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Chapitre 17

Matrices et applications linéaires

17.1 Matrices et applications linéaires

Exercice 17.1.1

Déterminer la matrice A dans la base canonique (e1, e2, e3) de l’endomorphisme f de R3 sachant que(1, 2, −1) appartient à Ker f , que f (e1) = (2, 1, 1) et que f (e2) = (3, 0, −1).

Exercice 17.1.2

Déterminer relativement aux bases canoniques la matrice A de l’application linéaire f de R2 vers R3

définie par f (1, −1) = (−1, −2, 5) et f (2, −3) = (0, 5, 4).

Exercice 17.1.3 ()

Caractériser f , élément de L(R3), de matrice A = 13

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

dans la base canonique de R3.

Exercice 17.1.4

Dans R3, soient (Π) le plan d’équation x + 2y + 3z = 0 et (D) la droite

x = 3z

y = 2z

Déterminer la matrice A de la projection sur (Π) parallèlement à (D).

Exercice 17.1.5 ( )

Calculer l’inverse et les puissances de A =

1 1 1 1 1

0 1 2 3 40 0 1 3 60 0 0 1 40 0 0 0 1

.

17.2 Image, noyau, rang

Exercice 17.2.1

Soit f : R4 → R3, linéaire, de matrice A = 2 −1 1 5

−1 2 3 −43 0 5 6

dans les bases canoniques.

Déterminer l’image et le noyau de f .

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17.3 Changements de base Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires

Exercice 17.2.2 ()

Soit f : R3 → R4, linéaire, de matrice A =

1 −a 2a

a −1 a

2a 2a 12a + 1 a 2a + 1

dans les bases canoniques.

Déterminer l’image et noyau de f .

Exercice 17.2.3 ()

Image du plan P : x + y + z = 0 par f : R3 → R4 définie par

X = 5x + 2y − zY = −8x − 3y + 2z

Z = −x − 2y − 3z

T = 3x − y − 5zImage réciproque de l’hyperplan H : X + Y + Z + T = 0.

Exercice 17.2.4 ()

Soit f ∈ L(R4), de matrice A =

2 1 3 −13 −1 2 01 3 4 −24 −3 1 1

dans la base canonique.

1. Calculer le rang de f .

Former un système d’équations de Im f . Donner une base de Im f .

2. Former un système d’équations du noyau de f . Donner une base de Ker f .

3. Déterminer l’image et l’image réciproque du sous-espace d’équation x − y + z − 2t = 0.

Exercice 17.2.5 ()

On se donne (α , β , γ ) = −→

0 dans R3.

Soit f ∈ L(R3), de matrice A =

α2 αβ αγ

αβ β 2 βγ

αγ βγ γ 2


Trouver le rang de f , son image, son noyau. Calculer An pour tout n de N∗.

Exercice 17.2.6

On considère la matrice A =

1 0 2 41 1 −1 1

−1 1 3 11 2 1 3

Soit f l’endomorphisme de K4, de matrice A dans la base canonique.

1. Donner une base du noyau de f . Quel est le rang de f ?

2. Donner une équation cartésienne de l’image de f .

17.3 Changements de base

Exercice 17.3.1

Soit f un morphisme de E muni de la base (e) = (e1, e2, e3), vers F muni de (ε) = (ε1, ε2).

Soit A =

2 −1 13 2 −3

la matrice de f dans les bases (e) et (ε).

1. Déterminer la matrice B de f quand on remplace la base (e) par la base (e) définie par e1

= e2+e3,e2

= e3 + e1, e3

= e1 + e2.

2. On garde (e

) mais on remplace (ε) par (ε

) : ε

1 = 2ε1 + ε2 et ε

2 = 5ε1 + 3ε2.Déterminer la matrice C de f dans les bases (e) et (ε).

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Exercice 17.3.2 ()

Montrer ques les matrices A =

1 1 −1

−3 −3 3−2 −2 2

et B =

0 1 0

0 0 00 0 0

sont semblables.

Exercice 17.3.3

Soit f un endomorphisme de C2 de matrice A =

−1 2i

−2i 2


Montrer que ε1 = (i, 2), ε2 = (−2i, 1) forment une base de R2.

Montrer que la matrice de f dans la base (ε) est diagonale. En déduire An.

Exercice 17.3.4 ()

Vérifier que les matrices A =

0 18 1

et B =

16 −1

232 −15

sont semblables, et trouver toutes les matrices

inversibles P telles que P −1AP = B .

Exercice 17.3.5 ()

Soit f un endomorphisme de E (dim E = n 1).

On suppose que f n = 0 et f n−1 = 0.

Montrer qu’il existe une base de E où la matrice de f est A =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . :

: . . .

. . . . . . 0

: . . . . . . 0 10 . . . . . . 0 0

Exercice 17.3.6 ()

Soit f ∈ L(R4) de matrice A =

0 1 5 92 1 6 80 0 0 30 0 1 −2


On pose que ε1 = (−13, −37, 3, 1), ε2 = (1, −1, 0, 0), ε3 = (1, 2, 0, 0), et ε4 = (−7, 1, −5, 5).

Montrer que ε1, ε2, ε3, ε4 forment une base de R4.

Montrer que la matrice de f dans la base (ε) est diagonale.

Exercice 17.3.7 ()


−1 −4 −2 −2

−4 −1 −2 −22 2 1 42 2 4 1


Montrer qu’il existe une base de R4 dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Exercice 17.3.8 ()


3 −1 1

2 0 11 −1 2


Montrer que ε1 = (0, 1, 1), ε2 = (1, 1, 0), ε3 = (1, 1, 1) forment une base de R3.

Montrer que la matrice de f dans la base (ε) est B =1 0 0

0 2 10 0 2

. En déduire An

.



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Exercice 17.3.9 ( )

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p.

Soit f une application linéaire de E vers F , de rang r.

On définit G = {g ∈ L(F, E ), f ◦ g ◦ f = 0}.

Montrer que G est un sous-espace vectoriel de L(F, E ) et en donner la dimension.

Exercice 17.3.10 ()

Montrer qu’il existe P tq B = P −1AP où B =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

, A =

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1

.

Exercice 17.3.11 ()

Soient A et B deux matrices de Mn(K).

On suppose que la matrice AB est nulle et que A + B est inversible.Montrer que rg A + rg B = n.

Exercice 17.3.12 ()

1. Soit X une matrice-colonne à coefficients réels.

Montrer qu’on a l’équivalence : tXX = 0 ⇐⇒ X = 0.

2. Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.

Montrer que les matrices A, tAA et AtA ont le même rang.

3. Montrer que cela cesse d’être vrai si on considère des matrices à coefficients complexes.

Exercice 17.3.13 ()

Soit n un entier strictement positif. Pour tout entier r de {0, . . . , n}, on note J n(r) la matrice de Mn(K)dont le coefficient d’indice (i, j) est 1 si 1 i = j r et 0 dans tous les autres cas.

En particulier, J n(0) est la matrice nulle et J n(n) est la matrice identité.

Soit A une matrice de Mn(K).

1. Montrer que rg A = r ⇔ ∃P, Q inversibles telles que Q−1AP = J r.

2. En déduire que les matrices A et tA ont le même rang.

3. Montrer que A peut s’écrire comme une somme de deux matrices inversibles.

Exercice 17.3.14 ()

Soit E le sous-espace vectoriel de Mn(K) formé des matrices antisymétriques.

Soit A une matrice fixée dans Mn(K).

1. Rappeler quelle est la dimension de E et en donner une base simple.

2. On définit l’application f sur E par f (M ) = tA M + M A.

Montrer que f est un endomorphisme de E . Calculer trf en fonction de trA.



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17.4 Calcul effectif du rang Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires

17.4 Calcul effectif du rang

Exercice 17.4.1

Déterminer le rang de la matrice A =

1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 7

4 5 6 7 8

.

Exercice 17.4.2


5 2 20 −2 88 2 10 0 −62 2 2 −1 −3

−1 5 11 −5 8

.

Exercice 17.4.3


1 1 −1 2λ 1 1 11 −1 3 −34 2 0 λ

.

Exercice 17.4.4 ()

Calculer le rang de A =

a b . . . b

b . . .

. . . :

: . . .

. . . b

b . . . b a

(matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K.)

Exercice 17.4.5 ( )


0 r −q

−r 0 p

q − p 0

, avec ( p, q, r) = (0, 0, 0).

Exercice 17.4.6 ()

Calculer le rang de la matrice A =

1 22 . . . n2

22 32 . . . (n + 1)2

. . . . . . . . . . . .

n2 (n + 1)2 . . . (2n)2

Exercice 17.4.7 ( )


75 0 116 39 0

171 −69 402 123 45301 0 87 −417 −169

114 −46 268 82 30

.

Exercice 17.4.8 ()


1 −2 3 −1 −1 −22 −1 1 0 −2 −2

−2 −5 8 −4 3 −16 0 −1 2 −7 −5

−1 −1 1 −1 2 1

.

Exercice 17.4.9 ( )

Dans R4, on pose ε1 = (1, 1, 1, 0), ε2 = (2, 1, 1, 1), ε3 = (1, 0, 1, 2) et ε4 = (1, −1, −1, 1).

Montrer que ε1, ε2, ε3, ε4 forment une base de R4.

Calculer les coordonnées du vecteur v = (1, 2, 3, 4) dans cette base.



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17.5 Formes linéaires Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires

Exercice 17.4.10 ()

On pose

u1 = (1, −1, 2, 3, 4) u2 = (2, 1, −1, 2, 0) u3 = (−1, 2, 1, 1, 3)u4 = (1, 5, −8, −5, −12) u5 = (3, −7, 8, 9, 13)

Déterminer le rang de la famille u1, u2, u3, u4, u5 et former un système d’équations du sous-espace de R5

qu’ils engendrent.

Exercice 17.4.11 ( )

Déterminer le rang de A =

a 0 0 b

b a 0 00 b a 00 0 b a

, où (a, b) ∈ C2.

Exercice 17.4.12 ()

Préciser si A =

1 1 1 11 1 + a 1 11 1 1 + b 1

1 1 1 1 + c

est inversible, et calculer dans ce cas son inverse.

17.5 Formes linéaires

NB : les trois exercices suivants sont « légèrement » hors-programme en MPSI.

Exercice 17.5.1 ()

Soient ϕ1, ϕ2, ϕ3 les formes linéaires définies sur K3 par, pour tout u = (x , y , z ) :

ϕ1(u) = x + 2y + 3z , ϕ2(u) = 2x + 5y + 4z , ϕ3(u) = x + 3y + 2z .

1. Montrer que (ϕ1, ϕ2, ϕ3) est une base de (K3)∗ = L(K3,K).

2. Trouver la base (u1, u2, u3) de K3 dont dans laquelle ϕ1, ϕ2, ϕ3 sont les applications coordonnées.

Exercice 17.5.2 ()

Sur E = R3[X] on définit les applications f j : P → 1

0

t jP (t) dt.

1. Montrer que la famille (ε∗) = f 0, f 1, f 2, f 3 est une base de E ∗ = L(R3[X],R).

2. De quelle base (ε) de E les formes linéaires f 0, f 1, f 2, f 3 sont-elles les applications coordonnées ?

Exercice 17.5.3 ( )

Soient (e), (ε) deux bases de E (dim E = n), et (e∗), (ε∗) leurs bases duales.

Soit P la matrice de passage de (e) à (ε) et P ∗ celle de (e∗) à (ε∗).

Exprimer P en fonction de P ∗.



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17.6 Exercices non corrigés Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires

17.6 Exercices non corrigés

Exercice 17.6.1

Soit A une matrice carrée d’ordre n, strictement triangulaire. Montrer que An = 0.

Exercice 17.6.2Montrer que pour toute matrice carrée A, il existe un polynôme P tel que P (A) = 0.

Exercice 17.6.3

Montrer que l’ensemble des M (x, y) =

x + y 4y

−y x − y

est une sous-algèbre de M2(R).

En donner une base et la dimension. Est-ce un corps ?

Exercice 17.6.4

Soient S et A les sous-ensembles de Mn(K) formés respectivement des matrices symétriques et des

matrices antisymétriques.Montrer que S et A forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn(K).

Quelles sont leurs dimensions ?

Exercice 17.6.5

Soit M =

1 1 1

0 1 10 0 1

. Calculer M p, pour tout p de Z.

Exercice 17.6.6

Calculer la puissance n-ième de : A =

0 −11 0

, B =1 1 1

1 1 11 1 1

, C =1 0 1

0 0 01 0 1

.

Exercice 17.6.7

Puissance n-ième de : A =

1 1 0

0 1 10 0 1

, B =

1 −1 −1

−1 1 −1−1 −1 1

, C =

0 0 0

1 0 10 0 1

.

Exercice 17.6.8

Calculer les puissances de la matrice A =

1 1 · · · 1

0 1 . . . :

:

. ..

. .. :0 · · · 0 1

.

Exercice 17.6.9

Déterminer un polynôme P de degré minimum tel que P (A) = 0.

En déduire An. On prendra : A =

0 1 1

1 0 11 1 0

, A =

2 0 0

0 2 10 0 2

, A =

−1 0 0

0 0 10 0 0

Exercice 17.6.10

Structure de l’ensemble des matrices M (α, β ) = α β

−β α

, où α, β ∈ C.



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Exercice 17.6.11

Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K, de terme général aij.

On dit que A est une matrice magique s’il existe un scalaire d tel que :

∀ i ∈ {1, . . . , n},n

j=1

aij = d, ∀ j ∈ {1, . . . , n},n

i=1

aij = d

1. Montrer que la matrice J de terme général 1 est magique.

2. Montrer que l’ensemble des matrices magiques est une sous-algèbre de Mn(K).

3. Montrer que si A est magique et inversible, alors A−1 est magique.

Exercice 17.6.12

Soit A une matrice carrée vérifiant A2 − 3A + 5I = 0.

Montrer que A est inversible et calculer A−1 en fonction de A.

Exercice 17.6.13

Soit A =

a b

c d

. On pose s = a + b (trace de A) et δ = ad − bc (déterminant de A).

Montrer que A2 − sA + δI = 0.

En déduire que A est inversible si et seulement si d = 0.

Exprimer alors A−1 en fonction de A.

Exercice 17.6.14

Pour A, carrée d’ordre n et de terme général aij, on pose trA =n

j=1

a jj (trace de A).

Montrer que pour des matrices A de Mnp(K) et B de M pn(K), on a tr(AB) = tr(BA).

Exercice 17.6.15

Soit a = r exp(iθ) un nombre complexe non réel.

On pose E =

M (x, y) =

x y

−r2y x + 2ry cos θ

, x ∈ R, y ∈ R

.

1. Montrer que E est un corps commutatif.

2. Montrer que : ∀ z ∈ C, ∃ !(x, y) ∈ R2, z = x + ay. On pose alors N (z ) = M (x, y).

3. Que dire de l’application de C dans E qui à z associe N (z ) ?

4. Calculer la puissance n-ième de la matrice N (a).

Exercice 17.6.16

Structure de l’ensemble des matrices M (x , y , z ) =

x y z

2z x y

2y 2z x

, où x, y,z ∈ R.

Exercice 17.6.17

Montrer que les matrices a b b

b a b

b b a forment une sous-algèbre E de M3(R) (base, dimension ?).

Montrer que l’anneau E n’est pas intègre. En donner tous les diviseurs de zéro.



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Exercice 17.6.18

Calculer limn→∞

M n, avec M n =

1

α

n−

α

n 1

. Indication : Poser

α

n = tan ϕn, avec |ϕ| <

π

2.

Exercice 17.6.19

Préciser si la matrice A =

0 1 . . . 1

1 . . .

. . . :

: . . .

. . . 11 . . . 1 0


Exercice 17.6.20

Soient A, B deux matrices carrées symétriques. La matrice AB est-elle symétrique ?

Exercice 17.6.21

On pose u1 = (2, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (1, 3, 1, 1, 2, 1), u3 = (1, 1, 4, 1, 3, 1), u4 = (1, 1, 1, 5, 4, 1).

Déterminer le rang de la famille u1, u2, u3, u4 et former un système d’équations du sous-espace de R6


Exercice 17.6.22


2 1 11 21 0 4 −1

11 4 56 52 −1 5 −6

.

Exercice 17.6.23

On pose u1 = (2, −1, 1, 3, 4) u2 = (2, −1, 2, 1, −2) u3 = (1, 0, 1, −2, −6)

u4 = (2, −3, 1, 2, −2) u5 = (1, 2, 1, −1, 0)Déterminer le rang de la famille u1, u2, u3, u4, u5 et former un système d’équations du sous-espace de R5


Exercice 17.6.24


1 1 0 13 2 −1 3λ 3 −2 0

−1 0 −4 3

.

Exercice 17.6.25

Dans R6

, on définit les vecteurs :u1 = (1, 2, 1, 1, 1, 2), u2 = (1, 1, 0, −1, −1, 1), u3 = (1, 1, 1, −1, 1, 0),

u4 = (1, −2, 1, −1, 1, 1), u5 = (0, −1, 1, 0, 1, 0), u6 = (0, 1, 2, 1, 1, 1),

et v = (1, 1, 1, 1, 1, 1).

Montrer que u1, u2, . . . , u6 forment une base de R6.

Calculer les coordonnées de v dans cette base.

Exercice 17.6.26


3 −2 0 −10 2 2 1

1 −2 −3 −20 1 2 1




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Exercice 17.6.27


2 4 3

0 1 12 2 −1


Exercice 17.6.28


1 a a2

1 b b2

1 c c2


Exercice 17.6.29


1 7 5 3 −20 4 2 2 02 −2 4 0 13 −1 7 1 3

.

Exercice 17.6.30

Calculer l’inverse de A =

1 0 1 0 0

1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 1 0 1 1

.

Exercice 17.6.31


1 + i −1 2i

i 0 11 i 1

.

Exercice 17.6.32


1 1 1 1

1 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

.

Exercice 17.6.33


1 2 . . . n − 1 n

0 1 2 . . . n − 1

: . . .

. . . . . .

. . .

: . . . . . . 1 2

0 . . . . . . 0 1

Exercice 17.6.34

Résoudre le système (S)

x + y + z = 1

ax + by + cz = d

a2x + b2y + c2z = d2

(a,b,c réels)

Exercice 17.6.35


x + y + z + t = a

x − y − z + t = b

−x − y + z + t = c

−3x + y − 3z − 7t = d

(a,b,c,d réels > 0)



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Exercice 17.6.36


x + y + z = a + b + c

bx + cy + az = a2 + b2 + c2

cx + ay + bz = a2 + b2 + c2(a,b,c complexes)

Exercice 17.6.37


x + ay + a2z = a4

x + by + b2z = b4

x + cy + c2z = c4(a,b,c complexes)

Exercice 17.6.38


(b + c)x + (bc − 1)y + (1 + b2)(1 + c2)z = a

(c + a)x + (ca − 1)y + (1 + c2)(1 + a2)z = b

(a + b)x + (ab − 1)y + (1 + a2)(1 + b2)z = c

(a,b,c complexes)

Exercice 17.6.39


x + ay + a3z + a4t = a2

x + by + b3z + b4t = b2

x + cy + c3z + c4t = c2

x + dy + d3z + d4t = d2

(a,b,c,d ∈ C)

Exercice 17.6.40


x + ay + a2z + a4t = a3

x + by + b2z + b4t = b3

x + cy + c2

z + c4

t = c3

x + dy + d2z + d4t = d3

(a,b,c,d ∈ C)

Exercice 17.6.41


4bcx + acy − 2abz = 0

5bcx + 3acy − 4abz = −abc

3bcx + 2acy − abz = 4abc

(a,b,c,d ∈ C)

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