25e rencontres de l’AUGC, 23-25 mai 2007, Bordeaux

Vers une approche probabiliste pour l’évaluation de la sécurité structurale des barrages-poids Claudio Carvajal* — Laurent Peyras** — Jean-Pierre Bécue* — Caroline Varon* — Claude Bacconnet*** — Daniel Boissier*** * Safege, Ingénieurs Conseils Parc de l'Ile 15/27 rue du Port, F-92022 Nanterre cedex

claudioandres.carvajalmoncada ; jean-pierre.becue ; caroline.varon@safege.fr ** Cemagref Unité de recherche « Ouvrages hydrauliques » 3275 route de Cézanne – CS 40061, F-13182 Aix en Provence

laurent.peyras@cemagref.fr *** Université Blaise Pascal – Clermont II LGC, Laboratoire Génie Civil, Polytech’ Clermont-Ferrand 24, avenue des Landais – BP 206, F-63174 Aubière cedex

claude.bacconnet ; daniel.boissier@cust.univ-bpclermont.fr RÉSUMÉ. Cet article propose une démarche fiabiliste pour l’évaluation de la sécurité structurale des barrages poids. Les résistances et les sollicitations modélisées par des lois de probabilité sont intégrées dans la formulation des états-limites de fissuration et de cisaillement au moyen de la Méthode Fiabiliste de Premier Ordre (FORM) ainsi que par une Simulation de Monte Carlo. La démarche est illustrée à partir d’un exemple de barrage-poids en Béton Compacté au Rouleau.

ABSTRACT. The aim of this paper is to develop a reliability-based design method for structural stability of gravity dams. Uncertainties and variability bound to strength parameters are modeled by probability laws and physical relations. First Order Reliability Method (FORM) and Monte Carlo simulation are used to take into account strength and load uncertainties in cracking and shearing limit states assessment. The procedure is illustrated on the example of a roller compacted concrete gravity dam.

MOTS-CLÉS : barrages poids, fiabilité, FORM, Simulations de Monte Carlo.

KEYWORDS: gravity dams, reliability, FORM, Monte Carlo simulation.

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1. Introduction

Les barrages sont des ouvrages hydrauliques de génie civil, de grande taille, à caractère unique et induisant des risques technologiques importants. On observe une hétérogénéité dans la pratique des justifications pour la stabilité des barrages, et ces justifications restent dans un format de calcul déterministe (Peyras et al. 2006). Cet article propose une démarche fiabiliste probabiliste pour l’évaluation de la sécurité structurale de barrages, appliquée au cas des barrages-poids.

Parmi les barrages-poids, les barrages en Béton Compacté au Rouleau (BCR) présentent un intérêt car les grands barrages-poids sont actuellement réalisés le plus souvent en BCR (Royet et al. 2006). Pour ces barrages, le béton est mis en place par couches minces superposées et les liaisons entre couches jouent un rôle essentiel dans le comportement du corps du barrage. Dans le domaine des barrages-poids, les paramètres de résistance qui entrent dans les codes de calculs font l’objet d’une quantité limitée d’essais expérimentaux. Cet article propose une démarche pour la détermination des lois de probabilité des résistances basée sur une formulation physique de la courbe intrinsèque du béton.

Les résistances et les sollicitations modélisées par des lois de probabilité sont finalement intégrées dans la formulation des états-limites de fissuration et de cisaillement au moyen d’analyses FORM ainsi que par des Simulations de Monte Carlo. La démarche est illustrée à partir d’un exemple de barrage poids en BCR.

2. Modélisation probabiliste des résistances pour les barrages en BCR

2.1. Formulation de la courbe intrinsèque

La relation entre les résistances à la compression, à la traction et au cisaillement peut se représenter graphiquement au moyen de la courbe intrinsèque du béton dans un repère contrainte normale, contrainte tangentielle. Pour la détermination de cette courbe dans le cas de barrages-poids, on dispose seulement d’essais de traction et de compression. La formulation proposée pour la courbe intrinsèque est la suivante :

( ) ( )[ ]

⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅=

)exp(6

11221

21

2

σστ kkkfkf CC [1]

– τ : résistance au cisaillement,

– σ : contrainte normale,

– Cf , tf : résistance à la compression et à la traction,

– k : rapport entre la résistance à la traction et la résistance à la compression.

Sécurité structurale de barrages-poids 3

Cette formulation est basée sur une forme parabolique passant par le point correspondant à la résistance à la traction et tangente au cercle provenant de la résistance à la compression.

L’expression entre parenthèses située à l’extérieur de la racine de l’équation [1] correspond à une fonction d’ajustement obtenue à l’issue de la comparaison avec de résultats d’essais expérimentaux présentés dans la référence (Dolen et al. 1988).

Courbe intrinsèque - modèle parabolique ajustée

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Contrainte normale (MPa)

Con

trai

nte

de c

isai

llem

ent (

MP

a)

Cercle CompressionCercle TractionParaboleParabole Ajustée

Figure 1. Courbe intrinsèque, modèle parabolique ajusté.

La cohésion est obtenue à partir de la résistance au cisaillement pour une valeur de contrainte normale (σ) égale à zéro. L’expression ainsi déduite est la suivante :

[ ] 21

22 2283,0 kkkkkfc C +⋅⋅−+⋅⋅⋅= [2]

L’angle de frottement interne (φ) peut être obtenu à partir de la sécante à la courbe intrinsèque comprise dans la fourchette de contraintes normales que l’on peut avoir dans le barrage en service (σMAX et σMIN) :

−−

=MINMAX

MINMAXAσσ

στστϕ )()(tan [3]

2.2. Lois de probabilité pour les paramètres de résistance au cisaillement

L’expression proposée pour la courbe intrinsèque ne permet pas d’obtenir analytiquement la loi de probabilité de c et de φ à partir des lois de probabilité de fc et de ft.

La démarche consiste alors à calculer, pour chaque couple (fc, ft) issu de l’échantillon disponible, le couple (c, φ) à partir des équations [2] et [3].

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La loi conjointe de c et φ est obtenue par ajustement statistique de l’échantillon des couples (c, φ) calculés.

Si on ne dispose d’aucun résultat expérimental pour les résistances à la compression et à la traction (cas d’un barrage en phase de conception, par exemple), la loi conjointe (type et matrice de variance) sera tirée de la bibliographie, les paramètres centraux des spécifications de dimensionnement ; il est alors possible de générer une population de couples (fc, ft) par simulation numérique.

2.2.1. Illustration

Cet exemple se place dans le cas où on ne dispose pas d’essais expérimentaux. La première étape consiste à confectionner deux échantillons pour les résistances à la compression et à la traction au moyen d’un générateur de nombres aléatoires. Nous avons utilisé dans cet exemple une loi de probabilité conjointe gaussienne, définie par les paramètres présentés dans la figure 2. Les paramètres de cette loi sont compatibles avec ceux donnée par (Dolen et al. 1988)

Echantillons résistances en compression et en tract ion

0,0

0,5

1,0

1,5

6 7 8 9 10 11 12 13 14

R. Compression, fc (MPa)

R. T

ract

ion,

ft (M

Pa)

(Loi normale) fc ftMoyenne (MPa) 10 0,6Ecart type (MPa) 1 0,2Coef. Variation 0,10 0,33Matrice corréation

(10 000 tirages aléatoires)

18,0

8,01

Figure 2. Echantillons obtenus des résistances à la compression et à la traction.

L’intervalle de contraintes normales pouvant exister dans une section du barrage peut être déterminée en fonction des dimensions du barrage et de l’importance des actions extérieures. Dans cet exemple les contraintes normales (σMIN et σMAX) sont comprises dans l’intervalle [0,2 ; 1,2] MPa.

La figure 3 montre les histogrammes obtenus pour c et φ à partir de la courbe intrinsèque et des échantillons de fc et ft. La loi normale d’ajustement est représentée sur la même figure.

Dans cet exemple, on trouve pour la cohésion moyenne une valeur proche du double de la résistance à la traction moyenne, et un coefficient de variation CV intermédiaire entre ceux de fc et de ft. Pour φ, on obtient une moyenne égale à 46° avec un CV très faible.

Sécurité structurale de barrages-poids 5

Histogramme : Cohésion

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

Cohésion (MPa)

Fré

quen

ce r

elat

ive Moyenne 1,30 MPa

Ecart type 0,25 MPaCoef. Variation 0,19(10 000 tirages aléatoires)

Histogramme : Tan (Phi)

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,80 0,92 1,04 1,16 1,28

Tan (Phi)

Fré

quen

ce r

elat

ive

Moyenne 1,04 ( φ = 46°)Ecart type 0,07CV 0,07(10 000 tirages aléatoires)

Figure 3. Echantillons obtenus pour les paramètres de résistance au cisaillement.

3. Evaluation probabiliste de la sécurité structurale du corps d’un barrage-poids

3.1. Contexte probabiliste

Le contexte probabiliste est déterminé par la définition de l’épreuve ou expérience aléatoire εΤ. Dans cette étude, il s’agit d’évaluer la probabilité que le barrage présenté dans la section suivante résiste aux sollicitations mécaniques pendant une période T. La section de contrôle correspond à la couche inférieure du barrage qui est la couche la plus sollicitée.

A cette épreuve εΤ est associée la fonction de performance (G) qui correspond au critère de ruine retenu pour le barrage donné ; on définit les variables de base et les paramètres nécessaires à l’évaluation de cette fonction de performance.

Soit X le vecteur ayant pour composantes les variables aléatoires de base et Ω l’ensemble de réalisations possibles pour cet espace aléatoire à l’issue de l’épreuve εΤ. L’application de la fonction de performance sur ce vecteur détermine un espace aléatoire de sortie et les deux événements fondamentaux correspondant à la défaillance D et à la non défaillance D par rapport à l’état limite retenu.

Soit f(X) la loi de probabilité conjointe de X.

Alors, la probabilité de défaillance par rapport à l’état limite retenu est donnée par :

∫ ≤==

0)( 11 ,),,()(XG nnf dxdxxxfDPP KK [4]

Dans le cas du barrage étudié, comme cette intégrale ne peut être résolue analytiquement, des méthodes d’approximation FORM et de simulation ont été utilisées pour l’obtention de Pf. :

- La méthode FORM (First Order Reliability Method) consiste, après une transformation isoprobabiliste des variables aléatoires, à linéariser la surface de

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l’état-limite au point de conception *P , le point le plus proche de l’origine dans l’espace normé. L’indice β est la distance de l’origine de l’espace normé au point

*P , où la défaillance est la plus probable. Dans cet approximation, la probabilité de défaillance est donnée par :

)( β−Φ≈fP [5]

- La méthode de simulation de Monte Carlo retenue consiste à simuler des réalisations de l’état-limite et à dénombrer les défaillances obtenues.

3.2. Dimensionnement du barrage

Le dimensionnement du barrage considéré a été fait en suivant les recommandations du Comité Français des Barrages et des Réservoirs.

La géométrie déterminée correspond à une hauteur de 40m, avec une épaisseur de 4m en crête et de 26m à la base, le parement amont ayant un fruit vertical.

Les sollicitations hydrauliques sont définies à partir d’un niveau de retenue normale RN égal à 32m et un niveau des plus hautes eaux PHE égal à 38m. Les sollicitations sismiques sont déterminées selon un modèle pseudo-statique, avec un calcul des forces hydrodynamiques selon le modèle de Westergaard corrigé en fonction de la compressibilité de l’eau (Chopra et al. 1982).

3.3. Etats limites et variables aléatoires de base

Le mode de défaillance retenu pour le barrage correspond à l’état-limite de résistance à l’effort tranchant du plan de rupture considéré. La fonction de performance (G) associée à cet état-limite est représentée par l’expression classique suivante :

( ) TNlcG −⋅+⋅ )tan(: ϕ [6]

Avec :

N et T les composantes normale et tangentielle des actions agissant sur la section étudiée et l la longueur de la section non fissurée étudiée. Elle est déterminée au moyen d’un calcul itératif à partir de la condition de non fissuration :

( ) tN fx −>'σ Avec : [7]

( )xN'σ contrainte effective normale (à la position x de la section étudiée).

Les variables aléatoires considérées sont présentées dans le tableau 1. L’évolution des résistances avec le temps n’est pas prise en compte dans cet exemple.

Sécurité structurale de barrages-poids 7

Variable aléatoire Loi de probabilité Paramètres

µ : moyenne ; σ : écart type

R. en traction, tf (*) Normale tronquée à 0 µ : 0,6 MPa ; σ : 0,2 MPa

Cohésion, c (*) Normale tronquée à 0 µ : 1,3 MPa ; σ : 0,25 MPa

Frottement, )tan(ϕ (*) Normale µ : 1,05 ; σ : 0,07

Hauteur d’eau, He (**) Gumbel µ : 32m ; σ : 1,22m

(Période de retour de PHE = 1000 ans)

Coefficient sismique, Acc

(**) Pareto a : 0,0097 (facteur d’échelle)

k : -0,1226 (facteur de forme)

(*) obtenues à partir de la courbe intrinsèque (§2.1) et des données présentées figure 2 et § 2.2.1.

(**) (Tekie et al. 2003)

Tableau 1. Variables aléatoires. 3.4. Résultats

Le tableau 2 présente les probabilités de défaillance obtenues :

Etat limite Pf (Monte Carlo) Pf (FORM) β (FORM)

Cisaillement < 10-7 < 10-7 6,61 Fissuration 6,4x10-5 7,0x10-5 3,81

Cisaillement couplé avec fissuration

1,0x10-5 9,2x10-6 4,28

Tableau 2. Résultats des simulations de Monte Carlo et des analyses FORM.

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hauteurd'eau

Coefficientsismique

R. Traction Tan(phi) Cohésion

Variables aléatoires

Coe

ffici

ent d

e se

nsib

ilité

Cisaillement (sans fissures)

Ouverture de fissures

Cisaillement couplé avecfissures

Figure 4. Sensibilité de la probabilité de défaillance, Pf, aux variables aléatoires.

La figure 4 montre l’influence de chaque variable aléatoire obtenue sur Pf, que Pf est plus sensible au niveau de la retenue qu’à l’action sismique et quel est l’effet sur elle de la variabilité de la résistance à la traction et de la cohésion.

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4. Conclusions et perspectives

Cet article présente les premiers résultats d’un projet de recherche dans le cadre d’une thèse ayant comme application industrielle le domaine des barrages. L’article est centré sur le cas des barrages-poids en BCR où il a été mis en évidence la difficulté d’évaluer le caractère aléatoire des paramètres de résistance qui entrent dans les codes de calcul.

Une formulation est proposée pour la représentation de la courbe intrinsèque, permettant d’estimer les paramètres de résistance au cisaillement à partir des résistances à la compression et à la traction.

Des Méthodes Fiabilistes de Premier Ordre FORM et des simulations de Monte Carlo ont été utilisées dans cette étude pour l’évaluation probabiliste de la sécurité structurale des barrages-poids. La démarche a été illustrée sur l’exemple d’un barrage-poids en BCR où les lois de probabilité des résistances ont été évaluées à partir de la courbe intrinsèque selon la méthodologie proposée. Cet exemple a permis d’apprécier le niveau de sécurité associé à la justification de la stabilité d’un barrage-poids ainsi que l’influence de la variabilité de chaque paramètre sur la valeur de la probabilité de défaillance obtenue.

De tels résultats seront utilisés lors d’études d’analyse de risques de barrages. Les voies de recherche se focalisent sur la caractérisation de la variabilité spatiale et temporelle des paramètres de résistance dans le corps du barrage ainsi que dans la zone de contact avec la fondation et à l’intérieur de celle-ci.

5. Bibliographie

Chopra A. K., Gupta S., « Hydrodynamic and Foundation Interaction Effects in Frequency Response Functions for Concrete Gravity Dams ». Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 10, 1982, p.89-106.

Dolen T., Tayabji S., « Bond Strength of Roller Compacted Concrete ». In Roller Compacted Concrete II. New York : ASCE, 1988. pp. 170-186.

Peyras L., Kovarik JB., Royet P., « Vers l’adaptation aux Eurocodes de la justification des barrages-poids ». In Revue Européenne de Génie Civil, Vol. 10, n°1/2006, p.83-109.

Royet P., Peyras L. (sous la direction de), Recommandations pour la justification de la stabilité des barrages poids – propositions de recommandations. CFBR, 2006. 82 p.

Tekie P. B., Ellingwood B. R., « Perspectives on probabilistic risk assessment of concrete gravity dams ». In 9th ICASP. San Francisco, California, USA, 2003. pp. 1725-1732.