VI.1 INTRODUCTION

VI.2 Vecteurs élémentaires dans le vide

VI.3 Calcul direct de champ du à des distribution de courants ; Exemple

VI CHAMP, INDUCTION MAGNÉTIQUES

VI.4 Vecteur induction et force magnétiques dans le videVI.5 Champ et induction dans un milieu quelconque

VI.6 Aimantation

VI.1 Introduction

Dans la vie courante, on sait par expérience qu’il existe d’autresmanifestations de forces que celles d’origine électrostatique ougravitationnelle :Action des aimants (constitués de métaux), boussole (déviation près d’uncircuit électrique...).

Comme en électrostatique (E), on va introduire unegrandeur vectorielle , vecteurs H, champ « magnétique »pour caractériser le facteur agissant en un point M(x,y,z)d’un milieu (ou dans le vide), à l’origine de ces forcesmagnétiques Fmagn.

Contrairement à l’électro “ statique ”, ces grandeursmagnétiques, H  et Fmag sont reliées à des déplacements decharges électriques ou à des courants.Ainsi un champ H sera sans action sur une charge immobile.

VI.2 Vecteurs élémentaires

Un élément dl d’un fil parcourupar un courant I crée unélément de champ dH:

Une charge q animée d’unmouvement avec unevitesse v crée dH:

!

r u

!

r v

!

dr H

!

dr

H =Id

r l "

r u

4#r 2

!

r u

!

dr

H

I

!

d

r l

!

dr

H

« rentrant »

« sortant »

!

r u

!

dr H

!

dr H

I

!

d

r l

!

dr H =

qr v "

r u

4#r 2

Champ magnétique élémentaire

(a) Vecteur champ magnétique

Rappel:Le produit vectoriel de deux vecteurs(A,B)est un vecteur (C) perpendiculaire aux deuxvecteurs et orienté dans le sens « direct ».Son module est:

!

r C =

r A "

r B =

r A

r B sin(

r A ,

r B )

VI.3 Calcul direct de champ du à des distribution de courants. Ex

Principe de superposition

Quelque soit la forme de la distribution de courant selon:Fil, surface ou volume

!

r H = d

r H

Distr .I

"

Exemple Portion de fil parcouru par un courant I. H créé dans le vide (air)?

!

d

r l "

r u = dl u sin(d

r l ,

r u ) = dl cos#

!

r k

z

x

!

r i

IB

A

!

dr

H =Id

r l "

r u

4#r 2

!

r u

I

!

d

r l

!

dr H = dH

r j

!

r k

r

x

!

r i

B

A

θ

!

(dr l ,

r u )

!

r u

!

d

r l r

M

z = xtgθ

!

dl = dz =xd"

cos2"

x = rcosθ

!

1

r=cos"

x

!

dH =Icos"d"

4#x

!

d

r l "

r u = dl cos# =

xd#

cos2#cos# =

xd#

cos#

!

r H = d

r H

Distr .I

" = dr H = dH

A

B

#r j =

Icos$d$

4%x

r j

$ 1

$ 2

#A

B

#

!

H =I

4"xsin#

2$ sin#

1( ) Cas du fil infini ??

Θ2 tend vers + π/2

Θ1 tend vers - π/2

!

H =I

2"x

!

r u

I

!

d

r l

!

dr H = dH

r j

!

r k

z

rx

!

r i

B

A

θ

!

r H =

r j

I

4"xcos#d#

# 1

# 2

$

Portion de fil et fil infini (calcul)

Lignes de champOn définit :

!

dr l "

r u = dlu sin(d

r l ,

r u )

r j = dl cos#

r j

Avec le vecteur unitaire J perpendiculaire à i et k:

VI.4 Vecteur « Induction » et force magnétique élémentaire dans le vide

b) Force magnétique agissant sur un élément de courant placéedans une induction B.

L’élément de force est donné par:

!

dr F = Id

r l "

r B

UnitésH : Am-1B: T (Tesla)µ0= 4π10−7 UMKSA

!

dr B = µ

0d

r H

µ0 : Perméabilité magnétique du vide

!

dr F = Id

r l "

r B

!

dr F = Id

r l "

r B

µ0 caractérise les propriétés du »vide » (comme ε0)

!

I

r d l

!

dr F

!

r B

!

I

r d l

!

r B

Ι

Exemple d’un fil (parcouru par un certain courant) créant une induction B ( voir exo) qui agitsur un autre fil parcourue par un courant I.

a) Vecteur induction élémentaire

VI.5 Champ et induction dans un milieu quelconque

Dans le vide, champ d’induction (B) et champ d’excitation magnétique (H) sontliées par la perméabilité magnétique du vide, µ0,

Dans un matériau isotrope une nouvelle grandeur vectorielle, « l’aimantation », sesuperpose au champ d’excitation pour traduire l’influence du milieu

!

r B = µ

0

r H

H va agir (forces magnétiques) surl’orientation des trajectoires des électronsdes atomes (Rappel: E agit sur la « forme » des trajectoires)

Origine?

Si on applique un champ extérieur H ???

e-

H

(En fait quelques Valeurs d’anglepossibles : valeurs discontinues)

Rappel (cf TD) : une spirecirculaire parcourue par uncourant crée un champmagnétique « m » . C’est leaussi le modèle d’ne orbiteélectronique….

e- création delignes dechamp…

!

r m

e- e-

H tend à aligner l’axe de l’orbite selon sa direction

Dans un milieu on a une relation linéaire entre l’induction et l’excitation :

!

r B = µ

0

r H + µ

0

r M

…Dans un milieu linéaire l’aimantation M est proportionnelle à H… alors

!

r B = µ

r H = µ

rµ0

r H

µr, perméabilité magnétique relative.Elle dépend du milieu (cf plus loin)

!

(cf action d'un champ dans un isolant :r D = "0

r E +

r P )

!

r H

!

r M

!

r M =

r m " # 0

Si H est nul

!

r M =

r m " # 0

Avec H

Dans l’unité de volume on définit un vecteur « magnétisation (aimantation) » :

!

r M =

r m "

On définit alors le vecteur induction magnétique « B » dans le milieu :caractérisant le champ appliqué (H) et la réaction du milieu (M), « l’aimantation »

(le coefficient de perméabilité absolue µ remplace la perméabilité du vide µ0).

VI.6 « Aimantation »

VII Milieux magnétiques et non magnétiques

VII.1 Les différents milieux

VII.2 Aimantation, Cycle d’hystérésis

VII.1 Les différents milieux

Les milieux sont classés selon leur réaction à l’application d’un champ

•Les milieux peu « magnétiques ».

Les conséquences de l’application d’un champ sont faibles (aimantation Mtrès faible, dans le sens ou le sens contraire au champ.

Ce sont la plus part des milieux, dits non magnétiques. On a alors : µr ≠ 1

•Une autre classe réagissent très fortement au champ (ex : fer, cobalt,nickel) : les « ferromagnétiques »

Propriétés desferromagnétiques :aimantation « rémanente »

Alors µr est très élevé ,ex fer : 1500 Suppression de H

!

r H

!

r B = µ

r H = µ

rµ0

r H

Relation entre H appliqué et B ?Et:

Caractérisée par un « cycle d’hystérésis »

Aimantation permanente

!

r M

!

r B

VII.2 Aimantation, Cycle d’hystérésis

On voit bien qu’Il subsiste une inductionrémanente Br lorsque H = 0

H

B

!

r B

!

r H

!

r M

Appliquons pour la premièrefois, un champ dans unmatériau ferromagnétique

Courbe de première aimantation

SaturationBs

Si on diminue H ???

Le champd’excitation doits’inverser pourannuler B, il fautappliquer - Hc .Hc est le champcoercitif

H

B SaturationBs

Ensuite: « Cycle d’hystérésis »La courbe ne repasse plus jamais par zéro…

Br

APPLICATIONS Aimants , Mémoires magnétiques

H

«0 » « 0 »  « 1 »  « 0 »  « 1 » « 0 »

• Ou analogique H

•Variation de l’amplitude de H (même sens)

•Variation de l’amplitude de M et B (même sens)

•Digitales Supression de H

VII.3 Cycles et mémoires magnétiques

VIII Flux magnétique, self

VIII.1 Flux et Flux propre d’un circuit

VIII.2 Exemples de Flux propre de circuits

VIII.3 Flux variable avec le temps

VIII.1 Flux et flux propre, « self »

Flux magnétique élémentaire

!

d" =r B d

r s

Flux magnétique totale

!

" = d"# =r B d

r s

C

$$

Soit un circuit C placé dans dans un milieu µr et un champ magnétique H

C

!

r H

!

dr s

Flux propre d’un circuit

Soit un circuit (dans un milieu  « µr  ») parcouru par un courant I

L : coefficient de « self » du circuit (Unité : le Henry)

Il crée dans tout l’espace un champ H fonction de I

Il est donc dans son propre flux dû à B(I)

!

" propre(I) =r B (I)d

r s

C

##C

!

r H (I)

!

dr s

I

On pourrait démontrer que ce flux propre est proportionnel à I, on pose:

φpropre = LI

!

r B = µ

0µ

r

r H avec

!

r B

VIII.2 Exemples de Flux propre de circuits, bobine (« self »)

Le champ créé par une bobine est donné par(n: nombre de spire/unité de longueur, I courant) H - = nI

Flux à travers une spire de surface S ?

!

" (I) =r B (I)d

r s

1 spire

## = B(I)ds1 spire

##

Flux à travers n spires

!

" prop(I) = nr B (I)d

r s

1 spire

##

Coefficient de self de la bobine L = µ0µrn2S

Autre exemple: coefficient de selfd’une ligne coaxiale (cf TD)

!

!

L =µ0µr2"

Ln(R2

R1

)

(Dans l’air: µr=1)

II

n

!

" (I) = µ0µrnIds1 spire

## = µ0µrnI ds1 spire

## = µ0µrnIS

!

" prop(I) = nµ0µrnIS = µ0µrn2IS

!

dr s

!

r B

//

!

dr s

!

r B

VIII.3 Flux variable avec le temps

4a) Phénomène d’induction magnétique: loi de Lenz-Faraday

!

"(t) =r B d

r s

C

##Si ce flux varie au cours du temps car:

Apparition d’un courant « induit » i dans le circuit, si le circuit est ferméDonc existence d’une « force électromotrice induite »: e

!

e = "d#(t)

dt

Si un circuit est parcouru par un courant I(t) :!

e = "d#(t)

dt= Ri(t)

!

e = "d#(t)

dt= "L

dI(t)

dt

Soit un circuit dans un flux magnétique

!

" =r B d

r s

C

##•déplacement du circuit•variation de B

•déformation du circuit

e

Si R est la résistance du circuit

φpropre = LI(t)

Le circuit est dans son flux propre qui varie avec le temps

4b) Conséquence pour un circuit parcouru par un courant I fonction du temps

I(t) Création d’un champ magnétique

!

i(t) =e

R= "d# (t)

Rdt= "

L

R

dI(t)

dt

Itotal = I+ i