2013_LeonDarioRamirez

UNIVERSIT DE MONTRAL

ESTIMATION DTAT DES RSEAUX LECTRIQUES DE DISTRIBUTION

MAILLS

LON DARIO RAMIREZ

DPARTEMENT DE GNIE LECTRIQUE

COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL

MMOIRE PRSENT EN VUE DE LOBTENTION

DU DIPLME DE MATRISE S SCIENCES APPLIQUES

(GNIE LECTRIQUE)

DCEMBRE 2013

Lon Dario Ramirez, 2013.

UNIVERSIT DE MONTRAL

COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL

Ce mmoire intitul:

ESTIMATION DTAT DES RSEAUX LECTRIQUES DE

DISTRIBUTION MAILLS

prsent par : RAMIREZ Lon Dario

en vue de lobtention du diplme de : Matrise s sciences appliques

a t dment accept par le jury dexamen constitu de :

M. MAHSEREDJIAN Jean, Ph.D., prsident

M. KOCAR Ilhan, Ph.D., membre et directeur de recherche

M. LACROIX Jean-Sbastien, M.Sc.A., membre

iii

DDICACE

ma femme SANDRA MARIA et mes deux filles LAURA CRISTINA et DANIELA

Vous tes mon monde, ma pense et ma vie.

iv

REMERCIEMENTS

Je tiens en tout premier lieu remercier mes parents GUILLERMO LEON et MARIA ELENA,

mon frre JAIME ALBERTO et mes surs ADRIANA MARIA et ANA CAROLINA, pour tous

les sacrifices consentis par tous et chacun pour me permettre datteindre cette tape de ma vie.

Je remercie galement Docteur ILHAN KOCAR, professeur lcole Polytechnique de

Montral, pour mavoir confi ce travail de recherche et mavoir accueilli au sein de son quipe

de recherche et pour les opportunits offertes.

Je tiens remercier tout particulirement et tmoigner toute ma reconnaissance Monsieur

JEAN-SEBASTIEN LACROIX pour son aide et ses prcieux conseils concernant les missions

voques dans ce mmoire, quil ma apport lors des diffrents suivis.

Ces remerciements ne seraient pas complets sans une pense pour mes amis DIEGO, CAMILO,

ASSANE et LAURE qui mauront normment fait rire, mauront soutenu ds le dbut et

mauront aid dans les priodes de doute.

lquipe CYME et tous ceux qui ont contribu de prs ou de loin pour que cette recherche

soit possible, je vous dis merci.

v

RSUM

Ce mmoire prsente un nouvel algorithme qui a pour objectif destimer ltat des rseaux de

distribution maills en utilisant la mthode unifie destimation dtat avec lanalyse-nodale-

modifie-augmente (DSSE-MANA). Lintrt principal de cette mthode est lestimation des

valeurs de la charge en utilisant leur mesure ou estimation de puissance et leur facteur de

puissance de faon indpendante. De plus, cette mthode peut tre applique au calcul de la

rpartition de puissance ou lallocation de charge.

La contribution significative de cette recherche est la dmonstration que la mthode (DSSE-

MANA) peut estimer ltat des rseaux de distribution maills. De plus, ce document prsente

lintgration des quations du facteur de puissance, ce qui permet dintroduire des informations

additionnelles de la charge ou des lments de mesure du facteur de puissance. On propose aussi

une amlioration de la stabilit de la mthode en incluant des mesures virtuelles de faible

prcision lorsque les rseaux ne sont pas 100% observables.

Les modles et les algorithmes ont t valids en utilisant la rpartition de puissance (entre : la

puissance des charges, sorties : les valeurs de tension et de courant) comme le processus inverse

de lestimation dtat (entre : mesures de tension et de courant, sortie : estimation de la charge).

Les rsultats dmontrent une bonne prcision numrique du modle et une robustesse de

lalgorithme. La performance de la rsolution et la mesure de lobservabilit du rseau demeurent

cependant une recherche importante poursuivre.

vi

ABSTRACT

This dissertation presents a new algorithm for the state estimation of meshed distribution

networks using the unified approach of Distribution-System-State-Estimation with Modified-

Augmented-Nodal-Analysis (DSSE-MANA). The main focus of this method is to estimate the

load values, using the power and the power factor measurements separately. However, the

proposed method is also applicable to the approaches of Load Flow and Load Allocation.

The main contribution of this research is the demonstration that the method (DSSE-MANA) can

estimate the state of meshed distribution networks. It also presents the integration of the power

factor equations, which allows using additional information of the load or of the power factor

measurement. It presents as well a stability improvement of the unified state estimation approach

including virtual measurement of low precision when the networks arent 100% observable.

The models and algorithms are validated using the Load Flow (input: load power, output: current

and voltage values) as the reverse process of state estimation (input: current and voltage

measures, output: load power estimation). The tests cases have shown good numerical accuracy

and robustness. The performance and the observability measure remain issues for further

researches.

vii

TABLE DES MATIRES

DDICACE ............................................................................................................................. III

REMERCIEMENTS ................................................................................................................ IV

RSUM .................................................................................................................................. V

ABSTRACT ............................................................................................................................. VI

TABLE DES MATIRES ....................................................................................................... VII

LISTE DES TABLEAUX ......................................................................................................... X

LISTE DES FIGURES ............................................................................................................. XI

LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS ............................................................................ XII

INTRODUCTION ...................................................................................................................... 1

1.1 Description du phnomne tudi et son contexte ......................................................... 1

1.2 Problmatique .............................................................................................................. 2

1.3 Question de recherche .................................................................................................. 3

1.4 Objectif gnral ............................................................................................................ 3

1.5 Aperu du rapport ........................................................................................................ 3

1.6 Contributions ............................................................................................................... 3

CHAPITRE 2 REVUE DE LITTRATURE .......................................................................... 5

2.1 Rpartition de puissance ............................................................................................... 5

2.1.1 Analyse: Backward Forward Sweep (BFS) ............................................................... 6

2.1.2 Analyse : MANA ..................................................................................................... 7

2.1.3 Mthode Newton-Raphson ..................................................................................... 12

2.2 Estimation dtat ........................................................................................................ 16

2.2.1 Model de mesures et de pseudo-mesures ................................................................ 16

2.2.2 Fonction objective .................................................................................................. 17

viii

2.2.3 Formulation de Hachtel .......................................................................................... 17

2.2.4 Estimation dtat avec les matrices augmentes (DSSE-MANA) ............................ 18

2.3 Calcul des drives partielles du facteur de puissance ................................................. 24

CHAPITRE 3 IMPLMENTATION DE LA MTHODE (DSSE-MANA) .......................... 26

3.1 Introduction ............................................................................................................... 26

3.1.1 Objectifs................................................................................................................. 26

3.1.2 Hypothses scientifiques ........................................................................................ 26

3.2 Activits et mthodologie ........................................................................................... 27

3.2.1 Slection des rseaux lectriques ............................................................................ 27

3.2.2 Dveloppement de lalgorithme .............................................................................. 27

3.2.3 Simulation et comparaison des rsultats.................................................................. 27

3.3 Test 1 : stabilit du systme (mesures de courant et mesures de puissance) ................. 28

3.4 Test 2 : prcision des rsultats sans mesures de puissance .......................................... 32

3.5 Test 3 : prcision des rsultats avec mesures de puissance .......................................... 36

3.6 Conclusion ................................................................................................................. 38

CHAPITRE 4 FACTEUR DE PUISSANCE ........................................................................ 39

4.1 Introduction ............................................................................................................... 39

4.1.1 Objectifs................................................................................................................. 39



4.2.1 Modification lalgorithme .................................................................................... 39

4.2.2 Simulation et comparaison des rsultats.................................................................. 40

4.3 Test 4 : estimation de la charge avant et aprs lintgration du facteur de puissance ... 40

CHAPITRE 5 OBSERVABILIT ET STABILIT .............................................................. 45

ix

5.1 Introduction ............................................................................................................... 45

5.1.1 Objectif .................................................................................................................. 45



5.2.1 valuation de la stabilit du systme ...................................................................... 46

5.2.2 valuation de la stabilit du systme avec les mesures virtuelles ............................ 46

5.3 Test 5 : stabilit du systme lorsque lobservabilit du rseau diminue ....................... 46

5.4 Test 6 : stabilit du systme avec mesures virtuelles ................................................... 48

5.5 Test 7 stabilit du systme avec mesures virtuelles ..................................................... 49

CONCLUSION ........................................................................................................................ 51

RFERENCES ......................................................................................................................... 53

x

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 3.1 : Analyse des mesures ............................................................................................ 30

Tableau 3.2 : Estimation des charges ......................................................................................... 31

Tableau 3.3 : Pire cas de lestimation des charges du test 2 ........................................................ 35

Tableau 3.4 : Pire cas de lestimation des charges du test 3 ........................................................ 38

Tableau 4.1 : Charges originales du test 4. ................................................................................. 40

Tableau 4.2 : Charges modifies (perturbation contrle) du test 4. ........................................... 40

Tableau 4.3 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 sans facteur de puissance .................. 41

Tableau 4.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 avec facteur de puissance ................. 41

Tableau 5.1 : Erreur de lestimation de puissance fournisse par les sources, test 5 ...................... 47

Tableau 5.2 : Erreur de lestimation de la charge du test 5 ......................................................... 47

Tableau 5.3 : Erreur de lestimation de puissance fournisse par les sources, test 6 ...................... 49

Tableau 5.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 6 ......................................................... 49

Tableau 5.5 : Erreur de lestimation de puissance du test 7. ....................................................... 50

xi

LISTE DES FIGURES

Figure 2.1 : Circuit unifilaire ....................................................................................................... 6

Figure 2.2 : Reprsentation dun transformateur par sources dpendantes. ................................. 10

Figure 3.1: Rseau du test 1 ....................................................................................................... 28

Figure 3.2 : Fonction objective du test 1 .................................................................................... 29

Figure 3.3 : Delta des variables dtat du test 1 .......................................................................... 29

Figure 3.4 : Fonction objective en utilisant des mesures de puissance. ....................................... 31

Figure 3.5 : Rseau du test 2 ...................................................................................................... 32

Figure 3.6 : Matrice Jacobienne du test 1 ................................................................................... 33

Figure 3.7 : Matrice Jacobienne du test 2 ................................................................................... 33

Figure 3.8 : Fonction objective du test 2 .................................................................................... 34

Figure 3.9 : Delta des variables dtat du test 2 .......................................................................... 35

Figure 3.10 : Fonction objective du test 3 .................................................................................. 36

Figure 3.11 : Delta des variables dtat du test 3 ........................................................................ 37

Figure 4.1 : Fonction objective avant lutilisation du facteur de puissance (Test4) ..................... 42

Figure 4.2 : Fonction objective aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)...................... 43

Figure 4.3 : Delta des variables dtat avant lutilisation du facteur de puissance (Test4) ........... 43

Figure 4.4 : Delta des variables dtat aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4) ........... 44

Figure 5.1 : Identification des charges par ordre derreur accumul du Tableau 5.2 .................... 48

Figure 5.2 : Fonction objective lorsque le 89% des lments de mesure sont remplacs par des

lments virtuels. ............................................................................................................... 50

xii

LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS

BFS Backward Forward Sweep

DSSE Distribution System State Estimator

IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineers

LTC Load Tap Changer

MANA Modified-Augmented-Nodal Analysis

MNA Modified-Nodal Analysis

PF Power Factor

SHGM Schweppe Huber Generalised Method

WLAV Weighted Least Absolute Value

WLS Weighted Least-Squares

Caractre gras Matrices ou vecteurs.

,V V Valeur/vecteur complexe1

, RVRV Valeur/vecteur relle

, XVXV Valeur/vecteur imaginaire

,V V Magnitude/vecteur des magnitudes2.

( , )V x y Valeur de la matrice ou du vecteur la position x, y

( ) :kX o k Position de X dans un vecteur, le k-ime nud dans un circuit ou le k-

ime lment ou appareil

1 La reprsentation en coordonns polaires ou rectangulaires peut tre utilise indistinctement.

2 Veuillez ne pas le confondre avec le dterminant de la matrice det V .

xiii

,

kX

kX Valeur qua prise ou XX la k-ime itration

1

CHAPITRE 1 INTRODUCTION

1.1 Description du phnomne tudi et son contexte

Actuellement, la plupart des systmes qui amliorent la qualit de vie au quotidien et qui

augmentent lefficacit dans le travail sont bass sur lutilisation de lnergie lectrique. cause

de cette dpendance, le systme lectrique doit fournir au consommateur un flux dnergie

continu, adquat et suffisant. Cette capacit est appele fiabilit du rseau [1]. Dans les

centres urbains une trs haute fiabilit est requise, cause des processus qui ne peuvent pas tre

interrompus. Par exemple, on peut noter les services de sant et de communications. Dans le but

daugmenter la fiabilit, les rseaux de distribution sont amliors en ajoutant rgulirement des

nouveaux appareils et des nouvelles interconnexions. En consquence, les rseaux deviennent de

plus en plus complexes et difficiles grer.

Dans ce contexte, les ingnieurs qui ralisent les activits de conception, de planification,

dopration et dexpansion des systmes de distribution dnergie se servent toujours plus des

outils informatiques pour connaitre en dtail le comportement des rseaux modernes. Grce aux

modles numriques des rseaux lectriques et aux logiciels spcialiss dans ce domaine, il est

possible de connaitre ltat des rseaux sous conditions relles ou sous conditions hypothtiques.

Ltude des rseaux sous conditions hypothtiques, est base sur un modle du rseau analyser

dont les caractristiques sont modifiables au besoin, afin de tester les modifications du rseau en

toute scurit. Cette tude, appele rpartition de puissance, nest pas le cur de ce projet mais

elle fait partie de la base. Cest pourquoi elle est analyse en profondeur.

Ltude de ltat des rseaux sous conditions relles utilise aussi un modle du rseau, en plus de

linformation capte du rseau en temps rel ou en temps diffr. Le but de lanalyse est de

calculer les variables dtat.Par exemple, on doit calculer les tensions aux nuds du rseau ou les

courants qui circulent travers les sections du rseau. Puisquil ny a pas assez dappareillages de

mesure installs pour recueillir toute linformation, il faut utiliser une mthode mathmatique

appele Estimation dtat . Cette mthode, base sur linformation disponible, trouve la valeur

la plus probable des variables sur lesquelles on dispose des informations redondantes et elle

estime les variables sur lesquelles on na pas assez dinformation [2].

2

1.2 Problmatique

La thorie destimation dtat a t dveloppe initialement pour les rseaux de transport, qui

sont gnralement maills (Figure 1.1) et balancs. Ensuite, elle a t dveloppe pour les

rseaux de distribution, qui sont gnralement radiaux ou arborescentes (Figure 1.1) et

dbalancs. En consquence, les mthodes destimation dtat les plus developpes et les plus

robustes ont t conues pour ces types de rseaux [3-5].

Figure 1.1 : Topologie des rseaux lectriques.

Cependant, quelques centres urbains, o la densit de population est assez leve, utilisent des

rseaux dbalancs et fortement maills pour rpondre la demande croissante de fiabilit du

systme de distribution. Par exemple, au centre-ville de New York, un rseau complexe basse

tension est utilis [6]. Linconvenient est que les mthodes implementes dans les logiciels

commerciaux ne supportent pas toujours les rseaux maills dbalancs, sujet qui se trouve en

plein developpement. Cependant, il y a une mthode destimation dtat de type matriciel (DSSE-

MANA) qui pourrait permettre le calcul des variables dtat des rseaux fortement maills, grce

au traitement simultan des quations [7].

3

1.3 Question de recherche

La mthode DSSE-MANA peut-elle tre applique aux modles des rseaux de distribution

fortement maills, avec une prcision de calcul suprieure 95%?

1.4 Objectif gnral

Ce projet vise implementer lestimation dtat DSSE-MANA pour la solution dun rseau de

distribution maill, tel que les rseaux urbains.

Justification de loriginalit : La mthode DSSE-MANA est une thorie trs rcente et elle na

pas t teste avec des rseaux maills.

1.5 Aperu du rapport

Le chapitre un prsente une brve description de lestimation dtat et sa problmatique par

rapport aux structures mailles.

Le chapitre deux prsente la revue de la littrature pour les mthodes de la rpartition de

puissance, de lestimation dtat et finalement, de son unification.

Le chapitre trois se concentre sur limplmentation de la mthode DSSE-MANA dans un rseau

maill et value sa stabilit et sa prcision.

Le chapitre quatre prsente les quations du facteur de puissance dans la mthode DSSE-MANA

afin dvaluer son impact sur la prcision de lapproche.

Le chapitre cinq prsente les bnfices des mesures virtuelles de faible prcision dans la stabilit

du systme.

1.6 Contributions

La principale contribution de cette recherche est davoir dmontr que la mthode unifie

destimation dtat avec lanalyse-nodale-modifie-augmente (DSSE-MANA) peut tre utilise

dans les rseaux de distribution maills. Ceci permet de trouver les conditions de sous-

tension/surtension ou de surcharge prsentes au fur et a mesure que linformation des appareils de

mesure est capte (en temps rel ou diffr).

4

Les autres contributions sont :

Lintegration des quations du facteur de puissance pour la mhode DSSE-MANA, ce qui

permet damliorer lestimation de la charge en utilisant de faon independante la

prcision du facteur de puissance et la prcision de la puissance demande. Cela permet

aussi damliorer la stabilit de la mthode DSSE-MANA en prsentant linformation des

mesures de puissance sous forme de magnitude de courant et du facteur de puissance et

avec laide de mesures virtuelles [8].

Lintroduction des mesures virtuelles de faible prcision pour amliorer la stabilit du

systme lorsquil y a des problmes de convergence cause de la faible observabilit.

Lvaluation de lapport de chaque type de mesure la prcision et la stabilit de la

mthode.

Le rsultat final est une mthode plus stable, qui est capable de supporter des rseaux maills

faiblement observables et qui utilise un modle de charge plus prcis.

5

CHAPITRE 2 REVUE DE LITTRATURE

Ce chapitre prsente le dveloppement et les quations de la rpartition de puissance et de

lestimation dtat en soulignant les ressemblances entre les mthodes. Ceci a pour objectif

dintroduire plus facilement au lecteur la mthode unifie DSSE-MANA.

2.1 Rpartition de puissance

Loutil par excellence dans le domaine pour lanalyse des rseaux lectriques en rgime

permanent est la rpartition de puissance. Cette analyse permet de simuler le comportement du

systme sous diffrentes conditions. Par exemple, il est possible danalyser limpact quaurait

linstallation dun nouvel appareil dans un rseau, la modification des paramtres des appareils qui

y sont branchs, ou encore limpact dun changement de la topologie, etc.

En gnral, les variables analyses dans les rseaux de distribution sont les tensions des nuds, les

puissances et/ou les courants qui circulent travers les sections, les puissances et/ou les courants

injects dans les nuds, la position des prises des rgulateurs et des LTC. Ces valeurs sont

appeles variables dtat . Elles permettent didentifier les conditions de surtension, sous-

tension et surcharge au niveau des appareils ainsi quaux points de service.

Les variables dtat sont calcules partir des paramtres du rseau. Ces paramtres peuvent tre

les tensions aux sources, la topologie du rseau et les caractristiques des lments branchs en

srie ou en shunt comme par exemple : limpdance des lignes, le rapport de transformation des

transformateurs et la charge (puissance installe ou valeur estime partir du profil de charge).

En utilisant les quations de Kirchhoff de sommation des courants dans un nud, un systme

dquations du type peut tre formul si les quations sont linaires. Cependant, dans les

rseaux lectriques, il existe des lments dont le modle (ou le comportement) est non linaire, ce

qui empchent le calcul direct des variables dtat. Par exemple, dans le circuit de la Figure 2.1, si

la loi du Kirchhoff est utilise pour calculer la tension aux bornes de la charge, lquation

rsultante est non linaire si la charge est modlise comme une puissance constante (2.1).

6

Figure 2.1 : Circuit unifilaire

, :

, :

:

, :

p

q

N

o oborneso

Np q

borneso

o

o

o

puissances nominales activeet ractive

te

P Q puissances de so

nsion nominal

rtie activeet ractive

P QVP P

V Vo

N

e

facteurs qui dterminencomment les

puissances de so

NV

Q QV r

tievarient selon

la tension du noeud

(2.1)

Si p qN et N sont gaux zro, la charge consomme une puissance constante indpendante de la

tension. Dans ce cas, il faut utiliser des mthodes itratives afin de trouver la valeur des variables

dtat. Par exemple, pour calculer la tension aux bornes de la charge du rseau de la Figure 2.1 on

pourrait utiliser une mthode srie appele Backward Forward Sweep (BFS).

2.1.1 Analyse: Backward Forward Sweep (BFS)

Cette mthode prend une valeur initiale aux bornes de la (des) charge(s) pour calculer le courant

demand (cette valeur est habituellement la tension nominale du rseau). Ensuite, les autres

courants sont calculs vers la source (Forward Sweep). Avec ces courants et la tension la source,

la mthode calcule les tensions en aval jusqu la (les) charge(s) (Backward Sweep). Cet

algorithme est rpt jusqu ce que la variation des tensions entre une itration et la suivante se

trouve dans une plage prdfinie, appele prcision de la convergence. Linformation des

itrations postrieures est considre ngligeable [9].

Afin de faire les calculs du Forward Sweep et du Backward Sweep au long du rseau,

chaque lment branch qui modifie la tension ou le courant doit tre modlis avec des matrices

qui calculent la variation de la tension ou le courant entre deux nuds cause de ces lments.

7

Cette mthode est fiable et trs rpandue dans les calculs approximatifs de variables dtat des

rseaux radiaux ou faiblement maills. Par contre, pour les rseaux maills le parcours Forward

& Backward nest pas aussi vident. Dans ce cas, une solution matricielle est prfrable. Par

exemple lanalyse MANA.

2.1.2 Analyse : MANA

Les analyses de type nodal ont pour but de reprsenter les rseaux lectriques comme un systme

matriciel afin de calculer simultanment les variables dtat. Lanalyse nodale modifie

augmente (MANA) [10, 11] est un ensemble dquations matricielles du type Ax=b. A et b

contient linformation des paramtres du rseau et x reprsente les variables dtat (des

inconnues). Si la matrice A et le vecteur b sont indpendantes de x les variables dtat peuvent

tre calcules directement (mthode de point fixe) [12].

Lquation (2.2) montre les matrices qui composent le systme Ax=b.

0

0

T T Tn nn c c c

V sc

Dc

Sc z

A x b

V IY V D S

I VV 0 0 0

ID 0 0 0

IS 0 0 S

(2.2)

La premire quation du systme reprsente le bilan des courants des nuds par la loi de

Kirchhoff (2.3) :

T T Tn n c V c D c S nY V V I D I S I I

TransfSources VAdmit ormateurs Interrupteurs Sources Itances

(2.3)

Le premier terme ( n nY V ) correspond aux courants dans les admittances constantes du rseau, le

deuxime terme ( Tc VV I ) aux courants des sources indpendantes de tension, (

T

c DD I ) correspond

aux courants secondaires des lments modliss comme des sources dpendantes de tension et de

courant (transformateurs ou rgulateurs), (T

c SS I ) reprsente les interrupteurs et finalement ( nI ) les

sources indpendantes de courant.

8

2.1.2.1 Admittances constantes du rseau:

En partant de la loi dOhm en termes de ladmittance (2.4) et en utilisant la loi de Kirchhoff de

sommation des courants (2.5) pour tous les nuds du rseau, on peut trouver une quation

matricielle quivalente la loi dOhm (2.6) :

:

:

:

Y g jb

Y admittanceYV I o

g conductance

b susceptance

(2.4)

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

0 0

:

:

: ( ) 0

:

jk

jkn n

jjk j k jk

k k

I courant du nud j vers lenud k

Y admittanceentreles nuds j et k

V Tension au nud jY V V I o

n nombre de nuds du rseau

0 : k Nud derfrence la terre

(2.5)

:

:

:

matrice d admittances

vecteur detensio

vecteur deb

ns d

ila

es nu

n des c

ds

ourants par noeud

o

Tot

T

n

ot

n

Y

VY I 0V

I

(2.6)

La partie gauche de lquation (2.6) est similaire au premier terme de lquation (2.3). Autrement

dit, la matrice nY du systme est analogue la matrice Y , mais le bilan de courant par nud est

zro seulement si la contribution en courant de tous les appareils est considre. tant donn que

la mthode MANA ne modlise pas tous les appareils comme des admittances srie ou mises la

terre, nY ne tient pas compte de tous les appareils du rseau, en consquence n nY V nest pas

forcment 0 .

Afin de respecter la loi de Kirchhoff, les courants des autres appareils sont introduits dans le bilan

laide des autres termes de lquation (2.3). Ces courants sont calculs par les trois dernires

quations du systme.

Dans le but de conserver la linarit du systme (2.2), nY contient seulement les lments du

rseau modliss comme des admittances constantes. Par exemple, les impdances des lignes ou

9

des transformateurs ou les charges du type impdance constante. Les valeurs de la diagonale

principale sont les sommations (par nud) des admittances mises la terre (2.7). Les valeurs hors

de la diagonale sont la valeur des admittances en srie fois -1 (2.8). Les quations suivantes

montrent comment placer les impdances relies aux nuds arbitraires j et k.

( )( , )nY shunt kYk k (2.7)

( )( , ) ( , )n nY Y srie jkj k k j Y (2.8)

Pour un rseau de nuds, la dimension de nY est x et la dimension de nV est x 1

2.1.2.2 Les sources de tension indpendantes

tant donn quil y a des lments dans les rseaux dont le modle est complexe crire en termes

des admittances, lanalyse nodale modifie (MNA) [13, 14] propose dintroduire lquation (2.9)

au systme. Cette quation montre les tensions des sources ( sV ) en termes des tensions des nuds

( nV ), en utilisant une matrice creuse adjointe ( cV ).

:

:

Matriceadjointeo

Vecteur delatensionnominal des sources

c

c n s

s

VV V V

V (2.9)

Dans un cas arbitraire, si la source monophase idale p a une tension nominale ( )source pV , donc :

( )( ,1)s V source pp V (2.10)

Si la source est branche entre les nuds j et k, la tension entre ces nuds est gale la tension de

la source, en consquence ( ,1) ( ,1) ( ,1)n n sV V V k j p . Cette quation peut tre crite sous la

forme matricielle (2.9) laide dune matrice creuse ( cV ) qui relie les sources aux nuds o elles

sont branches. Par exemple pour la source p, les valeurs de cV doivent tre :

( , )

( , )

1

1

c

c

V

V

p k

p j (2.11)

10

Afin dajouter la contribution de courant des sources de tension la sommation des courants

injects par nud, lquation (2.3) utilise la transpose de la matrice adjointe cV multiplie par le

vecteur de courant des sources de tension VI . La fonction de T

cV est de placer les courants au

bilan du nud respectif.

Pour un rseau de nuds et de s sources de tension, la dimension de cV est s x et la dimension

de VI est s x 1

2.1.2.3 Les sources dpendantes de tension et de courant

Lanalyse nodale modifie augmente (MANA) propose dinclure des matrices additionnelles

pour modaliser dautre type dlments. Par exemple un transformateur idale peut tre modlis

comme un ensemble de sources dpendantes [12].

Figure 2.2 : Reprsentation dun transformateur par sources dpendantes.

Soit t le rapport de transformation du transformateur de la Figure 2.2, lquation en termes de

tension des nuds (variables dtat) est :

1 2 1 2 0k k j jV V tV tV (2.12)

Sa forme matricielle est:

: o Matricedes rapports detransformationc n cD0D V (2.13)

La matrice creuse cD a une fonction similaire celle de cV , elle relie les tension primaires et

secondaires du transformateur. De plus, elle porte linformation du rapport de transformation. Par

11

exemple si un transformateur est branch aux nuds j1, j2, k1 et k2 (Figure 2.2) les valeurs de cD

(dduites de lquation (2.12)) sont :

( , 1)

( , 2)

( , 1)

(

1

, 2)

1c

c

c

c

D

D

D

D

p k

p k

p

p j

tj

t

(2.14)

Afin dajouter le vecteur de courant secondaire des transformateurs DI au bilan des courants

(quation (2.3)), il faut utiliser la matrice des rapports de transformation cD transpose.

Si le rseau a nuds et t transformateurs, la dimension de cD est s x et la dimension de DI est

s x 1.

2.1.2.4 Interrupteurs

Les interrupteurs ont deux tats possibles : ferms ou ouverts. Si par exemple un interrupteur p ,

qui se trouve entre les nuds j et k , est ferm, la tension entre les nuds est gale, en

consquence:

0j kV V (2.15)

Lquation (2.16) montre cette relation sous la forme matricielle en utilisant la matrice adjointe cS

avec linformation de la position des interrupteurs ferms :

: o Matriceadjointelatensionc n cS V 0 S (2.16)

( , )

( , )

1

1

c

c

S

S

p j

p k (2.17)

De faon analogue TcV , la transpose de cS est utilise dans lquation (2.3) pour placer les

courants au bilan du nud respectif.

Si linterrupteur p se trouve ouvert, les tensions des nuds j et k sont diffrentes j kV V , dautre

ct le courant qui traverse linterrupteur est nulle 0j kI . Lquation (2.16) doit tre donc

12

modifie pour modliser les interrupteurs ouverts et ferms en ajoutant le vecteur des courants des

interrupteurs SI avec sa respective matrice adjointe :

: o Matriceadjointeaucourant c n z S zS V S I 0 S (2.18)

Par exemple, si linterrupteur p, qui se trouve entre les nuds j et k, est ferm:

( , )

( , )

( , )

0

0

1

c

c

z

S

S

S

p j

p k

p p

(2.19)

Pour un rseau de nuds et s interrupteurs, la dimension de cS est s x , la dimension de zS est

s x s et la dimension de SI est s x 1.

2.1.2.5 Sources de courant

Dans le cas des sources de courant, le vecteur nI a linformation apporter au bilan des courants.

Au contraire des autres vecteurs de courant, nI nest pas multipli par une matrice adjointe, donc

les donnes doivent tre placs directement au nud respectif. La dimension de nI est donc x 1

2.1.3 Mthode Newton-Raphson

Dans le bilan de courants (2.3), les contributions des charges puissance constante (comme celle

du circuit unifilaire de la Figure 2.1) et des sources puissance constante peuvent tre inclues avec

laide du vecteur LGI et de la matrice adjacente IA comme suit :

:

:

Matriceadjacenteo

Vecteur descourants injects auxchargesou des gnratrices

T T T

n n c V c D c S I LG n

I

LG

Y V V I D I S I A I I

A

I

(2.20)

Comme les courants injects aux charges et des gnratrices ( I LG ) sont des variables dtat, on

vient daugmenter la quantit des inconnues. Afin davoir un systme avec une solution unique, il

faut augmenter la quantit dquations dans la mme mesure. Lquation de puissance (2.21) doit

tre donc ajoute.

13

Cette quation se trouve en fonction de deux variables dtat : la tension au nud et le courant

inject au nud. En consquence, lquation ne peut pas tre ajoute au systme linaire formul

lquation (2.2).

:

:

Tensionau nud

o

conjugede

Vn

LG

*LG,(k) LG,(k) LG,(k) LG

*LG LG

V

V * I = S V

I I

(2.21)

Dans ce cas, il faut reformuler le systme en utilisant une mthode itrative, ce qui permet de

calculer une approximation des variables dtat. Newton-Raphson est possiblement la mthode

itrative la plus utilise pour rsoudre ce type de systmes non-linaires [15] grce sa vitesse de

convergence et sa prcision.

Afin dimplmenter la mthode de Newton-Raphson au systme dquations matricielles (2.2), on

crit les quations du type Ax = b de la forme 0g x (Ax-b = 0). Ensuite, on prend les deux

premiers termes de la srie de Taylor de la fonction g x au point a (2.22). La mthode de

Newton prend a comme la valeur de x de litration actuelle ix et x comme la valeur de

litration suivante 1i

x ce qui donne lquation de Newton (2.23).

' *

01!

g a x ag x g a (2.22)

1 1' * : i i i i ig x g x g x x x o i itration actuelle (2.23)

Sa forme matricielle est:

+1 ( ) ( ) ( )

+1( )

:

+ = :

:= -

g x

g x g x J x 0

x

J

x x

i i i i i

i ii

matricedesquations du systme

o matrice Jacobienne (2.24)

Ensuite, le systme est divis en deux blocs dquations. Le premier est le bloc des contraintes

( ) c x (2.25) qui est compos par les quations : (2.9), (2.13), (2.20) et (2.18). Le deuxime est le

bloc ( ) m x (2.26) qui sera appel ultrieurement le bloc des mesures et des pseudo-mesures (2.35).

14

Celui-ci est compos, pour linstant, par lquation des charges (2.21). LGS est la valeur nominale

de la puissance de la charge ou la valeur mesure si la charge peut tre tlmesure (voir z dans le

modle de mesures et de pseudo-mesures (2.35)).

nT T Tn nn c c c I

V

V sc

D

D c

S

S c z

LG

Vc I 0Y V D S A

Ic V 0V 0 0 0 0

c x Ic 0 0D 0 0 0 0

Ic 0 0S 0 0 S 0

I

(2.25)

LG LG LG LGm x m x V I S 0diag *

(2.26)

Pour calculer les matrices Jacobiennes ( ) C x et ( )M x , il faut driver les quations des blocs ( ) c x et

( ) m x par rapport chacune des variables dtat. ( ) C x donne comme rsultat la mme matrice de

coefficients des quations de ( ) c x :

V D SV I I I I

T T T

n c c c I

c

c

c z

Y V D S A

V 0 0 0 0C x

D 0 0 0 0

S 0 0 S 0

n LG

(2.27)

Par contre, la drive partielle de lquation (2.21) nobit pas aux conditions de Cauchy Riemann

dans le domaine complexe. a veut dire que ( )M x ne peut pas tre crite en termes de nombres

complexes.

Conditions de Cauchy Riemann : La puissance de la charge est reprsente lquation (2.28)

en termes des variables dtat:

R X R X

R R X X

X R R X

S V jV I jI

P V I V I

Q V I V I

(2.28)

Les conditions de Cauchy Riemann par rapport la tension sont vrifies :

15

1

2

R

R X

X

X R

P QI

V V

P QI

V V

(2.29)

Par contre, les conditions ne sont pas vrifies par rapport au courant, cause du conjugu de cette

variable dans le calcul de puissance :

1

2

R R

R X

X X

X R

P QV V

I I

P QV V

I I

(2.30)

En consquence, lquation (2.26) doit tre divise en puissance active et en puissance ractive

(2.31). La Jacobienne de ( ) m x peut tre calcule (2.32) et ajoute au systme (2.34).

= - =+

=-

R,LG R,LG X,LG X,LG LG

LG

LGX,LG R,LG R,LG X,LG

V I V I p xm x m x 0

q xV I V I

diag diag

diag diag

(2.31)

=

= , =

o

R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG

R,LG

V I I I I V I I I I

R,LG R,LG X,LG X,LG

... V ...

R,LG

R,LG X,LG

X,LG

M x C 0 0 0 D C 0 0 0 D

... I ... .C C

... -I

= , =

X,LG

R,LG X,LG

... V ...

X,LG

R,LG

... I ... ... I ...

R,LG X,LG

R,LG X,LG

X,LG R,LG

.. I ...

I

... V ... ... V ...D D

... V V

(2.32)

Il faut sparer aussi la partie relle et la partie imaginaire de la Jacobienne des contraintes C x et

de x comme suit :

,R X RX R X

C -C xC x x =

C C x

(2.33)

Le systme est montr dans lquation (2.34).

16

( )

+1

= -

f xJ

x -xC x x

xM

cx 0

mx

i

i

i i

i

(2.34)

2.2 Estimation dtat

Ltat dun rseau lectrique est dcrit par ses variables dtat. Comme par exemple, la tension

aux nuds du rseau ou les courants qui circulent travers les sections du rseau. Puisquil ny a

pas assez dappareils installs pour mesurer toutes les variables dtat, il faut les calculer avec une

mthode mathmatique appele estimation dtat . Cette mthode, base sur linformation

disponible, trouve le meilleur compromis pour les variables sur lesquelles linformation est

redondante et elle estime les variables sur lesquelles il ny a pas assez dinformations.

Plusieurs formulations destimation dtat, comme par exemple WLAV (Weighted Least Absolute

Value), SHGM (Schweppe Huber Generalised Method) ont t compars avec WLS (Weighted

Least-Squares) en [16] et ce sont les rsultats de lestimation dtat des rseaux de distribution

avec la mthode de WLS qui sont les meilleurs.

2.2.1 Model de mesures et de pseudo-mesures

Tout comme la repartition de puissance, lestimation dtat calcule la valeur des variables dtat x ,

en utilisant un modle du rseau et une estimation de la charge. La diffrence est que lestimation

dtat utilise aussi des lments de mesure afin de connaitre ltat du rseau un moment donn

(au moment o les mesures ont t prises).

Le modle de charge utilis en (2.35) est compos par :

h x - z +r = m x +r = 0 (2.35)

h x : ensemble dquations qui relient les variables dtat et les mesures (valeur attendue de

la mesure).

z : vecteur des valeurs mesures simultanment pour les lments de mesure du rseau plus

les pseudo-mesures.

17

r : diffrence entre les valeurs attendues et les valeurs mesures (correspond au rsidu ou

lerreur).

2.2.2 Fonction objective

En considrant que les rsidus de mesure sont indpendants les uns des autres et quils ont une

distribution normale, la fonction de densit de probabilit de chaque mesure doit tre standardise

afin de comparer les probabilits [2]:

2( )

( ) ( ) ( )2( ) ( )

( ) ( )

1

2

ku

k k k

k k

k k

z h x m xf u e o u

(2.36)

La probabilit doccurrence de lensemble de mesures z est le produit de leur fonction de densit

( des fins pratiques, le logarithme de cette probabilit est utilis) :

2

( )

1 0 0 ( )

1log .

2

l u j

m mj

j j j j

j

m m xf u log f u const

(2.37)

Dans le but de trouver une combinaison des valeurs des variables dtat ( x ) qui se rapproche le

plus possible des mesures, il faut maximiser l ou ce qui est quivalent, il faut minimiser (2.38)

2

( )

0 ( )

mj

j j

m x

(2.38)

La fonction de probabilit minimiser est appele fonction objective [2] qui peut tre crite de

faon matricielle comme :

'

2 2 2

1 2 m

:

= , ,,

T -1

obj

Rf x = -m x R -m x

R

matricedecovariancedel erreuro

diag

(2.39)

2.2.3 Formulation de Hachtel

La fonction objective objf x est sujette des contraintes du type c x = 0 e.g. (2.25) et des

mesures ou des pseudo-mesures du type r + m x = 0 e.g. (2.31). En combinant tout dans une

18

seule fonction avec laide des multiplicateurs de Lagrange et , le systme peut tre crit

comme suit :

1

2 T -1 T Tr R r - c x - r +m x (2.40)

La condition optimale a lieu si les drivs partielles de sont gaux zro

-1

T T

0 R r - =0r

0 C x +M x = 0x

0 c x = 0

0 r + m x = 0

(2.41)

La linarisation de lquation (2.41), est appele la formulation de Hachtel [2]

= -

T T

-1-1

0 C x M x 0x

C x 0 0 c x

R rM x 0 R -m x

i ii

i i i

ii i

(2.42)

La matrice a t introduite dans le but damliorer le conditionnement de la matrice Jacobienne.

2.2.4 Estimation dtat avec les matrices augmentes (DSSE-MANA)

La formulation de Hachtel peut tre enrichie avec la modlisation matricielle des rseaux faite

dans la mthode de MANA [7] afin dobtenir la capacit de grer les rseaux fortement maills.

Dans ce contexte, les variables dtat de la formulation de Hachtel sont :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LGx = V I I I I V I I I I

i i i i i i i i i i i (2.43)

Les matrices ( )c x i et ( ) C x i gardent la forme propose dans la section de la rpartition de

puissance (quations(2.25) et (2.27) respectivement) :

19

( )T

R,n R,V R,D R,S X,n X,V X,D X,S

T T T

R,n R,c R,c R,c R,I X,n

R,c

R,c

R,c R,z

T T T

X,n R,n R,c R,c R,c R,I

R,c

R,c

R,c R,z

c x = c c c c c c c c =

Y V D S A -Y 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D 0 0 0 0 0 0 0 0 0

S 0 0 S 0 0 0 0 0 0

Y 0 0 0 0 Y V D S A

0 0 0 0 0 V 0 0 0 0

0 0 0 0 0 D 0 0 0 0

0 0 0 0 0 S 0 0 S 0

i

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

R,n

R,V R,n

R,D R,s

R,S

R,LG

R,nX,n

R,sX,V

X,D

X,S

X,LG

V

I I 0

I V 0

I 0 0

I 0 0- =

I 0V

V 0I

0 0I

0 0I

I

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(2.44)3

( ) ( )

( )

R,n R,VV I I

T T T

R,n R,c R,c R,c R,I X,n

R,c

R,c

R,c R,z

T T T

X,n R,n R,c R,c R,c R,I

R,c

R,c

R,c R,z

Y V D S A -Y 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D 0 0 0 0 0 0 0 0 0

S 0 0 S 0 0 0 0 0 0C x =

Y 0 0 0 0 Y V D S A

0 0 0 0 0 V 0 0 0 0

0 0 0 0 0 D 0 0 0 0

0 0 0 0 0 S 0 0 S 0

i i

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG I I V I I I I

i i i i i i i i

(2.45)

La matrice m x a les quations des charges (puisquelles sont considres comme des pseudo-

mesures), plus les quations des mesures :

3 La partie relle et la partie imaginaire ont t regroupes par blocs afin de faciliter la programmation de lalgorithme

en MATLAB.

20

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

:

:

= -

m x h x z x

LGLG LG

PQPQ PQ

VV V

II I

LG

PQ

zm h

zm h

zm h

zm h

m

m

i i i

i i

i i

i i

i i

fonction des pseudo mesures de la chargeet des sources PQ

fonction des mesur

es deo

:

:

V

I

m

m

flux de puissance

fonction des mesures de magnitude detension

fonction des mesures de magnitude decourant

(2.46)

Pour construire la matrice Jacobienne M(x) montre dans lquation (2.47), il faut driver la

matrice dquations m(x) par rapport chacune des variables dtat. Si le vecteur des mesures

z x est indpendant des variables dtat, M(x) est gale la drive de h(x)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( ) ( )

()

) ( )

R,n R,V R

LGR,LG R,LG X,LG X,LG

PQ R,PQ R,PQ X,PQ X,PQ

R,V X,VV

R,I X,II

V I I

M x C 0 0 0 D C 0 0 0 D

M x C 0 0 D 0 C 0 0 D 0M x = =

C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x

C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x

i i

i

i

i

i

i i i i

i i i i

i i

i ii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),D X,n X,V X,DR,S R,LG X,S X,LG

I I V I I I I

i i i i i i i i

(2.47)

Types de mesures et de pseudo-mesures :

Pseudo-mesures du type PQ constant : Les quations du vecteur (2.48) peuvent tre utilises

pour modliser, dans la formulation de Hachtel, la puissance injecte par les gnratrices ou la

puissance demande par les charges. Les vecteurs ( )

,( )R LGV

i et

( )

,( )X LGV

i appartiennent

respectivement ( )

R,nV

i et

( )

X,nV

i et reprsentent les tensions des nuds o les appareils sont

branchs. i est le numro de litration.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) , ,( ) , ( )

( ),( ) , ,( ) ,

LGLG

hz

R LG R LG X LG X LG

LG

X LG R LG R LG X LG

V + V=

V -

I I pm x -

qVI I

i

i i i i

i i i i

j

j

diag diag

diag diag (2.48)

21

Les termes de la matrice Jacobienne ( )LGM x i sont calculs laide de lquation (2.49) qui

est lquation (2.32) litration i :

,( ) ,( ) )

( )(

(

, ,( ) ( )

,

, ,

,( )

) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(,

,( )

,

R LG X LG... ... ... ...

R LG X LG

R LG X,LG

X LG R LG

L

V V

G

R LG

R LG

X LG

... I ... ... I ...C C

... -I I M x :

... ...D

...

V

V

i i

i i

i i

i

i

i

i

i

i

( )

,( )

) ( )

( ) ( ) ( )

( )

,

,( )

,( ) ,( )

( )

,,

,

,

R,LG X,LG... I ... ... I ...

X LG

X LG

R LG

R LG R,n X LG X n

.. V

V

V V

. ...D

V V

i

i

i i

i

i io

(2.49)

Mesures de puissance : ( )PQh

i est le vecteur des puissances actives et ractives qui traversent

les sections o sont branchs les lments de mesure de puissance. PQz est le vecteur des

mesures. Les vecteurs ( )

,( )R PQI

i et

( )

,( )X PQI

i appartiennent respectivement

( )

R,SI

i et

( )

X,SI

i et

reprsentent les courants des sections o les appareils sont installs. Les vecteurs )

,( )

(

R PQV

fr m

i

o et

)

,( )

(

X PQV

fr m

i

o appartiennent respectivement ( )

R,nV

i et

( )

X,nV

i et reprsentent les tensions des nuds

o les courants sortent vers les appareils de mesure. (quation (2.50))

( )

( ) ( )

,( ) ,( )

( ) ( )

,( ) ,( )

( ) ( ),( ) ,( )( )

( ) ( ),( ) ,( )

PQPQ

R X

X R

PQ PQ

PQ PQ

R X

R X

hz

PQ PQ PQ

PQPQ

PQ PQ

V V

V V

I + I=

I - I

pm x -

q

i

i i

i

from from

from from

i

i i

i

i i

diag diag

diag diag

(2.50)

Le calcul des courants est dj fait dans les quations de sommation des courants par nud.

On peut ajouter les lments de mesure de puissance et de courant comme des interrupteurs

ferms. Ce qui permettra dintroduire les courants dans la liste de variables dtat. En

consquence, le nombre de nuds et dlments augmenteront. Cependant, si la matrice

Jacobienne du systme est gre comme une matrice creuse, la performance de lalgorithme ne

sera pas affecte cause de laugmentation des dimensions de la matrice. Il y a dautres

avantages comme par exemple le placement des appareils de mesure de courant ou de

22

puissance dans les sections sans impdances (par exemple pour mesurer le courant des barres

dans un poste). De plus, la matrice ( ),R PQCi deviendra diagonale.

( ) ( ),( ) ,( )

( ) ( )

(

,

) ( )

,( ) ,( )

( ) ( )

,( )

,

( )

,

,( )( )

,

R PQ PQX... ... ... ...

PQ PQ

R PQ X PQ

V V

R X

X RPQ PQ

PQ

R PQ

... ... ... ...C = C =

... - M x

I

:

...D =

I

I I

V

fromi

fromi

i i

i

i i

i i

i

( ) ( ),( ) ,( )

( ) ( )

,( ) ,( )

( ) ( )

,(

,

) ,( )

(

,( )

,

,

PQ PQR X... ... ... ...

PQ PQ(i)

X PQ

I I

R X

X RPQ PQ

R PQ

... ... V

V V

...D =

...

V

i i

from from

from from

f

i i

i i

rom

i

o

) ( ) ( ) ( )

,( )

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ,( )

, PQ

P

R,n X X,n

R RQ P,S X X,SQ

V V V

I I ,I I

i i i

i i i i

from

(2.51)

Mesure de la magnitude de tension : la magnitude des tensions o il y a des lments de

mesure de tension est calcule dans lquation (2.52). Les vecteurs (,( )

)

R VV

i et (,( )

)

X VV

i

appartiennent respectivement ( )

R,nV

i et

( )

X,nV

i et reprsentent les tensions des nuds o les

appareils de mesure sont branchs.

( )

( ) ( ) ( )

,( ) ,( )

V

V2 2

MEASR X

h

z

V V Vm x = V + V V-

i

i i i (2.52)4

Les termes de la matrice Jacobienne ( )

VM xi

sont calculs laide de lquation (2.53)

4 Les oprations dexponentiation et de racine sont terme terme

23

,( )

,( )

( )

1

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ,( ) ,( )

1

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ,( ) ,( )

R V

X V

... V ...

2 2

R X R

2 2

R X

R,V V V V

V... V .

X

.

X,V V V V

C = ... ...

M x :

C = ... ..

V +

+ V V .

V V

V

i

i i i i

i i i i

diag

diag

.

(2.53)5

Mesure de la magnitude de courant : le vecteur des magnitudes du courant ( )Ih

i o il y a des

lments de mesure de courant est calcule dans lquation (2.54). Iz est le vecteur des

mesures. Les vecteurs (,( )

)

R II

i et (,( )

)

X II

i appartiennent respectivement ( )R,S

Ii et ( )

X,SI

i et

reprsentent les courants des sections o les appareils de mesure sont branchs. Comme les

mesures de lamplitude de courant sont modlises de la mme faon que les interrupteurs

ferms, alors les valeurs de (,( )

)

R II

i et (,( )

)

X II

i sont dj prises en compte comme des variables

dtat.

( )

( ) ( ) ( )

,( ) ,( )

I

I2 2

MEASR I X I

h

z

Im x = I-I + I

i

i i i (2.54)

Les termes de la matrice Jacobienne sont calculs laide de lquation (2.55)

1

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ,( ) ,( )

( )

1

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ,( ) ,( )

R,( I )

X,( I )

..

2 2

R X R

2 2

R X X

. I ...

R,I I I I

I... I ...

X,I I I I

C = ... ...

M x :

C = ... ..

I + I I

I + I I .

i i i i

i

i i i i

diag

diag

(2.55)

5 Les oprations dexponentiation et de racine sont terme par terme

24

2.3 Calcul des drives partielles du facteur de puissance

La demande PQ de la charge peut varier beaucoup au cours de la journe, donc les donnes

utilises dans lestimation dtat ne sont pas assez prcises (sauf les tlmesures). En consquence,

lestimation dtat de ces variables nest pas fiable. Dautre ct, la variation du facteur de

puissance de la charge est plus petite que la variation de la puissance demande. Cette

information, une fois extraite partir des donnes PQ de la charge, peut tre utilise pour

amliorer la prcision de lestimation de la charge.

Tout comme lquation de puissance de la charge (2.21), lquation du facteur de puissance doit

tre crite en termes des variables dtat et driv avant de lintgrer dans la matrice Jacobienne.

Dabord, le facteur de puissance PF de la charge (k) est calcul partir du triangle de puissance:

2 2

cosPF,(k)hP P

S P Q

(2.56)

En utilisant lquation (2.28), le facteur de puissance peut tre crit en termes des variables dtat

comme suit :

2 2 2 2R R X X

R X R X

PF,(k)

V I V Ih

V V I I

(2.57)

La matrice m x de lquation (2.46) est mise jour et devient lquation (2.58).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

:

:

LG LG LG

PF

PFPF PF

PQPQ PQ

PF

VV V

II I

m h zm

zm h

zm x = = -m hz

zm h

zm h

i i

i i

i i

i

i

i i

i

fonctions des pseudo mesures du facteur

de puissance de la charge

Calcuo

l du f

acteur de puissance partir

dela mesure de PQ

(2.58)

En drivant PFm par rapport aux variables dtat, on obtient les quations (2.59) pour mettre jour

la matrice Jacobienne M(x) de lquation (2.47)

25

1 1 312 2 2 22 2 2 2 2 22 2

1 1 312 2 2 22 2 2 2 2 22 2

1 12 2 2 22 2

*

* *

*

* *

*

*

R R R X XR

(i)

R,(k)R X R X R X R X

X R R X XX

(i)

X,(k)R X R X R X R

(i)

PF,(k)

(i)

PF,(k)

(

X

R RR

(i)

R,(k)R X R X

i)

PF,(k)

V I V I VI

V I I V V I I V V

V I V I VI

V I I V V I I V V

I I VV

I I I

m

m

V

m

V

3 12 2 2 22 2

1 1 3 12 2 2 22 2 2 2 2 22 2

*

*

* *

R X X

R X R X

X R R X XX

(i)

X,(k)R

(i)

P

X R X

F,(k)

R X R X

I V

I I V V

I I V I VV

I I I V V V

m

I I V

(2.59)6

La matrice Jacobienne est aussi mise jour dans lquation (2.60)

( )

( )

( ) ( )

(

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ()

( )

)

LG

R,LG R,LG X,LG X,LG

PFR,PF R,PF X,PF X,PF

PQ R,PQ R,PQ X,PQ X,PQ

R,V R,VV

R,I

I

M xC 0 0 0 D C 0 0 0 D

M x0 0 0 0 0 0C D C D

M x = M x = 0 0 0 0 0 0C D C D

C 0 0 0 0 C 0 0 0 0M x

CM x

i

i

i i

i i i i

i i i i

i

ii

i

i i i

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

(,( )

(

( ) ( )

( )

( )

( )

,

R,n R,V R,D R,S R,LG X,n X,V X,D X,S X,LG

R

V I I I I V I I I I

X,I

R,PF

V

0 0 0 0 C 0 0 0 0

C =

i i i i i i i i i i

j

i i

i

i

i

oR

PF

V

m

,) ( )

( )

(

( )

( )

( ) (

)

( )

)

) ( )

( )

(

,

,

X

R,LG X,LG

X,PF

I I

PF PF

R,PF

V

X,PF

R X

C

m mD = D

I I

i ij

i

i

i

i

i

i

i

i

i

X

PF

V

m

,

(2.60)

6 Les variables dtat I et V correspondent la charge (k), mais lindice na pas t mise afin dallger les quations.

26

CHAPITRE 3 IMPLMENTATION DE LA MTHODE (DSSE-MANA)

3.1 Introduction

Ce chapitre montre les rsultats de limplmentation de la mthode DSSE-MANA [7] et value

les critres de stabilit et de prcision pour deux rseaux maills.

3.1.1 Objectifs

Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral du chapitre 1, deux objectifs spcifiques ont t

formuls dans ce chapitre :

Objectif spcifique 1 : Vrifier la stabilit et la vitesse de la mthode en fonction de la quantit

ditrations requises pour converger.

Objectif spcifique 2 : Mesurer lerreur des rsultats de lestimation par rapport au rsultat

original et suivre lvolution de la fonction objective au cours des itrations.

3.1.2 Hypothses scientifiques

Une hypothse a t formule pour chaque objectif spcifique.

Hypothse 1 : La mthode destimation dtat avec MANA possde la proprit de calculer les

variables dtat des rseaux fortement maills tout comme la mthode de rpartition de puissance

MANA.

Rfutabilit : Lhypothse sera rfute si la convergence vers la solution prend plus de 100

itrations.

Hypothse 2 : La prcision de la valeur des variables dtat est plus grande que 95%.

Rfutabilit : Lhypothse sera rfute si lerreur est plus grande que 5%.

27

3.2 Activits et mthodologie

3.2.1 Slection des rseaux lectriques

Pour les trois tests de validation de la mthode on utilise deux circuits composs respectivement

de 2 et 3 sources, 0 et 4 boucles [2], de transformateurs prise fixe, dimpdances de ligne et de

charges du type PQ.

Les lments de mesure de puissance et de courant sont reprsents par le symbole . Les

mesures de tension sont prises directement aux nuds et ne sont pas reprsentes dans le

diagramme unifilaire.

3.2.2 Dveloppement de lalgorithme

Dans un environnement MATLAB [17] , un algorithme qui simule la mthode destimation

dtat a t dvelopp en utilisant les techniques de matrice creuse.

3.2.3 Simulation et comparaison des rsultats

Tout dabord, letude de la rpartition de puissance du rseau est excute avec le logiciel

CYME, version 5.04 [18] pour une charge arbitraire. Les rsultats de tension, de courant et de

puissance sont dfinis comme les mesures. Ces valeurs ainsi que les valeurs des charges sont

considres comme la solution du systme. Ensuite, une perturbation controle entre 0% et 30%

est introduite sur les valeurs des charges (puissance active et puissance reactive) en maintenant le

facteur de puissance constant. Par la suite, lalgorithme mis au point dans ltape prcdente

estime ltat des rseaux en essayant de limiter la diffrence entre les variables dtat et les

mesures. Lalgorithme calcule aussi les valeurs des nouvelles charges et value lcart entre ces

valeurs et celles du cas original. Cet cart est appel lerreur. La prcision des lments de

mesure et de pseudo-mesure est ajuste au maximum possible (sans mettre en pril la

convergence du systme) afin de trouver les rsultats les plus prcis possibles. Dans le but de

vrifier la stabilit et la prcision de la mthode, les critres de rfutabilit des hypothses seront

vrifis chaque test.

28

3.3 Test 1 : stabilit du systme (mesures de courant et mesures de puissance)

Le premier test est un rseau avec deux sources et une boucle (Figure 3.1). Il y a 3 mesures de

courant (tronons 1077, 736 et 773) avec une prcision de 99% et 2 mesures de tension aux bus 4

et 733 avec une prcision de 99.9%

Figure 3.1: Rseau du test 1

La fonction objective comme elle a t dfinie dans lquation (2.39) est la sommation des

valeurs adimensionnelles qui reprsentent lerreur sur les mesures. Le but est de minimiser la

valeur de cette fonction. Comme la Figure 3.2 le montre, la fonction objective commence

57350 units et litration suivante tombe 114.3 units. 10 itrations plus tard, la valeur est de

15.69 units. Par ailleurs, le systme calcule chaque itration la correction quil faut apporter

aux variables dtat (2.24), ces valeurs constituent le vecteur Delta des variables dtat ( )ix .

Comme la Figure 3.3 le montre, aprs la quatrime itration, les valeurs de( )ix sont presque

nulles. Ces deux rsultats confirment lhypothse 1.

29

Figure 3.2 : Fonction objective du test 1

Figure 3.3 : Delta des variables dtat du test 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6x 10

4

X: 2

Y: 5.735e+04

Fonction objectif

Itrations

Units

X: 3

Y: 114.3

X: 10

Y: 15.69

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4

-2

0

2

4

6

8

10

12Delta des variables

Itrations

Delta x

30

Le Tableau 3.1 compare les valeurs des mesures de la premire et de la dernire itration et

value lerreur de la dernire itration par rapport aux valeurs du cas original (solution). Dans ce

test lerreur est gale ou plus petite que 0.14% pour toutes les mesures.

Tableau 3.1 : Analyse des mesures

Mesures de

tension

Itration 0 Itration 100 Solution Erreur

V V V

BUS4

2394.68 2391.802167 2391.43 0.02%

2388.86 2394.274188 2391.43 0.12%

2390.22 2394.563061 2391.43 0.13%

733

2376.32 2381.472876 2381.25 0.01%

2378.64 2384.103217 2381.25 0.12%

2387.69 2384.576305 2381.25 0.14%

Mesures de

courant

Itration 0 Itration 100 Solution Erreur

A A A

1077

1.22456 1.634032772 1.63456 0.03%

1.96782 1.634108482 1.63456 0.03%

1.79713 1.635233211 1.63456 0.04%

736

4.20994 3.5252087 3.52336 0.05%

4.04803 3.525451284 3.52336 0.06%

2.49475 3.520341982 3.52336 0.09%

773

2.37632 0.418004605 0.41808 0.02%

2.37864 0.417885416 0.41808 0.05%

2.38769 0.418293387 0.41808 0.05%

La prcision de lestimation de la charge partir des mesures est acceptable. Le Tableau 3.2

montre que la puissance active a une erreur maximale de 1.07% tandis que lerreur de la

puissance ractive est plus grande dans tous le cas. On remarque quune valeur dpasse le seuil

de 5% de lhypothse 2. Cependant, lhypothse 2 a t formule pour les mesures et non pour les

charges. En effet, il pourrait y avoir plusieurs faons de repartir la charge pour respecter la

tolrance des mesures.

31

Tableau 3.2 : Estimation des charges

Charge Variation Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur

Act. Ract. kW kvar kW kvar kW kvar

1083

-30% 7 3.15 10.107 4.1897 10 4.5 1.07% 6.90%

20% 12 5.4 9.936 4.6531 10 4.5 0.64% 3.40%

15% 11.5 5.175 10.06 4.3696 10 4.5 0.60% 2.90%

735

20% 30 8.4 25.074 6.821 25 7 0.29% 2.56%

15% 28.75 8.05 24.967 7.1491 25 7 0.13% 2.13%

-30% 17.5 4.9 25.064 6.7063 25 7 0.26% 4.20%

Lorsque les lments de mesure de courant des tronons 1077 et 736 sont remplacs par des

lments de mesure de puissance active et ractive, le systme diverge. La fonction objective se

comporte de faon oscillatoire (Figure 3.4) et ne tend pas vers zro. Le rsultat est contraire

celui attendu car les mesures de puissance ajoutent une information supplmentaire au systme

par rapport aux mesures damplitude de courant : langle.

Figure 3.4 : Fonction objective en utilisant des mesures de puissance.

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

5 Fonction objectif

Itrations

Units

32

3.4 Test 2 : prcision des rsultats sans mesures de puissance

Le rseau tester (Figure 3.5) comporte 6 boucles, 4 dans le rseau et 2 formes par les sources

(prendre les sources comme un seul nud). Pour calculer le nombre de boucles, il faut former un

trajet ou un arbre qui passe par tous les nuds une seule fois laide des sections du rseau. Le

nombre de sections non utilises (qui ne font pas partie de larbre) reprsente le nombre de

boucles [2].

Le rseau comporte aussi trois sources, 15 mesures de courant avec une prcision de 95% et 9

mesures de tension avec une prcision de 99%.

Figure 3.5 : Rseau du test 2

33

Figure 3.6 : Matrice Jacobienne du test 1

Figure 3.7 : Matrice Jacobienne du test 2

0 50 100 150 200 250

0

50

100

150

200

250

nz = 1597

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

100

200

300

400

500

600

700

800

nz = 6162

34

Avec la Figure 3.6 et la Figure 3.7 on peut comparer les dimensions des matrices Jacobiennes du

test 1 et du test 2. La matrice du premier test est creuse de dimensions 261 x 261 avec 1597

lments non-nuls et la matrice du deuxime test est de dimensions 828 x 828 avec 6162 entres

non-nulles.

La fonction objective (Figure 3.8) commence 60890 units et 2 itrations aprs, elle tombe

467.7 units. la 10me

itration, sa valeur est 384.4 units et les valeurs du vecteur ( )ix sont

presque nulles (Figure 3.9), ce qui veut dire que ltude converge mais quil y a une perte de

prcision.


2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

x 104

X: 2

Y: 6.089e+04

Fonction objectif

Itrations

Units

X: 4

Y: 467.7

X: 10

Y: 384.4

35


En analysant les rsultats, lerreur maximale des mesures de tension est encore basse (0.14%).

Par contre, lerreur maximale des mesures de courant monte jusqu 5.14%. Cela rfute

lhypothse 2, car le seuil de 5% est dpass.

La prcision de lestimation de la charge partir des mesures nest pas non plus acceptable. La

puissance active a une erreur maximale de 33.32%. Lerreur maximale sur la puissance ractive

est encore plus grande, 106.5% comme le montre le Tableau 3.3

Tableau 3.3 : Pire cas de lestimation des charges du test 2

Charge Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur


'54'

2.4 1.3 2.18 1.99 3.00 1.00 27.38% 99.39%

9 1.4 6.13 1.48 7.00 2.00 12.37% 25.95%

6.6 1 4.25 3.10 5.00 1.50 15.02% 106.50%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

0

10

X: 10

Y: 2.27e-05

Delta des variables

Itrations

Delta x

36

3.5 Test 3 : prcision des rsultats avec mesures de puissance

Le systme du test 2 est trs stable grce une grande quantit de mesures. Dans le but

damliorer la prcision de la rponse obtenue, les mesures de courant au dpart de chaque circuit

peuvent tre remplaces par des mesures de puissance sans compromettre la stabilit du systme.

De cette faon, linformation sur le facteur de puissance vu par chacune des sources sera ajoute

au systme.

Comme la Figure 3.10 lindique, la 10me itration, la valeur de la fonction objective est de

0.7753 units, ce qui veut dire que lerreur relative (par rapport la prcision) est plus petite que

celle du test 2 la mme itration. Cependant, la valeur maximale du vecteur delta des

variables dtat la Figure 3.11 est 0.02401 la 10me itration, ce qui est plus grand quau test

2. Donc, si le critre de convergence du systme est bas uniquement sur ce vecteur, il faudrait

faire plus ditrations dans le test 3 que dans le test 2 pour converger, mme si les rsultats sont

dj meilleurs.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

X: 10

Y: 0.7753

Fonction objectif

Itrations

Units

X: 3

Y: 478.8

X: 2

Y: 1.292e+04

37


Il y a aussi eu une amlioration dans la prcision en ce qui concerne les mesures. Lerreur

maximale des mesures de tension est encore plus basse que dans les tests prcdents (0.14%).

Lerreur maximale des mesures de courant est de 0.23%. Finalement, lerreur maximale des

mesures de puissance est 2.08%.

tant donn que les deux hypothses sont confirmes, on pourrait conclure que les mesures de

courant contribuent la stabilit du systme, tandis que les mesures de puissance amliorent la

prcision.

Lestimation de la charge active prsente un bilan acceptable avec une moyenne de 1.51%

derreur, mme si le seuil est dpass pour quelques valeurs. Dautre part, presque toutes les

valeurs de puissance ractive dpassent le seuil. Lerreur moyenne est de 23.56% et la maximale

de 79.7%. Le Tableau 3.4 montre comme la charge 54 du test 2 a volu.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

X: 10

Y: 0.02401

Delta des variables

Itrations

Delta x

38

Tableau 3.4 : Pire cas de lestimation des charges du test 3

Charge Valeur initiale Itration 100 Solution Erreur


'54'

2.4 1.3 2.80 1.37 3.00 1.00 6.66% 37.04%

9 1.4 7.35 1.54 7.00 2.00 5.01% 22.99%

6.6 1 5.16 1.13 5.00 1.50 3.18% 24.35%

3.6 Conclusion

Les tests prcdents ont dmontr que la mthode DSSE-MANA peut estimer la tension et le

courant des rseaux maills, 100% observables [2], avec un erreur acceptable (< 5%). Dautre

part, lerreur de lestimation de la charge (sauf les charges tlmesures) nest pas acceptable

(>5%).

39

CHAPITRE 4 FACTEUR DE PUISSANCE

4.1 Introduction

Ce chapitre value la prcision et la stabilit du systme lorsque les quations du facteur de

puissance sont introduites dans la matrice Jacobienne de lestimation dtat DSSE-MANA.

4.1.1 Objectifs

Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral formul dans le chapitre 1, un objectif spcifique

additionnel a t formul dans ce chapitre.

Objectif spcifique 3: implmenter les quations du facteur de puissance de la charge dans le

systme destimation dtat des matrices augmentes.


Hypothse 3 : lintroduction de linformation du facteur de puissance de la charge avec une

prcision plus grande que celle de la puissance vont amliorer la prcision de lestimation de la

charge du rseau.

Rfutabilit : lhypothse sera rfute si lerreur des variables dtat en incluant la charge est plus

grand que 5%

Justification de loriginalit : linformation du facteur de puissance de la charge na pas encore

t utilise indpendamment de la puissance dans les dveloppements publis de la mthode

DSSE-MANA.


4.2.1 Modification lalgorithme

Lalgorithme qui mule la mthode destimation dtat dans un environnement MATLAB doit

tre mise jour avec la nouvelle information du facteur de puissance de la charge.

40

4.2.2 Simulation et comparaison des rsultats

En utilisant la mthodologie du chapitre 3, lalgorithme est excut avec la nouvelle fonction

objective afin de mesurer limpact des quations du facteur de puissance dans la prcision de

lestimation de la charge.

4.3 Test 4 : estimation de la charge avant et aprs lintgration du facteur de

puissance

Le circuit des tests 2 et 3 est utilis (Figure 3.5). Les charges originales se trouvent dans le

Tableau 4.1 et les charges avec une perturbation contrle de 30% et un fateur de puissance

constant se trouvent dans le Tableau 4.2

Tableau 4.1 : Charges originales du test 4.

Charge kW-A kW-B kW-C kvar-A kvar-B kvar-C

103 15 12 15 4 3 4

1083 10 10 10 2 2 2

113 5 2 5 1.4 0.5 1.4

28 30 25 25 3 2 2

31 7 7 7 1 1 1

51 3 7 5 1 2 1.5

54 3 7 5 1 2 1.5

735 9 12 10 2 3 2.5

96 3.2 7 4 1.8 1.2 3

Tableau 4.2 : Charges modifies (perturbation contrle) du test 4.


103 18 8.5 17 4.8 2.13 4.53

1083 7 12 11 1.4 2.4 2.2

113 6.2 1.8 6 1.74 0.45 1.68

28 40 28 20 4 2.24 1.6

31 8 6 7.2 1.14 0.86 1.03

51 1 10 3 0.33 2.86 0.9

54 1 7.3 7 0.33 2.09 2.1

735 10 8 12 2.22 2 3

96 2.5 6.5 5.2 1.41 1.11 3.9

La prcision des mesures de puissance est 99.2%, des mesures de tension est 99.5%, des mesures

de courant est 99% et de la puissance des charges est 1%.

41

Lorsque lalgorithme est excut sans linformation de puissance lerreur la plus haute des

mesures est 1.7%. Par contre lerreur la plus haute destimation de la charge est 62.7% Tableau

4.3).

Tableau 4.3 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 sans facteur de puissance


103 0.6% 0.4% 0.6% 8.2% 12.7% 3.8%

1083 0.2% 0.1% 0.1% 9.2% 3.7% 11.4%

113 1.0% 0.5% 1.3% 3.7% 8.6% 16.3%

28 0.5% 0.1% 0.3% 32.1% 2.8% 16.1%

31 0.1% 0.3% 0.9% 13.4% 12.8% 2.5%

51 3.4% 0.9% 2.0% 60.9% 22.1% 35.7%

54 3.4% 0.9% 4.0% 62.7% 15.7% 44.4%

735 0.3% 0.4% 0.2% 5.7% 5.3% 3.9%

96 0.4% 0.6% 0.4% 13.5% 26.7% 4.2%

En la deuxime partie du test 4, les valeurs initiales de la charge sont les mmes du Tableau 4.2,

les prcisions restent gales et linformation du facteur de puissance de la charge est introduite

avec une prcision de 99.9%. Comme rsultats, lerreur la plus haute des mesures est 0.3% et

lerreur la plus haute destimation de la charge est 4.7% Tableau 4.4).

Tableau 4.4 : Erreur de lestimation de la charge du test 4 avec facteur de puissance


103 0.1% 0.0% 0.0% 0.1% 0.0% 0.0%

1083 0.1% 0.0% 0.1% 0.0% 0.0% 0.1%

113 0.8% 0.1% 0.0% 0.8% 0.1% 0.0%

28 0.2% 0.0% 0.0% 1.4% 0.1% 0.8%

31 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% 0.1% 0.0%

51 1.8% 0.0% 0.2% 1.8% 0.0% 0.2%

54 4.6% 0.0% 0.4% 4.7% 0.0% 0.4%

735 0.1% 0.0% 0.0% 0.3% 0.0% 0.0%

96 1.4% 0.1% 0.2% 1.4% 0.1% 0.2%

Cette information confirme les hypothses 2 et 3. Cependant, il faut vrifier si la convergence du

systme a t affecte par le traitement de la nouvelle information. La Figure 4.1 montre que pour

le mme point de dpart de 3.499*105 units, la fonction objective tombe jusqu 730.8 units

la dixime itration sans utiliser linformation du facteur de puissance de la charge. Lorsque

42

linformation est utilise, la fonction tombe jusqu 1909 units (Figure 4.2). Par contre, la valeur

de delta des variables dtat est plus petite si la nouvelle information est utilise (Figure 4.3 et

Figure 4.4). En gnral le systme converge indpendamment de lutilisation du facteur de

puissance, donc lhypothse 1 est encore valide.

Figure 4.1 : Fonction objective avant lutilisation du facteur de puissance (Test4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

5

X: 2

Y: 3.499e+05

Fonction objectif

Itrations

Units

X: 4

Y: 1.283e+04 X: 10

Y: 730.8

43

Figure 4.2 : Fonction objective aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)

Figure 4.3 : Delta des variables dtat avant lutilisation du facteur de puissance (Test4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

5

X: 2

Y: 3.499e+05

Fonction objectif

Itrations

Units

X: 4

Y: 4431X: 10

Y: 1909

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

X: 10

Y: 0.6647

Delta des variables

Itrations

Delta x

44

Figure 4.4 : Delta des variables dtat aprs lutilisation du facteur de puissance (Test4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15

-10

-5

0

5

10

15

20

X: 10

Y: 0.3506

Delta des variables

Itrations

Delta x

45

CHAPITRE 5 OBSERVABILIT ET STABILIT

5.1 Introduction

Les chapitres prcdents montrent la stabilit et la prcision de lalgorithme pour les rseaux

100% observables. Cependant, lobservabilit des rseaux de distribution rels est beaucoup plus

faible du ct primaire est presque nulle du ct secondaire.

On veut valuer la stabilit de lalgorithme pour des rseaux qui ne sont pas 100% observables.

Ce chapitre prsente les rsultats des tests pour le rseau dcrit dans le chapitre 3 (Figure 3.5)

lorsque quelques lments de mesure sont enlevs. Plusieurs excutions sont effectues pour

trouver le niveau minimal dobservabilit. Autrement dit, le maximum des lments de mesure

qui peuvent tre enlevs avant que le systme ne converge plus.

On propose aussi de placer des mesures virtuelles, dans le but damliorer la stabilit de

lalgorithme lorsque le rseau na pas assez dlments de mesure rels installs. Comme ces

mesures ne sont pas prsentes dans le vrai rseau, elles napportent pas de nouvelle information,

cest pour cela que leur prcision doit tre faible par rapport la prcision des vrais lments de

mesure. Les valeurs de tension et de courant des mesures virtuelles sont celles calcules par la

rpartition de puissance utilise dans linitialisation de lestimation dtat.

Avec laide des mesures virtuelles de faible prcision, lestimation dtat a un meilleur point de

dpart pour estimer les variables dtat et la puissance de la charge de rseaux maills faiblement

observables. Ce chapitre compare aussi les plus faibles niveaux dobservabilit avant et aprs

lutilisation des mesures virtuelles.

5.1.1 Objectif

Afin de parvenir atteindre lobjectif gnral formul dans le chapitre 1, un objectif spcifique

additionnel a t formul dans ce chapitre :

Objectif spcifique 4: estimer ltat des rseaux de distribution maills faiblement observables.


Hypothse 4 : lintroduction de mesures virtuelles dans les nuds o le rseau nest pas

observable augment la stabilit du systme.

46

Rfutabilit : lhypothse sera vrifie si la mthode est capable de converger vers le bon rsultat

dans les cas o le faible niveau dobservabilit empche la convergence de la mthode DSSE-

MANA.

Justification de loriginalit : les mesures virtuelles de faible prcision nont pas encore t

utilises dans la mthode DSSE-MANA pour amliorer la stabilit du systme.


5.2.1 valuation de la stabilit du systme

En utilisant la mthodologie du chapitre 3, ainsi que le circuit et les charges (originales et

modifies) du test 4 (Figure 3.5, Tableau 4.1 et Tableau 4.2), les lments de mesure de tension et

de courant seront enlevs un par un de faon alatoire afin de trouver le cas o lalgorithme ne

converge plus (niveau minimal dobservabilit).

5.2.2 valuation de la stabilit du systme avec les mesures virtuelles

Les lments de mesure de tension et de courant enleves dans lactivit prcdente seront

remplacs par des mesures virtuelles. Si le nouvel algorithme est stable, dautres lments seront

enlevs et remplacs afin de trouver la nouvelle limite minimale dobservabilit. Les valeurs des

mesures virtuelles seront prises des rsultats de la rpartition de puissance du rseau avec les

conditions initiales (charge modifies Tableau 4.2) et sa prcision sera fixe 1%.

5.3 Test 5 : stabilit du systme lorsque lobservabilit du rseau diminue

Aprs avoir fait plusieurs tests, la quantit maximale des mesures quon peut enlever du circuit

avant que le systme diverge ou converge vers les mauvais rsultats des mesures est : 3 appareils

de mesure de tension (nuds 4, 79 et 100) et 3 appareils de mesure de courant (sections 773, 10

et 119), ce qui reprsente le 33% et le 20% des mesures initiales respectivement.

Les erreurs calcules des mesures de tension et de courant sont toutes plus petites que 5%.

Cependant, le Tableau 5.1 montre que certaines valeurs de lerreur des mesures de puissance ont

dpass

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