Modèle probabiliste / Variables aléatoires · 2015. 1. 30. · Amphi 1 Le modele probabiliste et...

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Modele probabiliste / Variables aleatoires

Jeremie Bigot

Cours de probabilites MA105ISAE/SUPAERO 1A

Annee 2013 - 2014

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Introduction

1 Introduction

2 Le modele probabiliste et concepts de base

3 Variables aleatoires reelles et lois classiques

4 Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle

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Introduction

Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?

Principe de base : on fait appel aux probabilites pour decrire uneexperience dont le resultat est impossible a prevoir avec certitude.

Exemple d’experience aleatoire : lancer d’un de a 6 faces et on litle numero apparu sur la face superieure

5 1 3 5 5 2 1 5 6 4

TAB.: Resultats de 10 lancers successifs d’un de a 6 faces

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Introduction

Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?

Principe de base : on fait appel aux probabilites pour decrire uneexperience dont le resultat est impossible a prevoir avec certitude.

Exemple d’experience aleatoire : lancer d’une piece et on lit la faceobtenue (Pile ou Face)

F F P P F P P F P P

TAB.: Resultats de 10 lancers successifs d’une piece

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Introduction

Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : suivi de l’evolution journaliere del’indice boursier S&P 500 publie par l’agence Standard & Poor’s.Source : Torgo L. (2010). Data Mining with R : Learning with Case Studies.Chapman and Hall/CRC.

jan 032007

jul 022007

jan 022008

jul 012008

jan 022009

jui 302009

800100

0120

0140

0160

0

Indice S&P 500

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Introduction

Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Developpement mathematique des probabilites

19eme siecle et debut 20eme siecle : developpement desprobabilites en lien avec les methodes d’analyse :

- calcul integral et differentiel (Laplace, Gauss)- theorie de la mesure (Borel, Lebesgue)

a partir du 20eme siecle : etude de phenomenes aleatoires quievoluent au cours du temps : theorie des processus de Markov(mouvement Brownien, processus de Poisson, theoriestatistique, etude de la dynamique de population, physiquestatistique,...)

la theorie des probabilites aujourd’hui est basee sur le modeleprobabiliste propose par Kolmogorov (1933), et sur le calculstochastique developpe par Ito (1945). Cette theorie a connu untres grand essor dans la deuxieme moitie du 20eme siecle.

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Introduction

Domaines d’application de la theorie des probabilites

Physique (physique des particules, physique quantique)

Traitement du signal et de l’image

Informatique et reseaux de telecommunication

Analyse de bases de donnees massives (Big data)

Finance, Economie, Assurance

Biologie

Fiabilite

Simulation numerique en mathematiques appliquees

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Introduction

Organisation du cours MA 105

6 amphis- Principales notions et principaux theoremes- Quelques exemples

14 petites classes (PC)- Exercices applicatifs- Introduction de notions complementaires

1 BE note sous Matlab (en salle informatique) - Illustrationnumerique du filtrage de Kalman

1 examen final

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Le modele probabiliste et concepts de base

1 Introduction




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Notion d’espace fondamental

Principes de base :on fait appel aux probabilites pour decrire une experience dont leresultat est impossible a prevoir avec certitude,mais on suppose que l’on connait quand-meme l’ensemble desresultats possibles de l’experience.

Definition

L’ensemble de tous les resultats possibles de l’experience est appeleunivers, espace d’etats ou bien espace fondamental, et on lenotera Ω. Un resultat possible de l’experience est note ω ∈ Ω.

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Notion d’espace fondamental

Experience 1 : lance d’un de a 6 faces Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 etcard Ω = 6.

Experience 2 : lance de deux des a 6 faces

Ω = (1, 1), · · · , (1, 6), (2, 1), · · · , (2, 6), · · · (6, 1), · · · , (6, 6)

et card Ω = 36.

L’ensemble Ω peut etre :

- fini (ensemble des 6 faces d’un de, des 32 cartes d’un jeu,...),- infini denombrable (ensemble des entiers naturels, ou d’etats

que l’on peut numeroter) : Ω = N,Z, . . .- infini non denombrable (position d’une particule dans un liquide,

poids, taille,...) : Ω = [0,+∞],R, . . .

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Notion d’evenement

Lorsqu’on effectue une experience aleatoire, certains faits lies a cetteexperience peuvent se produire ou non : on les appelle evenements.

Definition

Un evenement A associe a une experience aleatoire est unsous-ensemble de Ω i.e. A ∈ P(Ω).

Chaque resultat possible ω ∈ Ω d’une experience aleatoire est appeleevenement simple note A = ω.

Remarque : un evenement est lie a une experience aleatoire si onsait dire, au vu des resultats possibles de l’experience, si cetevenement a lieu ou non.

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Notion d’evenement

Exemples d’evenements :

- Pour l’experience 1, A “le numero obtenu est pair”.

A est realise si et seulement si ω ∈ 2, 4, 6. On notera

A = 2, 4, 6.

- Pour l’experience 2, B “la somme des deux numeros obtenus est6”.

B est realise si et seulement si(ω1, ω2) ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 verifie ω1 + ω2 = 6.On notera

B = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).

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Compatibilite d’un ensemble d’evenements

Lors de l’etude d’une experience aleatoire, on doit utiliser unensemble d’evenements A ⊂ P(Ω) qui soit suffisamment riche afind’etre stable par intersection, union et negation d’evenements A ∈ A(lien avec la theorie des ensembles).

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Tribu sur Ω

Definition

On appelle tribu A sur Ω, tout sous-ensemble de parties de Ω telque :

1 Ω ∈ A,2 si A ∈ A, alors A ∈ A,

3 si pour tout n ∈ N, An ∈ A, alors+∞⋃n=0

An ∈ A.

Le couple (Ω,A) est appele espace probabilisable.

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Tribu sur Ω

Exemples de tribus :

∅,Ω : la plus petite,P(Ω) : la plus grande,∅,Ω,A,A.

Cas particuliers tres importants :

lorsque Ω est fini ou infini denombrable, on prend toujoursA = P(Ω).

ce n’est pas le cas lorsque Ω = R : la tribu consideree dans cecas sera la tribu des boreliens B(R) qui est la plus petite tribucontenant les ouverts de R

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Notion de probabilite

Principe : une probabilite (notee P ou P) est une mesure entre 0 et 1qui permet d’evaluer les chances de realisation d’un evenement.

Definition

Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilite (oumesure de probabilite) sur (Ω,A) toute application P de A vers [0, 1]telle que :

1 P(Ω) = 12 pour toute suite d’evenements An ∈ A, incompatibles deux a

deux (i.e. An⋂

Am = ∅ si n 6= m), on a :

P

(+∞⋃n=0

An

)=

+∞∑n=0

P(An)

(= lim

N→+∞

N∑n=0

P(An)

).

Le triplet (Ω,A,P) est appele espace probabilise.

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Quelques proprietes d’une mesure de probabilite

Proposition

1 Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B)2 P(A) = 1− P(A) ; P(∅) = 03 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)4 si (An)n est une suite croissante de A (An ⊂ An+1), alors

P(⋃

nAn

)= lim

n→+∞P(An)

5 si (Bn)n est une suite decroissante de A (Bn+1 ⊂ Bn), alors

P(⋂

nBn

)= lim

n→+∞P(Bn).

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Le cas discretCas particulier important : Ω = ω1, · · · , ωn est fini et A = P(Ω).

- Soient p1, · · · , pn, n nombres reels.Alors, il existe une probabilite P sur (Ω,A) telle que, pour touti ∈ 1, · · · , n, P(ωi) = pi si et seulement si, pour tout

i ∈ 1, · · · , n, pi ≥ 0 etn∑

i=1pi = 1.

La probabilite P est alors unique et, pour tout A ∈ A,

P(A) =∑

i;ωi∈A

pi.

- On dit qu’il y a equiprobabilite lorsque les probabilites de tousles evenements simples sont egales i.e. pi = 1

n . S’il y aequiprobabilite, alors, pour tout evenement A, on a

P(A) =card Acard Ω

.

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Evenements independants

Intuition : 2 evenements sont independants si la realisation de l’unest sans effet sur la realisation de l’autre.

Definition

Soit (Ω,A,P) un espace probabilise.

1 Deux evenements A et B de A sont independants si

P(A ∩ B) = P(A)× P(B).

2 Une famille d’evenements (An)n est dite famille d’evenementsindependants si, pour tout p ∈ N∗ et pour tout i1, · · · , ip ⊂ N,

P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aip) = P(Ai1)× · · · × P(Aip).

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Exemple : lancer de deux pieces.

L’ensemble des resultats possibles estΩ = ω1, ω2, ω3, ω4 = PP,FF,PF,FP et il y a equiprobabilite.

On considere les evenements :A =“La premiere piece est PILE”B = “La deuxieme piece est FACE”

Les deux evenements sont independants car

P(A ∩ B) = P(ω3) =14

=12× 1

2= P(A)× P(B)

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Remarque : l’independance depend de la probabilite consideree.

Exemple : Soit P1 la probabilite definie sur Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 par :

P1(1) = P1(2) =16

; P1(3) =13

; P1(4) = P1(5) = P1(6) =19

et soit P2 l’equiprobabilite sur Ω.

Soient A = 1, 2 et B = 2, 3.

On a P1(A) = 26 ; P1(B) = 1

2 ; P1(A ∩ B) = 16 donc

P1(A)P1(B) = P1(A ∩ B).

D’autre part, P2(A) = P2(B) = 13 ; P2(A ∩ B) = 1

6 doncP2(A)P2(B) = 1

9 6= P2(A ∩ B).

Les evenements A et B sont independants pour P1 mais pas pour P2.

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Variables aleatoires reelles et lois classiques

1 Introduction




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Variables aleatoires

Soit E une experience aleatoire et (Ω,A,P) l’espace probabilise quien rend compte.

Dans de nombeuses situations, a chaque resultat de E , onassocie une valeur numerique i.e. une application

X : Ω → Rω 7→ X(ω)

But : eviter de devoir decrire tout les elements ω (evenementelementaire) de l’ensemble Ω. Exemples :

- X = nombre de piles obtenus apres 100 lancers d’une piece- X = valeur maximale d’un indice boursier sur un intervalle de

temps donne- X = temps de fonctionnement d’un smartphone

Approche fonctionnelle plutot qu’ensembliste.

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Soit E une experience aleatoire et (Ω,A,P) l’espace probabilise quien rend compte.

On considere une application

X : Ω → Rω 7→ X(ω)

Probleme : on souhaite mesurer la probabilite de l’ensemble desresultats ω ∈ Ω tel que X(ω) = a, ou encore X(ω) < a, ou encoreX(ω) ∈ [a, b[ i.e. evaluer

P(X = a) ou P(X < a) ou P(X ∈ [a, b[).

Question : les evenements [X = a], [X < a] ou bien X ∈ [a, b[peuvent-ils etre mesures ?

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Rappel : si X est une application d’un espace Ω dans un espace Ω′

et si A′ ⊂ Ω′, alors l’image reciproque de A′ par X est definie par :

X−1(A′) = ω ∈ Ω ; X(ω) ∈ A′ note aussi [X ∈ A′]

Definition

Soit X : (Ω,A)→ (Ω′,A′). On dit que X est une variable aleatoire(en abrege v.a.), ou encore application mesurable sur (Ω,A) et avaleurs dans (Ω′,A′), si

X−1(A′) ∈ A

pour tout A′ ∈ A′.

Remarque : il s’agit d’un cadre tres general : Ω′ = x1, . . . , xn,Ω′ = N, Ω′ = Z, Ω′ = R, Ω′ = Rd, Ω′ = Espace fonctionnel,...

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Loi de probabilite d’une variable aleatoire

Proposition

Si X est une v.a. definie sur un espace probabilise (Ω,A,P), a valeursdans (Ω′,A′), alors l’application

PX : A′ ∈ A′ 7→ PX(A′) = P([X ∈ A′])

est une probabilite sur (Ω′,A′).

Interpretation : on transporte la structure probabiliste del’experience aleatoire associee a (Ω,A,P) dans l’espace (Ω′,A′) al’aide de l’application X.

Definition

La probabilite PX : A′ ∈ A′ 7→ P([X ∈ A′]) est appelee loi deprobabilite de X (on dit aussi mesure image de P par X).

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Variables aleatoires reelles

Definition

Une variable aleatoire de (Ω,A) dans (Ω′,A′) avec

(Ω′,A′) = (R,B(R)),

ou B(R) est la tribu des boreliens de R, est dite reelle.

Proposition

Une variable aleatoire reelle (en abrege v.a.r.) est touteapplication X de (Ω,A) dans R telle que, pour tout intervalle I deR, on ait X−1(I) ∈ A.

Une application X de (Ω,A) dans R est une variable aleatoirereelle si et seulement si, pour tout x ∈ R, on a [X ≤ x] ∈ A.

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Fonction de repartition d’une v.a.r.

Definition

Soit X une v.a.r. definie sur un espace probabilise (Ω,A,P). Onappelle fonction de repartition de X l’application FX de R sur Rdefinie par

FX(x) = P([X ≤ x]).

Remarque : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. X est entierementcaracterisee par sa fonction de repartition FX.

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Fonction de repartition d’une v.a.r.

Proposition

Soit X une v.a.r. de fonction de repartition FX. Alors,

pour tout x ∈ R, FX(x) = P([X ≤ x]) ∈ [0, 1],

FX est croissante,

FX est continue a droite,

limx→−∞

FX(x) = 0 ; limx→+∞

FX(x) = 1,

pour tout (a, b) ∈ R2, si a < b, alors

P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a),

P([X = x]) = FX(x)− FX(x−) (= 0 si FX est continue en x).

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Ex 1 - Fonction de repartition : x 7→ FX(x) = P([X ≤ x])

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a) : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. Xest entierement caracterisee par sa fonction de repartition FX !

L’ensemble des valeurs prises par X est discret

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Ex 2 - Fonction de repartition : x 7→ FX(x) = P([X ≤ x])

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a) : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. Xest entierement caracterisee par sa fonction de repartition FX !

L’ensemble des valeurs prises par X “varie continument”

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Variables aleatoires discretes

Definition

Une v.a.r. X sur (Ω,A,P) est dite discrete si X(Ω) est fini oudenombrable.

Notations : X(Ω) = x1, · · · , xn ou bien X(Ω) = xi ; i ∈ N et

pi = P([X = xi]).

Definition

On appelle loi de probabilite d’une v.a.r. discrete X, l’ensemble descouples (xi, pi). On a pi ≥ 0 et

∑i

pi = 1.

Proposition

Fonction de repartition : FX(x) = P([X ≤ x]) =∑

i;xi≤xpi. Ainsi,

FX(x) = FX(xi−1), x ∈ [xi−1, xi[, et FX(xi)− FX(xi−1) = P([X = xi]) = pi.

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Lois discretes classiquesLoi de Bernoulli B(p) pour p ∈]0, 1[ :

X(Ω) = 0, 1 ; P([X = 1]) = p ; P([X = 0]) = 1− p.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), p = 0.3.

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Lois discretes classiques

Loi binomiale B(n, p) pour p ∈]0, 1[ :

X(Ω) = 0, · · · , n ; P([X = k]) = Cknpk(1− p)n−k pour tout k ∈ X(Ω).

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), n = 10, p = 0.5.

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Lois discretes classiquesLoi equiprobable U(x1, · · · , xn) :

X(Ω) = x1, · · · , xn ; P([X = xk]) =1n

pour tout xk ∈ X(Ω).

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), n = 5, xi = i pour 1 ≤ i ≤ n.

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Lois discretes classiques

Loi geometrique sur N∗ G(p) pour p ∈]0, 1[ :

X(Ω) = N∗ ; P([X = k]) = p(1− p)k−1 pour k ∈ N∗.

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), p = 0.2.

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Lois discretes classiquesLoi de Poisson P(λ) pour λ > 0 :

X(Ω) = N ; P([X = k]) = e−λλk

k!pour k ∈ N.

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), λ = 5.

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Variables aleatoires (absolument) continues

Modelisation : on va s’interesser ici a des v.a.r. X telles queP([X = x]) = 0 pour tout x ∈ R, i.e. telles que FX soit continue sur R.

Definition

Une v.a.r. X de fonction de repartition FX est dite (absolument)continue s’il existe une fonction f : R→ R, appelee densite de Xtelle que :

1 f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R,

2 pour tout B ∈ B(R), f−1(B) = x ∈ R ; f (x) ∈ B ∈ B(R),

3∫ +∞−∞ f (t)dt = 1,

4 FX(x) =∫ x−∞ f (t)dt.

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Variables aleatoires (absolument) continuesRemarques :

- Si X est absolument continue, alors si a < b on a que :

P([a < X < b]) = P([a < X ≤ b]) = P([a ≤ X < b]) = P([a ≤ X ≤ b])

= FX(b)− FX(a) =∫ b

af (t)dt

En effet, P([X = a]) = P([X = b]) = 0 car FX est continue, etFX(b)− FX(a) =

∫ b−∞ f (t)dt −

∫ a−∞ f (t)dt =

∫ ba f (t)dt.

- En tout point t0 ou la densite f est continue, on a que

F′X(t0) = f (t0).

- La connaissance de FX ne determine pas f de facon unique !

On peut modifier a son gre f sur un ensemble de mesure nulle(ex : fini) sans changer

∫ x−∞ f (t)dt (cf. chapitre 4).

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Lois (absolument) continues classiques

Loi uniforme U([a, b]) :loi de densite f definie par f (x) = 1

b−a 1I[a,b](x) avec a < b.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), a = 0, b = 2.

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Loi uniforme U([a, b]) :loi de densite f definie par f (x) = 1

b−a 1I[a,b](x) avec a < b.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), a = 0, b = 2.

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Loi exponentielle E(λ) : loi de densite f definie parf (x) = λ exp(−λx)1I]0,+∞[(x) avec λ > 0.

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), λ = 1.

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Loi exponentielle E(λ) : loi de densite f definie parf (x) = λ exp(−λx)1I]0,+∞[(x) avec λ > 0.

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), λ = 1.

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Loi Normale N (m, σ2) : loi de densite f definie parf (x) = 1

σ√

2πexp

(− (x−m)2

2σ2

)avec m ∈ R et σ > 0.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), m = 0, σ2 = 1.

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Loi Normale N (m, σ2) : loi de densite f definie parf (x) = 1

σ√

2πexp

(− (x−m)2

2σ2

)avec m ∈ R et σ > 0.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), m = 0, σ2 = 1.

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Fonction de repartition de la loi normale standardEn general, on notera par Φ la fonction de repartition d’une v.a.r. X deloi N (0, 1) :

Φ(x) =∫ x−∞

1√2π

e−t2/2 dt = FX(x) = P([X ≤ x])

Comme on ne sait pas calculer Φ, il existe des tables qui donnent desvaleurs approchees de Φ(x) pour tout x ∈ R.

Theoreme

Soit X une v.a.r. de loi normale N (0, 1), de fonction de repartition Φ.Alors :

pour tout x ∈ R, Φ(x) = 1− Φ(−x) ; en particulier Φ(0) = 12 ,

pour tout x ∈ R,

P([|X| ≤ x]) = 2Φ(x)− 1 et P([|X| ≥ x]) = 2(1− Φ(x)).

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Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle

1 Introduction




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Esperance d’une v.a.r. discrete

Soit X une v.a.r. discrete definie sur un espace probabilise (Ω,A,P).

On pose X(Ω) = xn ; n ∈ N (le cas fini est similaire au cas infinidenombrable).

Definition

On dit que X possede une esperance si la serie∑n≥0|xn|P([X = xn])

converge.

On appelle alors esperance de X et on note E(X) le nombre :

E(X) =∑n≥0

xnP([X = xn]).

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Variance d’une v.a.r. discrete

Definition

1 On appelle variance de X et on note var(X) le nombre (s’il existe)

var(X) =∑n≥0

(xn − E(X))2P([X = xn])

2 Si X admet une variance, on appelle ecart-type de X le nombreσX defini par

σX =√

var(X).

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Transformation d’une v.a.r. discrete

Soit ϕ : R→ R une fonction mesurable a valeurs reelles quelconque.Alors, l’application Y = ϕ(X) : Ω→ R est encore une v.a.r. discrete.

Theoreme

Soit ϕ une fonction mesurable (continue par morceaux) de R dans Rtelle que ϕ(X) admette une esperance. Alors :

E(ϕ(X)) =∑n≥0

ϕ(xn)P([X = xn]).

Remarque : Ce theoreme est important car il permet de calculerE(ϕ(X)) sans connaıtre la loi de ϕ(X) mais en connaissantsimplement la loi de X.

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Transformation d’une v.a.r. discrete

Consequences :

1 E(aX + b) = aE(X) + b si E(X) existe.

2 var(X) = E(X2)− E(X)2.

3 var(aX + b) = a2var(X).

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Esperance d’une v.a.r. continue

Definition

Soit X une v.a.r. absolument continue, de densite fX. Si∫ +∞

−∞|t|fX(t)dt < +∞

alors X admet une esperance definie par

E(X) =∫ +∞

−∞tfX(t)dt.

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Variance d’une v.a.r. continue

Definition

Soit X une v.a.r. absolument continue, de densite fX.

1 Si∫ +∞−∞ t2fX(t)dt existe, alors on appelle variance de X et on note

var(X) le nombre

var(X) =∫ +∞

−∞(t − E(X))2 fX(t)dt.

2 Si X admet une variance, on appelle ecart-type de X le nombreσX defini par

σX =√

var(X).

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Transformation d’une v.a.r. continue

Theoreme

Soit X une v.a.r. absolument continue de densite fX et ϕ : R→ R unefonction mesurable (continue par morceaux) , alors Y = ϕ(X) est unev.a.r. absolument continue et,

E(ϕ(X)) =∫ +∞

−∞ϕ(x)fX(x)dx,

si elle admet une esperance.

Remarque : Ce theoreme est important car il permet de calculerE(ϕ(X)) sans connaıtre la loi de ϕ(X) mais en connaissantsimplement la densite fX de X.

Amphi 1


Transformation d’une v.a.r. continue

Consequences :

1 E(aX + b) = aE(X) + b si E(X) existe.

2 var(X) = E(X2)− E(X)2.

3 var(aX + b) = a2var(X).

Modèle probabiliste / Variables aléatoires · 2015. 1. 30. · Amphi 1 Le modele probabiliste et...

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