Systèmes linéaires positifs 1
Une introduction aux systèmes linéaires positifs
C.Commault
Laboratoire d’Automatique de GrenobleFRANCE
Systèmes linéaires positifs 2
• C’est quoi ?
• Des exemples
• Des difficultés nouvelles
• Caractérisation
• Les points de vue état et entrée-sortie
• L’atteignabilité
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• Un système qui à une entrée positive associe une sortie positive
• Une représentation d’état avec les mêmes conditions + état positif si état initial positif
Systèmes linéaires positifs 4
• Des systèmes à variables physiques positives par nature (niveaux, débits, concentrations, …). Exemple : problèmes de bacs.
• Modèles à compartiments : applications en médecine, cinétique chimique, …
• Modèles économiques (Leontieff, …)
• Modèles de dynamiques de population.
• …..
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y2
u2
u2
x3x2
x1
Variables naturellement positives
y1
Systèmes linéaires positifs 6
x1 x2
x3x4
0)()(
avec
)()()()(
1
1
n
ijj
iijiii
i
n
ijj
jjiiiii
xfxf
tuxfxftx
xi = quantité de produitdans le compartiment i
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i
ij
ttt
ii
ji
n
ijj
jjiiiii
état l' entre sortie de taux :
état l'et état l' entren transitiode taux :
avec
)()()(1
i = probabilité que le système soit dans l’état i
12
4 5
6
3
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)()(
))()(()( devoisin
tLxtx
txtxtx iij
ji
xi = valeur de la variable au noeud i12
4 5
6
3
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)()()1(
dynamique systèmedu stableet 0 équilibred'position marchédu Equilibre
1
kbukAxkx
bAxx
bxax ij
n
jiji
xi = quantité fabriquée d’un produit i
bi = consommation du produit i
aij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i
A et b positives
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• Commandabilité = rang [B, AB, …, An-1B] = n• Commandable → stabilisable• Fonction de transfert avec dénominateur de degré n → réalisation d’ordre n• En multivariable idem avec degré de McMillan• Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, …• Résultats très similaires en continu et en discret• Vérification de propriétés par des méthodes d’algèbre linéaire (Matlab)
Plus rien ne marche avec les systèmes positifs !
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0)0(
)(1
1)(
00
10)1(
x
kukxkx
01
11RSystème à comportement positif, atteignable car
Etats atteignables au pas 2
)0(
)1(
u
uRx
1
1x1
x2
A partir du pas 3 : 0
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0)0(
)(1
1)(
10
11)1(
x
kukxkx
11
21R
)0(
:
)1(
1...1
....1)(
u
kuk
kx
Système à comportement positif, atteignable car
Etats atteignables au pas k
1
1x1
x2
2
1
0
Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1
Systèmes linéaires positifs 13
Stabilisation par retour d’état
f
kxfkx
fkfxku
kukxkx
instable
)()2()1(
0 avec ,)()(
)()(2)1(
Pour la stabilisation et la rapidité,
Le mieux est de ne rien faire !
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Cas discret
0)0(
)()(
)()()1(
xx
kCxky
kBukAxkx
0(i)et 0(i) i 0(i) ,0 0 yxux
Condition nécessaire et suffisante
,0 ,0 ,0 CBA
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Cas continu
0)0(
)()(
)()()(
xx
tCxty
tButAxtx
0(t)et 0(t) 0(t) ,0 0 yxtux
Condition nécessaire et suffisante
jia
CB
ij
0
0 ,0
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0pour invariant êtredoit uR n
frontière étatsaux
de intérieur"l' rspointer ve"doit nRx
x3
x2
x1
En fait condition équivalente à :
0Ate
x
Systèmes linéaires positifs 17
Définition :
Pour toute entrée ≥ 0, sortie ≥ 0
Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret)
Réponse impulsionnelle ≥ 0
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Positif état Positif entrée-sortie
Pas gagné
Il existe une réalisation positive Positif entrée-sortie
Par définition
Condition nécessaire et suffisante (en continu) [O’Cinneide, Farina]
• La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0• Le pôle dominant est unique et réel
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Problème encore très largement ouvert
Avis aux amateurs !
Référence avec des tas d’exemples :
A tutorial on the positive realization problemL. Benvenutti, L. Farina
IEEE TAC, 04
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1) Les valeurs propres d’une matrice « positive » d’ordre n ne peuvent pas être n’importe où
2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant
Exemple : ordre 3Re
Im
Constat affligeant :
On ne sait même pas résoudre complètement à l’ordre 3 !
Valeur propre dominante
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0 entrée une avec esatteignabl états des ensemble : R
Propriétés :
convexeest 10 )1(, )4
côneun est 0 )3
)Im(,...,,Im )2
)1
2121
1
RRxxRxx
RRxRx
RBAABBR
RRn
n
De plus :Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n.
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• Egal à R+n : système positivement atteignable
• Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs• A fermeture polyédrale : voir exemple• En « cornet de glace »
x3
x2
x1
Systèmes linéaires positifs 23
Propriété (Fanti et al, 90) :Si le système est positivement atteignable alors il est positivement atteignable en n pas.
)0(
:
)2(
)1(
],...,,[
direàestc'
que telles0)1(),...,0 ,
1
u
nu
nu
BAABBx
x x(n)nuu(Rx
n
n
Systèmes linéaires positifs 24
Définitions :• vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles.• matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales et indépendantes
Propriétés :• une matrice monomiale M s’écrit M = D.P, où P est une matrice de permutation et D une matrice diagonale strictement positive.• les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse positive.
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Observation :Il faut et il suffit qu’on trouve une solution pour les vecteurs de base.
)0(
:
)2(
)1(
],...,,[ 1
u
nu
nu
BAABBx n
On peut extraire de R une sous-matrice monomiale.
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R est une matrice monomiale.
0
0
0
0
jbb
monomiale de colonne avec
0
0
0
0
monomial
:
: ème
2
1
Ajji
ba
Ab
a
a
a
bAbjij
nj
j
j
j
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Après mise en ordre des états
positifs.t strictemen nombres dessont lesoù ,
0
:
0 ,
...0
:...0
...0
...00
x
x
B
xx
x
xx
x
A
ux1
x2xnxn-1
Observation 1:Il y peu de chances que ça arrive !
Observation 2:Propriété structurelle !
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u
x
Buisson mort Tiges simples
Tiges avec bouton
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klxuk
xukibA
lj
ijjk
pour à de 1longueur dechemin de pas
et à de 1longueur dechemin un monomial-est
La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état.
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• Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, 2000.• Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J.A. Jacquez, Univ. Mich., 1985.• Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome), 2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer.
• Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems,Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont., 1984.• Characterization of phase-type distributions C.A. O’Cinneide, Stochastic Models, 1990.
• On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems, C. Commault, M. Alamir, SCL 2007.• Phase-type distributions and representations: some open problems for system theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003.
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Un domaine de recherche avec de nombreux domaines d’application,parfois exotiques. Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …)
Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt !
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