Modélisation stochastique des données à partir d’essais ...

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D. Breysse – cours « Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur les matériaux » - Nantes – 26 mars 2008 Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur matériaux Pr. Denys Breysse Université Bordeaux 1

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Modélisation stochastique des données à partir d’essais sur matériaux

Pr. Denys Breysse

Université Bordeaux 1

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Hasard

cause fictive de ce qui arrive sans raison apparente ou explicable (Petit Robert).

Ce qui relève “du hasard” est considéré comme hors de portée de la conscience

humaine, imprévisible.

La question de l’existence intrinsèque du hasard et de la nature réelle du monde

(déterministe ou non déterministe) demeure une question de philosophie des

sciences, traitée par de nombreux auteurs comme Henri Poincaré ou Karl

Popper (« Plaidoyer pour l’indéterminisme »).

marche au hasard

(mouvement brownien)

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Deux termes souvent pris pour synonymes

Alea - aléatoire :

en latin, « aleator » était le joueur de dé. On

qualifie d’« expérience aléatoire une

épreuve dans laquelle la répétition d’un

même protocole conduit à différents

résultats

Stochastique :

« stochastein », c'est viser et atteindre le

but au javelot, sans calcul, mais avec une

sûreté inexplicable.

C'est le « jeter juste », comme on dit d'un

peintre qu'il a su "attraper le ton juste".

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Caractère stochastique des propriétés des matériaux

manifestation expérimentale : dispersion des propriétés

- est-on capable d’estimer les propriétés (moyenne, dispersion, valeurs « risquées ») ?

- avec quel degré de précision ?

- peut-on « prédire » le comportement du composant/ouvrage qui découle de ces propriétés ?

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1. Approche empirique globale

Wallodi Weibull (1887-1979) : mise en évidence de la distribution statistique de Weibull

aciers suédois de Bofors, fibres de coton

hindou, graines de phaseolus vulgaris, adultes

mâles des Iles Britanniques…

si X > xo

p (X < x) = 1 – exp ( - (x-xo)m/ x1 )

Cas particulier xo = 0

p (X < x) = 1 – exp ( - xm/ x1 )

"En Statistisk Teori FörUtmattmingshallfastheten",

1948

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0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

9 10 11 12 13 14

m = 6

m = 4

m = 2 Xo = 10 , X1 = 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

9 10 11 12 13 14

x1 = 2

x1 = 5

x1 = 15

Xo = 10, m = 5

Une loi « en S » qui a le mérite de bien « coller » à toute courbe en S par

ajustement des trois paramètres.

Ajustement aisé dans le cas où xo = 0

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y = 1,9097x - 1,5107

R2 = 0,9305

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Exploitation de 30 mesures générées selon Weibull

avec Xo = 0, X1 = 5, m = 2

ln (ln (1 / (1 – pF)) = m ln x – ln X1

� X1 = 4.53, m = 1.91

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En 1951, relation établie entre la distribution de Weibull et

la résistance d’une chaîne de N maillons (weakest link concept)

� justification mécanique à une distribution empirique

� nombreuses applications en fiabilité des systèmes, en mécanique de la rupture des matériaux fragiles

Développements en micro-mécanique aléatoire

(distribution de tailles/d’orientations de défauts)

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2. Estimation des propriétés

On dispose de n valeurs, « tirées au hasard » dans une population dont on ne connaît pas la distribution

� Hypothèses sur la forme de la distribution (gaussien, log-normal, Weibull…)

� Lois d’estimation (théorie de l’échantillonnage)

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Exemple : simulations d’un échantillon de n valeurs, selon

une loi gaussienne (10, 2)

0

2

4

6

8

10

12

1 10 100 1000 10000

moyenne

variance

0

2

4

6

8

10

12

1 10 100 1000 10000

moyenne

variance

Convergence lente

Les valeurs obtenues pour n fini ne sont que des approximations des valeurs vraies

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Distribution des moyenne et variance

pour 40 séries de 10 mesures

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 2 4 6 8 10 12

moyenne estimée

(40 séries de 10

mesures)variance estimée

(40 séries de 10

mesures)

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Estimation de la moyenne

Si x suit une loi normale de variance σ² connue

[ X – zα/2 σ/√n-1 ≤ µ ≤ X + z

α/2 σ/√n-1 ] au seuil 1 – α

où X est la moyenne estimée et où σ² est la variance connue

Si x suit une loi normale de variance inconnue

[ X – tα/2 s/√n-1 ≤ µ ≤ X + t

α/2 s/√n-1 ] au seuil 1 – α

où X est la moyenne estimée et où s² est la variance estimée

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

11,5

12

0 20 40 60 80 100

moyenne estimée

var. connue +

var.connue -

var. inconnue +

var. inconnue -

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

11,5

12

0 20 40 60 80 100

moyenne estimée

var. connue +

var.connue -

var. inconnue +

var. inconnue -

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4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 20 40 60 80 100

moyenne estimée

fractile à 5 % (k8 )

fractile à 5 % (ks(n))

Estimation d’une valeur « risquée », par exemple fractile à 5 %« intervalle statistique de dispersion unilatéral »

Si x suit une loi normale de variance σ² connue

Xk = µ - uk σ

où µ est la moyenne et où σ² est la variance connue(par exemple = 1.645 pour le fractile à 5 %)

Mais en pratique, ni µ ni σ ne sont connues

Xk = X - ks s avec ks = fct (uk, n, risque α)

(Norme NF X 06-032)

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3. Identification des propriétés et simulation

Idée :

- on dispose d’un modèle Y = f(Xi)

- on cherche à identifier les distributions statistiques de Xi

- on les utilise dans le modèle pour prédire la distribution statistique de Y

Questions d’intérêt :

- qualité du modèle

- qualité de l’identification des distributions des variables d’entrée

- qualité de la prédiction

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A propos des incertitudes :

- rôle de la variabilité « naturelle » � représentativité d’une mesure «

«ponctuelle » Y � incertitude aléatoire (en un point, dans un échantillon,

entre échantillons)

Répétabilitéponctuelle

Répétabilitédans l’échantillon

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- variabilité-incertitude � incertitude modèle � incertitude épistémique

Par exemple : détermination de la porosité et du taux de saturation

Résistivité : ρ = c p -m S -n � incertitude sur les valeurs des exposants

Capacimétrie : f = a - b S � incertitude sur les constantes

Capacimétrie : f = a - b S � S = (f – a)/b

incertitude de mesure sur f

ET incertitude sur (a, b)

� incertitude sur S

Résistivité : ρ = c p -m S -n

incertitude sur S

+ incertitude de mesure sur la résistivité

ET incertitude sur (m, n)

� incertitude sur p

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Application : modèle de diffusion des chlorures et d’amorçage de la corrosion dans le béton armé

enrobage d

coefficient de diffusion D

Modèle d’amorçage : D²k/²dttDkx initcrit ====⇒⇒⇒⇒====

Modèle de propagation : )tt(i'kp initcorrx −−−−====

Activité icorr

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Modèle d’amorçage : D²k/²dttDkx initcrit ====⇒⇒⇒⇒====

Propriétés (aléatoires)

du matériauParamètre de modèle

Peuvent être évaluées (CND)

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0

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0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,1 1 10 100 1000

t init prédit 1

t init "vrai"

t init prédit 2

hypothèses

Paramètre de modèle k supposé connu, exact = 50

Enrobage = gaussien (moy 2 cm, e.t. 0,5 cm)

Coeff Diffusion = log normal (moy(lnD) = 0.96, e.t.(lnD) = 0.66)) (x1012)

On fait 10 mesures de d et D, à partir desquelles on POSTULE les paramètres des

lois de distribution, et on simule t init

Résultats sur 200

Simulations

Rôle de l’échantillon

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Le rôle de l’erreur de mesure

et de l’incertitude de modèle

Modèle identifié d’après l’analyse statistique de mesures sur échantillons

VUS = a1 p + a’1 S + b1

Aradar = a2 p + a’2 S + b2

Principe : mesure de VUS et de Aradar et inversion du système pour déterminer p et S

Mais…

- Erreurs de mesure : VUS mesuré ≠ VUS vrai, Aradar mesuré ≠Aradar vrai

- Incertitudes de modèle sur les coefficients ai, a’i, bi

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10 12 14 16 18 2060

65

70

75

80

85

90

95

100

60 65 70 75 80 85 90 95 100

10

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10 12 14 16 18 2060

65

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100

60 65 70 75 80 85 90 95 100

Influence de l’erreur de mesure

Porosité vraie

Porosité estimée

Porosité estimée

Porosité vraieSr vrai

Sr vrai

Sr estimé

Sr estimé

Bruit de mesures

1%

Bruit de mesures

3%

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0

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60 65 70 75 80 85 90 95 100

60

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75

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85

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60 65 70 75 80 85 90 95 100

0

5

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25

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0 5 10 15 20 25 30

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10 12 14 16 18 20

Influence de l’incertitude de modèle

Porosité vraie

Porosité estimée

Porosité estimée

Porosité vraieSr vrai

Sr vrai

Sr estimé

Sr estimé

Bruit de mesures

1%

sans incertitude

de modèle

Bruit de mesures

1%

et incertitude

de modèle

(données SENSO)

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En résumé. Les quelques points abordés

- Description des aléas par des lois empiriques.

Possibilité de procéder à des changements

d’échelle (données micro � réponse macro)

- Question de l’échantillonnage : pour l’estimation

des propriétés, pour la qualité des prédictions à

partir des valeurs estimées

- Question de la qualité des modèles, établis à

partir des données en nombre limité (incertitude

de modèle)

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D’autres points essentiels

• La notion de corrélation entre propriétés (p.ex. C et phi dans un sol : physique ? Statistique ?)

• La notion de corrélation spatiale

A retenir :

- savoir ce que l’on veut et adapter ses moyens (d’acquisition de données et de modélisation) à ses objectifs

- avoir conscience des limites des approches déterministes… et probabilistes !