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Hydraulique souterraineThé i dé l t é i t li tiThéorie, développements numériques et applications

Cours de « Compléments d’Hydraulique »

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

Cours de « Compléments d Hydraulique »

3ème Bac Architectes & Constructions

IntroductionD i ti d hé èDescription du phénomène…


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Origine des eaux souterraines


Application en GC : infiltration dans et sous les structures


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• L'eau de la nappe

• L'eau capillaire l f d

Les eaux souterraines

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retenue par les forces de capillarité dans les interstices entre les particules du sol

• L'eau hygroscopiquefixée par absorption à la surface des particules du sol

1


fixée par absorption à la surface des particules du sol

• L'eau d'infiltration qui descend sous l'influence de la pesanteur de la surface du sol vers la nappe

Ecoulement dans les milieux poreuxE ti d b dé l tEquations de base, développements, …


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• MoteurGravité

L’eau s’écoule dans les vides du sol => Taille des vides??

Observations et hypothèses

• Différentes échelles d’écoulement– Vision macroscopique ‐ sol « homogène » idem écoulement en rivière ou conduites

– Vision mésoscopique – sol non homogène, particules


Vision mésoscopique sol non homogène, particulesEcoulement fonction de…

– Porosité du sol– Taille des grains– Taille des vides

• Hypothèses– Milieu filtrant homogène et isotrope dans son ensemble

Observations et hypothèses

– Phase liquide homogène et isotrope– Milieu filtrant stable dans le temps (pas de dissolution ou d’entrainement de particules)

– Régime d’écoulement laminaire


Ces hypothèses générales conduisent à unsystème simplifié, d’usage commode etrépandu

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• Forces… Sollicitations élémentaires des particules d’un sol meuble

Equilibre des forces sur une particule de sol

1 2

Terres sèches Terres submergées

Hydrostatique Hydrodynamique

2.1 2.2

2 2 1 2 2 2


Volume d’eau

Volume deParticules solides

2.2.1 2.2.2

• 1. Terres sèches (ou normalement humides)Un volume dV de sol est soumis à son poids vertical P tel que


1P dV e

• est la porosité en volume• s le poids spécifique absolu

Dans un massif en équilibre, cette force P verticale é ilib é f i l

1 s zP dV e P


est exactement équilibrée par une force verticale Q = ‐P résultant des réactions du massif sur le volume dV

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• 2. Terres submergées– 1. HydrostatiqueUn volume de sol dV est soumis à son poids vertical


P

S

P et à la pression hydrostatique S (Poussée d’Archimède)

1

1s z

w z

P dV e

S dV e


• w est le poids spécifique du liquide

• 2. Terres submergées– 1. HydrostatiqueUn volume de sol dV est soumis à son poids vertical


P

S

P et à la pression hydrostatique S (Poussée d’Archimède)

1 1s w z s w w z

R P SdV e dV e

dV


• m est le poids spécifique des terres mouillées

m w zdV e

m w zR dV e

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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauLe volume d’eau dV est celui contenu dans le volume de sol dV


volume de sol dV

Hypothèse : écoulement stationnaire

les termes d'accélération sont nuls

Les termes convectifs sont négligeables (vitesses


faibles, en hypothèse laminaire)

Les forces qui agissent sur la particule d'eau doivent être en équilibre

• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauSelon la direction d’écoulement, les 3 forces sont:


• Le poids

• La pression (milieu homogène et isotrope)a w zI dV e

aII dVgrad p


• Les efforts tangentiels (mouvement laminaire)

Avec choisie comme vitesse homogène sur dV

waIII K U dV Uk

U

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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 1. Volume d’eauL’équilibre de ces forces donne:


0a a aI II III

0ww zdV e dVgrad p dV Uk

0wwdV grad z dVgrad p dV Uk


w

I

pU k grad z

Loi de DARCY

• Expérience de Darcy (définition physique de U et k)

Loi de Darcy


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• Vitesse apparente de filtration

Loi de Darcy

w

pU k grad z

QU k I

• Vitesse réelle de filtration

• Vitesse de filtration de Darcy

'U

US

avec S le rapport de la section réelle

à la section totale apparente


Vitesse de filtration de Darcy

k Soit le coefficient de perméabilité de Darcy [m/s]

Loi de Darcy

w

I

pU k grad z

• Equation « de quantité de mouvement » pour les écoulements stationnaires dans les milieux poreux saturés

'U d

k: coefficient de perméabilité de Darcy [m/s]


• Limitations:

• = vitesse réelle du fluide• d = taille des pores

Re 1U d

v

'U

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• Variation de k– Température– Caractéristiques granulométriques du sol

Loi de Darcy

• Mesure de k– In situ (attention à l’hétérogénéité et à l’anisotropie d’un terrain naturel)

• Par essai de pompage• Par injection


j

– En laboratoire (attention à la prise d’échantillon de sol: représentativité)

• Méthodes directes: perméamétries• Méthodes indirectes: mesures du φ des grains,…

• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 2. Volume de particules solidesLe volume de sol contenu dans dV est (1‐ν)dV


Les 3 forces sont:• Le poids

• La pression

1b s zI dV e

1


• Les efforts tangentiels (mouvement laminaire)

11b aII dV grad p II

wb w aIII dV U dV I IIIk

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• 2. Terres submergées– 2. Hydrodynamique – 2. Volume de particules solidesL’équilibre de ces forces donne:


1 1s z wR dV e dV grad p dV I

1 1 1 1

1 1

1

s z w w z w z

s w z w ww

R dV e dV grad p dV I dV e dV e

pR dV e dV grad z dV I

R dV e dV I dV I

1


1m w z w wR dV e dV I dV I

m w z wR dV e dV I

Tout se passe comme si la pesanteur était déviée…

• Forces… Sollicitations élémentaires des particules d’un sol meubleEquilibre des forces sur une particule de sol

Terres sèches Terres submergées 1 s zP dV e

Hydrostatique Hydrodynamique

Volume d’

Volume deParticules

m w zR dV e


d’eau solidesU kI

m w z wR dV e dV I

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Sur un volume de particules solides, on a

qui dépend du sens local du courant…

d d

Concept du gradient critique

m w z wR dV e dV I

• Courant descendant:

L’effet du courant est dès lors stabilisant…

• Courant ascendant:

L’effet du courant est dès lors déstabilisant…

m w w z zR dV i e

m w w z zR dV i e


On voit que la résultante des forces s’annule pour une valeur de I qui est appelé le gradient critique. Si I > Icr, il y aura affouillement

,

1 s wm wcr z

w w

I

Dans un terrain gorgé d'eau, en un point donné d'un massif filtrant, la vitesse est proportionnelle à la "pente" de la ligne piézométrique en ce point

Théorie élémentaire de Dupuit

w w w

k p k p pu v w k zx y z

, ,w

pz f x y z

U k


… avec un potentiel physiquement mesurable (la hauteur piézométrique!)

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? Relation existant entre la forme de la nappe, le débit Q et les caractéristiques du

Hypothèses:– Régime d'écoulement permanent– Terrain homogène, isotrope et perméable en petit

sol?


– Dans une section verticale de la nappe de trace MN, toutes les vitesses sont parallèles entre elles


? Relation existant entre la forme de la nappe, le débit Q et les caractéristiques du

Si les vitesses sont parallèles entre elles, avec une surface libre Z(x) en bidimensionnel :

sol?


Zu kx

0 ww

pw k z p Z zz

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• Les nappes cylindriquesNappe dont les filets liquides coulent par tranches verticales parallèles et identiques (2D)

Théorie élémentaire de Dupuit ‐ Application

dZdZu ktg kdx

dZq kZ qdx kZdZdx

² ² ²2 2 2

CLZ Z hqx k Cste k

Surface de la nappe parabolique


Pour 2 tranches verticales (M1N1/M2N2):

Mesure in situ de k

Surface de la nappe parabolique

2 22 1

2 12Z Zkqx x


• Les nappes cylindriques

Tranchée filtrante Tranchée alimentée par le fond


Séparation eau douce – eau de mer au littoral Drainage

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• Les nappes à filets convergentsNappe dont la surface de révolution est produite par un puits


dZdZu ktg kdx

0

² ²2

ln

CL k H hdZQ rZk Rdrr

² ² lnQ RZ H


lnZ Hk r

22

0 00 0

' ln lnMAXR Rh r r Hr r

2

0

ln

kHQ Rr

(Vilbert)

(Dupuis)

• Les nappes à filets convergents


Puits à parois imperméables

Puits absorbant


Puits n’atteignant pas le fond de la nappe

Puits artésien

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Mouvement à potentielE l t t i l i iEcoulement souterrain laminaire


• Différentielle totale exacte?

Rappel: Equation de la quantité de mouvement

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UP u v wd G dx dy dzt t t

– Cas 1: Alignement du volume selon eX, eY et eZ, pour

2 t t t

u v u w v wvdx udy wdx udz wdy vdzy x z x z yu dx v dy w dz

1


g X Y Z pun fluide parfait, en stationnaire

– Cas 2: Ecoulement irrotationnel– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel

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• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 2: Ecoulement irrotationnel

Rappel: Equations de Navier‐Stokes

0 0jiuuu v u w v w j iy x z x z y x x

0

0i k kik k k i i k

par continuité

u u uu

x x x x x x

l l


20

2

UPd Gt

0 ; ;rot U alors existe tel que u v wx y z

• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel

Supposons que le frottement dérive de


2U

Alors U doit dériver d’un potentiel

2

UdP u v wdG d dx dy dzt t t

u v u w v wvdx udy wdx udz wdy vd

d

zy x z x z y


p Inconnues p et u d’où liaison à établir entre potentiels par la continuité et la quantité de mouvement

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UdPdG d d dt

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• Quantité de mouvement – Différentielle totale exacte– Cas 3: Ecoulement frottant à potentiel

En écoulement stationnaire, pour une vitesse d’écoulement petite


petite

Relation entre le frottement, la vitesse et les potentiels

0 0dPdG d et

ii

f ux

i ix x

ii

ux


Possible pour constant et β = 1=> Relation linéaire entre frottement et vitesse (laminaire)

i i i

0P Pd G G gz K zg

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