1/14
المجموعات و التطبیقات
من اقتراح أذ : لخريسي سمیر
www.naja7math.com تمرين 1
3;5;4;1 E
3;5;4;1,3;5;4,3;5;1,3,4,1,5,4,1,3;5
,3;4,5;4,3,1,5,1,4;1,3,5,4,1,E
3;5;4;1,3;5;4,3,4,1,5,4,1,3;4,5;4,4;1,44/ AEAK
3;5;4;1,3,4,1,3;4,3,1,4;1,3,4,1,5/ XEXH
www.naja7math.com تمرين 2
IRE : نضع ، 5;2A ، 3;B ، ;64;2 C
;52;/ AxIRxA
;3/ BxIRxB
6;42;/ CxIRxC
5;3;35;2Bet xAxB\ BAA
3;2Bet xCx BC
5;B xoAx uBA
www.naja7math.com تمرين 3
E .لتكن EPA و EPB و EPC
نا من جھة: لدي CAABA
و أيضا : CAC : إذن CACBA
و أيضا CBBBA
و أيضا : CBC : إذن CBCBA
نستنتج إذن أن : CBCACBA
لتضمن العكسي(للبرھان على ا CBACBCA ، لدينا: Exلیكن
CxouAx
CxouAxCBCAx
بالتالي CBCACA B
1
، لدينا: Exلیكن
CBCAx
BxetAxCxouBxetCxouAx
CxetBxouAxCxetAxCAx
CC
BB
بالتالي CBCACA B
2
ـــــــــاحرياضیــــات النجــwww.naja7math.com
حلـــول مقترحة
2/14
، لدينا: Exلیكن
BAxBxouAx
Ex
Bxou
Ex
Ax
Ex
BxouAx
Ex
BAxBAx
BABAبالتالي
3
لتغیر طريقة الجواب و الختصار الوقت، ستستغل في ھذا السؤال نتیجة السؤال السابق
BABAفحسب السؤال السابق نستنتج أن: Bو Aباستعمال المجموعتین
BABAمنه: :بالتاليBABA :ألن)XX (
4
نستعمل مرة أخرى نتائج األسئلة السابقة:
CAECACCCACACA CC\ 5(الحظ أن: XEXEPX و EXXEPX (
CBACBACCBACBCACBCABA \C\C\ 6
C\
C\C\C\C\C\
BACBACBCCABA
CBCCABACCBCCABA
CCBCCABACBCCBA
BCBABCABA
الحظ أن: BCCAC :لذلك CCBCCA
لدينا:
BCA
BCAABCACCABCA
CCABCACBCACBCABA
C\\C\
و من جھة أخرى :
CBACBABA C\\و من جھة ثالثة:
CBACBAAA CBCB\بالتالي: CB\C\\C\\C\ ABABA
7
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
3/14
www.naja7math.com تمرين 4
E .لتكن EPA و EPB و EPC :حیثCABA وCABA CBلنبین أن:
CABAلدينا: :منه BCABBA :منه BCBAB
CABAو بما أن: :فإن CBCAB :منه CBAB
و بما أن: CBAC :فإنBC CBبالمثل نبین بسھولة أن: :و بالتاليCB
:أيضا استعمال الطريقة االعتیادية، حیث نأخذ عنصرا من يمكنx منB و نبین أنه ينتمي لـC
Axو Axلكن في ھذه الطريقة يجب أن نفصل حالتین و طبعا نعید الطريقة للبرھان على التضمن العكسي
www.naja7math.com تمرين 5
من Yو E .Xلتكن E : XYYXYX \\
YXxYxetXxEx
YxetXx
Ex
YxetXxYXx
\
1ع التمارين، لكن مادام طرح كسؤال يتوجب استعمال تعريف تساوي ھذا السؤال يعتبر نتیجة يمكن استعمالھا في جمی
مجموعتین إلثباته.
XYYXXYXYYXYX \\\\ 2
XXXXXX \\
XXXXXEEXXEEXEX \\
EXXXXXXXXXXXX \\
XEXXXXXX \\
3
XYYYXXYXXYYXYX
XYYXYXXYYXXYYXYX
\\\\\
من جھة أخرى:
XYXXYYYX
XYXXYYYX
XYXYYXYX
XY
إذن: XYYXYX
أ
4
XXباستعمال السؤال السابق و لكون: وYY
فإن: YXYXYX XY ب
لدينا حسب السؤال أ:
YXYXYXYXXYYX
XYYXXYEEYX
XYYYXXYXYX
\
ج
:مبرھن عنھا في التمرين الثالثالحظ من خالل ھذا التمرين أھمیة القواعد ال
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
4/14
www.naja7math.com تمرين 6. Eلتكن
لدينا:
YYXXYYX
YEYXYYYYXYYYXYXX
Y\
عكسبا: Y\Y\ XYYYXXYX
: ال حظ تقنیة البرھان على التضمن ، فللبرھان أنBA :نبرھن أنBBA أوABA
www.naja7math.com تمرين 7. Eلتكن
AEABBABABAABA B\ 1
CB\\\ ACBACBACBACBA 2
BABABAAABAABAABAA \\ 3
CABACBلنبین االستلزام: CBنفترض أن و نبین أنCABA
لیكن CAyxCy
Ax
By
AxBAyx
CyBy(ألن: ,, (
CBCABAلنبین االستلزام العكسي: اآلن CABAنفترض أن و نبین أنCB
aفھي تحتوي على األقل على عنصر و لیكن مثال Aبما أن
اآلن لدينا: CxCAxaBAxaBx CBي: بالتال,,
CBCABAخالصة:
4
:صعب، سھل إذا أدركنا جیدا مفھوم الجذاء الديكارتي لموجموعتین، و صعب إذا كنا نفھمه /السؤال الرابع ھو سؤال سھل
نتیجة عدم فھمنا لھذا الجذاء.على أنه شبیه بعملیة ضرب األعداد و نحاول االنتقال في البرھان بشكل غیر معلل و ارتجالي
www.naja7math.com تمرين 8. Eلتكن
AEABBABABAABA B\ 1
لدينا: 5;4;3;2;15;43;2;1B\ ABAA 2
تساوية: سنبین المBإليجاد المجموعة A\BA\ BA
لدينا: A\A\ BABABABAAABABA
إذن: 9;7;6;5;43;2;1\9;7;6;5;4;3;2;1A\A\ BAB
و بتطبیق السؤال األول: 9;7;6;5;4;3;2;19;7;6;5;43;2;1A\ BABB
3
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
5/14
www.naja7math.com تمرين 9
121/ 2x
xIRxA
لدينا: 010212112
1 2222
xxxxxx
xAx
بما أن العبارة : 01 2 xIRx : صحیحة فإن AxxIRx 01 2
IRAبالتالي:
: من الواضح أنIRA ألنAسب تعريفھا ھي مجموعة عناصر ألعداد حقیقیة، لذلك الجواب عن التمرين يتطلب بح
فقط إثبات التضمن العكسي
www.naja7math.com تمرين 10
222 xx :بالتالي 2;2S 1
0220
2420
22231
223
x
x
x
x
x
xx
x
x
بعد إنجاز جدول اإلشارات نجد: 2;2S2
حسب السؤالین السابقین: 2;2A و 2;2B :بالتاليBA 3
:السؤال األخیر سھل، لكن الھدف من التمرين ھو طريقة إثبات تساوي المجموعتین
www.naja7math.com تمرين 11
ZkkA و 12/ ZkkB /72لدينا:
ZkcarBxZkkxZkkxZkkxAx 4/742/782/12و عكسیا:
ZkcarAxZkkxZkkxZkkxBx 4/142/182/72
:مة للعدد تبدو المجموعتان مختلفتین ظاھريا، فإذا أعطینا قیk نحصل على عددين مختلفین ، لكن إذا الحظنا كل القیم
المحصل علیھا سنالحظ تطابق المجموعتین، الھدف من التمرين ھو تعلم إدراك كتابة مجموعة، فكال المجموعتین تمثل مجموعة األعداد الفردية الموجبة و السالبة.
www.naja7math.com تمرين 12
10/, 2 nmZnmA و
AbaQ
b
aB ,/
2;5,2;5,5;2,5;2,1;10,1;01,10;1,10;1 A
25,
52,10,
101
B1
ABو BAكال العبارتین غیر صحیحتان لكون المجموعةA مجموعة أزواج بینماBمجموعة أعداد جذرية 2
:.تمرين يھدف إلى تمثل أفضل لمفھوم المجموعة
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
6/14
www.naja7math.com تمرين 13
xxx
IRIRf
6
:
144;01440/00,9
120/0126/0939/00,9
93/0930/09960/00,9
069/009/0;9/0,9
1
1
21
1
xxf
xxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxfIRxxfIRxf
1
لدينا:
5;84;1
56849614314;1
23113221414;12
xfx
xxxxxx
xxxxx
منه: 5;84;1 f
عكسیا: لیكن: 5;8 y
لنحل في المجال 4;1 :المعادلة yxf
9399662
yxyxxyxxyxf
و حیث أن: 4;19y :فإن 9393
9393
yxouyxyxf
yxouyxyxf
و حیث أن: 2;19 y :فإن 1;29 y : منه 2;193 y
منه: 229393 yxouyxyxf
إذن ھذه المعادلة تقبل حال 293 yx في المجال 4;1
بمعنى أن: 4;15;8 f
بالتالي: 4;15;8 f
2
: ، التضمن العكسي يمكن البرھان عنه باستعمال رتابة دالة، و قي ھذه الحالة يجب استعمال قواعد سابقة (مركب دالتین
لذلك لم يتم التطرق لھذه الطرق في الوقت الحالي)…االشتقاق
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
7/14
www.naja7math.com تمرين 14
12
:
2
2
x
xx
IRIRf
011/1;0
01
11/11
110/11
110/1;0
1120/10/1;0/1;0
21
222
21
2
21
xIRxf
xIRx
xIRx
x
xIRxf
x
xIRxxfIRxxfIRxf
1
:.الصورة العكسیة لمجموعة قد تكون فارغة كما ھو في المثال أعاله
دينا: ل
23;1
231;1
23
1111
21
1102111;1 22
22
xfxfx
xxxxxx
منه:
23;1;1f
عكسیا: لیكن:
23;1y
لنحل في المجال ;1 :المعادلة yxf
1
21
21
211
1
1111
11
111
2
222
y
yxou
y
yx
y
y
yxyxf
yxy
xy
xyxf
و حیث أن:
23;1y :فإن
21;01y : منه
;2
11
yمنه:
;11
11
y
منه:
;111
1y
إذن ھذه المعادلة تقبل حال 1
2
y
yx في المجال ;1
بمعنى أن:
;1
23;1 f
بالتالي:
23;1;1f
2
: الحظ أھمیة تغییر تعبیر الدالة من 12
2
2
x
xxf إلى
111 2
x
xf
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
8/14
www.naja7math.com تمرين 15
xxx
IRIRf
1: *
2111/211/2,1
211/21/2,1/2,1
22*
2*1
***1
x
xet
x
xIRx
x
xIRxf
xxIRxxfIRxxfIRxf
011و لدينا: 2
xx
xمنه: 1012121 22
2
xxxxx
x
و عكسیا : 2;121 f ، :بالتالي 12,11 f
1
.مجموعة أحاديةالصورة العكسیة لمجموعة قد تكون
لدينا: 101212112;21 22
fxfx
x
x
xx
xxfxfx
أخرى: من جھة
2021225252225122;
21 22
fxfx
xx
x
xx
x
xx
xxfxfx
بالتالي: 212;21
fxffx
2
لدينا حسب السؤال السابق :
25;22,
21
f
عكسیا: لیكن:
25;2y ، لنحل في المجال
2,21
المعادلة: yxf
011 2 xyxyx
xyxf ،042 y
: IRإذن العادلة تقبل حلین في 2
42
1
yyx أو
242
2
yyx :21( منه xx (
نبین أن أحد ھذين الحلین ينتمي للمجال
2,21
نفترض أن: ،
2,21
1x و
2,21
2x ، حاالت: 4نحصل على
422
212
1
yxxx
x1و
2121
21
2
1
yxx
x
x(غیر ممكن ألن:
25;2y(
21
2
1
221
xxx
x
21(غیر ممكن ألن: xx (
25
425
494
234
23
21
2
212
22221
2
1
2
1
yyyyxx
x
x
x
x
مكن ألن: (غیر م
25;2y( : بالتالي
25;22,
21
f
3
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
9/14
www.naja7math.com تمرين 16
.Fجزأين من Dو Cو Eجزأين من Bو A. لیكن Fنحو مجموعة Eتطبیقا من مجموعة fلیكن
لنبین أن: BfAfBA BAنفترض أن :و لنبین أن BfAf
لدينا: BfyxfyBxxfyAxAfy //بالتالي: BfAf
1
لنبین أن: BfAfBAf BAAلدينا: إذن حسب السؤال السابق BAfAf
و أيضا : BAfBfBAB
لدينا إذن: BAfBfAf
BAfBf
BAfAf
من جھة أخرى:
BfAfyBfyouAfy
xfyBxouAxxfyBAxBAfy
//
منه: BfAfBAf :بالتالي ، BfAfBAf
2
لنبین أن: BfAfBAf
و أيضا : BfAfBAf
BfBAf
AfBAf
BBA
ABA
3
أن : لنبین f
سنستعمل برھانا بالخلف
نفترض أن: f إذن f تحتوي على األقل على عنصرy و حسب تعريف صورة مجموعة بتطبیق فإنه يوجد ،
بحیث xعدد xfy و ھذا غیر ممكن ألن ،.ال تتضمن أي عنصر
4
لنبین أن: DfCfDC 11 DCنفترض أن :و لنبین أن DfCf 11
لدينا: CfxDxfCxfCfx 11 بالتالي: DfCf 11
5
لنبین أن: DfCfDCf 111
DCfDfCfDCfDf
DCfCf
DCD
DCC
11111
11
من جھة أخرى:
DfCfxDfxouCfx
DxfouCxfDCxfDCfx1111
1
منه: DfCfDCf 111 :بالتالي ، DfCfDCf 111
6
لنبین أن : DfCfDCf 111
لدينا:
DfCfDCfDfDCf
CfDCf
DDC
CDC 11111
11
7
ــاحرياضیــــات النجـــــــــwww.naja7math.com
10/14
لنبین أن 1f
نفترض أن: 1f :إذن 1f تتضمن عنصراx على األقل، إذن xf :و ھذا غیر ممكن، إذن
1f
8
: لنبین أن EFf 1
لدينا : FfxFxfEx 1 :منه ، FfE 1و لدينا: ExExFxfFfx منه: 1/ EFf 1
بالتالي: EFf 1
9
العبارة BABfAf لیست صحیحة دائما
مثال نأخذ: 4,3,2,1E و 0F بحیث جمیع عناصرE 0لھا نفس الصورةو نأخذ: 2;1A و 4;3B
و ھكذا يكون لدين: 0Af و أيضا 0Bf :منه BfAf : لكن 4;32;1
10
العبارة BAfBfAf لیست صحیحة دائما
نفس المثال السابق: 000 BfAf و fBAf
لكن العبارة: 0غیر صحیحة
11
www.naja7math.com تمرين 17.Fجزءا من Yو Eجزءا من Xو لیكن Fنحو مجموعة Eتطبیقا من مجموعة fلیكن
لنبین أن: XffX 1لدينا: XffxXfxfXx 1
بالتالي: XffX 1
1
لنبین أن: YyxfyYxfxfyYfxYffy //11
بالتالي: YYff 12
:كنھا على العكس تماما، فقط يجب إدراك مفھوم صورة مجموعة بتطبیق و الصورة تبدو مثل ھذه العبارات صعبة البرھان، ل
العكسیة لمجموعة بتطبیق إدراكا جیدا
www.naja7math.com تمرين 18
xxx
IRIRf
1: *
لنبین أوال أنfعلى تباين ;1لدينا لكل 2;1; yx
101
001111
xyouyxxy
xyyxyfxf
xy
yxyx
yxyx
yy
xxyfxf
و بما أن: 11111
111
1
111
yxyxx
y
x
yx
y
x
xy
فإن: yxyfxf بالتاليfتباين
11/14
لنبین أنf شمولي على ;2لیكن ;2y نبین أن المعادلة : لو yxf تقبل على األقل حال في ;1
لدينا:
101
1
1
;1
2
x
xyx
x
yx
x
x
yxf
042و لدينا : y
منه:
12
42
4
1
1
;1
22
x
yyxou
yyx
x
yx
x
x
yxf
و لدينا :
أن المعادلة : إذن yxf تقبل على األقل الحل2
42 yyفي ;1
شمولیة على fإذن ;2
تقابل من fبالتالي ;1 نحو ;21العكسي و تقابلهf :معرف كما يلي
24
;1;22
1
xxx
f
: للبرھان على التقابل يمكن البرھان أن للمعادلة yxf حال وحیدا في مجموعة االنطالق، لكن ھذا األمر يكون صعبا
.ھان عن التباين ثم الشمولكما ھو الشأن في ھذا التمرين ، لذلك تكون أفضل وسیلة ھي البر
www.naja7math.com تمرين 19
xxx
IRIRf
:
لنبین أنf تقابل منIRنحوIR
نبین أن المعادلة : لو IRyلیكن yxf في حال وحیدا تقبلIR
لدينا : yxxyxf
فإن : 0yإذا كان : yxx
yx
x
yxxyxf
00
2
فإن : 0yو إذا كان : yxx
yx
x
yx
x
yxxyxf
000
22
المعادلة : كل الحاالت في yxf تقبل على األقل حال فيIR
معرف كما يلي: 1fو تقابله العكسي IRنحوIRتقابل من fبالتالي:
0
0
1
xsix
xsixx
IRIRf
1
لدينا : xfxxxxxfIRx
دالة فردية، و بما أن : fإذن 2xxfIRx فإن منحنى الدالةf علىIRھو جزء من شلجم2
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
12/14
لدينا : 1;111111;11;1 21 xxxxxxfxffx
بالتالي: 1;11;11 f3
فإن : IRنحوIRتقابل من fبما أن
11010
011
3311
xouxouxxouxxfxf
xxxxxxxxxxxffxffxfxf
بالتالي: 1;1;0 S
4
:في ھذا التمرين تم بالبرھان على وجود و وحدانیة حلول المعادلةتقابل لبرھان على الا yxf دون الحاجة
للتباين،لكن يجب االنتباه أن ذلك يتطلب عباراة متكافئة و لیس استلزاما.
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
13/14
www.naja7math.com تمرين 20
FEf : وGFg : لنبین أنf تباين XXffEPX 1:
لیكن 2; Eyx :بحیث yfxf ا : لدين xfxf و yfyf
و بما أن yfxf : فإن xfyf : منه xffyff 11 و حسب المعطیات و بأخذ xX ثم yX
فإننا نستنتج أن : yx :منهyx
لنبین أن XXffEPX 1:f تباين
لیكن EPX لدينا من جھة : XffxXfxfXx 1 منه : XffX 1
و من جھة أخرى :
Xa
afxfXfxfXffx 1
axو باستعمال تباين الدالة نستنتج أن : :و منهXx إذن ، XXff 1
بالتالي: XXff 1
تباين fخالصة: XXffEPX 1:
1
لنبین أنf شمول YYffFPY 1:، منه Fyلیكن Fy :أي FPy
إذن حسب المعطیات: yyff 1
إذن yafyfa /1
و بما أن Eyf 1 : فإن yafEa /شمولfإذن :
لنبین أن YYffFPY 1:fشمول
لیكن FPY لدينا من جھة : YyxfyYxfxfyYfxYffy //11
منه : YYff 1
و من جھة أخرى و باستعمال شمول الدالة : YffyYffxfYfxYxfxfyExYy 111/
بالتالي: YffY 1
شمول fخالصة: YYffFPY 1:
2
حرياضیــــات النجـــــــــــاwww.naja7math.com
14/14
fgتباين fلنبین أن : تباين
لیكن 2; Eyx :بحیث yfxf fgلدينا و باستعمال تباين : yxyfgxfgyfgxfgyfxf
تباين fلتالي: با
3
fgشمول gلنبین أن : شمول
fg، باستعمال شمول Gyلیكن :نستنتج أن xfgxfgyEx /و بوضع Fxfb :إلغننا نستنتج أن bgyFb /
شمولgوبالتالي:
4
: البرھان على التقابل في ھذا التمرين تم بالبرھان على وجود و وحدانیة حلول المعادلة yxf دون الحاجة
ب عباراة متكافئة و لیس استلزاما.للتباين،لكن يجب االنتباه أن ذلك يتطل
رياضیــــات النجـــــــــــاحwww.naja7math.com
بالتوفیق
Top Related