8/8/2019 04Extrait_mecanique_reactionnelle
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SOMMAIRE
1 INTRODUCTION 3
2 NOTION DE TORSEUR 3
2.1 Dfinition 3
2.1.1 Proprits lies aux torseurs 4
2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4
2.2 Torseurs lmentaires 4
2.2.1 Torseur couple 4
2.2.2 Torseur glisseur 4
2.3 Les torseurs de la mcanique du solide parfait 42.3.1 Torseur des efforts extrieurs 4
2.3.2 Torseur cinmatique 5
2.3.3 Torseur cintique 5
2.3.4 Torseur dynamique 5
3 CINEMATIQUE 6
3.1 Introduction 63.1.1 Dfinition 6
3.1.2 Notion de temps 6
3.1.3 Notion de mouvement 6
3.1.4 Trajectoire 6
3.2 Reprage dun solide ou dun systme de solides parfaits 6
3.2.1 Reprage dun point 6
3.2.2 Reprage dun solide 6
3.3 Vitesse 7
3.3.1 Vecteur vitesse moyenne 7
3.3.2 Vecteur vitesse instantane 8
3.3.3 Projection de Vr
dans un repre cartsien 8
3.3.4 Projection de dans un repre cylindrique 8
3.3.5 Vecteur rotation 8
3.3.6 Drivation en repre mobile 9
3.3.7 Composition des vitesses 10
3.4 Acclration 10
3.4.1 Vecteur acclration moyenne 10
3.4.2 Vecteur acclration instantane 11
3.4.3 Composition des acclrations 11
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3.5 Torseur cinmatique 12
3.6 Liaisons usuelles entre deux solides Torseurs associs 123.6.1 Liaison pivot (rotode) 12
3.6.2 Liaison glissire 13
3.6.3 Liaison pivot glissant 133.6.4 Liaison hlicodale 13
3.7 Cinmatique du contact ponctuel entre deux solides 133.7.1 Torseur cinmatique du contact ponctuel 14
3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2 14
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1 Introduction
Dans le but de simplifier la prsentation des grandeurs telles que les vecteurs ou champs de
vecteurs, les moments, ainsi que les principes de la Mcanique, nous avons choisi unformalisme li la notion de torseurs qui permet par sa reprsentation systmatique de
simplifier la manipulation tout en donnant une certaine unit aux principaux rsultats.
2 Notion de torseur
2.1 Dfinition
Un torseur est par dfinition constitu dun champ antisymtrique (champ de moments) et
dun vecteur associ appel rsultanteR .
Un torseur se note alors :
)(
)(
MM
RMT
R et tant alors appels les lments de
rduction du torseur au point M.
)(MM
Dans le cadre de la mcanique des solides parfaits (non dformables), il est possible de dfinir
partir de la connaissance du moment en un point M dun solide S (indformable), le moment
de tous points appartenant ou li S par la relation suivante appele aussi loi dedistribution :
+= RMAMM AM )()(
Ainsi, connaissant la valeur du champ en un point et sa rsultante, il possible de calculer tout
le champ en tout point laide de la formule prcdente. Dans le cas plus particulier dun
systme de solides parfaits, on pourra appliquer cette relation et calculer le champ de
moments en tout points du systmes si ces points appartiennent au mme solide ou bien si ces
solides sont lis entre eux par des liaisons mcaniques.
Cette relation nous permettra par exemple de dterminer le champ de vitesse en tout pointdun solide ou dun systme de solides.
Cas particulier : pour un effort exerc en un point quelconque dun solide ou systme de
solides, le moment en ce mme point est nul. En effet :
0)( ==
RAAMA Cette proprit est trs souvent utilise pour rsoudre un systmemcanique pour lequel certains efforts restent inconnus.
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2.1.1 Proprits lies aux torseurs
Deux torseurs sont gaux si leurs lments de rduction sont gaux en un point.
Le produit scalaire
R . constitue un invariant, cest linvariant scalaire du torseur.
)(MM
2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs
Soit deux torseurs
)(1
1
1 )(
MM
RMT et
)(2
2
2 )(
MM
RMT le produit appel aussi comoment (C) de ces
deux torseurs est indpendant du point M et calcul de la faon suivante :
+= )(12)(21 .. MM MRMRC
On peut noter aussi que le produit ou comoment du torseur par lui-mme sappelle
lautomoment.
2.2 Torseurs lmentaires
Ce sont des torseurs dont linvariant scalaire est nul, il en existe deux : le torseur couple
et le torseur glisseur .
2.2.1 Torseur couple
Le torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle et dont le moment est non nul
en un point de lespace. Le champ de moment dun couple est uniforme et ne dpend pas du
point dobservation.
2.2.2 Torseur glisseur
On appelle torseur glisseur , un torseur dont la rsultante est non nulle mais dont le
moment est nul en tout point dune droite parallle la rsultante
R . Cette droite est appele
axe central du torseur. Elle vrifie la relation suivante 0=MR
2.3 Les torseurs de la mcanique du solide parfait
Dans la suite, nous utiliserons une notation base sur la dfinition de diffrents torseurs, nousserons donc amens dfinir les torseurs suivants : torseur des efforts extrieurs, torseur
cinmatique, torseur cintique, torseur dynamique.
2.3.1 Torseur des efforts extrieurs
)(
)(
M
e
M
RMF
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2.3.2 Torseur cinmatique
)(
)(
MV
MV
2.3.3 Torseur cintique
)(
)(
M
PMC
2.3.4 Torseur dynamique
)(
)(
M
AMD
Ces diffrents torseurs seront dfinis dans les chapitres suivants
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3 Cinmatique
3.1 Introduction
3.1.1 Dfinition
La cinmatique est ltude des mouvements dans leur rapport avec le temps. On ne soccupe
pas des causes susceptibles de provoquer le mouvement.
3.1.2 Notion de temps
Le temps est une variable indpendante t, toujours croissante partir de zro, on dfinit alors
un sens positif du temps qui est celui venir, par rapport une origine des temps qui est
linstant initial not souvent to.
3.1.3 Notion de mouvementC est une notion essentiellement relative. On dira quun point est en mouvement par rapport
un tridre de rfrence si lune de ses coordonnes au moins varie avec le temps. On ne
prcisera pas si ce tridre de rfrence est au repos ou en mouvement par rapport un autre
rfrentiel.
3.1.4 Trajectoire
On appelle trajectoire dun point en mouvement le lieu gomtrique des positions
effectivement occupes par une particule ou un point dun solide quand le temps scoule.
3.2 Reprage dun solide ou dun systme de solidesparfaits
3.2.1 Reprage dun point
Pour reprer une point A1 dans un repre Ro(0,x,y,z), il suffit de 3 paramtres qui sont ses
coordonnes (x1, y1, z1).
Ro
x
A1
x1
z1
z
y1 y
3.2.2 Reprage dun solide
Le reprage dun solide ou dun systme de solide dans un repre Ro ncessite plus
dinformation. En effet, le positionnement dun solide auquel on lie un repre R ncessite
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dintroduire les angles caractristiques : on peut utiliser par exemple les angles dEuler
permettant de reprer R par rapport Ro.
On dfinit le vecteur nodal , donn par lintersection des sous espaces vectoriels {
, } et
{ , }
n xy
u
v
x1
y
z
z1
y1
A1
n u
w
v
x
Ro
Le passage dune base lautre peut se faire par composition de 3 rotation planes :
: angle de prcession : angle de nutation : angle de rotation propre
h
w
v
u
n
n
z
z
y
w
h
n
3.3 Vitesse
Soit deux points M et M dfinis respectivement t et t +t (voir figure suivante) :
O
x
M(t)
M(t+t)Vr
2
r1
rTrajectoire
z
Ro
y
3.3.1 Vecteur vitesse moyenne
Soit un point A mobile par rapport Ro :
- t= t1, A est en M,
- t=t2, A est en M,
m
1r et 2
r sont les vecteurs position de A avec et
=OMr1
= '2 OMr
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12 ttt = , le vecteur vitesse moyenne est donn part
rttrrtt
=
=
1,2
1212)1,2(Vm
3.3.2 Vecteur vitesse instantane
Le vecteur vitesse instantane du point M est dfini par :t
MMvt
=
'
0lim
Soit 0, un point fixe
==+= OMOMOMOMMOMM '''
dtOMd
tOM
tMMv
tt
=
=
=0
'
0limlim , est tangent la trajectoire en M(t)
v
On peut prciser par rapport quel rfrentiel R le mouvement est tudi, dans ce cas,
RdtOMd
Vr
=
correspond la vitesse du point M vis vis du repre R ; ce vecteur peut tre
projet dans diffrents repre, cartsiens, cylindriques, sphrique.
Son module a les dimensions [V]=[L] [T]-1
3.3.3 Projection de Vrdans un repre cartsien
Soit un repre Ro orthonorm direct li au rfrentiel R :),,,(kjiO
)
++= kzyjixM ,
++=++= kzjyixk
dt
dzjdt
dyi
dt
dxRV
3.3.4 Projection de dans un repre cylindrique
Soit un repre R orthonorm direct non li au rfrentiel Ro :),,,(
zr uuuO
+= zr uzurOM ,
++= uzdtdz
dtudru
dtdr r
rRV , avecdtd
dud
dtud rr
= u
j
ru
=+=+=
ujiddujiu rr cossinsincos
i
==
udtd
dud
dtud rr
, de la mme faon
== rudtd
dud
dtud
3.3.5 Vecteur rotation
Nous avons crit prcdemment la relation suivante :
8
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== rudtd
dud
dtud
Dune manire gnrale, nous crirons :
= udt
udRoR /'
avec vecteur rotation tel
que son axe port par est perpendiculaire au plan o se produit la rotation, sera
tel que :
RoR /'
k
RoR /'k
=dtd
RoR
/' , not le plus souvent sous la forme
= kRo /'
R
Exemple :
Cas dun solide S dans Ro susceptible de tourner autour de et
x
z et dont la position estrepre par et respectivement.
+= zxRoS / not aussi
0/RoS
3.3.6 Drivation en repre mobile
Soit deux bases R et Ro telles que Ro est la base de drivation, et base de
dfinition. R est mobile par rapport Ro.
),0(ixRo )','0'(
ixR
O
A
M
O
Ro
1x
2x
3x
R
Soit un vecteur
= iiR xaAM '.'' ,dtdxaxa
dtdxa
dtd
dt
dAMi
iiiii
Ro
+== '.''.')'.'(
Nous avons montr prcdemment que
= udt
udRoR /'
, ainsi :
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+==+= '' /''.''.' RRRoiiiiRo AMRoRdtAMd
dtAMd
dtdxaxa
dtd
dtAMd
+= '/'' RRoRRRo AMdtAMddtAMd
3.3.7 Composition des vitesses
Soient deux repres Ro et Ret M un point quelconque de R
M
O
OR
R
= iiR xaMO '.'' ' , et
+= MOOOOM ''
++=++=+= iRoRiiiiiii xaxadtd
dtOOd
dtdxaxa
dtd
dtOOd
dtMdO
dtOOd
dtdOM '.''.'''.''.'''' /'
++= iiRoRii xaxadtd
dtOOd
dtdOM '.''.'' /'
++= iiiiRoR xadtdxa
dtOOd
dtdOM ').'('.'' /'
= + VitesserelativeVitesseEntranementVitesseabsolue
3.4 Acclration
3.4.1 Vecteur acclration moyenne
Le vecteur acclration moyenne dun point A entre les instants t1 et t2 est gal au vecteur
vitesse moyenne du mobile se dplaant sur lhodographe des vitesses
tV
ttVVttm ==
1,21212)1,2(
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3.4.2 Vecteur acclration instantane
Lacclration instantane du point A en M est donne par la relation suivante :
11lim
1,2lim
00 dtrd
dtVd
tV
mtt
==
=
Son module a les dimensions []=[L] [T]-2
3.4.3 Composition des acclrations
Par la composition des vitesses, nous avons tabli :
On avait :
++= iiiiRoR xadtdxa
dtOOd
dtdOM ').'('.'' /'
Lacclration scrit alors :
++=
iiiiRoR xadtdxa
dtd
dtOOd
dtOMd ').'('.'
'
/'
++
+
+
+= iRoRiiiiiRoRRoRiiRoRiiRoR xa
dtdxa
dtdxaxa
dtdxa
dtd
dtOOd '.'').'(
'.''.''.'
'
/'/'/'/'/'
++
+
+
+= iRoRiiiiiRoRRoRiiRoRiiRoR xa
dtdxa
dtdxaxa
dtdxa
dtd
dtOOd
dtOMd '.'').'(
'.''.''.'
'
/'/'/'/'/'
xxadtdxaxa
dtdxaxa
dtd
dtOOd
dtOMd
iiiiRoRRoRiiRoRiiRoRRoRiiRoR
+
+
+
+
+= ').'(
'.''.''.''.'
'
/'/'/'/'/'/'
Acclration
absolue
Acclration
dEntranement+
Acclration de
Coriolis+=
Vitesse
relative
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3.5 Torseur cinmatique
Soit un solide S1, en mouvement dans R0
(qui peut tre un solide de rfrence).
Les donnes dun problme de mcaniquenous permettent souvent dobtenir la
vitesse dun des point A ou B du solide S1.
Connaissant par exemple la vitesse du
point A, il est possible de dterminer par la
relation classique des torseurs le champ de
vitesse pour un point quelconque de S1.
En particulier, on peut crire :
S1B
AO
+= BAVV AB )()(
A tout instant , le champ des vitesses des points dun repre appartenant au solide S1 par
rapport au repre de rfrence Ro est appel torseur distributeur des vitesses de S1 par
rapport Ro ou torseur cinmatique.
Le torseur cinmatique scrit alors :
)(
)(
MV
MV
Remarque : dans le cas plus particulier o
est nul, le mouvement du solide S1 est alorsun mouvement de translation.
3.6 Liaisons usuelles entre deux solides Torseursassocis
3.6.1 Liaison pivot (rotode)
Le mouvement de S1/S2 est une rotation autour de ( , cette liaison est donc caractrise
par un seul degr de libert, son torseur cinmatique associ est :
),0
0
)(
1/2
1/2
1/2
=
=
SS
SS
SS
V
MV
Exemple : paliers de moteur, roulements
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3.6.2 Liaison glissire
Le mouvement de S1/S2 est une translation rectiligne, son torseur cinmatique est le suivant :
=
=
1/2
1/2
1/2
0)(
SS
SS
SS
V
MV
Cette liaison na donc qu un seul degr de libert.
3.6.3 Liaison pivot glissant
=
=
1/2
1/2
1/2 )(
SS
SS
SS
V
MV
Cette liaison se caractrise par deux degrs de libert, un en translation et un en rotation.
3.6.4 Liaison hlicodale
Cette liaison est en fait une liaison pivot glissant dans laquelle il existe une relation entre et
telle que =h. , avec h=constante. Cette liaison na donc quun seul degr de libert, son
torseur cinmatique est le suivant :
==
=
hV
MV
SS
SS
SS
1/2
1/2
1/2 )(
3.7 Cinmatique du contact ponctuel entre deux solides
Soit deux solides S1 et S2 en contact en I et plan tangent, vecteur unitaire de la normale
en I oriente de S2 vers S1 tel que le montre la figure suivante :
21n
R0
S1
S2
21n
I
13
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3.7.1 Torseur cinmatique du contact ponctuel
2/1__)(
)(
)(
/
/
12
12
SSdeIglissementV
roulementpivotementIV
I
SS
SS
=
+=
Le pivotement correspond une rotation autour de n :
21
Le vecteur pivotement est donn par :
= 2121)..( 1/2 nnpivotement SS
Le roulement correspond une rotation autour du vecteur orthogonal :
21n
Le vecteur roulement est donn par : roulement )( 2121 1/2
= nn SS
Torseur des efforts extrieursLe torseur des efforts extrieurs associ la raction de S2 sur S1 dans le cas dune force
ponctuelle est le suivant :
=
=
0
12)(
1/2)(
I
SS
M
FR
SS
e IF
3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2
Il y a roulement sans glissement lorsque la vitesse relative entre S1 et S2 en I est nulle :
== 2/1/2/1 )(0)()( SSROSROS IVIVIV
La condition de glissement est assure lorsque la vitesse relative entre S1 et S2 nest plus
nulle, dans ce cas la vitesse de glissement est donne par :
0)()()( 0/20/12/1 =
RSRSSS IVIVGV
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