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La statique Est l’étude des forces qui s’exercent sur un objet en équilibre et au repos … ou presque au repos (situation "quasi-statique") !
Ex.: étude des leviers. * Notion de "solide rigide" par rapport à "point matériel" * Notion de "moment des forces" * Notion de "centre de gravité"
3 v7
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Le moment des forces .1
Question: dans quelles conditions un objet se met à tourner autour d'un point ?
F2
F1
fixation (pivot)
Quelle formulation mathématique peut-on utiliser pour décrire cette situation ?
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Le moment des forces .2
F
r
on introduit le "moment" τ de F par rapport au point O: τ est donc lié au produit F r
O
point d'application
L'objet ne tourne pas si F=0 ou r=0
pivot
sens de rotation de l'objet
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Le moment des forces .3
F1 r
O
F2
r
O
F1 aura moins d'effet que F2 => seule la composante de F orthogonale à r, F⊥, met le corps en rotation: F⊥ = F sin( angle entre F et r ) = F sin(φ)
φ2 φ1
Dans le plan:
F r
O φ
F⊥
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Le moment des forces .4
F r
O
θ
τ = F r sin θ
Le moment est maximal quand θ = 90° ( ou 270°)
en conclusion, la formule qui semble convenir est:
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Le moment des forces .5
F r
O
θ
module: τ = F r sin θ τ = r × F proposition:
Dans ce produit vectoriel, la direction de τ représente l'axe selon lequel le corps va tourner, poussé par la force.
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Moment des forces. Exemple 1
Fa Fb
a b
N
N - Fa - Fb = 0 N = Fa + Fb aFa + 0N - bFb = 0 aFa = bFb
P Q R
moment par rapport à Q
recherche de l'équilibre de la balançoire:
1) Somme des forces = 0 2) Somme des moments = 0
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Moment des forces. Exemple 1bis
Fa Fb
a b
N
N - Fa - Fb = 0 N = Fa + Fb 0Fa + aN - (a+b)Fb = 0 aN = (a+b)Fb a(Fa + Fb) = (a+b)Fb => aFa = bFb
P Q R
moment par rapport à P
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Moment de forces. Exemple 2
Biceps Humérus
Radius/Cubitus
E
T
w
poids ~ 2 kg a
b
a ~ 0.05 m b ~ 0.15 m
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Centre de gravité
Le moment produit par le poids d'un objet par rapport à un point quelconque est égal à celui d'un objet de même poids mais concentré dans un point: le Centre de Gravité (CG) de l'objet.
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Centre de gravité, deux corps
a b
wa wb
Centre de gravité: awa = bwb => a/b = wb/wa
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Centre de gravité, plusieurs corps X
0 w1 w2
w3
x1 x2 x3 xCG
Par la définition du CG: x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + ... = xCG(w1 + w2 + w3 + ...) = xCGwtot
wtot
xCG = x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 + ...
wtot =
Σ xi wi
Σ wi
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C.G. de N points matériels
x
y
ri
rCG = Σ miri
Σ mi
mi : masse du point i ri : sa position
mi N
i=1
z
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C.G. d'un corps continu
x
y
r
rCG =
rρdV
ρdV: masse de l'élément de volume dV au point r
dV
z
ρdV
volume
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Couple de forces Deux forces de même grandeur mais de direction opposée sont appliquées a un objet de façon à créer un moment non nul.
z1
z2
F1
F2 F1 = - F2 | F1 | = | F2 | = F
€
τ = τ1 + τ2 = z1F − z2F =
= (z1 − z2)F = −dF
d
x y
dans l'exemple de la figure:
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