1er Bac Ingénieurs et Ingénieurs Architectes Examen de Communication Graphique

Lundi 10 Janvier 2011 - 8h30-12h30 Durée totale : 4 heures.

Université de Liège Faculté des sciences appliquées Examen de Communication Graphique Année académique 2010 – 2011, session de janvier. Solution de la question de théorie N°1 : Géométrie de Monge

Soit un système optique composé de deux miroirs représentés par les rectangles ABED et BCFE ainsi qu'un rayon lumineux incident matérialisé par la droite r. On demande de déterminer la trajectoire du rayon lumineux à l'intérieur et à la sortie du système optique sachant que le rayon incident est compris dans un plan perpendiculaire au segment BE (ce plan est donc également perpendiculaire aux deux miroirs).

1. Déterminez les traces du plan a contenant le rayon incident et perpendiculaire au segment BE. Solution : On commence par rechercher un point de la trace verticale de α en cherchant le point de percée de la droite r. La trace verticale est ensuite obtenue sachant qu’elle est parallèle à B’E’. De même, la trace horizontale est tracée perpendiculaire à BE.

2. Déterminez les points de percée des segments AD, BE et CF dans le plan α. Déduisez en l'intersection des deux miroirs avec α. Solution : Les points de percée G, H et I sont localisés en utilisant par exemple des plans de bout.

3. Effectuez un rabattement du plan α dans le plan horizontal en utilisant la trace horizontale du plan α comme charnière. Tracez dans ce rabattement le parcours du rayon lumineux en considérant les réflexions. Solution :

a) On rabat les points G, H et I ainsi que la droite r. Le rabattement de r peut-être obtenu en remarquant que celle-ci est parallèle à la charnière il suffit alors de rabattre un de ses points ou alternativement en utilisant la méthode générale qui consiste à rabattre deux de ses points.

b) On trace le parcours du rayon lumineux en vraie grandeur dans le rabattement.

4. Relevez dans les deux projections le parcours du rayon lumineux. Solution :

a) La projection horizontale du rayon lumineux est obtenue par relèvement classique b) La projection verticale de la portion de rayon comprise entre les deux miroirs est

obtenue par simple report. Pour tracer la projection verticale du rayon sortant on recourt à une droite horizontale du plan α afin de connaître la position d’un second point du rayon sortant.

Solution de la question de théorie N°2 : Projection cotée

1. De dessiner le fond du bassin ainsi que le déblai nécessaire dans l'épure en projection cotée. Solution :

a) Les lignes de niveau du terrain ainsi que le contour de la base du bassin sont tracés. Étant donné l’unité graphique la longueur des côtés de la base du bassin est sur le dessin :

4 4 5 20m u m mm m mm⋅ = ⋅ = b) Les échelles de pente et les lignes de niveau des plans représentant les flancs du

bassin d’orage sont ensuite tracés. Sachant que la pente de ceux-ci doit être de 50%, nous calculons un intervalle graphique de :

5 100.5

u mm mmp

δ = = =

c) Recherche des intersections des les flancs du déblai entre eux et avec le terrain. d) Finalisation du dessin en prolongeant les lignes de niveau des flancs et en relimitant

les lignes de niveaux du terrain.

2. De calculer le volume maximal d'eau qui peut-être contenue dans le bassin. Solution : Le niveau maximum que pourra atteindre l’eau correspond au point le plus bas des flancs du bassin (il s’agit de l’extrémité sud-ouest). La cote de ce point est mesurable sur l’épure et vaut 5,5m. La hauteur de la pyramide tronquée correspondant au volume d’eau est donc de 5,5-4=1,5m. La base supérieure de la pyramide tronquée est carrée avec des côtés long de 50mm sur l’épure soit 10m en réalité. Le volume d’eau vaut par conséquent :

( )2 2 2 2 31,5 10 4 10 4 0,5 156 783

m+ + ⋅ = ⋅ =

Solution de la question de théorie N°3 : Projection centrale

On cherche à déterminer la hauteur d'un bâtiment vertical sur base d'une photographie du bâtiment incluant l'ombre de celui-ci sachant qu'au moment de la prise de vue l'ombre du bâtiment mesurait 40m. On fournit en annexe le décalquage de la photographie comprenant:

o L'esplanade rectangulaire sur laquelle le bâtiment est construit.

o Le bâtiment représenté par le segment AB.

o Le segment AO qui schématise l'ombre portée sur l'esplanade par le bâtiment.

Méthode:

1. Recherchez la ligne de fuite du plan de l'esplanade sachant que celle-ci est rectangulaire. Déduisez en le point de fuite de la droite supportant l'ombre. Solution : L’esplanade étant rectangulaire ses côtés sont parallèles deux à deux. On obtient donc le point de fuite associé à chaque paire de côtés en prolongeant ceux-ci. La ligne de fuite du plan α de l’esplanade est tracée en reliant les deux points de fuite obtenus. Le point de fuite de la droite AO est obtenu à son intersection avec la ligne de fuite Fα.

2. Effectuez un rabattement de la droite supportant l'ombre sachant que la distance principale associée à la prise de vue est de 50mm. Utilisez comme trace l'extrémité O de l'ombre. Connaissant la longueur de l'ombre en vraie grandeur sur l'épure calculez le facteur d'échelle de la prise de vue. Solution : On procède ensuite au rabattement de AO autour de son image conformément à la méthode du cours théorique. La distance entre A et O en vraie grandeur sur l’épure est de 80mm. L’échelle du dessin est donc 1/500.

3. Mesurez la hauteur en vraie grandeur et à l'échelle du bâtiment: Conseils :

• Par B tracez une droite parallèle à AO.

Solution : On trace une droite b par B et FAO. • Recherchez et utilisez la trace de cette droite sachant que cette droite est comprise dans un

même plan vertical que AO.

Solution : Le plan contenant AO et sa parallèle b étant vertical, sa trace sera également verticale. La trace de ce plan est donc la droite verticale passant par le point O. La trace Tb de b est donc située son intersection avec la verticale passant par O. Le segment TbO étant situé dans le plan du tableau, il est vu en vraie grandeur (à l’échelle) sur l’épure. On mesure une longueur de 60mm qui correspond également à la vraie grandeur du segment AB.

4. Appliquez le facteur d'échelle à la mesure en vraie grandeur sur l'épure afin de connaître la hauteur réelle du bâtiment. Solution :

La hauteur du bâtiment est de : 60 301 500

m= .

Solution de la question de théorie N°4 : Géométrie numérique

1. Ecrire sous forme matricielle chaque transformation élémentaire en utilisant les coordonnées homogènes. Donnez la relation qui les lie à la combinaison . Solution : En notant et respectivement les matrices de rotation autour des axes Y et X, la matrice de translation et la matrice de projection, on a : 0 00 1 0 00 00 0 0 1

0 √ 00 1 0 0√ 0 00 0 0 1

1 0 0 10 1 0 30 0 1 30 0 0 1

1 0 0 00 00 00 0 0 11 0 0 00 √ √ 00 √ √ 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

En suivant les règles de combinaison des transformations, nous obtenons la matrice de transformation complète : . . .

2. Explicitez les composantes de la matrice de la transformation affine résultante . Solution : 12 0 √32 1√64 √22 √24 00 0 0 00 0 0 1

3. Calculez analytiquement les facteurs de réduction de la projection correspondante (m, n et p) et identifiez le type de projection (isométrique, dimétrique ou trimétrique). Solution : Soit la matrice P0 qui rassemble les coordonnées d’origine des sommets du trièdre formé par le système d’axes (chaque colonne correspond à un sommet). 0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 1

La transformation T permet de passer de P0 à P1 la matrice des coordonnées transformées des sommets du trièdre dans le système d'axes de référence. . On obtient : 1 32 1 √32 10 √64 √22 √240 0 0 01 1 1 1

Si les quatre points composant le trièdre de base sont O, A, B et C, nous pouvons écrire P1

[ ]=P1 O1 A1 B1 C1 Les vecteurs associés aux arêtes du trièdre de base sont alors :

1 2 0 3 26 4 2 2 2 40 0 00 0 0

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

O1A1 O1B1 O1C1

Les facteurs de réduction sont alors :

10 2 144 2 4

m n p= = = = = =O1A1 O1B1 O1C1

Les trois facteurs de réduction étant différents, nous en déduisons que la projection est une trimétrie.

2ème Partie : Exercices (Notes de cours autorisées) Durée : 2 heures 1) Axonométrie

On donne les trois vues d'un objet. Dans un premier temps, tracez en traits fins une isométrie selon le point de vue indiqué. Dans un second temps, déterminez la trace du plan de coupe suggéré par les trois points A, B et C. Les arêtes visibles (derrière le plan de coupe) seront tracées en traits continus forts, les arêtes invisibles en traits pointillés. La trace du plan sera indiquée en traits forts. Les arêtes situées à l'avant du plan (visibles ou non) resteront en traits fins. Solution : L'axonométrie et la coupe sont tracées conformément à la méthode du cours.

2) Construction d'une perspective 1. Tracez la vue en perspective sur l'ébauche fournie correspondant au tableau , en

respectant le point de vue S dont la position est indiquée sur le dessin.

Indications : • En premier lieu, considérez seulement les arêtes verticales formées par les extrémités

des banches de l'étoile dans l'épure de Monge. Une fois la vue en perspective réalisée, compléter l'étoile.

Solution : a. Tout d'abord, seul les arêtes verticales formées par les extrémités des branches de

l’étoile sont représentées en projection centrale. b. Puis la projection centrale de l'objet est complétée.

2. Dans un second temps, dessiner l'ombre portée par le solide sur le plan horizontal de référence.

Indications :

• La source lumineuse (située à l'infini derrière l'observateur) est indiquée par les traces horizontale et verticale d'un rayon d.

• Pour déterminer le point de fuite associé au rayon lumineux, faites passer par le point de vue une droite parallèle au rayon donné et déterminez le point de percée de cette droite dans le plan du tableau.

Solution : c. La position de la source lumineuse est reportée dans l’épure en perspective et

l’ombre portée par l’objet sur le sol recherchée. d. On obtient l'ombre porté par l'objet en projection centrale.