Vincent Guinot , Carole Delenne Université Montpellier 2 / Polytech’Montpellier
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Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude
Vincent Guinot, Carole DelenneUniversité Montpellier 2 / Polytech’Montpellier
HydroSciences Montpellier
GIS HED2 - décembre 2012
1
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
Les deux grandes pathologies de la modélisation
2
Insensibilité
• Grandes variations de v variations de u négligeables
• Inversion de modèle difficile…
• … et dangereuse (valeurs de v irréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.)
Paramètre v
Variable u
Sensibilité s
Paramètre v
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
Les deux grandes pathologies de la modélisation
3
Hypersensibilité
• Petite variation de v grande variation de u
• Caractère prédictif du modèle: douteux
• En général: le signe d’une paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul)
• Inversion du modèle (calage): difficile
Paramètre v
Variable u
Sensibilité s
Paramètre v
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
La sensibilité: une dérivée directionnelle
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Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu d’EDP
],0[),(0),( Tt xuL v
xxuxu )()0,( 0
],0[),()(),( Ttxtt bb uxu
Intérieur du domaine
Conditions initiales
Conditions aux limites
Perturbation du paramètre v sous la forme
0),(),(),( vvv ttt xxx
Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1]
0000
00
'lim
vv vv
uuus
[1] Cacuci, Uncertainty Analysis, 2003
=> Perturbation de la solution: u → u’
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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La sensibilité: une dérivée directionnelle
5
Passage à la limite équations en sensibilité
xxsxs )()0,( 0
Intérieur du domaine
Conditions initiales
Conditions aux limites
• La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si l’on se place dans le cadre de la théorie des distributions [1]
• Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3] problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5])
[1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002[2] Delenne & al., CRAS, 2008[3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009
],0[),(0 Tt
xLsuL
v
],0[),()(),( Ttxtt bb sxs
[4] Gunzburger, IJNMF, 1999[5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012
Approche continue: résolution des équations en sensibilité
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
La sensibilité: une dérivée directionnelle
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[1] Guinot & al, Adv. in Water Resources, 2009
• résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique
• Simple d’emploi, nombreuses techniques disponibles
• Il n’est pas nécessaire de connaître les équations du modèle
• Présente souvent des artefacts numériques [1]
-5 0 5
6
8
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Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval
Approche discrète (empirique)
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
Modèles Saint Venant 1D en régime permanent
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Equation hydrodynamique:
[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009
20
Fr1d
fx
SSh
Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]
bax d
fhhx Shda
22 Fr
Fr11
fSb v
2Fr1
x
h
L
hn
hds
0
x
L0
1
Si alors b=0
Propagation de l’influence de la hauteur aval sur une longue distance
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 1D en régime permanent
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[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009
Si alors b≠0
Décroissance quasi-exponentielle avec x il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1]
x
h
L
hn
hds
0
x
L0 ≠ 0
2ln3Fr10Fr3Fr1
122
02
2/1 hSSL f
Equation hydrodynamique:
20
Fr1d
fx
SSh
Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]
bax d
fhhx Shda
22 Fr
Fr11
fSb v
2Fr1
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 1D en régime permanent
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[1] A. Mosca, étude en cours (Polytech’M 5ème année)
Sensibilité locale calculée autour d’un paramètre nominal
Mais:
le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1] ces résultats devraient pourvoir être généralisés
Q
z
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 2D en régime permanent
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Equation en sensibilité [1]
[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009
Régime fluvial
• Equation de diffusion anisotrope
• Propagation préférentielle: direction transversale
• La direction de propagation n’est pas la même selon la variable que l’on considère
qss yyxx)Fr1( 2
TyxThvhuh ,,,, s
Sensibilité de h et ux
10
Sensibilité de uy
Ecoulement
Sensibilité à une variation de topographie
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 2D en régime permanent
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[1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009
Régime torrentiel
• Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y)
• Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr
Ecoulement
Equation en sensibilité [1]
qss yyxx)Fr1( 2
TyxThvhuh ,,,, s
Sensibilité à une variation de topographie
Adapter le calage au régime d’écoulement et aux variables utilisées
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Comportement 1D / 2D
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Modèle 2D [2]• Sensibilité: EDP d’ordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel)• Distance caractéristique: quelques mètres en fluvial
[1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009[2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009
Modèle 1D [1]• Sensibilité: EDO quasi-linéaire d’ordre 1 décroissance approximativement exponentielle avec la distance
• Distances caractéristiques en régime fluvial: 103 ; torrentiel: 102 m
• Topographie: effet très important mais très local• Frottement: effet faible, demande des distances
importantes• Conditions aux limites: effet rapidement dissipé
par les carrefours (2D)
fluvial
torrentiel
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
Sensibilité et Incertitude
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Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s)
m
s2
Descripteurs statistiques de la distribution de sortie(e.g. moyenne et variance)
Modèle
N simulations
Estimateurs de la moyenne et de la variance
𝝁(𝑥 ,𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1
𝑁
𝒖(𝑥 ,𝑡 ;𝝎 ) Vecteur des paramètres
Solution du modèle
𝝈2 (𝑥 , 𝑡 )= 1𝑁∑𝑖=1
𝑁
𝒖2−𝝁2 Cet estimateur permet de ne pas stocker tous les résultats mais peut conduire localement à une valeur négative de
Analyse globale
Le nombre N de simulations doit être grand
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Sensibilité et Incertitude
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• Développement au 1er ordre
• Moment d’ordre 2: • estimation de la variance partielle
pour un paramètre
• Estimation de la variance totale pour p paramètres
Utilisation de la sensibilité localecomme approximation linéaire de la réponse du modèle
• Résolution des équations du modèle et en sensibilité pour une valeur nominale du paramètre
u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )=u+(𝜔−𝜔 )s
• Estimation de la moyenne:
𝝈𝒊𝟐=|s𝒊|
2𝝈𝜔𝑖2
𝝁=u=u (𝜔 ,𝒙 ,𝑡 )
𝝈❑𝟐=∑
𝑖=1
𝑝
|s𝒊|2𝝈𝜔𝑖
2
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 1D transitoire
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[1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012
qmin
qmax
• Canal rectangulaire
• Propagation d’une onde de crue : incertitude sur le débit max
Analyse globale:• 1000 simulations d’une loi uniforme avec Analyse locale:• 1 simulation avec calcul direct d’incertitude
ou• 2 simulations avec calcul empirique
Δ𝑞=0.5𝑞
𝜀𝑋=1𝑁∑𝑖=1
𝑁 |𝑋𝐺(𝑥 𝑖)− 𝑋𝐿 (𝑥𝑖)|𝑋 𝐺(𝑥 𝑖)
q(t)
nMS0
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3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèles Saint Venant 1D transitoire
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Paramètres Intervalle s4 paramètres incertainsindépendants
𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥
Variances partielles
Moyenne Variance
𝜔=𝑇 𝑓 𝜔=𝑆0 𝜔=𝑛𝑀
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3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Conclusions
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Utilisation de la sensibilité locale:
[1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011
Pour le calage:• hiérarchisation des paramètres à caler• détermination de la taille de bief optimale
pour le calage du coefficient de rugosité,• utilisation dans le processus de
maximisation de la fonction objectif [1]
Pour l’analyse d’incertitude:• Malgré une forte non linéarité des équations « shallow
water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés)
• Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires
Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à l’analyse d’incertitude
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HydroSciences Montpellier
GIS HED2 - décembre 2012
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1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
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Modèle Saint Venant 1D transitoire
10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations
Variance partielle pour différentes valeurs de N
𝜔=𝑞𝑚𝑎𝑥
Importance du nombre de simulation pour la méthode globale
1. Introduction
2. Sensibilité locale
3. Sensibilité et calage
4. Sensibilité et incertitude
5. Conclusions
V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012
Modèle Saint Venant 1D transitoire
Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)