UNIVERSIT DE MONTRAL
ESTIMATION DTAT DES RSEAUX LECTRIQUES DE DISTRIBUTION
MAILLS
LON DARIO RAMIREZ
DPARTEMENT DE GNIE LECTRIQUE
COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL
MMOIRE PRSENT EN VUE DE LOBTENTION
DU DIPLME DE MATRISE S SCIENCES APPLIQUES
(GNIE LECTRIQUE)
DCEMBRE 2013
Lon Dario Ramirez, 2013.
UNIVERSIT DE MONTRAL
COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL
Ce mmoire intitul:
ESTIMATION DTAT DES RSEAUX LECTRIQUES DE
DISTRIBUTION MAILLS
prsent par : RAMIREZ Lon Dario
en vue de lobtention du diplme de : Matrise s sciences appliques
a t dment accept par le jury dexamen constitu de :
M. MAHSEREDJIAN Jean, Ph.D., prsident
M. KOCAR Ilhan, Ph.D., membre et directeur de recherche
M. LACROIX Jean-Sbastien, M.Sc.A., membre
iii
DDICACE
ma femme SANDRA MARIA et mes deux filles LAURA CRISTINA et DANIELA
Vous tes mon monde, ma pense et ma vie.
iv
REMERCIEMENTS
Je tiens en tout premier lieu remercier mes parents GUILLERMO LEON et MARIA ELENA,
mon frre JAIME ALBERTO et mes surs ADRIANA MARIA et ANA CAROLINA, pour tous
les sacrifices consentis par tous et chacun pour me permettre datteindre cette tape de ma vie.
Je remercie galement Docteur ILHAN KOCAR, professeur lcole Polytechnique de
Montral, pour mavoir confi ce travail de recherche et mavoir accueilli au sein de son quipe
de recherche et pour les opportunits offertes.
Je tiens remercier tout particulirement et tmoigner toute ma reconnaissance Monsieur
JEAN-SEBASTIEN LACROIX pour son aide et ses prcieux conseils concernant les missions
voques dans ce mmoire, quil ma apport lors des diffrents suivis.
Ces remerciements ne seraient pas complets sans une pense pour mes amis DIEGO, CAMILO,
ASSANE et LAURE qui mauront normment fait rire, mauront soutenu ds le dbut et
mauront aid dans les priodes de doute.
lquipe CYME et tous ceux qui ont contribu de prs ou de loin pour que cette recherche
soit possible, je vous dis merci.
v
RSUM
Ce mmoire prsente un nouvel algorithme qui a pour objectif destimer ltat des rseaux de
distribution maills en utilisant la mthode unifie destimation dtat avec lanalyse-nodale-
modifie-augmente (DSSE-MANA). Lintrt principal de cette mthode est lestimation des
valeurs de la charge en utilisant leur mesure ou estimation de puissance et leur facteur de
puissance de faon indpendante. De plus, cette mthode peut tre applique au calcul de la
rpartition de puissance ou lallocation de charge.
La contribution significative de cette recherche est la dmonstration que la mthode (DSSE-
MANA) peut estimer ltat des rseaux de distribution maills. De plus, ce document prsente
lintgration des quations du facteur de puissance, ce qui permet dintroduire des informations
additionnelles de la charge ou des lments de mesure du facteur de puissance. On propose aussi
une amlioration de la stabilit de la mthode en incluant des mesures virtuelles de faible
prcision lorsque les rseaux ne sont pas 100% observables.
Les modles et les algorithmes ont t valids en utilisant la rpartition de puissance (entre : la
puissance des charges, sorties : les valeurs de tension et de courant) comme le processus inverse
de lestimation dtat (entre : mesures de tension et de courant, sortie : estimation de la charge).
Les rsultats dmontrent une bonne prcision numrique du modle et une robustesse de
lalgorithme. La performance de la rsolution et la mesure de lobservabilit du rseau demeurent
cependant une recherche importante poursuivre.
vi
ABSTRACT
This dissertation presents a new algorithm for the state estimation of meshed distribution
networks using the unified approach of Distribution-System-State-Estimation with Modified-
Augmented-Nodal-Analysis (DSSE-MANA). The main focus of this method is to estimate the
load values, using the power and the power factor measurements separately. However, the
proposed method is also applicable to the approaches of Load Flow and Load Allocation.
The main contribution of this research is the demonstration that the method (DSSE-MANA) can
estimate the state of meshed distribution networks. It also presents the integration of the power
factor equations, which allows using additional information of the load or of the power factor
measurement. It presents as well a stability improvement of the unified state estimation approach
including virtual measurement of low precision when the networks arent 100% observable.
The models and algorithms are validated using the Load Flow (input: load power, output: current
and voltage values) as the reverse process of state estimation (input: current and voltage
measures, output: load power estimation). The tests cases have shown good numerical accuracy
and robustness. The performance and the observability measure remain issues for further
researches.
vii
TABLE DES MATIRES
DDICACE ............................................................................................................................. III
REMERCIEMENTS ................................................................................................................ IV
RSUM .................................................................................................................................. V
ABSTRACT ............................................................................................................................. VI
TABLE DES MATIRES ....................................................................................................... VII
LISTE DES TABLEAUX ......................................................................................................... X
LISTE DES FIGURES ............................................................................................................. XI
LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS ............................................................................ XII
INTRODUCTION ...................................................................................................................... 1
1.1 Description du phnomne tudi et son contexte ......................................................... 1
1.2 Problmatique .............................................................................................................. 2
1.3 Question de recherche .................................................................................................. 3
1.4 Objectif gnral ............................................................................................................ 3
1.5 Aperu du rapport ........................................................................................................ 3
1.6 Contributions ............................................................................................................... 3
CHAPITRE 2 REVUE DE LITTRATURE .......................................................................... 5
2.1 Rpartition de puissance ............................................................................................... 5
2.1.1 Analyse: Backward Forward Sweep (BFS) ............................................................... 6
2.1.2 Analyse : MANA ..................................................................................................... 7
2.1.3 Mthode Newton-Raphson ..................................................................................... 12
2.2 Estimation dtat ........................................................................................................ 16
2.2.1 Model de mesures et de pseudo-mesures ................................................................ 16
2.2.2 Fonction objective .................................................................................................. 17
viii
2.2.3 Formulation de Hachtel .......................................................................................... 17
2.2.4 Estimation dtat avec les matrices augmentes (DSSE-MANA) ............................ 18
2.3 Calcul des drives partielles du facteur de puissance ................................................. 24
CHAPITRE 3 IMPLMENTATION DE LA MTHODE (DSSE-MANA) .......................... 26
3.1 Introduction ............................................................................................................... 26
3.1.1 Objectifs................................................................................................................. 26
3.1.2 Hypothses scientifiques ........................................................................................ 26
3.2 Activits et mthodologie ........................................................................................... 27
3.2.1 Slection des rseaux lectriques ............................................................................ 27
3.2.2 Dveloppement de lalgorithme .............................................................................. 27
3.2.3 Simulation et comparaison des rsultats.................................................................. 27
3.3 Test 1 : stabilit du systme (mesures de courant et mesures de puissance) ................. 28
3.4 Test 2 : prcision des rsultats sans mesures de puissance .......................................... 32
3.5 Test 3 : prcision des rsultats avec mesures de puissance .......................................... 36
3.6 Conclusion ................................................................................................................. 38
CHAPITRE 4 FACTEUR DE PUISSANCE ........................................................................ 39
4.1 Introduction ............................................................................................................... 39
4.1.1 Objectifs................................................................................................................. 39
4.1.2 Hypothses scientifiques ........................................................................................ 39
4.2 Activits et mthodologie ........................................................................................... 39
4.2.1 Modification lalgorithme .................................................................................... 39
4.2.2 Simulation et comparaison des rsultats.................................................................. 40
4.3 Test 4 : estimation de la charge avant et aprs lintgration du facteur de puissance ... 40
CHAPITRE 5 OBSERVABILIT ET STABILIT .............................................................. 45
ix
5.1 Introduction ............................................................................................................... 45
5.1.1 Objectif .................................................................................................................. 45
5.1.2 Hypothses scientifiques ........................................................................................ 45
5.2 Activits et mthodologie ........................................................................................... 46
5.2.1 valuation de la stabilit du systme ...................................................................... 46
5.2.2 valuation de la stabilit du systme avec les mesures virtuelles ............................ 46
5.3 Test 5 : stabilit du systme lorsque lobservabilit du rseau diminue ....................... 46
5.4 Test 6 : stabilit du systme avec mesures virtuelles ................................................... 48
5.5 Test 7 stabilit du systme avec mesures virtuelles ..................................................... 49
CONCLUSION ........................................................................................................................ 51
RFERENCES ......................................................................................................................... 53
x
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 3.1 : Analyse des mesures ............................................................................................ 30
Tableau 3.2 : Estimation des charges ......................................................................................... 31
Tableau 3.3 : Pire cas de lestimation des charges du test 2 ........................................................ 35
Tableau 3.4 : Pire cas de lestimation des charges du test 3 ........................................................ 38
Tableau 4.1 : Charges originales du test 4. ................................................................................. 40
Tableau 4.2 : Charges modifies (perturbation contrle) du test 4. ........................................... 40
Tableau 4.3 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 sans facteur de puissance .................. 41
Tableau 4.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 avec facteur de puissance ................. 41
Tableau 5.1 : Erreur de lestimation de puissance fournisse par les sources, test 5 ...................... 47
Tableau 5.2 : Erreur de lestimation de la charge du test 5 ......................................................... 47
Tableau 5.3 : Erreur de lestimation de puissance fournisse par les sources, test 6 ...................... 49
Tableau 5.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 6 ......................................................... 49
Tableau 5.5 : Erreur de lestimation de puissance du test 7. ....................................................... 50
xi
LISTE DES FIGURES
Figure 2.1 : Circuit unifilaire ....................................................................................................... 6
Figure 2.2 : Reprsentation dun transformateur par sources dpendantes. ................................. 10
Figure 3.1: Rseau du test 1 ....................................................................................................... 28
Figure 3.2 : Fonction objective du test 1 .................................................................................... 29
Figure 3.3 : Delta des variables dtat du test 1 .......................................................................... 29
Figure 3.4 : Fonction objective en utilisant des mesures de puissance. ....................................... 31
Figure 3.5 : Rseau du test 2 ...................................................................................................... 32
Figure 3.6 : Matrice Jacobienne du test 1 ................................................................................... 33
Figure 3.7 : Matrice Jacobienne du test 2 ................................................................................... 33
Figure 3.8 : Fonction objective du test 2 .................................................................................... 34
Figure 3.9 : Delta des variables dtat du test 2 .......................................................................... 35
Figure 3.10 : Fonction objective du test 3 .................................................................................. 36
Figure 3.11 : Delta des variables dtat du test 3 ........................................................................ 37
Figure 4.1 : Fonction objective avant lutilisation du facteur de puissance (Test4) ..................... 42
Figure 4.2 : Fonction objective aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)...................... 43
Figure 4.3 : Delta des variables dtat avant lutilisation du facteur de puissance (Test4) ........... 43
Figure 4.4 : Delta des variables dtat aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4) ........... 44
Figure 5.1 : Identification des charges par ordre derreur accumul du Tableau 5.2 .................... 48
Figure 5.2 : Fonction objective lorsque le 89% des lments de mesure sont remplacs par des
lments virtuels. ............................................................................................................... 50
xii
LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS
BFS Backward Forward Sweep
DSSE Distribution System State Estimator
IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineers
LTC Load Tap Changer
MANA Modified-Augmented-Nodal Analysis
MNA Modified-Nodal Analysis
PF Power Factor
SHGM Schweppe Huber Generalised Method
WLAV Weighted Least Absolute Value
WLS Weighted Least-Squares
Caractre gras Matrices ou vecteurs.
,V V Valeur/vecteur complexe1
, RVRV Valeur/vecteur relle
, XVXV Valeur/vecteur imaginaire
,V V Magnitude/vecteur des magnitudes2.
( , )V x y Valeur de la matrice ou du vecteur la position x, y
( ) :kX o k Position de X dans un vecteur, le k-ime nud dans un circuit ou le k-
ime lment ou appareil
1 La reprsentation en coordonns polaires ou rectangulaires peut tre utilise indistinctement.
2 Veuillez ne pas le confondre avec le dterminant de la matrice det V .
xiii
,
kX
kX Valeur qua prise ou XX la k-ime itration
1
CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 Description du phnomne tudi et son contexte
Actuellement, la plupart des systmes qui amliorent la qualit de vie au quotidien et qui
augmentent lefficacit dans le travail sont bass sur lutilisation de lnergie lectrique. cause
de cette dpendance, le systme lectrique doit fournir au consommateur un flux dnergie
continu, adquat et suffisant. Cette capacit est appele fiabilit du rseau [1]. Dans les
centres urbains une trs haute fiabilit est requise, cause des processus qui ne peuvent pas tre
interrompus. Par exemple, on peut noter les services de sant et de communications. Dans le but
daugmenter la fiabilit, les rseaux de distribution sont amliors en ajoutant rgulirement des
nouveaux appareils et des nouvelles interconnexions. En consquence, les rseaux deviennent de
plus en plus complexes et difficiles grer.
Dans ce contexte, les ingnieurs qui ralisent les activits de conception, de planification,
dopration et dexpansion des systmes de distribution dnergie se servent toujours plus des
outils informatiques pour connaitre en dtail le comportement des rseaux modernes. Grce aux
modles numriques des rseaux lectriques et aux logiciels spcialiss dans ce domaine, il est
possible de connaitre ltat des rseaux sous conditions relles ou sous conditions hypothtiques.
Ltude des rseaux sous conditions hypothtiques, est base sur un modle du rseau analyser
dont les caractristiques sont modifiables au besoin, afin de tester les modifications du rseau en
toute scurit. Cette tude, appele rpartition de puissance, nest pas le cur de ce projet mais
elle fait partie de la base. Cest pourquoi elle est analyse en profondeur.
Ltude de ltat des rseaux sous conditions relles utilise aussi un modle du rseau, en plus de
linformation capte du rseau en temps rel ou en temps diffr. Le but de lanalyse est de
calculer les variables dtat.Par exemple, on doit calculer les tensions aux nuds du rseau ou les
courants qui circulent travers les sections du rseau. Puisquil ny a pas assez dappareillages de
mesure installs pour recueillir toute linformation, il faut utiliser une mthode mathmatique
appele Estimation dtat . Cette mthode, base sur linformation disponible, trouve la valeur
la plus probable des variables sur lesquelles on dispose des informations redondantes et elle
estime les variables sur lesquelles on na pas assez dinformation [2].
2
1.2 Problmatique
La thorie destimation dtat a t dveloppe initialement pour les rseaux de transport, qui
sont gnralement maills (Figure 1.1) et balancs. Ensuite, elle a t dveloppe pour les
rseaux de distribution, qui sont gnralement radiaux ou arborescentes (Figure 1.1) et
dbalancs. En consquence, les mthodes destimation dtat les plus developpes et les plus
robustes ont t conues pour ces types de rseaux [3-5].
Figure 1.1 : Topologie des rseaux lectriques.
Cependant, quelques centres urbains, o la densit de population est assez leve, utilisent des
rseaux dbalancs et fortement maills pour rpondre la demande croissante de fiabilit du
systme de distribution. Par exemple, au centre-ville de New York, un rseau complexe basse
tension est utilis [6]. Linconvenient est que les mthodes implementes dans les logiciels
commerciaux ne supportent pas toujours les rseaux maills dbalancs, sujet qui se trouve en
plein developpement. Cependant, il y a une mthode destimation dtat de type matriciel (DSSE-
MANA) qui pourrait permettre le calcul des variables dtat des rseaux fortement maills, grce
au traitement simultan des quations [7].
3
1.3 Question de recherche
La mthode DSSE-MANA peut-elle tre applique aux modles des rseaux de distribution
fortement maills, avec une prcision de calcul suprieure 95%?
1.4 Objectif gnral
Ce projet vise implementer lestimation dtat DSSE-MANA pour la solution dun rseau de
distribution maill, tel que les rseaux urbains.
Justification de loriginalit : La mthode DSSE-MANA est une thorie trs rcente et elle na
pas t teste avec des rseaux maills.
1.5 Aperu du rapport
Le chapitre un prsente une brve description de lestimation dtat et sa problmatique par
rapport aux structures mailles.
Le chapitre deux prsente la revue de la littrature pour les mthodes de la rpartition de
puissance, de lestimation dtat et finalement, de son unification.
Le chapitre trois se concentre sur limplmentation de la mthode DSSE-MANA dans un rseau
maill et value sa stabilit et sa prcision.
Le chapitre quatre prsente les quations du facteur de puissance dans la mthode DSSE-MANA
afin dvaluer son impact sur la prcision de lapproche.
Le chapitre cinq prsente les bnfices des mesures virtuelles de faible prcision dans la stabilit
du systme.
1.6 Contributions
La principale contribution de cette recherche est davoir dmontr que la mthode unifie
destimation dtat avec lanalyse-nodale-modifie-augmente (DSSE-MANA) peut tre utilise
dans les rseaux de distribution maills. Ceci permet de trouver les conditions de sous-
tension/surtension ou de surcharge prsentes au fur et a mesure que linformation des appareils de
mesure est capte (en temps rel ou diffr).
4
Les autres contributions sont :
Lintegration des quations du facteur de puissance pour la mhode DSSE-MANA, ce qui
permet damliorer lestimation de la charge en utilisant de faon independante la
prcision du facteur de puissance et la prcision de la puissance demande. Cela permet
aussi damliorer la stabilit de la mthode DSSE-MANA en prsentant linformation des
mesures de puissance sous forme de magnitude de courant et du facteur de puissance et
avec laide de mesures virtuelles [8].
Lintroduction des mesures virtuelles de faible prcision pour amliorer la stabilit du
systme lorsquil y a des problmes de convergence cause de la faible observabilit.
Lvaluation de lapport de chaque type de mesure la prcision et la stabilit de la
mthode.
Le rsultat final est une mthode plus stable, qui est capable de supporter des rseaux maills
faiblement observables et qui utilise un modle de charge plus prcis.
5
CHAPITRE 2 REVUE DE LITTRATURE
Ce chapitre prsente le dveloppement et les quations de la rpartition de puissance et de
lestimation dtat en soulignant les ressemblances entre les mthodes. Ceci a pour objectif
dintroduire plus facilement au lecteur la mthode unifie DSSE-MANA.
2.1 Rpartition de puissance
Loutil par excellence dans le domaine pour lanalyse des rseaux lectriques en rgime
permanent est la rpartition de puissance. Cette analyse permet de simuler le comportement du
systme sous diffrentes conditions. Par exemple, il est possible danalyser limpact quaurait
linstallation dun nouvel appareil dans un rseau, la modification des paramtres des appareils qui
y sont branchs, ou encore limpact dun changement de la topologie, etc.
En gnral, les variables analyses dans les rseaux de distribution sont les tensions des nuds, les
puissances et/ou les courants qui circulent travers les sections, les puissances et/ou les courants
injects dans les nuds, la position des prises des rgulateurs et des LTC. Ces valeurs sont
appeles variables dtat . Elles permettent didentifier les conditions de surtension, sous-
tension et surcharge au niveau des appareils ainsi quaux points de service.
Les variables dtat sont calcules partir des paramtres du rseau. Ces paramtres peuvent tre
les tensions aux sources, la topologie du rseau et les caractristiques des lments branchs en
srie ou en shunt comme par exemple : limpdance des lignes, le rapport de transformation des
transformateurs et la charge (puissance installe ou valeur estime partir du profil de charge).
En utilisant les quations de Kirchhoff de sommation des courants dans un nud, un systme
dquations du type peut tre formul si les quations sont linaires. Cependant, dans les
rseaux lectriques, il existe des lments dont le modle (ou le comportement) est non linaire, ce
qui empchent le calcul direct des variables dtat. Par exemple, dans le circuit de la Figure 2.1, si
la loi du Kirchhoff est utilise pour calculer la tension aux bornes de la charge, lquation
rsultante est non linaire si la charge est modlise comme une puissance constante (2.1).
6
Figure 2.1 : Circuit unifilaire
, :
, :
:
, :
p
q
N
o oborneso
Np q
borneso
o
o
o
puissances nominales activeet ractive
te
P Q puissances de so
nsion nominal
rtie activeet ractive
P QVP P
V Vo
N
e
facteurs qui dterminencomment les
puissances de so
NV
Q QV r
tievarient selon
la tension du noeud
(2.1)
Si p qN et N sont gaux zro, la charge consomme une puissance constante indpendante de la
tension. Dans ce cas, il faut utiliser des mthodes itratives afin de trouver la valeur des variables
dtat. Par exemple, pour calculer la tension aux bornes de la charge du rseau de la Figure 2.1 on
pourrait utiliser une mthode srie appele Backward Forward Sweep (BFS).
2.1.1 Analyse: Backward Forward Sweep (BFS)
Cette mthode prend une valeur initiale aux bornes de la (des) charge(s) pour calculer le courant
demand (cette valeur est habituellement la tension nominale du rseau). Ensuite, les autres
courants sont calculs vers la source (Forward Sweep). Avec ces courants et la tension la source,
la mthode calcule les tensions en aval jusqu la (les) charge(s) (Backward Sweep). Cet
algorithme est rpt jusqu ce que la variation des tensions entre une itration et la suivante se
trouve dans une plage prdfinie, appele prcision de la convergence. Linformation des
itrations postrieures est considre ngligeable [9].
Afin de faire les calculs du Forward Sweep et du Backward Sweep au long du rseau,
chaque lment branch qui modifie la tension ou le courant doit tre modlis avec des matrices
qui calculent la variation de la tension ou le courant entre deux nuds cause de ces lments.
7
Cette mthode est fiable et trs rpandue dans les calculs approximatifs de variables dtat des
rseaux radiaux ou faiblement maills. Par contre, pour les rseaux maills le parcours Forward
& Backward nest pas aussi vident. Dans ce cas, une solution matricielle est prfrable. Par
exemple lanalyse MANA.
2.1.2 Analyse : MANA
Les analyses de type nodal ont pour but de reprsenter les rseaux lectriques comme un systme
matriciel afin de calculer simultanment les variables dtat. Lanalyse nodale modifie
augmente (MANA) [10, 11] est un ensemble dquations matricielles du type Ax=b. A et b
contient linformation des paramtres du rseau et x reprsente les variables dtat (des
inconnues). Si la matrice A et le vecteur b sont indpendantes de x les variables dtat peuvent
tre calcules directement (mthode de point fixe) [12].
Lquation (2.2) montre les matrices qui composent le systme Ax=b.
0
0
T T Tn nn c c c
V sc
Dc
Sc z
A x b
V IY V D S
I VV 0 0 0
ID 0 0 0
IS 0 0 S
(2.2)
La premire quation du systme reprsente le bilan des courants des nuds par la loi de
Kirchhoff (2.3) :
T T Tn n c V c D c S nY V V I D I S I I
TransfSources VAdmit ormateurs Interrupteurs Sources Itances
(2.3)
Le premier terme ( n nY V ) correspond aux courants dans les admittances constantes du rseau, le
deuxime terme ( Tc VV I ) aux courants des sources indpendantes de tension, (
T
c DD I ) correspond
aux courants secondaires des lments modliss comme des sources dpendantes de tension et de
courant (transformateurs ou rgulateurs), (T
c SS I ) reprsente les interrupteurs et finalement ( nI ) les
sources indpendantes de courant.
8
2.1.2.1 Admittances constantes du rseau:
En partant de la loi dOhm en termes de ladmittance (2.4) et en utilisant la loi de Kirchhoff de
sommation des courants (2.5) pour tous les nuds du rseau, on peut trouver une quation
matricielle quivalente la loi dOhm (2.6) :
:
:
:
Y g jb
Y admittanceYV I o
g conductance
b susceptance
(2.4)
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0
:
:
: ( ) 0
:
jk
jkn n
jjk j k jk
k k
I courant du nud j vers lenud k
Y admittanceentreles nuds j et k
V Tension au nud jY V V I o
n nombre de nuds du rseau
0 : k Nud derfrence la terre
(2.5)
:
:
:
matrice d admittances
vecteur detensio
vecteur deb
ns d
ila
es nu
n des c
ds
ourants par noeud
o
Tot
T
n
ot
n
Y
VY I 0V
I
(2.6)
La partie gauche de lquation (2.6) est similaire au premier terme de lquation (2.3). Autrement
dit, la matrice nY du systme est analogue la matrice Y , mais le bilan de courant par nud est
zro seulement si la contribution en courant de tous les appareils est considre. tant donn que
la mthode MANA ne modlise pas tous les appareils comme des admittances srie ou mises la
terre, nY ne tient pas compte de tous les appareils du rseau, en consquence n nY V nest pas
forcment 0 .
Afin de respecter la loi de Kirchhoff, les courants des autres appareils sont introduits dans le bilan
laide des autres termes de lquation (2.3). Ces courants sont calculs par les trois dernires
quations du systme.
Dans le but de conserver la linarit du systme (2.2), nY contient seulement les lments du
rseau modliss comme des admittances constantes. Par exemple, les impdances des lignes ou
9
des transformateurs ou les charges du type impdance constante. Les valeurs de la diagonale
principale sont les sommations (par nud) des admittances mises la terre (2.7). Les valeurs hors
de la diagonale sont la valeur des admittances en srie fois -1 (2.8). Les quations suivantes
montrent comment placer les impdances relies aux nuds arbitraires j et k.
( )( , )nY shunt kYk k (2.7)
( )( , ) ( , )n nY Y srie jkj k k j Y (2.8)
Pour un rseau de nuds, la dimension de nY est x et la dimension de nV est x 1
2.1.2.2 Les sources de tension indpendantes
tant donn quil y a des lments dans les rseaux dont le modle est complexe crire en termes
des admittances, lanalyse nodale modifie (MNA) [13, 14] propose dintroduire lquation (2.9)
au systme. Cette quation montre les tensions des sources ( sV ) en termes des tensions des nuds
( nV ), en utilisant une matrice creuse adjointe ( cV ).
:
:
Matriceadjointeo
Vecteur delatensionnominal des sources
c
c n s
s
VV V V
V (2.9)
Dans un cas arbitraire, si la source monophase idale p a une tension nominale ( )source pV , donc :
( )( ,1)s V source pp V (2.10)
Si la source est branche entre les nuds j et k, la tension entre ces nuds est gale la tension de
la source, en consquence ( ,1) ( ,1) ( ,1)n n sV V V k j p . Cette quation peut tre crite sous la
forme matricielle (2.9) laide dune matrice creuse ( cV ) qui relie les sources aux nuds o elles
sont branches. Par exemple pour la source p, les valeurs de cV doivent tre :
( , )
( , )
1
1
c
c
V
V
p k
p j (2.11)
10
Afin dajouter la contribution de courant des sources de tension la sommation des courants
injects par nud, lquation (2.3) utilise la transpose de la matrice adjointe cV multiplie par le
vecteur de courant des sources de tension VI . La fonction de T
cV est de placer les courants au
bilan du nud respectif.
Pour un rseau de nuds et de s sources de tension, la dimension de cV est s x et la dimension
de VI est s x 1
2.1.2.3 Les sources dpendantes de tension et de courant
Lanalyse nodale modifie augmente (MANA) propose dinclure des matrices additionnelles
pour modaliser dautre type dlments. Par exemple un transformateur idale peut tre modlis
comme un ensemble de sources dpendantes [12].
Figure 2.2 : Reprsentation dun transformateur par sources dpendantes.
Soit t le rapport de transformation du transformateur de la Figure 2.2, lquation en termes de
tension des nuds (variables dtat) est :
1 2 1 2 0k k j jV V tV tV (2.12)
Sa forme matricielle est:
: o Matricedes rapports detransformationc n cD0D V (2.13)
La matrice creuse cD a une fonction similaire celle de cV , elle relie les tension primaires et
secondaires du transformateur. De plus, elle porte linformation du rapport de transformation. Par
11
exemple si un transformateur est branch aux nuds j1, j2, k1 et k2 (Figure 2.2) les valeurs de cD
(dduites de lquation (2.12)) sont :
( , 1)
( , 2)
( , 1)
(
1
, 2)
1c
c
c
c
D
D
D
D
p k
p k
p
p j
tj
t
(2.14)
Afin dajouter le vecteur de courant secondaire des transformateurs DI au bilan des courants
(quation (2.3)), il faut utiliser la matrice des rapports de transformation cD transpose.
Si le rseau a nuds et t transformateurs, la dimension de cD est s x et la dimension de DI est
s x 1.
2.1.2.4 Interrupteurs
Les interrupteurs ont deux tats possibles : ferms ou ouverts. Si par exemple un interrupteur p ,
qui se trouve entre les nuds j et k , est ferm, la tension entre les nuds est gale, en
consquence:
0j kV V (2.15)
Lquation (2.16) montre cette relation sous la forme matricielle en utilisant la matrice adjointe cS
avec linformation de la position des interrupteurs ferms :
: o Matriceadjointelatensionc n cS V 0 S (2.16)
( , )
( , )
1
1
c
c
S
S
p j
p k (2.17)
De faon analogue TcV , la transpose de cS est utilise dans lquation (2.3) pour placer les
courants au bilan du nud respectif.
Si linterrupteur p se trouve ouvert, les tensions des nuds j et k sont diffrentes j kV V , dautre
ct le courant qui traverse linterrupteur est nulle 0j kI . Lquation (2.16) doit tre donc
12
modifie pour modliser les interrupteurs ouverts et ferms en ajoutant le vecteur des courants des
interrupteurs SI avec sa respective matrice adjointe :
: o Matriceadjointeaucourant c n z S zS V S I 0 S (2.18)
Par exemple, si linterrupteur p, qui se trouve entre les nuds j et k, est ferm:
( , )
( , )
( , )
0
0
1
c
c
z
S
S
S
p j
p k
p p
(2.19)
Pour un rseau de nuds et s interrupteurs, la dimension de cS est s x , la dimension de zS est
s x s et la dimension de SI est s x 1.
2.1.2.5 Sources de courant
Dans le cas des sources de courant, le vecteur nI a linformation apporter au bilan des courants.
Au contraire des autres vecteurs de courant, nI nest pas multipli par une matrice adjointe, donc
les donnes doivent tre placs directement au nud respectif. La dimension de nI est donc x 1
2.1.3 Mthode Newton-Raphson
Dans le bilan de courants (2.3), les contributions des charges puissance constante (comme celle
du circuit unifilaire de la Figure 2.1) et des sources puissance constante peuvent tre inclues avec
laide du vecteur LGI et de la matrice adjacente IA comme suit :
:
:
Matriceadjacenteo
Vecteur descourants injects auxchargesou des gnratrices
T T T
n n c V c D c S I LG n
I
LG
Y V V I D I S I A I I
A
I
(2.20)
Comme les courants injects aux charges et des gnratrices ( I LG ) sont des variables dtat, on
vient daugmenter la quantit des inconnues. Afin davoir un systme avec une solution unique, il
faut augmenter la quantit dquations dans la mme mesure. Lquation de puissance (2.21) doit
tre donc ajoute.
13
Cette quation se trouve en fonction de deux variables dtat : la tension au nud et le courant
inject au nud. En consquence, lquation ne peut pas tre ajoute au systme linaire formul
lquation (2.2).
:
:
Tensionau nud
o
conjugede
Vn
LG
*LG,(k) LG,(k) LG,(k) LG
*LG LG
V
V * I = S V
I I
(2.21)
Dans ce cas, il faut reformuler le systme en utilisant une mthode itrative, ce qui permet de
calculer une approximation des variables dtat. Newton-Raphson est possiblement la mthode
itrative la plus utilise pour rsoudre ce type de systmes non-linaires [15] grce sa vitesse de
convergence et sa prcision.
Afin dimplmenter la mthode de Newton-Raphson au systme dquations matricielles (2.2), on
crit les quations du type Ax = b de la forme 0g x (Ax-b = 0). Ensuite, on prend les deux
premiers termes de la srie de Taylor de la fonction g x au point a (2.22). La mthode de
Newton prend a comme la valeur de x de litration actuelle ix et x comme la valeur de
litration suivante 1i
x ce qui donne lquation de Newton (2.23).
' *
01!
g a x ag x g a (2.22)
1 1' * : i i i i ig x g x g x x x o i itration actuelle (2.23)
Sa forme matricielle est:
+1 ( ) ( ) ( )
+1( )
:
+ = :
:= -
g x
g x g x J x 0
x
J
x x
i i i i i
i ii
matricedesquations du systme
o matrice Jacobienne (2.24)
Ensuite, le systme est divis en deux blocs dquations. Le premier est le bloc des contraintes
( ) c x (2.25) qui est compos par les quations : (2.9), (2.13), (2.20) et (2.18). Le deuxime est le
bloc ( ) m x (2.26) qui sera appel ultrieurement le bloc des mesures et des pseudo-mesures (2.35).
14
Celui-ci est compos, pour linstant, par lquation des charges (2.21). LGS est la valeur nominale
de la puissance de la charge ou la valeur mesure si la charge peut tre tlmesure (voir z dans le
modle de mesures et de pseudo-mesures (2.35)).
nT T Tn nn c c c I
V
V sc
D
D c
S
S c z
LG
Vc I 0Y V D S A
Ic V 0V 0 0 0 0
c x Ic 0 0D 0 0 0 0
Ic 0 0S 0 0 S 0
I
(2.25)
LG LG LG LGm x m x V I S 0diag *
(2.26)
Pour calculer les matrices Jacobiennes ( ) C x et ( )M x , il faut driver les quations des blocs ( ) c x et
( ) m x par rapport chacune des variables dtat. ( ) C x donne comme rsultat la mme matrice de
coefficients des quations de ( ) c x :
V D SV I I I I
T T T
n c c c I
c
c
c z
Y V D S A
V 0 0 0 0C x
D 0 0 0 0
S 0 0 S 0
n LG
(2.27)
Par contre, la drive partielle de lquation (2.21) nobit pas aux conditions de Cauchy Riemann
dans le domaine complexe. a veut dire que ( )M x ne peut pas tre crite en termes de nombres
complexes.
Conditions de Cauchy Riemann : La puissance de la charge est reprsente lquation (2.28)
en termes des variables dtat:
R X R X
R R X X
X R R X
S V jV I jI
P V I V I
Q V I V I
(2.28)
Les conditions de Cauchy Riemann par rapport la tension sont vrifies :
15
1
2
R
R X
X
X R
P QI
V V
P QI
V V
(2.29)
Par contre, les conditions ne sont pas vrifies par rapport au courant, cause du conjugu de cette
variable dans le calcul de puissance :
1
2
R R
R X
X X
X R
P QV V
I I
P QV V
I I
(2.30)
En consquence, lquation (2.26) doit tre divise en puissance active et en puissance ractive
(2.31). La Jacobienne de ( ) m x peut tre calcule (2.32) et ajoute au systme (2.34).
= - =+
=-
R,LG R,LG X,LG X,LG LG
LG
LGX,LG R,LG R,LG X,LG
V I V I p xm x m x 0
q xV I V I
diag diag
diag diag
(2.31)
=
= , =
o
R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG
R,LG
V I I I I V I I I I
R,LG R,LG X,LG X,LG
... V ...
R,LG
R,LG X,LG
X,LG
M x C 0 0 0 D C 0 0 0 D
... I ... .C C
... -I
= , =
X,LG
R,LG X,LG
... V ...
X,LG
R,LG
... I ... ... I ...
R,LG X,LG
R,LG X,LG
X,LG R,LG
.. I ...
I
... V ... ... V ...D D
... V V
(2.32)
Il faut sparer aussi la partie relle et la partie imaginaire de la Jacobienne des contraintes C x et
de x comme suit :
,R X RX R X
C -C xC x x =
C C x
(2.33)
Le systme est montr dans lquation (2.34).
16
( )
+1
= -
f xJ
x -xC x x
xM
cx 0
mx
i
i
i i
i
(2.34)
2.2 Estimation dtat
Ltat dun rseau lectrique est dcrit par ses variables dtat. Comme par exemple, la tension
aux nuds du rseau ou les courants qui circulent travers les sections du rseau. Puisquil ny a
pas assez dappareils installs pour mesurer toutes les variables dtat, il faut les calculer avec une
mthode mathmatique appele estimation dtat . Cette mthode, base sur linformation
disponible, trouve le meilleur compromis pour les variables sur lesquelles linformation est
redondante et elle estime les variables sur lesquelles il ny a pas assez dinformations.
Plusieurs formulations destimation dtat, comme par exemple WLAV (Weighted Least Absolute
Value), SHGM (Schweppe Huber Generalised Method) ont t compars avec WLS (Weighted
Least-Squares) en [16] et ce sont les rsultats de lestimation dtat des rseaux de distribution
avec la mthode de WLS qui sont les meilleurs.
2.2.1 Model de mesures et de pseudo-mesures
Tout comme la repartition de puissance, lestimation dtat calcule la valeur des variables dtat x ,
en utilisant un modle du rseau et une estimation de la charge. La diffrence est que lestimation
dtat utilise aussi des lments de mesure afin de connaitre ltat du rseau un moment donn
(au moment o les mesures ont t prises).
Le modle de charge utilis en (2.35) est compos par :
h x - z +r = m x +r = 0 (2.35)
h x : ensemble dquations qui relient les variables dtat et les mesures (valeur attendue de
la mesure).
z : vecteur des valeurs mesures simultanment pour les lments de mesure du rseau plus
les pseudo-mesures.
17
r : diffrence entre les valeurs attendues et les valeurs mesures (correspond au rsidu ou
lerreur).
2.2.2 Fonction objective
En considrant que les rsidus de mesure sont indpendants les uns des autres et quils ont une
distribution normale, la fonction de densit de probabilit de chaque mesure doit tre standardise
afin de comparer les probabilits [2]:
2( )
( ) ( ) ( )2( ) ( )
( ) ( )
1
2
ku
k k k
k k
k k
z h x m xf u e o u
(2.36)
La probabilit doccurrence de lensemble de mesures z est le produit de leur fonction de densit
( des fins pratiques, le logarithme de cette probabilit est utilis) :
2
( )
1 0 0 ( )
1log .
2
l u j
m mj
j j j j
j
m m xf u log f u const
(2.37)
Dans le but de trouver une combinaison des valeurs des variables dtat ( x ) qui se rapproche le
plus possible des mesures, il faut maximiser l ou ce qui est quivalent, il faut minimiser (2.38)
2
( )
0 ( )
mj
j j
m x
(2.38)
La fonction de probabilit minimiser est appele fonction objective [2] qui peut tre crite de
faon matricielle comme :
'
2 2 2
1 2 m
:
= , ,,
T -1
obj
Rf x = -m x R -m x
R
matricedecovariancedel erreuro
diag
(2.39)
2.2.3 Formulation de Hachtel
La fonction objective objf x est sujette des contraintes du type c x = 0 e.g. (2.25) et des
mesures ou des pseudo-mesures du type r + m x = 0 e.g. (2.31). En combinant tout dans une
18
seule fonction avec laide des multiplicateurs de Lagrange et , le systme peut tre crit
comme suit :
1
2 T -1 T Tr R r - c x - r +m x (2.40)
La condition optimale a lieu si les drivs partielles de sont gaux zro
-1
T T
0 R r - =0r
0 C x +M x = 0x
0 c x = 0
0 r + m x = 0
(2.41)
La linarisation de lquation (2.41), est appele la formulation de Hachtel [2]
= -
T T
-1-1
0 C x M x 0x
C x 0 0 c x
R rM x 0 R -m x
i ii
i i i
ii i
(2.42)
La matrice a t introduite dans le but damliorer le conditionnement de la matrice Jacobienne.
2.2.4 Estimation dtat avec les matrices augmentes (DSSE-MANA)
La formulation de Hachtel peut tre enrichie avec la modlisation matricielle des rseaux faite
dans la mthode de MANA [7] afin dobtenir la capacit de grer les rseaux fortement maills.
Dans ce contexte, les variables dtat de la formulation de Hachtel sont :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LGx = V I I I I V I I I I
i i i i i i i i i i i (2.43)
Les matrices ( )c x i et ( ) C x i gardent la forme propose dans la section de la rpartition de
puissance (quations(2.25) et (2.27) respectivement) :
19
( )T
R,n R,V R,D R,S X,n X,V X,D X,S
T T T
R,n R,c R,c R,c R,I X,n
R,c
R,c
R,c R,z
T T T
X,n R,n R,c R,c R,c R,I
R,c
R,c
R,c R,z
c x = c c c c c c c c =
Y V D S A -Y 0 0 0 0
V 0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S 0 0 S 0 0 0 0 0 0
Y 0 0 0 0 Y V D S A
0 0 0 0 0 V 0 0 0 0
0 0 0 0 0 D 0 0 0 0
0 0 0 0 0 S 0 0 S 0
i
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
R,n
R,V R,n
R,D R,s
R,S
R,LG
R,nX,n
R,sX,V
X,D
X,S
X,LG
V
I I 0
I V 0
I 0 0
I 0 0- =
I 0V
V 0I
0 0I
0 0I
I
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(2.44)3
( ) ( )
( )
R,n R,VV I I
T T T
R,n R,c R,c R,c R,I X,n
R,c
R,c
R,c R,z
T T T
X,n R,n R,c R,c R,c R,I
R,c
R,c
R,c R,z
Y V D S A -Y 0 0 0 0
V 0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S 0 0 S 0 0 0 0 0 0C x =
Y 0 0 0 0 Y V D S A
0 0 0 0 0 V 0 0 0 0
0 0 0 0 0 D 0 0 0 0
0 0 0 0 0 S 0 0 S 0
i i
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG I I V I I I I
i i i i i i i i
(2.45)
La matrice m x a les quations des charges (puisquelles sont considres comme des pseudo-
mesures), plus les quations des mesures :
3 La partie relle et la partie imaginaire ont t regroupes par blocs afin de faciliter la programmation de lalgorithme
en MATLAB.
20
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
:
:
= -
m x h x z x
LGLG LG
PQPQ PQ
VV V
II I
LG
PQ
zm h
zm h
zm h
zm h
m
m
i i i
i i
i i
i i
i i
fonction des pseudo mesures de la chargeet des sources PQ
fonction des mesur
es deo
:
:
V
I
m
m
flux de puissance
fonction des mesures de magnitude detension
fonction des mesures de magnitude decourant
(2.46)
Pour construire la matrice Jacobienne M(x) montre dans lquation (2.47), il faut driver la
matrice dquations m(x) par rapport chacune des variables dtat. Si le vecteur des mesures
z x est indpendant des variables dtat, M(x) est gale la drive de h(x)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
( ) ( )
()
) ( )
R,n R,V R
LGR,LG R,LG X,LG X,LG
PQ R,PQ R,PQ X,PQ X,PQ
R,V X,VV
R,I X,II
V I I
M x C 0 0 0 D C 0 0 0 D
M x C 0 0 D 0 C 0 0 D 0M x = =
C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x
C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x
i i
i
i
i
i
i i i i
i i i i
i i
i ii
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),D X,n X,V X,DR,S R,LG X,S X,LG
I I V I I I I
i i i i i i i i
(2.47)
Types de mesures et de pseudo-mesures :
Pseudo-mesures du type PQ constant : Les quations du vecteur (2.48) peuvent tre utilises
pour modliser, dans la formulation de Hachtel, la puissance injecte par les gnratrices ou la
puissance demande par les charges. Les vecteurs ( )
,( )R LGV
i et
( )
,( )X LGV
i appartiennent
respectivement ( )
R,nV
i et
( )
X,nV
i et reprsentent les tensions des nuds o les appareils sont
branchs. i est le numro de litration.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) , ,( ) , ( )
( ),( ) , ,( ) ,
LGLG
hz
R LG R LG X LG X LG
LG
X LG R LG R LG X LG
V + V=
V -
I I pm x -
qVI I
i
i i i i
i i i i
j
j
diag diag
diag diag (2.48)
21
Les termes de la matrice Jacobienne ( )LGM x i sont calculs laide de lquation (2.49) qui
est lquation (2.32) litration i :
,( ) ,( ) )
( )(
(
, ,( ) ( )
,
, ,
,( )
) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(,
,( )
,
R LG X LG... ... ... ...
R LG X LG
R LG X,LG
X LG R LG
L
V V
G
R LG
R LG
X LG
... I ... ... I ...C C
... -I I M x :
... ...D
...
V
V
i i
i i
i i
i
i
i
i
i
i
( )
,( )
) ( )
( ) ( ) ( )
( )
,
,( )
,( ) ,( )
( )
,,
,
,
R,LG X,LG... I ... ... I ...
X LG
X LG
R LG
R LG R,n X LG X n
.. V
V
V V
. ...D
V V
i
i
i i
i
i io
(2.49)
Mesures de puissance : ( )PQh
i est le vecteur des puissances actives et ractives qui traversent
les sections o sont branchs les lments de mesure de puissance. PQz est le vecteur des
mesures. Les vecteurs ( )
,( )R PQI
i et
( )
,( )X PQI
i appartiennent respectivement
( )
R,SI
i et
( )
X,SI
i et
reprsentent les courants des sections o les appareils sont installs. Les vecteurs )
,( )
(
R PQV
fr m
i
o et
)
,( )
(
X PQV
fr m
i
o appartiennent respectivement ( )
R,nV
i et
( )
X,nV
i et reprsentent les tensions des nuds
o les courants sortent vers les appareils de mesure. (quation (2.50))
( )
( ) ( )
,( ) ,( )
( ) ( )
,( ) ,( )
( ) ( ),( ) ,( )( )
( ) ( ),( ) ,( )
PQPQ
R X
X R
PQ PQ
PQ PQ
R X
R X
hz
PQ PQ PQ
PQPQ
PQ PQ
V V
V V
I + I=
I - I
pm x -
q
i
i i
i
from from
from from
i
i i
i
i i
diag diag
diag diag
(2.50)
Le calcul des courants est dj fait dans les quations de sommation des courants par nud.
On peut ajouter les lments de mesure de puissance et de courant comme des interrupteurs
ferms. Ce qui permettra dintroduire les courants dans la liste de variables dtat. En
consquence, le nombre de nuds et dlments augmenteront. Cependant, si la matrice
Jacobienne du systme est gre comme une matrice creuse, la performance de lalgorithme ne
sera pas affecte cause de laugmentation des dimensions de la matrice. Il y a dautres
avantages comme par exemple le placement des appareils de mesure de courant ou de
22
puissance dans les sections sans impdances (par exemple pour mesurer le courant des barres
dans un poste). De plus, la matrice ( ),R PQCi deviendra diagonale.
( ) ( ),( ) ,( )
( ) ( )
(
,
) ( )
,( ) ,( )
( ) ( )
,( )
,
( )
,
,( )( )
,
R PQ PQX... ... ... ...
PQ PQ
R PQ X PQ
V V
R X
X RPQ PQ
PQ
R PQ
... ... ... ...C = C =
... - M x
I
:
...D =
I
I I
V
fromi
fromi
i i
i
i i
i i
i
( ) ( ),( ) ,( )
( ) ( )
,( ) ,( )
( ) ( )
,(
,
) ,( )
(
,( )
,
,
PQ PQR X... ... ... ...
PQ PQ(i)
X PQ
I I
R X
X RPQ PQ
R PQ
... ... V
V V
...D =
...
V
i i
from from
from from
f
i i
i i
rom
i
o
) ( ) ( ) ( )
,( )
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ,( )
, PQ
P
R,n X X,n
R RQ P,S X X,SQ
V V V
I I ,I I
i i i
i i i i
from
(2.51)
Mesure de la magnitude de tension : la magnitude des tensions o il y a des lments de
mesure de tension est calcule dans lquation (2.52). Les vecteurs (,( )
)
R VV
i et (,( )
)
X VV
i
appartiennent respectivement ( )
R,nV
i et
( )
X,nV
i et reprsentent les tensions des nuds o les
appareils de mesure sont branchs.
( )
( ) ( ) ( )
,( ) ,( )
V
V2 2
MEASR X
h
z
V V Vm x = V + V V-
i
i i i (2.52)4
Les termes de la matrice Jacobienne ( )
VM xi
sont calculs laide de lquation (2.53)
4 Les oprations dexponentiation et de racine sont terme terme
23
,( )
,( )
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( )
R V
X V
... V ...
2 2
R X R
2 2
R X
R,V V V V
V... V .
X
.
X,V V V V
C = ... ...
M x :
C = ... ..
V +
+ V V .
V V
V
i
i i i i
i i i i
diag
diag
.
(2.53)5
Mesure de la magnitude de courant : le vecteur des magnitudes du courant ( )Ih
i o il y a des
lments de mesure de courant est calcule dans lquation (2.54). Iz est le vecteur des
mesures. Les vecteurs (,( )
)
R II
i et (,( )
)
X II
i appartiennent respectivement ( )R,S
Ii et ( )
X,SI
i et
reprsentent les courants des sections o les appareils de mesure sont branchs. Comme les
mesures de lamplitude de courant sont modlises de la mme faon que les interrupteurs
ferms, alors les valeurs de (,( )
)
R II
i et (,( )
)
X II
i sont dj prises en compte comme des variables
dtat.
( )
( ) ( ) ( )
,( ) ,( )
I
I2 2
MEASR I X I
h
z
Im x = I-I + I
i
i i i (2.54)
Les termes de la matrice Jacobienne sont calculs laide de lquation (2.55)
1
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( )
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( )
R,( I )
X,( I )
..
2 2
R X R
2 2
R X X
. I ...
R,I I I I
I... I ...
X,I I I I
C = ... ...
M x :
C = ... ..
I + I I
I + I I .
i i i i
i
i i i i
diag
diag
(2.55)
5 Les oprations dexponentiation et de racine sont terme par terme
24
2.3 Calcul des drives partielles du facteur de puissance
La demande PQ de la charge peut varier beaucoup au cours de la journe, donc les donnes
utilises dans lestimation dtat ne sont pas assez prcises (sauf les tlmesures). En consquence,
lestimation dtat de ces variables nest pas fiable. Dautre ct, la variation du facteur de
puissance de la charge est plus petite que la variation de la puissance demande. Cette
information, une fois extraite partir des donnes PQ de la charge, peut tre utilise pour
amliorer la prcision de lestimation de la charge.
Tout comme lquation de puissance de la charge (2.21), lquation du facteur de puissance doit
tre crite en termes des variables dtat et driv avant de lintgrer dans la matrice Jacobienne.
Dabord, le facteur de puissance PF de la charge (k) est calcul partir du triangle de puissance:
2 2
cosPF,(k)hP P
S P Q
(2.56)
En utilisant lquation (2.28), le facteur de puissance peut tre crit en termes des variables dtat
comme suit :
2 2 2 2R R X X
R X R X
PF,(k)
V I V Ih
V V I I
(2.57)
La matrice m x de lquation (2.46) est mise jour et devient lquation (2.58).
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
:
:
LG LG LG
PF
PFPF PF
PQPQ PQ
PF
VV V
II I
m h zm
zm h
zm x = = -m hz
zm h
zm h
i i
i i
i i
i
i
i i
i
fonctions des pseudo mesures du facteur
de puissance de la charge
Calcuo
l du f
acteur de puissance partir
dela mesure de PQ
(2.58)
En drivant PFm par rapport aux variables dtat, on obtient les quations (2.59) pour mettre jour
la matrice Jacobienne M(x) de lquation (2.47)
25
1 1 312 2 2 22 2 2 2 2 22 2
1 1 312 2 2 22 2 2 2 2 22 2
1 12 2 2 22 2
*
* *
*
* *
*
*
R R R X XR
(i)
R,(k)R X R X R X R X
X R R X XX
(i)
X,(k)R X R X R X R
(i)
PF,(k)
(i)
PF,(k)
(
X
R RR
(i)
R,(k)R X R X
i)
PF,(k)
V I V I VI
V I I V V I I V V
V I V I VI
V I I V V I I V V
I I VV
I I I
m
m
V
m
V
3 12 2 2 22 2
1 1 3 12 2 2 22 2 2 2 2 22 2
*
*
* *
R X X
R X R X
X R R X XX
(i)
X,(k)R
(i)
P
X R X
F,(k)
R X R X
I V
I I V V
I I V I VV
I I I V V V
m
I I V
(2.59)6
La matrice Jacobienne est aussi mise jour dans lquation (2.60)
( )
( )
( ) ( )
(
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ()
( )
)
LG
R,LG R,LG X,LG X,LG
PFR,PF R,PF X,PF X,PF
PQ R,PQ R,PQ X,PQ X,PQ
R,V R,VV
R,I
I
M xC 0 0 0 D C 0 0 0 D
M x0 0 0 0 0 0C D C D
M x = M x = 0 0 0 0 0 0C D C D
C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x
CM x
i
i
i i
i i i i
i i i i
i
ii
i
i i i
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
(,( )
(
( ) ( )
( )
( )
( )
,
R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG
R
V I I I I V I I I I
X,I
R,PF
V
0 0 0 0 C 0 0 0 0
C =
i i i i i i i i i i
j
i i
i
i
i
oR
PF
V
m
,) ( )
( )
(
( )
( )
( ) (
)
( )
)
) ( )
( )
(
,
,
X
R,LG X,LG
X,PF
I I
PF PF
R,PF
V
X,PF
R X
C
m mD = D
I I
i ij
i
i
i
i
i
i
i
i
i
X
PF
V
m
,
(2.60)
6 Les variables dtat I et V correspondent la charge (k), mais lindice na pas t mise afin dallger les quations.
26
CHAPITRE 3 IMPLMENTATION DE LA MTHODE (DSSE-MANA)
3.1 Introduction
Ce chapitre montre les rsultats de limplmentation de la mthode DSSE-MANA [7] et value
les critres de stabilit et de prcision pour deux rseaux maills.
3.1.1 Objectifs
Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral du chapitre 1, deux objectifs spcifiques ont t
formuls dans ce chapitre :
Objectif spcifique 1 : Vrifier la stabilit et la vitesse de la mthode en fonction de la quantit
ditrations requises pour converger.
Objectif spcifique 2 : Mesurer lerreur des rsultats de lestimation par rapport au rsultat
original et suivre lvolution de la fonction objective au cours des itrations.
3.1.2 Hypothses scientifiques
Une hypothse a t formule pour chaque objectif spcifique.
Hypothse 1 : La mthode destimation dtat avec MANA possde la proprit de calculer les
variables dtat des rseaux fortement maills tout comme la mthode de rpartition de puissance
MANA.
Rfutabilit : Lhypothse sera rfute si la convergence vers la solution prend plus de 100
itrations.
Hypothse 2 : La prcision de la valeur des variables dtat est plus grande que 95%.
Rfutabilit : Lhypothse sera rfute si lerreur est plus grande que 5%.
27
3.2 Activits et mthodologie
3.2.1 Slection des rseaux lectriques
Pour les trois tests de validation de la mthode on utilise deux circuits composs respectivement
de 2 et 3 sources, 0 et 4 boucles [2], de transformateurs prise fixe, dimpdances de ligne et de
charges du type PQ.
Les lments de mesure de puissance et de courant sont reprsents par le symbole . Les
mesures de tension sont prises directement aux nuds et ne sont pas reprsentes dans le
diagramme unifilaire.
3.2.2 Dveloppement de lalgorithme
Dans un environnement MATLAB [17] , un algorithme qui simule la mthode destimation
dtat a t dvelopp en utilisant les techniques de matrice creuse.
3.2.3 Simulation et comparaison des rsultats
Tout dabord, letude de la rpartition de puissance du rseau est excute avec le logiciel
CYME, version 5.04 [18] pour une charge arbitraire. Les rsultats de tension, de courant et de
puissance sont dfinis comme les mesures. Ces valeurs ainsi que les valeurs des charges sont
considres comme la solution du systme. Ensuite, une perturbation controle entre 0% et 30%
est introduite sur les valeurs des charges (puissance active et puissance reactive) en maintenant le
facteur de puissance constant. Par la suite, lalgorithme mis au point dans ltape prcdente
estime ltat des rseaux en essayant de limiter la diffrence entre les variables dtat et les
mesures. Lalgorithme calcule aussi les valeurs des nouvelles charges et value lcart entre ces
valeurs et celles du cas original. Cet cart est appel lerreur. La prcision des lments de
mesure et de pseudo-mesure est ajuste au maximum possible (sans mettre en pril la
convergence du systme) afin de trouver les rsultats les plus prcis possibles. Dans le but de
vrifier la stabilit et la prcision de la mthode, les critres de rfutabilit des hypothses seront
vrifis chaque test.
28
3.3 Test 1 : stabilit du systme (mesures de courant et mesures de puissance)
Le premier test est un rseau avec deux sources et une boucle (Figure 3.1). Il y a 3 mesures de
courant (tronons 1077, 736 et 773) avec une prcision de 99% et 2 mesures de tension aux bus 4
et 733 avec une prcision de 99.9%
Figure 3.1: Rseau du test 1
La fonction objective comme elle a t dfinie dans lquation (2.39) est la sommation des
valeurs adimensionnelles qui reprsentent lerreur sur les mesures. Le but est de minimiser la
valeur de cette fonction. Comme la Figure 3.2 le montre, la fonction objective commence
57350 units et litration suivante tombe 114.3 units. 10 itrations plus tard, la valeur est de
15.69 units. Par ailleurs, le systme calcule chaque itration la correction quil faut apporter
aux variables dtat (2.24), ces valeurs constituent le vecteur Delta des variables dtat ( )ix .
Comme la Figure 3.3 le montre, aprs la quatrime itration, les valeurs de( )ix sont presque
nulles. Ces deux rsultats confirment lhypothse 1.
29
Figure 3.2 : Fonction objective du test 1
Figure 3.3 : Delta des variables dtat du test 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6x 10
4
X: 2
Y: 5.735e+04
Fonction objectif
Itrations
Units
X: 3
Y: 114.3
X: 10
Y: 15.69
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4
-2
0
2
4
6
8
10
12Delta des variables
Itrations
Delta x
30
Le Tableau 3.1 compare les valeurs des mesures de la premire et de la dernire itration et
value lerreur de la dernire itration par rapport aux valeurs du cas original (solution). Dans ce
test lerreur est gale ou plus petite que 0.14% pour toutes les mesures.
Tableau 3.1 : Analyse des mesures
Mesures de
tension
Itration 0 Itration 100 Solution Erreur
V V V
BUS4
2394.68 2391.802167 2391.43 0.02%
2388.86 2394.274188 2391.43 0.12%
2390.22 2394.563061 2391.43 0.13%
733
2376.32 2381.472876 2381.25 0.01%
2378.64 2384.103217 2381.25 0.12%
2387.69 2384.576305 2381.25 0.14%
Mesures de
courant
Itration 0 Itration 100 Solution Erreur
A A A
1077
1.22456 1.634032772 1.63456 0.03%
1.96782 1.634108482 1.63456 0.03%
1.79713 1.635233211 1.63456 0.04%
736
4.20994 3.5252087 3.52336 0.05%
4.04803 3.525451284 3.52336 0.06%
2.49475 3.520341982 3.52336 0.09%
773
2.37632 0.418004605 0.41808 0.02%
2.37864 0.417885416 0.41808 0.05%
2.38769 0.418293387 0.41808 0.05%
La prcision de lestimation de la charge partir des mesures est acceptable. Le Tableau 3.2
montre que la puissance active a une erreur maximale de 1.07% tandis que lerreur de la
puissance ractive est plus grande dans tous le cas. On remarque quune valeur dpasse le seuil
de 5% de lhypothse 2. Cependant, lhypothse 2 a t formule pour les mesures et non pour les
charges. En effet, il pourrait y avoir plusieurs faons de repartir la charge pour respecter la
tolrance des mesures.
31
Tableau 3.2 : Estimation des charges
Charge Variation Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur
Act. Ract. kW kvar kW kvar kW kvar
1083
-30% 7 3.15 10.107 4.1897 10 4.5 1.07% 6.90%
20% 12 5.4 9.936 4.6531 10 4.5 0.64% 3.40%
15% 11.5 5.175 10.06 4.3696 10 4.5 0.60% 2.90%
735
20% 30 8.4 25.074 6.821 25 7 0.29% 2.56%
15% 28.75 8.05 24.967 7.1491 25 7 0.13% 2.13%
-30% 17.5 4.9 25.064 6.7063 25 7 0.26% 4.20%
Lorsque les lments de mesure de courant des tronons 1077 et 736 sont remplacs par des
lments de mesure de puissance active et ractive, le systme diverge. La fonction objective se
comporte de faon oscillatoire (Figure 3.4) et ne tend pas vers zro. Le rsultat est contraire
celui attendu car les mesures de puissance ajoutent une information supplmentaire au systme
par rapport aux mesures damplitude de courant : langle.
Figure 3.4 : Fonction objective en utilisant des mesures de puissance.
0 20 40 60 80 100 1200
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
5 Fonction objectif
Itrations
Units
32
3.4 Test 2 : prcision des rsultats sans mesures de puissance
Le rseau tester (Figure 3.5) comporte 6 boucles, 4 dans le rseau et 2 formes par les sources
(prendre les sources comme un seul nud). Pour calculer le nombre de boucles, il faut former un
trajet ou un arbre qui passe par tous les nuds une seule fois laide des sections du rseau. Le
nombre de sections non utilises (qui ne font pas partie de larbre) reprsente le nombre de
boucles [2].
Le rseau comporte aussi trois sources, 15 mesures de courant avec une prcision de 95% et 9
mesures de tension avec une prcision de 99%.
Figure 3.5 : Rseau du test 2
33
Figure 3.6 : Matrice Jacobienne du test 1
Figure 3.7 : Matrice Jacobienne du test 2
0 50 100 150 200 250
0
50
100
150
200
250
nz = 1597
0 100 200 300 400 500 600 700 800
0
100
200
300
400
500
600
700
800
nz = 6162
34
Avec la Figure 3.6 et la Figure 3.7 on peut comparer les dimensions des matrices Jacobiennes du
test 1 et du test 2. La matrice du premier test est creuse de dimensions 261 x 261 avec 1597
lments non-nuls et la matrice du deuxime test est de dimensions 828 x 828 avec 6162 entres
non-nulles.
La fonction objective (Figure 3.8) commence 60890 units et 2 itrations aprs, elle tombe
467.7 units. la 10me
itration, sa valeur est 384.4 units et les valeurs du vecteur ( )ix sont
presque nulles (Figure 3.9), ce qui veut dire que ltude converge mais quil y a une perte de
prcision.
Figure 3.8 : Fonction objective du test 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
x 104
X: 2
Y: 6.089e+04
Fonction objectif
Itrations
Units
X: 4
Y: 467.7
X: 10
Y: 384.4
35
Figure 3.9 : Delta des variables dtat du test 2
En analysant les rsultats, lerreur maximale des mesures de tension est encore basse (0.14%).
Par contre, lerreur maximale des mesures de courant monte jusqu 5.14%. Cela rfute
lhypothse 2, car le seuil de 5% est dpass.
La prcision de lestimation de la charge partir des mesures nest pas non plus acceptable. La
puissance active a une erreur maximale de 33.32%. Lerreur maximale sur la puissance ractive
est encore plus grande, 106.5% comme le montre le Tableau 3.3
Tableau 3.3 : Pire cas de lestimation des charges du test 2
Charge Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur
Act. Ract. kW kvar kW kvar kW kvar
'54'
2.4 1.3 2.18 1.99 3.00 1.00 27.38% 99.39%
9 1.4 6.13 1.48 7.00 2.00 12.37% 25.95%
6.6 1 4.25 3.10 5.00 1.50 15.02% 106.50%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-40
-30
-20
-10
0
10
X: 10
Y: 2.27e-05
Delta des variables
Itrations
Delta x
36
3.5 Test 3 : prcision des rsultats avec mesures de puissance
Le systme du test 2 est trs stable grce une grande quantit de mesures. Dans le but
damliorer la prcision de la rponse obtenue, les mesures de courant au dpart de chaque circuit
peuvent tre remplaces par des mesures de puissance sans compromettre la stabilit du systme.
De cette faon, linformation sur le facteur de puissance vu par chacune des sources sera ajoute
au systme.
Comme la Figure 3.10 lindique, la 10me itration, la valeur de la fonction objective est de
0.7753 units, ce qui veut dire que lerreur relative (par rapport la prcision) est plus petite que
celle du test 2 la mme itration. Cependant, la valeur maximale du vecteur delta des
variables dtat la Figure 3.11 est 0.02401 la 10me itration, ce qui est plus grand quau test
2. Donc, si le critre de convergence du systme est bas uniquement sur ce vecteur, il faudrait
faire plus ditrations dans le test 3 que dans le test 2 pour converger, mme si les rsultats sont
dj meilleurs.
Figure 3.10 : Fonction objective du test 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
X: 10
Y: 0.7753
Fonction objectif
Itrations
Units
X: 3
Y: 478.8
X: 2
Y: 1.292e+04
37
Figure 3.11 : Delta des variables dtat du test 3
Il y a aussi eu une amlioration dans la prcision en ce qui concerne les mesures. Lerreur
maximale des mesures de tension est encore plus basse que dans les tests prcdents (0.14%).
Lerreur maximale des mesures de courant est de 0.23%. Finalement, lerreur maximale des
mesures de puissance est 2.08%.
tant donn que les deux hypothses sont confirmes, on pourrait conclure que les mesures de
courant contribuent la stabilit du systme, tandis que les mesures de puissance amliorent la
prcision.
Lestimation de la charge active prsente un bilan acceptable avec une moyenne de 1.51%
derreur, mme si le seuil est dpass pour quelques valeurs. Dautre part, presque toutes les
valeurs de puissance ractive dpassent le seuil. Lerreur moyenne est de 23.56% et la maximale
de 79.7%. Le Tableau 3.4 montre comme la charge 54 du test 2 a volu.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6
-4
-2
0
2
4
6
8
X: 10
Y: 0.02401
Delta des variables
Itrations
Delta x
38
Tableau 3.4 : Pire cas de lestimation des charges du test 3
Charge Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur
Act. Ract. kW kvar kW kvar kW kvar
'54'
2.4 1.3 2.80 1.37 3.00 1.00 6.66% 37.04%
9 1.4 7.35 1.54 7.00 2.00 5.01% 22.99%
6.6 1 5.16 1.13 5.00 1.50 3.18% 24.35%
3.6 Conclusion
Les tests prcdents ont dmontr que la mthode DSSE-MANA peut estimer la tension et le
courant des rseaux maills, 100% observables [2], avec un erreur acceptable (< 5%). Dautre
part, lerreur de lestimation de la charge (sauf les charges tlmesures) nest pas acceptable
(>5%).
39
CHAPITRE 4 FACTEUR DE PUISSANCE
4.1 Introduction
Ce chapitre value la prcision et la stabilit du systme lorsque les quations du facteur de
puissance sont introduites dans la matrice Jacobienne de lestimation dtat DSSE-MANA.
4.1.1 Objectifs
Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral formul dans le chapitre 1, un objectif spcifique
additionnel a t formul dans ce chapitre.
Objectif spcifique 3: implmenter les quations du facteur de puissance de la charge dans le
systme destimation dtat des matrices augmentes.
4.1.2 Hypothses scientifiques
Hypothse 3 : lintroduction de linformation du facteur de puissance de la charge avec une
prcision plus grande que celle de la puissance vont amliorer la prcision de lestimation de la
charge du rseau.
Rfutabilit : lhypothse sera rfute si lerreur des variables dtat en incluant la charge est plus
grand que 5%
Justification de loriginalit : linformation du facteur de puissance de la charge na pas encore
t utilise indpendamment de la puissance dans les dveloppements publis de la mthode
DSSE-MANA.
4.2 Activits et mthodologie
4.2.1 Modification lalgorithme
Lalgorithme qui mule la mthode destimation dtat dans un environnement MATLAB doit
tre mise jour avec la nouvelle information du facteur de puissance de la charge.
40
4.2.2 Simulation et comparaison des rsultats
En utilisant la mthodologie du chapitre 3, lalgorithme est excut avec la nouvelle fonction
objective afin de mesurer limpact des quations du facteur de puissance dans la prcision de
lestimation de la charge.
4.3 Test 4 : estimation de la charge avant et aprs lintgration du facteur de
puissance
Le circuit des tests 2 et 3 est utilis (Figure 3.5). Les charges originales se trouvent dans le
Tableau 4.1 et les charges avec une perturbation contrle de 30% et un fateur de puissance
constant se trouvent dans le Tableau 4.2
Tableau 4.1 : Charges originales du test 4.
Charge kW-A kW-B kW-C kvar-A kvar-B kvar-C
103 15 12 15 4 3 4
1083 10 10 10 2 2 2
113 5 2 5 1.4 0.5 1.4
28 30 25 25 3 2 2
31 7 7 7 1 1 1
51 3 7 5 1 2 1.5
54 3 7 5 1 2 1.5
735 9 12 10 2 3 2.5
96 3.2 7 4 1.8 1.2 3
Tableau 4.2 : Charges modifies (perturbation contrle) du test 4.
Charge kW-A kW-B kW-C kvar-A kvar-B kvar-C
103 18 8.5 17 4.8 2.13 4.53
1083 7 12 11 1.4 2.4 2.2
113 6.2 1.8 6 1.74 0.45 1.68
28 40 28 20 4 2.24 1.6
31 8 6 7.2 1.14 0.86 1.03
51 1 10 3 0.33 2.86 0.9
54 1 7.3 7 0.33 2.09 2.1
735 10 8 12 2.22 2 3
96 2.5 6.5 5.2 1.41 1.11 3.9
La prcision des mesures de puissance est 99.2%, des mesures de tension est 99.5%, des mesures
de courant est 99% et de la puissance des charges est 1%.
41
Lorsque lalgorithme est excut sans linformation de puissance lerreur la plus haute des
mesures est 1.7%. Par contre lerreur la plus haute destimation de la charge est 62.7% Tableau
4.3).
Tableau 4.3 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 sans facteur de puissance
Charge kW-A kW-B kW-C kvar-A kvar-B kvar-C
103 0.6% 0.4% 0.6% 8.2% 12.7% 3.8%
1083 0.2% 0.1% 0.1% 9.2% 3.7% 11.4%
113 1.0% 0.5% 1.3% 3.7% 8.6% 16.3%
28 0.5% 0.1% 0.3% 32.1% 2.8% 16.1%
31 0.1% 0.3% 0.9% 13.4% 12.8% 2.5%
51 3.4% 0.9% 2.0% 60.9% 22.1% 35.7%
54 3.4% 0.9% 4.0% 62.7% 15.7% 44.4%
735 0.3% 0.4% 0.2% 5.7% 5.3% 3.9%
96 0.4% 0.6% 0.4% 13.5% 26.7% 4.2%
En la deuxime partie du test 4, les valeurs initiales de la charge sont les mmes du Tableau 4.2,
les prcisions restent gales et linformation du facteur de puissance de la charge est introduite
avec une prcision de 99.9%. Comme rsultats, lerreur la plus haute des mesures est 0.3% et
lerreur la plus haute destimation de la charge est 4.7% Tableau 4.4).
Tableau 4.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 avec facteur de puissance
Charge kW-A kW-B kW-C kvar-A kvar-B kvar-C
103 0.1% 0.0% 0.0% 0.1% 0.0% 0.0%
1083 0.1% 0.0% 0.1% 0.0% 0.0% 0.1%
113 0.8% 0.1% 0.0% 0.8% 0.1% 0.0%
28 0.2% 0.0% 0.0% 1.4% 0.1% 0.8%
31 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% 0.1% 0.0%
51 1.8% 0.0% 0.2% 1.8% 0.0% 0.2%
54 4.6% 0.0% 0.4% 4.7% 0.0% 0.4%
735 0.1% 0.0% 0.0% 0.3% 0.0% 0.0%
96 1.4% 0.1% 0.2% 1.4% 0.1% 0.2%
Cette information confirme les hypothses 2 et 3. Cependant, il faut vrifier si la convergence du
systme a t affecte par le traitement de la nouvelle information. La Figure 4.1 montre que pour
le mme point de dpart de 3.499*105 units, la fonction objective tombe jusqu 730.8 units
la dixime itration sans utiliser linformation du facteur de puissance de la charge. Lorsque
42
linformation est utilise, la fonction tombe jusqu 1909 units (Figure 4.2). Par contre, la valeur
de delta des variables dtat est plus petite si la nouvelle information est utilise (Figure 4.3 et
Figure 4.4). En gnral le systme converge indpendamment de lutilisation du facteur de
puissance, donc lhypothse 1 est encore valide.
Figure 4.1 : Fonction objective avant lutilisation du facteur de puissance (Test4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
5
X: 2
Y: 3.499e+05
Fonction objectif
Itrations
Units
X: 4
Y: 1.283e+04 X: 10
Y: 730.8
43
Figure 4.2 : Fonction objective aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)
Figure 4.3 : Delta des variables dtat avant lutilisation du facteur de puissance (Test4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
5
X: 2
Y: 3.499e+05
Fonction objectif
Itrations
Units
X: 4
Y: 4431X: 10
Y: 1909
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
X: 10
Y: 0.6647
Delta des variables
Itrations
Delta x
44
Figure 4.4 : Delta des variables dtat aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15
-10
-5
0
5
10
15
20
X: 10
Y: 0.3506
Delta des variables
Itrations
Delta x
45
CHAPITRE 5 OBSERVABILIT ET STABILIT
5.1 Introduction
Les chapitres prcdents montrent la stabilit et la prcision de lalgorithme pour les rseaux
100% observables. Cependant, lobservabilit des rseaux de distribution rels est beaucoup plus
faible du ct primaire est presque nulle du ct secondaire.
On veut valuer la stabilit de lalgorithme pour des rseaux qui ne sont pas 100% observables.
Ce chapitre prsente les rsultats des tests pour le rseau dcrit dans le chapitre 3 (Figure 3.5)
lorsque quelques lments de mesure sont enlevs. Plusieurs excutions sont effectues pour
trouver le niveau minimal dobservabilit. Autrement dit, le maximum des lments de mesure
qui peuvent tre enlevs avant que le systme ne converge plus.
On propose aussi de placer des mesures virtuelles, dans le but damliorer la stabilit de
lalgorithme lorsque le rseau na pas assez dlments de mesure rels installs. Comme ces
mesures ne sont pas prsentes dans le vrai rseau, elles napportent pas de nouvelle information,
cest pour cela que leur prcision doit tre faible par rapport la prcision des vrais lments de
mesure. Les valeurs de tension et de courant des mesures virtuelles sont celles calcules par la
rpartition de puissance utilise dans linitialisation de lestimation dtat.
Avec laide des mesures virtuelles de faible prcision, lestimation dtat a un meilleur point de
dpart pour estimer les variables dtat et la puissance de la charge de rseaux maills faiblement
observables. Ce chapitre compare aussi les plus faibles niveaux dobservabilit avant et aprs
lutilisation des mesures virtuelles.
5.1.1 Objectif
Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral formul dans le chapitre 1, un objectif spcifique
additionnel a t formul dans ce chapitre :
Objectif spcifique 4: estimer ltat des rseaux de distribution maills faiblement observables.
5.1.2 Hypothses scientifiques
Hypothse 4 : lintroduction de mesures virtuelles dans les nuds o le rseau nest pas
observable augment la stabilit du systme.
46
Rfutabilit : lhypothse sera vrifie si la mthode est capable de converger vers le bon rsultat
dans les cas o le faible niveau dobservabilit empche la convergence de la mthode DSSE-
MANA.
Justification de loriginalit : les mesures virtuelles de faible prcision nont pas encore t
utilises dans la mthode DSSE-MANA pour amliorer la stabilit du systme.
5.2 Activits et mthodologie
5.2.1 valuation de la stabilit du systme
En utilisant la mthodologie du chapitre 3, ainsi que le circuit et les charges (originales et
modifies) du test 4 (Figure 3.5, Tableau 4.1 et Tableau 4.2), les lments de mesure de tension et
de courant seront enlevs un par un de faon alatoire afin de trouver le cas o lalgorithme ne
converge plus (niveau minimal dobservabilit).
5.2.2 valuation de la stabilit du systme avec les mesures virtuelles
Les lments de mesure de tension et de courant enleves dans lactivit prcdente seront
remplacs par des mesures virtuelles. Si le nouvel algorithme est stable, dautres lments seront
enlevs et remplacs afin de trouver la nouvelle limite minimale dobservabilit. Les valeurs des
mesures virtuelles seront prises des rsultats de la rpartition de puissance du rseau avec les
conditions initiales (charge modifies Tableau 4.2) et sa prcision sera fixe 1%.
5.3 Test 5 : stabilit du systme lorsque lobservabilit du rseau diminue
Aprs avoir fait plusieurs tests, la quantit maximale des mesures quon peut enlever du circuit
avant que le systme diverge ou converge vers les mauvais rsultats des mesures est : 3 appareils
de mesure de tension (nuds 4, 79 et 100) et 3 appareils de mesure de courant (sections 773, 10
et 119), ce qui reprsente le 33% et le 20% des mesures initiales respectivement.
Les erreurs calcules des mesures de tension et de courant sont toutes plus petites que 5%.
Cependant, le Tableau 5.1 montre que certaines valeurs de lerreur des mesures de puissance ont
dpass