Wake

Diffusion des faisceaux laser par des particules

par Gérard GOUESBETDocteur ès sciencesProfesseur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614

et Gérard GRÉHANDocteur d’ÉtatDirecteur de recherche au CNRS, UMR-CNRS 6615

1. Diffusion d’ondes planes........................................................................ AF 3 460 - 2

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 3 460 - 1

‘étude de l’interaction entre une onde électromagnétique et des particules(macroscopiques) a depuis longtemps constitué un domaine essentiel de

l’optique, ou plus généralement, de l’électromagnétisme. Une date importanteest 1890 où Lorenz décrit rigoureusement l’interaction entre la lumière et unesphère isolée (moyennant certaines hypothèses) sans recourir aux équations deMaxwell, c’est-à-dire en fait dans le cadre de l’ancienne théorie de l’éther.Une formulation plus moderne, utilisant les équations de Maxwell, mais équiva-lente (!), est ensuite produite par Mie, puis complétée par Debye. La théorie

1.1 Hypothèses ................................................................................................... — 21.2 Ondes planes ................................................................................................ — 31.3 État de l’art .................................................................................................... — 31.4 Spécificité des faisceaux laser..................................................................... — 4

2. Description des faisceaux laser............................................................ — 42.1 Description élémentaire des faisceaux gaussiens..................................... — 42.2 Formulation de Davis ................................................................................... — 52.3 Autres faisceaux ........................................................................................... — 6

3. Description des particules ..................................................................... — 6

4. Diffusion des faisceaux laser par des particules sphériques....... — 74.1 Le problème posé......................................................................................... — 74.2 Stratégie de résolution et exemple de relations........................................ — 74.3 Cas particuliers ............................................................................................. — 94.4 Calcul des coefficients de forme ................................................................. — 94.5 Diagrammes de diffusion ............................................................................ — 10

5. Diffusion des faisceaux laser par des cylindres infinis ................. — 10

6. Applications diverses .............................................................................. — 116.1 Pression de radiation ................................................................................... — 116.2 Réfractométrie d’arc-en-ciel ........................................................................ — 126.3 Imagerie ........................................................................................................ — 12

7. Technique du phase-Doppler ................................................................. — 127.1 Principe fondamental de la technique ........................................................ — 127.2 Ambiguïté de trajectoire .............................................................................. — 137.3 Extensions..................................................................................................... — 14

8. Conclusion .................................................................................................. — 14

Pour en savoir plus .......................................................................................... Doc. AF 3 460

L

DIFFUSION DES FAISCEAUX LASER PAR DES PARTICULES ______________________________________________________________________________________

résultante dite théorie de Mie, ou théorie de Lorenz-Mie (et ses variantes)constitue depuis lors une référence incontournable pour l’étude de la diffusionde la lumière (et autres ondes électromagnétiques) par des particules. Elle four-nit, en particulier, la théorie rigoureuse et complète de l’arc-en-ciel.

D’autres théories, dites théories limites, peuvent être à la fois déduites commecas particuliers de la théorie de Lorenz-Mie, ou établies indépendamment à par-tir de principes premiers spécifiques. Lorsque les objets diffusants sont petitsdevant la longueur d’onde, on retrouve la théorie de Rayleigh qui décrit le rayon-nement d’un dipôle excité. Au contraire, lorsque les objets sont grands devant la
longueur d’onde, la diffusion peut être décrite par l’optique géométrique en ter-mes de réfraction et de réflexion. Dans cette approche géométrique stricto sensu, il convient d’ajouter la diffraction qui permet de modéliser le rayonne-ment vers l’avant.
Ces approches théoriques ont rendu possibles des applications dans desdomaines variés. De nombreux phénomènes atmosphériques s’expliquent parla théorie de la diffusion de la lumière (souvent en incorporant les effets dits dediffusion multiple). L’arc-en-ciel, la gloire et les halos résultent de la diffusion dela lumière par des aérosols, des cristaux de glace ou des gouttelettes d’eau. Laqualité visuelle de l’atmosphère (sa transparence) dépend de la nature et de laconcentration de particules d’aérosols, ou des propriétés de gouttelettes debrouillard. Si l’on quitte notre planète, mentionnons que l’étude de la lumière

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diffusée par les atmosphères planétaires nous renseigne sur leur composition.La lumière dite zodiacale résulte de la diffusion par des poussières interplanétai-res, et peut limiter les possibilités des télescopes spatiaux.

La turbidité des liquides et des solides (et parfois leur couleur) dépend de lamanière dont la lumière qui les éclaire est diffusée, soit par les constituantsmoléculaires, soit par des particules en suspension. Plus généralement, la diffu-sion est essentielle à notre vision du monde puisque la lumière que nous perce-vons est, dans la plupart des cas, une lumière diffusée par des objetsenvironnants, éclairés par des sources naturelles ou artificielles.

Les applications pratiques, au laboratoire et dans l’industrie, sont égalementtrès nombreuses. Il convient néanmoins ici de se focaliser sur les applicationsmétrologiques. Une technique de mesure très répandue, la vélocimétrie laser-Doppler permet de mesurer la vitesse de particules transportées par un écoule-ment (et donc la vitesse de l’écoulement si les particules sont suffisammentpetites, typiquement au-dessous du micromètre), par une analyse en fréquencedu signal diffusé. Une extension plus récente, l’anémométrie-granulométriephase-Doppler (nous dirons « la technique phase-Doppler ») permet d’accéderégalement à la taille des particules.

Dans ces méthodes, les particules sont éclairées par des faisceaux laser. Lathéorie de Lorenz-Mie (et ses variantes pour ondes planes) est donc souvent ina-daptée à la compréhension théorique des instruments et à l’interprétation dessignaux obtenus. Ce constat a conduit au développement de nouvelles théories,permettant d’appréhender la diffusion de faisceaux électromagnétiques arbitrai-res (faisceaux laser en particulier) par des particules, discutées dans cet article.

Le lecteur pourra se reporter pour les théories mentionnées aux référencesbibliographiques [1], [2], [3] et [4].

1. Diffusion d’ondes planes

1.1 Hypothèses

Par commodité, nous employons ici le mot lumière dans un sensélargi, quelle que soit la fréquence du rayonnement considéré. Unspectre de fréquences pouvant être décrit par une transformée de

Fourier, nous nous restreignons à des rayonnements monochroma-tiques. La lumière est modélisée comme une onde électromagnéti-que, décrite par les équations de Maxwell (nous ne parlerons doncpas de photons). La diffusion est quasi élastique, c’est-à-dire qu’ellene produit pas de changements de fréquence autres que ceux dus àl’effet Doppler ou que ceux (singuliers), d’une fréquence finie à unefréquence nulle résultant de l’absorption éventuelle de la lumièrepar les particules. Le milieu environnant les particules est supposénon absorbant.

______________________________________________________________________________________ DIFFUSION DES FAISCEAUX LASER PAR DES PARTICULES

■ Il convient alors de distinguer les phénomènes de diffusionsimple et de diffusion multiple.

En diffusion simple, un pinceau lumineux pénétrant un milieu par-ticulaire le quitte (ou est absorbé) à la suite de son interaction avecune seule particule.

Si plusieurs événements interactifs interviennent au cours de latraversée du milieu particulaire (par exemple deux diffusions surdeux particules successives, ou une diffusion sur une particule sui-vie d’une absorption par une autre particule), on parle de diffusionmultiple.

Quand la concentration particulaire dans le milieu augmente, desphénomènes plus complexes peuvent apparaître. Ainsi, deux sphè-res proches (distance centre à centre de l’ordre d’un diamètre ditoptique) peuvent être perçues par la lumière comme formant uneseule entité [5]. On rencontre alors des effets dits de proximité aux-quels appartient la diffusion dite dépendante, ou cohérente.

■ Une seconde alternative distingue les problèmes directs etinverses.

Dans un problème direct, on calcule les propriétés de la lumière

1.3 État de l’art

La théorie de Lorenz-Mie, mentionnée dans l’introduction, consti-tue le prototype d’une théorie rigoureuse, électromagnétique, dediffusion de la lumière par des particules. Elle décrit spécifiquementla diffusion d’une onde plane par une sphère homogène, au maté-

Cet article se limitera essentiellement aux phénomènes de dif-fusion simple.

Figure 1 – Représentation schématique d’une onde plane

kH

E

E0

H0


diffusée par une particule, connaissant les caractéristiques de l’ondeincidente et de la particule.

Dans un problème inverse, on détermine les caractéristiques par-ticulaires connaissant des propriétés de la lumière diffusée. Souscette forme, les problèmes inverses sont au cœur des théories demesures basées sur la diffusion de la lumière.

La distinction ci-dessus s’applique naturellement aux phénomè-nes de diffusion simple ainsi qu’aux phénomènes de diffusion mul-tiple. Dans le paragraphe 7, on trouvera une discussion de latechnique phase-Doppler qui résout un problème inverse.

1.2 Ondes planes

Pour une remise en mémoire efficace des concepts de base del’électromagnétisme, on conseille la lecture des volumes du coursde Berkeley, dédiés à l’électricité et au magnétisme [6] et aux ondes[7] et, également, l’article Électromagnétisme du traité Génie électri-que.

Sous sa forme la plus simple, une onde dite plane (monochroma-tique, harmonique par rapport au temps) se propageant dans unmilieu homogène, transparent, peut être représentée par lafigure 1 :

— le vecteur nombre d’ondes désigne la direction depropagation ;

— les vecteurs du champ électrique et du champ magnétique sont perpendiculaires ; ils se propagent, en phase, avec la vitesse

de la lumière c ;

— les vecteurs forment un système cartésien (direct) ;

le rapport des modules est une constante, parfois appelée

impédance.

Une discussion approfondie de la notion d’ondes planes peut êtreconsultée dans le livre de R. Petit [8] qui décrit des ondes dissociéespour lesquelles la partie réelle de ki, , n’est pas proportion-nelle à la partie imaginaire de ki, , ki étant le vecteur nombred’ondes complexes. De telles ondes ne sont pas considérées danscet article, de sorte que nous nous limiterons à la description atta-chée à la figure 1.

riau isotrope et non magnétique. La réputation de cette théorie estd’être complexe. Effectivement, elle utilise un solide (quoique clas-sique) arsenal mathématique. Ces caractéristiques se retrouventgénéralement dans toute théorie de diffusion électromagnétique. Ilapparaît donc essentiel de se concentrer sur les idées physiquesprincipales, et, pour cette raison, dans cet article, nous éviteronspresque tout développement mathématique. De nos jours, descodes de calcul sont disponibles et l’ingénieur peut aisément les uti-liser, en évitant les difficultés attachées à la théorie.

■ Pour un premier accès à des détails techniques, le lecteur peut seréférer au livre (de plus, facile à lire) de A. Kastler [9]. Il y trouvera,en particulier, un exposé didactique de la théorie de Rayleigh-Gansqui généralise la théorie de Rayleigh en traitant la particule diffu-sante comme une assemblée de dipôles élémentaires excités parl’onde incidente. Les rayonnements élémentaires émis par les dipô-les élémentaires interfèrent ensuite, de manière constructive oudestructive, pour former les diagrammes de diffusion qui décriventla répartition de l’énergie diffusée dans l’espace. Ces diagrammes,obtenus par la théorie de Rayleigh-Gans, présentent les traits quali-tatifs caractéristiques de ceux obtenus par la théorie de Lorenz-Mie,et facilitent donc leur interprétation.

■ Le lecteur devrait ensuite se référer aux livres de M. Kerker [10] etde H.C. van de Hulst [11].

Un rapide passage sur le sommaire de la référence [10] permet dese familiariser avec la plupart des thèmes pertinents en diffusion dela lumière. Les particules sphériques homogènes sont considérées(comme en théorie de Lorenz-Mie), mais aussi les sphères strati-fiées, les cylindres infinis, et les sphéroïdes. La forme et la composi-tion interne de la particule diffusante jouent naturellement un rôleprépondérant sur le processus de diffusion, mais aussi induisentdes approches théoriques qui peuvent être très différentes selon lescas (§ 3).

Le sommaire de la référence [11] complète ce tour d’horizon, eninsistant également sur des cas permettant des approches particu-lières (théories limites) parmi lesquelles nous citons :

a) les particules de petite taille par rapport à la longueur d’onde ;

b) les particules de grande taille par rapport à la longueur d’onde ;

c) les sphères transparentes ;

d) les sphères absorbantes ;

e) les ondes de surface.

Nous recommandons également la lecture du livre de Bohren etHuffman [12].

Cet article se consacre néanmoins, pour l’essentiel, aux pro-blèmes directs.

k

EH

E0 H0 k,,( )

E0 H0¤

Re k i ( )Im k i ( )


Ces lectures suffisent pour obtenir une très solide formation sur lesujet et accéder ensuite aisément à l’ensemble de la littérature spé-cialisée. Néanmoins, citons encore Stratton [13], Born et Wolf [14],Deirmendjian [15], Bayvel et Jones [16] et Barber et Hill [17].

■ En ce qui concerne la diffusion multiple, il faut citer l’ouvrage deréférence de Chandrasekhar [18], le traité très complet de van deHulst [19] et l’ouvrage de Kortüm [20], d’un accès facile, où desapproches simples, utilisées dans l’industrie des peintures, sont dis-cutées. Pour une généralisation de ces approches, on se reporteraaux références [21] [22].

1.4 Spécificité des faisceaux laser

Les théories (en fait certaines théories) de diffusion d’ondes pla-nes ont été généralisées au cas où les particules diffusantes sontéclairées par des faisceaux électromagnétiques dits arbitraires, pourprendre en compte le fait que de nombreuses expériences, instru-ments, et procédés modernes utilisent des faisceaux laser. Le mot« arbitraire » contient néanmoins une restriction, à savoir que lesondes se propagent de manière stationnaire (c’est-à-dire que lesondes pulsées ne sont pas prises en compte). La classe des fais-ceaux électromagnétiques arbitraires est plus large que celle des faisceau coïncide avec l’axe z. Le faisceau s’approche du plan (xOy)

Figure 2 – Structure élémentaire d’un faisceau gaussien

O

z

x

y,

2ω0

2 2ω0

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4

© Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales

faisceaux laser. Néanmoins, nous nous limiterons à ces derniers.

L’hypothèse est donc que les faisceaux laser considérés sont du

type continu

.

La structure des théories généralisées est, pour l’essentiel, identi-que à celle des théories pour ondes planes. De plus, les théoriespour ondes planes se déduisent comme cas limite des théoriesgénéralisées. Il en résulte que cet article introduit le lecteur, non seu-lement aux théories généralisées, mais aussi aux théories pourondes planes.

La complexité mathématique des théories généralisées est néan-moins beaucoup plus importante que celle des théories pour ondesplanes. Cela reflète le fait que la

structure électromagnétique desfaisceaux laser

est beaucoup plus complexe que celle des ondes pla-nes, ce qui peut être illustré comme suit.

Considérons une onde plane se propageant dans la direction

z

,avec le champ électrique polarisé dans la direction

x

. Le gradient induit un champ magnétique

H

y

. Le gradient de cechamp induit à son tour un nouveau champ électrique

E

x

. Leschamps

E

x

et

H

y

de l’onde plane s’induisent en fait l’un l’autre etprovoquent ainsi la propagation de l’onde.

Dans un faisceau laser, qui est limité dans les directions transver-ses à la propagation, on observera alors que le gradient induit un champ

H

z

et que le gradient induit un champ

E

z

.La propagation d’une onde laser implique alors, en général, l’exis-tence de composantes de champs (

E

x

,

E

y

,

E

z

,

H

x

,

H

y

,

H

z

), en con-traste avec la figure

1

. Par ailleurs, les couplages induits ci-dessusimpliquent une limite théorique au degré de focalisation possibled’un laser [23].

2. Description des faisceaux laser

2.1 Description élémentaire des faisceaux gaussiens

On considère un

faisceau laser

dit

gaussien

(c’est-à-dire fonction-

nant dans le mode fondamental TEM

00

), se propageant des

z

néga-tifs vers les

z

positifs (figure

2

), dans le vide. L’axe de symétrie du

en convergeant et s’en éloigne en divergeant. Dans le plan (

xOy

) quidéfinit le col du faisceau, le front d’onde est plan. Plus générale-ment, il est caractérisé par un rayon de courbure

R

dont la valeurévolue avec la propagation selon la loi [24] [25] [26] :

(1)

où désigne le nombre d’ondes du rayonnement, étantla longueur d’onde.

La longueur

w

0

désigne le

rayon du col

; celui-ci est défini commela distance à l’axe où l’amplitude du champ électrique vaut (1/e) foisl’amplitude sur l’axe. Ce rayon apparaît ainsi comme la

dimensioncaractéristique transversale

du faisceau.

Le taux de convergence (divergence) du faisceau permet de défi-nir une dimension caractéristique longitudinale , appelée

lon-gueur de divergence

ou

longueur de diffraction

. La demi-longueurde diffraction définit la distance, à partir du col, où le faisceau pré-sente un rayon égal à fois celui au col.

Les deux dimensions caractéristiques ne sont pas indépendantes,mais liées par la relation :

.

(2)

Le rapport des dimensions caractéristiques définit un nombresans dimension

s

, appelé

paramètre de forme

ou

facteur de confine-ment

du faisceau :

.

(3)

Le paramètre de forme, défini de cette manière, est un petit para-mètre (valeur maximale de l’ordre de 0,16) et joue un rôle fonda-mental dans les théories généralisées.

Une

onde plane

peut être considérée comme le cas limite d’unfaisceau gaussien lorsque . La valeur minimale de

s

estdonc 0. Les limites ou sont souvent utilisées pourretrouver les théories pour ondes planes à partir des théories géné-ralisées.

Pour un faisceau visible où (représentant déjà uneforte focalisation),

s

n’est que de l’ordre de 10

–3

. Du fait de la nature

ondulatoire de la lumière, on ne peut focaliser un faisceau à mieuxque :

¶Ex ¶z¤ ¶Hy ¶z¤

¶Ex ¶y¤¶Hy ¶x¤

R z 1 k2w40

4z2----------------+=

k 2p l¤= l

<

2

< kw02

=

sw0

<------- 1

kw0-----------= =

w0 ¥®w0 ¥® s 0®

w0 50 mm=

w0 l»


définissant une valeur limite maximale pour s de l’ordre de. Il est commode d’arrondir cette valeur limite à 1/4.

Une explication de l’existence de cette limite en termes de cou-plage de champs induits est fournie dans la référence [23].

L’inverse de s :

peut s’appeler paramètre de col par analogie avec le paramètre detaille où r est le rayon d’une particule sphérique (§ 3).

2.2 Formulation de Davis

De nombreuses descriptions électromagnétiques des faisceaux

L’inconnue est recherchée sous la forme d’un développementsur les puissances paires du paramètre de forme s, pertinent puis-que s est un petit paramètre :

(9)

Le terme d’ordre le plus bas décrit le mode fondamentald’un faisceau gaussien. Il s’exprime sous la forme :

(10)

(11)

(12)

où h exprime la distance réduite du point considéré à l’axe du fais-ceau.

La relation (8) permet ensuite de déterminer les ordres supérieurs, c’est-à-dire les corrections au mode fondamental, de

manière récursive, en résolvant :

. (13)

La théorie de la diffusion d’un faisceau gaussien par une par-ticule sphérique met donc en jeu deux paramètres adimension-nels (au moins).

1 2p¤ 0 16,»

b01s--- kw0

2pw0

l---------------= = =

a 2pr l¤=

Y

Y Y0 s2 Y2 s4 Y4 ¼+++=

Y0( )

Y0 iQ iQh2Ð( )exp=

Q 1i 2z+--------------=

h2 x2 h2+=

Y2 Y4 ¼, ,

¶2

¶x2--------- ¶2

¶h2--------- 2i ¶

¶z------Ð+

è øç ÷æ ö

Y2n 2+¶2

¶z 2--------- Y2n n 0>,Ð=

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5

laser ont été proposées dans la littérature. La description de Kogel-nik, longtemps la plus fameuse pour les faisceaux gaussiens [24][25] [26], s’est avérée insuffisante pour une utilisation fine des théo-ries généralisées. Dans ce cadre, la formulation de Davis [27] s’estimposée. La structure de cette formulation est exposée dans ceparagraphe (voir aussi la référence [23]).

■

Le champ électromagnétique est déduit d’un

potentiel vecteur

,polarisé transversalement, qui s’écrit sous la forme :

(4)

dans le système de coordonnées cartésiennes de la figure

2

.

La composante non nulle

A

x

du potentiel

A

i

s’écrit :

(5)

où le terme dépendant du temps, de la forme usuelle exp (i

w

t

) (i estici l’unité imaginaire), est omis ainsi que le veut une pratique cou-rante.

La fonction , faiblement modulée, doit être déterminée.Cette détermination dépend du fait que, en employant la jauge deLorenz, la composante

A

x

satisfait l’

équation de Helmholtz

:

.

(6)

On introduit des coordonnées réduites :

(7)

de sorte que les dérivées réduites de reçoivent les mêmes ordres de grandeur.

La fonction satisfait alors l’équation suivante :

.

(8)

La connaissance du mode fondamental détermine donc, du moinsen principe, la fonction .

■ Le potentiel vecteur ainsi connu permet ensuite de déterminer leschamps électrique et magnétique. Pour le mode fondamental,on obtient :

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Notons la présence de composantes longitudinales Ez et Hz quis’annulent au col lorsque le front d’onde est plan :

.

La description de Kogelnik [24] [25] [26] est un cas particulier danslequel ces composantes longitudinales sont négligées.

■ La solution Y apparaît donc comme le résultat d’une méthode deperturbation définissant des approximations successives appeléesapproximations du premier ordre (mode fondamental ci-dessus), dutroisième ordre, du cinquième ordre, etc. Aucune approximationd’ordre fini ne satisfait exactement les équations de Maxwell, maisla qualité de l’approximation augmente avec l’ordre.

La complexité de la résolution de l’équation (13) augmente consi-dérablement avec l’ordre. Il en résulte que seuls les ordres j = 1, 3, 5sont explicitement connus, sous une forme dite symétrisée [23] [28].La petitesse usuelle de s assure que le mode fondamental (ordre 1)est suffisant pour de nombreuses applications. Malheureusement,la convergence de la série (9) est faible. Pour des faisceaux laser trèsfocalisés, en particulier approchant la limite théorique ,même la connaissance des ordres 3 et 5 peut se révéler insuffisante.Néanmoins, un sous-produit des théories généralisées a été ladécouverte de descriptions dites standards, obéissant aux équa-tions de Maxwell à tout ordre, et qui peuvent être explicitement cal-culées, avec facilité, par l’utilisation de logiciels de calculsymbolique [23] [29].

Ai Ax 0 0,( , )=

Ax Y x y z,( , ) ikzÐ( )exp=

Y x y z,( , )

DAx k2Ax 0=+

xx

w0------- =

hy

w0------- =

zz<--- =

þïïïýïïïü

Y ¶Y ¶x ¶Y ¶h¤,¤ ¶Y ¶V¤,( )

Y

¶2

¶x2--------- ¶2

¶h2---------+

è øç ÷æ ö

Y 2i ¶Y¶V--------Ð s2 ¶

2Y

¶V2----------+ 0=

Y

Ey Hx 0= =

Ex E0Y0 exp ikzÐ( )=

Ez2Qx

<------------ExÐ=

Hy H0Y0 ikzÐ( )exp=

Hz2Qy

<------------ HyÐ=

x y 0= =

s 0 25,»


2.3 Autres faisceaux

■ Les faisceaux gaussiens sont les plus communs, mais d’autresfaisceaux sont utilisés. Parmi les cas étudiés dans les théories géné-ralisées, mentionnons les feuilles laser et les faisceaux plats.

Les feuilles laser peuvent être vues comme une généralisationdes faisceaux gaussiens dans lesquels, au col, deux rayons w0x etw0y doivent être introduits (en pratique, l’un des rayons est beau-coup plus grand que l’autre). On retrouve la description des fais-ceaux gaussiens lorsque :

.

La description électromagnétique de ces faisceaux est donnéedans la référence [30]. Ces structures permettent la réalisation degranulomètres particuliers [31] [32].

Les faisceaux plats peuvent être obtenus par manipulation desfaisceaux gaussiens et présentent une zone centrale où l’intensitélumineuse est constante. Une modélisation théorique de ces fais-ceaux est donnée dans la référence [23]. Ils permettent égalementde réaliser des mesures granulométriques, mais nécessitent unecalibration [33] [34]. Leur réalisation est de surcroît délicate (àl’heure actuelle).

son diamètre d). En diffusion de la lumière, on utilise plutôt le para-mètre de taille :

(19)

où le diamètre est adimensionalisé par la longueur d’onde.

Les théories de Rayleigh et de l’optique géométrique s’obtiennentrespectivement pour les limites et .

Si le matériau de la particule est homogène, isotrope (et nonmagnétique), la sphère est optiquement décrite par son indice com-plexe de réfraction :

(20)

où N est l’indice de réfraction et la partie imaginaire, K, caractérisel’absorption du matériau.

Le signe (–) dans la relation (20) s’entend pour une onde dont ladépendance temporelle est de la forme .

Si le milieu environnant n’est pas le vide (tout en étant transpa-rent), M s’entend comme un indice relatif. Dans de telles circonstan-ces, l’orientation de la particule n’influe pas sur la diffusion de lalumière. Les paramètres pertinents pour décrire la diffusion par desparticules sphériques s’avèrent alors être (§ 4) :

w0x w0y w0= =

a pdl

-------=

a 0® a ¥®

M N iKÐ=

iwt( )exp


■ La description électromagnétique des faisceaux, de la façondont elle est abordée dans ce paragraphe, constitue une donnéed’entrée des théories généralisées.

Lorsque, par exemple, la particule est sphérique, la connaissancedes champs radiaux Er et Hr (en coordonnées sphériques r, q, j) estsuffisante pour utiliser le formalisme, en particulier pour calculerdes coefficients, dits coefficients de forme du faisceau permettantd’exprimer le champ électromagnétique sous la forme d’ondes par-tielles (§ 4).

Pour des particules cylindriques (§ 5), un résultat analogues’obtient à partir des composantes longitudinales Ez et Hz (en coor-données cylindriques z, r, j , où l’axe z est l’axe du cylindre supposéinfini).

■ En pratique, chaque faisceau, dans la réalité, forme un cas parti-culier. Il existe en général un écart, parfois très significatif, entre ladescription idéale du faisceau utilisé et sa réalisation effective, cequi peut entraîner des problèmes d’interprétation [35].

Une autre approche consiste alors à mesurer directement lescoefficients de forme, assurant aux théories généralisées unemeilleure adéquation (lorsque nécessaire) entre la modélisationd’un phénomène de diffusion et sa réalisation effective.

Ce nouveau point de vue est en cours de développement, mais anéanmoins déjà donné des résultats convaincants. Par exemple, il aété montré que les coefficients de forme, en amplitude et en phase,peuvent être expérimentalement déduits d’une mesure de l’éclaire-ment du faisceau le long de son axe [36]. Puisque les coefficients deforme déterminent l’ensemble du champ électromagnétique, danstout l’espace, ce résultat illustre la profonde cohérence interne d’unfaisceau. Cette cohérence résulte des inductions couplées discutéesdans le paragraphe 1.4. On se reportera aussi aux références [37][38] où un exemple d’interprétation de diffusion de faisceaux gaus-siens non parfaits, par ce type d’approche, est discuté.

3. Description des particules

■ La forme la plus simple est la forme sphérique. La taille de laparticule est alors décrite par une seule longueur (son rayon r ou

a et b = Ma .

■ Un autre exemple est le cylindre infini qui, même si le matériauest homogène et isotrope, nécessite de voir son orientation spéci-fiée par rapport au faisceau laser. Dans ce cas, il est à noter que lesthéories généralisées traitent effectivement d’un cylindre infini,stricto sensu. Néanmoins, en pratique, une fibre sinueuse pourrarelever du type d’approche développé dans cet article si les dimen-sions du faisceau laser sont petites par rapport aux échelles dessinuosités. Ce commentaire illustre un avantage des sources laser, àsavoir qu’elles peuvent sonder les objets sur de petites dimensions,inaccessibles par des ondes planes.

■ La sphère et le cylindre infini appartiennent à la classe desparticules régulières (dont la surface est décrite par des fonctionsindéfiniment dérivables). Chaque surface régulière engendre natu-rellement un système de coordonnées x k, par exemple les coordon-nées sphériques dans le cas de la sphère :

.

Une sous-classe est obtenue lorsque les coordonnées sont curvi-lignes et orthogonales [39]. Un élément infinitésimal de longueur dsest alors donné par :

(21)

où les coefficients ei s’appellent parfois facteurs d’échelle.

Pour une équation différentielle donnée, le système de coordon-nées peut être propice (ou non) à l’utilisation de la méthode de sépa-ration des variables. Dans le cas positif, le système est ditséparable. Pour l’équation classique des ondes, onze systèmesséparables sont recensés [10] [39].

La méthode de résolution des équations de Maxwell considéréedans cet article repose sur l’utilisation de potentiels scalaires deBromwich (§ 4 et 5). Cela impose deux conditions sur les facteursd’échelle :

(22)

(23)

Parmi les onze systèmes séparables pour l’équation des ondes,six systèmes satisfont les conditions (22) et (23) et permettent laconstruction de théories généralisées basées sur les potentiels de

x1 r ; x2 q ; x3 j= = =

ds2 e1dx1( )2

e2dx2( )2

e3dx3( )2

+ +=

e1 1=

¶

¶x1---------

e2

e3------è ø

æ ö 0=


Bromwich [39]. Citons les coordonnées sphériques (cas de lasphère, § 4) et les coordonnées cylindriques (cas du cylindre infini,§ 5). Le cas du sphéroïde ne permet pas l’utilisation des potentielsde Bromwich, car les coordonnées sphéroïdales ne satisfont pas lesconditions (22) et (23), mais ce cas peut être néanmoins traité eninvoquant le théorème de séparabilité [40].

Si le matériau de la particule diffusante n’est pas homogène maisest distribué de manière à respecter les symétries associées au sys-tème de coordonnées à utiliser, alors le théorème de séparabilitépeut être également invoqué et, le cas échéant, la méthode despotentiels de Bromwich peut être utilisée. Un exemple est fourni parla théorie généralisée pour le cas de sphères stratifiées (inhomo-généité radiale de l’indice de réfraction) éclairées par un faisceauarbitraire [41].■ Les particules régulières qui ne permettent pas l’utilisation duthéorème de séparabilité, ainsi que les particules non régulières,nécessitent généralement des approches analytiques basées surdes approximations ou des approches numériques. Bien que cesapproches ne soient pas envisagées dans cet article, nous donnonsci-dessous un aperçu de ces situations plus complexes.

● Certaines particules régulières sont topologiquement équiva-lentes à la sphère, mais présentent un aspect déformé de natureovoïde. De telles particules se rencontrent généralement lorsquedes gouttelettes, transportées par un écoulement, sont déformées

homogène de diamètre d (§ 3), dont le matériau isotrope est définipar un indice complexe de réfraction M [relation (20)], relativementau milieu environnant supposé transparent ou vide. Les articles debase peuvent être considérés comme étant les références [53] [54].Nous nous limiterons au cas des faisceaux gaussiens (§ 2.1 et 2.2).Pour la généralisation au cas des sphères multicouches, on se repor-tera à la référence [41].

La figure 3 définit la géométrie du problème posé. Le centre de laparticule se trouve à l’origine OP d’un système de coordonnées car-tésiennes OPxyz. L’onde incidente (un faisceau gaussien) est décritedans un autre système de coordonnées cartésiennes OGuvw où OGest au centre du col du faisceau. Les axes des systèmes OPxyz etOGuvw sont choisis parallèles. L’onde laser se propage vers les wpositifs, son axe de symétrie s’identifiant à l’axe w.

La connaissance de la description électromagnétique cartésiennede l’onde incidente dans le système OGuvw permet de déduire lesexpressions des champs radiaux électrique Er et magnétique Hrdans le système de coordonnées sphériques associé ausystème OPxyz.

Le problème est de décrire les propriétés de la lumière diffusée enun point courant P , sous la forme d’amplitudes et d’inten-sités diffusées, ainsi que certaines quantités associées que nousintroduirons le moment venu. Nous souhaitons également décrireles propriétés des champs électromagnétiques à l’intérieur de la

r q j,( , )

r q j ,( , )


sous l’action des contraintes liées au tenseur des contraintes (molé-culaire ou turbulent). On peut consulter la référence [42] pour uneapproche expérimentale utilisant la technique phase-Doppler et laréférence [43] pour une approche théorique.

● Des particules prennent la forme de suspensions, contenantdes particules plus petites, créant des inhomogénéités qui peuventêtre distribuées de manière stochastique. On les rencontre dans denombreux sprays industriels, par exemple dans des procédés defabrication de poudres. La caractérisation de la constitution de tellesparticules par diffusion de la lumière constitue un défi actuel [44][45].

● Des particules solides subissant des phénomènes d’abrasionpeuvent présenter une forme globalement sphérique, mais avec desirrégularités de surface. La technique phase-Doppler peut alors per-mettre de corréler des distributions de tailles mesurées à une carac-térisation des irrégularités de surface [46].

● Les agglomérats sont formés de particules élémentairesassemblées selon différents mécanismes. On les rencontre dans lesprocessus de combustion engendrant des suies et ils sont souventformés par une aggrégation limitée par diffusion (tels les aggrégatsde Witten et Sander [47]). Ils peuvent être expérimentalement étu-diés par diffusion de la lumière, y compris à l’aide de la techniquephase-Doppler associée à des mesures d’extinction [48] [49] [50],lorsque leur taille est suffisamment grande (typiquement supérieureau micromètre). Pour des agglomérats submicroniques, soumis àun mouvement brownien efficace, la caractérisation expérimentaleest possible par spectroscopie quasi élastique, par exemple parspectroscopie à corrélation de photons [51]. Ces particules, ainsique des particules qualifiées de très irrégulières, sont susceptiblesd’une description dans le cadre de la théorie des fractales. Ce pointde vue fractal est décrit dans le livre de B.H. Kaye [52].

4. Diffusion des faisceaux laser par des particules sphériques

4.1 Le problème posé

Ce paragraphe est dédié à la théorie de Lorenz-Mie généraliséequi décrit l’interaction entre un faisceau arbitraire et une sphère

sphère diffusante.

4.2 Stratégie de résolution et exemple de relations

La résolution est effectuée dans le cadre de la méthode de Brom-wich [55] [56]. Dans cette méthode, deux solutions particulières,dites Transverse Magnétique (TM) et Transverse Electrique (TE) sontrecherchées, et la solution générale est obtenue comme la sommedes solutions particulières.

Les équations de Maxwell sont de plus équivalentes, pour uneonde donnée, à la connaissance de deux potentiels scalaires U TM etU TE (dits de Bromwich) qui permettent de calculer, par des règlessimples, toutes les composantes de champ.

Le travail formel de résolution du problème peut alors êtrerésumé par les étapes suivantes.

Figure 3 – Théorie de Lorenz-Mie généralisée : géométrie du problème

w

v

u

OG

Vw

Vv

Vu

y

z

x

OP

θ

ϕ

Vr

Vϕ

Vθ

r

V = 5EH

La lettre V signifie champ électrique (E ) ou magnétique (H ). Ainsi Vu représente la composante dans la direction u du champ électriqueou du champ magnétique.


■

L’

onde électromagnétique

totale est décomposée en trois contri-butions.

La première contribution est formée de l’onde

incidente

(suppo-

sée connue) caractérisée par deux potentiels .

La seconde contribution est l’onde

diffusée

(à déterminer) carac-

térisée par deux potentiels .

La troisième contribution est l’onde

à l’intérieur de la sphère

(éga-

lement à déterminer) caractérisée par deux potentiels .

■

L’

onde incidente

est supposée connue, ce qui permet de détermi-

ner les potentiels sous la forme de développements en

ondes partielles

. La connaissance des composantes radiales

E

r

et

H

r

est suffisante pour déterminer complètement ces développements.

On trouve alors que la description de l’onde incidente en ondespartielles est équivalente à la connaissance d’un double ensemble

de nombres complexes appelés coefficients de forme du faisceau.

■

Les expressions des

potentiels

scalaires de l’

onde diffusée

Si , l’observation s’effectue dans le champ lointain. On peutalors utiliser la relation asymptotique suivante [57] :

(25)

qui implique :

(26)

de sorte que la composante Er (relation (24) s’annule.

Il en est de même pour la composante radiale magnétique Hr.

Ainsi, l’onde diffusée devient asymptotiquement transversale.

■ L’utilisation du théorème de Poynting (en se restreignant auchamp lointain dans cet article) permet d’évaluer l’énergie diffusée,par unité de temps, dans une unité d’angle solide, sous la forme :

(27)

où * désigne la quantité complexe conjuguée.

On utilise habituellement une relation de normation de la forme :

(28)

(voir la relation (24)) pour la définition de E0, avec un statut analogue

UTMi

et UTEi

UTMd

et UTEd

UTMs

et UTEs

UTMi

et UTEi

gn TM,m g m

n TE,,{ }

r lÈ

xn kr( ) in 1+ ikrÐ( )exp®

x ²n kr( ) xn kr( )+ 0=

S 12---Re EqH*j EjH*

qÐ[ ]=

12---E0H*

0 1=


et de l’onde à l’intérieur de la sphère sont

similaires à celles de l’onde incidente. Elles prennent également laforme de développements en ondes partielles, pondérées par desnombres complexes à déterminer.

Ces coefficients inconnus sont tous déterminés en invoquant lesconditions aux limites à la surface de la sphère, à savoir la conti-nuité des composantes tangentielles des champs électrique etmagnétique.

A partir de maintenant, nous concentrons notre attention surl’onde diffusée.

■ La connaissance des potentiels scalaires permet de

calculer toutes les composantes du champ électromagnétique dif-fusé, fournissant ainsi une description complète de cette onde. Atitre d’exemple, on obtient :

(24)

où les coefficients apparaissent dans la formulation de Brom-wich de la théorie de Lorenz-Mie (éclairement par une onde plane) ;

les coefficients an appelés coefficients de diffusion ne dépendentque des propriétés de la particule et de la longueur d’onde du fais-ceau incident,

les coefficients sont des coefficients de forme du faisceau,

les fonctions sont des fonctions de Ricatti-Bessel,

désigne les polynômes associés de Legendre.

On notera que la relation (24) implique que l’onde diffusée n’estpas transversale (la composante Er, le long de la direction de propa-gation de l’onde diffusée, n’est pas nulle).

■ Les expressions des composantes de champ obtenues à l’étapeprécédente sont valables quel que soit r, c’est-à-dire quelle que soitla distance entre le centre de la particule et le point d’observation.

pour H0), de sorte que S devient en fait une quantité adimension-nelle. Nous lui donnerons dès lors le nom d’intensité diffusée totale.

L’intensité diffusée totale se sépare naturellement en deux contri-butions associées respectivement aux composantes

. Ces intensités partielles s’écrivent :

(29)

où S1 et S2 sont des fonctions d’amplitude généralisées définiespar :

(30)

(31)

Les expressions de dans le cadre de la théorie de

Lorenz-Mie généralisée conduisent alors à exprimer les fonctionsd’amplitude généralisées sous la forme :

(32)

(33)

où les coefficients an et bn sont des coefficients de diffusion nedépendant que de la particule et de la longueur d’onde.

et sont des fonctions de Legendre généralisées quis’expriment en fonction des polynômes associés de Legendreselon :

(34)

(35)

UTMd , UTE

d( ) UTMs , UTE

s( )

UTMd

et UTEd

Er¶2UTM

d

¶r 2------------------ k2UTM

d+=

kE0 cnpw angn TM,

m xn² kr( ) xn kr( )+[ ]m nÐ=

n

ån 1=

¥

åÐ=

Pnm

qcos( ) imj( )exp

c npw

gn TM,m

xn kr( )

Pmn qcos( )

Iq et IjEq et Ej

Iq Ijè ø

æ ö l2

4p 2r 2---------------

S22

S12è ø

æ ö=

S1 EjkrE0------ ikr( )expÐ=

S2 EqkriE0-------- ikr( )expÐ=

Eq et E j

S1 2n 1+n n 1+( )----------------------

m nÐ=

n+

ån 1=

¥

å=

mangn TM,m p n

m qcos( ) ibngn TE,m tn

m qcos( )+[ ] imj( )exp

S2 2n 1+n n 1+( )----------------------

m nÐ=

n+

ån 1=

¥

å=

angn TM,m t n

m qcos( ) imbngn TE,m pn

m qcos( )+[ ] imj( )exp

p mn t m

n

p mn qcos( )

P mn qcos( )

qsin--------------------------------=

t mn qcos( )

ddq------- P m

n qcos( )=


■ Même en théorie de Lorenz-Mie (éclairement par onde plane),une onde incidente polarisée linéairement donne naissance, engénéral, à une onde diffusée polarisée elliptiquement. Il en va a for-tiori de même en théorie de Lorenz-Mie généralisée.

Le caractère elliptique de la polarisation est défini par l’angle dephase d entre les composantes du champ électrique dif-fusé. Il est donné par la relation :

. (36)

■ L’onde incidente perd de l’énergie au cours de son interactionavec la particule diffusante. Une partie de l’énergie est perdue pardiffusion et est redistribuée dans l’espace, y compris en diffusionavant où les amplitudes diffusée et incidente interfèrent pour engen-drer une onde combinée qui, seule, peut être observée. Une autrepartie de l’énergie est perdue par absorption dans le matériau.

La perte d’énergie par diffusion est caractérisée par une sectionefficace de diffusion notée Csca et la perte d’énergie par absorptionest caractérisée par une section efficace d’absorption notée Cabs.Ces sections efficaces sont homogènes à des aires. On peut endéduire des diamètres équivalents, par exemple :

.

■ La simplification de la théorie peut être illustrée en spécifiant lesexpressions des intensités partielles pour le cas axé.On obtient [53] [60] :

(37)

où les fonctions d’amplitude Si s’écrivent :

(38)

(39)

où an et bn sont de nouveau les coefficients de diffusion et

désignent les fonctions de Legendre qui s’identifient à res-

pectivement (relations (34) et (35)). Ce cas particulier présente enoutre un intérêt pédagogique : l’ingénieur, ou le chercheur, désireuxde s’initier aux détails du formalisme, trouveront avantage à com-mencer par le cas axé où les calculs formels sont d’une complexité

Eq et Ej

dtanRe S1( ) Re S2( ) Im S1( ) Im S2( )+

Im S1( ) Re S2( ) Re S1( ) Im S2( )Ð-------------------------------------------------------------------------------------------=

dsca 4Csca( ) p¤=

I q et Ij

Iq Ijè ø

æ ö l2

4p2r 2---------------

S22 cos 2j

S12 sin 2 jè ø

æ ö=

S12n 1+

n n 1+( )----------------------

n 1=

¥

å= gn an p n qcos( ) bn tn qcos( )+[ ]

S22n 1+

n n 1+( )----------------------

n 1=

¥

å= gn an t n qcos( ) bn p n qcos( )+[ ]

p n t n,

p n1 t n

1,


Ces diamètres peuvent être vus comme des diamètres optiques, àcomparer au diamètre géométrique.

La somme définit alors la section efficace d’extinc-tion Cext qui caractérise la perte totale d’énergie du faisceau incident(par diffusion et par absorption).

■ Enfin, l’onde incidente échange de la quantité de mouvementavec la particule diffusante, ce qui engendre une force de pressionde radiation. Cette force est caractérisée par une section efficace de

pression de radiation qui est un vecteur à trois composantes.

Dans le cas d’un éclairement par onde plane, il est évident (par rai-son de symétrie) que seule la composante longitudinale est diffé-rente de 0.

Pour un éclairement par faisceau arbitraire, en revanche, les troiscomposantes de la section efficace de pression de radiation peuventêtre différentes de zéro. Un échange de moment cinétique entrel’onde incidente et la particule diffusante peut, en outre, engendrerdes mouvements de rotation de cette dernière [58].

4.3 Cas particuliers

Dans la figure 3, le centre de la particule diffusante n’est pas situésur l’axe du faisceau laser. Ce cas général s’appelle le cas désaxé(off-axis en anglais).

Dans le cas axé (on-axis en anglais) où le centre de la particule dif-fusante se trouve sur l’axe du faisceau laser, le formalisme de lathéorie de Lorenz-Mie généralisée se simplifie considérablement.Cette simplification provient du fait que les coefficients de forme du

faisceau, , se réduisent à un seul ensemble de coef-

ficients gn (n variant de 1 à l’infini) [59], appelés coefficients de

forme spéciaux.

Lorsque, de plus, le centre de la particule diffusante coïncide avecle centre du col du faisceau, les coefficients de forme spéciauxdeviennent des nombres réels.

raisonnable. On conseille alors l’étude de la référence [60].

■ Lorsque le rayon w0 du col du faisceau tend vers l’infini, le fais-ceau laser tend vers une onde plane. On établit alors [60] que tousles coefficients spéciaux gn tendent vers 1. Les relations (37) à (39)s’identifient alors aux relations qui prévalent en théorie de Lorenz-Mie. De fait, l’ensemble de la théorie de Lorenz-Mie devient un casparticulier de la théorie de Lorenz-Mie généralisée, comme il se doit.

4.4 Calcul des coefficients de forme

Plusieurs techniques de calcul des coefficients de forme ont étéélaborées. Deux d’entre elles sont discutées dans ce paragraphe.

■ Historiquement, la première technique a utilisé l’intégrationnumérique de fonctions complexes. C’est la technique qui appa-raît le plus naturellement lorsqu’on établit le formalisme [61]. Dansle cas où le centre de la particule diffusante est situé au centre du coldu faisceau, on obtient ainsi, pour un faisceau gaussien décrit aupremier ordre du formalisme de Davis (§ 2.2) [60] :

(40)

où Q est donné par la relation (11) et les fonctions Yn (kr) sont desfonctions de Ricatti-Bessel.

Les intégrations numériques sont très gourmandes en temps decalcul et le calcul des coefficients de faisceau sous cette forme limiteconsidérablement l’utilisation pratique de la théorie de Lorenz-Miegénéralisée.

■ La technique de calcul la plus efficace utilise une approximationdite localisée, en analogie avec le principe de localisation de van deHulst [11], introduite pour la première fois dans la référence [62].Dans ce cadre, la relation (40) se réduit à :

. (41)

Cette approximation a été entendue au cas général (désaxé) [63]et a reçu une justification théorique rigoureuse [64] [65].

Le calcul pratique des quantités énumérées ci-dessus s’effec-tue à l’aide de codes de calcul disponibles auprès des laboratoi-res compétents.

Csca Cabs+( )

Cpr

gn TM,m et g m

n TE,

gn2n 1+

in 1Ð 1Ð( )n pn n 1+( )------------------------------------------------------- iQ iQ r

2 2qsinw0

2-----------------------Ðexp0

¥

ò0

p

ò=

1 2Q<

--------r qcosÐè øæ ö ikr qcosÐ( )exp Yn kr( )Pn

1 qcos( ) 2qdqd kr( )sin

gnn 1 2¤+( )l

2pw0-----------------------------è ø

æ ö2Ðexp=


Son intérêt pratique primordial est de permettre d’exploiter lathéorie de Lorenz-Mie sur des stations de travail ou même sur desordinateurs portables, permettant ainsi des applications extensives,y compris en ingénierie.

4.5 Diagrammes de diffusion

Nous illustrons la théorie de Lorenz-Mie généralisée à l’aide dediagrammes de diffusion (voir la littérature pour des résultats con-cernant d’autres quantités, Pour en savoir plus [Doc. AF 3 460]).

Les diagrammes de diffusion expriment les quantités (relations (29) à (33)) en fonction de l’angle de diffu-

sion q.

Dans le cas axé, auquel nous nous limiterons dans ce paragraphe,ces quantités correspondent à des observations effectuées respecti-vement dans les plans (relation (37)).

■ La figure 4 compare les diagrammes de diffusion pour unegoutte d’eau d’un diamètre de 100 mm éclairée par une onde planeou un faisceau gaussien d’un diamètre au col de 25 mm.

La modification du diagramme de diffusion est conséquente, prin-

S12 et S2

2

j 90° et j 0°= =

S12

Figure 5 – Diagramme de diffusion 3D pour une goutte d’eau d’un diamètre de 3 mm au centre d’un faisceau gaussien d’un diamètre de 6 mm.

Figure 6 – Diagramme de diffusion 3D pour la même goutte d’eau


cipalement pour des angles de diffusion entre 10 et 150° où l’onremarque une intensité diffusée jusqu’à mille fois plus faible lorsquela particule est éclairée par le faisceau gaussien.

■ La figure 5 présente le diagramme de diffusion 3D pour unegoutte d’eau d’un diamètre de 3 mm située sur l’axe d’un faisceaugaussien d’un diamètre de 6 mm. Les couleurs verte et rouge corres-pondent à la polarisation dominante.

Le fait à remarquer est la parfaite symétrie du diagramme.

■ La figure 6 correspond à la même géométrie que la figure 5, saufque la goutte est sur le bord du faisceau gaussien. Les couleursrouge et verte correspondent toujours à la polarisation dominante.

Le fait à remarquer est la perte de symétrie du diagramme de dif-fusion créée par l’éclairement non uniforme de la particule.

5. Diffusion des faisceaux laser par des cylindres infinis

La théorie de l’interaction entre une onde plane et un cylindreinfini est due à Wait [66] (voir aussi la référence [10]). La théoriegénéralisée a été établie récemment, et les codes de calcul nécessai-res pour son utilisation sont en cours de développement, bien quecertains cas particuliers soient d’ores et déjà accessibles.

Sous sa forme la plus générale, la théorie généralisée doit s’expri-mer dans le cadre de la théorie des distributions de LaurentSchwartz [67] [68], ce qui lui confère un caractère plus abstrait etcomplexe que dans le cas de la sphère [69] [70] [71] [72]. Une appro-che où l’onde laser est décomposée en un spectre d’ondes planes aégalement été développée, et il a été montré qu’elle était équiva-lente à l’approche utilisant la théorie des distributions [73]. Enfin,une approximation localisée dite cylindrique a été introduite, analo-gue à l’approximation localisée utilisée dans le cas de la sphère [73],et justifiée rigoureusement [74].

■ Si l’on exclut les difficultés techniques spécifiques de la théoriedes distributions, la théorie généralisée pour les cylindres infinispossède la même structure que la théorie généralisée pour les sphè-res (§ 4.2).

L’onde totale est décomposée en trois contributions : l’onde inci-dente, l’onde diffusée et l’onde interne au cylindre.

Chaque contribution reçoit deux potentiels scalaires de Brom-wich, l’un pour la solution particulière Transverse Magnétique etl’autre pour la solution particulière Transverse Électrique, qui pren-nent la forme de développements en ondes partielles.

Les coefficients des développements de l’onde incidente sontdéterminés à partir de sa description électromagnétique, plus parti-culièrement à partir des composantes électrique Ez et magnétiqueHz, l’axe z étant l’axe du cylindre.

Figure 4 – Diagramme de diffusion pour une goutte d’eau de

100 mm de diamètre éclairée par une onde plane (ligne continue) ou un faisceau gaussien de 25 mm de diamètre au col (ligne avec les petits ronds)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Intensité

Angle de diffusion θ

1011

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

10

1

S12

d’un diamètre de 3 mm située au bord du même faisceau gaussien


Les coefficients (inconnus) des développements des ondes diffu-sée et interne au cylindre sont déterminés en écrivant les conditionsaux limites à la surface du cylindre.

De nouveau, l’utilisateur peut se contenter de recourir à des codesdisponibles auprès des laboratoires compétents.

■ Concernant la structure de l’onde diffusée, il faut néanmoinsnoter une différence essentielle entre le cas de la sphère et le cas ducylindre infini. Dans le cas de la sphère, l’onde diffusée est distri-buée dans tout l’espace ainsi que l’illustre la figure 6. Considérons,au contraire, le cas d’un cylindre éclairé perpendiculairement parune onde laser, alors l’onde diffusée est distribuée essentiellementautour d’un plan, ainsi qu’on peut aisément s’en convaincre par desconsidérations élémentaires d’optique géométrique. Le plan peutêtre vu géométriquement comme un cône ouvert, avec un angle ausommet de 180°. Lorsque l’angle d’incidence se resserre, l’angled’ouverture du cône se resserre de même.

Ce processus est illustré par la figure 7, qui doit être comparée àla figure 6.

Sur la figure 7 sont tracés des diagrammes de diffusion corres-pondant à un cylindre d’un diamètre de 1 mm éclairé sous des inci-dences de 90° (vert), 45° (bleu), 30° (rouge) et 2° (jaune). En fonctionde l’angle d’incidence, la position du cône de diffusion évolue ainsique les lobes supportés par ce cône de diffusion.

Figure 7 – Diagramme de diffusion pour un cylindre éclairé sous des incidences différentes

250

300

350

f

6 42

1

--6,90 --3,68 --2,62 --1,94 --0,55 0,22


L’optique géométrique permet d’affiner notre compréhension dela structure globale du champ diffusé (qui ne peut être néanmoinscalculée de manière précise que par la théorie généralisée). Cetteaffirmation est illustrée par la figure 8. Cette figure représentel’intensité du champ électromagnétique prédit par la théorie deLorenz-Mie généralisée pour un cylindre, lorsqu’un faisceau d’undiamètre de 16 mm est incident sur un cylindre de verre (indice deréfraction : M = 1,5) d’un diamètre de 60 mm, sous une incidence de45°. Les différentes taches correspondent à :

(1) le faisceau incident ;

(2) la lumière réfléchie ;

(3) la lumière réfractée ;

(4) la lumière ayant subi une réflexion interne ;

(5) la lumière ayant subi deux réflexions internes...

La surface d’observation est un cylindre concentrique à l’objet dif-fusant ; kz représente la coordonnée adimensionnelle le long del’axe ; f est la coordonnée angulaire.

6. Applications diverses

Bien que les théories de Lorenz-Mie généralisées (pour la sphèreet le cylindre infini) soient d’origine récente, de nombreuses applica-tions ont vu le jour et il est naturellement à prévoir que de nombreu-ses autres applications, certaines inattendues, apparaîtront. Cesthéories sont utiles chaque fois qu’un phénomène fait intervenir uneinteraction entre un faisceau laser et une particule adéquate, lorsquela dimension d caractéristique de la particule (diamètre de la sphère,diamètre de la section droite d’un cylindre infini) n’est pas petite parrapport à la dimension transverse w du faisceau.

Un critère approximatif pour l’utilisation des théories générali-sées est donné par l’inégalité :

.

On se reportera à la référence [75], pour l’état de l’art en 1994. Ceparagraphe fournit une liste des applications déjà développées, saufen ce qui concerne la technique du phase-Doppler, discutée paragra-phe 7.

6.1 Pression de radiation

Un faisceau laser exerce une action mécanique sur une particule.La conservation de la quantité de mouvement engendre une forcetandis que la conservation du moment cinétique engendre un cou-ple.

Pour un faisceau moyennement focalisé (w0 > l), la pression deradiation longitudinale est dans le sens de propagation du faisceau.Cet effet a été prévu et validé expérimentalement par Ashkin [76]. Ilpermet de manipuler des particules et de mesurer des forces dans lagamme 1 à 200 piconewtons en utilisant deux faisceaux opposés[77] ou l’équilibre entre gravité et pression de radiation [78] [79].

Pour un faisceau extrêmement focalisé , la pression deradiation longitudinale peut être opposée au sens de propagationdu faisceau dans la zone de divergence. Cet effet, prédit et démontrépar Ashkin [80] [81], permet de manipuler et de mesurer des forcesdans la gamme 1 à 200 piconewtons, en utilisant un seul faisceauindépendamment de la gravité.

Ces effets sont décrits par la GLMT dans un cadre unifié, quelleque soit la dimension de la particule par rapport à la longueurd’onde [82] [83] [84].

d w¤ 0 2,>

Figure 8 – Carte de diffusion d’un faisceau laser par un cylindre infini sous une incidence de 45 degrés. Prédiction par la théorie de Lorenz-Mie généralisée pour un cylindre

--2 000 --1 000 0 1 0000

50

100

150

200

kz

7 53

6 4 21

w0 l»( )


6.2 Réfractométrie d’arc-en-ciel

La réfractométrie d’arc-en-ciel est une technique de mesure parti-culièrement sensible.

Le principe de cette technique est illustré sur la figure 9.Lorsqu’une particule est éclairée par un faisceau de lumière, lesrayons ayant subi une réflexion interne sont diffusés vers l’arrière.Dans cette région, l’arc-en-ciel est défini par le rayon A subissant unminimum de déviation. Les rayons ayant un paramètre d’impact unpeu inférieur (comme le rayon a) ou supérieur (comme le rayon b) àcelui du rayon d’arc-en-ciel interfèrent entre eux. Ce phénomène estdécrit par la théorie d’Airy [11a]. L’analyse des positions du pic d’arc-en-ciel principal et des pics surnuméraires permet de mesurer lataille de la particule diffusante ainsi que son indice de réfractionavec une précision qui peut atteindre la 4e décimale, permettant lamesure de la température de gouttes.

Cette technique a été utilisée au début des années 80 par Marston[85] pour mesurer les oscillations d’une goutte liquide plongée dansun autre liquide non miscible. Puis Roth et al. [86] ont démontré sonapplicabilité à l’étude d’une chaîne de gouttes liquides dans uneflamme. Les travaux de Sankar et al. [87] ainsi que ceux de vanBeeck et Reithmuller [88] [89] [90] permettent de transformer cettetechnique de laboratoire en une instrumentation industrielle.

Un tel travail a été réalisé pour des objets diffusants sphériques[95] ou cylindriques [96].

Le champ diffusé par la particule est calculé par la théorie deLorenz-Mie généralisée (pour sphère ou cylindre) sur la surfaced’entrée du système d’imagerie optique. Le champ sur la surface desortie du système optique est obtenu par « ray-tracing » ou dansl’approximation de lentille mince. Puis le champ dans le plan imageest obtenu à partir de celui dans le plan de sortie du système optiquepar une intégrale de Fresnel-Kirschoff.

7. Technique du phase-Doppler

L’anémométrie phase-Doppler a pour ambition de mesurer lavitesse et la taille de particules individuelles in situ dans un écoule-ment. Cette méthode, par principe, ne nécessite pas de calibration.

Ce paragraphe est partagé en trois sous-paragraphes :— le premier est dédié à la présentation du principe de la


En outre, cette technique est en plein développement. Les exten-sions actuelles concernent la mesure de gradients d’indice internedans les gouttes (gradients d’indice créés par des gradients de tem-pérature ou de concentrations d’espèces) [91] [92], la mesure de per-turbations et d’états de surface de gouttes ou de jets liquides [93], lanon-sphéricité [94].

La théorie de Lorenz-Mie généralisée trouve ici un champ d’appli-cation idéal car elle permet, seule, une analyse fine des phénomè-nes lorsque la particule est éclairée par un faisceau laser.

6.3 Imagerie

La théorie de Lorenz-Mie généralisée peut être utilisée pour calcu-ler les caractéristiques d’une image de particules. Les avantages decette approche sont une prise en compte rigoureuse de la géométrie3D de la particule, de son indice complexe de réfraction, de sa posi-tion dans l’espace (défaut de mise au point, imagerie hors axe), despropriétés d’éclairement de la particule (polarisation, répartitiond’intensité sur la particule, cohérence finie de la source). Par contre,cette approche est gourmande en temps de calcul. Nous l’utilisonsdonc comme juge de paix pour valider les hypothèses simplificatri-ces contenues dans des approches plus performantes en temps decalcul.

technique ;— le second approfondit l’effet d’ambiguïté de trajectoire, dû à

l’extension latérale finie des faisceaux laser ;— le troisième décrit les extensions actuellement en cours de

développement de cette technique ; ces extensions exploitentl’aspect fini des faisceaux laser.

7.1 Principe fondamental de la technique

Le principe de l’anémométrie phase-Doppler peut être explicité, àpartir du modèle de Rudd [97] (figure 10).

Figure 9 – Schéma de principe de la réfractrométrie d’arc-en-ciel

Lumière réfléchie

b

a

a + b

A

A

Figure 10 – Schéma de principe de l’anémométrie phase-Doppler

Image (d, n)

Image (D, n)

D1

L1

D2

E

L

Volume de mesureavec la particule

diffusante d, n

a

b

LaserO

Les deux faisceaux se coupent en O, où ils forment le volume de mesure (dimensions typiques : 200 x 200 x 200 mm). Une vue agrandie du volume de mesure avec la particule diffusante est donnée.


■ Le faisceau issu d’un laser continu est dédoublé en deux fais-ceaux parallèles a et b qui sont focalisés par la lentille L1. Dans larégion de l’espace qui leur est commune (O), ces deux faisceauxinterfèrent et forment des franges d’interférence.

■ Supposons qu’une particule traverse cette sonde optique. Cetteparticule diffuse beaucoup de lumière lorsqu’elle est centrée sur unefrange brillante, peu de lumière lorsqu’elle est centrée sur unefrange sombre. Cette lumière, collectée en un point quelconque del’espace, est modulée à une fréquence qui dépend uniquement del’interfrange et de la composante de vitesse de la particule perpen-diculairement aux franges.

■ La particule diffusante peut être vue comme une lentille boule. Acette lentille boule est associée une focale f qui dépend de son dia-mètre d et de son indice de réfraction n.

■ Soit un écran (E) situé à la distance (L) du volume de mesure (O).Sur cet écran, on observe une image des franges avec un grossisse-ment proportionnel à L/f.

La mesure de l’interfrange de l’image sur l’écran est donc unemesure du diamètre d de la particule diffusante, si son indice deréfraction n est supposé connu.

■ Pour mesurer cet interfrange, à des fréquences élevées, avec unegrande sensibilité et une large dynamique, l’approche suivante est

devient fonction de la position de la particule dans le volume demesure (ambiguïté de trajectoire). Cet effet a été souligné parBachalo et al. [102] à l’aide de l’optique géométrique, puis rigoureu-sement exploré par l’électromagnétisme (GLMT) [103] [104].

Figure 11 – Éclairage par une onde plane

e = 1

E = 1

Onde plane Direction desdétecteurs

r.e

R.Eθ


utilisée. Deux photodétecteurs D1 et D2 (photodiodes, photomultipli-cateurs...) sont localisés sur l’écran (E).

Lorsque la particule diffusante est petite (diamètre d), l’image desfranges est fortement agrandie et les deux détecteurs collectent lamême quantité de lumière.

Lorsque la particule diffusante est plus grande (diamètre D),l’image des franges n’est pas aussi grande et les deux détecteurscollectent une quantité de lumière différente.

Comme la particule se déplace dans le volume de mesure (O), lessignaux issus des détecteurs D1 et D2 sont décalés dans le temps. Lamesure de ce décalage temporel dt est une mesure de l’interfrangeI sur l’écran, qui est lui-même une mesure du diamètre de la parti-cule diffusante. En outre, pour le rendre indépendant de la vitessede la particule, ce décalage temporel est normé par la période T dusignal. On mesure donc le déphasage F entre les deux signaux :

. (42)

■ Pour prédire ce déphasage en fonction de la géométrie du mon-tage et des propriétés de la particule diffusante, les modèles utiliséssont plus élaborés que celui que l’on vient de présenter [98]. Cesmodèles suivent le parcours des rayons interagissant avec la parti-cule (modèle d’optique géométrique) ou somment les champs élec-tromagnétiques diffusés par la particule, à partir de chaque faisceau,sur la surface des détecteurs.

Les modèles basés sur le suivi de rayons, comme les modèlesélectromagnétiques supposant un éclairement uniforme de la parti-cule, présupposent, dans une direction donnée, qu’un mode de dif-fusion (réfraction ou réflexion) domine. On obtient alors desrelations linéaires entre la phase et le diamètre de la particule diffu-sante, pour certaines directions de collection. En outre, la mesureest indépendante de l’éclairement reçu par la particule.

L’anémométrie phase-Doppler, ainsi définie, est principalementissue des travaux de Durst et Zaré [99], Bachalo et Houser [100] etSaffman et al. [101].

7.2 Ambiguïté de trajectoire

La sonde optique a des dimensions finies (principalement trans-verses de l’ordre de w0). Lorsque les dimensions de la particule dif-fusante ne sont pas négligeables devant w0, la différence de phase

■ Qualitativement, cet effet peut s’expliquer comme suit.Lorsqu’une onde plane est incidente sur une particule (figure 11),les quantités de lumière respectivement réfléchie et réfractée sontcalculées à partir des coefficients de Fresnel. Pour une goutte d’eauen diffusion avant , la lumière réfractée est beaucoup plusimportante que la lumière réfléchie. Puisque la lumière détectée estdominée par un mode de diffusion (ici la réfraction), la techniquephase-Doppler fonctionne dans des conditions optimales.

■ Lorsque la particule est située dans un faisceau gaussien, lespoids respectif des lumières réfléchie et réfractée sont modifiéscomme suit.

■ Lorsque la particule se trouve du côté des détecteurs (figure 12),le rayon réfléchi d’intensité , produit de l’efficacité de réflexion(coefficient de Fresnel r par l’intensité du rayon incident e) provientd’un rayon incident (e) moins intense que le rayon incident (E) quidonne naissance au rayon réfracté (RE). La situation précédented’un signal dominé par la lumière réfractée est renforcée, et lamesure est correcte.

Lorsque la particule se trouve du côté opposé aux détecteurs(figure 13), le même exercice montre que les rayons réfléchi etréfracté transportent des énergies du même ordre de grandeur. Enl’absence de mode de diffusion dominant, la mesure peut alors serévéler incorrecte.

FdtT----- 360=

Figure 12 – Prédominance de la réfraction

q 30°»( )

r e×

e.r

E.Rθ

E

e

Faisceaugaussien


La différence de phase entre bouffée réfléchie et bouffée réfractéepermet de mesurer la composante réelle de l’indice de réfractiontandis que le rapport d’intensités des bouffées réfléchie et réfractéepermet de mesurer la composante imaginaire (absorption) del’indice de réfraction [108]. Ici encore, la précision est sur ladeuxième décimale pour l’indice réel de la particule.

■ Il est également possible de mesurer le diamètre de cylindres infi-nis avec une sonde phase-Doppler en géométrie plane. Ce travail aété réalisé [109] dans le cadre de l’optique géométrique. Actuelle-ment, l’effort porte sur la prise en compte des effets liés aux fais-ceaux gaussiens dans le cadre de la GLMT pour cylindre [110].

E.r

e.Rθ

e

E

Faisceaugaussien


La technique phase-Doppler, dans sa configuration classique, estdonc sensible aux gradients d’intensité sur la particule.

■ La recherche de géométries libres d’ambiguïtés de trajectoires aconduit aux configurations suivantes.

Géométrie standard modifiée.

La différence de phase est mesurée sur la composante transversede la vitesse.

Le traitement du signal sélectionne une portion du signal libre del’effet d’ambiguïté de trajectoire [105].

Géométrie plane.

Les détecteurs sont localisés dans le plan des faisceaux et la diffé-rence de phase est mesurée sur la composante de vitesse principale.

Ici encore le traitement du signal sélectionne une portion dusignal libre de l’effet d’ambiguïté de trajectoire [105].

Géométrie dual mode.

Pour un système à deux composantes de vitesse, une unité dedétection constituée d’au moins quatre détecteurs en croix (deuxsensibles à une couleur et deux sensibles à une autre couleur) per-met de combiner une géométrie plane et une géométrie standard[106].

7.3 Extensions

■ A l’aide d’une géométrie dual mode, il est possible de mesurer lacomposante réelle de l’indice de réfraction de la particule diffusanteavec une précision qui peut atteindre la deuxième décimale [106] oude diagnostiquer des évolutions de particules ellipsoïdes [107].

■ Une géométrie standard modifiée et l’utilisation de faisceaux for-tement focalisés réalisent une sonde à deux bouffées. En effet, laséparation entre les lumières réfléchie et réfractée devient tellementimportante qu’à chaque particule correspond une double bouffée :

— la bouffée correspondant à la lumière réfléchie ne dépend quedu diamètre de la particule ;

— la bouffée correspondant à la lumière réfractée dépend du dia-mètre et de l’indice de la particule.

8. Conclusion

L’existence et le développement de théories de Lorenz-Mie géné-ralisées, au cours des vingt dernières années, marquent un progrèssignificatif dans la théorie de la diffusion de la lumière et ses appli-cations. Durant un siècle ont régné les théories basées sur l’éclaire-ment par ondes planes. L’avénement et le développement intensifdes sources laser ont rendu nécessaire la construction de théoriesplus générales qui, dans de nombreux cas, doivent supplanter lesanciennes approches.

Les applications les plus immédiates concernent l’instrumenta-tion pour la caractérisation optique des particules (tailles, inhomo-généités, indice de réfraction...). Mais d’autres applications ontd’ores et déjà vu le jour et, sans nul doute, le développement desapplications des théories généralisées n’en est qu’à son début.

L’inconvénient majeur de ces théories réside dans leur complexitémathématique. A l’heure actuelle, il en résulte que seulement unnombre restreint de personnes les domine correctement. Néan-moins, si les théories sont considérées comme des boîtes noires,leur utilisation est alors facile. Ces boîtes noires prennent en effet laforme de codes de calcul, écrits en Fortran, d’une portabilité aisée,et capables d’être exécutés désormais sur des machines bon mar-ché, tels les stations de travail ou les ordinateurs portables. Prenonsl’exemple des diagrammes de diffusion décrits dans le paragraphe4.5. Les données d’entrée sont restreintes en nombre (taille de laparticule, indice de réfraction, dimension du col du faisceau, posi-tion de la particule par rapport au col, longueur d’onde du rayonne-ment, par exemple) et les sorties ( ) prennent laforme de tableaux ou directement de graphiques. Cette facilité dansl’utilisation devrait assurer le développement des applications dansde nombreux domaines.

Certains utilisateurs préfèreront utiliser des approches approxi-matives telle l’optique géométrique. Sans nier l’intérêt de ces appro-ches, dont l’appréhension conceptuelle est plus simple, il fautsouligner qu’elles peuvent en fait devenir beaucoup plus complexesque les théories électromagnétiques lorsque des résultats précissont désirés, ou dans certaines régions angulaires (arc-en-ciel, gloi-res). Cette complexité peut, par exemple, être illustrée par la néces-sité d’introduire, dans certains cas, des ondes de surface [11].

Figure 13 – Prédominance de la réflexion

S12 et/ou S2

2

POUR

EN

SAVO

Diffusion des faisceaux laser par des particules

par Gérard GOUESBETDocteur ès sciencesProfesseur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614

et Gérard GRÉHANDocteur d’ÉtatDirecteur de recherche au CNRS, UMR-CNRS 6614

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n

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EN

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RevuesParmi les revues spécialisées publiant des articles sur la diffusion de la

lumière, citons :

Applied Optics

Journal of Optical Society of America

Particle and Particle System Characterization

Congrès

De nombreux congrès sont dédiés aux techniques de mesures optiques, enparticulier à la vélocimétrie laser. Les actes contiennent invariablement desarticles dédiés à la diffusion de la lumière, en particulier à la technique phase-Doppler. Le plus célèbre de ces congrès est probablement «The InternationalSymposium on Applications of Laser Techniques to Fluid Mechanics» qui setient, biannuellement, à Lisbonne, depuis 1982.

Un congrès spécifiquement dédié au diagnostic optique des particules(Optical Particle Sizing: Theory and Practice) a été créé à Rouen, en 1987 [111].

Les congrès suivants ont eu lieu à Phoenix, Arizona (1990) [112], Keio, Japon(1993) [113] et Nüremberg (1995) [114].

La littérature spécialisée sur les théories de Lorenz-Mie généralisées estaccessible, presque dans son intégralité, en effectuant une recherche biblio-graphique sur les noms de J.P. Barton, G. Gouesbet, G. Gréhan, J.A. Lock. Unouvrage intitulé « Electromagnetic Scattering of Shaped Beams (GeneralizedLorenz-Mie theory)» by G. Gouesbet, G. Gréhan, B. Maheu et K.F. Ren expliqueles formalismes de manière détaillée. Cet ouvrage, récemment achevé, n’estpas encore publié mais est disponible auprès des auteurs.

Fabricants

De nombreux chercheurs fabriquent eux-mêmes leur vélocimètre laser-Doppler ou leur granulomètre phase-Doppler, par souci d’économie ou/etpour exercer un meilleur contrôle de l’instrumentation, voire pour l’adapter àdes conditions particulières [115]. Néanmoins, ces appareils sont disponiblescommercialement.

Liste (non exhaustive) de fabricants (disponible en France)

Aérocinécis Orsay

Dantec Measurement Technology Villebon s/Yvette

Wake

Documents

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