04Extrait_mecanique_reactionnelle

8/8/2019 04Extrait_mecanique_reactionnelle

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SOMMAIRE

1 INTRODUCTION 3

2 NOTION DE TORSEUR 3

2.1 Dfinition 3

2.1.1 Proprits lies aux torseurs 4

2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4

2.2 Torseurs lmentaires 4

2.2.1 Torseur couple 4

2.2.2 Torseur glisseur 4

2.3 Les torseurs de la mcanique du solide parfait 42.3.1 Torseur des efforts extrieurs 4

2.3.2 Torseur cinmatique 5

2.3.3 Torseur cintique 5

2.3.4 Torseur dynamique 5

3 CINEMATIQUE 6

3.1 Introduction 63.1.1 Dfinition 6

3.1.2 Notion de temps 6

3.1.3 Notion de mouvement 6

3.1.4 Trajectoire 6

3.2 Reprage dun solide ou dun systme de solides parfaits 6

3.2.1 Reprage dun point 6

3.2.2 Reprage dun solide 6

3.3 Vitesse 7

3.3.1 Vecteur vitesse moyenne 7

3.3.2 Vecteur vitesse instantane 8

3.3.3 Projection de Vr

dans un repre cartsien 8

3.3.4 Projection de dans un repre cylindrique 8

3.3.5 Vecteur rotation 8

3.3.6 Drivation en repre mobile 9

3.3.7 Composition des vitesses 10

3.4 Acclration 10

3.4.1 Vecteur acclration moyenne 10

3.4.2 Vecteur acclration instantane 11

3.4.3 Composition des acclrations 11

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3.5 Torseur cinmatique 12

3.6 Liaisons usuelles entre deux solides Torseurs associs 123.6.1 Liaison pivot (rotode) 12

3.6.2 Liaison glissire 13

3.6.3 Liaison pivot glissant 133.6.4 Liaison hlicodale 13

3.7 Cinmatique du contact ponctuel entre deux solides 133.7.1 Torseur cinmatique du contact ponctuel 14

3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2 14

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1 Introduction

Dans le but de simplifier la prsentation des grandeurs telles que les vecteurs ou champs de

vecteurs, les moments, ainsi que les principes de la Mcanique, nous avons choisi unformalisme li la notion de torseurs qui permet par sa reprsentation systmatique de

simplifier la manipulation tout en donnant une certaine unit aux principaux rsultats.

2 Notion de torseur

2.1 Dfinition

Un torseur est par dfinition constitu dun champ antisymtrique (champ de moments) et

dun vecteur associ appel rsultanteR .

Un torseur se note alors :

)(

)(

MM

RMT

R et tant alors appels les lments de

rduction du torseur au point M.

)(MM

Dans le cadre de la mcanique des solides parfaits (non dformables), il est possible de dfinir

partir de la connaissance du moment en un point M dun solide S (indformable), le moment

de tous points appartenant ou li S par la relation suivante appele aussi loi dedistribution :

+= RMAMM AM )()(

Ainsi, connaissant la valeur du champ en un point et sa rsultante, il possible de calculer tout

le champ en tout point laide de la formule prcdente. Dans le cas plus particulier dun

systme de solides parfaits, on pourra appliquer cette relation et calculer le champ de

moments en tout points du systmes si ces points appartiennent au mme solide ou bien si ces

solides sont lis entre eux par des liaisons mcaniques.

Cette relation nous permettra par exemple de dterminer le champ de vitesse en tout pointdun solide ou dun systme de solides.

Cas particulier : pour un effort exerc en un point quelconque dun solide ou systme de

solides, le moment en ce mme point est nul. En effet :

0)( ==

RAAMA Cette proprit est trs souvent utilise pour rsoudre un systmemcanique pour lequel certains efforts restent inconnus.

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2.1.1 Proprits lies aux torseurs

Deux torseurs sont gaux si leurs lments de rduction sont gaux en un point.

Le produit scalaire

R . constitue un invariant, cest linvariant scalaire du torseur.

)(MM

2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs

Soit deux torseurs

)(1

1

1 )(

MM

RMT et

)(2

2

2 )(

MM

RMT le produit appel aussi comoment (C) de ces

deux torseurs est indpendant du point M et calcul de la faon suivante :

+= )(12)(21 .. MM MRMRC

On peut noter aussi que le produit ou comoment du torseur par lui-mme sappelle

lautomoment.

2.2 Torseurs lmentaires

Ce sont des torseurs dont linvariant scalaire est nul, il en existe deux : le torseur couple

et le torseur glisseur .

2.2.1 Torseur couple

Le torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle et dont le moment est non nul

en un point de lespace. Le champ de moment dun couple est uniforme et ne dpend pas du

point dobservation.

2.2.2 Torseur glisseur

On appelle torseur glisseur , un torseur dont la rsultante est non nulle mais dont le

moment est nul en tout point dune droite parallle la rsultante

R . Cette droite est appele

axe central du torseur. Elle vrifie la relation suivante 0=MR

2.3 Les torseurs de la mcanique du solide parfait

Dans la suite, nous utiliserons une notation base sur la dfinition de diffrents torseurs, nousserons donc amens dfinir les torseurs suivants : torseur des efforts extrieurs, torseur

cinmatique, torseur cintique, torseur dynamique.

2.3.1 Torseur des efforts extrieurs

)(

)(

M

e

M

RMF

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2.3.2 Torseur cinmatique

)(

)(

MV

MV

2.3.3 Torseur cintique

)(

)(

M

PMC

2.3.4 Torseur dynamique

)(

)(

M

AMD

Ces diffrents torseurs seront dfinis dans les chapitres suivants

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3 Cinmatique

3.1 Introduction

3.1.1 Dfinition

La cinmatique est ltude des mouvements dans leur rapport avec le temps. On ne soccupe

pas des causes susceptibles de provoquer le mouvement.

3.1.2 Notion de temps

Le temps est une variable indpendante t, toujours croissante partir de zro, on dfinit alors

un sens positif du temps qui est celui venir, par rapport une origine des temps qui est

linstant initial not souvent to.

3.1.3 Notion de mouvementC est une notion essentiellement relative. On dira quun point est en mouvement par rapport

un tridre de rfrence si lune de ses coordonnes au moins varie avec le temps. On ne

prcisera pas si ce tridre de rfrence est au repos ou en mouvement par rapport un autre

rfrentiel.

3.1.4 Trajectoire

On appelle trajectoire dun point en mouvement le lieu gomtrique des positions

effectivement occupes par une particule ou un point dun solide quand le temps scoule.

3.2 Reprage dun solide ou dun systme de solidesparfaits

3.2.1 Reprage dun point

Pour reprer une point A1 dans un repre Ro(0,x,y,z), il suffit de 3 paramtres qui sont ses

coordonnes (x1, y1, z1).

Ro

x

A1

x1

z1

z

y1 y

3.2.2 Reprage dun solide

Le reprage dun solide ou dun systme de solide dans un repre Ro ncessite plus

dinformation. En effet, le positionnement dun solide auquel on lie un repre R ncessite

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dintroduire les angles caractristiques : on peut utiliser par exemple les angles dEuler

permettant de reprer R par rapport Ro.

On dfinit le vecteur nodal , donn par lintersection des sous espaces vectoriels {

, } et

{ , }

n xy

u

v

x1

y

z

z1

y1

A1

n u

w

v

x

Ro

Le passage dune base lautre peut se faire par composition de 3 rotation planes :

: angle de prcession : angle de nutation : angle de rotation propre

h

w

v

u

n

n

z

z

y

w

h

n

3.3 Vitesse

Soit deux points M et M dfinis respectivement t et t +t (voir figure suivante) :

O

x

M(t)

M(t+t)Vr

2

r1

rTrajectoire

z

Ro

y

3.3.1 Vecteur vitesse moyenne

Soit un point A mobile par rapport Ro :

- t= t1, A est en M,

- t=t2, A est en M,

m

1r et 2

r sont les vecteurs position de A avec et

=OMr1

= '2 OMr

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12 ttt = , le vecteur vitesse moyenne est donn part

rttrrtt

=

=

1,2

1212)1,2(Vm

3.3.2 Vecteur vitesse instantane

Le vecteur vitesse instantane du point M est dfini par :t

MMvt

=

'

0lim

Soit 0, un point fixe

==+= OMOMOMOMMOMM '''

dtOMd

tOM

tMMv

tt

=

=

=0

'

0limlim , est tangent la trajectoire en M(t)

v

On peut prciser par rapport quel rfrentiel R le mouvement est tudi, dans ce cas,

RdtOMd

Vr

=

correspond la vitesse du point M vis vis du repre R ; ce vecteur peut tre

projet dans diffrents repre, cartsiens, cylindriques, sphrique.

Son module a les dimensions [V]=[L] [T]-1

3.3.3 Projection de Vrdans un repre cartsien

Soit un repre Ro orthonorm direct li au rfrentiel R :),,,(kjiO

)

++= kzyjixM ,

++=++= kzjyixk

dt

dzjdt

dyi

dt

dxRV

3.3.4 Projection de dans un repre cylindrique

Soit un repre R orthonorm direct non li au rfrentiel Ro :),,,(

zr uuuO

+= zr uzurOM ,

++= uzdtdz

dtudru

dtdr r

rRV , avecdtd

dud

dtud rr

= u

j

ru

=+=+=

ujiddujiu rr cossinsincos

i

==

udtd

dud

dtud rr

, de la mme faon

== rudtd

dud

dtud

3.3.5 Vecteur rotation

Nous avons crit prcdemment la relation suivante :

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== rudtd

dud

dtud

Dune manire gnrale, nous crirons :

= udt

udRoR /'

avec vecteur rotation tel

que son axe port par est perpendiculaire au plan o se produit la rotation, sera

tel que :

RoR /'

k

RoR /'k

=dtd

RoR

/' , not le plus souvent sous la forme

= kRo /'

R

Exemple :

Cas dun solide S dans Ro susceptible de tourner autour de et

x

z et dont la position estrepre par et respectivement.

+= zxRoS / not aussi

0/RoS

3.3.6 Drivation en repre mobile

Soit deux bases R et Ro telles que Ro est la base de drivation, et base de

dfinition. R est mobile par rapport Ro.

),0(ixRo )','0'(

ixR

O

A

M

O

Ro

1x

2x

3x

R

Soit un vecteur

= iiR xaAM '.'' ,dtdxaxa

dtdxa

dtd

dt

dAMi

iiiii

Ro

+== '.''.')'.'(

Nous avons montr prcdemment que

= udt

udRoR /'

, ainsi :

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+==+= '' /''.''.' RRRoiiiiRo AMRoRdtAMd

dtAMd

dtdxaxa

dtd

dtAMd

+= '/'' RRoRRRo AMdtAMddtAMd

3.3.7 Composition des vitesses

Soient deux repres Ro et Ret M un point quelconque de R

M

O

OR

R

= iiR xaMO '.'' ' , et

+= MOOOOM ''

++=++=+= iRoRiiiiiii xaxadtd

dtOOd

dtdxaxa

dtd

dtOOd

dtMdO

dtOOd

dtdOM '.''.'''.''.'''' /'

++= iiRoRii xaxadtd

dtOOd

dtdOM '.''.'' /'

++= iiiiRoR xadtdxa

dtOOd

dtdOM ').'('.'' /'

= + VitesserelativeVitesseEntranementVitesseabsolue

3.4 Acclration

3.4.1 Vecteur acclration moyenne

Le vecteur acclration moyenne dun point A entre les instants t1 et t2 est gal au vecteur

vitesse moyenne du mobile se dplaant sur lhodographe des vitesses

tV

ttVVttm ==

1,21212)1,2(

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3.4.2 Vecteur acclration instantane

Lacclration instantane du point A en M est donne par la relation suivante :

11lim

1,2lim

00 dtrd

dtVd

tV

mtt

==

=

Son module a les dimensions []=[L] [T]-2

3.4.3 Composition des acclrations

Par la composition des vitesses, nous avons tabli :

On avait :

++= iiiiRoR xadtdxa

dtOOd

dtdOM ').'('.'' /'

Lacclration scrit alors :

++=

iiiiRoR xadtdxa

dtd

dtOOd

dtOMd ').'('.'

'

/'

++

+

+

+= iRoRiiiiiRoRRoRiiRoRiiRoR xa

dtdxa

dtdxaxa

dtdxa

dtd

dtOOd '.'').'(

'.''.''.'

'

/'/'/'/'/'

++

+

+

+= iRoRiiiiiRoRRoRiiRoRiiRoR xa

dtdxa

dtdxaxa

dtdxa

dtd

dtOOd

dtOMd '.'').'(

'.''.''.'

'

/'/'/'/'/'

xxadtdxaxa

dtdxaxa

dtd

dtOOd

dtOMd

iiiiRoRRoRiiRoRiiRoRRoRiiRoR

+

+

+

+

+= ').'(

'.''.''.''.'

'

/'/'/'/'/'/'

Acclration

absolue

Acclration

dEntranement+

Acclration de

Coriolis+=

Vitesse

relative

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3.5 Torseur cinmatique

Soit un solide S1, en mouvement dans R0

(qui peut tre un solide de rfrence).

Les donnes dun problme de mcaniquenous permettent souvent dobtenir la

vitesse dun des point A ou B du solide S1.

Connaissant par exemple la vitesse du

point A, il est possible de dterminer par la

relation classique des torseurs le champ de

vitesse pour un point quelconque de S1.

En particulier, on peut crire :

S1B

AO

+= BAVV AB )()(

A tout instant , le champ des vitesses des points dun repre appartenant au solide S1 par

rapport au repre de rfrence Ro est appel torseur distributeur des vitesses de S1 par

rapport Ro ou torseur cinmatique.

Le torseur cinmatique scrit alors :

)(

)(

MV

MV

Remarque : dans le cas plus particulier o

est nul, le mouvement du solide S1 est alorsun mouvement de translation.

3.6 Liaisons usuelles entre deux solides Torseursassocis

3.6.1 Liaison pivot (rotode)

Le mouvement de S1/S2 est une rotation autour de ( , cette liaison est donc caractrise

par un seul degr de libert, son torseur cinmatique associ est :

),0

0

)(

1/2

1/2

1/2

=

=

SS

SS

SS

V

MV

Exemple : paliers de moteur, roulements

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3.6.2 Liaison glissire

Le mouvement de S1/S2 est une translation rectiligne, son torseur cinmatique est le suivant :

=

=

1/2

1/2

1/2

0)(

SS

SS

SS

V

MV

Cette liaison na donc qu un seul degr de libert.

3.6.3 Liaison pivot glissant

=

=

1/2

1/2

1/2 )(

SS

SS

SS

V

MV

Cette liaison se caractrise par deux degrs de libert, un en translation et un en rotation.

3.6.4 Liaison hlicodale

Cette liaison est en fait une liaison pivot glissant dans laquelle il existe une relation entre et

telle que =h. , avec h=constante. Cette liaison na donc quun seul degr de libert, son

torseur cinmatique est le suivant :

==

=

hV

MV

SS

SS

SS

1/2

1/2

1/2 )(

3.7 Cinmatique du contact ponctuel entre deux solides

Soit deux solides S1 et S2 en contact en I et plan tangent, vecteur unitaire de la normale

en I oriente de S2 vers S1 tel que le montre la figure suivante :

21n

R0

S1

S2

21n

I

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3.7.1 Torseur cinmatique du contact ponctuel

2/1__)(

)(

)(

/

/

12

12

SSdeIglissementV

roulementpivotementIV

I

SS

SS

=

+=

Le pivotement correspond une rotation autour de n :

21

Le vecteur pivotement est donn par :

= 2121)..( 1/2 nnpivotement SS

Le roulement correspond une rotation autour du vecteur orthogonal :

21n

Le vecteur roulement est donn par : roulement )( 2121 1/2

= nn SS

Torseur des efforts extrieursLe torseur des efforts extrieurs associ la raction de S2 sur S1 dans le cas dune force

ponctuelle est le suivant :

=

=

0

12)(

1/2)(

I

SS

M

FR

SS

e IF

3.7.2 Roulement sans glissement entre S1 et S2

Il y a roulement sans glissement lorsque la vitesse relative entre S1 et S2 en I est nulle :

== 2/1/2/1 )(0)()( SSROSROS IVIVIV

La condition de glissement est assure lorsque la vitesse relative entre S1 et S2 nest plus

nulle, dans ce cas la vitesse de glissement est donne par :

0)()()( 0/20/12/1 =

RSRSSS IVIVGV

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