5/12/2011
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Hydraulique souterraineThé i dé l t é i t li tiThéorie, développements numériques et applications
Cours de « Compléments d’Hydraulique »
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
Cours de « Compléments d Hydraulique »
3ème Bac Architectes & Constructions
IntroductionD i ti d hé èDescription du phénomène…
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Origine des eaux souterraines
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Application en GC : infiltration dans et sous les structures
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• L'eau de la nappe
• L'eau capillaire l f d
Les eaux souterraines
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retenue par les forces de capillarité dans les interstices entre les particules du sol
• L'eau hygroscopiquefixée par absorption à la surface des particules du sol
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fixée par absorption à la surface des particules du sol
• L'eau d'infiltration qui descend sous l'influence de la pesanteur de la surface du sol vers la nappe
Ecoulement dans les milieux poreuxE ti d b dé l tEquations de base, développements, …
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• MoteurGravité
L’eau s’écoule dans les vides du sol => Taille des vides??
Observations et hypothèses
• Différentes échelles d’écoulement– Vision macroscopique ‐ sol « homogène » idem écoulement en rivière ou conduites
– Vision mésoscopique – sol non homogène, particules
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Vision mésoscopique sol non homogène, particulesEcoulement fonction de…
– Porosité du sol– Taille des grains– Taille des vides
• Hypothèses– Milieu filtrant homogène et isotrope dans son ensemble
Observations et hypothèses
– Phase liquide homogène et isotrope– Milieu filtrant stable dans le temps (pas de dissolution ou d’entrainement de particules)
– Régime d’écoulement laminaire
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Ces hypothèses générales conduisent à unsystème simplifié, d’usage commode etrépandu
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• Forces… Sollicitations élémentaires des particules d’un sol meuble
Equilibre des forces sur une particule de sol
1 2
Terres sèches Terres submergées
Hydrostatique Hydrodynamique
2.1 2.2
2 2 1 2 2 2
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Volume d’eau
Volume deParticules solides
2.2.1 2.2.2
• 1. Terres sèches (ou normalement humides)Un volume dV de sol est soumis à son poids vertical P tel que
Equilibre des forces sur une particule de sol
1P dV e
• est la porosité en volume• s le poids spécifique absolu
Dans un massif en équilibre, cette force P verticale é ilib é f i l
1 s zP dV e P
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est exactement équilibrée par une force verticale Q = ‐P résultant des réactions du massif sur le volume dV
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• 2. Terres submergées– 1. HydrostatiqueUn volume de sol dV est soumis à son poids vertical
Equilibre des forces sur une particule de sol
P
S
P et à la pression hydrostatique S (Poussée d’Archimède)
1
1s z
w z
P dV e
S dV e
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• w est le poids spécifique du liquide
• 2. Terres submergées– 1. HydrostatiqueUn volume de sol dV est soumis à son poids vertical
Equilibre des forces sur une particule de sol
P
S
P et à la pression hydrostatique S (Poussée d’Archimède)
1 1s w z s w w z
R P SdV e dV e
dV
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• m est le poids spécifique des terres mouillées
m w zdV e
m w zR dV e
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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauLe volume d’eau dV est celui contenu dans le volume de sol dV
Equilibre des forces sur une particule de sol
volume de sol dV
Hypothèse : écoulement stationnaire
les termes d'accélération sont nuls
Les termes convectifs sont négligeables (vitesses
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faibles, en hypothèse laminaire)
Les forces qui agissent sur la particule d'eau doivent être en équilibre
• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauSelon la direction d’écoulement, les 3 forces sont:
Equilibre des forces sur une particule de sol
• Le poids
• La pression (milieu homogène et isotrope)a w zI dV e
aII dVgrad p
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• Les efforts tangentiels (mouvement laminaire)
Avec choisie comme vitesse homogène sur dV
waIII K U dV Uk
U
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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauL’équilibre de ces forces donne:
Equilibre des forces sur une particule de sol
0a a aI II III
0ww zdV e dVgrad p dV Uk
0wwdV grad z dVgrad p dV Uk
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w
I
pU k grad z
Loi de DARCY
• Expérience de Darcy (définition physique de U et k)
Loi de Darcy
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• Vitesse apparente de filtration
Loi de Darcy
w
pU k grad z
QU k I
• Vitesse réelle de filtration
• Vitesse de filtration de Darcy
'U
US
avec S le rapport de la section réelle
à la section totale apparente
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Vitesse de filtration de Darcy
k Soit le coefficient de perméabilité de Darcy [m/s]
Loi de Darcy
w
I
pU k grad z
• Equation « de quantité de mouvement » pour les écoulements stationnaires dans les milieux poreux saturés
'U d
k: coefficient de perméabilité de Darcy [m/s]
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• Limitations:
• = vitesse réelle du fluide• d = taille des pores
Re 1U d
v
'U
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• Variation de k– Température– Caractéristiques granulométriques du sol
Loi de Darcy
• Mesure de k– In situ (attention à l’hétérogénéité et à l’anisotropie d’un terrain naturel)
• Par essai de pompage• Par injection
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j
– En laboratoire (attention à la prise d’échantillon de sol: représentativité)
• Méthodes directes: perméamétries• Méthodes indirectes: mesures du φ des grains,…
• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 2. Volume de particules solidesLe volume de sol contenu dans dV est (1‐ν)dV
Equilibre des forces sur une particule de sol
Les 3 forces sont:• Le poids
• La pression
1b s zI dV e
1
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• Les efforts tangentiels (mouvement laminaire)
11b aII dV grad p II
wb w aIII dV U dV I IIIk
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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 2. Volume de particules solidesL’équilibre de ces forces donne:
Equilibre des forces sur une particule de sol
1 1s z wR dV e dV grad p dV I
1 1 1 1
1 1
1
s z w w z w z
s w z w ww
R dV e dV grad p dV I dV e dV e
pR dV e dV grad z dV I
R dV e dV I dV I
1
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1m w z w wR dV e dV I dV I
m w z wR dV e dV I
Tout se passe comme si la pesanteur était déviée…
• Forces… Sollicitations élémentaires des particules d’un sol meubleEquilibre des forces sur une particule de sol
Terres sèches Terres submergées 1 s zP dV e
Hydrostatique Hydrodynamique
Volume d’
Volume deParticules
m w zR dV e
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d’eau solidesU kI
m w z wR dV e dV I
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Sur un volume de particules solides, on a
qui dépend du sens local du courant…
d d
Concept du gradient critique
m w z wR dV e dV I
• Courant descendant:
L’effet du courant est dès lors stabilisant…
• Courant ascendant:
L’effet du courant est dès lors déstabilisant…
m w w z zR dV i e
m w w z zR dV i e
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On voit que la résultante des forces s’annule pour une valeur de I qui est appelé le gradient critique. Si I > Icr, il y aura affouillement
,
1 s wm wcr z
w w
I
Dans un terrain gorgé d'eau, en un point donné d'un massif filtrant, la vitesse est proportionnelle à la "pente" de la ligne piézométrique en ce point
Théorie élémentaire de Dupuit
w w w
k p k p pu v w k zx y z
, ,w
pz f x y z
U k
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… avec un potentiel physiquement mesurable (la hauteur piézométrique!)
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Théorie élémentaire de Dupuit
? Relation existant entre la forme de la nappe, le débit Q et les caractéristiques du
Hypothèses:– Régime d'écoulement permanent– Terrain homogène, isotrope et perméable en petit
sol?
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– Dans une section verticale de la nappe de trace MN, toutes les vitesses sont parallèles entre elles
Théorie élémentaire de Dupuit
? Relation existant entre la forme de la nappe, le débit Q et les caractéristiques du
Si les vitesses sont parallèles entre elles, avec une surface libre Z(x) en bidimensionnel :
sol?
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Zu kx
0 ww
pw k z p Z zz
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• Les nappes cylindriquesNappe dont les filets liquides coulent par tranches verticales parallèles et identiques (2D)
Théorie élémentaire de Dupuit ‐ Application
dZdZu ktg kdx
dZq kZ qdx kZdZdx
² ² ²2 2 2
CLZ Z hqx k Cste k
Surface de la nappe parabolique
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Pour 2 tranches verticales (M1N1/M2N2):
Mesure in situ de k
Surface de la nappe parabolique
2 22 1
2 12Z Zkqx x
Théorie élémentaire de Dupuit ‐ Application
• Les nappes cylindriques
Tranchée filtrante Tranchée alimentée par le fond
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Séparation eau douce – eau de mer au littoral Drainage
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• Les nappes à filets convergentsNappe dont la surface de révolution est produite par un puits
Théorie élémentaire de Dupuit ‐ Application
dZdZu ktg kdx
0
² ²2
ln
CL k H hdZQ rZk Rdrr
² ² lnQ RZ H
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lnZ Hk r
22
0 00 0
' ln lnMAXR Rh r r Hr r
2
0
ln
kHQ Rr
(Vilbert)
(Dupuis)
• Les nappes à filets convergents
Théorie élémentaire de Dupuit ‐ Application
Puits à parois imperméables
Puits absorbant
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Puits n’atteignant pas le fond de la nappe
Puits artésien
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Mouvement à potentielE l t t i l i iEcoulement souterrain laminaire
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• Différentielle totale exacte?
Rappel: Equation de la quantité de mouvement
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UP u v wd G dx dy dzt t t
– Cas 1: Alignement du volume selon eX, eY et eZ, pour
2 t t t
u v u w v wvdx udy wdx udz wdy vdzy x z x z yu dx v dy w dz
1
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g X Y Z pun fluide parfait, en stationnaire
– Cas 2: Ecoulement irrotationnel– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel
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• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 2: Ecoulement irrotationnel
Rappel: Equations de Navier‐Stokes
0 0jiuuu v u w v w j iy x z x z y x x
0
0i k kik k k i i k
par continuité
u u uu
x x x x x x
l l
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20
2
UPd Gt
0 ; ;rot U alors existe tel que u v wx y z
• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel
Supposons que le frottement dérive de
Rappel: Equations de Navier‐Stokes
2U
Alors U doit dériver d’un potentiel
2
UdP u v wdG d dx dy dzt t t
u v u w v wvdx udy wdx udz wdy vd
d
zy x z x z y
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p Inconnues p et u d’où liaison à établir entre potentiels par la continuité et la quantité de mouvement
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UdPdG d d dt
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• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel
En écoulement stationnaire, pour une vitesse d’écoulement petite
Rappel: Equations de Navier‐Stokes
petite
Relation entre le frottement, la vitesse et les potentiels
0 0dPdG d et
ii
f ux
i ix x
ii
ux
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Possible pour constant et β = 1=> Relation linéaire entre frottement et vitesse (laminaire)
i i i
0P Pd G G gz K zg
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