CLUB F INANCE

VALORISATION D’INVESTISSEMENTS ET D’ACTIONS PAR OPTIONS REELLES

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LES ETUDES DU CLUB

N° 98

DECEMBRE 2013

VALORISATION D’INVESTISSEMENTS ET D’ACTIONS PAR OPTIONS REELLES

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LES ETUDES DU CLUB

N° 98

DECEMBRE 2013

Etude réalisée par Monsieur Paul Badaro (HEC 2013) sous la direction de Monsieur Olivier Levyne Professeur à HEC Paris

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« Un nombre croissant de praticiens est désormais convaincu que les méthodes de

valorisation traditionnelles par DCF sont inefficaces »

Lenos Trigeorgis

« L’approche par Options Réelles est extrêmement novatrice : elle permet de

prendre en compte des incertitudes jusqu’alors non intégrées aux approches de

valorisation classiques »

Aswath Damodaran

« La valorisation optionnelle est particulièrement performante dans le cadre de

projets risqués ou fortement endettés »

Mondher Bellalah

« Alors que la valorisation par la VAN ou le TRI permet de savoir si un projet est

rentable à t=0, la méthode optionnelle permet d’aller plus loin et de déterminer s’il

vaut mieux investir maintenant ou plus tard dans le projet »

Olivier Levyne

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Table des matières

I. Introduction

II. Avantages et inconvénients de la méthode du DCF

a. Revue des méthodes de valorisation traditionnelles

i. Un vaste panel de méthodes

ii. Méthodes analogiques

iii. Méthode patrimoniale ou de liquidation

b. Le DCF méthode reine ?

c. Les limites du DCF

i. Choix du taux d’actualisation

ii. Approximations dans le calcul de la dette

iii. Estimation de la volatilité des cash-flows

III. Apports et limites de la méthode des options réelles

a. Rappels sur la théorie optionnelle

i. Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein

ii. Le modèle de Black & Scholes

iii. Merton : application d’un taux de dividende

iv. Monte-Carlo et méthode historique

b. Application aux Options Réelles : état de la recherche académique

i. Merton : calcul du spread de crédit (1973)

ii. Geske : payement de la dette par coupons (1977)

iii. Brennan et Schwartz : prise en compte du coût de faillite (1978)

iv. Leland : hypothèse du renouvellement de la dette (1994)

v. Dixit et Pindyck : option à maturité infinie (1994)

vi. Bellalah : prise en compte des coûts d’accès à l’information (2001)

vii. Analyses complémentaires

IV. Des cadres de valorisation multiples

a. Valorisation d’investissements

i. Valorisation de l’option de croître

ii. Valorisation d’une mine d’or par une option d’achat

iii. Valorisation d’une concession pétrolière par un portefeuille d’options

iv. Valorisation de la flexibilité d’un investissement

v. Valorisation de l’option de sortie d’une joint-venture

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b. Valorisation d’intangibles : l’exemple des licences

c. Valorisation de capitaux propres

i. Volatilité de la valeur d’entreprise

ii. Cash, minoritaires et associés

iii. Valeur économique de la dette et risque de défaut

iv. Application au risque de crédit

v. Etude détaillée sur PSA-Peugeot Citroën

V. Etude empirique sur l’ensemble du CAC 40

a. Méthodologie d’analyse des sociétés de l’échantillon

b. Présentation des résultats

i. Analyse de l’endettement et de la volatilité

ii. Etude de la probabilité de défaut et du taux de recouvrement

iii. Valorisation optionnelle classique

iv. Valorisation par la Méthode de Leland

c. Comparaison DCF/Options Réelles : tests statistiques

i. Consensus capitaux propres vs. Méthode optionnelle classique

ii. Capitalisation boursière vs. Méthode optionnelle classique

iii. Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode optionnelle classique

iv. Consensus valeur d’entreprise vs. Méthode de Leland

VI. Conclusion

VII. Appendice

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I. Introduction

Le DCF est habituellement considéré comme la méthode reine dans les banques d’affaires et

d’investissement. Toutefois, malgré des qualités indéniables qui permettent de surmonter les premières

approximations des multiples, le DCF semble surtout adapté à des sociétés mûres et à faible probabilité

de défaut.

Comment expliquer sinon la capitalisation positive d’Eurotunnel en 1997, alors même que les cash-flows

de l’entreprise étaient inférieurs à la valeur nominale de sa dette ? Comment alors prendre en compte

correctement la probabilité de défaut des entreprises fortement endettées ou aux cash-flows fortement

volatiles ?

C’est dans ces situations que l’on perçoit l’utilité des méthodes de valorisation optionnelles. Comme

expliqué par Bellalah à la fin des années 1990, période où ces méthodes ont commencé à prendre leur

essor, la nouvelle économie est caractérisée par trois facteurs :

- la flexibilité des investissements, c'est-à-dire la possibilité de les différer dans le temps, de les

accroître avant terme si le contexte s’est amélioré, ou de les abandonner une fois lancés

- La subordination possible d’un investissement à la réussite ou à l’échec d’un autre et la

possibilité de réutiliser les infrastructures à d’autres fins

- la volatilité des retours sur investissement, et la difficulté à les prédire de façon précise,

notamment en raison de l’asymétrie des retours et de leur sensibilité à certains facteurs, parfois

externes à la société ou à l’investissement

On peut schématiquement diviser les incertitudes qui planent sur les entreprises et accroissent

l’importance des options dites réelles :

- l’incertitude macroéconomique, dans la mesure où les cash-flows sont généralement corrélés à

la situation macroéconomique –au moins partiellement, en fonction de la cyclicité de l’activité-

- l’évolution technologique, dans la mesure où la capacité des départements R&D et Stratégie

notamment, à faire les bons choix dans le futur est bien souvent cruciale

Ces incertitudes sont particulièrement marquées dans des secteurs tels que l’extraction de matières

premières. Le choix de la méthode des Options Réelles est renforcé par la volatilité possible des cash-

flows futurs en raison de la corrélation des revenus et des cours des matières premières, difficiles à

estimer.

Cette méthode est également utile pour valoriser des investissements dans des industries à forts

investissements dans la R&D –comme l’industrie pharmaceutique-, les start-up et les entreprises

fortement endettées ou en difficulté, pour lesquelles la volatilité des cash-flows futurs laisse espérer des

capitaux propres positifs à la date du remboursement de la dette, même si ce n’est pas encore le cas à la

date de valorisation.

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Les managers et les investisseurs comprennent intuitivement que la valeur d’un investissement dépend à

la fois de l’état actuel de l’actif, et de la capacité de ses gérants à lui faire profiter des opportunités à

venir. Ce deuxième point est essentiel dans le choix d’investissements en Private Equity par exemple.

Pour faire la différence entre deux sociétés que les méthodes traditionnelles valoriseraient également, la

capacité des managers à saisir les opportunités futures feront toute la différence, comme l’explique

François-Xavier Mauron, directeur de participation chez Edmond de Rothschild Investment Partners.

Les valorisations par Options Réelles donnent donc un cadre analytique pour modéliser de tels aléas. Ce

mémoire se donne donc pour but de questionner les méthodes traditionnelles de valorisation des

investissements (NAV, TRI) et des entreprises (DCF) en vue de prouver l’utilité des valorisations par

Options Réelles dans le cadre de la finance d’entreprise.

La littérature académique sur ce domaine s’est progressivement densifiée depuis les années 1990, allant

jusqu’à rendre le sujet à la mode aujourd’hui. Toutefois, les études réalisées restent bien souvent peu

appliquées à des cas réels, notamment en raison du grand nombre données nécessaires à collecter pour

réaliser correctement le travail de valorisation. Nous avons donc tenté d’y remédier en combinant à nos

analyses des exemples très proches de ceux auxquels peuvent faire face des directeurs financiers, des

analystes actions ou des banquiers d’affaires. De plus, à la fin du mémoire se trouve une étude

empirique, qui a pour but d’étudier les différences de valorisations traditionnelles et optionnelles sur

l’ensemble des sociétés non financières du CAC 40 ayant une dette positive au 31/12/2012.

II. Avantages et inconvénients de la méthode du DCF

A. Revue des méthodes de valorisation traditionnelles

i. Un vaste panel de méthodes

Un rappel des différentes méthodes de valorisation d’entreprises permet de les classer en trois

catégories :

- Les méthodes partant des données comptables (Valeur de liquidation, Sum Of The Parts)

- Les méthodes analogiques, utilisant les données disponibles sur des sociétés comparables

(multiples boursiers, multiples transactionnels)

- Les méthodes intrinsèques : DCF, DDM (notamment pour les banques) et Options Réelles, que

nous décrirons ci-après

Actif Net Réévalué Méthodes Intrinsèques Méthodes Analogiques

Valeur de liquidation DCF ou DDM Multiples boursiers

Sum of the parts (SOTP) Options Réelles Multiples transactionnels

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Etudions brièvement les avantages, inconvénients et contextes d’utilisation des principales méthodes.

ii. Les méthodes analogiques

La méthode des multiples présente l’avantage de permettre la valorisation d’entreprises financières ou

non financières à partir d’agrégats rapidement disponibles pour la plupart des sociétés, qu’il s’agisse de

l’EBIT(D)A, de l’EBIT ou –plus rarement- du Chiffre d’Affaire pour les multiples de la valeur d’entreprise,

ou du PER comme multiple de capitaux propres. Dans certains secteurs, d’autres multiples sont

privilégiés, comme le PBR pour le secteur financier le multiple d’EBITDAR dans le secteur hôtelier ou tout

secteur à fortes disparités d’intensité capitalistique, ou encore le multiple de clics pour les sociétés de

vente en ligne.

Cette méthode possède l’avantage d’être rapide et simple d’utilisation, moyennant souvent quelques

ajustements comptables pour avoir des agrégats comparables.

De plus, sur une longue période, on remarque que la valeur des entreprises à forte capitalisation tend à

osciller autour de la moyenne de leurs multiples: une étude empirique de Deloitte Finance sur les

sociétés du CAC 40 montre ainsi que le PER des grandes sociétés françaises oscille autour d’une valeur

moyenne de 9,8 entre 1990 et 2010, validant la thèse d’un retour à la moyenne.

Toutefois, l’utilisation de ce modèle comporte des présupposés forts, notamment des hypothèses de

croissances égales pour les différentes sociétés de l’échantillon. Finalement, les multiples sont

principalement utiles pour valoriser des sociétés appartenant à des secteurs matures, où les marges ne

diffèrent pas trop d’un concurrent à l’autre.

Autre défaut, les multiples transactionnels incluent une prime de contrôle très variable, mais pouvant

dépasser 20% de la valeur d’entreprise, ce qui fausse grandement les calculs.

La méthode des multiples n’est donc pertinente que dans de certains cas. En effet, il est rare de pouvoir

trouver des comparables répondants à des critères de similarité de business model, d’intensité

capitalistique, de géographie, de taille…

Certains ouvrages tentent toutefois de développer des multiples alternatifs, qui prennent en compte les

différentiels de croissance futurs, en particulier Damodaran on Valuation (Damodaran, 2006) et

Valuation (McKinsey, 2010), donnant ainsi plus de sens aux multiples. On peut par exemple y trouver un

multiple (appelé ‘value-driver’) plus évolué que les multiples classique, prenant en compte les retours

sur capitaux nouvellement investis :

Avec les notations suivantes :

- où est le taux d’imposition normatif de la société

- : taux de croissance à long-terme du NOPAT

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- : Retour sur les capitaux nouvellement investis dans la société

Un autre multiple recommandé est le ratio PEG (price-earnings/growth), qui consiste à diviser le PER par

le taux de croissance de la société afin de rendre comparables les résultats d’un échantillon où ce taux

diffère. La valorisation d’une société y évoluant dans un secteur S sera alors la suivante :

Où est le résultat net de la société y, est le PER sectoriel, et et sont les taux de

croissance respectifs de la société et de son secteur.

Une troisième méthode aboutissant à des résultats plus fins, est l’usage de régressions linéaires : la

régression la plus courante est sans doute celle du multiple d’EBIT par rapport à la marge d’EBIT, dont la

pertinence est empiriquement prouvée (R² souvent supérieurs à 70%), et qui permet d’inclure dans la

valorisation les différences de rentabilité des entreprises de l’échantillon.

Cette brève étude sur les méthodes analogiques a pour but de montrer que l’utilisation des multiples

reste une approche approximative, mais qui peut être affinée grâce à des modèles intégrant des critères

jusqu’alors propres aux DCF comme les différentiels de croissance futurs, les retours sur capitaux

nouvellement investis, ou la rentabilité de l’entreprise à valoriser.

iii. Méthode Patrimoniale ou de liquidation

Cette approche consiste à évaluer chaque actif et passif de la société à sa valeur de marché ou à sa

valeur d’usage. Elle repose sur le postulat selon lequel la valeur de l’entreprise correspond au moins à

celle de son patrimoine. La valeur ainsi trouver peut être considérée comme une valeur plancher.

Il convient donc de passer en revue tous les postes d’actifs et de passif ainsi que les actifs non inscrits au

bilan et de les valoriser en valeur de marché ou valeur vénale

Cette méthode prend en compte le fait que le bilan ne reflète pas exactement la réalité économique des

actifs et des passifs, souvent inscrits à leur valeur historique.

Dans la pratique, cette approche est particulièrement adaptée dans un contexte :

- De liquidation ou de difficultés financières

- De valorisation de holdings, de banques et de sociétés immobilières

- De valorisation de sociétés détenant des actifs hors exploitation d’une valeur significative

(immeubles, immobilisations financières) ou étant sur le déclin (ie. dégageant peu de profits ou

de pertes)

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Elle présente les avantages d’utiliser des informations facilement accessibles et de ne pas exiger le calcul

(parfois aléatoire) du taux de financement (WACC), d’un taux de croissance à long-terme ou de

prévisions à long terme.

Cependant, cette méthode valorise les richesses accumulées par l’entreprise sans prendre en compte la

création de valeur future de la société. Elle est donc inadaptée pour les sociétés en phase de lancement

ou de redéploiement, et apparaît moins précise que la valorisation par DCF.

B. Le DCF, méthode reine ?

Le DCF est la méthode la plus couramment utilisée pour valoriser les sociétés non financières. Il présente

plusieurs avantages par rapport à la méthode des multiples, en particulier d’adapter le modèle plus

spécifiquement à chaque business plan, notamment en jouant sur le taux de croissance à l’infini

Selon la méthodologie du département Valuation & Economics de PwC, la méthode DCF s’applique dès

lors que :

- La croissance de l’activité et des cash-flows n’est pas linéaire (ex : investissements lourds)

- Les multiples ne sont pas applicables (ex : échantillon pas assez large et représentatif)

- L’endettement de la société est significativement différent des sociétés du marché

Ce dernier point est dû à une simplification de la formule de Hamada se désendettement du Beta, qui

prend l’hypothèse que le Beta de la dette est nul, tout en négligeant le coût de faillite potentielle - ou

‘cost of financial distress’- pour les sociétés fortement endettées.

Autrement dit, la méthode DCF s’applique particulièrement bien dans le cas où :

- Les projections financières sont disponibles et cohérentes

- L’activité future est plus révélatrice de la valeur que les informations passées ou présentes (ex :

lancement de nouveaux produits)

- La société évolue dans un secteur où il existe peu de sociétés comparables cotées ou peu

d’acquisitions/cessions ont été observées

- L’activité est naissante (start-up) ou dans une phase de développement (rentabilité différente et

prise en compte des investissements nécessaires)

La méthode DCF permet d’appréhender les points suivants :

- Les éléments fondamentaux de l’activité sont analysés (chiffre d’affaires, structure des coûts,

rentabilité, valorisation de BFR)

- Les politiques d’investissement prévus sont prises en compte et corrélées avec la stratégie de

l’entreprise (rentabilité future, capacité de production et dépenses à venir)

- Le différentiel de croissance entre l’entreprise et la croissance à long terme du secteur

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L’usage du DCF apparaît donc comme globalement plus précis que les méthodes comptables ou

analogiques, et extrêmement modulable en fonction de la société.

C. Les limites du DCF

Au vue de l’analyse faite au paragraphe précédent, nous remarquons que l’application de la méthode

DCF est particulièrement délicate pour les cas suivants :

- Entreprises en difficultés ou en cours de restructuration

- Entreprises cycliques

- Entreprises avec des actifs non utilisés ou sous-utilisés

- Entreprises à forte R&D ou possédant des brevets

- Sociétés Holdings

Revenons à la définition du DCF pour faire ressortir les trois principaux écueils de la méthode :

EV = t

t

t K

FCF

)1(1

où DE

Di

DE

EkK

)1.(

La valeur d’entreprise (EV) étant égale à la valeur des cash-flows futurs (FCF) actualisés au coût pondéré

du capital ou WACC (K), nous pouvons relever les trois principaux écueils de cette méthode.

i. Choix du taux d’actualisation

Le calcul du WACC est assez subjectif car il repose sur plusieurs hypothèses assez fortes:

- La prime de risque de marché (rm-rf) dépend de l’hypothèse faite sur le taux de croissance à l’infini

des dividendes de l’entreprise étudiée

- Lorsque la société est cotée, le coût du capital peut utiliser comme Beta :

o Le Beta historique de cette société (qui diffère entre autres en fonction de l’indice par

rapport auquel on régresse, de la fréquence des données, et de la période considérée)

o Un Beta sectoriel réendetté par la formule de Hamada (qui dépend également de

l’échantillon de comparables utilisé)

Cette formule, pourtant largement employée par les professionnels, prend toutefois l’hypothèse d’un

Beta de la dette nul, ce qui s’avère être faux en général, comme le fait remarquer Didier Saintot dans sa

thèse Beta de la dette et coût du capital, 2002. La formule complète est en effet la suivante :

11

- Enfin, les coefficients de pondération peuvent soit correspondre à une structure financière

normative, soit être basée sur un calcul itératif. Dans ce cas, E dépend du calcul du DCF, ce qui crée

une boucle dans le modèle et potentiellement une approximation.

Un autre point de discorde provient de l’utilisation, communément admise par les praticiens, du CAPM

pour déterminer le coût des capitaux propres. En 1992, Eugène Fama et Kenneth French avaient déjà

développé un modèle à trois facteurs, permettant de prendre en compte la prime de taille et la

différence de rendement entre actions de croissance et actions de valeur, en plus de la corrélation au

marché capturée par le CAPM. Le coefficient de significativité (R²) est généralement bien plus élevé avec

ce modèle, pour des sociétés de petite taille et/ou de rendement.

D’autres modèles alternatifs ont également été développés depuis : une étude du 14 mars 2013, How

did the Healthcare sector rob the Utilities ? écrite par Alexandre Champavere et Yann Aït Mokhtar,

analystes quantitatifs chez Exane BNP Paribas, va même plus loin. Partant du constat qu’en régressant le

rendement d’une société comme Essilor, pourtant liquide, par rapport à son indice de référence (le CAC

40), le coefficient de significativité (R²) ne valait que 29% sur deux ans, ils remettent non seulement en

cause le choix du CAPM dans le calcul du taux d’actualisation, mais également des autres modèles de

marché, faisant remarquer qu’une hypothèse sous-jacente de leur utilisation est que le rendement du

marché explique en grande partie le rendement des actions le composant. Leur équipe a ainsi développé

un modèle alternatif multifactoriel basé sur la corrélation des rendements d’actions à quatre facteurs :

- Le taux EURIBOR 3 mois

- Les taux d’intérêts réels du pays en question, calculés à partir du rendement des obligations

souveraines indexées sur l’inflation

- L’inflation, définie comme le différentiel de rendement entre les obligations souveraines de longue

maturité et les obligations indexées sur l’inflation

- La volatilité implicite de l’EuroStoxx 50, mesurée par l’indice VIX

Leurs résultats semblent pour le moment concluants, notamment pour les sociétés faiblement corrélées

au marché, mais seul un recul plus important nous permettra de vérifier leur pertinence.

En résumé, le choix du taux d’actualisation est extrêmement subjectif et peut fortement varier d’un

analyste à l’autre, et les méthodes couramment admises ne sont pas a priori les plus précises pour

l’estimer.

ii. Approximations dans le calcul de la dette nette

La valeur des capitaux propres (E) se définit comme la différence entre la valeur d’entreprise (EV) et la

dette nette (D):

E = EV - D

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La dette nette est, de plus, simplement calculée comme la différence entre la dette financière brute et le

cash (et équivalents), sans prendre en compte la maturité de la dette. Ainsi, pour une EV de 100, si une

dette (actualisée) de 60 est à rembourser et que l’entreprise n’a pas de cash, les capitaux propres actuels

seront estimés à 40, que la maturité de la dette soit de deux mois ou de vingt ans.

La raison est que les praticiens approximent la valeur économique de la dette par sa valeur nominale (ie.

bilancielle), ce qui est d’autant plus approximatif que la volatilité des cash-flows est élevée, que la

structure financière est endettée, ou que la duration de la dette est importante.

En d’autres termes, si la dette arrivait à échéance aujourd’hui, sa valeur économique serait

effectivement égale à sa valeur nominale, mais si elle y arrivait dans dix ans, sa valeur économique serait

égale à la valeur nominale actualisée sur dix ans à un taux reflétant le risque de défaut de l’entreprise.

Ainsi, le risque de faillite n’est pris en compte ni dans la valeur de la dette déduite de l’EV pour trouver

les capitaux propres, ni dans le calcul du WACC. Inversement, une société dont la valeur d’entreprise est

supérieure au nominal de sa dette aura des capitaux propres négatifs, alors même que la probabilité que

la relation s’inverse avant maturité de la dette est non nulle.

De plus, lors des prévisions de cash-flows, le Gearing de la société est généralement supposé constant.

Seuls les modèles LBO prennent en compte une diminution progressive de l’endettement.

iii. Estimation de la volatilité des cash-flows

L’approche par DCF sous-estime la volatilité des cash-flows. En effet, le WACC qui permet l’actualisation

des cash-flows dépend du coût du capital estimé par le CAPM, qui ne prend en compte que le risque

systématique et non le risque spécifique à l’entreprise, car il n’est pas rémunéré. C’est donc une

volatilité inférieure à la volatilité totale (ie. Systématique et spécifique) qui est implicitement utilisée

dans le calcul d’actualisation.

Ainsi, en plus d’utiliser un taux d’actualisation imprécis par nature, d’un côté le DCF néglige le risque de

défaut de l’entreprise avant maturité de sa dette, ce qui surestime la valeur de la dette nette et sous-

estime le WACC (en surpondérant le coût de la dette après taxes) et d’un autre, le DCF sous-estime la

volatilité possible des cash-flows jusqu’à maturité de la dette. C’est ce dernier point qui explique la

capitalisation positive de sociétés en difficulté alors qu’un DCF aboutirait sans doute à des valeurs

d’entreprises supérieures à la valeur nominale de la dette de l’entreprise.

Dans la théorie optionnelle, ce point est, au contraire, pris en compte : il correspond à la valeur temps

d’une option d’achat européenne hors de la monnaie.

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III. Apports et limites de la méthode des Options Réelles

La méthode des Options Réelle utilise les apports de la théorie optionnelle « de marché » pour valoriser

des investissements dans un cadre plus concret.

A. Rappels sur la théorie optionnelle La théorie optionnelle est fondée sur une hypothèse d’arbitrage. Il existe en effet un lien entre les prix

d’une option d’achat et d’une option de vente à la monnaie, et celui de leur sous-jacent. Il s’agit de la

parité « call-put » :

Les méthodes de valorisation d’options les plus répandues sont la méthode binomiale dite de Cox-Ross-

Rubinstein, utilisée encore aujourd’hui dans les salles de marchés pour valoriser certains produits

structurés complexes, celle de Black & Scholes, popularisée en 1973, qui peut être interprétée comme le

passage en temps continu du modèle binomial ainsi que celle de Merton, qui présente l’avantage

d’inclure également la notion de taux de dividende, et enfin la méthode de Monte Carlo, qui simule un

grand nombre de mouvements du sous-jacent sous l’hypothèse d’un mouvement géométrique brownien

afin de calculer la valeur moyenne de l’option dans les différents scenarios.

i. Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein

La méthode binomiale est encore très largement utilisée par les praticiens car elle est capable de

prendre en compte un nombre important de conditions pour lesquelles l’application d’autres modèles

n’est pas aisée. Par exemple la méthode binomiale est utilisée pour les options américaines (celles-ci

peuvent être exercées à tout moment) et les options des Bermudes (celles-ci peuvent être exercées à

plusieurs moments). La méthode binomiale est mathématiquement relativement simple et peut être

facilement programmée sur Excel.

Bien que plus lente que la méthode de Black-Scholes, la méthode binomiale est considérée comme plus

précise, particulièrement pour les options à long terme et les options sur titre versant des dividendes.

La méthode binomiale utilise un cadre à temps discret pour retracer l’évolution de l’actif sous-jacent, via

un arbre, pour un nombre donné de pas qui correspond au temps entre la date d’évaluation et celle de

l’expiration de l’option. Chaque nœud de l’arbre est un prix possible du sous-jacent à un moment précis

dans le temps. Le processus d’évaluation est itératif. On part du nœud final de chaque branche et

ensuite on remonte jusqu’au premier nœud (date d’évaluation), où le résultat du calcul est la valeur de

l’option.

Le calcul de la valeur d’une option par cette méthode suit donc le processus suivant :

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1. Création d’un arbre schématisant l’univers des possibles décrit par le sous-jacent, étape par

étape

2. Calcul de la valeur de l’option au nœud final de chaque branche

3. Calcul régressif de la valeur de l’option à partir du nœud précédent, la valeur du premier nœud

étant la valeur de l’option

Réalisons pour illustrer notre propos deux valorisations d’options d’achat par méthode binomiale.

Supposons pour cela que le taux sans risque au moment de la valorisation est de 5,0%

Exemple de valorisation d’un call européen par la méthode binomiale

Comme nous pouvons le lire à gauche du schéma, le prix d’une option d’achat à la monnaie sur un sous-

jacent de 100 avec une maturité de 10 et un couple (u ;d) = (1,15 ;0,9) est de 75,42€.

Pour un taux sans risque donné, pas et prix d’exercice constant, on remarque que ce chiffre est

positivement corrélé à une augmentation du nombre de périodes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

404,56

u 1,15 351,79 304,56

d 0,90 305,90 267,63 318,31

K 100 266,00 234,79 276,79 218,31

p 0,73 231,31 205,59 240,69 190,30 250,45

201,14 179,65 209,29 165,44 217,78 150,45

174,90 156,62 182,00 143,41 189,38 129,45 197,06

152,09 136,19 158,26 123,90 164,68 110,88 171,36 97,06

132,25 118,08 137,61 106,63 143,20 94,49 149,01 81,57 155,05

115,00 102,05 119,66 91,39 124,52 80,05 129,57 67,95 134,83 55,05

100,00 87,89 104,06 77,96 108,28 67,38 112,67 56,06 117,24 43,90 121,99

75,42 90,48 66,18 94,15 56,34 97,97 45,81 101,95 34,44 106,08 21,99

55,89 81,87 46,79 85,19 37,08 88,65 26,67 92,25 15,29 95,99

38,59 74,08 29,75 77,09 20,43 80,21 10,63 83,47 0,00

23,68 67,03 15,52 69,75 7,39 72,58 0,00 75,52

11,71 60,65 5,14 63,11 0,00 65,67 0,00

3,57 54,88 0,00 57,11 0,00 59,42

FORMULE : C(0) = e (̂-rt) . (p.C(1,u)+(1-p).C(1,d)) 0,00 49,66 0,00 51,67 0,00

0,00 44,93 0,00 46,76

0,00 40,66 0,00

0,00 36,79

0,00

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Exemple de valorisation d’un call européen sur un sous-jacent payant un dividende D à T=6 Il est également possible d’introduire l’hypothèse du payement d’un dividende, dans le modèle binomial.

Dans l’exemple suivant, nous avons supposé que le sous-jacent émettra un dividende de 5 à T=6. Ainsi,

la formule du calcul du sous-jacent doit être modifiée dans toutes les cases bleues de la colonne

correspondant à T=6, les autres colonnes gardant les mêmes formules. Quant aux formules du calcul de

l’option, elles restent également inchangées.

Comme nous pouvons le lire à gauche du graphe, le prix du call est ici de 72,48€ contre 75,42€ dans le

cas d’une option de même maturité sur un sous-jacent ne payant, pas de dividende.

Méthode directe par la formule de Newton Il existe un moyen de calculer directement le prix d’un call avec les hypothèses précédemment exposées,

et non par une méthode itérative :

Pour cela, raisonnons par récurrence.

Dans le cadre d’un arbre à deux étapes :

Où R représente le taux sans risque.

Ainsi :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

395,81

u 1,15 Dividende 5 344,18 295,81

d 0,90 FORMULE : S(6) = u.S(5)-5 299,29 259,79 311,43

K 500 260,25 227,75 270,81 211,43

D 5,0 226,31 199,28 235,49 184,13 245,04

p 0,73 201,14 174,00 204,77 159,91 213,08 145,04

174,90 151,55 177,00 138,45 185,28 124,59 192,80

152,09 131,64 158,26 119,45 160,15 106,53 167,65 92,80

132,25 114,00 137,61 102,63 138,20 90,57 144,91 77,75 151,70

115,00 98,39 119,66 87,80 124,52 76,52 125,05 64,48 131,12 51,70

100,00 84,61 104,06 74,74 108,28 64,22 107,67 52,93 113,15 40,72 118,64

72,48 90,48 63,30 94,15 53,52 97,97 43,02 97,42 31,63 102,38 18,64

53,33 81,87 44,29 85,19 34,65 83,65 24,30 88,15 12,96 92,64

36,41 74,08 27,67 77,09 18,50 75,69 9,01 79,76 0,00

21,92 67,03 13,98 64,75 6,27 68,49 0,00 72,17

10,49 60,65 4,36 58,59 0,00 61,97 0,00

3,03 49,88 0,00 53,01 0,00 56,07

FORMULE : C(0) = e (̂-rt) . (p.C(1,u)+(1-p).C(1,d)) 0,00 45,13 0,00 47,97 0,00

0,00 40,84 0,00 43,40

0,00 36,95 0,00

0,00 33,44

0,00

16

Nous reconnaissons ainsi le développement de Newton d’ordre deux.

Notons au passage que :

En passant maintenant à un raisonnement à n étapes :

Notons X le nombre de mouvements vers le haut (u). X suit une loi binomiale de paramètres (n,p).

Soit a le nombre minimal de mouvements vers le haut tel que l’option soit dans la monnaie. Si k

17

- Il n’y a pas de coûts de transactions

- Les mouvements du sous-jacent suivent une loi normale (ie. son cours suit une loi log-normale)

- Lorsque le sous-jacent est une action, elle ne doit pas payer de dividende avant que l’option

n’arrive à maturité

Prenons les notations suivantes :

- S, valeur actuelle du sous-jacent

- T-t, le temps qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années)

- K, le prix d'exercice de l'option

- r, le taux d'intérêt sans risque,

- , la volatilité du prix du sous-jacent

Les calculs intermédiaires sont les suivants :

-

-

La valeur des options d’achat et de vente du sous-jacent à maturité sont les suivantes :

- Option d’achat :

- Option de vente :

o N(.) étant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

o T-t étant le temps qui nous sépare de l’échéance de l’option

o S étant le prix du sous-jacent à t=0

o K étant le prix d’exercice de l’option

o r étant le taux sans risque annualisé

Remarquons au passage que N(d2) peut s’interpréter comme la probabilité que le sous-jacent soit dans

la monnaie à maturité. Autrement dit, N(d2) est la probabilité que l’option soit exercée. Ce chiffre (ou

plus précisément 1-N(d2)) aura une utilité lorsque nous appliquerons Black & Scholes à des Options

Réelles (voir paragraphe IV-c-iii, sur le risque de défaut).

18

Sensibilité du prix du call au temps qui passe

Le graphe ci-dessus donne une idée du rôle du temps dans la formule de Black & Scholes. En effet ;

chacune des courbe donne une idée du prix du call en fonction de sa maturité, tous les autres

paramètres restant constants.

Prise en compte d’un dividende discret

Il est possible de prendre en compte un dividende discret dans la formule de Black & Scholes :

Soit D le dividende estimé à . Il nous faut suivre les étapes suivantes

- Actualiser le dividende à t=0 :

- Retrancher D’ de la valeur S du sous-jacent :

Il suffit ensuite de calculer Black & Scholes avec F pour prix du sous-jacent.

iii. Le modèle de Merton : introduction d’un taux de

dividende au modèle de Black & Scholes

La formule de Merton inclut quant-à-elle un taux de dividende (en pourcentage de la valeur de l’actif

sous-jacent). Soit q ce taux de dividende :

- De la même manière que pour le calcul d’un dividende discret, S se trouve ainsi modifié :

- Les valeurs de d1 et d2 se trouvent ainsi modifiées dans la formule de Black & Scholes :

0

5

10

15

20

25

30

35

80 90 100 110 120 130

27/10/2012

15/11/2012

30/11/2012

13/12/2012

19

o

o

- Une fois ces calculs intermédiaires terminés, les valeurs des options d’achat et de vente

associées sont les suivants :

o Option d’achat :

o Option de vente :

iv. La méthode de Monte-Carlo et la méthode historique

Pour les options comportant plusieurs sources d’incertitudes ou pour les options complexes (par

exemple les options asiatiques) l’application de la méthode binomiale en « arbre » présente des

difficultés et n’est pas optimale. Dans ces cas-là il vaut mieux utiliser la Méthode de Monte-Carlo.

Cette méthode consiste à isoler un certain nombre de variables-clés et à leur affecter une distribution de

probabilités (ex : loi Normale, loi de Poisson pour introduire des processus de saut…). Pour chacun de ces

facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires est effectué dans les distributions de probabilité

déterminées précédemment, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats.

La méthode historique

Un cas particulier de la méthode de Monte-Carlo est la méthode historique. Sa singularité vient du fait

que les N processus générés sont les même que ceux des N dernières périodes observées. Elle part donc

de l’hypothèse que la meilleure manière de prévoir le futur est de s’inspirer des mouvements passés.

La méthode historique prend l’hypothèse que l’on peut approximer le mouvement du sous-jacent par un

mouvement géométrique brownien et que les variations de cours sont normales (ce qui se rapproche de

l’hypothèse de normalité de Black & Scholes) :

Or le prix actuel du call sur ce sous-jacent peut être écrit comme:

Soit, en remplaçant par son expression ci-dessus :

20

Ainsi, la valorisation d’une option financière par la méthode de Monte Carlo se fait de la façon suivante:

- Simulation d’un grand nombre de lois normales centrées réduites pour générer des

- Calcul des correspondants, puis déduction du payoff actualisé du call :

o

, dans un environnement risqué-neutre

o Le payoff actualisé du call vaut donc:

- Calcul de la moyenne de l’ensemble des résultats trouvés pour les valeurs du call :

Application numérique :

Nous avons réalisé des simulations de Monte-Carlo sur un échantillon de quinze sociétés du CAC 40.

Nous avons calculé la volatilité historique entre le 01/01/2009 et le 31/12/2012. Et pris un échantillon

de 500 simulations pour chaque société (basées sur les 500 dernières variations des cours ajustés des

dividendes).

Dans l’hypothèse d’une absence de payement de dividendes par ces sociétés avant maturité des options

d’achat, nous avons calculé la valeur de ces options par la méthode de Black & Scholes ainsi que par les

simulations de Monte-Carlo.

Tableau comparatif des méthodes de B&S et de Monte Carlo :

Valeur de l'option (€)

Société Volatilité B&S Monte-Carlo Différence

Air Liquide 24% 10,7 11,6 8%

Carrefour 28% 3,3 3,4 3%

Danone 42% 8,7 9,7 12%

EADS 41% 5,9 5,4 -8%

GDF Suez 94% 4,8 4,9 1%

L'Oréal 67% 26,6 27,8 5%

LVMH 55% 27,9 32,5 16%

Pernod Ricard 30% 12,1 13,1 8%

Publicis 34% 7,1 7,6 7%

Renault 41% 7,3 6,9 -6%

Safran 101% 11,7 10,6 -9%

Saint Gobain 54% 6,2 6,7 8%

Total 47% 6,9 7,1 2%

Unibail Rodamco 43% 29,9 31,5 5%

Vinci 41% 6,0 5,5 -7%

Moyenne 3%

Médiane 5%

21

Dans notre étude, la méthode de Monte-Carlo donne une valeur d’option en moyenne 3% supérieure à

la valeur obtenue par Black & Scholes. En théorie, le résultat doit tendre vers zéro (par la loi des Grande

Nombres) car la volatilité utilisée est la même dans les deux cas, la rapidité de la limite dépendant bien

entendu du nombre de simulations et de sociétés dans l’échantillon. Ici, le résultat est non nul mais très

faible, et seules deux simulations sur quinze donnent des résultats différant de plus de 10% en valeur

absolue.

B. Application aux Options Réelles : Etat de la recherche académique

Dans cette partie, nous avons tenté de résumer les principaux avancements de la recherche académique

sur la théorie des Options Réelles depuis les années 1970, en nous inspirant du cours d’Olivier Levyne.

i. Merton : calcul du spread de crédit (1973)

Merton considère les capitaux propres comme une option d’achat sur les actifs d’une entreprise, avec

pour prix d’exercice la valeur nominale de ses dettes. Il décrit l’évolution de la valeur d’entreprise (ie. de

ses actifs) selon l’équation différentielle suivante :

dzVdtCVdV .).(

- étant le rendement espéré généré par l’entreprise

- C représentant l’ensemble des payements aux actionnaires et créanciers (si positif) ou des nouvelles

lignes de financement (si négatif)

- ² représentant la variance des revenus de l’entreprise

- dz étant un processus standard de Wiener

Notons F la valeur économique de la dette et D son nominal. Si l’entreprise fait faillite, l’ensemble de la

valeur d’entreprise revient aux créanciers. Supposons que le payement de la dette se fait entièrement à

maturité. Ainsi :

0...2

12

222

t

FFr

V

FVr

V

FV

F(V,) représentant la valeur économique de la dette t années avant sa maturité, nous avons :

F(V,0) = min(V,D)

F(V,)= V.(d1) – De-rt

.(d2)

Comme F = V – f, nous avons également :

22

F = V – [V.(d1) – De-rt

.(d2)] = V. [1 - (d1)] + De-rt

.(d2) = V. (-d1) + De-rt

.(d2).

12 ..

. deD

VdeDF

r

r

.

Soit V

eDd

r

.

ou deD

Vr

1

.

. Alors:

12 .

1. d

ddeDF r

Cette formule nous permet d’exprimer le spread de crédit de la dette de l’entreprise.

Notons R son rendement à maturité :

ReDF . ou ReD

F et D

FR ln.

1

En conclusion :

12 .

1.ln

1d

ddeR r

..1

ln1

ln1

12

d

ddeR r

..1

ln1

12

d

ddrR

Donc: R – r = spread = ..1

ln1

12

d

dd

Cette formule de Merton nous permet donc d’exprimer le spread de la dette d’une entreprise en

fonction de son nominal et de sa maturité moyenne, ainsi que de la valeur et de la volatilité des actifs de

l’entreprise, et du taux sans risque au moment de la valorisation.

ii. Geske : payement de la dette par coupons (1977)

Un avantage de la théorie des Options Réelles par rapport au DCF est que le payement de la dette n’est

pas supposé avoir lieu au moment de la valorisation, mais à un moment T fixé dans le futur, que l’on doit

déterminer au mieux.

23

Toutefois, aucune entreprise ne se finance avec une unique ligne de crédits, qui plus est sans payement

de coupons intermédiaires. C’est pourquoi en pratique, les praticiens choisissent la maturité moyenne

de la dette de l’entreprise comme maturité de l’option, afin de se rapprocher au mieux de la réalité

économique de l’entreprise.

En 1977, Geske a cependant développé un modèle permettant de se rapprocher encore plus de la

réalité : cette fois-ci, le payement de la dette n’est pas supposé survenir entièrement à sa date de

maturité moyenne, mais se décompose en n-1 payements de coupons intermédiaires, puis du payement

du nominal de la dette.

La valeur des capitaux propres est alors considérée comme une option composée. Supposons, en effet

que, au lieu d'être un zéro coupon, le service de la dette comporte 2 paiements. L'un au bout de 7 ans,

l'autre au bout de 8 ans (comme les tranches A et B de la dette senior dans un LBO). Au bout de 7 ans :

- Si la VE est inférieure au montant dû, les actionnaires abandonnent la société à ses créanciers qui se

chargent alors de sa liquidation

- Si la VE est supérieur au montant dû, la société paie le montant dû. Elle exerce alors, au bout de 7

ans, l'option de poursuivre son activité qui lui permet, 1 an plus tard de disposer de l'option de

poursuivre son activité au delà de 8 ans si la dernière échéance est honorée. En d'autres termes, les

actionnaires disposent, aujourd'hui, d'une option sur l'option de réaliser le dernier paiement.

Or la valeur économique des capitaux propres correspond à la prime de l'option d’achat des actifs ou de

remboursement de la dernière échéance de la dette. Donc la valeur économique des capitaux propres

correspond à la prime d'une option composée.

La notion d'option composée est assez naturelle si l'on considère le cas de base d'un call sur action. En

effet, la valeur des actions est celle d'un call sur les actifs de l'entreprise. Donc la prime du call sur les

actions est celle de la prime du call sur le call sur les actifs. En d'autres termes :

Option d’achat = e-r.max(0;S-E) = e-r.max[0;e(-r').max(0;EV-D)]

A noter que t est différent de t' car la date d'échéance du call sur action est différente de la date

d'échéance de la dette.

Geske a donc obtenu une formulation de la prime du call sur call (ou de l'option composée) dont la

formule de Black and Scholes est un cas particulier.

2

S 1

V

D t t* T

24

Concrètement, à t=t*, l’actionnaire exercera son option si et seulement si l’option est dans la monnaie

(ie. St*>K). Comme la valeur des capitaux propres (S) dépend de la valeur d’entreprise (V), une telle

situation n’arrive que si V est supérieur à une valeur V* correspondant à la valeur d’entreprise telle que

0 KS .

Autrement dit, les actionnaires payent K à t=t* si, à cette date, V>V* pour garder la possibilité de payer

M à t=T. Dans ce cas :

)(..),,(..),,(. 2221112 aeKbaNeDbaNVC

rr

où

1

1

2

1.

).2

()*

ln(

V

VrV

V

a

, 112 . Vaa , 2

1

2

2

2

1.

).2

()ln(

V

VrD

V

b

et 212 . Vbb

N(.) et étant respectivement les fonctions de répartition des Lois Normales bivariée et monovariée

(simple).

.

iii. Brennan et Schwartz : prise en compte du coût de faillite (1978)

Brennan et Schwartz ont apporté une amélioration à la Théorie de la structure capitalistique de

Modigliani et Miller (1963), en introduisant un coût de faillite.

Supposons que la valeur d’entreprise de la société désendettée (U) suive un mouvement géométrique

brownien :

, dz étant un processus de Wiener.

La valeur d’entreprise de la société endettée (V) est une fonction de U et de la maturité (T) de sa

dette : .

Nous en déduisons donc l’équation aux dérivées partielles suivantes:

A la maturité T de la dette :

, si

25

, si où C(U) correspond au coût de faillite si l’entreprise fait

défaut

Notons et les instants précédant et suivant le payement d’un montant d de dividendes aux

actionnaires :

Considérons maintenant le payement d’un coupon iD et un taux d’imposition de

, où correspond à l’augmentation de

capital nécessaire pour restaurer la valeur d’entreprise de la société endettée après le payement du

coupon.

Le développement de cette formule et la simplification par iD aboutit à la formule suivante :

Si le dividende et le coupon de la dette sont payés le même jour :

Finalement, en prenant en compte le coût de faillite C(U) :

si

si

Ces deux formules correspondent aux contraintes à prendre en compte pour résoudre l’équation aux

dérivées partielles précédente. Il n’existe pas de solution directe à l’équation, à moins de prendre une

hypothèse supplémentaire (cf. paragraphe suivant). C’est pourquoi Brennan & Schwartz préconisent

l’usage d’une résolution numérique de proche en proche, pour déterminer le levier optimal d’une

entreprise.

iv. Leland : hypothèse du renouvellement de la dette (1994)

Leland a résolu l’équation aux dérivées partielles de Brennan et Schwartz sous l’hypothèse que la dette

renouvelle sa dette à perpétuité, c'est-à-dire que sa structure capitalistique est viable à long terme, et

qu’elle la maintiendra.

Cela revient à supposer nul le risque de défaut et à supprimer la valeur temps des capitaux propres (en

tant qu’option d’achat sur la valeur d’entreprise).

Soit V la valeur d’entreprise et C le coupon payé :

26

0...2

12

222

C

t

VFr

V

FVr

V

FV

Cette équation se simplifie légèrement si nous tenons compte de l’absence de valeur temps de la valeur

d’entreprise.

0...2

12

222

CFr

V

FVr

V

FV

Ou plus simplement, dans la mesure où toutes les dérivées se font par rapport à V:

0)(.)('..)(''2

1 22 CVFrVFVrVFV

La résolution d’une telle équation requiert dans un premier temps de résoudre l’équation homogène

associée :

0)(.)('..)(''2

1 22 VFrVFVrVFV

Dans ce cas, les solutions de l’équation caractéristique sont les suivantes :

1 = 2

2222 ..2).2

1(

2

1

rrr

=2

24

222 ..242

1

rrrr

1 = 2

22

2 )2

(2

1

rr

= 122

1

2

22

rr

2 = 2

2222 ..2).2

1(

2

1

rrr

=2

24

222 ..242

1

rrrr

2 = 22

r

La solution de l’équation homogène est donc :

F(V) = XVAVA .. 2

1

1 où 22

rX

.

En prenant en compte le coupon (C), la solution générale de l’équation est :

27

F(V) = XVAVAA .. 21

10

Les constants (A0, A1 et A2) étant déterminées par les contraintes.

Notons la fraction de la valeur d’entreprise perdue en cas de faillite. Dans ce cas, il reste ).VB aux

créanciers et 0 aux actionnaires, VB étant la valeur d’entreprise si la faillite est déclarée.

La valeur de la dette D(V) est donc égale à :

(i) (1-).VB si V= VB

(ii) C/r lorsque V tend vers l’infini.

Ce sont les deux conditions nécessaires pour résoudre l’équation. De plus, si V tend vers l’infini,

XV =0 donc (ii) implique 01 A .

En revenant à la condition (i) BX

B VVAr

C).1(.2

Ainsi, XB

B

V

r

CV

A

).1(

2

et D(V) =

X

B

BV

V

r

CV

r

C

.).1(

Concernant les coûts de faillite (BC):

(i) si V=VB

(ii) si V tend vers l’infini

Or, lorsque V tend vers l’infini, V-x=0, donc A0=0 et A1=0. De plus, d’après (1), BX

B VVA ..2

.

Donc X

B

B

V

VA

..2 et

X

B

BV

VVVBC

..)(

Concernant les économies d’impôt (TB):

(i) si V=VB

(ii)

si V tend vers l’infini

Comme lorsque V tend vers l’infini, XV =0 donc la condition (ii) imposer

CA

.0

et 01 A .

De plus, d’après (i,) 0..

2 X

BVAr

C.

28

Ainsi, X

BV

r

C

A

.

2

et

X

BV

V

r

C

r

CVTB

.

..)(

Finalement, la valeur d’entreprise (EV) vaut, en prenant en compte les coûts de faillite et les

économies d’impôts :

EV = V + TB(V) - BC(V) = V +

X

BV

V

r

C1

.-

X

B

BV

VV

..

Et la valeur des capitaux propres, E(V) = EV – D(V)

Donc E(V) = V +

X

BV

V

r

C1

.-

X

B

BV

VV

.. -

X

B

BV

V

r

CV

r

C

.).1(

E(V) = V -

X

B

BV

VV

r

C

r

C

.).1().1(

De plus, l’expression de la valeur d’entreprise met en évidence que la valeur des actifs est maximisée en

minimisant VB, en supposant que ce n’est pas imposé par un covenant. La valeur de VB permettant de

maximiser la valeur des capitaux propres est telle que dV

VdE )(=0 pour V= VB.

dV

VdE )(=

B

X

B

BVV

VV

r

CX

1..).1(.1

1

= 0

Pour V= VB: 01

.).1(.2

12

B

BV

Vr

Cr

01

.).1(.2

12

B

BV

Vr

Cr

11

.).1(.

22

BVr

Cr

rVr

C

B .21

.).1(

2

Et

Ainsi, VB est indépendant de V et . De plus, si r, ou augmentent, VB diminue; si C diminue, VB

diminue également.

29

v. Dixit et Pindyck : option à maturité infinie (1994)

Dixit et Pindyck ont propose une méthode de valorisation de l’option d’investir dans un délai

indéterminé (ie. pour une maturité t = +∞). Le moment d’investir jugé opportun est atteint lorsque la

somme des cash flows (ie. la valeur d’entreprise V) atteignent une valeur critique, que nous allons

déterminer.

Supposons que V décrive un mouvement géométrique brownien :

dV = .V.dt + .V.dz

étant le taux de croissance espéré de V et sa volatilité

A ce niveau, le montant I de l’investissement est supposé fixe. Notons V* la valeur critique de V.

Soit le rendement de l’action si elle ne payait aucun dividende et ce taux :

Cette option est une option d’achat américaine sur les actifs V avec pour prix d’exercice I. Si l’option est

exercée, l’entreprise – qui possède l’option- paye I et reçoit V (ie. NPV = V – I).

Notons F le premium de l’option infinie. Par définition, F ≥ V-I soit F + I ≥ V, autrement dit le call n’est

exercé que si le coût du projet (investissement + premium de l’option infinie) est supérieur à la valeur

des cash-flows actualisés.

Le call est exercé lorsque F(V) = V-I pour V=V*. Graphiquement, cela arrive quand la courbe de F (en

bleu) touche la courbe non continue (en noir) qui représente le NPV.

F F(V)

V-I

V*-I

I V* V

La lecture graphique nous aide à intuiter les trois conditions à remplir : (i) F(V*) = V* - I

30

(ii) F’(V*) = 1, car la droite de NPV (de pente 1) est tangente à la courbe de F

(iii) F(0) = 0, car si V = 0, le projet doit être abandonné immédiatement et le premium de l’option

est nul

L’équation aux dérivées partielles de l’option (F) avec pour sous-jacent V est la suivante :

2

222 ..

2

1.).(

V

FV

V

FVr

= rF

)('.).()("..2

1 22 VFVrVFV - r.F(V) = 0

Si l’équation a une solution du type V, l’équation caractéristique est la suivante :

1222 ..).().1.(..2

1 VVrVV - r. V = 0.

Soit, en divisant par V

).()1.(.2

1 2 r - r = 0.

)..2

1(.

2

1 222 r - r = 0

Le discriminant vaut : = 222 ..2).2

1( rr

1 = 2

2

2

1

r

2 = 2

2

2

1

r

Le produit des racines d’une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 valant a

c :

1 . 2 = 2.

2

1

r < 0 donc 1 > 0 et 2 < 0 (car 1 > 2 )

Supposons pour simplifier que 1 > 1 (ce qui peut être prouvé)

31

La courbe représentative de fonction f( ) = )..2

1(.

2

1 222 r - r est une parabole telle

que :

f(0) = - r et f(1) = - < 0, étant positif

f( )

2 1 1

-

-r

Selon ce graphe, f(1) est négatif si 1 > 1.

La forme générale du résultat de l’équation aux dérivées partielles est la suivante :

F = A. 1V + B. 2

V

Comme F(0) = 0, 1 > 0 et 2 < 0. Il est donc nécessaire que B = 0

Ainsi : F = A. 1V

De plus, comme F(V*) = V* - I et F’(V*) = 1 :

A. 1*V = V* - I

A. 1 .11*

V = 1

1

*

V= V* - I soit V*( )1

1

1 - I ie. V*(

)

1

1

1

I

En conclusion:

(valeur critique)

(facteur multiplicatif dans la formule de la prime)

32

vi. Bellalah : prise en compte des coûts d’accès à l’information (2001)

Comme noté par Merton en 1987, le taux d’actualisation des cash-flows futurs doit être cohérent avec

son modèle de marché à l’équilibre dans un monde où l’information est incomplète. Bellalah a donc

cherché à transposer ce modèle pour valoriser des Options Réelles.

Le modèle de Merton du marché à l’équilibre (CAPMI, ou CAPM étendu) :

La formule complète développée par Merton pour tenir compte du coût d’accès à l’information est la

suivante :

Où les notations sont les suivantes :

- : rendement espéré de l’actif S

- : rendement espéré du marché

-

: beta de S par rapport au marché sur la période d’étude

- : coût d’accès à l’information de l’actif S

- : coût d’accès à l’information moyen des actifs du marché

Si nous simplifions la formule sous l’hypothèse que , nous retombons sur le CAPM

standard développé par Sharpe en 1964.

Impact sur les Options Réelles

Supposons comme précédemment que l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien :

D’après le Lemme d’Ito :

Le changement de valeur du portefeuille (W) est donc le suivant :

33

Le portefeuille devant rapporter le taux sans risque majoré du coût de l’information :

Nous en déduisons donc :

Bellalah a donc développé l’équation suivante pour valoriser certaines Options Réelles :

b représentant le coût de portage de l’actif sur une unité de temps.

La valeur d’une option d’achat européenne sur cet actif est alors la suivante :

Avec

et

Avec N(.) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

Lorsque et , cette formule est égale à Black & Scholes.

Bellalah a donc développé une extension de la formule de Black & Scholes prenant en compte la

difficulté d’accès aux informations sur une entreprise. Les paramètres supplémentaires restent toutefois

très complexes à estimer, c’est pourquoi cette formule reste rarement employée en pratique.

vii. Analyses complémentaires

Pour qu’une option ait une valeur économique significative, il est nécessaire que le marché dans lequel

opère l’entreprise soit imparfait. En effet, dans un marché à concurrence pure et parfaite, nulle

opportunité ne permet de générer de la valeur. Cette situation est bien sûr théorique, mais il est utile de

la rappeler dans la mesure où plus une entreprise aura la capacité à avoir l’exclusivité sur un produit/un

marché, plus ses options – et donc cette entreprise- auront de la valeur.

34

Par exemple, un marché à fortes barrières à l’entrée et où les produits de substitution sont difficiles à

développer sera plus susceptible de valoriser fortement des options réelles. Prenons trois exemples pour

illustrer notre propos :

La valorisation d’un brevet sur un médicament dépendra notamment de :

- La capacité du laboratoire à revendiquer l’exclusivité sur le produit

- La capacité des concurrents à des médicaments différents traitant la même maladie

La valorisation d’une mine ou d’un puits de pétrole dépendra notamment de :

- La rareté des ressources extraites

- Le coût et le temps de développement de nouvelles réserves

La valorisation d’une capacité d’expansion sur de nouveaux marchés ou du lancement de nouveaux

produits dépendra notamment des barrières à l’entrée sur ces nouveaux segments (un exemple de forte

barrière à l’entrée serait le secteur des opérateurs télécom, où le gouvernement garantit l’exclusivité des

droits).

Valorisation des capitaux propres

En ce qui concerne la valorisation des capitaux propres, les graphes ci-dessous illustrent la différence

entre les méthodes par DCF et par Options Réelles : alors que la méthode traditionnelle du DCF exclue

toute variation possible de la valeur d’entreprise avant maturité de la dette, la méthode optionnelle

cherche à introduire cette éventualité dans le modèle.

Quelques mises en garde concernant l’utilisation des valorisations optionnelles

Comme l’a fait remarquer Damodaran, il existe plusieurs écueils à l’utilisation des Options Réelles. Nous

avons tenté de recenser les principaux :

0

20

40

60

80

100

120

EV Dette Nette + CP

0

20

40

60

80

100

120

140

EV EV future Dette Nette + CP

T = duration de la Dette Nette

35

- Le sous-jacent n’est pas toujours côté, ce qui rend complexe l’estimation des paramètres

- Lorsqu’il est coté, le sous-jacent n’est pas nécessairement liquide et a fortiori ne suit pas une

cotation en temps continu. Dans ce cas, le modèle risque de sous-estimer la valeur d’options

fortement hors de la monnaie (S

36

entrée sur le marché mexicain dans les trois prochaines années : son investissement ne sera effectif que

dans le cas où la valeur (estimée) des cash-flows générés par son entrée sur le marché Sud-Américain

sera supérieur à ses coûts, au moment de la décision (la maturité de l’option correspondant ici à trois

ans, et la volatilité du sous-jacent intégrant l’incertitude dans l’estimation des cash-flows à venir). Ce

type d’option s’applique également aux investissements pouvant être décalés dans le temps, accrus ou

diminués en fonction de facteurs externes, ou encore aux investissements dont seul le coût est bien

connu, mais dont les revenus futurs sont extrêmement difficiles à estimer avec précision (mine d’or,

puits de pétrole…). C’est pourquoi cette technique de valorisation est extrêmement utilisée dans les

industries minière et pétrolière.

Un autre domaine d’application des options réelles est la valorisation d’intangibles, et en particulier des

brevets. En effet, un brevet peut être vu comme l’option de produire et de vendre un produit avec une

exclusivité, pendant une période donnée. C’est ce qui explique que les grands laboratoires

pharmaceutiques utilisent également cette technique, pour valoriser leurs brevets, dont la valeur

représente souvent une part importante de leur valeur d’entreprise.

Le troisième domaine d’application majeur de la théorie des options réelles est la valorisation des

capitaux propres d’une entreprise. En effet, les capitaux propres peuvent être vus comme une option

sur la valeur d’entreprise avec pour prix d’exercice le nominal de la dette. Cela vient du fait que les

actionnaires sont payés après les créanciers de toutes sortes, et donc que leurs revenus sont soit nuls (si

la valeur d’entreprise ne suffit pas à payer les créanciers) soit égale à EV-D (si l’entreprise génère

suffisamment de cash-flows). Cela correspond bien au payoff d’une option d’achat à maturité. La

valorisation optionnelle diffèrera de la valorisation par DCF dans la mesure où elle prendra en compte la

valeur temps de l’option, c'est-à-dire le fait que la maturité de la dette est non nulle. C’est pourquoi les

sociétés fortement endettes, en difficulté ou aux revenus fortement volatiles sont parfois valorisés de

cette manière par les professionnels.

Ce sont ces trois types de cas que nous allons développer successivement dans les paragraphes suivants.

A. Valorisation d’investissements

i. Valorisation de l’option de croître

L’approche optionnelle d’un investissement permet de refléter plus finement les possibilités

ouvertes :

37

Investissement dans un pays A Investissement dans un pays A puis dans un pays B

Considérons une société qui peut choisir d’investir dans un pays A (schéma 1) avec un NPV de -50 M€

(0) :

Grâce à cette approche plus fine, l’investissement sera réalisé. Bien entendu, cet exemple est

simplificateur, mais il a pour but de montrer l’intérêt qu’une telle approche peut avoir pour une direction

financière dans un choix d’investissement. L’option d’accroître cumulée à une option de stopper

l’investissement est donc valorisée à 150 M€.

ii. Valorisation d’une mine d’or par une option d’achat

La valorisation d’un investissement par le calcul de sa VAN (Valeur Actuelle Nette) -ou de son TRI (Taux

de rendement interne)- permet de savoir si un projet donné est rentable ou non à t=0. La méthode des

options réelles permet d’aller plus loin et de déterminer s’il vaut mieux investir maintenant ou plus tard

dans un projet.

Les cash-flows futurs de l’investissement peuvent donc être modélisés par la fonction , ce

qui correspond au payoff d’une option d’achat européenne sur l’actif sous-jacent, avec les

paramètres suivants dans la formule de Merton :

- S : valeur actualisée des revenus futurs du projet

- E : coût de l’investissement

- : volatilité des revenus futurs

- : durée de l’investissement

- r : taux sans risque

500

- 600

500

- 600

600

100

STOP

0,5

0,5

0,5

0,5

0,8

0,2

Option d’arrêter

Option d’accroître

38

- : taux de dividende du projet (dont nous préciserons le calcul ci-après)

Tentons de valoriser une mine d’or ayant les caractéristiques suivantes :

- La capacité d’extraction annuelle est de 50.000 onces/an

- La durée d’exclusivité des droits d’exploitation est de 10 ans

- Le prix actuel de vente d’une once d’or est de 1690€

- Le coût du capital de l’exploitation minière est de 9,0% (moyenne sectorielle)

Le chiffre d’affaires est donc estimé à 845 M€.

Etude des coûts :

- Coût fixe d’ouverture de la mine 200 M€

- Coût variable de production : 700€/once d’or

Le total des coûts est donc de 550 M€ sur les 10 années d’exploitation.

Il est également nécessaire d’introduire un taux de dividendes (formule de Merton) afin de tenir compte

de la perte d’opportunité si jamais l’exploitation n’est pas exploitée. Cette perte est de 10% car chaque

année, un-dixième de l’opportunité d’exploitation est perdue (ie.

Cours de l’once d’or de 1968 à 2013 (en €)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

39

Moyenne lissée de la volatilité de l’or sur une période croissante, de 1 an à 40 ans

Grâce à l’étude historique présentée ci-dessus, nous avons choisi d’estimer la volatilité moyenne

annualisée des revenus de l’exploitation à 19%, pour les dix prochaines années (maturité de l’option).

La valorisation de la mine d’or, selon la méthode des Options Réelles (par la formule de Merton) est donc

de 109 M€.

iii. Valorisation d’un puits de pétrole par un portefeuille d’options

Considérons un puits de pétrole exploité par Total pendant les vingt prochaines années. Sa capacité

d’extraction est de 650 barils/jour, soit 530 M€ sur l’ensemble de la période, le cours du Brent au jour de

la valorisation étant de 112€.

Sa volatilité historique est estimée à 36% (voir graphe et tableau ci-dessous).

Enfin, l’ensemble des coûts d’exploitation devrait être de 55€ par baril soit 260 M€ au total.

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

Volatilité1 an 14,2%

3 ans 16,7%

5 ans 22,3%

10 ans 19,8%

25 ans 15,7%

40 ans 20,5%

Valorisation d'une mine d'or

Hypothèses

S 845 EURm Date de valorisation : 29/04/2013

K 550 EURm Date d'expiration : 29/04/2023

T 10 years

r discret 9,0%

r continu 8,6%

19%

Dividende 10%

Calculs

F 311

d1 0,79 N(d1) 0,785 N(-d1) 0,215

d2 0,20 N(d2) 0,581 N(-d2) 0,419

Option d'achat 109 EURm

40

Cours du Brent de 1987 à 2013 (en €)

Moyenne lissée de la volatilité du Brent sur une échelle de 5 à 25 ans

Choix du taux de dividende ou « convenience yield »

Le taux de dividende correspond au coût d’opportunité du Brent. Il correspond à la perte d’avantage

provenant du fait de posséder un baril demain plutôt qu’aujourd’hui.

Il est possible de l’estimer en ayant recours aux produits dérivés ayant le Brent pour sous-jacent. En effet

les Futures nous donnent une estimation du « convenience yield » d’une matière première : pour un

sous-jacent donné, la valeur d’un Future s’exprime selon une formule simple en fonction de la valeur

actuelle du sous-jacent (S), du taux sans risque (r), du « convenience yield » (y) et de la maturité du

produit :

Dans le cas présent, nous avons par simplification estimé le « convenience yield » à 1,0%.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011

32%

33%

34%

35%

36%

37%

38%

Volatilité1 an 22,3%

3 ans 25,7%

5 ans 36,8%

10 ans 35,2%

20 ans 35,7%

41

Valorisation de la concession

Supposons dans un premier temps que Total prenne à t=0 la décision d’investir sur les dix prochaines

années, puis dans cinq ans la décision d’investir ou non sur les dix années suivantes.

Valoriser la concession revient donc à valoriser deux options d’achat, la première n’ayant pas de valeur

temps. Le coût actuel de production étant inférieur au coût de vente, la difficulté vient donc de la

valorisation de l’option avec une valeur temps.

Utilisons donc la formule de Merton pour connaître son prix.

La concession est donc ici valorisée à 321 M€.

Bien entendu, si la décision avait été prise à t=0 d’investir sur les vingt prochaines années, sans

possibilité de mettre fin à l’extraction au bout de dix ans, la concession aurait valu moins cher en raison

du risque supérieur.

Plus précisément, la concession aurait été valorisée :

La survaleur de 12 M€ correspond au prix de la flexibilité apporté par l’option de mettre en cause

l’investissement au bout de dix ans.

Dans le paragraphe suivant, nous allons donc analyser plus précisément le coût de flexibilité d’un

investissement.

Rang de l'option 1 2 TOTALDate de l'évaluation 01/01/2013

Date d'échéance de l'option 31/12/2022

Cours actuel du Brent (€) 112 112

Coût de revient unitaire (€) 55 55

Taux sans risque 7,7% 7,7%

Durée restant à échéance (an) 10

Volatilité du sous-jacent 36%

Convenience yield 1%

F 101

d1 1,78

d2 0,64

N(d1) 0,96

N(d2) 0,74

Valeur du Call

- par unité produite (EUR) 57 78

x Volume (m) 2,4 2,4

- pour la période (EURm) 135 186 321

42

iv. Valorisation de la flexibilité d’un investissement

Supposons maintenant que Total peut décider à intervalles constants de stopper ou de reprendre

l’exploitation du puits en fonction de l’évolution des opportunités. Cela revient à valoriser le puits

comme un portefeuille d’options d’achats de maturités croissantes.

Nous avons pour cela réalisé 7 valorisations successives, respectivement à partir de 1, 2, 3, 4, 5, 10 et 20

options d’achat (de maturités décroissantes) en calculant à chaque fois la valeur de la concession.

Voici par exemple le calcul de la valeur de la concession à partir de quatre options d’achat :

Le résultat est extrêmement intéressant, en témoigne le tableau ci-dessous :

La valeur de la concession croît avec le nombre d’options. Autrement dit, la flexibilité de la prise de

décision est valorisable par les Options Réelles, et cette flexibilité peut représenter une part significative

de l’investissement (jusqu’à 9% dans le cas présent). Ce constat peut donc avoir une utilité réelle dans la

prise de décision d’une direction financière, lorsqu’elle doit décider du lancement d’un investissement

éventuel.

Rang de l'option 1 2 3 4 TOTALDate de l'évaluation 01/01/2013 01/01/2013 01/01/2013

Date d'échéance de l'option 31/12/2017 31/12/2022 31/12/2027

Cours actuel du Brent (€) 112 112 112 112

Coût de revient unitaire (€) 55 55 55 55

Taux sans risque 7,7% 7,7% 7,7% 7,7%

Durée restant à échéance (an) 5 10 15

Volatilité du sous-jacent 36% 36% 36%

Convenience yield 1% 1% 1%

F 106 101 96

d1 1,70 1,16 1,42

d2 0,89 0,02 0,02

N(d1) 0,96 0,88 0,92

N(d2) 0,81 0,51 0,51

Valeur du Call

- par unité produite (EUR) 57 71 76 80

x Volume (m) 1,2 1,2 1,2 1,2

- pour la période (EURm) 67 84 90 95 336

Nb. Options Fréquence du choix (an) Coût du projet (EURm) Coût de flexibilité (EURm) % projet1 20 309

2 10 321 12 4%

3 7 332 23 7%

4 5 336 27 8%

5 4 338 29 9%

10 2 340 31 9%

20 1 339 31 9%

43

v. Valorisation de l’option de sortie d’une joint-venture

L’ensemble des exemples de valorisation étudiés jusqu’à maintenant tournent autour de la valorisation

d’une option d’achat. Certaines Options Réelles peuvent toutefois être considérées comme des options

de vente.

Prenons l’exemple de Nestlé qui souhaite ouvrir le capital d’une filiale brésilienne afin de conclure un

partenariat avec une entreprise locale pour 20 ans. Une valorisation par DCF de l’entreprise valoriserait

les capitaux propres à 850 M€ (soit 425 M€ pour 50%).

Nestlé souhaite toutefois donner la possibilité à l’entreprise local de lui revendre sa participation dans la

joint-venture si l’investissement ne lui parait plus rentable dans 3 ans, en l’échange de 380 M€. Ceci peut

être vu comme une option de vente de prix d’exercice 380 M€ avec pour valeur du sous-jacent 425 M€.

Supposons qu’en raison du risque fort, la volatilité des capitaux propres de l’entreprise sera en moyenne

de 30% dans les trois prochaines années.

L’option d’abandonner la joint-venture au bout de trois ans pour 380 M€ pourra donc être valorisée à

70 M€.

B. Valorisation d’intangibles : l’exemple des licences

Les cash-flows futurs du brevet peuvent donc être modélisés par la fonction , ce qui

correspond au payoff d’une option d’achat européenne sur l’actif sous-jacent du brevet, avec les

paramètres suivants dans la formule de Merton :

Valorisation de l'option de sortie d'une Joint-Venture

Hypothèses

S 425 EURm Date de valorisation : 04/05/2013

K 380 EURm Date d'expiration : 03/05/2016

T 3 years

r discret 2,0%

r continu 2,0%

30%

Dividende 5% (=1/20)

Calculs

F 366

d1 0,30 N(d1) 0,618 N(-d1) 0,382

d2 -0,22 N(d2) 0,413 N(-d2) 0,587

Option d'achat 78 EURm

Option de vente 70 EURm (parité Put-Call)

44

- S : valeur actualisée des revenus futurs

- E : coût de développement du brevet

- : volatilité des revenus futurs

- : durée de vie du brevet

- r : taux sans risque

- : taux de dividendes =

, dans la mesure où chaque année attendue représente une année de

revenus en moins

Etudions cette théorie sur un exemple concret :

Une entreprise pharmaceutique envisage d’acquérir un brevet l’autorisant à produire et à vendre un

nouveau médicament pendant vingt ans. Si le médicament est produit tout de suite, on estime le coût de

production à 2,5 Md€ et les futurs revenus (actualisés) à 2,3 Md€.

Le taux sans risque du pays considéré est de 3,0% et la forte volatilité des revenus dans ce secteur se

matérialise par un écart-type des revenus de l’ordre de 40%.

Si on valorise le brevet par la VAN, sa valeur est de -200 M€ : on ne lance donc pas le projet.

Regardons ce qu’il en est avec la méthode des options réelles :

Le projet est ici valorisé à 425 M€. La conclusion est donc que ce projet vaut la peine d’être lancé, en

raison de la forte volatilité des cash-flows futurs (40%), et de l’horizon lointain de l’échéance du brevet

(20 ans).

Réalisons maintenant des tables de sensibilité afin d’étudier les variations de résultats en fonction des

facteurs principaux : l’espérance des cash-flows futurs ainsi que leur volatilité.

Valorisation d'un brevet

Hypothèses

S 2 200 EURm Date de valorisation : 29/04/2013

K 2 500 EURm Date d'expiration : 29/04/2033

T 20 years

r discret 3,0%

r continu 3,0%

40%

Dividende 5%

Calculs

F 809

d1 0,59 N(d1) 0,724 N(-d1) 0,276

d2 -1,19 N(d2) 0,116 N(-d2) 0,884

Option d'achat 425 EURm

45

Comme nous pouvions nous y attendre, ces deux facteurs, pourtant très difficiles à estimer, peuvent

avoir un impact majeur sur la valorisation d’un brevet.

C. Valorisation de capitaux propres

Les capitaux propres d’une entreprise pouvant être considérés comme une option sur la valeur

d’entreprise avec pour prix d’exercice le nominal de la dette et pour maturité la maturité moyenne de la

dette, nous pouvons employer la méthode des Options Réelles dans un tel contexte de valorisation.

Etudions brièvement l’exemple d’Eurotunnel afin de nous sensibiliser à l’impact que peut avoir une telle

approche.

L’exemple d’Eurotunnel

En 1997, les résultats d’Eurotunnel étaient négatifs dès le résultat opérationnel :

- EBIT de -56 millions de livres

- Résultat Net de -685 millions de livres

La valeur bilancielle des capitaux propres était négative, à -117 millions de livres, suite à des années de

résultats dans le rouge.

La structure de la dette étant la suivante:

425 2000 2100 2200 2300 2400

36% 325,6 350,1 375,0 400,2 425,8

38% 349,4 374,7 400,4 426,5 452,8

40% 372,4 398,6 425,0 451,8 478,9

42% 394,7 421,6 448,8 476,3 504,0

44% 416,2 443,8 471,7 499,8 528,2

425 2000 2100 2200 2300 2400

36% -23% -18% -12% -6% 0%

38% -18% -12% -6% 0% 7%

40% -12% -6% 0% 6% 13%

42% -7% -1% 6% 12% 19%

44% -2% 4% 11% 18% 24%

S

S

Nature Valeur nominale Duration

< 10 ans 935 0,5

10 ans 2 435 6,7

20 ans 3 555 12,6

> 20 ans 1 940 18,2

Total 8 865 10,9

46

Contrairement à une valorisation par DCF, une valorisation par méthode optionnelle tiendrait compte de

la forte duration de la Dette et d’Eurotunnel, c'est-à-dire de la probabilité non-nulle qu’avait la société

de générer des cash-flows suffisants dans 11 ans pour rembourser sa dette. L’approche optionnelle

prend également en considération l’option d’accroitre la maturité de la dette avant exercice de l’option

si l’ensemble des parties prenantes ont intérêt à ne pas mettre la société en faillite. C’est effectivement

ce qui a eu lieu avec Eurotunnel.

C’est ce qui explique sa capitalisation boursière positive à la fin des années 1990, malgré une valorisation

négative par une approche DCF avec des hypothèses crédibles.

i. Calcul de la volatilité des actifs :

La valeur d’entreprise n’étant pas cotée, contrairement à celle des capitaux propres ou d’une dette

cotée, nous devons la recalculer. Il existe pour cela deux méthodes que nous détaillons ci-après.

Méthode de Damodaran

Avec les notations suivantes :

- représente la proportion d’equity dans la structure financière

- représente la proportion de dette dans la structure financière

- représente la volatilité (écart-type) de l’equity

- représente la volatilité (écart-type) de la dette

- est le coefficient de corrélation de la dette et de l’equity

Remarquons au passage que nous partons de l’hypothèse que les capitaux investis se répartissent sans

difficultés entre ces deux catégories equity et dette. Si nous utilisions d’autres catégories de capitaux

(dette convertible, actions subordonnées…), la formule s’en trouverait rallongée comme suit :

Méthode alternative

Il existe une façon d’élaborer un système de deux équations à deux inconnues, permettant d’obtenir la

valeur d’entreprise et sa volatilité à partir de la valeur des capitaux propres et de leur volatilité, de la

valeur nominale de la dette et de sa maturité moyenne ainsi que du taux sans risque.

47

Revenons à l’expression du mouvement d’une action comme un mouvement géométrique brownien :

Le Lemme d’Ito nous permet quant à lui d’obtenir l’expression suivante :

Les deux expressions de devant être égales :

et

soit

Les capitaux propres étant un call sur la valeur d’entreprise,

n’est autre que N(d1), dont l’expression

détaillée est la suivante :

Dans la mesure où il existe une circularité entre et EV, il est impossible de résoudre cette équation

simplement.

Toutefois, nous pouvons retrouver la valeur de EV en résolvant le système suivant, de deux équations à

deux inconnues (EV et EV), l’autre équation n’étant autre que Black & Scholes :

ii. Cash, minoritaires, et