−−
−−−−− −+= ii
iii
iTiiii
i-i ssyJs
JsyJsJJ (II.142)
où ( )ba, représente le produit scalaire baT
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )1
11111
1111
, , +−+++−
−++−
∆−∆=
∆−∆=
ni
nni
ni
in
ini
TFTF λλ
λλ
y
s(II.143)
avec:
( )i
n
nin
∆∆
=∆+
++
1,2
1,1
1 λλ
λ (II.144)
et,
( )( ) ( )( )
( )i
nnn
nnnin TF
TFF
∆∆∆∆
=∆+++
++++
11,21,12
11,21,111 , ,
, ,
λλλλ
λ (II.145)
Ce processus itératif nécessite la connaissance des valeurs initiales d’indice (0) du Jacobien.
Une estimation de celui-ci est possible par linéarisation des critères au voisinage du prédicteur
élastique. On exprime le Jacobien du système à l’itération (i) sous la forme:
Chapitre II Formulation du modèle
-125-
( )
( )i
i
FF
FF
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2
2
1
2
2
1
1
1
λλ
λλJ (II.146)
La décomposition du critère de traction en série de Taylor au premier ordre au voisinage du
prédicteur élastique corrigé par le fluage transitoire tmn 1
~+σ , conduit à la relation:
( ) ( ) ( )nn
t
nn
t
tmnn
t
tn
FFFFF ,21,2
2
1,11,1
1
111
111,1
~~~ κκ
κκκ
κ−
∂∂
+−∂∂
+−∂∂
+≈ +++++ σσσ
(II.147)
D’après la loi d’écrouissage (II.98) et l’équation de remise à jour du vecteur des contraintes
(II.101), nous pouvons exprimer ce critère linéarisé sous la forme :
1,22
11,1
1
111
1111 ~ +++++ ∆
∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
−≈ n
t
n
t
pnn
t
t,n
FFFFF λ
κλ
κε
σ:D (II.148)
En utilisant la loi d’écoulement défini par l’équation (II.89), l’équation (II.148) peut se mettre
sous la forme :
1,22
11,1
1
1
211,2
111,1
111,1
~~~
++
+++++
∆∂∂
+∆∂∂
+
∂∂
∆+∂∂
∆∂∂
−≈
n
t
n
t
t
nn
t
nn
t
tn
FF
GGFFF
λκ
λκ
λλσσσ
:: DD
(II.149)
que l’on peut réorganiser :
~~~~ 1,22
1211,1
1
11111,1 +++++ ∆
∂∂
+∂
∂∂∂
−+∆
∂∂
+∂∂
∂∂
−+≈ n
ttt
n
ttt
tn
FGFFGFFF λ
κλ
κ σσσσ 1n1n DD(II.150)
Pour le critère de compression, on obtient de la même façon :
~~~~ 1,22
2221,1
1
21221,2 +++++ ∆
∂∂
+∂
∂∂∂
−+∆
∂∂
+∂∂
∂∂
−+≈ n
ttt
n
ttt
tn
FGFFGFFF λ
κλ
κ σσσσ 1n1n DD(II.151)
Les équations (II.150, II.151) peuvent se mettre sous la forme :
Chapitre II Formulation du modèle
-126-
−
−=
∆∆
×
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂+
∂∂
∂∂−
+
+
+
+
++
++
tn
tn
n
n
tt
n
ttt
n
t
tt
n
ttt
n
t
FF
FF
FGFFGF
FGFFGF
21,2
11,1
1,2
1,1
2
221
2
1
211
2
2
121
1
1
111
1
~~~~
~~~~
λλ
κκ
κκ
σσσσ
σσσσ
DD
DD
(II.152)
L'équation (II.152) s’écrit alors sous une forme plus condencée de la manière suivante :
−
−=
∆∆
×
+−−
−+−
+
+
+
+
++
++t
n
tn
n
n
nT
nT
nT
nT
FF
FF
h
h
21,2
11,1
1,2
1,1
2212112
2111111
λλ
mD nm D n
m D nm D n(II.153)
Finalement, on obtient l’estimation du Jacobien au prédicteur élastique:
( )
+−−
−+−=
++
++
2212112
21111110
h
h
nT
nT
nT
nT
mD nm D n
m D nm D nJ (II.154)
Dans le cas particulier où un seul critère est actif, le problème à résoudre se ramène à:
( ) 0, 11 =∆ ++ nn TF λ (II.155)
La relation correspondant à l’application de la méthode de Newton s’écrit dans ce cas:
( ) ( )( )
( ) ),(.J 111
111 ++
−+
++ ∆−∆=∆ n
ini
in
in TF λλλ (II.156)
Le Jacobien du système non linéaire (un scalaire dans ce cas) est actualisé suivant la relation:
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )in
in
ni
nni
ni TFTF
111
11111 ,,
J+
−+
+++−+
∆−∆∆−∆
=λλ
λλ(II.157)
Cette méthode de résolution correspond exactement à la méthode dite de la sécante dont la
figure (II.24) fournit une représentation géométrique. La décomposition du critère au
voisinage du prédicteur élastique en série de Taylor au premier ordre s’exprime donc dans ce
cas:
( ) ( )nn
ttmnn
tt
n
FFFF κκ
κ−
∂∂+−
∂∂+≈ ++++ 1111
~~~ σσσ
(II.158)
expression équivalente à :
111,1 ~~ +++ ∆
∂∂+
∂∂
∂∂−≈− n
tttt
n
FGFFF λ
κσσ 1nD (II.159)
d'où une estimation du Jacobien initial :
Chapitre II Formulation du modèle
-127-
( )( ) ( )
h
FGFFF
T
ttt
+−=
∂∂+
∂∂
∂∂−=
∆∆≅
∂∂=
+
+
m D n
D
1n
1n
~~J00
0
κλλ σσ (II.160)
)0(λ∆ )1(λ∆ )2(λ∆ )( iλ∆
F
λ∆
Figure II.24 : Représentation schématique du
processus itératif de résolution de l’équation (II.155)
par la méthode sécante
II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé
Dans le cadre de la méthode de Newton-Raphson utilisée pour la résolution des équations
d’équilibre, la linéarisation de celles-ci se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur
tangente. La construction de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la
précision. Simo & Taylor (1986) ont mis en évidence que, pour conserver ces propriétés, la
matrice de raideur tangente doit être construite à partir d’un opérateur liant l’incrément de
contrainte à l’incrément de déformation linéarisé de façon précise à la fin du processus de
retour sur les surfaces de charge. Cet opérateur appelé opérateur tangent consistant doit être
construit à la fin de l’itération ( )1+i dans l’incrément concerné. A la fin de l’itération ( )1+i ,
le vecteur de contrainte actualisé, dans le cas général où les deux critères sont actifs, peut être
exprimé sous la forme:
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.161)
La dérivée totale du vecteur de contraintes (équation II.158) s’écrit sous la forme :
( ) ( )
( ) ( )1
1
111
11111
~~
~ 1
~~ 1
++
+++
+++++
−−=
−−=
nn
nnn
nnnnn
dd
ddd
ddddd
σσ
σ
σσσ(II.162)
Calculons tout d’abord 1~
+ndσ , on sait que la contrainte effective peut s’exprimer comme suit:
pn
tmnn
pnnnn 11111
~+++++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.163)
Chapitre II Formulation du modèle
-128-
soit :
∂∂
∆−−−−= ∑= +
+++++
2
1 11,1111 ~
~i n
ini
tmnn
pnnnn
G
σεεεεσ λθ:D (II.164)
La dérivée totale du vecteur de contraintes effective peut donc être obtenue. Elle s’exprime
sous la forme:
∂∂
∂∆+
∂∂
−= ∑=
+++
++
+++
2
11
11
2
1,1
111~
~~~~
in
nn
ini
n
iinnn d
GGddd σ
σσσεσ λλ:D (II.165)
En utilisant la formulation générale proposée par Riggs & Powel (1990), on exprime cette
relation sous la forme:
λεσ ddd nnn U: −= +++ 111~ (II.166)
où
∂∂
=2~
1~
G
G
σ
σU (II.167)
et
=2
1
λλ
d
ddλ (II.168)
et la matrice Π est donnée par:
[ ] 111
1
11
22
1,211
12
1,111 ~~~~
−++
−
+++
+++++
=
∂∂
∂∆+∂∂
∂∆+=
nn
nnn
nnnnn
GG
DC
Cσσσσ
Π λλ(II.169)
La condition de consistance appliquée aux deux surfaces fournit les relations:
=∂+∂
=∂+∂
+
+
0 ~
0 ~
2212~
1111~
2
1
κ
κ
κσ
κσ
dFdF
dFdF
nT
nT
σ
σ(II.170)
compte tenu de la loi d’écrouissage (II.98) adoptée, on peut exprimer les relations (II.170),
sous la forme :
σλ ~1 dd TVE−= (II.171)
Chapitre II Formulation du modèle
-129-
avec :
∂−
∂−=
2
1
2
1
0
0
F
F
κ
κE (II.172)
et
∂∂
=T
T
F
F
2~
1~
σ
σV (II.173)
En substituant la relation (II.171) dans l’équation (II.166) on obtient:
[ ] ( ) ( )11
11
111
~ ++
++
−−+ =+ i
ni
nT
n dd εσΠ VUE (II.174)
L’application de la formule de Shermann-Morrison-Woodbury nous permet finalement
d’aboutir à l’expression:
( ) ( )[ ] ( )111
1
11111 ~ +
++−
+++++ +−= i
nnT
nT
nni
n dd εΠΠΠΠσ VUV EU (II.175)
D’où la formulation de l’opérateur tangent cohérent:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
1
1111
111
11, ~
~ 1 +−
++++
+++
++ +−
−−= nT
nT
nnn
nnn
int d
ddd ΠΠΠΠ
σσ VUV EUE (II.176)
Dans le cas où un seul critère est actif, à la fin de l’itération ( )1+i , le vecteur de contrainte
actualisé peut être exprimé sous la forme:
pn
tmnn
pnnn 111
~+++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.177)
En suivant le même raisonnement que précédemment et en posant cette fois ci,
1
11
2
111 ~~
−
+++++
∂∂
∂∆+=nn
nnn
G
σσΠ λC (II.178)
on obtient l’expression de l’opérateur tangent cohérent dans le cas où un seul critère est actif:
( ) ( ) ( )
11
11
111
1
111
11, ~
~ 1
++
++
+++
+
+++
++
∂∂=
−
−
−−=
nn
nnT
nT
nn
n
nnn
int
Fh
hd
ddd
κ
mn
n mE
ΠΠΠ
Πσ
σ(II.179)
où :
Chapitre II Formulation du modèle
-130-
( )
( )
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
+
∂∂
=
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
++
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
1
11
~~~
~~
n
n
n
n
T
n
n
n
n
nn
nn
T
n
nn
d
d
dd
d
dd
dd
dd
dd
σσσ
σσ
κκκκ
κκκκ
(II.180)
le paramètre d’endommagement ne dépend pas d’une manière directe de la contrainte, on a
alors:
( )
∂∂
=⇒=∂∂
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1~~0~
n
n
T
n
n
n
n
n
n
d
dd
d
ddd
σσσκκ
κκ(II.181)
d’après la condition de consistance on peut écrire:
=∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂∂
⇔
=
=
++
++
++
++
0~~
0~~
0
0
1,21,2
21
1
2
1,11,1
11
1
1
2
1
nn
n
T
n
nn
n
T
n
dF
dF
dF
dF
F
F
κκ
κκ
σσ
σσ
(II.182)
ce qui donne,
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
−=
=
++
++
+
+
+
+
+
+
1,2
2
1
2
1,1
1
1
1
1,2
1
1
1,1
1
1
~
~
~
~
~
n
T
n
n
T
n
n
n
n
n
n
n
FF
FF
d
d
d
d
d
d
κ
κ
κ
κ
σ
σ
σσ
σκκ
(II.183)
Il est à noter que dans le cas d’utilisation d’un écoulement non-associé (gf αα ≠ ) l’opérateur
tangent n’est pas symétrique.
II-3.4.4 Tableaux récapitulatifsLes tableaux II.3, II.4, II.5 et II.6 résument les différents étapes de l’algorithme d’intégration
des équations constitutives proposées. Le tableau II.3 présente le calcul du prédicteur
élastique et la première estimation du nombre de critères actifs. Les tableaux II.4 et II.5
proposent ensuite le principe de l’algorithme utilisé respectivement dans le cas ou un critère
est actif et le cas où les deux critères sont actifs. Le tableau II.6 présente la dernière étape de
l'algorithme, qui consiste en la mise à jour de la contrainte et le calcul de l’opérateur tangent.
Chapitre II Formulation du modèle
-131-
1. Initialisation :
11 ; ++ Λ nnε( ) ( ) ( ) ( )
nnpn
pnnnnn D D ==== ++++
01
01,2
01,2,1
01,1 ; ; ; εεκκκκ
2. Prédicteur thermo-élastique transitoire effectif :
( ) ( ) 11n0101
1 ~+++
−+ ∆−−−= n
trn
pnn
tmn TmEH εεεσ ::
3. Estimation du nombre de critères actifs:
( ) ( )( ) ( )
≤
≤
+++
+++
II ? 0,,~I ? 0,,~
11,212
11,111
nntmn
nntmn
TF
TFIf
κ
κ
σ
σ
9 Si oui ( )I et oui ( )II :
Va à l'étape (13) [Tableau II.6]
9 Si non ( )I et oui ( )II , ou oui ( )I et non ( )II :
Va à l'étape (4) [Tableau II.4]
9 Si non ( )I et non ( )II :
Va à l’étape (8) [Tableau II.5]
Tableau II.3 : Première étape - Estimation du nombre de critères actifs
4. Initialisation du processus, 0=i :
( )
∂∂+
∂∂
∂∂−=
tttFGF
Jκσσ ~~ 0
0 D
( )( ) ),,~(.J 111
11 +++
−+ −=∆ nn
tmni
in TF κλ σ
5. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( )( ) i
ni
ni
n 111~~
+++ ∆= σσσ( ) ( ) ( )i
ni
ni
n 1111 +
−++ ∆+=
6. Vérification du convergence :
( ) ? ,,~ 111 TolTFIf nntmn ≤+++ κσ
9 Si oui Va à l’étape (13)9 Sinon Va à l'étape (7)
7. Nouvelle estimation du jacobien et du multiplicateur plastique :
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )in
in
ni
nni
ni TFTF
111
11111 ,,
J+
−+
+++−+
∆−∆∆−∆
=λλ
λλ
( ) ( )( )
( ) ),(.J 111
111 ++
−+
++ ∆−∆=∆ n
ini
in
in TF λλλ
Va à l'étape (7)
Tableau II.4 : Principe de résolution numérique
Cas d’un seul critère actif
Chapitre II Formulation du modèle
-132-
8. Initialisation du processus, 0=i :
( )
+−−
−+−=
++
++
22212
211110
h
hTT
TT
mD nm D n
m D nm D n
1n1n
1n1nJ
( )
( )
−−=
∆∆
+++
+++−
+
+
),,~(
),,~(.J
11,212
11,11110
1,2
1,1
nntmn
nntmn
i
n
n
TF
TF
κ
κλλ
σ
σ
9. Si ( 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 >∆ +nλ ) ou ( 01,1 >∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ ) Va à l'étape (4)
Si 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ Va à l'étape (13)
10. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( ) ( )( )i
nin
in
in , 1,21,111
~~++++ ∆∆= σσσ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )in
in
in
in
in
in
11
1,21,2
111,11,1
+−
++
+−++
∆+=
∆+=
κκ
κκ
11. Vérification du convergence :
( )( ) )( ? ,,~
)( ? ,,~
11,21
11,11
IVTolTFIf
IIITolTFIf
nntrn
nntrn
≤
≤
+++
+++
κ
κ
σ
σ
9 Si oui ( )III et oui ( )IV :
Va à l'étape (13)
Si non ( )III et oui ( )IV , ou oui ( )III et non ( )IV :
Va à l'étape (12)
9 Si non ( )III et non ( )IV :
Va à l'étape (12)12. Nouvelle estimation du jacobien :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111
111111 ,
, −−−−−
−−−−− −+= ii
iii
iTiiii
i-i
ss
yJs
JsyJsJJ
( ) ( )
( )
( )i
nnn
nnn-i
i
n
n
i
n
n
TF
TF
∆∆∆∆
−
∆∆
=
∆∆
+++
+++
+
++
+
+
),,(
),,(.
11,21,12
11,21,111
1,2
1,1
1
1,2
1,1
λλλλ
λλ
λλ
J
Va à l'étape (10)
Tableau II.5 : Principe de résolution numérique
Cas de deux critères actifs
Chapitre II Formulation du modèle
-133-
13. Calcul de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives :9 Un seul critère actif :
−
−=
++
+++
+
+ 11
111
1
1
~
nnT
nT
nn
i
n hd
d
mn
n m
ΠΠΠ
Πεσ
9 Deux critères actifs :
( )[ ] ~1
1
111
1
1+
−+++
+
+
+−=
nT
nT
nn
i
nd
d ΠΠΠΠεσ
VUV EU
14. Mise à jour de la contrainte et de la variable d'endommagement :
( )111 , +++ Λ= nnn dd κ
( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ
15. Calcul de l’opérateur tangent :
( ) ( ) ( ) 1
11
111
1
1
11,
~
~~ 1
+
++
+++
+
+
++
−−=
=
i
nn
nnn
i
n
int d
d
d
ddd
d
d
εσ
σσ
εσ
E
1+= nn Va à l’étape (1)
Tableau II.6 : Dernière étape de l'algorithme thermo-élasto-plastique-endommageable
Mise à jour de la contrainte et calcul de l’opérateur tangent
Chapitre II Formulation du modèle
-134-
II-4 CONCLUSION
Ce chapitre a permis de présenter le plus clairement possible un nouveau modèle de
comportement du béton depuis son élaboration jusqu’à son implantation dans un code E. F. en
spécifiant les hypothèses et les choix adoptés.
Le modèle formulé dans le cadre de la théorie de l’endommagement couplé à la plasticité est
proposé pour la description du comportement non-linéaire du béton sous chargement thermo-
mécanique. Les variations irréversibles des caractéristiques thermiques et mécaniques sont
prises en compte ainsi que le développement de déformation d’interaction thermo-mecanique
et la fermeture des fissures lors du chargement cyclique. Un critère multisurfaces de plasticité
permettant de décrire le comportement spécifique de ce matériau a été construit. Le problème
de la sensibilité pathologique de la solution numérique à la finesse et à l’orientation du
maillage, engendrée par l’introduction d’un comportement adoucissant du béton en traction et
en compression, est partiellement résolu en introduisant l’énergie de fissuration dépendant
d’une longueur caractéristique liée à la taille des éléments. Un schéma d’intégration implicite
a été formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire. L’utilisation du principe de la
contrainte effective, nous a permis de découpler la réponse thermo-élasto-plastique de la
réponse endommagée, cela offre l’avantage de conserver la méthode de résolution numérique
de type plasticité pour le calcul de l’incrément plastique.
Ce modèle offre un traitement complet du comportement du béton sous chargements
mécanique et thermique aussi bien dans le domaine de la compression que dans celui de la
traction. L’ensemble des paramètres du modèle est identifiable expérimentalement par des
essais simples et réalistes.
Toutefois des limites au modèle proposé existent. La première concerne le choix de la
variable endommagement, un endommagement isotrope ne décrit pas l’anisotropie liée à la
fissuration. Cette lacune peut conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas de
chargements non-radiaux.
Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité. En particulier,
les effets spécifiques liés aux hautes températures doivent être étudiés. En effet le couplage
thermo-mécanique nécessitant l’enchaînement des analyses thermique et mécanique peut
Chapitre II Formulation du modèle
-135-
accentuer par cumul l’effet de sensibilité au maillage. De plus, les effets de l’introduction de
caractéristiques du béton décroissantes avec la température sur la nature des équations du
problème mécanique doivent être analysés. Ces aspects font partie des perspectives que nous
dégageons à la suite de ce travail.
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