14 Proportionnalitéet géométrie
2 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
2 Objectifs des activités
Activité 1Faire comprendre à l’élève la notion d’agran-dissement à l’échelle.
Activité 2Faire découvrir la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction.
Activité 3Faire découvrir une propriété de conservation de parallélisme et d’orthogonalité dans un agrandissement / réduction.
Activité 4Démontrer la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction dans le cas d’un triangle rectangle.
1 Commentaires généraux
Le chapitre 14 traite de certains problèmes de proportionnalité rencontrés en géométrie dans le cadre du programme de 4e.
Une grande partie du chapitre est consacrée à l’étude des agrandissements et réductions à l’échelle de fi gures planes. De nombreuses situations permettent à l’élève d’observer et d’utiliser les propriétés de conservation des fi gures lors d’un agrandissement ou d’une réduction à l’échelle (mesures d’angles, parallélisme). Une part importante du contenu est consacrée à des constructions de tels agrandissements ou réductions.
La variation d’une grandeur en fonction d’une autre, dans le cadre des formules d’aires et de volumes, offre de nombreuses situations de proportionnalité ainsi que de non proportionnalité.
Par ailleurs, les élèves découvrent et utilisent dans ce chapitre la proportionnalité entre, d’une part, la longueur d’un arc de cercle ou l’aire d’un secteur angulaire et, d’autre part, son angle au centre. Cette étude permet l’élaboration d’un patron de cône.
Pour traiter ce chapitre, il est important que les notions du chapitre 7 soient déjà familières pour l’élève, notamment la procédure des « produits en croix ».
L’enseignant trouve ici l’occasion d’utiliser pleinement les logiciels de géométrie dynamique avec ses élèves. Le site Internet de la collection (www.dimatheme.com) propose un nombre conséquent d’illustrations interactives en liaison avec les activités et les exercices de ce chapitre.
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 3
3 Avant de démarrer (solutions)
A. c B. c C. a D. b E. c
4 Je découvre, j’utilise (solutions)
1
9,5 cm
4 cm
2 M’N’ = M’P’ = 2 # 28 = 56 mmet P’N’ = 1,5 # 28 = 42 mm
M’
P’ N’
3
5 cm7,6 cm
9 cm C’B’
A’ D’
4 D’E’ = 50 # 0,2 = 10 cmD’F’ = 29 # 0,2 = 5,8 cmet F’E’ = 63 # 0,2 = 12,6 cm
D’
F’
E’
5 1. HIJ est un triangle rectangle en H. En appli-quant le théorème de Pythagore, on a :IJ2 = HI2 + HJ2
IJ2 = 5 6002 + 4 2002 = 49 000 000donc IJ = 7 000 (en mètres)
2. À l’échelle 70 000
1 les nouvelles dimensions
sont (en cm) :
H’I’ = 70 000
560 000 = 8 ; H’J’ =
70 000420 000
= 6
I’J’ = 70 000700 000
= 10
H’ 8 cm
10 cm6 cm
I’
J’
6 1 600 km = 160 000 000 cm
20 000 000160 000 000
8=
d’où : Îlesdes Bermudes
merdes sargasses
(OCÉANATLANTIQUE)Floride
Porto Rico
8 cm
8 cm
8 cm8 cm
7 12 m = 1 200 cm ; 4 m = 400 cm7 m = 700 cm
Dimensions réelles en cm
1 200 700 400 75
Dimensions sur le plan en cm
9,6 5,6 3,2 0,6
tableau
9,6 cm
porte
3,2
cm
0,6
cm5,
6 cm
: 125
4 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
8 ,,
2 18 4
4=
Il s’agit de multiplier chaque dimension par 4.A’M’ = 4 # 1,9 = 7,6 cm et A’F’ = 4 # 1 = 4 cm
7,6 cm
8,4 cm
4 cm
A’
F’
M’
9 ,56
1 2= .
Il s’agit de multiplier chaque dimension par 1,2.M’P’ = P’N’ = 1,2 # 4,5 = 5,4 cm
5,4 cm
6 cmM’ N’
P’
10 50 m = 5 000 cm
85 000
625=
Il s’agit d’une réduction à l’échelle 6251
.
Dimensionsréelles en m
50 45 15 30
Dimensions surle schéma en cm
8 7,2 2,4 4,8
2,4 cm
7,2 cm
8 cm
4,8
cm
2,4 cm
11 ,
,3
7 82 6= .
Il s’agit d’un agrandissement à l’échelle 2,6.E’G’ = 2,6 # 2,5 = 6,5 cm
7,8 cm
6,5 cm
G’
F’E’
12
Londres-Berlin
Berlin-Paris
Paris-Londres
Distance réelle en km
921 868 341
Distance surle schéma en cm
10 9,4 3,7
L
P
10 cm
9,4 cm
3,7 cm
B
13 Z’A’ = A’E’ = 50 mm et ZAE\ = 45°
45°
A’
Z’
E’
14
R’ 14 cm
U’
T’
31°
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 5
15 1. PSD\ = 110° ; SDO\ = 70° et DOP\ = 110° .
2. À l’échelle 31
chaque côté mesure 8 cm et les
mesures des angles restent inchangées.
O’ P’
S’D’
8 cm
70°
70°
110°
110°
16 1.
F 5 cm
4 cm
G
HK
50°
2. F’G’ = 1,5 # 5 = 7,5 cmHauteur : 1,5 # 4 = 6 cm
F’ 5 cm
6 cm
G’
H’K’
50°
17 ,
,9 612
1 25=
B’C’ = 1,25 # 6,8 = 8,5 cmD’C’ = 1,25 # 8,4 = 10,5 cm
’ ’ ’A B C ABC=\ \ = 79° et ’ ’ ’B C D BCD=\ \ = 90°
A’
B’
79°
C’10,5 cm
8,5 cm
12 cm
D’
18 1. a. � = 21
� # h
b. Quand � est fi xée, � et h sont deux quantités proportionnelles (un coeffi cient de proportionnalité
est 21
# �).
2. On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant.
�� en cm2 11,1 51,8
h en cm 3 x
x = ,
,11 1
3 51 8# = 14
Si � = 51,8 cm2 alors h = 14 cm .
19 1. � = � # hEn multipliant la hauteur par la base qui est fi xée, on obtient le volume, donc quand la base est fi xée le volume d’un cylindre est proportionnel à sa hauteur.
2.
Hauteur en cm 12 9
Volume en cm3 7 x
12 # x = 7 # 9
d’où ,x cm12
7 91263
5 25#
= = =
20 La longueur de l’arc de cercle est proportion-nelle à la mesure de l’angle au centre.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360 x
Longueur de l’arc en cm
12 # r 26
On a donc 12 # π # x = 360 # 26
d’où x = r12
360 26#
#. 248
21 Même raisonnement qu’à l’exercice 20.
x = r
,16
360 16 8#
#. 120
22 L’aire de la portion de disque est proportion-nelle à la mesure de l’angle au centre.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360 x
Aire en cm2 72 # r 98
On a donc 49r # x = 360 # 98
d’où x = r49
360 98#
#. 229
6 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
23 Même raisonnement qu’à l’exercice 22.
x = r1
36000
218#
#. 250
24 Les mesures des arcs sont proportionnelles à celles des angles au centre.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360 130
Mesure de l’arc en cm 12 # r �
On a donc 360 # � = 130 # 12 # r
d’où � = r
360130 12##
. 13,6 cm
25 Les aires sont proportionnelles aux angles au centre.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360 80
Aire en cm2 72 # r �
On a donc 360 # � = 80 # 49 # r
d’où � = r
36080 49##
. 34,2 cm2
26 1.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360 x
Longueur de l’arc en cm
2 # 4 # r 15
On a donc 8 # r # x = 360 # 15
d’où x = r r8
360 15 756#
#= . 215
2.
Mesure de l’angle au centre en degrés
360r
675
Aire en cm2 42 # r �
On a donc 360 # � = r
675 # 16 # r
d’où 360 # � = 675 # 16
� = 360
675 16# = 30 cm2
5 Faire le point en classe (solutions)
27 À l’échelle 7 les nouvelles dimensions sont 49 cm ; 56 cm et 70 cm.
28 32 ' 4 = 8 .À l’échelle un quart, chaque côté mesure 8 cm.
29 Pour obtenir les dimensions fi nales, on multiplie les dimensions par 0,8 (4 ' 5). On obtient 8 cm ; 4 cm et 5,6 cm.
30 • vert et bleu : facteur d’agrandissement ou de réduction 2.• orange et rouge : facteur d’agrandissement ou de réduction 1,5.
31 1 km = 100 000 cm .Le rectangle de dimensions 15 cm sur 9 cm est une réduction du rectangle de dimensions 15 km sur
9 km à l’échelle 100 000
1.
32 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles dont les longueurs des côtés sont proportionnelles.
BABD
BCBE
ACDE
= = .
2. Un facteur de réduction est BABD
86
43
= = ou 0,75.
33 Paul a raison, un facteur de réduction est égal au quotient de la longueur du petit côté par celle du grand côté.
34 Jane a raison, dans une réduction la mesure des angles et la nature des polygones sont conservées.
35
A B
45°
C D
4,2
cm
8,4 cm
36 1. P = 2 # r # rOn obtient le périmètre d’un cercle en multipliant son rayon par le nombre fi xe 2 # r , donc le péri-mètre est proportionnel au rayon.
2. � = r # r # rPour obtenir l’aire d’un disque, on multiplie son rayon par le nombre r # r qui n’est pas fi xe, donc l’aire d’un disque n’est pas proportionnelle au rayon.
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 7
37 La mesure de l’angle au centre est proportion-nelle à la longueur de l’arc.
a. 24060
41
= ; 36041
90# = .
Si l’arc mesure 60 cm l’angle mesure 90°.
b. 24048
51
= ; 36051
72# = .
Si l’arc mesure 48 cm l’angle mesure 72°.
c. 240180
43
= ; 36043
270# = .
Si l’arc mesure 180 cm l’angle mesure 270°.
38 a. (d ) // (AB)
(d )B
A
b. (d ) // (AB)
(d )B
A
c. (d ) // (AB)
(d )B
A
6 Calcul mental (solutions)
39 a. 56 ; 72 ; 88b. 3,5 ; 4,5 ; 5,5c. 0,7 ; 0,9 ; 1,1
40 7,5 ; 12 ; 0,9 et 15
41 53
106
= ou 0,6
7 J’évalue mes compétences (solutions)
42 b.
43 a.
44 b.
45 a. et b.
46 a. (valeur exacte r r60
360 18030#= )
8 Je m’entraîne (solutions)
47 1. A’B’ = 1,2 # 6 = 7,2 cmA’C’ = 1,2 # 5 = 6 cm B’C’ = 1,2 # 7 = 8,4 cm
A’
B’ 8,4 cm
6 cm7,2 cm
C’
2. A’B’ = 0,8 # 6 = 4,8 cmA’C’ = 0,8 # 5 = 4 cmB’C’ = 0,8 # 7 = 5,6 cm
A’
B’ 5,6 cm
4 cm4,8 cm
C’
48 1. ’ ’ ’R S T\ = 35° ; ’ ’ ’R T S\ = 48°et S’T’ = 1,4 # 5 = 7 cm
R’
35° 48°
7 cm T’S’
2. ’ ’ ’R S T\ = 35° ; ’ ’ ’R T S\ = 48°et S’T’ = 0,7 # 5 = 3,5 cm
R’
35° 48°3,5 cm T’S’
49 ’ ’
FGF G
246
41
= = . Le triangle E’F’G’ est une
réduction du triangle EFG à l’échelle 41
.
8 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
E’F’ = 41
# 12 = 3 cm et EG = 41
# 16 = 4 cm
E’
4 cm
6 cm
G’
F’
3 cm
50 a. Échelle 3
b. Échelle 53
A
B
(d )
(d) // (AB)
c. Échelle 37
(d) // (AB)
A
B(d )
51 On peut mesurer les angles du triangle ABC en construisant un triangle A’B’C’ à l’échelle 100.A’B’ = 10 cm ; A’C’ = 8 cm et B’C’ = 15 cm .Les angles du triangle A’B’C’ ont les mêmes mesu-res que ceux du triangle ABC c’est-à-dire :
ABC.\ 30° ; ACB.\ 38° et BAC.\ 112° .
52 1. ,
,BFSL
4636 8
54
0 8= = =
,,
ALPF
3124 8
54
0 8= = = ; ,
,SABP
3225 6
54
0 8= = =
Le triangle BFP est une réduction du triangle SLA à l’échelle 0,8.
2. Dans une réduction, les mesures des angles sont conservées donc :PBF ASL= =\ \ 42°BFP SLA= =\ \ 44°La somme des angles d’un triangle est égale à 180° donc BPF\ = 180° - (42° + 44°) = 94° .
53 1. C
B 4,5 cm
6 cm7,5 cm
A
2. AC2 = 7,52 = 56,25BC2 + BA2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25donc AC2 = BC2 + BA2 .D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
3. Dans une réduction, la mesure des angles est conservée donc le triangle A’B’C’ est rectangle en B’.
54 1. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés est égale à la moi-tié de la longueur du troisième côté.
, ; ,DE AC cm FE AB cm21
4 2521
5 5= = = =
et .DF BC cm21
3= =
2. ADF ; DBE ; FEC et EDF sont des réductions du triangle ABC à l’échelle 0,5.
55 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels.(DE) // (CB)
ACAD
ABAE
CBDE
93
31
= = = =
2. AED est une réduction de ABC à l’échelle 31
.
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 9
56 1. Les trois triangles ont la même hauteur égale à 3,5 cm.
2.
Triangle EFG HIJ MLK
Longueur en cmdu côté horizontal
1,5 5,4 4,1
Aire en cm2 2,625 9,45 7,175
3. ,
,,,
,,
,1 5
2 6255 49 45
4 17 175
1 75= = =
Les deux dernières lignes du tableau sont propor-tionnelles car on passe de la longueur du côté hori-zontal à l’aire en multipliant par 1,75.
� = h
c2# avec ici h = 3,5 donc ,
h2
1 75= .
Le résultat précédent était donc prévisible puisque l’on obtient l’aire d’un triangle en multipliant un de ses côtés par la moitié de la longueur de la hau-teur correspondante qui est ici fi xe.
57 1. Les trois quadrilatères sont des parallélo-grammes.
2.
Quadrilatère ABCD ABEF ABGM
Hauteur relativeà [AB] en cm
2 4 1
Aire en cm2 12 24 6
3. 2
123
1816
6= = =
Les deux dernières lignes du tableau sont propor-tionnelles.Pour obtenir l’aire de chacun de ces parallélo-grammes, on multiplie une de ses hauteurs par la longueur du côté correspondant qui ici est fi xe.� = 6 # hL’aire est donc proportionnelle à la hauteur quand le côté est de longueur fi xe.
58 1. Aire ABCD = 32 = 9 cm2 .Aire ABED = aire ABCD + aire BCE
= 9 + 2
3 3# = 13,5 (cm2).
Aire ABFD = aire ABCD + aire BCF
= 9 + 2
36# = 18 (cm2).
Aire ABGD = aire ABCD + aire BCG
= 9 + 2
39# = 22,5 (cm2).
2. 39
3= } , .3 2 25! Les aires ne sont pas
,
,6
13 52 25=
proportionnelles aux longueurs des côtés opposés à [AB].
59 1. V31
= � # h
Si la base � est fi xée, le volume du cône s’obtient
en multipliant la hauteur par le nombre fi xe �3
donc
le volume et la hauteur sont proportionnels.
2.
Volume en cm3 25 v
Hauteur en cm
5 12
60 1.
4 cm
8 cm
8 cm
6 cm
2. V = 31
rr2 # h
Si r = 4 et h = 8 ,
V1 = 31
r # 42 # 8 = r
3128
. 134 (cm3)
Si r = 6 et h = 8 ,
V2 = 31
r # 62 # 8 = r
r3
96288
= . 301,6 (cm3)
3.
Volume en cm3 r
332 r
316
Rayon de la base en cm 4 6
6 # r
r3
3264= }
Les produits en croix sont dif-férents donc le tableau n’est pas de proportionnalité. Le volume d’un cône n’est pas propor-tionnel au rayon de sa base.
4 # r r
3 36416
=
61 1. V31
= � # h
Si la base � est fi xe, on obtient le volume en mul-
tipliant la hauteur par le nombre fi xe �3
donc le
volume est proportionnel à la hauteur.
2.
Volume en cm3 50 120
Hauteur en cm 16 h
On a donc 51 # h = 120 # 16
d’où h = 50
120 16# = 38,4 cm
On a donc 5v = 25 # 12
d’où v = 5
25 12# = 60 (cm3).
10 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
62 La longueur de l’arc et l’aire du secteur sont proportionnelles à l’angle au centre.
Angle en degrés 360 50
Longueur en cm 2 # r # 4 �
On a donc 360 # � = 50 # 2 # r # 4
� = r
r360
4009
10= . 3,5 (cm)
Angle en degrés 360 50
Aire en cm2 r # 42 �
On a donc 360 # � = 50 # 42 # r
� = r
r360
8009
20= . 7 (cm2)
63 La longueur de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre.
Angle en degrés 360 x
Longueur en cm 2 # r # 6 22
On a donc 12 # r # x = 22 # 360
d’où x = r r12
22 360 660#= . 210 (en °)
64 L’aire du secteur est proportionnelle à la me-sure de l’angle au centre.
Angle en degrés 360 x
Aire en cm2 r # 72 32
On a donc 49 # r # x = 360 # 32
d’où x = r49
360 23#. 75 (en °)
9 J’approfondis (solutions)
65 • Longueur du rectangle initial 6
10818= (cm)
• Largeur du rectangle initial ,4
184 5= (cm)
• Aire du rectangle initial 18 # 4,5 = 81 (cm2)
66 Pour déterminer le format on divise la longueur
par la largeur ; puis on compare à 23
et à 34
.
Format argentique 3/2 Format numérique 4/3• 51 # 34 • 2 272 # 1 704• 30 # 20 • 1 800 # 1 350• 30 # 45 • 1 500 # 1 125 • 1 024 # 768 • 1 300 # 975 • 1 700 # 1 275 • 20 # 15 • 52 # 39
67 1. Avec les deux premières colonnes :
{ 841 # 841 = 707 281 595 # 1 189 = 707 455Donc à peu de chose près, ces dimensions ne sont pas proportionnelles.
2. a. , ; ,, ;841
11891 41
595841
421
5951 411 41. . .
, ; , ; , ,;297421
1 42210297
1 41148210
1 42105148
1 41. . . .
b. À un centième près, on obtient le même facteur.
3.
A6A3 A2 A1 A0A5A5 A4
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 11
68 À l’échelle 109, 1 pm est représenté par 1 mm donc sur le schéma OH = OH’ = 96 mm , r = 25 mm et R = 60 mm (l’angle ’HOH\ est inchangé).
Représentation de la molécule à l’échelle 109 :
H
O
H’
12 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
69 Périmètre du cercle de gauche de rayon 3 cm : 2r # 3 = 6r (en cm). La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.
Angle au centreen degrés
360 x
Longueur de l’arcen cm
2r # 4 6r
On a donc 8rx = 360 # 6r
d’où x = r
r
8360 6#
= 270 (en °)
70 La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.Angle au centre pour l’arc bleu : 360 - 47 = 313Longueur de l’arc bleu :
r r ,360313
2 360313
5 22# # # = . (en cm)
Angle au centreen degrés
360 x
Longueur de l’arcen cm
2r # 5r
60313
On a donc 10rx = r360 31
603# #
= 1 878r
d’où x = r
r,
101 878
187 8 188= . (en °)
71 1. Si A est un point du cercle de base, le triangle SHA est rectangle en H.
H 3 A
z
S
4
2. a. y = 3 (cm), c’est le rayon de la base.Puisque le triangle SHA est rectangle en H, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :z2 = 42 + 32 donc z = 5 (cm).b. L’arc rouge et l’arc bleu sont de même longueur.c. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.
Angle au centreen degrés
360 x
Longueur de l’arcen cm
2 # 5 # r 6r
On a donc 10rx = 360 # 6r
d’où x = r
r
10360 6
216#
= (en °)
3.
3 cm
216°5 cm
72 Avec la même démarche qu’à l’exercice 71.
, , cm31 25 5 6.
H 2,5 A
S
5
Angle au centreen degrés
360 x
Longueur de l’arcen cm
2 # 5,6 # r 2 # 2,5 # r
On a donc x = r
r
,11 25 360
161#
# #c (en °).
2,5 cm161°
5,6 cm
73 1. a. 50 % échelle de réduction de facteur 0,5.b. 200 % échelle d’agrandissement de facteur 2.c. 500 % échelle d’agrandissement de facteur 5.
2. , ; , ,1121
1 909 1 909 1 91100191
=. .
Il faut saisir 191 %.
Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 13
74 1.
D A O
F
B
C E
�1
�2
2. a. Si on joint un point d’un cercle aux deux extrémités d’un de ces diamètres on obtient un triangle rectangle.ABC est rectangle en B et DFE est rectangle en F.b. On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABC et DFE.On a : AC2 = AB2 + BC2
d’où BC2 = AC2 - AB2 = 82 - 4,82 = 40,96 d’où BC = 6,4 (cm).DE2 = DF2 + FE2
d’où FE2 = DE2 - DF2 = 122 - 7,22 = 92,16 d’où FE = 9,6 (cm).
3. • ,ACDE
812
1 5= = • ,,,
ABDF
1 54 87 2
= = • ,,
,BCFE
6 49 6
1 5= =
En multipliant les dimensions de ABC par 1,5 on obtient les dimensions de DFE donc le triangle DFE est un agrandissement du triangle ABC au facteur 1,5.
75 1. Aire ABC = , ,
,AB BC
2 23 6 4 8
8 64# #
= = (m2)
2. a. L’aire de ABC est aussi égale à x
xBD AC
2 26
3#
= = .
b. On a donc 3 # x = 8,64 .
c. D’où x = ,3
8 64 = 2,88 soit BD = 2,88 (m).
3. Dans le triangle ABD rectangle en D, en utilisant le théorème de Pythagore, on a :AB2 = AD2 + BD2
d’où AD2 = AB2 - BD2
AD2 = 3,62 - 2,882 = 4,6656 AD = ,4 6656 = 2,16 (en mètres)
14 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
4. [ ]D ACd doncDC = AC - AD = 6 - 2,16 = 3,84 (en mètres)
Dimensionsdu triangle ABC en m
3,6 4,8 6
Dimensionsdu triangle ABD en m
2,16 2,88 3,6
Dimensionsdu triangle BDC en m
2,88 3,84 4,8
ABD est une réduction de ABC de facteur 0,6.BDC est une réduction de ABC de facteur 0,8.donc DC = 3,84 cm .
10 Devoirs à la maison (solutions)
76 La hauteur des lettres étant 2,4 cm, il faut refaire la fi gure du texte en multipliant les dimen-sions par 5 (5 # 2,4 = 12).
77 La fi gure n’est pas en vraie grandeur.
A B
C
78 1. ,,
;AEAB
1 76 8
4= =
,,
AEAC
2 18 4
4= =
et ,DE
BD1 56
4= = .
Le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE à l’échelle 4.
2. Dans un agrandissement, la mesure des angles est conservée, on a donc ADE ABC=\ \ .
3. Les angles correspondants ADE\ et ABC\ sont égaux donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
79
A M
N
P
I
B
C
D’après le codage de la fi gure on a :(MN) // (AB)(NP) // (BC)et (MP) // (AC)• M est à la même distance de (AB) que de (AC) donc M est un point de la bissectrice de BAC\. La bissectrice de BAC\ est (MA).• De même (PC) est la bissectrice de BCA\ et (BN) est celle de ABC\.• Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC.• Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels.
Dans le triangle AIB, on a IAIM
IBIN
ABMN
= = .
Dans le triangle AIC, on a IAIM
IIP
ACCMP
= = .
Dans le triangle BIC, on a II
IBI PN
CP N
CB= = .
Donc ABMN
ACMP
CBPN
= = .
Les longueurs des côtés du triangle MNP sont proportionnelles à celles du triangle ABC, le petit triangle est donc une réduction du grand.
Problème ouvertLa longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la lon-gueur du troisième côté.
À chaque étape les dimensions sont donc divisées par 2.À la 10e étape les dimensions sont divisées par 210
c’est-à-dire 1 024.
A10B10 = 1 024
8128
1= (cm).
B10C10 = 1 024
10512
5= (cm).
A10C10 = 1 024
7 (cm).
#0,6
#0,8
© Les Éditions Didier Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 15
• Activité 2, p. 248
Côtés de EFG en cm EF = 8 FG = 5,8 EG = 4,2
Côtés de HIJ en cm HI = ... IJ = ... HJ = ...
Côtés de KLM en cm KL = ... LM = ... KM = ...
Côtés de OPQ en cm OP = ... PQ = ... QR = ...
11 Documents à photocopier
# 0,6- 1,5
# 2
• Exercice 38, p. 256 • Exercice 50, p. 258
• Exercice 56, p. 259
Triangle EFG HIJ MLK
Longueur en cm du côté horizontal
Aire (en cm2)
• Exercice 57, p. 259
Quadrilatère ABCD ABEH ABGH
Hauteur relative à [AB] (en cm)
Aire (en cm2)
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