UNIVERSIT E PARIS 7 - DENIS DIDEROTsimenhaus/Francois_Simenhaus_-_Page... · Remerciements...

UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT

THESE

pour obtenir le diplome de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS 7

Specialite : Mathematiques appliquees

par Francois SIMENHAUS

MARCHES ALEATOIRES EN MILIEUX ALEATOIRES

ETUDE DE QUELQUES MODELES MULTIDIMENSIONNELS

These dirigee parFrancis COMETS

Rapporteurs : Mme. Nina GANTERT Universitat MunsterM. Pierre MATHIEU Universite de Provence

Soutenue publiquement le 13 novembre 2008, devant le jury compose de

M. Jean BERTOIN, Universite Paris 6M. Francis COMETS, Universite Paris 7M. Nathanael ENRIQUEZ, Universite Paris 10Mme. Nina GANTERT, Universitat MunsterM. Yueyun HU, Universite Paris 13M. Pierre MATHIEU, Universite de Provence

Remerciements

Certaines personnes ont joue un role particulier dans l’elaboration de cette these etje voudrais, avant le debut du manuscrit, les remercier en quelques lignes.

Francis Comets m’a fait confiance, d’abord en encadrant mon memoire de master,puis en acceptant de diriger ma these. Durant toutes ces annees, il a joue un role essen-tiel dans ma formation de probabiliste et de chercheur. Je mesure pleinement la chanced’avoir pu apprendre avec lui, pour ses qualites de mathematicien bien sur, mais aussipour son enthousiasme, son humour et son soutien dans les moments importants decette aventure.

Pierre Mathieu et Nina Gantert ont accepte d’etre rapporteur de cette these. Je suistres fier et tres heureux que ce soient eux qui aient evalue mon travail.

Nathanael Enriquez m’a beaucoup aide pendant ces annees de these, que ce soitpar l’interet qu’il a porte a mon travail, par ses conseils, ou encore par ses nombreuxencouragements. Je suis tres heureux de sa participation au jury.

Je suis tres honore que Jean Bertoin et Yueyun Hu aient accepte d’etre membres dujury lors de ma soutenance.

J’ai eu l’opportunite de partager de nombreuses discussions avec des chercheurs du-rant ma these et je les remercie du temps qu’ils m’ont accorde. Je pense en particulieraux heures de travail avec Marina Vachkovskaıa qui ont largement inspire le dernierchapitre de ce manuscrit.

Je voudrais aussi remercier les enseignants du master (( Modelisation Aleatoire )) del’universite Paris 7 et, notamment, Laure Elie qui a toujours accorde une grande atten-tion au devenir de ses anciens eleves.

Je dois aussi saluer le travail de l’equipe administrative, Isabelle Mariage, ValerieJuve et Josette Saman pour le PMA, Virginie Kuntzmann et l’irremplacable MichelleWasse pour l’UFR de mathematiques.

Je salue amicalement les thesards de Chevaleret et, en particulier, les habitants dulegendaire bureau 5C9.

Il y a enfin ceux qui n’ont pas vraiment de lien avec les probabilites mais a quicette these doit tout de meme beaucoup. J’embrasse donc fortement mes parents, magrand-mere, Olivier, Laure, Caroline, Yannis et Eliott.

Table des matieres

Remerciements 3

Chapitre 0. Introduction 71. Presentation 72. Modele i.i.d. en temps discret 113. Un modele i.i.d. en temps continu 154. Percolation et modele de trappes 175. Notations et organisation du manuscrit 19

Chapitre 1. Modele i.i.d. et renouvellement 211. Le modele i.i.d. 212. Recurrence, transience et loi du 0− 1 243. Structure de renouvellement 254. Loi des grands nombres 295. Comportement balistique 316. Autres resultats 34

Chapitre 2. Direction asymptotique 351. Presentation de l’article Asymptotic Direction for RWRE 352. Introduction and results 403. Proofs 43

Chapitre 3. Un modele en temps continu 531. Modele et questions 532. Resultats pour d = 1 573. Le cas multidimensionnel 64

Chapitre 4. Percolation et MAMA 691. Percolation 692. Marcher sur le cluster infini 713. Une marche attiree par les clusters 73

Chapitre 5. Une marche ralentie par les clusters d’une percolation 791. Presentation de l’article Random Walk Delayed on Percolation Clusters 792. Model and results 843. Preliminaries and the proof of Theorem 5.1 884. Subballistic regime, and the proofs of Theorem 5.2 and 5.3 91

Bibliographie 99

5

CHAPITRE 0

Introduction

Sommaire

1. Presentation 71.1. Trois exemples 81.2. Loi quenched et loi annealed 91.3. Motivations 91.4. Le role de la dimension 102. Modele i.i.d. en temps discret 112.1. Principaux resultats en dimension 1 122.2. Le cas multidimensionnel 132.3. Direction asymptotique 153. Un modele i.i.d. en temps continu 153.1. Modele 153.2. Resultats 164. Percolation et modele de trappes 174.1. Modele 174.2. Resultats 185. Notations et organisation du manuscrit 19

1. Presentation

L’exemple de deplacement aleatoire le plus elementaire est sans doute la marchesimple sur le reseau Zd (d > 1). Il s’agit d’etudier le comportement d’un marcheurpartant de l’origine et sautant a chaque unite de temps, quelque soit sa positionet de facon uniforme, sur l’un de ses 2d voisins dans le reseau. Depuis le debutdu vingtieme siecle, une litterature mathematique considerable a ete consacree a cemodele. La loi de ce processus est aujourd’hui tres bien decrite et de nombreusesproprietes fines ont ete demontrees. Si cet objet est tres satisfaisant pour decrireun deplacement dans un milieu homogene et deterministe, il est en revanche insuf-fisant pour modeliser un mouvement dans un milieu heterogene ou inconnu. Plusprecisement, la marche simple est une chaıne de Markov ayant pour transition entout site x de Zd le vecteur ωx = (1/2d, · · · , 1/2d) et presentant donc une grandehomogeneite spatiale. Pour modeliser un milieu heterogene et aleatoire, nous allonsconsiderer un champ de transitions (ωx)x∈Zd aleatoire dont nous noterons P la loi. Le

8 0. INTRODUCTION

deplacement markovien associe est appele Marche Aleatoire en Milieu Aleatoire etl’acronyme MAMA est traditionnellement utilise pour designer ces processus. Unemarche aleatoire en milieu aleatoire est donc gouvernee par deux aleas. Le premiersert a determiner la realisation du champ (ωx)x∈Zd appele milieu ou environnementtandis que le second determine la trajectoire du marcheur dans l’environnement.Dans les modeles que nous allons etudier, la loi du milieu verifie des hypotheses destationnarite ou d’ergodicite permettant de prendre en compte des environnements,certes heterogenes, mais presentant egalement une forme de regularite spatiale. Pourpermettre au lecteur de se familiariser avec la description qui vient d’etre faite,commencons cette introduction en donnant, sans les etudier, quelques exemples deMAMA.

1.1. Trois exemples.Marche unidimensionnelle dans un milieu i.i.d. Commencons par l’exemple le

plus simple, la marche sur Z dans un environnement independant et identiquementdistribue (i.i.d.). Ce modele est le premier modele de MAMA a avoir ete etudie. Sapaternite est attribuee, selon les auteurs, au biophysicien Chernov [19] en 1967 pourmodeliser la replication de l’ADN, ou lors de simulations informatiques, a Temkin[71] en 1972. Dans ce modele, le champ des transitions est choisi i.i.d. ce qui signifieque les (ωx)x∈Z forment une famille i.i.d. de variables aleatoires a valeur dans (0, 1).Pour une realisation de l’environnement ω fixee, on considere la chaıne de Markov(Xn)n > 0 verifiant :

Pω(Xn+1 = Xn + 1|X0, · · · , Xn) = ωXn , n > 0,

et

Pω(Xn+1 = Xn − 1|X0, · · · , Xn) = 1− ωXn , n > 0.

Le lecteur pourra se reporter a la Figure 1 p. 12 qui illustre le modele analogue endimension 2. Le comportement de la marche dans ce modele est aujourd’hui tresbien compris ; nous rappellerons les principaux resultats dans la Section 2 de cetteintroduction. Ce modele se generalise aisement aux dimensions superieures et ontrouvera une etude detaillee de ce cas au Chapitre 1.

La fourmi dans un labyrinthe. Le modele de (( la fourmi dans le labyrinthe ))

doit son nom, tres image, au physicien Pierre-Gilles de Gennes [24] (voir aussi[25]). Dans ce modele, le champs des transitions (ωx)x∈Zd n’est pas i.i.d. : il estconstruit a partir d’une percolation sur-critique d’aretes dans Zd. On trouvera unedescription rigoureuse de ce modele ainsi qu’un rappel des principaux resultats auChapitre 4 ; on se contentera ici d’une tres courte presentation. Decrivons en unephrase la percolation sur-critique. On tire independamment pour chaque arete deZd une variable de Bernoulli de parametre p et on garde l’arete si la realisationde la variable associee est 1 tandis qu’on l’efface si la realisation est 0. On obtientainsi un graphe aleatoire. On peut montrer que pour d > 2, il existe une valeurcritique pc(d) ∈ (0, 1) telle que pour tout p > pc, ce graphe aleatoire ait, presquesurement, une unique composante connexe infinie, qui joue le role du labyrinthe.Une (( fourmi )) est maintenant introduite dans le labyrinthe et on la laisse realiserune marche simple, aux plus proches voisins, sur ce graphe.

1. PRESENTATION 9

Le modele de trappes de Bouchaud. Ce dernier exemple, avant de revenir a ladiscussion generale, est du au physicien Jean-Philippe Bouchaud [14]. Il differe despremieres MAMA presentees car on considere ici une chaıne de Markov en temps con-tinu. Ce modele phenomenologique a ete introduit pour comprendre la dynamiquehors equilibre de certains systemes physiques desordonnes comme le modele de spinsde Sherrington-Kirkpatrick. On trouvera une description et une etude sommairede ce modele au Chapitre 5. Signalons, avant une courte presentation du modele,que le deplacement de la marche ne correspond pas a un deplacement physiquemais a l’evolution du systeme parmi differents niveaux d’energie. Cette evolutionest modelisee par une chaıne de Markov en temps continu sur le graphe complet.La dynamique discrete de cette marche est la marche simple usuelle sur le graphecomplet (et non pas une marche en milieu aleatoire) mais les taux de saut sont tiresde facon i.i.d. en chaque site. Les temps moyens de saut (inverses des taux de saut)representent la profondeur des niveaux d’energie (ou trappes) associes a chaque site.La loi de l’environnement est choisie de telle sorte que l’esperance des temps moyensde saut soit infinie. Le fait que la profondeur des trappes ne soit pas integrable per-met a Bouchaud d’expliquer avec succes les phenomenes de vieillissement observesdans plusieurs disciplines experimentales.

Le lecteur aura sans doute remarque que tous les exemples que nous venons dedecrire proviennent de la physique ou de la biologie et, qu’a ce stade de l’introduction,nous n’avons toujours pas cite de mathematiciens. Cette presentation permet d’in-sister sur l’importance des MAMA dans de nombreux travaux de modelisation dontnous n’avons donne ici qu’un apercu. Les modelisations stochastiques necessitantdeux aleas sont en effet nombreuses, on trouvera en particulier des exemples enbiophysique, en oceanographie ou dans d’autres domaines issus de la physique.

1.2. Loi quenched et loi annealed. L’etude des MAMA fait apparaıtre deuxlois importantes. On peut tout d’abord s’interesser a la loi de la marche dans unenvironnement typique ω fixe, cette loi, note Pω est appelee loi quenched. Cetteterminologie provient de la metallurgie ou quenched signifie trempe. Ce terme estegalement utilise en physique statistique pour designer la loi d’un systeme a desordrefixe, par exemple la position de particules magnetisees dans un alliage neutre. Laloi quenched est markovienne et heterogene spatialement. On s’interessera aussi ala loi tenant compte de l’alea sur le milieu. Cette loi appelee loi annealed, notee Pest definie par le produit semi-direct

P = P× Pω,ou l’on rappelle que P designe la loi de l’environnement. La loi annealed n’est pasmarkovienne mais presente une forte homogeneite spatiale due a la realisation d’unemoyenne sur les environnements. Le terme provient egalement de la metallurgie ouil signifie recuit. Les physiciens l’utilisent aussi pour designer une moyenne sur ledesordre.

1.3. Motivations. Nous avons vu sur les premiers exemples que les MAMAsont tres utiles pour diverses modelisations physiques, mais ces processus sont egalement

10 0. INTRODUCTION

tres interessant d’un point de vue purement mathematique. Les deux couches d’aleade la loi annealed ne peuvent se traiter comme un seul (( super )) alea qui rameneraitces modeles vers la theorie bien connue des marches aleatoires classiques. Les toutespremieres etudes sur les MAMA font apparaıtre des comportements nouveaux pourdes marches aleatoires que l’on ne peut pas observer dans des milieux deterministeset homogenes. Considerons un exemple celebre : le regime recurrent dans le modeleunidimensionnel i.i.d. Sinaı montre dans [63] que la distance typique de la marche a0 au temps n est en (lnn)2 (voir la Section 2 de cette introduction pour un enoncerigoureux) tandis que pour la marche simple, il est bien connu que cette distance esten√n. Pour ce meme modele, et pour certaine loi de l’environnement, la marche peut

egalement adopter simultanement un comportement transient et une vitesse nulle, cequi est impossible pour une marche dans un milieu homogene. Les mathematiciensse sont evidemment tres rapidement interesses a ces comportements pathologiqueset ont tente de comprendre ces phenomenes de ralentissement.Plus generalement, lorsqu’on etudie le comportement d’une MAMA, on cherche sou-vent a comparer le comportement de la marche avec celui d’une marche usuelle. End’autre termes, on se demande si la marche (( ressent )) l’environnement ou si aucontraire, elle l’(( ignore )) et se comporte comme une marche classique. On vientde voir que dans le cas unidimensionnel, le fait de rendre l’environnement aleatoiremodifie totalement le comportement de la marche. Au contraire, pour le modele dela (( fourmi dans le labyrinthe )), sur le plan qualitatif, la marche ignore l’environ-nement, et se comporte asymptotiquement comme une marche simple, y comprissous la loi quenched (nous renvoyons le lecteur au Chapitre 4 pour une courte revuede la litterature consacree a ce modele).Enfin, certains modeles, definis par un parametre, peuvent admettre deux regimes.Pour certaines valeurs du parametre, la MAMA admet un comportement prochede celui d’une marche usuelle en milieu deterministe homogene tandis que pourd’autres valeurs du parametre, la marche subit des ralentissements anormaux dusau milieu. Un exemple celebre de ce type de modele est la marche biaisee sur lecluster infini etudiee dans [68] et [10]. On trouvera une description de ce modeleet des principaux resultats au Chapitre 4 (Section 2.2.2). Ce modele est semblablea celui de (( la fourmi dans le labyrinthe )), mais on ajoute un biais, c’est-a-dire unedirection privilegiee par la marche. Pour des biais faibles, la marche presente unevitesse strictement positive (on parle de comportement balistique), tandis que pourdes biais forts, des ralentissements apparaissent et la marche a une vitesse nulle bienqu’elle soit transiente. On s’attachera, pour ce type de modele, a trouver la, ou les,valeurs du parametre separant les differents regimes et a caracteriser chacun desregimes.

1.4. Le role de la dimension. S’il fallait realiser une classification des modelesde MAMA, la notion de dimension serait certainement l’une des plus pertinentes.En effet, davantage encore que les proprietes de la loi du milieu (stationnarite ouergodicite par exemple) ou la nature de la chaıne (temps continu ou temps discret),c’est la dimension de l’espace dans lequel la chaıne prend ses valeurs qui differenciele plus les differents modeles.

2. MODELE I.I.D. EN TEMPS DISCRET 11

La dimension 1 presente en effet certaines specificites qui permettent une etude tresapprofondie.

– Toute chaıne de Markov irreductible sur la droite est reversible (cette proprieteest egalement vraie pour les arbres).

– La geometrie de la droite est simple et les trajectoires sur Z sont tres specifiques.En particulier, une trajectoire allant d’un site x a un site y > x passe par tousles points du segment [x, y].

Ces proprietes permettent de decrire avec grandes precisions les MAMA unidimen-sionnelles comme nous le verrons pour le modele i.i.d dans la Section 2.Pour les dimensions d > 2, la technologie developpee pour le modele unidimension-nel ne fonctionne plus. Le reseau multidimensionnel presente des boucles, ce quientraıne une non reversibilite de la loi quenched pour de nombreux modeles (no-tamment le modele i.i.d.). Les trajectoires restent simples mais, il existe desormaisplusieurs facons d’atteindre une distance donnee, ce qui complique singulierementl’etude de la marche. Il a donc fallu developper de nouveaux outils exploitant davan-tage l’homogeneite de la loi annealed. L’outil qui aura permis le plus de progres estsans conteste la structure de renouvellement introduite par Sznitman et Zernerdans [70], dont on trouvera une etude au Chapitre 1. Un autre outil important est(( l’environnement vu depuis la particule )) qui permet de contourner le car-actere non-markovien de la loi annealed. On trouvera des exemples d’application decet outil aux Chapitre 4 et 5. Signalons enfin l’etude de la plus petite valeur propre(trou spectral) du generateur de la marche reflechie ou absorbee par une boıte pourresoudre certains problemes ; les exemples sont nombreux dans les articles de Sznit-man references dans la bibliographie, citons egalement [60]. Dans cette these,nous allons surtout nous interesser au cas multidimensionnel.Nous donnons maintenant une description plus precise des modeles que nous allonsetudier ainsi que des principaux resultats.

2. Modele i.i.d. en temps discret

Il s’agit de la generalisation a toutes dimensions du modele unidimensionnel quiconstituait notre premier exemple. On se donne une loi µ sur le simplexe S2d−1 deR2d

+ et on considere la mesure produit

P = µ⊗Zd ,

sur l’espace des environnements Ω = (S2d−1)Zd . On supposera que µ n’est pas reduit

a une masse de Dirac afin d’eviter le cas des marches classiques. Etant donne unenvironnement ω ∈ Ω, on definit pour x ∈ Zd, la loi quenched Px,ω par

Px,ω(X0 = x) = 1, Px,ω − p.s.,et les transitions

Px,ω(Xn+1 = Xn + e|X0, · · · , Xn) = ωXn(e), e ∈ Zd, |e| = 1.

La Figure 1 presente un exemple d’environnement. On ajoute egalement l’hypothesed’ellipticite suivante qui assure, P-p.s., le caractere irreductible de la loi quenched.

12 0. INTRODUCTION

ωx(e1)ωx(−e1)

x

ωx(e2)

ωx(−e2)

ωy(−e2)

ωy(−e1)

ωy(e2)ωy(e1)

y 0

Fig. 1. Exemple d’environnement

Hypothese (Stricte ellipticite). µ(ω0(e) > 0) = 1, e ∈ Zd, |e| = 1.

Nous mentionnons egalement tout de suite une hypothese d’ellipticite plus forteque nous utiliserons pour certains resultats.

Hypothese (Uniforme ellipticite). Il existe ε > 0 tel que

µ(ω0(e) > ε) = 1, e ∈ Zd, |e| = 1.

Ce modele est le plus celebre modele de MAMA et egalement l’un des plus etudie.Il illustre bien le role de la dimension que nous avons signale en 1.4. En dimension 1,le modele est parfaitement maıtrise alors qu’en dimension superieure, des questionselementaires restent sans reponse. Commencons par rappeler sans demonstration lesprincipaux resultats en dimension 1.

2.1. Principaux resultats en dimension 1. Les premiers resultats sur cemodele sont dus a l’eleve de Spitzer, Solomon en 1975 [64]. Il trouve le critereseparant transience et recurrence et formule la loi des grands nombres. Avant d’enon-cer ces theoremes, introduisons pour tout x ∈ Z, la (tres utile) variable

ρx =1− ωxωx

. (0.1)

Nous supposerons que E(ln ρ0) est bien defini (eventuellement infini). Le theoremesuivant traite de la question transience/recurrence.

Theoreme (Solomon-1975).

(1) Si E(ln ρ0) > 0 (resp. < 0) alors la marche est transiente et

limn→+∞

Xn = −∞ (resp. +∞) P0 − p.s.

2. MODELE I.I.D. EN TEMPS DISCRET 13

(2) Si E(ln ρ0) = 0 la marche est recurrente et

lim supn→+∞

Xn = − lim infn→+∞

Xn = +∞ P0 − p.s.

Le theoreme suivant est consacre a la loi des grands nombres.

Theoreme (Solomon-1975). On a P0-p.s.,

limn→∞

Xn

n= v,

avec v =

1−E(ρ0)1+E(ρ0)

si E(ρ0) < 1

E(1/ρ0)−11+E(1/ρ0)

si E(1/ρ0) < 1

0 si 1E(ρ0)

6 1 6 E(1/ρ0)

On deduit de ces deux theoremes, comme nous l’avons deja fait remarquer, qu’ilest possible qu’une MAMA soit transiente mais avec une vitesse nulle. Ce regime aete etudie par Kesten, Kozlov et Spitzer [40] qui etablissent en 1975 la convergenceen loi de la marche correctement renormalisee, sous la loi annealed, vers une loi nondegeneree. L’etude du regime recurrent est due a Sinaı [63] en 1982.

Theoreme (Sinaı-1982). Sous l’hypothese d’uniforme ellipticite, il existe unevariable aleatoire non degeneree et non gaussienne b∞ tel que Sn

(lnn)2converge en loi

vers b∞ sous P0.

La lenteur du deplacement macroscopique est tout a fait remarquable (Sn estde l’ordre de (lnn)2 au lieu de

√n pour la marche simple). La literature compte de

nombreux autres resultats sur les MAMA unidimensionnelles, citons notamment lestravaux sur les grandes deviations [34] ou [20]. Cette these etant consacree au casmultidimensionnel, nous ne mentionnerons pas tous les resultats disponibles pourle cas d = 1 et renvoyons le lecteur qui souhaiterait en savoir plus au cours deSaint-Flour de Zeitouni, [76].

2.2. Le cas multidimensionnel. Nous allons maintenant nous interesser aucas des dimensions d > 2. Le premier chapitre de cette these est essentiellement bib-liographique et a pour ambition de presenter les avancees realisees dans le domainejusqu’a l’introduction par Sznitman et Zerner en 1999 de la structure de renouvelle-ment dans [70], ainsi que ses principales utilisations. Nous n’allons evidemment pasrepeter ici tous ces resultats mais nous en donnons un bref resume afin de conserverune coherence dans cette introduction.Nous avons deja evoque les difficultes du cas multidimensionnel, elles sont ici cru-ellement illustrees par le fait que l’on ne possede toujours pas l’equivalent des deuxtheoremes de Solomon. Les premiers travaux sur ce modele sont dus a Kalikow [39]lors de sa these sous la direction de Kesten en 1981. Kalikow ne s’interesse plus a laquestion de la transience mais a la transience directionnelle. Pour ` ∈ Rd, on definitl’evenement,

A` = limn→+∞

Xn · ` = +∞.

14 0. INTRODUCTION

Kalikow [39] prouve, en 1981, la loi du 0 − 1 pour l’evenement A` ∪ A−`. Il poseegalement la question (( L’evenement A` verifie-t-il P0(A`) = 0 ou 1 ? )) qui feterabientot ses 30 ans sans avoir trouve sa reponse...excepte pour la dimension 2, [80]. Ledomaine connaıt ensuite peu d’avancees pendant de longues annees car il manqueencore les outils necessaires a son etude. Le modele suscite neanmoins toujoursl’interet. Bricmont et Kupiainen [17] s’interessent notamment a la marche simplefaiblement perturbee en dimension d > 2. Ils montrent qu’une telle marche estdiffusive mais la preuve de [17] semble etre incomplete. Signalons les travaux recentsde Sznitman et Zeitouni [69] ou Bolthausen et Zeitouni [13] qui donnent une preuvecomplete du meme resultat pour le modele analogue sur Rd (d > 2). Cet exempleest instructif car il montre qu’il faut s’attendre a d’importantes differences entrele cas unidimensionnel et le cas d > 2, tant au niveau des techniques a utiliser,que du comportement de la marche. L’etude des MAMA rebondit en 1999 avecl’introduction par Sznitman et Zerner [70] de la structure de renouvellement. Cetoutil, associe a deux resultats de Zerner, [78] et le Lemme 3.2.5 p. 265 de [76],permet d’obtenir un theoreme proche d’une loi des grands nombres,

Theoreme (Sznitman-Zerner-1999). On a P0 − p.s.,

limn→∞

Xn

n= v,

avec v une variable aleatoire dont le support comporte au plus deux elements.

Ce theoreme se transforme en (( vraie )) loi des grands nombres dans le cas de ladimension d = 2 grace a la loi du 0 − 1 de Merkl et Zerner, [80]. Dans une seried’articles, [65],[66] et [67], Sznitman etudie la classe des marches balistiques (c’est-a-dire satisfaisant une loi des grands nombres avec vitesse non nulle). Il introduitdes conditions suffisantes toujours plus fines ((T ), (T ′)) sans toutefois parvenir a unecaracterisation de cette classe. Nous allons maintenant evoquer quelques resultatsplus recents.

Theoreme central limite. Ces dernieres annees, une activite importante s’estetablie autour de la question du theoreme central limite quenched. La question dutheoreme central limite peut sembler surprenante car on vient de voir que la loi desgrands nombres etait encore une question ouverte, on se place en fait toujours dansle cas d’une marche ayant un comportement balistique et on essaie d’affiner cettepropriete en obtenant un theoreme central limite. Sur cette question, on renvoie lelecteur a [56], [54], [55] ou encore [11].

Grandes deviations. Le premier resultat pour les grandes deviations de la vitessesous la mesure quenched est du a Zerner [77] qui etudie le cas d’une environnementnestling. Le cas annealed a ensuite ete traite par Varadhan [73]. Citons egalementla these de Rosenbluth [59] ou l’auteur donne une expression de la fonction de taux,et le travail recent de Yilmaz dans un cadre tres general [75].

Pour terminer ce paragraphe consacre au milieu i.i.d., signalons l’existence d’unmodele similaire en milieu continu. On renvoie le lecteur interesse par ce cadre a[33].

3. UN MODELE I.I.D. EN TEMPS CONTINU 15

2.3. Direction asymptotique. Dans le Chapitre 2, nous nous interessons a lanotion de direction asymptotique. La sphere euclidienne dans Rd sera notee Sd−1.On dit d’une MAMA qu’elle admet ν ∈ Sd−1 pour direction asymptotique si

limn→∞

Xn

|Xn| = ν, P0 − p.s.

Cette notion est sans interet dans le cas d’une marche a comportement balistiquemais peut apporter une information interessante dans le cas d’une marche a vitessenulle. Notre principal resultat est une caracterisation de la classe des MAMA ad-mettant une direction asymptotique.

Theoreme. Les trois propositions suivantes sont equivalentes :i) Il existe un ouvert non vide O de Rd tel que

∀` ∈ O, P0 (A`) = 1.

ii) Il existe ν ∈ Sd−1 tel que

P0 − a.s., Xn

|Xn| −−−→n→∞ν.

iii) Il existe ν ∈ Sd−1 tel que pour tout ` ∈ Rd,` · ν > 0 =⇒ P0 (A`) = 1.

L’outil principal pour obtenir ce resultat est la construction d’une structurede renouvellement avec cones, similaire a celle construite dans [22]. Cet outil per-met egalement de prouver qu’une MAMA ne peut admettre plus de deux direc-tions asymptotiques, voir le Corollaire 2.1 du Chapitre 2. On trouvera egalementau Chapitre 2 une presentation de ces resultats permettant de mieux comprendrel’hypothese (i) du theoreme ci-dessus.

3. Un modele i.i.d. en temps continu

3.1. Modele. Nous allons maintenant presenter le modele etudie dans le Cha-pitre 3 et les principaux resultats de ce chapitre. De nouveau nous allons considererun environnement i.i.d. mais cette fois, nous nous interessons a une marche en tempscontinu. Une chaıne de Markov en temps continu peut etre vue comme une chaıne deMarkov en temps discret, que nous appellerons squelette, dont le temps est modifiepar un processus appele (( clock process )). L’espace des environnements est doncconstitue des vecteurs de transitions (ωx)x∈Zd comme precedemment mais aussi detemps moyen de saut (inverse des taux de saut) (λx)x∈Zd permettant de construirele changement de temps. Un environnement sera donc un element ω = (ω, λ) de

Ω := (S2d−1 × R∗+)Zd .

On munit Ω de la tribu produit et on considere une loi P, mesure produit homogene,sur Ω dont on note P1 et P2, les deux marginales. On suppose que P1 verifie l’hy-pothese d’ellipticite stricte. Nous avons essaye de repondre a deux questions sur cemodele.

16 0. INTRODUCTION

Question 1. Etant donne deux marginales P1 et P2, la vitesse de la marche(lorsqu’elle existe) est une fonction du couplage de ces deux lois. On cherche alorsa calculer les vitesses extremales, vmin et vmax, ainsi que les couplages permettantd’atteindre ces extrema.

Question 2. Etant donne une loi P1 determinant une dynamique en temps discretbalistique, est-il possible de construire une loi P2 sur les temps de saut tel que :

– P2 soit d’esperance finie.– Il existe un couplage P de P1 et P2 tel que la marche en temps continu dans

l’environnement de loi P ait une vitesse nulle ?On dira alors que la marche sous P1 peut etre arretee.

3.2. Resultats. De nouveau, il faut distinguer le cas unidimensionnel ou lesreponses sont precises du cas multidimensionnel, plus complique.

La dimension 1. On adapte les methodes du cas discret presentees dans la Sec-tion 2 pour obtenir critere de recurrence et loi des grands nombres (voir Theoreme3.1). L’etude de la vitesse nous permet ensuite de repondre aux deux questionsposees. Pour formuler le premier resultat, nous avons besoin de quelques notations :F1 designera la fonction de repartition de 1

ωsous P1 tandis que F2 designera celle de

P2. On conserve la notation ρ introduit en (0.1). La reponse a la premiere questionest donnee par le theoreme suivant,

Theoreme (d = 1). Soit P1 tel que la marche en temps discret soit transientevers la droite et P2 d’esperance finie.

– Si EP1(ρ0) > 1 alors vmin = vmax = 0– Si EP1(ρ0) < 1 alors

vmin =1− EP1(ρ0)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (u)du

vmax =1− EP1(ρ0)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (1− u)du

.

De plus le majorant est atteint par le couplage monotone et le minorant par lecouplage decroissant.

Rappelons que pour deux variables ayant pour fonctions de repartition F et G,le couplage monotone est defini par (F−1(U), G−1(U)) ou U designe une variableuniforme, tandis que le couplage decroissant est donne par (F−1(U), G−1(1 − U)).La reponse a la seconde question est donnee par le theoreme suivant,

Theoreme (d = 1). Une marche balistique en temps discret avec environnementP1 peut etre arretee si et seulement si P1 ne verifie pas l’hypothese d’uniforme ellip-ticite.

Ces resultats ne sont guere surprenants, la strategie la plus efficace pour ralentirune marche est de coupler les grands temps de saut aux sites qui sont les plus visites.Pour une marche unidimensionnelle transiente vers la droite, on associera donc lesgrands temps aux petits (( ω )).

4. PERCOLATION ET MODELE DE TRAPPES 17

Le cas multidimensionnel. Nous allons nous placer dans le cadre le plus simple,c’est-a-dire celui d’une marche en temps discret ayant un comportement balistique.On cherche a comprendre comment le passage en temps continu modifie la vitesse.Nous allons nous appuyer sur la structure de renouvellement de Sznitman et Zernerque nous allons cette fois considerer en temps continu et qui nous donnent une ex-pression de la vitesse. Les positions de renouvellement discretes et continues coınci-dent et on cherche donc a calculer l’esperance du temps de renouvellement pour laMAMA en temps continu. Le calcul amene le resultat suivant (τ1 et τ2 sont les deuxpremiers temps de renouvellement, voir le Chapitre 1 pour une definition) :

E0(τ2 − τ1) = E (Φ(ω)× λ0) .

On renvoie le lecteur au Chapitre 3 pour la definition de Φ, qui necessite l’utilisationde la structure de renouvellement. Cette fonction est difficile a comprendre et sacomplexite donne une ecriture des resultats peu explicite, elle permet cependantd’obtenir des bornes theoriques optimales pour les vitesses maximale et minimale(Theoreme 3.5).

4. Percolation et modele de trappes

Le Chapitre 5 de cette these est consacre a l’etude d’un modele de MAMAen temps continu avec un environnement construit a partir d’une percolation desites sous-critique dans Zd. On trouvera les rappels necessaires sur la percolation auChapitre 4. On trouvera egalement dans ce chapitre la description d’autres modelesde MAMA dont l’environnement est construit a partir de la realisation d’une per-colation, notamment le modele de la (( fourmi dans le labyrinthe )).

4.1. Modele. On considere une percolation ω de sites dans Zd, i.i.d. et sous-critique, on note P sa loi. On rappelle que P−p.s., tous les clusters de ω sont finiset pour tout site x ∈ Zd, on notera Cx le cardinal du cluster de x. On rappelleegalement que

limn→∞

1

nlnP(C0 > n) = −ξ,

ou ξ > 0 est souvent appele distance de correlation. Pour une realisation de l’en-vironnement ω fixe nous allons definir une marche (Yt)t > 0 soumise a un biais, dedirection ` ∈ Sd−1 et de puissance λ > 0, ainsi qu’a une attraction par les clusters deω dont la force est controlee par un parametre β > 0. Plus precisement, on definitla chaıne de Markov en temps continu (Yt)t > 0 de loi Pω dont :

– le squelette est la marche simple sur Zd de loi P , partant de 0, et definie pourtout x ∈ Zd et e ∈ Zd, |e| = 1, par :

P (Xn+1 = x+ e|Xn = x) =eλ`·e∑|e′|=1 e

λ`·e′ .

– le temps moyen de saut au site x ∈ Zd est egal a eβCx .On notera que, sous P, les temps de saut ne sont pas i.i.d. ce qui complique l’etude dela MAMA. On remarquera en revanche que la dynamique discrete n’est pas soumisea deux niveaux d’alea et qu’il s’agit donc d’une marche classique.

18 0. INTRODUCTION

4.2. Resultats. Nous donnons maintenant les principaux resultats sur ce modele.Une etude de l’environnement vu depuis la particule permet d’obtenir une loi desgrands nombres pour toutes les valeurs des parametres.

Theoreme (Loi des grands nombres). Pour tout λ > 0 et tout β > 0,

Ytt−−−−→t→+∞

v(λ, β), P − p.s.,

avec

v(λ, β) =(EeβC0

)−1

d(λ) .

ou d(λ) designe le drift du squelette.

On remarque que pour β > ξ, v(λ, β) = 0 et un regime sous-diffusif apparaıtdecrit par le theoreme suivant,

Theoreme (Regime sous-diffusif). Soit β > ξ.

(1) Pour tout d > 1 et λ > 0,

ln |Yt|ln t

−−−−→t→+∞

ξ

βP − p.s.

(2) Si λ = 0, et d > 2,

lim supt→+∞

ln |Yt|ln t

=ξ

2βP − p.s.

(3) Si d = 1 et λ = 0,

lim supt→+∞

ln |Yt|ln t

=1

2

( β2ξ

+1

2

)−1

P − p.s.

Enfin pour β < ξ et λ = 0, la marche est dans un regime diffusif caracterise parun principe d’invariance quenched.

Theoreme (Regime diffusif). On suppose λ = 0, et E(eβC0) < ∞. Alors leprocessus Zε = (Zε

t )t > 0, Zεt = ε1/2Yε−1t, verifie le principe d’invariance quenched :

pour presque tout ω, la famille de processus Zε converge en loi, quand ε tend vers0, dans la topologie de Skorohod, vers un mouvement brownien d-dimensionnel avec

matrice de covariance Σ =(d× E(eβC0)

)−1Id

On voit donc a la lumiere de ces resultats que la MAMA ne (( ressent )) pasl’environnement pour une attraction β faible (voir le theoreme sur le regime diffusif)tandis que pour β grand, la marche subit un ralentissement du au milieu. La valeurcritique separant les deux regimes est la distance de correlation ξ.

5. NOTATIONS ET ORGANISATION DU MANUSCRIT 19

5. Notations et organisation du manuscrit

Nous terminons cette introduction avec quelques remarques sur les notations quenous utiliserons ainsi que sur l’organisation du manuscrit. Ce manuscrit comportedes chapitres en langues francaise et anglaise, mais combine aussi des articles publiesdurant ce doctorat avec des parties bibliographiques ou encore la presentation detravaux originaux. Pour aider le lecteur a s’orienter dans le manuscrit, voici un brefrecapitulatif du contenu de chaque chapitre.

– Le Chapitre 1 reprend des elements bibliographiques autour du modele i.i.d.et de la structure de renouvellement. Il est redige en francais entierement.

– Le Chapitre 2 est constitue de l’article Asymptotic Direction for Random Walkin Random Environment, [62], precede d’une presentation des resultats ettechniques utilises. L’article est redige en anglais mais la presentation est enfrancais.

– Le Chapitre 3 traite d’un modele original de MAMA en temps continu dansun environnement i.i.d. Il est redige entierement en francais.

– Le Chapitre 4 est essentiellement bibliographique a l’exception du Theoreme4.8. On y trouvera une presentation de quelques modeles de MAMA dont l’envi-ronnement est construit a partir d’une percolation. Ce chapitre est entierementredige en francais.

– Le Chapitre 5 est constitue de l’article Random Walk Delayed on PercolationClusters, [21], redige en anglais. On trouvera egalement une presentation, enfrancais de cet article.

Nous avons essaye de conserver une grande independance entre les differents chapitresafin de permettre au lecteur de lire seulement la partie du manuscrit qui l’interesse(en particulier les deux articles peuvent etre lus independamment du reste du manu-scrit). Cet effort s’est fait au prix de nombreuses repetitions, notamment de modeleset d’hypotheses ; nous esperons qu’elles ne lasseront pas trop le lecteur. Bien que celane soit pas apparent dans le plan, on peut identifier deux parties dans ce travail :les Chapitres 1 a 3 constituent une premiere partie consacree aux environnementsi.i.d, tandis que les Chapitres 4 et 5 traitent d’environnements non i.i.d. construitsa partir d’une percolation.

Notations. Le domaine des MAMA presente quelques particularites de notations.Traditionnellement les symboles avec double barres (comme E ou P) sont reserves al’environnement tandis que les objets se rapportant a la loi quenched se notent avecω en indice (Eω ou Pω). Signalons aussi que si A est un evenement mesurable onnotera souvent E(X1A) = E(X,A).La notation | · | designe la norme euclidienne sur Rd et | · |∞ la norme infinie.

CHAPITRE 1

Modele i.i.d. et renouvellement

Cette partie est essentiellement bibliographique. Nous presentons quelques resul-tats importants de ces trente dernieres annees consacres aux environnements i.i.d.dans le cas multidimensionnel. Cette presentation n’est bien entendu pas exhaustiveet on trouvera surtout une description de la structure de renouvellement introduitedans [70] et de son utilisation pour obtenir la loi des grands nombres. L’objectif estd’introduire plus precisement le domaine des MAMA en milieux i.i.d. mais sutoutde faciliter la lecture du Chapitre 2.

Sommaire

1. Le modele i.i.d. 211.1. Modele 211.2. Remarques sur la loi annealed 221.3. Dimension 232. Recurrence, transience et loi du 0− 1 243. Structure de renouvellement 254. Loi des grands nombres 294.1. Loi des grands nombres balistique 294.2. Le cas general 305. Comportement balistique 315.1. Critere et chaıne de Kalikow 315.2. La condition (T ′) 336. Autres resultats 346.1. Autres modeles 346.2. Couplage 34

Ce chapitre est entierement redige en francais. On y trouvera la description deresultats disponibles dans la litterature (mais pas de travaux originaux).

1. Le modele i.i.d.

1.1. Modele. Une loi markovienne en temps discret et a valeur dans Zd estcaracterisee par son point de depart (qui est deterministe dans le modele que l’on

22 1. MODELE I.I.D. ET RENOUVELLEMENT

considere) et par la donnee en chaque site x de Zd d’un vecteur de transition ωx.Nous allons nous interesser uniquement a des marches aux plus proches voisins, unvecteur de transition sera donc simplement un element du simplexe de R2d

+ :

S2d−1 := (pi)i∈1,··· ,2d ∈ R2d+ ,

2d∑i=1

pi = 1.

L’espace des environnements sera Ω := SZd2d−1 et pour tout ω ∈ Ω, et x ∈ Zd nous

pouvons construire la chaıne de Markov (Xn)n > 0 de loi Px,ω definie par,

Px,ω(X0 = x) = 1, Px,ω − p.s.,et les transitions

Px,ω(Xn+1 = Xn + e|X0, · · · , Xn) = ωXn(e), e ∈ Zd, |e| = 1.

On souhaite maintenant tirer un environnement de facon aleatoire. On commencedonc par munir S2d−1 de sa tribu canonique et Ω de la tribu produit associee. Lafacon la plus simple pour obtenir un environnement aleatoire est de choisir une loiµ sur S2d−1 et de considerer la mesure produit sur Ω :

P := µ⊗Zd .

Sous P, les variables (ωx)x∈Zd forment donc une famille de variables i.i.d. de loi µ.Dans ce travail, nous allons nous restreindre a des chaınes irreductibles, ce qui nousamene a supposer que la loi µ satisfait l’hypothese d’ellipticite (H1.1)

Hypothese 1.1 (H1.1). µ(ω0(e) > 0) = 1, e ∈ Zd, |e| = 1.

On peut maintenant definir pour tout x ∈ Zd la loi annealed, Px par le produitsemi-direct :

Px := P× Px,ω.Notons egalement que pour ω fixe, Px,ω sera appele loi quenched.

1.2. Remarques sur la loi annealed. La principale difficulte de l’etude de(Xn)n > 0 sous la loi annealed Px est son caractere non-markovien. En effet, le passed’une trajectoire apporte une information sur la partie de l’environnement qui a etevisitee. Lorsque la marche (( repasse )) sur un site deja visite, la loi de l’environnementest modifiee par les informations obtenues lors des premieres visites. De facon plusprecise, on considere un site x ∈ Zd et on s’interesse a l’evolution de la loi de ωx enconditionnant P0 au passe de la trajectoire. Avant le premier passage de la marcheen x, la loi de ωx est

µ.

On conditionne maintenant P0 a ce que la marche soit passee au moins une fois enx et ait empruntee l’arete e ∈ Zd (|e| = 1) lors de ce passage. La loi de ωx sous cettemesure est

µ1, avec dµ1(ω) =ω(e)∫

ω(e)dµ(ω)dµ(ω).

1. LE MODELE I.I.D. 23

Plus generalement, on conditionne P0 a ce que la marche soit passee au moins n foisen x et a ce que la sequence des aretes empruntees soit e1, · · · , en. La loi de ωx souscette mesure est

µn, avec dµn(ω) =ω(e1) · · ·ω(en)∫

ω(e1) · · ·ω(en)dµ(ω)dµ(ω).

Disons de facon informelle qu’au (n + 1)-eme passage en x la marche (( verra )) unenvironnement de loi µn. On peut reconnaıtre dans cette formulation une ecritureproche de la theorie bayesienne des statistiques. La loi µ joue le role de la loi a prioriet les lois µ1, · · · , µn sont les lois a posteriori. Enriquez et Sabot [30] ont proposed’apprehender la loi annealed comme une marche renforcee ce qui donne une lectureplus probabiliste de l’idee qui vient d’etre presentee. Rappelons que les marchesrenforcees sont des processus non markoviens dont les transitions evoluent avec letemps, favorisant les aretes qui ont ete les plus visitees. Cette classe de marche a eteintroduite en 1987 par Coppersmith et Diaconis (voir [27]). Citons egalement [1] oules auteurs s’interessent a la possibilite de reconstruire la loi de l’environnement apartir de l’observation d’une trajectoire.Nous avons tres brievement presente les difficultes liees a l’etude de la loi annealed,remarquons maintenant un avantage important de cette loi. Le fait d’integrer parrapport a l’environnement rend la loi annealed spatialement homogene alors que laloi quenched presente au contraire des transitions tres heterogenes dans le cas d’unenvironnement non degenere.

1.3. Dimension. Nous avons vu au debut de l’introduction que le cas de ladimension 1 etait specifique de par la reversibilite de la marche quenched et lasimplicite geometrique de la droite. Nous avons egalement signale que ces pro-prietes ne sont plus vraies dans le cas multidimensionnel pour de nombreux modeles.C’est malheureusement le cas pour le modele i.i.d. : la loi quenched n’est pasreversible des que la loi de l’environnement n’est pas degeneree. Par ailleurs, rap-pelons qu’independamment du modele, la geometrie du reseau Zd est simple maiselle autorise des trajectoires bien plus compliquees qu’en dimension 1. Il est notam-ment possible de joindre deux sites x et y en contournant tout ou partie du segment(x, y). Le role de la dimension evoque dans l’introduction est donc determinantpour le modele i.i.d. : le comportement de la marche en dimension 1 est maintenanttres bien compris alors que des questions elementaires ne sont pas resolues pour lecas multidimensionnel. Une fois de plus, nous renvoyons le lecteur a [76] pour unpanorama tres complet du cas unidimensionnel qui ne sera pas du tout aborde danscette partie.Ayant perdu les deux specificites de la dimension 1, il a donc fallu trouver d’autresidees pour etudier les MAMA multidimensionnelles. La (( strategie )) est tres differentede celle utilisee en dimension 1, ici les techniques vont souvent s’appuyer directe-ment sur la loi annealed. Remarquons, pour commencer, que grace au caractere i.i.d.de l’environnement, le passe de la marche apporte des informations uniquement surla partie de l’environnement correspondant aux sites visites. L’une des idees essen-tielles pour s’affranchir du caractere non-markovien du processus annealed est donc


de regarder la marche sur des temps, ou des intervalles de temps, ou elle ne visiteque des sites inconnus. C’est une idee centrale dans la construction de la structurede renouvellement de Sznitman et Zerner, [70], mais egalement dans de nombreuxautres travaux.

2. Recurrence, transience et loi du 0− 1

Le premier travail decisif sur les MAMA en dimensions superieures a ete realisepar Steven Kalikow durant son travail de doctorat sous la direction de Harry Kesten,ses resultats ont ete publies dans [39]. L’un des resultats les plus importants de cetarticle est la loi du 0−1 mais son travail comporte bien d’autres aspects notammentl’introduction de la chaıne de Kalikow dont nous reparlerons dans la Section 5. Avantde presenter les resultats de Kalikow, il faut s’attarder sur l’hypothese d’ellipticiteretenue. Nous allons souvent faire reference aux articles [39] et [70] qui utilisentl’hypothese d’uniforme ellipticite plus forte que (H1.1) :

Hypothese 1.2 (H1.2). Il existe ε > 0 tel que

µ(ω0(e) > ε) = 1, e ∈ Zd, |e| = 1.

Cependant Merkl et Zerner ont montre dans [80] que cette hypothese n’etait pasnecessaire pour obtenir la loi du 0−1. Dans cette section, nous nous placerons doncsous l’Hypothese 1.1 d’ellipticite stricte.La notation suivante sera utile pour enoncer la loi du 0− 1 de Kalikow, nous l’utili-serons egalement tout au long de cette these. Pour toute direction ` dans Zd \ 0,on definit l’evenement A` par

A` := limn→∞

Xn · ` = +∞.L’evenementA` est appele transience directionnelle. On peut maintenant enoncerla loi du 0− 1 :

Theoreme 1.1 (Kalikow-1981). Sous l’hypothese (H1.1),

P0(A` ∪ A−`) = 0 ou 1.

En lisant ce resultat, on se demande immediatement s’il ne peut pas etre affine.La question (( L’evenement A` satisfait-il une loi du 0 − 1 ? )) est deja posee dans[39] et a fait l’objet de nombreux efforts mais elle reste encore aujourd’hui ouvertepour les dimensions d > 3 malgre sa simplicite. Le cas de la dimension 1 est trivialet celui de la dimension 2 a ete traite par Merkl et Zerner dans [80]. Le Theoreme 1de cet article montre en effet que pour d = 2, l’evenement A` satisfait bien la loidu 0− 1. Zerner a recemment donne une demonstration plus lisible de ce theoremedans [79].Revenons maintenant au Theoreme 1.1. La preuve de Kalikow s’appuie directementsur la loi annealed et il introduit pour la premiere fois une idee tres proche durenouvellement,

The idea is that since lim supn→+∞Xn · ` =∞, Xn · ` becomes higherthan it has ever been before infinitely often, and each time it does so

3. STRUCTURE DE RENOUVELLEMENT 25

it has a probability p of never dropping below its new height, wherep = P0(Xn · ` > 0, n ∈ N).

Cette phrase est extraite de [39] et les notations ont ete adaptees a notre presentation.Nous ne donnons pas la preuve ici de ce theoreme mais signalons qu’on la trouveraegalement dans [70]. Lorsque P0(A` ∪ A−`) = 0, on parle de regime oscillant carla marche verifie alors,

lim supn→+∞

Xn · ` = − lim infn→+∞

Xn · ` = +∞, P0 − p.s.Pour terminer ce paragraphe, abordons la question de la transience et de la

recurrence. Cette partie sera malheureusement courte puisqu’il faut constater quel’on ne dispose d’aucun critere pour determiner le regime de la marche. Remarquonscependant que sous la loi annealed, le probleme est bien pose bien que la marche nesoit pas markovienne :

Proposition 1.1 (Kalikow-1981).L’evenement (Xn)n > 0 est recurrente sous P0,ω est de probabilite 0 ou 1.

On peut bien evidemment enoncer la meme proposition pour la transience. Lademonstration consiste simplement a remarquer que l’evenement considere est unelement de la tribu de queue de l’environnement et il ne reste qu’a utiliser la loi du0− 1 de Kolmogorov.

3. Structure de renouvellement

Nous allons decrire dans ce paragraphe la structure de renouvellement introduitepar Sznitman et Zerner en 1999 dans [70]. L’idee est de construire sur A` une suite detemps aleatoire ou la marche atteint un hyperplan (( record )) dans la direction ` et nerevient jamais derriere ce record. Un tel temps est appele temps de renouvellement.On va supposer que l’evenement A` est de probabilite strictement positive,

Hypothese 1.3 (H1.3). P0(A`) > 0.

L’Hypothese 1.3, nous permet de definir la mesure Q0 en conditionnant P0 al’evenement A` :

Q0 := P0(·|A`).Nous allons egalement avoir besoin du temps d’arret Tu correspondant au premier

temps ou la marche depasse un niveau u ∈ R (c’est a dire l’hyperplan x ∈ Rd, x·` =u),

Tu = infn > 0, Xn · ` > u.ainsi que du temps

D = infn > 0, Xn · ` < X0 · `correspondant au temps de retour de la marche derriere son niveau initial. Definissonsmaintenant de facon recursive la suite de temps d’arrets (Sk)k > 0 et (Rk)k > 0 corres-pondant respectivement au temps de record et de retour dans la direction ` ainsique la suite (Mk)k > 0 des valeurs records,

S0 = 0, M0 = X0 · `,S1 = TM0 , R1 = S1 +D θS1 , M1 = supXn · `, 0 6 n 6 R1


et pour k > 1,

Sk+1 = TMk,

Rk+1 = Sk +D θSk ,Mk+1 = supXn · `, 0 6 n 6 Rk+1.

On trouvera sur la Figure 1.1, ci-dessous, un exemple de trajectoire et des tempsd’arrets qui lui sont associes. (Cette figure, comme toutes les autres du manuscrit,ne provient pas de simulations mais sont de simples dessins. Leur aspect, trop lisse,peut surprendre mais il permet d’illustrer d’une maniere plus lisible les differentsconcepts exposes.) Le premier temps de renouvellement τ1 correspond au premier

M0 M1

XS1

XS0

XR1

XS2

XR2

M2

XS3

XR3

M3

XS4

ℓ

Fig. 1.1. Exemple de trajectoire et de ses temps records

temps ou la marche atteint un record strict et ne revient jamais (strictement) derrierele niveau atteint,

τ1 = SK ,

ou K designe le numero du record ou le renouvellement se produit,

K = infk > 1, Sk < +∞, Rk = +∞.

3. STRUCTURE DE RENOUVELLEMENT 27

Le point crucial du renouvellement est que cet indice K est fini Q0−p.s. (on rappelleque Q0 est la mesure P0 conditionnee par l’evenement A`),

Proposition 1.2. Sous l’hypothese (H1.3), on a P0 − p.s.,A` = K < +∞.

Nous allons donner quelques elements de cette preuve car elle est tout a faittypique des raisonnements que l’on trouve sous la loi annealed.

Elements de la preuve de la Proposition 1.2. Nous montrerons seule-ment l’inclusion direct (soit ⊂ ; l’autre sens est facile). Le premier point de la preuveest d’etablir que

P0(D =∞) > 0,

autrement dit que la marche a une probabilite annealed non nulle de rester dansle demi-espace positif. La preuve de ce fait s’appuie essentiellement sur le caracteremarkovien de la loi quenched, nous ne la rappellerons pas. Calculons maintenantpour k > 1, la probabilite annealed de Rk < +∞, en utilisant le caracteremarkovien de la loi quenched,

P0(Rk < +∞) = E(E0,ω(Sk <∞)EXSk ,ω(D <∞)

)=∑x∈Zd

E (E0,ω(Sk <∞, XSk = x)Ex,ω(D <∞)) .

Notons que la variable E0,ω(Sk <∞, XSk = x) est mesurable par rapport a la tribuσ(ωy, y · ` < x · `) tandis que Ex,ω(D < ∞) est mesurable par rapport a la tribuσ(ωy, y · ` > x · `). Il faut maintenant rappeler que l’environnement est i.i.d. et cesdeux tribus sont donc independantes, d’ou,

P0(Rk < +∞) =∑x∈Zd

E(E0,ω(Sk <∞, XSk = x))E(Ex,ω(D <∞)).

Il reste a noter, d’une part, que pour tout x ∈ Zd, Px(D < ∞) = P0(D < ∞)(en effet l’environnement etant i.i.d., il est en particulier invariant par translation)et, d’autre part, Sk < ∞ ⊂ Rk−1 < ∞ pour tout k > 1, on obtient alors parrecurrence,

P0(Rk < +∞) 6 P0(D < +∞)k, k > 1.

On en deduit que

infk > 1, Rk =∞ <∞, P0 − p.s.,et en remarquant que

A` ∩ Rk <∞ ⊂ A` ∩ Sk+1 <∞, k > 1,

on acheve la preuve sans difficulte.


On a donc construit un temps τ1 appele premier temps de renouvellement quisepare la trajectoire en deux parties disjointes evoluant chacune dans un demi-espace. Plus precisement, on a P0 − p.s.,

Xn · ` < Xτ1 · `, n < τ1, et

Xn · ` > Xτ1 · `, n > τ1.

L’idee de la preuve de la Proposition 1.2 est deja en partie dans le travail de Ka-likow (voir la citation p. 24) et l’idee supplementaire pour obtenir une structure derenouvellement est de repeter cette procedure. On definit donc par recurrence lestemps de renouvellement successifs (τk)k > 2 par,

τk+1(X·) = τk(X·) + τ1(Xτk+·) k > 1.

Ces temps permettent de decouper la trajectoire en sections successives evoluantdans des (( bandes )) distinctes et donc en particulier ne s’intersectant pas. La Figure1.2 illustre ces temps de renouvellement sur un exemple de trajectoire. L’interet

ℓ

Xτ1

Xτ2

Xτ3

M1 M2 M1M0M0 M0

XS2

XS3

XS2

0

Fig. 1.2. Les temps de renouvellement (τk)k > 1

principal de cette structure reside dans le theoreme suivant,

Theoreme 1.2 (Sznitman-Zerner-1999). Sous Q0,(Xτ1 , τ1), (Xτ2 − Xτ1 , τ2 − τ1), · · · , (Xτk+1

− Xτk , τk+1 − τk), · · · sont des variablesindependantes. De plus (Xτ2 −Xτ1 , τ2− τ1), · · · , (Xτk+1

−Xτk , τk+1− τk), · · · sont dememe loi sous Q0 que (Xτ1 , τ1) sous P0(·|D =∞).

Le premier temps est a distinguer car 0 n’a aucune raison d’etre le temps de re-nouvellement (( τ0 )), il l’est uniquement sur l’evenement D =∞. Notons egalement

4. LOI DES GRANDS NOMBRES 29

que l’espace se trouve egalement decoupe en bandes, ou tranches, successives et dis-jointes,

b0 = x ∈ Zd, x · ` < Xτ1 · `,b1 = x ∈ Zd, Xτ1 · ` 6 x · ` < Xτ2 · `, · · · ,bk = x ∈ Zd, Xτk · ` 6 x · ` < Xτk+1

· `, · · ·et les tribus (σ(ωx, x ∈ bk))k > 0 sont independantes.

4. Loi des grands nombres

Nous allons maintenant utiliser la structure construite dans la section precedentepour se rapprocher d’une loi des grands nombres.

4.1. Loi des grands nombres balistique. Dans ce paragraphe, nous allonsnous placer dans un cas simple et supposer que

E0(τ1|D = ∞) < +∞, (1.1)

ce qui entraıne :

E0(|Xτ1||D =∞) < +∞.En utilisant le Theoreme 1.2 et la loi des grands nombres vectorielles pour desvariables i.i.d. d’esperance finie, on obtient

Xτk

τk=Xτk

k

k

τk

k→+∞−→ E0(Xτ1 |D =∞)

E0(τ1|D =∞), Q0 − p.s.

On controle ensuite, sans grande difficulte, les temps compris entre les temps derenouvellement pour obtenir une loi des grands nombres,

Theoreme 1.3 (Sznitman-Zerner-1999). On suppose que E0(τ1|D =∞) < +∞,on a alors Q0 − p.s.,

limn→+∞

Xn

n= v :=

E0(Xτ1|D =∞)

E0(τ1|D =∞).

On a de plus

v · ` > 0. (1.2)

Le theoreme suivant est en fait plus fort qu’une simple loi des grands nombrespuisque (1.2) nous assure que la vitesse est non nulle (et nous indique meme sa direc-tion). On parle alors de comportement balistique de la marche. La Section 5 estconsacree a l’etude de cette classe de marche, c’est-a-dire aux conditions permettantd’obtenir (1.1).


4.2. Le cas general. On ne suppose plus desormais que l’esperance du tempsde renouvellement est finie. Deux travaux de Zerner, [78] et un lemme que l’ontrouvera dans [76] (Lemme 3.2.5 p. 265), ont permis d’approcher une loi des grandsnombres. Le dernier obstacle reste la loi du 0 − 1 pour l’evenement A`, cette loiayant ete prouvee en dimension 2, la question de la loi des grands nombres estresolue pour cette dimension. Revenons maintenant au cas general d’une dimensiond > 3. Commencons par decomposer (Xn)n > 0 dans la base canonique (ei)i∈1,··· ,d,

Xn

n=

d∑i=1

Xn · ein

ei,

et traitons chaque direction separement.– Le regime oscillant. Considerons donc i0 ∈ 1, · · · , d et supposons que

P0(Aei0 ∪ A−ei0 ) = 0. (1.3)

Rappelons que l’on parle dans ce cas de regime oscillant. Ce regime a ete etudiepar Martin Zerner dans [78],

Theoreme 1.4 (Zerner-2002). Supposons (1.3), on a alors :

limn→∞

Xn · ei0n

= 0, P0 − p.s.– Le regime de renouvellement. Supposons maintenant que

P0(Aei0 ∪ A−ei0 ) > 0,

la loi du 0 − 1 de Kalikow (Theoreme 1.1) nous assure alors que P0(Aei0 ∪A−ei0 ) = 1. Supposons de plus que

P0(Aei0 ) > 0.

Nous pouvons alors construire une structure de renouvellement comme dans laSection 3 pour la direction ei0 et sur l’evenement Aei0 . Nous allons maintenantavoir besoin d’un lemme du a Zerner qui n’a pas ete publie par son auteurmais que l’on trouvera enonce et demontre dans [76] (Lemme 3.2.5 p. 265),

Lemme 1.1 (Zerner). Si P0(Aei0 ) > 0, alors,

E0(Xτ1 · ei0|D =∞) =1

P0(D =∞).

La preuve de ce lemme s’appuie sur le theoreme de renouvellement et leTheoreme 1.2. Ce resultat et la loi des grands nombres permettent d’affirmerl’existence d’une vitesse vi0 (eventuellement nulle), dans la direction ei0 et surl’evenement Aei0 ,

limn→∞

Xn · ei0n

= vi0 , P0(·|Aei0 )− p.s.La vitesse relative a la direction v−ei0 sera notee v−i0 .

5. COMPORTEMENT BALISTIQUE 31

En reunissant les deux outils apportes par Zerner, on obtient une loi des grandsnombres, meme si cette appellation est un peu abusive car la vitesse n’est pasdeterministe.

Theoreme 1.5. Sous l’hypothese (H1.1), on a P0 − p.s.,

limn→∞

Xn

n=

d∑i=1

(viei1Aei − v−iei1A−ei ).

En lisant cette formule, il apparaıt clairement que le support de la vitesse est finiet comporte au plus 2d elements. On peut en fait montrer que le support comporteau plus deux elements, colineaires et opposes (on inclut ainsi le cas ou l’un deselements est nul) et nous donnerons une preuve de ce resultat dans le Chapitre 2(voir la Remarque 2.1). Signalons enfin le resultat de N. Berger dans [8] qui affineen grande dimension le resultat precedent.

Theoreme 1.6 (Berger-2008). Pour d > 5, le support de la vitesse a au plus unelement non nul.

5. Comportement balistique

Dans cette partie, nous allons rappeler brievement les differentes conditionsintroduites pour assurer un comportement balistique de la marche. Rappelons ladefinition :

Definition 1.1. Une marche est balistique s’il existe v deterministe dans Rd\0tel que,

limn→+∞

Xn

n= v, P0 − p.s.

La classe des marches balistiques a fait l’objet de nombreuses etudes mais ellen’a jamais ete completement caracterisee. Les conditions presentees dans cette partierepresentent un travail considerable et un manuscrit entier pourrait etre consacrea cette classe de marche. On se contentera ici d’une presentation permettant decompleter l’etude de la loi des grands nombres. Nous allons tout d’abord decrire lacondition de Kalikow qui necessite l’introduction d’une chaıne de Markov auxiliaire,interessante en tant que telle, appelee chaıne de Kalikow.Dans cette partie, nous allons utiliser l’hypothese plus forte d’uniforme ellipticite(H1.2). En effet, les articles que nous allons citer utilisent cette hypothese, et ilsemble bien qu’elle soit necessaire dans certaines demonstrations.

5.1. Critere et chaıne de Kalikow. Fixons donc un domaine U ⊂ Zd connexeet contenant 0. Le but de Kalikow est de trouver une chaıne de Markov PU dont ladistribution de sortie de U est identique a celle de (Xn)n > 0 sous P0. On note TU letemps de sortie de U ,

TU = infn > 0, Xn /∈ U,XTU appartient donc a la frontiere de U que l’on notera ∂U . Pour choisir les tran-

sitions de PU , l’idee de Kalikow est de ponderer les transitions par la fonction de


Green GU definie pour tout environnement ω ∈ Ω par,

GωU(x) = E0,ω(

TU∑0

1Xn=x).

Definissons donc pour tout x ∈ U ∪ ∂U ,

PU(x, x+ e) =E[E0,ω(Gω

U(x)ωx(e))]

E[E0,ω(GωU(x))]

, x ∈ U, e ∈ Zd, |e| = 1; (1.4)

PU(x, x) = 1, x ∈ ∂U.La valeur de la transition de la chaıne de Kalikow en un site x ∈ U peut etre vuecomme une moyenne des transitions observees par la marche sous la loi annealedavant la sortie de U (on notera que la marche est absorbante sur ∂U). Nous noterons

PU la chaıne de Markov a valeurs dans U ∪∂U , partant de 0 et ayant ses transitionsdonnees par (1.4). Le grand interet de la chaıne de Kalikow reside dans la propositionsuivante :

Theoreme 1.7 (Kalikow-1981). Si PU(TU <∞) = 1 alors P0(TU <∞) = 1, de

plus XTU a meme loi sous PU et P0.

On veut maintenant formuler une condition sur la chaıne de Kalikow pour assurerun comportement balistique dans la direction ` ∈ Rd \ 0 de la MAMA. L’idee de

Kalikow est de (( pousser )) la chaıne PU dans la direction ` en imposant un drift danscette direction en chaque site. On rappelle que pour tout site x ∈ Zd, on definit ledrift de la chaıne PU par,

dU(x) =∑|e|=1

ePU(x, x+ e).

On enonce maintenant la condition de Kalikow relative a la direction ` ∈ Rd \ 0et ε > 0,

Condition 1.1. Pour tout U Zd connexe, contenant 0 et tout x ∈ U ,

dU(x) · ` > ε.

Sznitman et Zerner ont montre dans [70] que cette condition assure un com-portement balistique,

Theoreme 1.8 (Sznitman-Zerner-1999). Si la chaıne de Kalikow satisfait laCondition 1.1 (dite de Kalikow) pour ` ∈ Rd \ 0 et ε > 0, alors (Xn)n > 0 estbalistique sous P0.

La condition de Kalikow presente egalement un autre avantage ; il existe uncritere explicite pour l’obtenir, bien que ce ne soit qu’une condition suffisante. Ondira que P satisfait le critere de Kalikow pour la direction ` ∈ Rd \ 0 et ε > 0 si,

inff∈F

E[

∑|e|=1 ω0(e)` · e∑|e|=1 ω0(e)f(e)

]/E[1∑

|e|=1 ω0(e)f(e)], (1.5)

5. COMPORTEMENT BALISTIQUE 33

ou F est l’ensemble des fonctions (f(e))e∈Zd, |e|=1 non identiquement nulles et avaleur dans [0, 1]. Ce critere peut se verifier sans calculer la chaıne de Kalikow, c’estpourquoi il est qualifie d’explicite. Signalons un exemple d’application de ces out-ils : Enriquez et Sabot montrent dans [31] que les marches aleatoires dans certainsenvironnements de Dirichlet verifient la condition de Kalikow et sont donc balis-tiques. Pour achever ce paragraphe, mentionnons que dans le cas unidimensionnella condition 1.1 caracterise la classe des marches balistiques.

5.2. La condition (T ′). A.S. Sznitman a consacre une serie d’article ([65],[66]ou encore [67]) a l’etude de la classe des marches balistiques. Malheureusement,malgre les ameliorations successives sur des conditions suffisantes, il n’existe toujourspas de caracterisation de cette classe. Nous ne presentons ici que le resultat le plusfin, [66]. Nous allons de nouveau avoir besoin des temps de renouvellements, dans[66] ces temps sont definis de maniere legerement differentes que dans la Section 3,nous continuerons cependant a utiliser la meme notation pour les designer afin de nepas alourdir la redaction. Commencons par enoncer la condition (Tγ) pour γ ∈ (0, 1]et ` ∈ Rd \ 0,

Condition 1.2 (Tγ).

(1) Il existe c > 0 tel que E0[ec sup0 6 k 6 τ1|Xk|γ ] < +∞.

(2) P0(A`) = 1.

On peut maintenant enoncer la condition (T ′),

Condition 1.3 (T ′). Pour tout γ ∈ (0, 1], la condition (Tγ) est verifiee.

Une etude tres complete de ces conditions est realisee dans [66]. Nous n’allonsici insister que sur certains points. Commencons par l’element qui nous interesse leplus dans cette partie, le caractere balistique,

Theoreme 1.9 (Sznitman-2002). Si la condition (T ′) est verifiee alors (Xn)n > 0

a un comportement balistique sous P0.

A.S. Sznitman donne egalement dans [66] une definition alternative de (Tγ) utili-sant la position de sortie de la marche de certaines (( bandes )). On pourra comparercette condition a l’Hypothese (H) du Chapitre 2. Introduisons pour la direction` ∈ Sd−1 et le parametre b > 0, la bande de taille (1 + b)L > 0 definie par,

U`,b,L = x ∈ Zd,−bL < x · ` < L,ainsi que le temps de sortie TU`,b,L de cette bande,

TU`,b,L = infn > 0, Xn · ` /∈ U`,b,L.On peut maintenant donner une definition equivalente de la condition (Tγ), γ ∈ (0, 1]et ` ∈ Sd−1.

Condition 1.4 (Autre definition de (Tγ)). Il existe un voisinage O de ` tel quepour tout `′ ∈ Sd−1 ∩ O,

lim supn→+∞

L−γ ln(P0(XTU`′,b,L

· `′ < 0))< 0, pour tout b > 0.


Cette nouvelle definition de (Tγ) permet evidemment de donner egalement unenouvelle definition de (T ′) qui presente l’avantage de ne pas necessiter la structurede renouvellement. Il existe par ailleurs un critere effectif permettant de verifier lacondition (T ′) que l’on trouvera enoncee dans le Theoreme 2.4 de [66]. Enfin il fautnoter que Sznitman a montre que la condition (T ′) est plus fine que le critere deKalikow (voir (1.5)). En effet dans la partie 4 de [66], Sznitman exhibe une marchesatisfaisant (T ′) mais pas le critere de Kalikow. Par ailleurs la Remarque 2.5 de [65]montre que la condition de Kalikow implique la condition (T ′) (et meme plus, lacondition (T ) decrite dans [65]). Ces deux resultats permettent donc d’affirmer que(T ′) est une condition strictement plus fine que le critere de Kalikow.Notons enfin que la condition (T ′) implique bien plus que cette loi des grands nom-bres balistique. On trouvera notamment dans [66], un principe d’invariance annealed(Theoreme 3.3) ainsi qu’une etude des grandes deviations (Theoreme 3.4).

6. Autres resultats

Nous terminons ce chapitre consacre au renouvellement en presentant, de faconnon exhaustive, quelques resultats qui utilisent cet outil.

6.1. Autres modeles. Comets et Zeitouni ont traite dans [22] le cas d’unmilieu melangeant. Pour resoudre cette difficulte, ils ont du modifier la structure derenouvellement que nous venons de decrire. Alors que dans la structure (( classique )),la marche evoluait d’une bande a une autre, dans la nouvelle structure la marchepasse essentiellement d’un cone a un autre (voir la Figure 2.1 p. 39). Les auteursexploitent ensuite cet outil pour obtenir une loi des grands nombres. Nous allonsvoir au Chapitre 2 qu’une structure tres proche nous permettra egalement d’etudierles MAMA evoluant dans un environnement i.i.d.Les structures de renouvellement sont egalement utiles sur d’autres types de graphesou de marches. Citons par exemple les marches en milieux aleatoires sur des arbres,[37], ou encore les (( cookie random walks )), [7].

6.2. Couplage. La theorie des MAMA a longtemps laisse de cote le couplagebien que ce soit un outil puissant pour l’etude des marches aleatoires. Le modeles’y prete en effet tres mal car il est difficile de coupler deux marches evoluant dansdes environnements differents. N. Berger exploite pleinement dans [8] la structurede renouvellement pour construire des environnements assurant la transience direc-tionelle. Il couple ensuite ces environnements avec des environnements typiques etetudie les differentes lois quenched. Cette methode lui permet d’obtenir le Theoreme1.6 p. 31.

CHAPITRE 2

Direction asymptotique

Dans ce chapitre nous etudions la classe des MAMA admettant une directionasymptotique, c’est-a-dire tel que Xn/|Xn| admette une limite deterministe sous laloi annealed. Le resultat principal est une caracterisation de cette classe utilisantla transience directionnelle. L’outil principal est la construction d’une structure derenouvellement avec cones permettant de controler les fluctuations transverses de lamarche.

Sommaire

1. Presentation de l’article Asymptotic Direction for RWRE 351.1. Motivation et resultats 351.2. Structure de renouvellement avec cones 372. Introduction and results 403. Proofs 43

Le corps de ce chapitre est l’article Asymptotic Direction for Random Walk inRandom Environment publie aux Annales de l’institut Henri Poincare(B) ([62]).Cet article redige en anglais est precede d’une tres courte presentation ecrite enfrancais.

1. Presentation de l’article Asymptotic Direction for RWRE

1.1. Motivation et resultats. Le but de cette partie est de presenter l’articleAsymptotic Direction for Random Walk in Random Environment [62]. Le resultatprincipal de cet article est une caracterisation des marches admettant une direc-tion asymptotique. Commencons par motiver cette etude et introduire les notationsnecessaires.

Transience directionnelle et caractere balistique. Dans cette partie nous reprenonsle modele presente dans le Chapitre 1 et nous supposerons que l’hypothese d’ellip-ticite (H1.1) est verifiee. Nous allons nous interesser a l’hypothese tres simple detransience directionnelle,

36 2. DIRECTION ASYMPTOTIQUE

Hypothese 2.1 (Transience directionnelle). Il existe une direction ` ∈ Sd−1

telle que,P0(A`) = 1. (2.1)

Supposons que la marche (Xn)n > 0 satisfait l’Hypothese 2.1. Nous avons vu dansle Chapitre 1 que l’on peut construire une structure de renouvellement dans ladirection ` et que pour obtenir une loi des grand nombres balistique il suffit des’assurer que l’esperance du temps de renouvellement est finie. Actuellement, nousne sommes pas capable de montrer que l’Hypothese 2.1 est suffisante pour obtenirce controle. Notons cependant qu’il n’a jamais ete exhibe de marches transientesa vitesse nulle dans le cas multidimensionnel et la communaute s’attend a ce quede telles marches n’existent pas pour le modele i.i.d. L’hypothese de transience estdonc evidemment necessaire pour obtenir une marche balistique (la marche est eneffet transiente dans la direction de sa vitesse) mais on ne sait pas montrer qu’elleest suffisante. Nous n’allons pas ici repondre a cette question extremement difficile,nous allons seulement traiter du probleme de la direction.

Direction asymptotique. Lorsque une marche a un comportement balistique, lavitesse v ∈ Rd \ 0 contient deux informations,

– une direction v|v| ∈ Sd−1,

– une vitesse algebrique |v| > 0.En revanche lorsque une marche verifie une loi des grands nombres dont la vitesseest nulle, on ne possede aucune information sur une eventuelle direction de fuitede la marche sous la loi annealed. Nous introduisons donc la notion de directionasymptotique :

Definition 2.1 (Direction asymptotique). On dit que la marche (Xn)n∈N admetν ∈ Sd−1 pour direction asymptotique sous la loi annealed P0 si,

limn→+∞

Xn

|Xn| = ν, P0 − p.s.Il est tres facile de voir que l’existence d’une direction asymptotique entraıne

l’Hypothese 2.1 (voir Theoreme 2.1 de [62]). Cette condition est-elle suffisante ?Nous n’avons pas reussi a repondre a cette question, mais nous avons caracterisela classe des marches ayant une direction asymptotique en utilisant une hypotheseplus forte. Nous allons maintenant supposer la transience dans toutes les directionsd’un ouvert non vide de Rd.

Hypothese (H ). Il existe une direction ` ∈ Rd∗ et un voisinage V de ` tel quepour tout `′ ∈ V

P0(A`′) = 1.

On peut maintenant enoncer le resultat principal de [62] :

Theoreme 2.1. Les trois propositions suivantes sont equivalentes :i) La marche satisfait l’Hypothese (H).ii) Il existe ν ∈ Sd−1 tel que

Xn

|Xn| −−−→n→∞ν, P0 − p.s.

1. PRESENTATION DE L’ARTICLE ASYMPTOTIC DIRECTION FOR RWRE 37

iii) Il existe ν ∈ Sd−1 tel que pour tout ` ∈ Rd,` · ν > 0 =⇒ P0 (A`) = 1.

Il est evident que si l’Hypothese (H) est verifiee alors l’Hypothese 2.1 est egalementverifiee, la reciproque est encore une question ouverte et il n’est donc pas sur quece resultat soit le plus fin, bien qu’il s’agisse d’une caracterisation. Terminons cettesection en enoncant l’autre resultat de cet article. Pour ν ∈ Sd−1, on note

Bν = limn→∞

Xn

|Xn| = ν.En utilisant les outils construits pour la preuve du Theoreme 2.1, on montre egalementla proposition suivante,

Proposition 2.1. Si ν et ν ′ sont deux vecteurs distincts de Sd−1 satisfaisant

P0(Bν)P0(Bν′) > 0,

alors ν ′ = −ν.

La variable aleatoire limn→∞Xn/|Xn|, si elle existe P0-p.s., prend donc au plusdeux valeurs, et dans ce cas, ces deux valeurs sont opposees.

Remarque 2.1. En utilisant la proposition ci-dessus, on peut montrer que lesupport de la vitesse dans le Theoreme 1.5 comporte au plus deux elements colineaireset opposes. En effet, a chaque vitesse non nulle on peut associer une direction asymp-totique. On peut donc deduire de la Proposition 2.1 que le support de la vitessecomporte au plus trois elements v,−v, 0. Considerons maintenant e ∈ Zd tel que|e| = 1 et e · v > 0, la loi du 0− 1 de Kalikow nous assure que P0(Ae∪A−e) = 1. Onpeut aussi construire la structure de renouvellement dans la direction e (resp. −e) etle lemme de Zerner nous assure que Xn a une vitesse non nulle sur Ae (resp. A−e).Ce raisonnement permet d’exclure le cas de trois elements distincts.

1.2. Structure de renouvellement avec cones.La structure de renouvellement classique est insuffisante. Revenons dans un pre-

mier temps aux marches balistiques. Pour obtenir une loi des grands nombres balis-tique, nous avons vu qu’il fallait montrer :

E0(τ1|D =∞) <∞.Pour obtenir une direction asymptotique, on peut penser suffisant de montrer quel’esperance de la position de renouvellement est finie,

E0(|Xτ1 ||D =∞) <∞,et d’appliquer la loi des grands nombres. En effet pour tout n ∈ N∗ (en posant τ0 = 0et Xτ0 = 0),

Xτn

|Xτn|=

∑ni=1 Xτi −Xτi−1

|∑ni=1Xτi −Xτi−1

| , (2.2)

et en appliquant la loi de grands nombres vectorielles pour des variables i.i.d.,

Xτn

|Xτn|n→∞−→ E0(Xτ1|D =∞)

|E0(Xτ1|D =∞)| , P0 − p.s.


Cette strategie naıve ne fonctionne pas car elle se heurte aux deux obstacles suivants.Rappelons pour commencer le lemme de Zerner,

Lemme 2.1 (Zerner). Si P0(Aei0 ) > 0, alors,

E0(Xτ1 · ei0|D =∞) =1

P0(D =∞).

Dans un premier temps, nous allons admettre que ce resultat est egalement vrai pourune direction ` ∈ Zd. Ce lemme nous fournit donc un controle de l’esperance de laposition de renouvellement dans la direction de transience mais il reste a controlerles autres directions que l’on appellera directions transverses.Notons maintenant que la strategie proposee par la formule (2.2) n’est valide que surla sous-suite des temps de renouvellement. Le second obstacle est donc le controlede la marche entre les temps de renouvellement. Entre le n-eme et n+ 1-eme tempsde renouvellement, on sait que la marche est dans la bande

x ∈ Zd, Xτn · ` 6 x · ` < Xτn+1 · `,ce qui est suffisant pour controler la marche dans la direction ` mais pas dans lesdirections transverses. Pour resumer, la mise en place de notre strategie se heurte adeux difficultes :

– controler les coordonnees transverses de la position de renouvellement– controler les fluctuations transverses de la marche entre les temps de renou-

vellement.Structure de renouvellement avec cones. L’idee essentielle pour resoudre ces deux

difficultes est d’utiliser une autre structure de renouvellement en utilisant non plusdes bandes mais des cones. Cette structure est tres proche de celle introduite parComets et Zeitouni dans [22] (voir la Section 6 au Chapitre 1). Un temps de re-nouvellement sera maintenant un temps ou la marche atteint un record dans ladirection ` puis (( bascule )) dans un cone non degenere oriente par `. La constructionest decrite dans la Section 3 de ce chapitre, on se contentera dans cette presentationde la Figure 2.1. Il peut etre interessant de comparer cette figure a la Figure 1.2 illus-trant la structure de renouvellement (( classique )). Nous continuerons a appeler cestemps de renouvellement (τk)k > 1 dans cette presentation sans risquer de confusionavec les temps de renouvellement classiques. Dans [22], les cones etaient adaptes aucaractere melangeant du milieu ; dans le cas d’un milieu i.i.d. l’interet d’utiliser descones plutot que des bandes est geometrique. Avant de commenter les probleme liesa la construction de cet outil, nous allons expliquer comment il permet de resoudreles deux difficultes mentionnees. La premiere etape est d’adapter le lemme de Zernerau cas des cones pour obtenir :

E(Xτ1 · `|D = +∞) <∞.On utilise ensuite la geometrie du cone : si C designe un cone non degenere dont lesommet est en 0 et la direction est donnee par ` alors il existe une constante κ <∞telle que pour tout x ∈ C,

|x| 6 κ|x · `|.

1. PRESENTATION DE L’ARTICLE ASYMPTOTIC DIRECTION FOR RWRE 39

O

ℓ

Xτ1

Xτ3

Xτ5Xτ2

Xτ4

Xτ6

Fig. 2.1. Structure de renouvellement avec cones

En associant cette remarque au lemme de Zerner (( adapte )), on peut resoudre lapremiere difficulte. On controle alors les coordonnees transverses du temps de re-nouvellement et on obtient,

E(|Xτ1 ||D = +∞) <∞.Par ailleurs le second probleme est egalement resolu par la geometrie du cone. Lamarche, entre deux temps de renouvellement, est enfermee dans un cone et on peutdonc controler ses fluctuations transverses entre deux temps de renouvellement.Nous finissons cette presentation avec quelques commentaires sur la constructionde la structure. La methode est proche de la construction classique decrite dans leChapitre 1. La principale difficulte est de montrer

P0(DC =∞) > 0,

ou DC designe le temps de sortie du cone C (voir la definition de D`α dans la derniere

section de ce chapitre ou directement [62]). Ce controle remplace celui sur le tempsde sortie D du demi-espace dans la construction classique. C’est pour obtenir ceresultat que nous avons besoin de renforcer l’Hypothese 2.1 et de travailler avecl’Hypothese (H). Enfin rappelons que nous ne connaissons pas de marches verifiantl’Hypothese 2.1 mais n’admettant pas de direction asymptotique et on peut doncesperer une amelioration du Theoreme 2.1.


Asymptotic Direction for Random Walk in Random Environment ([62])

2. Introduction and results

In this paper, we give a characterization of random walks in random i.i.d envi-ronments having an asymptotic direction. We first describe the model that we willuse. Fix a dimension d > 1 (but think more particularly of the case where d > 2because this work becomes obvious when d = 1). Let S2d−1 denote the (2d − 1)

dimensional simplex, S2d−1 = x ∈ [0, 1]2d,∑2d

i=1 xi = 1. An environment ω in Zd

is an element of Ω := SZd2d−1. For any environment ω, Px,ω denotes the Markov chain

with state space Zd and transition given by

Px,ω(X0 = x) = 1 and

Px,ω(Xn+1 = z + e|Xn = z) = ωz(e) (z ∈ Zd, e ∈ Zd s.t. |e| = 1, n > 0),

where | · | denotes the Euclidean norm in Zd.For any law µ on S2d−1, we define a random environment ω in Zd, random variableon Ω with law P := µ⊗Zd . For any x in Zd and any fixed ω, the law Px,ω is calledquenched law. The annealed law Px is defined on Ω × (Zd)N by the semi-productPx := P×Px,ω. In this article, the law µ will verify the assumption of strict ellipticity

∀e ∈ Zd s.t. |e| = 1, P− a.s. µ(ω0(e) > 0) = 1,

which is weaker than the usual uniform ellipticity (see Remark 2.1). Sd−1 denotesthe unit circle for the Euclidean norm. For any ` in Rd, we define the set A` oftransient trajectories in direction `

A` = limn→+∞

Xn · ` = +∞,and for any ν in Sd−1, Bν is defined as the set of trajectories having ν for asymptoticdirection

Bν = limn→+∞

Xn

|Xn| = ν.This model is well studied in the one dimensional case where many sharp prop-

erties of the walk are known. However in higher dimensions the behavior of thewalk is much less well-understood. Particularly, the notion of asymptotic directionhas been poorly studied. In this paper, we give a description of the class of walkshaving a unique asymptotic direction under the annealed measure (Theorem 2.1).It means that the walk is transient and escapes to infinity in a direction which has adeterministic almost surely limit. We also prove that under the annealed measure,a RWRE admits at most two opposite asymptotic directions (Proposition 2.2 andCorollary 2.1 ). The proofs are based on renewal structure as in [22] or [70]. Themain difficulty to obtain an asymptotic direction for a transient walk is to controlthe fluctuations of the walk in the hyperplane transverse to transience direction.One way to control those fluctuations is to introduce the following assumption.

2. INTRODUCTION AND RESULTS 41

Assumption. ` in Rd∗ verifies assumption (H) if there exists a neighborhood Vof ` such that

∀`′ ∈ V , P0(A`′) = 1. (H)

When (H) holds, we will note V the neighborhood given by the assumption.The main purpose of this article is to prove the following theorem.

Theorem 2.1. The following three statements are equivalent

i) There exists a non empty open set O of Rd such that

∀` ∈ O, P0 (A`) = 1.

ii) ∃ν ∈ Sd−1 s.t.

P0 − a.s., Xn

|Xn| −−−→n→∞ν.

iii) ∃ν ∈ Rd∗ s.t. ∀ ` ∈ Rd` · ν > 0 =⇒ P0 (A`) = 1.

Using arguments similar to those applied in the proof of Theorem 2.1, we alsoshow

Proposition 2.2. If ν and ν ′ are two distinct vectors in Sd−1 such that

P0(Bν)P0(Bν′) > 0,

then ν ′ = −ν.

An obvious consequence of this proposition is the following corollary.

Corollary 2.1. Under P0, there are at most two asymptotic directions, in thiscase these two potential directions are opposite each other.

The class of walks admitting an asymptotic direction has been poorly studiedso far. Theorem 2.1 gives a characterization of this class but also leaves unsolvedsome important problems related to this notion. First, we would like to compare theballistic class with the class of walks admitting an asymptotic direction. As shownin Remark (2.2), if a walk admits an asymptotic direction, it also satisfies a law oflarge numbers. However, the notion of asymptotic direction is of interest only inthe non-ballistic case. Indeed, a non degenerate velocity contains more information(direction and speed) than the asymptotic direction (direction only) whereas in thenon-ballistic case the asymptotic direction gives an interesting information of thebehavior which is not contained in the law of large numbers. It is known that indimension 1, the class of walks admitting an asymptotic direction (here it simplymeans transient) but a degenerate velocity is non empty. In higher dimension wehave no example of such a walk and it might be possible that there is none.

The class of ballistic walks has been the subject of many recent articles. Inthe first one [70], the authors provide a strong sufficient drift condition to obtaina ballistic law of large numbers, Kalikow’s condition. Later, Sznitman improves onsufficient conditions in different works, [66] is the more recent. He introduces inthis paper the conditions (Tγ) (γ ∈ (0, 1]) that we will not recall, and the condition


(T ′) defined as the realization of (Tγ) for any γ ∈ (0, 1). According to Corollary5.3 in [67], this condition is strictly weaker than Kalikow’s criterion for d > 3 andSznitman gives an effective criterion to check it, that is the weakest condition knownto assure a ballistic behavior. It is also shown in (1.13) of [66] that (Tγ) impliesthat the walk has an asymptotic direction (and so using Theorem 1 implies (H)), itis then natural to ask if (H) is strictly weaker than (Tγ) or simply equivalent. Thisquestion is particularly interesting because (Tγ) is equivalent to (T ′) for γ ∈ (1

2, 1)

when d > 2, and it is conjectured that they are equivalent for any γ ∈ (0, 1) (see[66], in particular Theorem 2.4). An answer to this question could be a step towardcomparing the ballistic class and the class of walks admitting an asymptotic directionand then would help us to solve the first problem above.

A third problem is that we could not find a criterion to check assumption (H), aswe have for (Tγ). Such a criterion would be a great help to answer the two previousquestions because condition (H) is easy to understand but hard to verify.

Finally, notice that Corollary 2.1 has a version for velocities instead of asymptoticdirections. More precisely, P0-almost surely, the limit of Xn

nbelongs to a set S1, S2

such that if S1 6= 0 then S2 = λS1 for some λ 6 0 (Theorem 1.1 in [8]). Howevernone of these two results can be deduced from the other one.

The proofs of the results will be given in the second part of this paper. We finishthis section with some notation which will be useful in the proofs. Denote by θn thetime shift (n natural number is the argument) and by tx the spatial shift (x in Zdis the argument). For any fixed ` in Rd∗, we let Tu be the hitting time of the openhalf-space x ∈ Zd, x · ` > u

Tu = infn > 0, Xn · ` > u,and D` the return time of the walk behind the starting point

D` = infn > 0, Xn · ` 6 X0 · `.Notice that these two definitions are quite different from those used in [70].We complete ` into an orthogonal basis (e2, . . . , ed), such that for every i in J2, dK,|ei| = 1 . For all i ∈ J2, dK we define the following two vectors:

`′i (α) = `+ αei and `′−i (α) = `− αei. (2.3)

For all positive real α we can define the convex cone C (α) by

C (α) =d⋂i=2

x ∈ Zd, x · `′i (α) > 0 and x · `′−i (α) > 0.

We also define the exit time D`α of the cone C (α), shifted at the starting point of

the walk,

D`α = infn > 0, ∃i ∈ J2, dK, Xn · `′i(α) < X0 · `′i(α) or Xn · `′−i(α) < X0 · `′−i(α).Notice that under P0, D`

α can also be defined in the following way,

P0 − a.s., D`α = infn > 0, Xn /∈ C (α).

3. PROOFS 43

3. Proofs

Proof of Theorem 2.1. The first step of the proof is the following lemma,where it is proved that under (H) the walk has a positive probability never to exita cone C(α) for α small enough.

Lemma 2.1. Let ` be a vector in Rd satisfying (H) then, for any choice of anorthogonal basis (`, e2, . . . , ed) with |ei| = 1 for any i in J2, dK, there exist someα0 > 0 such that,

∀α 6 α0 P0

(D`α =∞) > 0. (2.4)

Proof. Fix a basis satisfying the assumption of the lemma. We will first showthat there exists a random variable α1 > 0 such that

P0(D`α1

=∞|D` =∞) = 1. (2.5)

Since V is an open set, there exist some α2 > 0 such that for every i ∈ J2, dK:

`′i (α2) ∈ V and `′−i (α2) ∈ V .For these (2d− 2) directions, we use the renewal structure described in section 1 of[70]. The choice of the parameter a in this structure has no importance and can bedone arbitrarily. Remember that, for any fixed direction `, the first renewal time τ `

of [70] is the first time the walk reaches a new record in direction `, and later neverbacktracks.

Remark 2.1. In [70], as in further references, uniform ellipticity is assumed.When we quote these articles, we have verified that this stronger assumption is notnecessary or can be relaxed as in [80].

Using (H) we obtain that for each i ∈ J2, dK,

P0

(A`′i(α2)

)= P0

(A`′−i(α2)

)= 1.

From Proposition 1.2 in [70]:

τ `′2(α2) ∨ · · · ∨ τ `′d(α2) ∨ τ `′−2(α2) ∨ · · · ∨ τ `′−d(α2) <∞ P0 − a.s.

Using a proof very close to Proposition 1.2 in [70] (see also Theorem 3 in [39]) weobtain P0

(D` =∞) > 0 and so:

τ `′2(α2) ∨ · · · ∨ τ `′d(α2) ∨ τ `′−2(α2) ∨ · · · ∨ τ `′−d(α2) <∞ P0

(·|D` =∞)− a.s. (2.6)

We now define the following variables:

N = infn0 > 1, ∀n > n0, Xn ∈ C (α2), (inf ∅ = +∞)

C = inf1 6 n 6 N

Xn · `,

M = sup1 6 n 6 N

d∑i=2

|Xn · ei|2.


From (2.6), it is clear that:

P0

(·|D` =∞)− a.s., N <∞,C > 0 and M <∞.

We now define α1 = C√M∧α2 (notice that α1 is random), using Cauchy-Schwarz

inequality for n 6 N and the definition of N and C(α) for n > N , we obtain:

P0(·|D` =∞)− a.s., ∀i ∈ J2, dK, ∀n > 0,

Xn · `′i (α1) = Xn · `+ α1 (Xn · ei) > 0,

and Xn · `′−i (α1) = Xn · `− α1 (Xn · ei) > 0.

which ends the proof of (2.5).It is clear that

α < α′ implies C (α′) ⊂ C (α) ,

and so

limα→0

P0

(D`α =∞) = P0

(⋃α>0

D`α =∞

).

From (2.5), we have ⋃α>0

D`α =∞ P0−a.s.= D` =∞.

Since P0

(D` =∞) > 0, this concludes the proof of Lemma 2.1.

We will now construct a renewal structure in the same spirit as in [70] or [22].The idea is to define a time where the walk reaches a new record in the direction `and never goes out of a cone (also oriented in direction `) after. In [70], the walkmoves from one slab to the next one, here, as in [22] or [23], the walk will movefrom one cone to the next one.From Lemma 2.1, we know that we can choose α small enough so that

P0

(D`α =∞) > 0.

We define now the two stopping time sequences (Sk)k > 0and (Rk)k > 0, and the se-quence of successive maxima (Mk)k > 0

S0 = infn > 0, Xn·` > X0·`, R0 = D`αθS0+S0, M0 = sup`·Xn, 0 6 n 6 R0.

And for all k > 0:

Sk+1 = TMk, Rk+1 = D`

α θSk+1+ Sk+1, Mk+1 = sup` ·Xn, 0 6 n 6 Rk+1,

K = infk > 0, Sk <∞, Rk =∞.On the set K <∞, we also define:

τ1 = SK .

The random time τ1 is called the first cone renewal time, and will not be confusedwith τ ` introduced above. Under assumption (H),

S0 6 R0 < S1 6 R1 < · · · < Sn 6 Rn < · · · 6∞. (2.7)

3. PROOFS 45

Proposition 2.3. Under assumption (H),

P0 − a.s. K <∞.Proof. For all k > 1,

P0(Rk <∞) = E[E0,ω[Sk <∞, D`α θSk <∞]]

=∑x∈Zd

E[E0,ω[Sk <∞, XSk = x,D`α θSk <∞]].

Using Markov property we obtain,

P0(Rk <∞) =∑x∈Zd

E[E0,ω[Sk <∞, XSk = x]Ex,ω[D`

α <∞]].

For every x in Zd, the variables E0,ω[Sk < ∞, XSk = x] and Ex,ω[D`α < ∞] are

respectively σωy(·), ` · y < ` · x and σωy(·), y ∈ tx C (α) measurable. As thistwo σ-fields are independent,

P0(Rk <∞) =∑x∈Zd

E0[Sk <∞, XSk = x]Ex[D`α <∞]

= P0(Sk <∞)P0(D`α <∞)

= P0(Rk−1 <∞)P0(D`α <∞).

By induction, we obtain,

P0(Rk <∞) = P0(D`α <∞)k+1.

In view of (2.7), this concludes the proof.

We now define a sequence of renewal time (τk)k > 1 by the following recursiverelation:

τk+1 = τ1 (X.) + τk (Xτ1+. −Xτ1) . (2.8)

Using Proposition (2.3), we have:

∀k > 0, τk <∞.Proposition 2.4. Under assumption (H),

((Xτ1∧·) , τ1) ,((X(τ1+·)∧τ2 −Xτ1

), τ2 − τ1

), . . . ,

((X(τk+·)∧τk+1

−Xτk

), τk+1 − τk

)are

independent variables under P0 and for k > 1,((X(τk+·)∧τk+1

−Xτk

), τk+1 − τk

)are

distributed like ((Xτ1∧·) , τ1) under P0

(·|D`α =∞).

The proof is similar to that of Corollary 1.5 in [70] and will not be repeatedhere.

For the classical renewal structure, Zerner proved that E0[Xτ1 · `] is finite and com-puted its value. We provide here the same result but for a renewal structure withcones.Fix a direction ` with integer coordinates (a1, . . . , ad) such that their greatest com-mon divisor, gcd (a1, . . . , ad) = 1. Assume that (H) is satisfied for `. Complete `


in an orthogonal basis (`, e2, . . . , ed) such that for every i in J2, dK, |ei| = 1 . ByLemma 2.1, we can choose α small enough so that P0(D`

α =∞) > 0 and constructthe associated renewal structure that is described above. We will also choose α smallenough such that for all e ∈ Zd with |e| = 1 and ` · e > 0, e belongs to C(α).

Lemma 2.2. Under assumption (H),

E0[Xτ1 · `|D`α =∞] <∞.

Proof. This proof follows an unpublished argument of M. Zerner but can befound in Lemma 3.2.5 p. 265 of [76]. Since gcd (a1, . . . , ad) = 1, we have x · `, x ∈Zd = Z. We will note

a∗ = max|ai|, i = 1, · · · , dand for all i > 0,

bi = x ∈ Zd, i 6 x · ` < i+ a∗ − 1.We now start the proof, for all i > 0,

P0(∃k > 1, Xτk · ` ∈Ji, i+ a∗ − 1K)> P0 (∃k > 1, Xτk · ` ∈ Ji, i+ a∗ − 1K, Xτk = XTi−1)>∑x∈bi

E[E0,ω

[XTi−1= x,D`

α θTi−1=∞]]

>∑x∈bi

E[E0,ω

[XTi−1

= x]Ex,ω

[D`α =∞]] (2.9)

> P0

(D`α =∞)P0(XTi−1

∈ bi) (2.10)

> P0

(D`α =∞) . (2.11)

We used the strong Markov property in (2.9). In (2.10), notice that E0,ω

(XTi−1

= x)

is σωy(·), ` · y < ` · x measurable and Ex,ω(D`α =∞) is σωy(·), y ∈ tx C (α)

measurable and that those two σ-fields are independent. In (2.11), we use thatP0− a.s., XTi−1

belongs to bi. We will now compute the same value in another way.For all i > 0,

P0 (∃k > 1, Xτk · ` ∈ Ji, i+ a∗ − 1K) 6i+a∗−1∑j=i

P0 (∃k > 1, Xτk · ` = j) (2.12)

We also have

limi→∞

P0(∃k > 1, Xτk · ` = i) = limi→∞

P0 (∃k > 2, Xτk · ` = i)= lim

i→∞

∑n > 1

P0 (∃k > 2, (Xτk −Xτ1) · ` = i− n,Xτ1 · ` = n)

= limi→∞

∑n > 1

P0 (∃k > 2, (Xτk −Xτ1) · ` = i− n)P0 (Xτ1 · ` = n) .

The first equality is true because P0 (Xτ1 · ` > i)→ 0 (i→∞). Notice now that forall i ∈ 1, · · · , d, |ai| is in the support of (Xτ2 −Xτ1) under P0, and this variable is

3. PROOFS 47

then aperiodic. We can now use the renewal theorem (Corollary 10.2 p. 76 in [72])we obtain

limi→∞

P0 (∃k > 2, (Xτk −Xτ1) · ` = i− n) =1

E0[(Xτ2 −Xτ1) · `].

The dominated convergence theorem leads to

limi→∞

P0 (∃k > 1, Xτk · ` = i) =1

E0[(Xτ2 −Xτ1) · `].

Using (2.12), we deduce,

P0 (∃k > 1, Xτk · ` ∈ Ji, i+ a∗ − 1K) 6 a∗ − 1

E0[(Xτ2 −Xτ1) · `].

Comparing this result with (2.10), we easily obtain Lemma 2.2.

We have now all the tools to prove Theorem 2.1. We will first use the two lem-mas to prove that i) implies ii).We choose ` with rational coordinates in the open set O. It is clear that ` satisfiesassumption (H). Actually, we can also assume, without loss of generality, that ` hasinteger coordinates and that their greatest common divisor is 1. Indeed, there is λrational such that λ` has integer coordinates with greatest common divisor equal to1, and of course, λ` also satisfies (H).

We complete ` into an orthogonal basis (e2, . . . , ed), such that for every i inJ2, dK, |ei| = 1. Using Lemma 2.1, we choose α small enough so that P0

(D`α =∞)>0.

We can now use the renewal structure with cones and we have from Lemma 2.2 that:

E0

[Xτ1 · `|D`

α =∞] <∞.From the definition of the cone renewal structure, there is some constant c(α) > 0such that, P0(·|D`

α =∞)− a.s., for any time n,

|Xn| 6 c(α)Xn · `, (2.13)

and so using Lemma 2.2,

E0

[|Xτ1||D`α =∞] <∞. (2.14)

We can now apply the law of large numbers, and obtain

Xτk

k−−−→n→∞

E0

[Xτ1|D`

α =∞] P0 − a.s. (2.15)

As |E0

[Xτ1|D`

α =∞] | > 0,

Xτk

|Xτk |−−−→n→∞

E0

[Xτ1|D`

α =∞]|E0 [Xτ1|D`

α =∞] |(def)= ν P0 − a.s. (2.16)

To complete the proof, we have to control the behavior of the walk between therenewal times. For each natural n, we introduce the index k (n) such that,

τk(n) 6 n < τk(n)+1.


Recall that if (Zn) is an i.i.d. sequence of variables with finite expectation, Borel-Cantelli Lemma assures that Zn

nconverges almost surely to 0. From (2.13), Lemma 2.2

and Proposition 2.4, the sequence (supn|Xτk+n∧τk+1

−Xτk |)k > 1 is i.i.d with finite ex-

pectation and we can apply the previous remark to obtain:

supn|Xτk+n∧τk+1

−Xτk |k

−−−→k→∞

0 P0 − a.s. (2.17)

Using equation (2.16) and (2.17), we study the convergence in ii),

Xn

|Xn| =Xn −Xτk(n)

|Xn| +Xτk(n)

k (n)

k (n)

|Xn| . (2.18)

By Proposition 2.3 and (2.8),

k (n) −−−→n→∞

∞ P0 − a.s.As |Xn| > k (n), (2.17) leads to:

Xn −Xτk(n)

|Xn| −−−→n→∞

0 P0 − a.s. (2.19)

To control the second term in (2.18), we simply write

|Xτk(n)|

k (n)− |Xn −Xτk(n)

|k (n)

6|Xn|k (n)

6|Xτk(n)

|k (n)

+|Xn −Xτk(n)

|k (n)

.

Using (2.15) and (2.17), we obtain,

|Xn|k (n)

−−−→n→∞

|E0

[Xτ1 · `|D`

α =∞] | P0 − a.s.

We finally obtain the desired convergence :

Xn

|Xn| −−−→n→∞ν =

E0

[Xτ1 |D`

α =∞]|E0 [Xτ1|D`

α =∞] | P0 − a.s.

The end of the proof of Theorem 2.1 is easy: it is obvious that iii) implies i) and sowe just have to show that ii) implies iii).Let ` be a direction such that ` · ν > 0. It is known since [70] (Lemma 1.1) thatP0 (A` ∪ A−`) follows a 0 − 1 law under assumption of uniform ellipticity, but weuse here Proposition 3 in [80] where the same result is proved under the weakerassumption of strict ellipticity.If P0 (A` ∪ A−`) = 0, it is known that the walk under P0 oscillates,

lim supn→∞

Xn · ` = − lim infn→∞

Xn · ` = +∞ P0 − a.s.

This is not possible in view of ii) and so P0 (A` ∪ A−`) = 1.But because of ii), P0 (A−`) = 0, and we can conclude

P0 (A`) = 1.

3. PROOFS 49

Remark 2.2. From the proof of Theorem 2.1, we know that if a walk has an as-ymptotic direction, we can construct a renewal structure with cones and E[Xτ1|D`

α =∞] is finite. We can then easily derive a law of large numbers, namely

Xn

n−−−→n→∞

E0[Xτ1|D`α =∞]

E0[τ1|D`α =∞]

(def)= µ P0 − a.s.

However this limit can be zero (if and only if E0[τ1|D`α = ∞] = +∞ ) and, in

this case, the asymptotic direction is an interesting information about the walk’sbehaviour.

Remark 2.3. If a walk admits an asymptotic direction, we know that the walk istransient in any direction ` satisfying `·ν > 0. For any such `, we can consider a slabrenewal structure defined as the cone renewal structure except that in the definitions

of (Rk)k > 0, (Sk)k > 0 and (Mk)k > 0, D`α is replaced by D` = infn > 0, Xn ·` < X0 ·`

(this construction is very similar to that of [70]). For any k > 1, τ `k will denote thek-th slab renewal time. The variables (Xτ`k+1

−Xτ`k)k > 1 are i.i.d., and the purpose

of this remark is to show that the expectation of their norm, E0[|Xτ`1||D` = ∞] is

finite. From Corollary 3 in [41], it is enough to prove that (Xτ`k

k)k > 1 is bounded

P0−almost surely1. For any k > 1, we introduce

J(k) = supj > 1, τj 6 τ `k (sup ∅ = 0).

As P0-almost surely (τ `k)k > 1 is increasing, we have

limk→∞

J(k) =∞ P0 − a.s. (2.20)

Notice that a cone renewal time is also a slab renewal time and as a consequence

J(k) 6 k P0 − a.s. (2.21)

P0-a.s. for large k so that J(k) > 1:

Xτ`k

k=Xτ`k−XτJ(k)

k+XτJ(k)

k.

The norm of the first term is bounded byc(α)|XτJ(k)+1

·`−XτJ(k)·`|

J(k). From the same ar-

gument as in (2.17),c(α)|Xτj+1 ·`−Xτj ·`|

jconverges P0-almost surely to 0, and using

(2.20), we obtain the P0-almost surely convergence of the first term to 0. Rewritingthe second term

XτJ(k)

k=XτJ(k)

J(k)

J(k)

k,

from (2.21),(2.20) and (2.15) we obtain that the second term is almost surely boundedas k goes to infinity.

1The result in [41] is for d = 1. Considering all the coordinates separately, the claim in arbitrarydimension follows.


Proof of Proposition 2.2. Suppose that the proposition is false and call νand ν ′ two vectors of Sd−1 different and non opposite such that P0(Bν)P0(Bν′) > 0,then we will show that

∃ν0 such that P0(Bν0|Bν ∪Bν′) = 1, (2.22)

what establishes, of course, a contradiction.

First, notice that for ν ∈ Sd−1 with P0(Bν) > 0 we have,

∀` ∈ Rd such that ` · ν > 0, P0(A`|Bν) = 1. (2.23)

Indeed, from the 0 − 1 law P0(A` ∪ A−`) = 1 (just notice that the walk does notoscillate along direction ` on Bν , event of positive probability), but since Bν ⊂∃N s.t. ∀n > N, Xn · ` > 0, we have Bν ⊂ A`, P0-almost surely, which implies(2.23).

The set V = ` ∈ Rd, ` · ν > 0 ∩ ` ∈ Rd, ` · ν ′ > 0 is non empty and openand from (2.23) it has the property,

∀` ∈ V , P0(A`|Bν ∪Bν′) = 1. (H’)

From now on, we fix `0 in V . The property (H’) is similar to assumption (H) andthe proof of (2.22) will be adapted from that of Theorem 2.1. In fact, we will usethe cone renewal structure on A`0 and show

∃ν0 s.t. P0(Bν0|A`0) = 1, (2.24)

which is stronger that (2.22). Before the proof, notice that if P0(Bν ∪ Bν′) = 1,we can easily conclude using Theorem 2.1, but the proof is not that obvious ifP0(Bν ∪Bν′) < 1.

In order to construct a renewal structure with cones on the event A`0 of positiveprobability, we have to show that there exists α > 0 such that P0(D`0

α = ∞) > 0.We will use a proof very close to the one of Lemma 2.1 except that we will work onthe event Bν ∪Bν′ and show the stronger result P0(D`0

α =∞, Bν ∪Bν′) > 0. Ourfirst step will be to prove that

P0(D`0 =∞, Bν ∪Bν′) > 0. (2.25)

We argue by contradiction and assume the left hand side of (2.25) is zero. Bytranslation-invariance, it holds Px(D

`0 = ∞, Bν ∪ Bν′) = 0 for any x in Zd, whichmeans

∀x ∈ Zd, P− a.s., Px,ω(D`0 =∞, Bν ∪Bν′) = 0,

and also

P− a.s., ∀x ∈ Zd, Px,ω(D`0 =∞, Bν ∪Bν′) = 0.

We denote by (D`0)n the n-th backtrack time of the walk, defined by the followingrecursive relation

(D`0)1 = D`0 ,

(D`0)n = D`0 θ(D`0 )n−11(D`0 )n−1<∞ +∞1D`0 )n−1=∞, ∀n > 2.

3. PROOFS 51

Notice that for any n > 1,

(D`0)n <∞, (D`0)n+1 =∞, Bν ∪Bν′ =⋃x∈Zd

⋃m > 1

(D`0)n<∞, (D`0)n= m,Xm = x⋂D`0 θm =∞, lim

k→∞

Xk − x|Xk − x| ∈ ν, ν

′.

We can then use the Markov property to show that P− a.s., for any n > 1,

P0,ω((D`0)n <∞,(D`0)n+1 =∞, Bν ∪Bν′) =∑x∈Zd

P0,ω((D`0)n <∞, X(D`0 )n = x)Px,ω(D`0 =∞, Bν ∪Bν′).

We finally obtain P0((D`0)n <∞,∀n > 1|Bν ∪ Bν′) = 1. This establishes a contra-diction with (H’) and concludes the proof of (2.25). It is possible to choose α > 0such that for every i ∈ J2, dK:

`′i (α) ∈ V and `′−i (α) ∈ V ,in the notations of (2.3) with ` = `0. From (2.23) and Proposition 1.2 in [70], it isclear that almost surely on Bν ∪Bν′ ∩ D`0 =∞,

τ `′2(α) ∨ · · · ∨ τ `′d(α) ∨ τ `′−2(α) ∨ · · · ∨ τ `′−d(α) <∞.

We can then follow the end of the proof of Lemma 2.1 and we obtain:⋃α>0

D`0α =∞, Bν ∪Bν′ P0−a.s.= D`0 =∞, Bν ∪Bν′,

and hence we can fix α > 0 such that,

P0(D`0α =∞, Bν ∪Bν′) > 0.

We will now show that on A`0 (this is much easier than on Bν∪Bν′), the walk admitsalmost surely a unique asymptotic direction. We use the same renewal structure withcones as in the proof of Theorem 2.1. Following the proof of Proposition 1.2 in [70],we obtain

Proposition 2.5. Under assumption (H’),

P0 − a.s., A`0 = K <∞ = τ1 <∞.We also adopt the notation Q0 to denote the probability measure P0(·|A`0). The

proof of Corollary 1.5 in [70] leads to,

Proposition 2.6. Under assumption (H’),((Xτ1∧·) , τ1) ,

((X(τ1+·)∧τ2 −Xτ1

), τ2 − τ1

), . . . ,

((X(τk+·)∧τk+1

−Xτk

), τk+1 − τk

)are

independent variables under Q0 and for k > 1,((X(τk+·)∧τk+1

−Xτk

), τk+1 − τk

)are

distributed like ((Xτ1∧·) , τ1) under P0

(·|D`0α =∞).

Using again Lemma 3.2.5 p. 265 in [76], we also have

Lemma 2.3. Under assumption (H’),

EQ0 [Xτ1 · `|D`α =∞] =

1

P0 (D`α =∞)

.


We have now all the tools to follow the proof of Theorem 2.1 except that Q0

replaces P0. We obtain the existence of ν0 satisfying (2.22).

CHAPITRE 3

Un modele en temps continu

Dans ce chapitre nous decrivons un modele de marches aleatoires en milieualeatoire i.i.d. en temps continu. On compare notamment la vitesse du squelettea la vitesse de la marche en temps continu. On s’interesse en particulier a la vitessemaximale ou minimale que l’on peut obtenir pour la marche continue ainsi qu’a lapossibilite d’atteindre une vitesse nulle. Les resultats obtenus sont explicites pourla dimension 1 mais s’expriment en fonction de la structure de renouvellement endimensions superieures.

Sommaire

1. Modele et questions 531.1. Modele 541.2. Problematique 562. Resultats pour d = 1 572.1. Transience et recurrence 582.2. Loi des grands nombres 582.3. Etude de la vitesse 623. Le cas multidimensionnel 64

Ce chapitre est entierement redige en francais. Il est constitue de resultats origi-naux mais qui n’ont pas fait l’objet d’une publication.

1. Modele et questions

Dans ce chapitre nous allons etudier un modele de Marches Aleatoires en MilieuxAleatoires en temps continu, nous nous limiterons au cas d’environnements i.i.d.De plus, on ne considerera que des chaınes de Markov pouvant etre decrites parun squelette et des taux de saut en chaque site. Un environnement ω devra doncnous permettre de construire une chaıne en temps discret ainsi que la deformationaleatoire du temps que l’on va lui appliquer. Plus precisement, un environnement ωsera une famille de couples

(ωx)x∈Zd := (ωx, λx)x∈Zd ,

54 3. UN MODELE EN TEMPS CONTINU

ou ωx designe la transition en x du squelette et λx ∈ R+ le temps moyen de saut(c’est-a-dire l’inverse du taux de saut) au site x. Dans ce chapitre, on ne trouverapas de nouveaux elements d’etude du squelette puisque ce travail est similaire al’etude des MAMA en temps discret. En revanche, on s’attachera a comprendre lapartie interessante de ce modele, c’est-a-dire la deformation du temps. On etudieraessentiellement l’influence de cette deformation sur la vitesse du squelette (dans lecas ou cette vitesse existe) et la possibilite de ralentir une marche balistique jusqu’aune vitesse nulle. Ces questions se rameneront a des problemes de couplage. Onse demandera en effet comment associer de facon optimale les temps de saut (onne precisera plus moyens) et les vecteurs de transitions pour obtenir une vitessemaximum ou minimum, et meme nulle. Ce chapitre se divise en trois sections. Danscette premiere partie, nous donnons une description precise du modele et un enoncecorrect des questions que l’on essaiera de resoudre, la seconde partie est consacreea l’etude de la dimension 1 et la troisieme au cas des dimensions d > 2.

1.1. Modele. On note Ω := (S2d−1 × R∗+)Zd l’espace des environnements. Onmunit Ω de la tribu produit borelienne et on considere une loi P sur cet espace. Lesmarginales de P seront notees P1 et P2. Dans tout ce chapitre, on ne s’interesseraqu’aux environnements i.i.d. c’est-a-dire satisfaisants l’hypothese (H3.1),

Hypothese 3.1 (H3.1). Les marginales de P sont des mesures produits ho-mogenes.

On supposera egalement que la premiere composante de l’environnement satisfaitl’hypothese d’ellipticite (H3.2) que l’on a deja rencontree,

Hypothese 3.2 (H3.2). P1(ω0(e) = 0) = 0, ∀e ∈ Zd, |e| = 1,

ce qui nous permettra d’utiliser les resultats connus en temps discret. On utiliseraegalement parfois l’hypothese (H3.3) d’uniforme d’ellipticite :

Hypothese 3.3 (H3.3). Il existe ε > 0 tel que P(ω0(e) < ε) = 0 pour toute ∈ Zd satisfaisant |e| = 1.

Soit ω = (ω, λ) ∈ Ω un environnement. On definit pour tout x ∈ Zd, la chaıne

de Markov en temps discret (Xn)n > 0 de loi Px,ω par :

X0 = x, Px,ω − p.s.,et par les transitions

Px,ω(Xn+1 = Xn + e|X0, · · · , Xn) = ωXn(e), e ∈ Zd, |e| = 1, n > 0.

Le processus (Xn)n > 0 sera appele squelette. On se donne par ailleurs une famille(εi)i∈N de variables exponentielles i.i.d. de moyenne 1, on note Q la loi de cettefamille. Le processus horloge (clock process en anglais) (Sn)n > 0 est defini pour toutn > 0 par :

Sn =n−1∑i=0

λXiεi,

1. MODELE ET QUESTIONS 55

ainsi que son inverse generalise (S−1(t))t > 0, avec S−1(t) unique entier n tel que

Sn 6 t < Sn+1.

On definit maintenant le processus en temps continu

Yt = XS−1(t), t > 0,

la theorie classique des chaınes de Markov nous assure que ce processus est markovien

sous Px,ω⊗Q, et on notera Px,ω sa loi. On a egalement les proprietes suivantes pourle processus (Yt)t > 0,

– Pour x ∈ Zd et e ∈ Zd un vecteur unitaire, le taux de saut cx,x+e de x a x+ eest ωx(e)

1λx

.– Le generateur Lω est defini pour toute fonction f borelienne bornee par

Lωf(y) =∑|e|=1

1

λxωy(e)(f(y + e)− f(y)), y ∈ Zd, e ∈ Zd, |e| = 1.

Notons que l’on peut egalement reconstruire (Xn)n > 0 (et (εi)i > 0) comme fonctionde (Yt)t > 0 ce qui nous autorisera a parler de proprietes P0,ω − p.s. pour (Xn)n > 0

egalement.Definissons maintenant pour tout x ∈ Zd la loi annealed Px en integrant sur lesenvironnements selon P,

Px := P× Px,ω.Nous aurons aussi besoin dans certaines demonstrations de la loi annealed en temps

discret Px := P1 × Px,ω. De maniere generale, nous essaierons de reserver le ˜ auxnotations relatives au processus en temps discret. Pour terminer cette partie, nousallons montrer une propriete elementaire (mais tres importante) du clock process.

Proposition 3.1. Sous (H3.1) et (H3.2), limn→+∞ Sn = +∞, P0 − p.s.Preuve de la proposition 3.1. Avant de donner une courte preuve de ce

resultat, nous introduisons les notations suivantes. On definit le temps de sortie Tide la boite de taille i,

Ti := infn > 0, |Xn|∞ = i,ainsi que le maximum mn de la trajectoire au temps n,

mn := max|Xi|∞, i 6 n.

Il est clair, par la condition d’ellipticite (H3.2) que, P0-p.s., Tn < ∞ pour toutn ∈ N et limn→∞mn = +∞. Pour montrer la proposition 3.1, nous allons utiliser laremarque suivante :

Remarque 3.1. Sous P0, les variables (λX eTi )i∈N sont i.i.d. de meme loi que λ0

sous P.


En effet, fixons un entier n > 0 et considerons une famille d’evenementsA0, · · · , An.On a,

P0(λX eT0∈ A0, · · · , λX eTn ∈ An)

=∑|x|∞=n

E(P0,ω(λX eT0∈ A0, · · · , λX eTn−1

∈ An−1, λx ∈ An, XeTn = x))

=∑|x|∞=n

E(λx ∈ An, P0,ω(λX eT0∈ A0, · · · , λX eTn−1

∈ An−1, XeTn = x))

=∑|x|∞=n

P(λx ∈ An)E(P0,ω(λX eT0∈ A0, · · · , λX eTn−1

∈ An−1, XeTn = x))

= P(λ0 ∈ An)P0(λX eT0∈ A0, · · · , λX eTn−1

∈ An−1).

Dans le passage de la deuxieme a la troisieme ligne, on utilise uniquement le caracterei.i.d. de l’environnement et on termine la preuve de la Remarque 3.1 en iterant surles evenements restants. On peut maintenant finir la preuve de la Proposition 3.1.On a P0 − p.s.,

Sn >mn∑i=0

λX eTi ,et sous l’hypothese d’ellipticite (H3.2), limn→+∞mn = +∞ P0− p.s., ce qui permetde conclure en utilisant la loi des grands nombres.

Dans la section suivante, nous allons enoncer quelques questions que l’on peutposer sur ce modele.

1.2. Problematique. Remarquons tout de suite que la Proposition 3.1 permetde ramener les problemes de recurrence et de transience (incluant egalement latransience directionnelle) a l’etude du squelette ; le fait de considerer les marches entemps continu n’apporte donc rien de nouveau sur ces questions. On se contenteradonc de rappeler les resultats existants lorsqu’ils seront necessaires.La question de la vitesse est en revanche bien plus interessante. Nous allons tenterd’apporter des elements de reponse a la question suivante : (( Comment la vitessed’une marche discrete est-elle modifiee par un passage en temps continu ? )). Donnonsune description plus precise de cette question.

Question 1. On dira que la marche admet pour vitesse v ∈ Rd si

limt→+∞

Ytt

= v, P0 − p.s.

Fixons une probabilite P1 sur SZd2d−1 ainsi qu’une probabilite P2 sur (R∗+)Zd .

Definition. On note Π(P1,P2) l’ensemble des probabilites sur Ω dont la premieremarginale est P1 et la seconde est P2.

La vitesse v de la marche en temps continu, si elle existe, est une fonction ducouplage P des deux marginales. On peut donc chercher le, ou les, couplages quimaximisent ou qui minimisent cette vitesse et comparer la vitesse du processus entemps continu a celle du processus en temps discret. On cherchera donc a associer

2. RESULTATS POUR d = 1 57

de facon optimale les temps de saut et les transitions pour retarder ou accelererla marche lors du passage en temps continu. De facon plus precise, on cherche aresoudre les problemes d’optimisation suivant :

supP∈Π(P1,P2)

v et infP∈Π(P1,P2)

v.

On cherchera egalement a caracteriser les couplages, s’ils existent, qui permettentd’atteindre ces bornes.

Question 2. Pour le modele en temps discret, la classe des marches ayant uncomportement balistique a fait l’objet de nombreux travaux. On s’interesse ici aussia cette classe a travers la question suivante : est-il possible d’avoir une marche

balistique en temps discret ((Xn)n > 0 sous P0) et a vitesse nulle lors du passageen temps continu ((Yt)t > 0 sous P0) ? On parlera alors de marche arretee. D’apresla Remarque 3.1, la reponse a cette question est evidemment simple et positive sila marginale P2 a une esperance infinie. On supposera donc dans la suite que P2

satisfait l’hypothese (H3.4) :

Hypothese 3.4 (H3.4). La loi P2 est d’esperance finie.

La definition suivante nous permet d’enoncer correctement la Question 2.

Definition 3.1. On dira qu’une MAMA en temps discret, guidee par un envi-ronnement P1 assurant un comportement balistique, peut etre arretee s’il existe uneloi P2 satisfaisant (H3.4) et un couplage P ∈ Π(P1,P2) tel que la MAMA en tempscontinu avec environnement P soit de vitesse nulle.

On essaiera de caracteriser les marches pouvant etre arretees.

2. Resultats pour d = 1

Dans cette section, on s’interesse au cas de la dimension 1. Comme pour lemodele en temps discret, l’etude de la dimension 1 est specifique car, contrairementaux dimensions superieures, de nombreux calculs peuvent etre menes jusqu’a desresultats explicites. Certains des resultats presentes ici sont tres proches de ceuxdeja obtenus en temps discret. On donnera cependant les demonstrations des que desmodifications, meme mineures, sont necessaires. On essaiera egalement de conserver,autant que possible, les notations et la structure des notes de Saint-Flour de OferZeitouni ([76]). Definissons les variables suivantes :

ρi = (1− ωi)/ωi, i ∈ Z,Ti = mint > 0, Yt = i, i ∈ Z,∆i = Ti − Ti−1, i > 1

Comme dans le cas discret, on fera l’hypothese suivante sur le milieu :

Hypothese 3.5 (H3.5). E(ln(ρ0)) est bien definie dans R.


2.1. Transience et recurrence. La premiere proposition concerne le problemede la transience et de la recurrence. Comme nous l’avons deja fait remarquer, laProposition 3.1 nous permet de ramener cette question au modele en temps discret.On se contentera donc de rappeler le resultat de Solomon ([64]) et de le reecrireavec nos notations.

Proposition 3.2 (Recurence/Transience). Sous P0, le processus (Yt)t > 0 a le

meme comportement en terme de recurrence/transience que (Xn)n > 0 sous P0. Ona donc :

(i) (EP1(ln ρ0) < 0)⇔ ( limn→+∞

Xn = +∞, P0 − p.s.)⇔ ( lim

t→+∞Yt = +∞, P0 − p.s.);

(ii) (EP1(ln ρ0) > 0)⇔ ( limn→+∞

Xn = −∞, P0 − p.s.)⇔ ( lim

t→+∞Yt = −∞, P0 − p.s.);

(iii) (EP1(ln ρ0) = 0)⇔ (−∞ = lim infn→+∞

Xn < lim supn→+∞

Xn = +∞, P0 − p.s.)⇔ (−∞ = lim inf

t→+∞Yt < lim sup

t→+∞Yt = +∞, P0 − p.s.).

2.2. Loi des grands nombres. Dans cette section, nous enoncons une loi desgrands nombres et on donne une expression explicite de la vitesse. Cette question aete totalement resolue par Solomon ([64]) en temps discret, on reprend les grandesetapes de la demonstration. La premiere consiste a etablir l’ergodicite de la famille(∆i)i∈N.

Proposition 3.3 (Ergodicite de (∆i)i > 1). Si limt→+∞

Yt = +∞, P0 − p.s. alors

(∆i)i > 1 est stationnaire et fortement melangeant. En particulier (∆i)i > 1 est ergo-dique.

Preuve de la Proposition 3.3. La stationnarite est une consequence de lapropriete de Markov et de la stationnarite de l’environnement. Nous allons main-tenant montrer le caractere fortement melangeant. Soient A1, . . . , Ai et B1, . . . , Bj

des boreliens de R. On considere les evenements A et Bm (m > 0) definis par

A =i⋂

p=1

∆p ∈ Ap et Bm =

j⋂p=1

∆m+p ∈ Bp.

On doit montrer que

limm→+∞

P0(A ∩ Bm) = P0(A)P0(B0). (3.1)

Introduisons pour tout L > 0 l’evenement

BmL =

j⋂p=1

∆m+p ∈ Bp ∩ ∀t ∈ [Tm+p−1, Tm+p], |m+ p− 1− Yt| < L.


Fixons ε > 0. La stationnarite de l’environnement entraıne P0(Bm\BmL ) = P0(B0\B0L)

et l’hypothese, limt→+∞ Yt = +∞, P0 − p.s., assure limL→+∞ P0(B0 \ B0L) = 0. On

peut donc choisir L assez grand pour que pour tout m > 0,

P0(Bm \ BmL ) 6 ε. (3.2)

La variable P0,ω(A) est mesurable par rapport a la tribu σ(ωx, x 6 i − 1) tandisque pour m > L + i, la variable P0,ω(BmL ) est mesurable par rapport a la tribuσ(ωx, x > i). Le caractere i.i.d. de l’environnement justifie donc le calcul suivant :

limm→∞

P0(A ∩ BmL ) = limm→∞

P(P0,ω(A)P0,ω(BmL ))

= P(P0,ω(A))P(P0,ω(BmL ))

= P0(A)P0(B0L).

En utilisant (3.2), on obtient,

| limm→∞

P0(A ∩ Bm)− P0(A)P0(B0)| < 2ε.

et on a prouve (3.1).

En utilisant le theoreme ergodique, on va pouvoir deduire de la propositionprecedente une loi des grands nombres. Pour obtenir une expression explicite dela vitesse, on doit cependant calculer E0(∆1). On se limite au cas d’une marchetransiente vers la droite, ce qui est suffisant pour repondre aux questions formuleesdans la Section 1.2.

Proposition 3.4. On suppose la marche transiente vers la droite, on a alors,

(1) E(ρ0) < 1⇒ E(∆1) =E(

λ0ω0

)

1−E(ρ0)∈ (0,+∞],

(2) E(ρ0) > 1⇒ E(∆1) = +∞.

Demonstration de la Proposition 3.4. On decompose le temps ∆1 selonla valeur du premier saut de (Yt)t > 0 :

∆1 = S11X1=1 + 1X1=−1(S1 + (R0 − S1) + ∆′1), (3.3)

ou R0 designe le temps de retour en 0, R0 := inft > S1, Yt = 0 et ∆′1 := T1 − R0

est le temps d’atteinte de 1 apres R0. On prend maintenant l’esperance quencheddans (3.3) et, en utilisant la propriete de Markov forte aux temps S1 et R0 (qui sontfinis P0,ω − p.s.), on obtient,

E0,ω(∆1) = λ0ω0 + (1− ω0)(λ0 + E0,θ−1ω(∆1) + E0,ω(∆1)).

Si E0,ω(∆1) <∞ on peut reecrire l’equation precedente,

E0,ω(∆1) =λ0

ω0

+ ρ0E0,θ−1ω(∆1), (3.4)

et on etend cette egalite au cas E0,ω(∆1) = +∞ en remarquant que E0,ω(∆1) = +∞implique E0,θ−1ω(∆1) = +∞. Par recurrence, on obtient pour tout entier m positif,

E0,ω(∆1) =λ0

ω0

+ ρ0λ−1

ω−1

+ · · ·+ ρ0 · · · ρ−m+1λ−mω−m

+ ρ0 · · · ρ−mE0,θ−m−1ω(∆1).


Prenons maintenant l’esperance sur le milieu dans l’egalite precedente et utilisonsl’independance de l’environnement, on conclut alors dans le cas 2. Pour le cas 1, onobtient uniquement l’inegalite suivante :

E0(∆1) >E( λ0

ω0)

1− E(ρ0).

Pour obtenir l’inegalite inverse, on fixe un reel M positif et on multiplie les deuxmembres de (3.3) par 1∆1<M. On note maintenant que ∆1 < M ⊂ R0 < Met ∆1 < M ⊂ ∆′1 < M et en prenant de nouveau l’esperance quenched,

E0,ω(∆11∆1<M) 6 λ0 + (1− ω0)(λ0 + E0,θ−1ω(∆11∆1<M) + E0,ω(∆11∆1<M)).

Par recurrence on obtient une inegalite semblable a (3.4). On peut de nouveauprendre l’esperance annealed pour obtenir pour tout entier m positif,

E0(∆11∆1<M) 6E( λ0

ω0)

1− E(ρ0)+ME(ρ0)m+1

On obtient donc E0(∆11∆1<M) 6E(

λ0ω0

)

1−E(ρ0)puis par le theoreme de convergence

monotone E0(∆1) 6E(

λ0ω0

)

1−E(ρ0), ce qui acheve la preuve.

On peut maintenant enoncer la loi des grands nombres pour les MAMA en tempscontinu.

Theoreme 3.1. Si (Yt)t > 0 est transiente vers la droite (cas (i) de la Proposition3.2), alors,

limt→+∞

Ytt

=

0 si E(ρ0) > 11−E(ρ0)E(λ0/ω0)

si E(ρ0) < 1P0 − p.s.

En notant v la vitesse du squelette, on a egalement,

limt→+∞

Ytt

= v × E(1/ω0)

E(λ0/ω0), P0 − p.s.,

avec la convention 0×∞ = 0.

Preuve du Theoreme 3.1. Pour tout temps t > 0, on definit l’entier kt,maximum atteint par (Yt)t > 0 au temps t, c’est-a-dire kt := maxYt, t > 0. Ona donc pour tout t > 0 :

Tkt 6 t < Tkt+1. (3.5)

On note egalement, pour tout n > 1,

Hn = maxn− Yt, Tn 6 t < Tn+1.On a donc pour tout t > 0,

kt −Hkt

t6Ytt<kt + 1

t. (3.6)

Par ailleurs le theoreme ergodique et la Proposition (3.3) entraınent

limn→+∞

Tnn

= E0(∆1), P0 − p.s.,


et on deduit aisement de (3.5) que

limt→+∞

ktt

=1

E0(∆1), P0 − p.s.

Pour controler (Hn)n > 0, nous utilisons le lemme suivant.

Lemme 3.1. Dans le cas (i) de la Proposition 3.2, on a

limn→∞

Hn

n= 0, P0 − p.s.

Preuve du Lemme 3.1. Il est clair que pour tout n > 1,

Hn = maxn−Xi, Tn 6 i < Tn+1.La MAMA en temps discret (Xn)n > est, par hypothese, transiente vers la droite eton peut donc construire la structure de renouvellement introduite dans le Chapitre 1.On rappelle que les temps de renouvellement sont notes (τk)k > 1. Par ailleurs, leLemme 1.1 p. 30 nous assure que,

E0(Xτ2 −Xτ1) <∞.Les variables (Xτn+1 −Xτn)n > 1 sont donc i.i.d. d’esperance finie, et on en deduit

limn→∞

Xτn+1 −Xτn

n= 0, P0 − p.s. (3.7)

Definissons maintenant pour tout n > 0, la variable αn par,

αn =

0 si Xτ1 > n

k si Xτk 6 n < Xτk+1

On remarque en particulier que αn 6 n, n ∈ N et limn→∞ αn = +∞, P0 − p.s. Ladefinition des temps de renouvellement nous assure que, P0-p.s., pour tout n > Xτ1 ,

Hn 6 Xταn+1−Xταn , P0 − p.s.

et donc

Hn

n6Xταn+1

−Xταn

αn, P0 − p.s.

On conclut en utilisant (3.7) et le fait que τ1 est fini P0-p.s.

On deduit aisement de ce lemme que

limt→∞

Hkt

t= 0, P0 − p.s.,

ce qui nous permet, en utilisant (3.6), d’achever la preuve du Theoreme 3.1.


2.3. Etude de la vitesse. On va maintenant essayer de repondre aux differentesquestions posees dans la Section 1.2 dans le cas precis de la dimension 1. D’apresle Theoreme 3.1, le cas E(ρ0) > 1 est sans interet puisque la vitesse de la marcheest nulle quelque soit le couplage. Observons maintenant l’expression de la vitessedonnee par le meme theoreme dans le cas E(ρ0) < 1. On remarque qu’une partie decette expression ne depend que des marginales tandis que la partie E( λ0

ω0) depend

reellement du couplage. Le probleme de la maximisation ou de la minimisation de lavitesse est evidemment tres proche d’un probleme de transport optimal, rappelonsbrievement de quoi il s’agit sous forme d’une remarque.

Remarque (Transport optimal). Nous ne donnons ici que l’enonce du problemeoriginel de transport optimal. Il faut signaler que ce domaine a connu des develop-pements recents considerables, le lecteur interesse trouvera les bases de cette theorie,et bien plus, dans [74].Considerons deux espaces probabilises (X,F , µ) et (Y,G, ν). On rappelle que l’onnote Π(µ, ν) l’ensemble des couplage de µ et ν, c’est-a-dire l’ensemble des probabilitesπ sur X × Y tel que,

π(A× Y ) = µ(A), π(X ×B) = ν(B),

pour tout A ∈ F et B ∈ G. On considere maintenant une fonction c mesurablepositive sur X × Y que l’on appelle fonction de cout. Le probleme de transportoptimal de Kantorovitch est le calcul de :

infπ∈Π(µ,ν)

∫X,Y

c(x, y)dπ(x, y).

On cherche egalement eventuellement les couplages permettant d’atteindre cet infi-mum que l’on appelle couplages optimaux.

Revenons maintenant au probleme de la vitesse dans le modele en temps continu.Evidemment le role de µ et ν est joue par P1 et P2. Pour le probleme de minimisa-tion, on peut considerer la fonction de cout c definie pour tout (λ,ω) par,

c(λ,ω) =λ

ω. (3.8)

Pour la maximisation, on peut facilement verifier que les minimiseurs coıncidentavec les couplages optimaux du probleme avec fonction de cout c′,

c′(λ,ω) = |λ− 1

ω|2

La fonction de cout c′ est connue en theorie du transport sous le nom de fonctionde cout quadratique.

Notre probleme etant cependant relativement simple, nous n’allons pas utiliserles outils de la theorie du transport. Rappelons les problemes que l’on souhaiteresoudre, il s’agit de trouver les valeurs de :

supP∈Π(P1,P2)

E(c(ω, λ)) et infP∈Π(P1,P2)

E(c(ω, λ)),


ou c est defini par (3.8). On cherche egalement a savoir si ces extrema sont atteintset, si c’est le cas, a caracteriser les, ou des, couplages permettant de les atteindre.Le lemme suivant nous fournit des bornes satisfaisantes (c’est-a-dire atteintes). Ilest, semble-t-il, du a Hoeffding et on le trouvera enonce et demontre au debut duchapitre 3 de [52].

Lemme 3.2. Soit (Ω,A, P ) un espace probabilise et (X, Y ) un couple de variablesaleatoires positives. On appelle F (resp. G) la fonction de repartition de X (resp.Y ). On a alors :∫ 1

0

F−1(u)G−1(1− u)du 6 E(XY ) 6∫ 1

0

F−1(u)G−1(u)du

Par ailleurs, ces bornes sont atteintes puisque si U designe une variable uniformesur [0, 1], il est clair que les variables (F−1(U), G−1(U)) et (F−1(U), G−1(1−U)) ontdes lois appartenant a Π(P1,P2). Remarquons enfin que le couplage correspondanta l’inegalite de droite est connu sous le nom de couplage monotone, car il consistea (( associer les petites valeurs de la premiere marginale aux petites valeurs de laseconde et a proceder de meme pour les grandes )). Le couplage qui permet deminimiser l’esperance adopte au contraire la strategie inverse qui consiste a associerles petites valeurs de la premiere marginale aux grandes valeurs de la seconde, et onl’appellera donc couplage decroissant. Afin d’enoncer de facon simple le theoremesur les vitesses maximale et minimale, on introduit les notations suivantes : F1

designera la fonction de repartition de 1ω

sous P1 et F2 designera celle de P2. Pourtout P ∈ Π(P1,P2) on notera egalement

vP = limt→∞

Ytt, P0 − p.s.

Theoreme 3.2. Soit P1 tel que (Xn)n > 0 soit transiente vers la droite (cas (i)de la Proposition 3.2) et P2 satisfaisant (H3.4).

– Si EP1(ρ0) > 1, alors pour tout P ∈ Π(P1,P2),

vP = 0.

– Si EP1(ρ0) < 1, alors pour tout P ∈ Π(P1,P2),

vmin :=1− EP1(ρ0)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (u)du

6 vP 6 vmax :=1− EP1(ρ0)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (1− u)du

.

De plus vmin est atteint par le couplage monotone et vmax par le couplagedecroissant.

Preuve du theoreme 3.2. La preuve decoule du Theoreme 3.1 ainsi que duLemme 3.2.

On peut facilement interpreter le resultats du theoreme precedent. Pour obtenirune vitesse minimale, il s’agit de ralentir au maximum la marche sur les sites quirepresentent les plus grands obstacles, c’est-a-dire ceux ou la marche discrete vapasser le plus de temps. L’intuition serait donc d’associer les plus grands temps desaut aux sites qui se situent au fond des vallees du potentiel. Cette strategie ne


peut evidemment pas s’appliquer lorsque l’environnement est i.i.d. et il faut ici secontenter d’obstacles (( de taille 1 )) c’est-a-dire associer les grands temps de saut auxsites dont la transition vers la droite est la plus faible.

On s’interesse maintenant a l’autre question posee dans l’introduction de cechapitre. Le theoreme suivant caracterise la classe des MAMA en dimension 1 pou-vant etre arretees.

Theoreme 3.3. Une marche balistique en temps discret avec environnement P1

peut etre arretee si et seulement si P1 ne verifie pas l’hypothese d’uniforme ellipticite(H3.3).

Preuve de la proposition 3.3. On peut montrer ce resultat en s’appuyantsur le Theoreme 3.2 mais on va plutot utiliser le lemme suivant :

Lemme 3.3. Soit (Ω,A, P ) un espace probabilise et X une variable aleatoirepositive, il y a equivalence entre

(1) ∃M < +∞ tel que X 6M, p.s.

(2) Pour toute variable aleatoire Y positive, E(Y ) < +∞⇒ E(XY ) < +∞.Preuve du lemme 3.3. Le sens direct est immediat. Nous allons montrer la

contraposee de la reciproque. On se donne X ne verifiant pas la condition (1) eton definit par recurrence la suite (φ(n))n > 0 par φ(0) = 0 et pour tout n > 0,φ(n + 1) = infk > φ(n) + 1, P (X ∈ [φ(i), k]) > 0. On remarque en particulierque si X ne verifie pas (1) alors pour tout n > 0, n 6 φ(n) < +∞. On consideremaintenant

Y =∑n > 1

1

P (X ∈ [φ(i), φ(i+ 1)))

1

n21X∈[φ(i),φ(i+1)),

et on verifie que E[Y ] < +∞ et E[XY ] >∑

n > 11n2φ(n) = +∞.

La preuve du Theoreme 3.3 decoule maintenant du Theoreme 3.1 ainsi que duLemme 3.3.

3. Le cas multidimensionnel

Cette partie est consacree aux dimensions d > 2. Malheureusement, comme pourle modele en temps discret, nous allons obtenir moins de resultats que pour la dimen-sion 1. Comme pour le cas unidimensionnel, les problemes de transience, recurrenceet transience directionnelle sont sans interet au regard de la Proposition 3.1. Rap-pelons egalement que nous ne disposons pas de criteres pour caracteriser la transienceet la recurrence pour les dimensions superieures a 2 dans le modele en temps discret(et nous n’en aurons donc pas ici non plus).Pour essayer de repondre aux memes questions que dans la partie unidimension-nelle, nous allons utiliser la structure de renouvellement que nous avons decrite au

Chapitre 1. On va supposer que sous P0, (Xn)n > 0 admet un comportement balis-tique et on note v ∈ Rd \ 0 sa vitesse. On fixe maintenant e ∈ Zd avec |e| = 1et e · v > 0. On considere la structure de renouvellement classique dans la direction

3. LE CAS MULTIDIMENSIONNEL 65

e et on note τk le k-eme temps renouvellement. On verifie en utilisant le lemme de

Zerner (Lemme 1.1 p. 30) que E0(τ1|D =∞) <∞ et on a donc,

v =E0(Xeτ1|D =∞)

E0(τ1|D =∞).

On introduit maintenant la structure de renouvellement pour la marche en tempscontinu toujours dans la direction e. Pour tout k > 1, on definit le k-eme tempsrenouvellement τk de la marche en temps continu par

τk = Seτk .Cette structure nous permet d’enoncer une loi des grands nombres pour (Yt)t > 0 enutilisant le meme raisonnement qu’en temps discret,

limt→+∞

Ytt

=E0(Yτ1|D =∞)

E0(τ1|D =∞):= vP P0 − p.s. (3.9)

Remarque. Dans cette partie, on utilise la notation D aussi bien pour les tra-jectoires en temps discret que pour les trajectoires en temps continu.

On notera que rien n’assure que le denominateur de (3.9) est fini et la vitessepeut donc etre nulle. On remarque egalement que l’on peut reecrire le numerateuren fonction du squelette uniquement,

E0(Yτ1|D =∞) = E0(Xeτ1|D =∞),

et cette quantite ne depend donc que de la premiere marginale de l’environnement.Pour etudier les possibles variations de la vitesse, on va donc s’interesser au denomi-nateur de (3.9). Plus precisement, on essaie, comme dans le cas unidimensionnel dese ramener a un probleme de transport optimal que l’on sait resoudre. Pour rendrel’ecriture du calcul plus lisible, on notera X la partie de la trajectoire de (Xn)n > 0

comprise entre 0 et le premier temps de renouvellement discret τ1,

X := (Xi)0 6 i 6 eτ1 .Le support de X sous P0(·|D = ∞) sera note Γ. Intuitivement, les trajectoiresde Γ sont donc les parties de trajectoires separant deux temps de renouvellement.A tout site x ∈ Zd et toute trajectoire γ ∈ Γ, on associe le vecteur α(x, γ) dansN2d dont la i-eme composante represente le nombre de passage de la trajectoireγ le long de l’arrete (x, x + ei) (le vecteur est indexe de −d a −1 puis de 1 a det on fait la convention e−i := −ei). Enfin pour tout vecteur α de N2d, on note

α =∑d

i=1(αi + α−i), on remarquera en particulier que α(x, γ) est le nombre de


passage de la trajectoire γ au site x. On a P− p.s.,

E0,ω(τ1, D =∞) =

∫D=∞

Seτ1 dP0,ω =

∫D=∞

eτ1∑i=0

λXiεi dP0,ω ⊗ dQ

=

∫D=∞

eτ1∑i=0

λXi dP0,ω

=∑γ∈Γ

P0,ω(X = γ)∑x∈γ

α(x, γ)λx.

On integre maintenant par rapport a l’environnement,

E0(τ1, D =∞) = E

(∑γ∈Γ

P0,ω(X = γ)∑x∈γ

α(x, γ)λx

)=∑γ∈Γ

∑x∈γ

α(x, γ)E(P0,ω(X = γ)λx

).

On adoptera, a partir de maintenant, pour ω ∈ S2d−1 et α ∈ N2d, la notation

ωα =d∏i=1

ω(ei)αiω(−ei)α−i .

Le caractere i.i.d. de l’environnement associe au caractere markovien de la loi quenchedassurent que pour γ ∈ Γ et x ∈ Zd :

E(P0,ω(X = γ)λx

)=E(ωα(x,γ)x λx

)E(ωα(x,γ)x

) P0(X = γ).

On obtient donc

E0(τ1, D =∞) =∑γ∈Γ

∑x∈γ

α(x, γ)E(ωα(x,γ)x λx

)E(ωα(x,γ)x

) P0(X = γ).

Pour tout vecteur α ∈ N2d et toute trajectoire γ ∈ Γ, on notera

φ(α, γ) =∑x∈γ

1α(x,γ)=α,

le nombre de site (( de type α )) dans la trajectoire γ. Poursuivons le calcul,

E0(τ1, D =∞) =∑γ∈Γ

∑x∈γ

∑α∈N2d

α1α(x,γ)=αE (ωα0 λ0)

E (ωα0 )P0(X = γ)

=∑α∈N2d

αE (ωα0 λ0)

E (ωα0 )

∑γ∈Γ

P0(X = γ)φ(α, γ)

3. LE CAS MULTIDIMENSIONNEL 67

On en deduit donc

E0(τ1|D =∞) =∑α∈N2d

αE (ωα0 λ0)

E (ωα0 )E0(φ(α, X)|D =∞).

On peut ici remarquer que le couplage independant P := P1⊗P2 donne, sans surprise,

E0(τ1|D =∞) = E0(τ1|D =∞)EP2(λ0),

et on en deduit la vitesse,

vP1⊗P2 =v

EP2(λ0),

comme c’etait deja le cas pour la dimension 1. Pour poursuivre le calcul dans lecas d’un couplage quelconque, on peut faire apparaıtre un produit de fonctions dechacune des deux marginales comme dans le cas unidimensionnel.

E0(τ1|D =∞) = E

([∑α∈N2d

αE0(φ(α, X)|D =∞)ωα0

E (ωα0 )]× λ0

)(3.10)

On introduit donc la fonction Φ(ω) definie pour tout element ω du simplexe par :

Φ(ω) =∑α∈N2d

αE0(φ(α, γ)|D =∞)ωα

E (ωα).

On notera que cette fonction depend de la premiere marginale de l’environnement,contrairement au cas unidimensionnel ou la fonction des transitions apparaissantdans le produit etait independante de la loi P1. Ce n’est pas surprenant : pourune marche unidimensionnelle transiente vers la droite, les sites ou la marche passele plus sont ceux avec ω petit mais pour une marche multidimensionnelle, il estnecessaire de connaıtre la loi P1 pour determiner les sites les plus frequentes. Onpeut maintenant donner la vitesse de (Yt)t > 0.

Theoreme 3.4. Soit P1 tel que (Xn)n∈N soit balistique sous P0 et P2 satisfaisant(H3.4). On a alors pour tout P appartenant a Π(P1,P2)

vP = v × E(Φ(ω))

E(Φ(ω)λ0)

Apres avoir remarque que E(Φ) = E0(τ1|D = ∞), la preuve decoule de (3.10)et de (3.9). On pourra comparer l’expression de la vitesse au cas unidimensionnel(voir Theoreme 3.1). Le Lemme 3.2 fournit les bornes theoriques optimales pourles vitesses maximum et minimum en temps continu. On note F1 la fonction derepartition de la probabilite image de P1 par Φ et F2 la fonction de repartition deP2.

Theoreme 3.5. Soit P1 tel que (Xn)n∈N soit balistique sous P0 et P2 satisfaisant(H3.4). On a alors pour tout P appartenant a Π(P1,P2)

vmin :=E0(Xeτ1|D =∞)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (u)du

6 vP 6 vmax :=E0(Xeτ1 |D =∞)∫ 1

0F−1

1 (u)F−12 (1− u)du


Ces bornes ne sont pas calculables explicitement car elles dependent de la struc-ture de renouvellement et de la fonction Φ. Il faut egalement admettre que l’on aperdu la description des couplages permettant d’atteindre les bornes du Theoreme3.5 car la fonction Φ ne presente pas de monotonie evidente. Ces bornes sont cepen-dant optimales.Enfin, cette formulation du probleme n’aura pas permis d’avancer sur la questiondes marches arretees car nous n’avons pas trouve de caracterisation sur les lois P1

verifiant (( Φ(ω) est borne P1 − p.s. )).

CHAPITRE 4

Percolation et MAMA

Dans ce chapitre nous presentons quelques modeles de MAMA ou le milieu (noni.i.d.) est construit a partir d’une percolation dans Zd. Apres les rappels essentielssur la percolation permettant surtout de fixer les notations, nous nous interesseronsa la marche sur le cluster infini avec ou sans drift. Nous presenterons ensuite unemarche attiree par les clusters d’une percolation sous-critique (introduite dans [51]).Enfin, on enoncera et prouvera un principe d’invariance annealed pour ce modele.

Sommaire

1. Percolation 691.1. Percolation de sites 701.2. Percolation d’aretes 701.3. Quelques resultats 702. Marcher sur le cluster infini 712.1. Des points communs avec la marche simple sur Zd 722.2. Une exception : la marche driftee 723. Une marche attiree par les clusters 733.1. Modele et resultats 743.2. Theoreme central limite annealed 75

Ce chapitre est entierement redige en francais. A l’exception du principe d’in-variance (Theoreme 4.8), il ne contient pas de resultats originaux.

1. Percolation

Nous avons jusqu’a maintenant etudie des modeles ou l’environnement etait i.i.d.Nous allons dans ce chapitre nous interesser a des modeles ou l’environnement estfourni par une percolation de sites ou d’aretes dans Zd. Cette premiere section estconsacree a l’expose de quelques notions de percolation. L’objectif est surtout d’in-troduire les notations que l’on utilisera par la suite dans la description des differentsmodeles ainsi que les outils qui nous permettront de les etudier. Tous les resultatspresentes sont tires de l’ouvrage de reference de Geoffrey Grimmett, Percolation,[36]. Les deux modeles (percolation de sites ou d’aretes) sont en fait tres proches,

70 4. PERCOLATION ET MAMA

nous allons donc presenter les deux modeles puis une serie de theoremes valablesdans les deux cas.

1.1. Percolation de sites. On se place dans Zd et on se donne p ∈ [0, 1].Nous allons associer a chaque site x ∈ Zd, independamment de tous les autres sites,la valeur 1 avec probabilite p (on dira que le site est ouvert) et la valeur 0 avecprobabilite 1 − p (et on dira du site qu’il est ferme). Plus formellement, on note

Ω l’espace 0, 1⊗Zd et on le munit de la tribu produit canonique F . On definitmaintenant la loi Pp, mesure produit sur (Ω,F) telle que chaque marginale suiveune loi de Bernoulli de parametre p (que l’on note Ber(p)). On a donc,

Pp = Ber(p)⊗Zd .

Deux sites x et y sont dit voisins si |x−y| = 1. Etant donne une configuraton ω ∈ Ω,on dira que deux sites x et y sont relies s’il existe un chemin de sites ouverts partantde x et arrivant en y. L’ensemble des sites relies a un site x, s’appelle le cluster dex et sera note Cx. Considerons maintenant ω une variable de loi Pp (par exemple leprocessus canonique sur (Ω,F ,Pp)). La theorie de la percolation a pour objet l’etudegeometrique de cette variable et notamment des clusters.

1.2. Percolation d’aretes. Pour la percolation d’aretes, les variables de Ber-noulli ne sont plus associees aux sites de Zd mais aux arretes de Ad, ensemble desaretes joignant deux sites voisins de Zd. Cette fois Ω = 0, 1Ad et on munit aussicet espace de sa tribu produit canonique F . On definit, comme pour la percolationde sites, la loi Pp, mesure produit sur (Ω,F) et on utilise la meme terminologie quepour la percolation de sites. Pour une configuration ω ∈ Ω, une arete a ∈ Ad seradite ouverte si ω(a) = 1 et fermee si ω(a) = 0. On dira que deux sites x et y sontrelies s’il existe un chemin d’aretes ouvertes partant de x et arrivant en y. On definitla notion de cluster comme pour la percolation de sites et on se donne egalementune variable ω de loi Pp.

Remarque 4.1. Nous n’avons pas distingue les notations entre les deux modelesafin de pouvoir enoncer de facon simple les resultats communs. Pour les modeles deMAMA que nous allons presenter par la suite, nous construirons l’environnementa partir d’une des deux percolation seulement, et il n’y aura donc pas de risque deconfusion.

1.3. Quelques resultats. Les theoremes que nous donnons dans cette sectionsont valables pour la percolation de sites comme d’aretes, seules les constantes etvaleurs critiques peuvent varier et nous ne preciserons pas cette dependance dans lesnotations. Le resultat fondamental de la theorie de la percolation etablit l’existencede deux phases selon la valeur de p (Theoreme 1.10 p. 14 de [36])

Theoreme 4.1. Pour tout d > 2, il existe 0 < pc(d) < 1 tel que,

(1) Pour 0 6 p < pc, Pp − p.s. tous les clusters de ω sont finis ;

(2) Pour pc < p 6 1, Pp − p.s., ω a un cluster infini.

2. MARCHER SUR LE CLUSTER INFINI 71

Dans le cas 1 du Theoreme 4.1, on parle de percolation (ou phase) sur-critiquetandis que dans le cas 2, on parle de percolation sous-critique. Nous donnons main-tenant deux theoremes permettant de decrire chacune des deux phases.Le theoreme 8.1 p. 198 de [36] assure l’unicite du cluster dans le cas d’une percola-tion sur-critique.

Theoreme 4.2. Si p > pc(d), alors Pp − p.s., ω a un unique cluster infini.

Interessons-nous maintenant a la phase sous-critique. Notons |Cx| la taille ducluster de x. Le theoreme 6.78 p. 132 de [36], du a Menshikov, nous assure ladecroissance exponentielle de la queue de distribution de la taille du cluster de 0 (etdonc de tout cluster).

Theoreme 4.3. Si p < pc(d), il existe ξ(p, d) > 0 tel que,

limn→+∞

1

nlnPp(|C0| > n) = −ξ(p, d). (4.1)

Nous allons maintenant utiliser la percolation pour construire differents milieuxaleatoires dont les transitions ne sont pas independantes.

2. Marcher sur le cluster infini

Dans cette partie, nous allons utiliser la percolation d’aretes sur-critique surZd (d > 2). Nous avons vu dans la partie precedente que, pour p > pc, il existePp−p.s. un unique cluster infini. De nombreux travaux ont ete consacres aux marchesaleatoires sur cette composante infinie. Le but de cette partie est de rappeler quelquesresultats sans donner les demonstrations.L’un des resultats elementaires de la theorie de la percolation (voir [36]) nous assureque pour p > pc,

Pp(|C0| = +∞) > 0,

nous pouvons donc conditionner la mesure de percolation a ce que 0 appartienne ala composante infinie,

P0p = Pp(·||C0| = +∞).

Pour une configuration ω ∈ Ω tel que |C0| = +∞, nous noterons Pω la marchesimple sur C0, c’est-a-dire la chaıne de Markov partant de 0 et choisissant a chaquepas l’un des sites voisins dans C0,

Pω(Xn+1 = x+ e|Xn = e) =ω(x, x+ e)∑|e′|=1 ω(x, x+ e′)

ou la transition est bien definie car tout site x ∈ C0 a au moins une arete adjacenteouverte. On definit egalement la marche annealed

P = P0p × Pω.

Nous allons voir que la marche sur le cluster infini se comporte en fait, au regard denombreuses proprietes, comme la marche sur Zd.


2.1. Des points communs avec la marche simple sur Zd.(1) Recurrence-Transience

On peut montrer sans difficulte en utilisant l’analogie entre chaınes deMarkov reversibles et les reseaux electriques que la marche sur l’amas infiniest recurrente en dimension 2 (et en dimension 1 aussi bien sur). On pourrase referer par exemple au livre de Doyle et Snell, [28]. La question de latransience en dimension d > 3, autrement plus difficile, a ete resolue parGrimmett, Kesten et Zhang dans [35].

Theoreme 4.4 (Grimmett-Kesten-Zhang-1992). Si d > 3 et p > pc(d),alors P0

p-p.s., Pω est transiente.

Il est par ailleurs clair que le conditionnement ne joue ici aucun role,le theoreme enonce dans [35] est d’ailleurs formule sans cette contrainte.Signalons egalement une autre preuve de ce resultat donnee par Benjamini,Pemantle et Peres que l’on trouvera dans le Chapitre 11 de [50].

(2) Principe d’invarianceLe principe d’invariance annealed est montre dans [26]. Ce resultat a eterecemment considerablement ameliore. En effet le principe d’invariancequenched a ete montre, tres recemment, par differents auteurs, Berger etBiskup [9], Sidoravivius et Sznitman (pour d > 4) [61] et Mathieu et Piat-nitzki [45].

Theoreme 4.5. P0p-presque surement, sous Pω le processus

Xεt = ε1/2X t

ε, t ∈ R+,

converge en loi vers un mouvement brownien avec matrice de variance σ2I,ou σ2 est non nul et deterministe.

Signalons egalement le principe d’invariance tres general pour des marchesaleatoires dans un milieu forme de conductances aleatoires prouve recemmentpar Pierre Mathieu dans [44].

(3) Nombre de points visitesLe nombre de points visites a un temps n ∈ N par la marche sur le clusterinfini a ete etudie par Clement Rau dans [57]. Il retrouve de nouveau desresultats comparables a ceux connus dans Zd que nous n’enoncerons pas.

2.2. Une exception : la marche driftee. Nous allons maintenant nous inte-resser a un cas ou la marche a un comportement tres different sur l’amas infini et surZd. Le modele de la marche anisotropique sur l’amas a ete traite par Sznitman dans[68] et, separement, par Berger, Gantert et Peres dans [10]. Nous allons presenter

ce modele en utilisant les notations de Sznitman. On fixe donc la direction ˆ∈ Sd−1

privilegiee par la marche, la force du biais sera parametree par λ > 0, on notera` = λˆ. On definit pour tout ω ∈ Ω tel que |C0| = +∞, la chaıne de Markov Pω

3. UNE MARCHE ATTIREE PAR LES CLUSTERS 73

partant de 0 et dont les transitions sont donnees pour tout x ∈ C0 et e ∈ Zd avec|e| = 1 par :

Pω(Xn+1 = x+ e|Xn = x) =e`·e

nω(x)ω(x, x+ e),

ounω(x) :=

∑|e|=1

e`·eω(x, x+ e).

Definissons egalement la loi annealed,

P = P0p × Pω.

Dans [68] et [10], les auteurs etablissent la transience directionnelle (voir le Chapi-tre 1 pour une definition) et mettent en evidence l’existence de deux regimes selonla valeur de λ. Pour les valeurs faibles de λ, la marche satisfait une loi des grandsnombres balistique, tandis que pour les valeurs fortes, la marche a un comportementsous-balistique.

Theoreme 4.6 (Sznitman-2003 ; Berger-Gantert-Peres-2003). Il existe λ0 et λ1

tel que 0 < λ0 6 λ1 et

(1) pour λ0 < λ, on a

limn→+∞

Xn

n= v, P − p.s.,

avec v · ` > 0 ;

(2) pour λ1 < λ, on a

limn→+∞

Xn

nλ1/λ= 0, P − p.s.

La technique utilisee dans [68] est une structure de renouvellement comparablea celle introduite dans [70] que nous avons decrite dans le Chapitre 1. Notons cepen-dant que les temps de renouvellement sont cette fois dependants de la trajectoiremais aussi de l’environnement, alors que dans [70], ils ne dependaient que de la tra-jectoire. Par ailleurs, aucun des deux articles n’a mis en evidence l’existence d’unevaleur critique separant les deux regimes. Il reste donc des valeurs du parametrepour lesquelles le comportement de la marche est inconnu. De facon heuristique, leralentissement apparaissant dans le cas sous-balistique du Theoreme 4.6 est du a lapresence de (( bras fermes dans la direction ` )) dans le cluster infini ou la marchereste piegee a cause de la force du drift.

3. Une marche attiree par les clusters

Si une tres large litterature dont nous n’avons donne qu’un apercu dans la sectionprecedente a ete consacree aux marches sur le cluster infini d’une percolation sur-critique, la phase sous-critique n’a pas remportee le meme succes. Nous allons icidecrire un modele introduit et etudie par Sergueı Popov et Marina Vachkovskaıadans [51]. Dans ce modele, l’environnement est construit a partir d’une percolationde sites sous-critique, et les transitions sont definies de telle sorte que la marche


soit attiree par les clusters, l’attraction etant d’autant plus forte que le cluster estgros. La marche peut cependant se deplacer dans tout Zd contrairement aux modelesprecedents.

3.1. Modele et resultats. On considere donc une percolation de sites dans Zdde loi Pp avec p < pc(d). On se donne egalement un parametre β pour determiner laforce de l’attraction des clusters. Enfin, pour alleger les notations dans cette partie,nous allons abandonner la notation |Cx| pour le cardinal du cluster d’un site x auprofit de la notation Cx qui ne nous fera pas defaut car les clusters n’apparaıtrontdans le modele qu’a travers leurs cardinaux.Fixons une realisation ω ∈ Ω dont toutes les composantes sont finies. On peut definirla chaıne de Markov en temps discret (Xn)n > 0 de loi Pω par les transitions,

pω(x, x+ e) =eβCx+e∑|e′=1| e

βCx+e′, x ∈ Zd, e ∈ Zd, |e| = 1.

Le point de depart de la chaıne sera deterministe en 0,

Pω(X0 = 0) = 1,

ce qui justifie qu’il n’apparaisse pas en indice pour la notation de la loi. De nouveaula loi Pω sera appelee loi quenched et on definit la loi annealed P par,

P = Pp × Pω.On remarque que la loi quenched est bien definie Pp-p.s car, d’apres le Theoreme 4.1,Pp-p.s., tous les clusters de ω sont finis et les transitions de Pω sont donc bien definies.Il est par ailleurs clair que sous Pp les vecteurs de transitions de Pω ne forment pasune famille i.i.d. Nous allons faire quelques remarques sur la loi quenched avant dedonner les resultats de Popov et Vachkovskaıa.

(1) Pp − p.s., pour tout x ∈ Zd et e ∈ Zd, |e| = 1 on a,

0 < pω(x, x+ e) < 1. (4.2)

La marche satisfait donc l’hypothese d’ellipticite stricte. On peut cependantfacilement verifier qu’elle ne satisfait pas celle d’uniforme ellipticite.

(2) La marche est attiree par un cluster uniquement lorsqu’elle passe sur unsite appartenant a sa frontiere. L’attraction croit exponentiellement avecβ > 0.

(3) Pp− p.s., la marche est reversible sous Pω et admet pour mesure reversible,µω definie pour tout x ∈ Zd par :

µω(x) = eβCx∑|e|=1

eβCx+e .

(4) Comme toute chaıne de Markov reversible, Pω peut etre vu comme ungraphe pondere. Pour tout ω ∈ Ω, on associe donc la collection de poids


(cx,y(ω))x,y∈Ad appartenant a (0,+∞)Ad (rappelons queAd designe l’ensem-ble des arretes entre sites voisins de Zd) ou pour tout x, y ∈ Ad :

cx,y = eβCx(ω)+βCy(ω)

= µω(x)pω(x, y)

= µω(y)pω(y, x).

Notons egalement que

µω(x) =∑|e|=1

cx,x+e, x ∈ Zd.

Le principal resultat de [51] est le Theoreme 1.1 p. 264. Les auteurs mettent enevidence l’existence de deux regions selon la valeur de β. Pour β suffisamment grand,la marche a un comportement sous-diffusif tandis que pour β petit, elle se comportede facon diffusive (et donc, de ce point de vue, ignore l’environnement).

Theoreme 4.7 (Popov-Vachkovskaıa-2005). Il existe des valeurs critiques β0(d)et β1(d) tel que 0 6 β0 6 β1 < +∞ et

(1) Si β ∈ [0, β0) alors

limn→∞

ln(max0 6 k 6 n ‖Xk‖∞)

lnn=

1

2P − p.s.;

(2) Si β ∈ (β1,+∞) alors

limn→∞

ln(max0 6 k 6 n ‖Xk‖∞)

lnn<

1

2P − p.s.

Notons que le theoreme etablit l’existence de deux regions mais pas d’une valeurcritique, il n’est pas prouve que β0 = β1. Comme pour le modele de marche aniso-tropique sur le cluster infini decrit dans la Section 2.2, il existe donc des valeurs duparametre pour lesquelles on ne connaıt pas le comportement de la marche.

3.2. Theoreme central limite annealed. Dans cette partie, nous allons affinerla description du regime sous-diffusif, au moins pour β suffisamant petit, en don-nant un theoreme central limite annealed. Definissons pour tout ε > 0, le processus(Xε

t )t > 0 par,

Xεt = ε1/2X t

ε, t > 0.

On choisit maintenant β suffisamment petit pour que

EPp(c0,e(ω)) <∞.Definissons la mesure de probabilite Q sur (Ω,F) par sa densite,

dQ

dPp(ω) = f(ω), (4.3)

avec

f(ω) =1

Z

∑|e|=1

c0,e(ω), ω ∈ Ω,


et Z designant une constante de normalisation. Cette definition est necessaire pourenoncer le principe d’invariance, nous la justifierons dans la demonstration.

Theoreme 4.8. Soit β > 0 tel que EPp(eβC0+βC1) < +∞ alors sous Q × Pω, le

processus (Xεt )t > 0 converge en loi vers un mouvement brownien de variance σ2I,

avec σ2 > 0.

Remarque 4.2. L’inegalite de Cauchy-Schwarz nous assure que l’hypothese dutheoreme est satisfaite pour β < ξ/2 avec ξ defini par (4.1).

Ce theoreme peut etre vu comme une application directe du theoreme 4.5 de [26],nous allons neanmoins donner les etapes importantes de la strategie developpee parDe Masi, Ferrari, Goldstein et Wick. L’outil principal pour obtenir ce resultat estl’introduction de l’environnement vu depuis la particule. On appelle environ-nement vu depuis la particule, le processus en temps discret (ωn)n > 0 a valeur dansΩ defini par,

ωn = TXnω, n > 0.

Intuitivement, ce processus represente l’environnement vu par un observateur sedeplacant avec la marche. C’est un outil puissant qui permet de montrer la loi desgrands nombres ou des principes d’invariance annealed et quenched pour certainsmodeles. On trouvera des exemples d’utilisation dans [42], [53] ou encore [75]. Pourd’autres references, nous renvoyons egalement le lecteur a [12]. L’un des interetsmajeurs du processus (( environnement vu depuis la particule )) est son caractereMarkovien sous la loi quenched mais surtout sous la loi annealed ; en contrepartie,il faut noter que la chaıne est a valeur dans l’espace des environnements Ω, nondenombrable, ce qui rend son etude difficile.

Proposition 4.1. Le processus (ωn)n > 0 est markovien sous Pω (pour ω ∈ Ω)et sous P . Son noyau de transition R est identique dans les deux cas et il est definipour toutes fonctions f mesurables bornees sur Ω par :

Rf(ω) =∑|e|=1

pω(0, e)f(Teω).

Notons egalement que sous Pω, ω0 a pour loi δω tandis que sous P , ω0 a pour loi Pp.

Nous ne donnons pas la preuve de cette proposition elementaire (voir la Lecture 1de [12]). L’outil principal pour etudier la chaıne (ωn)n > 0 est le theoreme montre parKozlov dans [43]. Avant d’enoncer ce theoreme, rappelons que la marche satisfaitbien les hypotheses necessaires :

(1) Sous Pp, les transitions satisfont l’hypothese d’ellipticite stricte (voir (4.2))

(2) Pp est ergodique et (T x)x∈Zd invariant.

Enoncons maintenant le theoreme de Kozlov ([43])

Theoreme 4.9 (Kozlov-1985). Supposons qu’il existe une probabilite Q inva-riante pour (ωn)n > 0 et absolument continue par rapport a Pp alors

(1) Les probabilites Q et Pp sont en fait equivalentes.


(2) La chaıne de Markov (ωn)n > 0 avec distribution initiale Q est er-godique.

(3) La seule probabilite satisfaisant les hypotheses du theoreme est Q.

(4) On a la loi des grands nombres suivantes :

limn→+∞

Xn

n= EQ(EPω(X1)), P − p.s.

On trouvera la preuve de ce theoreme dans [43] ou une version plus recente dans[12]. Pour etudier la chaıne (ωn)n > 0, il faut donc trouver une mesure invarianteabsolument continue par rapport a la mesure Pp et appliquer le theoreme de Kozlov.Pour le modele de Popov et Vachkovskaıa, la probabilite Q, definie en (4.3) convient.

Proposition 4.2. La mesure Q est reversible pour R et absolument continuepar rapport a Pp.

Preuve de la Proposition 4.2. Il est immediat que Q est absolument con-tinue par rapport a Pp de par sa definition. Nous allons donc juste montrer que Qest reversible, c’est-a-dire que R est autoadjoint dans L2(Q) (on notera (·, ·)L2

Qle

produit scalaire de L2Q). Soit h et g deux fonctions mesurables et bornees sur Ω, on

a alors,

(h,Rg)L2Q

=

∫h(ω)Rg(ω)dQ(ω)

=

∫h(ω)

∑|e|=1

pω(0, e)g(T eω)

f(ω)dPp(ω)

=1

Z

∑|e|=1

∫h(ω)c0,e(ω)g(T eω)dPp(ω).

On utilise maintenant que Pp est invariant par translation.

(h,Rg)L2Q

=1

Z

∑|e|=1

∫h(T−eω)c0,e(T

−eω)g(ω)dPp(ω)

=1

Z

∑|e|=1

∫h(T−eω)c0,−e(ω)g(ω)dPp(ω)

=

∫g(ω)

∑|e|=1

pω(0,−e)h(T−eω)

f(ω)dPp(ω)

=

∫g(ω)Rh(ω)dQ(ω)

= (Rh, g)L2Q

Et la preuve de la Proposition 4.2 est complete.

Nous allons maintenant utiliser le Theoreme 2.1 de [26] pour obtenir la preuvedu Theoreme 4.8.


Theoreme 4.10 (De Masi-Ferrari-Goldstein-Wick-1989). Soit (Yn)n > 0 une chaınede Markov en temps discret reversible et ergodique avec mesure invariante µ. Soit Xune variable σ(Y0, Y1)-mesurable antisymetrique (voir la Definition 4.1 juste apresle theoreme) et de carre integrable. Alors le processus,

Xε = ε1/2[t/ε]∑n=1

X θn−1, t ∈ R+,

converge, quand ε tend vers 0, vers un mouvement brownien.

Nous rappelons la definition d’une variable antisymetrique.

Definition 4.1. Une variable aleatoire X a valeur dans Rd, et σ(Y0, Y1)-mesurable,est dite antisymetrique si

X(Y0, Y1) = −X(Y1, Y0), p.s.

Nous utilisons maintenant le Theoreme 4.10 avec (ωn)n > 0 comme chaıne deMarkov. On definit X(ω0, ω1) comme l’unique e ∈ Zd (|e| = 1) tel que

ω1 = T eω0.

On peut facilement verifier que les hypotheses sont satisfaites et achever la preuvede la convergence. Il reste a montrer que la matrice de variance n’est pas degeneree.Nous allons pour cela utiliser le Theoreme 4.6 de [26].

– Pp etant isotropique (c’est-a-dire invariante par les rotations d’angle π/2), lepoint (iii) nous assure que la matrice est un multiple de l’identite que l’onnote σ2.

– Le point (i) du meme theoreme nous assure ensuite que σ2 est strictementpositif car P-p.s., c0,e1 > 1.

La preuve du Theoreme 4.8 est maintenant complete.

Remarque 4.3. Nous avons choisi pour cette preuve de considerer le processusenvironnement vu depuis la particule a valeur dans Ω, c’est-a-dire d’observer lapercolation. Dans les articles [43] et [26], le processus environnement vu depuis laparticule est a valeur dans (0,+∞)Ad et on observe donc le reseau de conductances.On peut cependant facilement verifier que les hypotheses que nous avons controleespour notre processus sont egalement vraies pour le processus des conductances.

CHAPITRE 5

Une marche ralentie par les clusters d’une percolation

Dans ce chapitre, nous etudions une marche ralentie par les clusters d’une per-colation de sites sous-critique et egalement soumise a un biais. On etablit l’existencede deux regimes selon la puissance du ralentissement. Pour un ralentissement faible,on observe un regime balistique (ou diffusif en l’absence de drift) tandis que pour unfort ralentissement, on bascule dans un regime sous-diffusif. On donne la valeur cri-tique separant les deux regimes et on decrit chacun des deux regimes en caracterisantl’expansion dans le cas sous-diffusif et par un principe d’invariance quenched dansle cas diffusif.

Sommaire

1. Presentation de l’article Random Walk Delayed onPercolation Clusters 79

1.1. Rappel du modele et des principaux resultats 791.2. Modele de trappes de Bouchaud 812. Model and results 843. Preliminaries and the proof of Theorem 5.1 884. Subballistic regime, and the proofs of Theorem 5.2 and 5.3 91

Ce chapitre est constitue de l’article Random Walk Delayed on Percolation Clus-ters publie dans Journal of Applied Probability ([21]). Cet article redige en anglaisest precede d’une breve presentation en francais (decrivant essentiellement le modelede trappes de Bouchaud).

1. Presentation de l’article Random Walk Delayed on PercolationClusters

Cette partie complete l’introduction de l’article Random Walk delayed on per-colation clusters ([21]). On y trouvera une courte presentation du modele et oninsistera, davantage que dans [21], sur les liens avec les modeles deja existants.

1.1. Rappel du modele et des principaux resultats. Dans ce chapitre,nous allons nous interesser a un nouveau modele de marche aleatoire en milieu

80 5. UNE MARCHE RALENTIE PAR LES CLUSTERS D’UNE PERCOLATION

aleatoire. L’environnement sera construit comme dans [51] a partir d’une percola-tion de sites sous-critique. Les transitions seront construites de maniere a ralentir lamarche lorsqu’elle passe dans un cluster. Ce ralentissement sera croisant (exponen-tiellement) avec la taille du cluster traverse. On se donne egalement la possibilited’ajouter un biais a la marche. Donnons maintenant une definition precise de cemodele.On considere p < pc ainsi que la mesure de percolation de sites Pp que nous avonsdefinie et sommairement decrite au debut du Chapitre 4. Comme p est fixe pourcette partie, et afin d’alleger les notations, nous noterons P la loi de la percolationau lieu de Pp. On se donne egalement une variable ω de loi P. On fixe une directionde biais ` ∈ Sd−1 ainsi qu’un parametre λ > 0 representant la force de ce biais. Onse donne egalement un parametre β > 0 pour la force de l’attraction exercee par lesclusters. Pour un environnement ω fixe, on definit la chaıne de Markov (Yt)t > 0 deloi Pω en temps continu et a valeur dans Zd en donnant son squelette et ses tempsde sauts (rappelons qu’on appelle temps de saut les inverses des taux de saut).

– Squelette Le squelette (Xn)n > 0 est la marche simple driftee partant de 0 et

de loi P , definie pour tout x ∈ Zd et e ∈ Zd, |e| = 1 par,

P (Xn+1 = x+ e|Xn = x) =eλ`·e∑|e′|=1 e

λ`·e′ .

On notera en particulier que le squelette ne depend pas de l’environ-nement ω. C’est un point important qui facilite beaucoup l’etude de Pω.

– Taux de saut En tout point x ∈ Zd, le taux de saut de la marche est e−βCx .Le temps moyen passe au point x est donc eβCx et on notera que ce tempscroit exponentiellement avec la taille du cluster de x (dans le cas non trivialβ > 0).

La loi annealed, comme toujours, est definie en integrant sur l’environnement :

P = P× Pω.On trouvera une description de cette loi sous forme de generateur ainsi que d’autrescommentaires sur ce modele dans l’introduction de [21]. Rappelons brievement lesresultats principaux de cet article,

– Le Theoreme 5.1 etablit la loi des grands nombres annealed et donne uneexpression de la vitesse.

– Le Theoreme 5.2 etablit l’existence d’un regime sous-diffusif pour une attrac-tion β > ξ et donne l’expansion algebrique de la marche selon la dimension det la presence (ou non) d’un drift pour le squelette.

– Le Theoreme 5.3 etablit un regime diffusif pour β < ξ et λ = 0 caracterise parun principe d’invariance quenched.

Ces resultats s’inscrivent tres bien dans le cadre des MAMA dont le milieu estfourni par une percolation. On retrouve notamment comme dans [68], [10] et [51]l’existence de deux regimes selon la valeur du parametre. Pour une attraction faible,l’environnement est ignore et la marche se comporte comme la marche simple satis-faisant un principe d’invariance tandis que pour une attraction forte la marche estralentie et on bascule dans un regime sous-diffusif. Ce modele est egalement tres

1. PRESENTATION 81

proche du Modele de Trappes de Bouchaud. Dans la prochaine partie, nouspresentons ce modele ainsi que ses liens mathematiques avec le modele que l’onvient d’introduire.

1.2. Modele de trappes de Bouchaud.Un peu de physique. Le Modele de trappes de Bouchaud (BTM) a ete introduit

par le physicien Jean-Philippe Bouchaud dans [14] en 1992. Le but du BTM est demodeliser le phenomene de vieillissement (aging en anglais) apparaissant dans cer-tains systemes physiques. Il s’agit plus precisement d’un modele phenomenologiqueintroduit pour expliquer la dynamique de verres de spin mais pouvant etre adaptepour analyser la dynamique d’autres systemes desordonnes. Nous allons maintenantdecrire tres brievement les idees de cette modelisation ; nous nous appuierons surl’article original et sur les notes de cours de Jirı Cerny, [18]. Le paysage d’energie li-bre pour les modeles de Edwards-Anderson ou Sherrington-Kirkpatrick, comme ceuxde nombreux systemes desordonnes presentent un profil (( escarpe )) mal connu. Ladynamique du systeme est donc difficile a comprendre. Selon l’intuition physique, lesysteme passe une grande partie du temps dans les vallees du paysage d’energie tan-dis que le temps pour changer de vallee est negligeable. L’idee de Bouchaud est doncde remplacer ce paysage complique par un graphe ou chaque sommet correspond aune vallee ou puits d’energie et chaque arrete correspond a un (( col )) separant deuxpuits. On ne suppose pas de geometrie a priori sur la fonction d’energie et on con-siderera donc le graphe complet. Nous donnons une illustration de la constructionde ce type de graphe a environnement fixe (c’est-a-dire ici a fonction d’energie fixee)avec la Figure 5.1. Pour rendre le dessin lisible, nous considerons un espace unidi-mensionnel alors que l’espace des etats est de tres grande dimension. Apres avoir

Enérgie libre

Modèle de trappes:

Etat

Fig. 5.1. Simplification de la fonction d’energie libre

fait cette simplification, nous etudions maintenant l’aspect dynamique qui est le butreel de cette modelisation. La dynamique du systeme (determinee par la fonctiond’energie) est remplacee par une dynamique markovienne sur le graphe. Le squelette


est la marche simple sur le graphe complet (on conserve ainsi l’idee qu’il ne faut pasprivilegier de geometrie), et il faut encore choisir les taux de saut. Bouchaud proposede tirer de facon i.i.d. la profondeur de chaque puits d’energie selon une variableexponentielle (que l’on prend de parametre 1 pour simplifier). En accord avec laloi d’Arrhenius, le temps de sortie d’un puits de profondeur ∆E est en moyenneec∆E/T , ou c designe une constante physique que l’on supposera desormais egale a1. On considerera donc comme temps de sauts en x, une famille i.i.d. de variablesexponentielles de moyenne e∆E/T . Il est important de noter que la queue de distribu-tion de ces temps de sortie est en 1/uT et le temps moyen annealed passe dans unetrappe n’est donc pas integrable a basse temperature. Lorsque le systeme evolue,il decouvre donc des puits dans lesquels il sejourne pendant une duree comparablea la duree de vie du systeme (au moins jusqu’a ce qu’il ait parcouru la totalitedu graphe que l’on doit penser tres grand). C’est cette particularite que Bouchaudexploite pour expliquer avec succes le vieillissement du verre de spin.

Retour aux mathematiques. Le modele physique de Bouchaud a donne lieu a uneimportante litterature mathematique ; citons par exemple [3], [15], [32] ou encore[4], cette liste etant bien evidemment loin d’etre exhaustive. Nous ne presenteronsici que les resultats les plus proches du modele que l’on etudie dans [21], c’est-a-direle modele de trappe dans Zd. Ce modele a ete etudie par Ben Arous et Cerny dans[6]. Notons que la geometrie particuliere des trappes dans Zd (chaque trappe a 2dvoisins) n’a, a priori, aucune justification physique. Le processus etudie dans [6] estsimilaire a celui que nous avons etudie dans [21], mais les taux de saut sont cette foisdistribues de facon i.i.d. selon une loi P. Plus precisement, un environnement seraune famille (τx)x∈Zd ∈ (0,+∞)Zd et pour un environnement fixe, on definit, commedans la premiere partie de ce chapitre, la chaıne de Markov en temps continu (Yt)t > 0

par son squelette et ses taux de saut :– Le squelette (Xn)n > 0 est la marche simple aux plus proches voisins dans Zd

partant de 0. Notons, comme pour le modele de [21], que le squelette ne dependpas de l’environnement.

– Le taux de saut en x ∈ Zd est egal a τ−1x . Chacun des temps d’attente au site

x est donc donne par une variable exponentielle de moyenne τx.On notera Pτ la loi de (Yt)t > 0 pour un environnement (τx)x∈Zd ∈ (0,+∞)Zd fixe.On definit maintenant la loi P sur l’environnement comme etant la mesure produitdont la marginale en x ∈ Zd verifie :

P(τx > u) =1

uα, u ∈ R+,

avec α ∈ (0, 1) un parametre fixe. On peut maintenant definir la loi annealed P par

P = P× Pτ .

Ben Arous et Cerny etablissent dans [6] la convergence en loi de (Yt)t > 0 cor-

rectement renormalise vers un processus (Zd,αt )t > 0 non degenere appele Kinetical-

fractional process. Avant d’enoncer leur resultat, nous definissons ce processus.

1. PRESENTATION 83

Definition 5.1. On considere un mouvement brownien (Bt) > 0 dans Zd et unsubordinateur (V α

t )t > 0, independant de (Bt) > 0, α-stable et dont la loi est caracte-risee par E(e−λV

αt ) = e−λt

α, pour tout t > 0. On definit alors le processus

Zd,αt = B(V α)−1

t, t > 0,

ou ((V α)−1t )t > 0 designe l’inverse generalise de (V α

t )t > 0,

(V α)−1t = infs > 0, V α

s > t.La renormalisation du processus (Yt)t > 0 etant differente selon la dimension,

definissons pour tout N > 0 le processus,

Y Nt =

YtNf(N)

, t > 0,

ou la renormalisation f(N) est definie pour tout N > 0 par

f(N) =

C2(α)Nα/2(lnN)(1−α)/2 si d = 2

Cd(α)Nα/2 si d > 3,

ou C2(α) et Cd(α) sont des constantes calculees dans [6] que l’on ne precisera pas.On peut maintenant enoncer le resultat principal de Ben Arous et Cerny dans [6].

Theoreme 5.1 (Ben Arous-Cerny-2007). Fixons T > 0. Pour P-presque tout

environnement (τx)x∈Zd, (Y Nt )t > 0 converge en loi vers (Zd,α

t )t > 0 dans l’espace desfonctions cadlag muni de la topologie uniforme.

Ce resultat est bien plus precis que les theoremes que nous avons obtenus dans [21].Signalons cependant plusieurs difficultes apparaissant dans le modele etudie dans[21] qui ne sont pas presentes dans [6].

– Les connaissances sur la distribution de la taille du cluster de 0 en percolationsous-critique (voir le chapitre 6.3 de [36]) sont insuffisantes pour affirmer quela variable eβC0 est dans le domaine d’attraction d’une loi stable.

– La loi des taux de saut n’est plus une mesure produit mais presente au contraireune dependance entre toutes les marginales.

– La geometrie d’un cluster en percolation sous-critique est mal connue et ilest donc difficile d’evaluer correctement la fonction de Green d’un cluster,contrairement a celle d’un point qui est bien connue.

Pour achever cette partie nous allons decrire un modele de trappe generalise dontle BTM que l’on vient de presenter est un cas particulier. On considere un grapheG dont l’ensemble des sommets est note S et l’ensemble des aretes est note A. Onsuppose que S est denombrable et on associe a chaque sommet x ∈ S un reel stricte-ment positif τx. On fixe egalement un parametre a ∈ [0, 1]. Definissons maintenantla chaıne de Markov (Yt)t > 0, partant d’un sommet fixe, dont le generateur L estdonne pour toute fonction f mesurable par :

Lf(x) =∑

(x,y)∈A

wx,y(f(y)− f(x)), x ∈ S,


ou pour tout (x, y) ∈ Awx,y = τ−(1−a)

x τay .

On va s’interesser maintenant comme pour le BTM a des trappes de tailles aleatoireset a queues lourdes, que l’on appellera aussi environnement. On considere doncmaintenant que les (τx)x∈S forment une famille de variables positives i.i.d. de loi Ptel que pour tout x ∈ S :

P(τx > u) =1

uα, u > 0,

ou α ∈ (0, 1) designe un parametre. Notons que l’on peut elargir un peu la definitionde ce modele en considerant que les trappes sont dans le domaine d’attraction d’uneloi α-stable. On peut verifier que pour a = 0, on retrouve le modele de Bouchaud(( simple )) que l’on vient de presenter. Nous allons maintenant faire quelques remar-ques sur le cas a 6= 0.

– Nous avons donne la loi de (Yt)t > 0 en utilisant le generateur et non, commele plus souvent dans ce manuscrit, le squelette et le temps moyen de saut.Ces deux objets sont en effet beaucoup moins pratiques pour ce modele. Lesquelette, en particulier, n’est plus une marche simple sur le graphe,sa loi depend de l’environnement. Notons aussi que le temps moyen desaut au site x ∈ S depend des trappes voisines de x.

– On remarque que la mesure∑

x∈S τxδx verifie la Detailed Balance Conditionet donc∑

x∈S

τxδx est une mesure reversible (et invariante) pour (Yt)t > 0.

– Le fait que la dynamique discrete depende de l’environnement rend ce modeleconsiderablement plus difficile a etudier que le BTM et tres peu de resultatssont connus pour l’instant.

Random Walk Delayed on Percolation Clusters ([21])

2. Model and results

Consider the graph of nearest neighbors on Zd, d > 1, and write x ∼ y when‖x− y‖1 = 1. Here, ‖ · ‖1 is the `1-norm, though | · | denotes the Euclidean norm.

An environment is an element ω of Ω = 0, 1Zd . Environments are used toconstruct the independent identically distributed (i.i.d.) Bernoulli site percolationon the lattice. We consider the product σ-field on Ω and for p ∈ (0, 1), the probability

P = B(p)⊗Zd , where B(p) denotes the Bernoulli law with parameter p. A site x inZd is said open if ωx = 1, and closed otherwise. Consider the open connectedcomponents (so-called clusters) in the percolation graph. The cluster of an opensite x ∈ Zd is the union of x with the set of all y ∈ Zd which are connected to x

2. MODEL AND RESULTS 85

by a path with all vertices open. The cluster of a closed site is empty. We denoteby Cx the cardinality of the cluster of x.

It is well known that there exists a critical pc = pc(d) such that for p < pc,P-almost surely, all connected open components (clusters) of ω are finite, thoughfor p > pc, there a.s. exists an infinite cluster. Moreover, it follows from [2], [47]that, in the first case, the clusters size has an exponential tail: For any p < pc, thereexists ξ = ξ(p) > 0 such that for all x,

limn→∞

1

nlnP(Cx > n) = −ξ .

In this paper, we fix p < pc. Let ` = (`k; 1 6 k 6 d) be a unit vector, λ and β twonon-negative number. For every environment ω, let Pω be the law of the continuoustime Markov chain Y = (Yt)t > 0 on Zd starting at 0 with generator L given forcontinuous bounded functions f by

Lf(x) = K∑e∼0

eλ`·e−βCx[f(x+ e)− f(x)

],

where we chose the normalizing constant K as K =(∑

e∼0 eλ`·e)−1

for simplicity.

Given ω, define the measure µ on Zd by

µ(x) = e2λ`·x+βCx . (5.1)

The random measure µ combines a shift in the direction ` together with an attractionto large clusters. Observe that the process Y admits µ as invariant, reversiblemeasure. Markov processes having µ as invariant measure are of natural interest inthe context of random walks in random environment. They describe random walkswhich have a tendency to live on large clusters, the attraction becoming strongeras β is increased. The isotropic case, λ = 0, has been considered in [51] witha different, discrete-time dynamics. There, the authors proved that the walk isdiffusive for small β, and subdiffusive for large β. The investigation of slowdowns inthe anisotropic case is then natural. In [60], a random resistor network is consideredwith a invariant reversible measure of the form C(x, ω)e2λ`·x where the random field(C(x, ω);x ∈ Zd) is stationary ergodic and bounded away from 0 and +∞: in thiscase, the random walks in random environment is ballistic for all positive λ.

The study of a general dynamics in the presence of a drift contains many difficultquestions, and the advantage of the particular process Y considered here is that wecan push the analysis further. We could as well handle the discrete time analogousof Y , i.e. the random walks in random environment with geometric holding timesinstead of exponential ones, which falls in the class of marginally nestling walks inthe standard classification (e.g., [76]). The Markov process Y can also be describedwith it skeleton and its jump rates. The skeleton X = (Xn)n∈N is defined as thesequence of distinct consecutive locations visited by Y . Then, X is a discrete time

Markov chain with transition probabilities P , given for x ∈ Zd and e ∼ 0 by

∀x ∈ Zd, ∀e ∼ 0, P (Xn+1 = x+ e|Xn = x) =eλ`·e∑e′∼0 e

λ`·e′ =: pe ,


and P (Xn+1 = y|Xn = x) = 0 if y is not a nearest neighbor of x. The jumprate of Y at site x is equal to exp−βCx, and the holding times are independent,exponentially distributed with mean exp βCx. The Markov chain X is quite simple,it is the random walk on Zd with drift

d(λ) =1∑d

k=1 cosh(λ`k)

(sinh(λ`k)

)1 6 k 6 d

. (5.2)

It is plain that for the random walk,

Xn

n−→ d(λ) P − a.s., (5.3)

so directional transience is clear, and the law of large number for Y boils downto studying the clock process which takes care of the jump times. As can be seenfrom formula (5.6), the process considered here is a generalization of the so-calledrandom walk in a random scenery, or the random walk subordinated to a renewalprocess, which are used as effective models for anomalous diffusions. The differenceis essentially that the environment (i.e., the field of jump rates) has here some spacecorrelations, which are short-range. It is also related to the trap model consideredin the analysis of the aging phenomenon introduced in [14]: the aging of this modelhas been studied in details, see [5] for a recent review.

For a fixed ω, Pω is called the quenched law and we define the annealed law Pby

P = P× Pω.Of course, statements which hold P -a.s., equivalently hold Pω-a.s. for P-a.e. envi-ronment.

Finally, we stress that we assume d > 1 in this paper. The case d = 1 is specialsince the critical threshold pc(1) = 1. Moreover, specific techniques are available inone dimension, e.g. [76] for a survey, however we will stick as much as possible totechniques applying for all d.

Our first result is the law of large numbers.

Theorem 5.1. (Law of large numbers) For any λ > 0 and any β > 0,

Ytt−−−−→t→+∞

v(λ, β), P − a.s.,where

v(λ, β) =(EeβC0

)−1

d(λ) . (5.4)

In particular, v(λ, β) = 0 if β > ξ or λ = 0 though v(λ, β) · ` > 0 if β < ξ andλ 6= 0.

As in the case λ = 0 considered in [51], slowdowns occur for large disorderintensity β, when the walk gets trapped on large percolation clusters. This behavioris reminiscent of the biased random walk on the supercritical percolation infinitecluster [68], [10] where ballistic or subballistic regimes take place according to theparameters values. The slowdowns in our paper have a similar nature to those insome one dimensional random walks in random environment, see [64], [40] and [63].

2. MODEL AND RESULTS 87

Moreover, as in the one dimensional case, we obtain here explicit values for the rateof escape, a rather unusual fact in larger dimension. More drastic (logarithmic)slowdowns were also found for an unbiased walker in a moon craters landscape in[29], [16], or diffusions in random potentials [46], but in these models the behaviorat small disorder is qualitatively different from the behavior without disorder.

The next result contains extra information on the subballistic behavior.

Theorem 5.2. (Subballistic regime) Let β > ξ.

(1) For any d > 1 and λ > 0,

ln |Yt|ln t

−−−−→t→+∞

ξ

βP − a.s.

(2) If λ = 0, for any d > 2 we have

lim supt→+∞

ln |Yt|ln t

=ξ

2βP − a.s.

(3) If d = 1 and λ = 0 we have

lim supt→+∞

ln |Yt|ln t

=1

2

( β2ξ

+1

2

)−1

P − a.s.

Hence, the spread of the random walks in random environment scales alge-braically with time in all cases. Note that in the isotropic case λ = 0, the slowdownis larger for d = 1 than for d > 2. This will appear in the proof as a consequenceof the strong recurrence of the simple random walk X in the one-dimensional case.Note that our results are only in the logarithmic scale, though the scaling limit hasbeen obtained for the isotropic trap model, in dimension d = 1 (e.g., [5]), and d > 2[6] with limit given, if the disorder is strong, by the time change of a Brownian mo-tion by the inverse of a stable subordinator (fractional kinetics). Though we believethat the scaling limit of our model without drift (λ = 0) is the same, we could notget finer results because of the presence of correlations in the medium. Moreover,the case of a drift λ 6= 0 has not been considered in the literature, except for d = 1with renormalization group arguments [49].

To complete the picture, we end by the diffusive case. (Recall that β < ξ issufficient for E(eβC0) <∞.)

Theorem 5.3. (Diffusive case regime) Assume λ = 0, and E(eβC0) < ∞.Then, we have a quenched invariance principle for the rescaled process Zε = (Zε

t )t > 0,Zεt = ε1/2Yε−1t: For almost every ω, as ε 0, the family of processes Zε converges

in law under Pω in the Skorohod topology to the d-dimensional Brownian motion

with diffusion matrix Σ =(d× E(eβC0)

)−1Id. Moreover,

lim supt→+∞

ln |Yt|ln t

=1

2a.s. (5.5)

For the proof of our results we will take the point of view of the environmentseen from the walker. It turns out that the “static” environmental distribution isinvariant for the dynamics. Hence the environment is always at equilibrium.


The paper is organized as follows. In the next section, we introduce the basicingredients for our analysis and we prove the law of large numbers of Theorem 5.1.The last section is devoted to the subballistic regime and contains the proofs ofTheorem 5.2 and 5.3.

3. Preliminaries and the proof of Theorem 5.1

For x ∈ Zd, T x will denote the space shift with vector x. We will consider alsothe time shift θ.

Skeleton and clock process of Y . The sequence (Sn;n > 0) of jump times of theMarkov process Y with right-continuous paths is defined by S0 = 0 < S1 < S2 < . . .,Yt = YSn for t ∈ [Sn, Sn+1), YSn+1 6= YSn . The skeleton of Y is the sequence X givenby Xn = YSn , n > 0. As mentioned above, the skeleton X of Y is the simplerandom walk with drift. For any x in Zd, the jump rate of (Yt)t > 0 at x is e−βCx .Hence the time Sn of the n-th jump is the sum of n independent random variableswith exponential distribution with mean eβCXi , i = 1, . . . n. This means that thesequence E = (Ei)i∈N, with Ei = e−βCXi (Si+1 − Si), is, under the quenched law andthen also under the annealed law, a sequence of i.i.d. exponential variables withmean 1, with E and X independent. The law of this sequence will be denoted byQ (Q = Exp(1)⊗N, with Exp(1) the mean 1, exponential law). For any n in N, thetime Sn of the n-th jump is given by

Sn =n−1∑i=0

EieβCXi . (5.6)

This sequence can be viewed as a step function St := S[t], where [·] is the integerpart, and we also define its generalized inverse S−1: for any t > 0,

S−1(t) = n ⇐⇒ Sn 6 t < Sn+1 .

We observe that Sn → ∞ as n → ∞ Pω-a.s. for all ω, making the function S−1

defined on the whole of R+. Then, Pω-a.s.,

XS−1(t) = Y (t) , ∀t > 0 . (5.7)

and therefore, the process S−1 is called the clock process.

Conversely, let E , X and ω be independent, with distribution Q, P and P respec-tively, defined on some new probability space. Then, fixing λ and viewing β as aparameter, by (5.6) and (5.7) we construct, on this new probability space, a couplingof the processes Y = Y (β) for all β ∈ R. The coupling has the properties that theskeleton is the same for all β, and that the clock processes are such that for β > β′

and t > 0,S−1(β; t) 6 S−1(β′; t). (5.8)

The environment seen from the walker. Depending on the time being discreteor continuous, we consider the processes (ωn)n∈N and (ωt)t > 0 defined by

ωn = TXnω , ωt = T Ytω = ωS−1(t)

for n > 0, t > 0. We start with the case of discrete time.

3. PRELIMINARIES AND THE PROOF OF THEOREM 5.1 89

Lemma 5.1. Under P , (ωi)i∈N is a stationary ergodic Markov chain. The sameholds for (ωi, Ei)i∈N.

Proof of Lemma 5.1. As (Ei)i∈N is an i.i.d. sequence of variables independentof ω, it is enough to prove Lemma 5.1 for the process (ωi)i∈N. Under P (resp Pω)(ωi)i∈N is Markovian with transition kernel R defined for any bounded function fby

Rf(ω) =∑e∼0

pef(T eω) ∀ω ∈ Ω,

and initial distribution P (resp δω). The transitions of (ωi)i∈N does not depend onω like those of X and, in this sense, the sequence is itself a random walk. Since P isinvariant by translation,

E[f(ω1)] =

∫ ∑e∼0

pef(T eω)dP =∑e∼0

pe

∫f(T eω)dP = E[f(ω)],

showing that P is an invariant measure for (ωi)i∈N.We will use F to denote the product σ-field on ΩN, and for any k > 0, Fk will

denote the σ-field generated by the k first coordinates. Note that θ is measurableand preserves the law of ω under P . We have to prove that the invariant σ-fieldΣ := A ∈ F , 1A(ω) = 1A(θω), P -a.s. is trivial. Let Y be a Σ-measurable boundedrandom variable on ΩN, we have to show that it is P -a.s. constant.

Define for all ω in Ω, hY (ω) := Eω[Y ]. We will study this function with standardarguments e.g. chapter 17.1.1 of [48]. Using Markov property and the θ-invarianceof Y , we can show that,

hY (ωk) = E[Y |Fk] ∀k ∈ N, P -a.s. (5.9)

As a consequence, under P , (hY (ωk))k > 0 is both a stationary process and an a.s.convergent martingale, and hence it is a.s. constant. In particular,

Y = hY (ω0) P -a.s.,

what means that Y can be considered as a function of the first coordinate alone.The next step is to show that hY is P-a.s. harmonic, that is

RhY (ω0) = hY (ω0), P -a.s.

It is a consequence of the following computation,

RhY (ω0) = E[hY (ω1)|F0] P -a.s.

= E[E[Y |F1]|F0] P -a.s.

= hY (ω0) P -a.s.,

where the second equality is true because of (5.9). We will now show that Y isinvariant by translation in space. By invariance of P and harmonicity of hY , it istrue that ∑

e∼0

∫pe(Y − Y T e)2dP = 0.


For every e neighbour of 0, pe > 0, and the previous equation implies that, P almostsurely Y = Y T e for any e ∼ 0. Together with the ergodicity of P, this shows thatY is P -a.s. constant, and completes the proof.

As a consequence of Lemma 5.1 and Birkhoff’s ergodic theorem, for any functionf in L1(ΩN) (or f non negative),

1

n

n−1∑k=0

f(θkω)n→+∞−−−−→ E[f ] P - a.s.

Now, we turn to the time continuous case, and we consider the empirical distri-bution 1

t

∫ t0δωsds of the environment seen from the walker up to time t. Our next

result is a law of large numbers for this random probability measure. For small β,the empirical distribution converges to some limit P0, which is then an invariantmeasure for (ωt)t > 0.

Corollary 5.1. If β < ξ then P -almost surely, the empirical distribution ofthe environment seen from the walker, 1

t

∫ t0δωsds, converges weakly to P0 defined by

dP0 = eβC

E[eβC ]dP.

Proof of Corollary 5.1. We need to show that t−1∫ t

0f(ωs)ds→

∫fdP0 as

t → ∞, for all real bounded continuous function f on Ω. Since eβC0 is integrablewhen β < ξ, this follows from the convergence along the sequence t = Sn, n → ∞.By (5.6), this is equivalent to

n−1∑n−1

i=0 EieβCXif(ωi)

n−1∑n−1

i=0 EieβCXi−→

∫Ω

fdP0 , n→∞.

We first study the P -almost sure convergence of the denominator, i.e. of n−1Sn.Define the real function g on (RN,ΩN)

g : ((Ei)i∈N, (ωi)i∈N) 7→ E0eβC0(eω0)

and note that CXn = C0(ωn). Applying Lemma 5.1 and the ergodic theorem to(ω, E) and to the non negative function g, we obtain that n−1Sn converges P -almostsurely to E[eβC0 ]. The numerator can be studied with the same arguments, and weobtain the claim since for β < ξ both limits are finite.

With this in hand, we can easily complete the

Proof of Theorem 5.1. Write

Ytt

=XS−1(t)

S−1(t))

S−1(t)

S(S−1(t))

S(S−1(t))

t.

Recall from (5.3) that the first factor in the right-hand side converge almost surely tod(λ) as t→∞. In the proof of Corollary 5.1 we have shown that S(S−1(t))/S−1(t)→E[eβC0 ] a.s. for β < ξ, but clearly the result remains true for all β (the limit is infinitefor β > ξ). For the last factor in the right-hand side we simply observe that

S(S−1(t))

S(S−1(t) + 1)6S(S−1(t))

t6 1 , (5.10)

4. SUBBALLISTIC REGIME, AND THE PROOFS OF THEOREM 5.2 AND 5.3 91

yielding that S(S−1(t))/t converges P -almost surely to 1 if E[eβC0 ] <∞: in this case,we then conclude that Yt/t converges P -almost surely to v(λ, β) given by (5.4).

In the case E[eβC0 ] =∞, we just use the right inequality in (5.10) to obtain theP -almost surely convergence of Yt/t to v(λ, β) = 0.

4. Subballistic regime, and the proofs of Theorem 5.2 and 5.3

We start with a few auxiliary results.

Lemma 5.2. Assume d > 2 or λ > 0. Then, for any ε > 0, there exists α > 0such that P -almost surely, we eventually have

]i 6 n, CXi > (

1

ξ− ε) lnn

> nα

with the notation ]A for the cardinality of a set A.

Proof of Lemma 5.2. Define the range Rn as the number of points visited by(Xi)i∈N during the first n steps. For λ > 0, there exists a constant c1 > 0 such

that P -almost surely eventually Rn > c1n. For λ = 0 and d > 2, it is well known

(see chapter 21 of [58]) that there exists a constant c2 such that P -almost surelyeventually Rn > c2

nlnn

(when d > 3, the walk is transient and the correct order of Rn

is n). In all cases, there exists a constant c3 > 0 such that under the assumptions

of Lemma 5.2, we have P -almost surely, eventually, Rn > c3n

lnn. For a fixed n in N,

we define recursively the time T ni by

T n0 = 0,

T ni = infT ni−1 < k 6 n, |Xk −XTnj| > 2(

1

ξ− ε) lnn, ∀j < i ∀i > 1,

inf ∅ = +∞.Note that the balls with center XTnj

and radius (ξ−1 − ε) lnn are pairwise disjoint,and define Kn the number of such balls, i.e.

Kn = maxi > 0 : T ni < +∞As the cardinality of those ball is c4 lnd n (for some c4 > 0), it follows from the

previous discussion on the range that P -almost surely, eventually, Kn > c nlnd+1 n

,where c denotes a positive constant. From now on we fix a path (Xi)i > 0 such thatKn > c n

lnd+1 neventually. In the rest of the proof, we take n large enough so that

the inequality holds. Then,

P(]i 6 Kn, CXTn

i6 (

1

ξ− ε) lnn

> Kn − nα

)= P

(∃I ⊂ 1, . . . Kn, ]I = Kn − [nα] : ∀i ∈ I, CXTn

i6 (

1

ξ− ε) lnn

)6

∑I⊂1,...Kn,]I=Kn−[nα]

P(∀i ∈ I, CXTn

i6 (

1

ξ− ε) lnn

)


For all j such that 0 6 j 6 Kn−nα, Bni denotes the ball with center XTni

and radius

(1ξ− ε) lnn. The event CXTn

i6 (1

ξ− ε) lnn) is σωx, x ∈ Bn

i measurable. As the

balls Bni are disjoint and the environment is i.i.d.,

P(]i 6 Kn, CXTn

i6 (

1

ξ− ε) lnn

> Kn − nα

)6

(Kn

[nα]

)(1− P(C0 > (

1

ξ− ε) lnn)

)Kn−[nα]

6 c5nnα(1− n−(1−εξ)+o(1)

)c n

lnd+1 n−nα

,

for some suitable constant c5 > 0. We now choose α < min(1, εξ), so that∑n

P(]i 6 Kn, CXTi 6 (

1

ξ− ε) lnn

> Kn − nα

)<∞

We conclude using Borel-Cantelli’s lemma.

Lemma 5.3. Assume β > ξ. For d > 2 or λ > 0, we have lim infnlnSnlnn> β

ξ,

P -almost surely.

Proof of Lemma 5.3. Let η be a positive real number. With ε := η/β, from

Lemma 5.2, there exists α > 0 such that P ⊗P-almost surely, there exists a naturalnumber N = N(X,ω) such that for n > N , the set I = i 6 n, CXi > (1

ξ− ε) lnn

has cardinality ]I > nα. For n > N ,

Q(Sn < nβ/ξ−η) 6 Q(EieβCXi < nβ/ξ−η, i ∈ I)

6 Q(E1eβCX1 < nβ/ξ−η)n

α

6 Q(E1 < nβε−η)nα

= (1− e−1)nα

.

From previous inequality, we obtain that Q(Sn < nβ/ξ−η) is the general term of aconvergent series and we can use Borel-Cantelli’s Lemma to conclude.

Lemma 5.4. Assume β > ξ. For d > 1 and λ > 0, we have P -almost surely,lim supn

lnSnlnn6 β

ξ.

Proof of Lemma 5.4. For any α in (0, 1), by subadditivity we have (u +v)α 6 uα + vα for all positive u, v, and then

Sαn 6n∑i=1

Eαi eαβCXi .

Now, define the function fα

fα : (RN,ΩN) → R((Ei)i∈N, (ωi)i∈N) → Eα0 eαβC0(eω0).


Applying Lemma 5.1 and the ergodic theorem to (ω, E) with the non negative func-tion fα, we obtain that for any α such that αβ < ξ,

lim supn→+∞

Sαnn6 lim

n→+∞

∑ni=1 Eαi eαβCXi

n= EQ(Eα1 )× E(eαβC0) <∞

almost surely. Therefore,

lim supn→+∞

lnSnlnn

<1

α.

Since α is arbitrary in (0, ξ/β), the proof is complete.

The two following lemmas deal with the one dimensional case. Notice that whend = 1, for all n > 0,

P(C > n) = p

n−1∑k=0

pkpn−1−k = npn,

and as a consequence ξ = − ln p.

Lemma 5.5. Assume β > ξ. For d = 1 and λ = 0, we have P -almost surely,lim supn

lnSnlnn6 β

2ξ+ 1

2.

Proof of Lemma 5.5. Here we need to relabel our sequence of exponentialvariables (Ei; i > 0). For y ∈ Z, k ∈ N, define Ey,k by

Ey,k = Ei with i such that Xi = y, ]j : 0 6 j 6 i,Xj = y = k ,

i.e. the exponential corresponding to the k-th passage at y. These new variables area.s. well defined when d = 1 and λ = 0, and it is not difficult to see that the sequence(Ey,k)y∈Z,k∈N is i.i.d. with mean 1 exponential distribution, and independent of Xand of ω. The number of visits of the walk to a site y at time n will be denoted byθ(n, y). We can rewrite Sn in the following way,

Sn =n−1∑i=0

eβCXiEi =∑y∈Z

eβCy

θ(n,y)−1∑k=0

Ey,k . (5.11)

Notice that for any η > 0,

P − a.s. for n large enough, θ(n, y) = 0 ∀y > n12

+η (5.12)

(see for example Theorem 5.7 p.44 in [58]). As a consequence, we obtain that for

any positive α < 1, P -almost surely for n large enough,

Sαn 6n

12+η∑

y=−n−12+η

eαβCy

θ(n,y)−1∑k=0

Ey,kα

.

Here and below, the sum∑b

y=a with real numbers a < b, ranges over all y ∈ Z witha 6 y 6 b. Notice now that for any ν > 0,

P − a.s. for n large enough, supθ(n, y), y ∈ Z < n12

+ν (5.13)


(see for example Theorem 11.3 p. 118 in [58]), and we obtain for such n,

1

2n12

+ηn( 12

+ν)αSαn 6

1

2n12

+η

n12+η∑

y=−n−12+η

eαβCy(1

n12

+ν

n12+ν∑k=0

Ey,k)α. (5.14)

For any y in Z and n in N, we define uy,n =1

n12

+ν

n12+ν∑k=0

Ey,k. Fix µ > 0, according to

the large deviation principle for i.i.d. sequences, there exists Iµ > 0 such that, forany y in Z and any n in N,

Q(|uy,n − 1| > µ) 6 e−Iµn12+ν

.

Using the independence of the (Ey,k)y∈Z,k∈N, it is easy to check that

Q(∃y ∈ [−n 12

+η, n12

+η], |uy,n − 1| > µ),

is the general term of a convergent series and using Borel-Cantelli’s lemma we obtainthat Q-almost surely, for n large enough and for any −n 1

2+η < y < n

12

+η,

|uy,n − 1| < µ. (5.15)

From the ergodicity of the environment, it is true that P-almost surely,

1

2n12

+η

n12+η∑

y=−n−12+η

eαβCyn→+∞−−−−→ E[eαβC ]. (5.16)

Using now (5.14),(5.15) and (5.16), we obtain that for any α < ξ/β, there existsM < +∞ such that, P -almost surely for n large enough,

Sn < Mn12α

+ ηα

+ 12

+ν .

Since the last inequality is true for η and µ arbitrary small and α arbitrary close toξ/β, the proof is complete.

Lemma 5.6. Assume β > ξ. For d = 1 and λ = 0, we have P -almost surely,lim infn→∞

lnSnlnn> β

2ξ+ 1

2.

Proof of Lemma 5.6. Let η and ν be two positive real numbers. As a con-

sequence of (5.12) and (5.13), P -almost surely, for n large enough, at least n12− νξ

4

sites are visited more than n12−η times, we will denote the set of those sites by On.

Fix now a path (Xi)i > 0 such that for all n > 0, ]On > n12− νξ

4 . As in the proof of

Lemma 5.3, we can choose a family of αn := n12−

νξ4

12

( 1ξ−ν) lnn

points (yi)i 6 αn in On such

that the intervals (Ii)i 6 αn centered in (yi)i 6 αn and of length 12(1ξ− ν) are disjoint.

If all sites of an interval are open, it will be said open, otherwise it will be said


closed. Using the fact that the (Ii)i 6 αn are disjoint, we obtain that,

P(Ii is closed, for all i 6 αn) 6 (1− n− 12

(1−νξ)+o(1))αn

6 e−nνξ4 +o(1)

.

As a consequence of Borel-Cantelli’s lemma we obtain that P -almost surely, for nlarge enough, there exists at least one site visited more than n

12−η times and that

belongs to a cluster of size greater than 12(1ξ− ν) lnn, we will note this site yn, and

therefore,

Sn >n

12−η∑i=0

nβ2ξ−νβEeyn,i.

Using the large deviation upper bound similarly to the lines below (5.14), we obtainfrom the last inequality that P -almost surely, for n large enough,

Sn >1

2n

12

+ β2ξ−νβ−η.

Since ν and η can be chosen arbitrary small, this last inequality ends the proof.

Proof of Theorem 5.2. We first assume that β > ξ. From Lemma 5.3 andLemma 5.4, we know that under assumptions of parts 1 or 2 of Theorem 5.2,

limn→+∞

lnSnlnn

=β

ξP − a.s.

From the inequalities

lnS(S−1(t))

lnS−1(t)6

ln t

lnS−1(t)<

lnS(S−1(t) + 1)

lnS−1(t),

we deduced that P -almost surely,

limt→+∞

ln t

lnS−1(t)=β

ξ.

Applying the same arguments as above, we deduce from Lemma 5.5 and Lemma 5.6that under assumptions of part 3 of Theorem 5.2,

limt→+∞

ln t

lnS−1(t)=

β

2ξ+

1

2, P − a.s.

Write now,ln |Yt|ln t

=ln |XS−1(t)|lnS−1(t)

lnS−1(t)

ln t.

To conclude in the case β > ξ, note that under assumptions of part 1, ln |Xn|lnn

con-

verges P -almost surely to 1 and under assumption of part 2 and 3, P -almost surely,

lim supn→+∞ln |Xn|

lnn= 1

2by the law of iterated logarithm.

To extend the results to the border case β = ξ, we use the property (5.8) of the

coupling, which implies that the long-time limit of ln |Yt|ln t

is non-increasing in β. Thiscompletes the proof of part 1 with β = ξ. For the other parts, we use the property


(5.5), that we will prove independently below. Again, the results claimed for β = ξin parts 2 and 3 follow from the monotonicity of the coupling.

Proof of Theorem 5.3. First observe that when λ = 0,

f(Yt)−∫ t

0

(2d)−1e−βCYs∑e∼0

[f(Ys + e)− f(Ys)

]ds

is a Pω-martingale for f continuous and bounded. Then, for all ω, the process Y isa square integrable martingale under the quenched law Pω. Its bracket is the uniqueprocess 〈Y 〉 taking its values in the space of nonnegative symmetric d× d matricessuch that YtY

∗t − 〈Y 〉t is a martingale and 〈Y 〉0 = 0. We easily compute

〈Y 〉t =

∫ t

0

e−βCYsds× d−1Id

By Corollary 5.1, we see that the bracket Zε is such that, for all t > 0,

〈Zε〉t = ε〈Y 〉ε−1t

= ε

∫ ε−1t

0

e−βCYsds× d−1Id

−→ tΣ as ε 0

P -a.s., and then in Pω-probability for a.e. ω. Let us fix such an ω, and use thelaw Pω. Since the martingale Zε has jumps of size ε−1/2 tending to 0 and since itsbracket converges to a deterministic limit, it is well known (e.g. Theorem VIII-3.11in [38]) that the sequence (Zε, ε > 0) converges to the centered Gaussian processwith variance tΣ, yielding the desired invariance principle under Pω.

We now prove (5.5). Since λ = 0 we have lim supn ln |Xn|/ lnn = 1/2, P -a.s., andsince EeβC0 <∞ it holds a.s. limt lnS−1(t)/ ln t = 1. This implies the claim.

Concluding remarks: (i) Part 2 of Theorem 5.2 deals with the upper limitin the subdiffusive case λ = 0, β > ξ. We comment here on the lower limit. Indimension d > 3, n−1/2|X[ns]| converges to a transient Bessel process, and it is notdifficult to see that

lim supt→∞

ln |Yt|ln t

= limt→∞

ln |Yt|ln t

= ξ/(2β)

In dimension d 6 2, X is recurrent, and then lim inft |Yt| = 0 and

lim inft→∞

ln |Yt|ln t

= −∞(ii) A natural question is: What does the environment seen from the walker

look like in the subballistic case? In fact, the prominent feature is that the size ofsurrounding cluster is essentially the largest one which was visited so far. Considerfor instance the case of positive λ. One can prove that, for β > ξ and ε > 0,

1

t

∣∣∣ s ∈ [0, t] : (ln t)−1CYs ∈ [β−1 − ε, β−1 + ε] ∣∣∣ −→ 1

P -a.s. as t∞.


(iii) We end the paper with a short comment on the case when the environmentis a general random field, not necessarily coming from site percolation. It is easyto check that Theorems 5.1 and 5.3, together with their proofs, remain valid for astationary, ergodic random field (Cx, x ∈ Zd). On the contrary, our proof of Theorem5.2 uses some independence property specific to the percolation model.

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Marches aleatoires en milieux aleatoires :Etude de quelques modeles multidimensionnels

Resume : Cette these est consacree a differents modeles de marches aleatoires enmilieux aleatoires ; elle est constituee de 5 chapitres. Les chapitres 1 et 4 sont es-sentiellement bibliographiques, ils couvrent une partie de la litterature consacree aumodele i.i.d ainsi qu’a differents modeles ou l’environnement est construit a partird’une percolation. Dans le chapitre 2, nous etudions la classe des marches admettantune direction asymptotique dans le cas du modele i.i.d., c’est-a-dire tel que Xn/|Xn|ait une limite deterministe sous la loi annealed. Nous etablissons notamment qu’unemarche admet une direction asymptotique si et seulement si elle est transiente danstoutes les directions d’un ouvert non vide de Rd. Dans le chapitre 3, nous etudions unmodele de marches en temps continu en milieux aleatoires. Les differents resultats decette partie decrivent l’impact du couplage entre les transitions et les taux de sautsur la vitesse de la marche. Le chapitre 5 est consacre a un modele de marche ralentiepar les clusters d’une percolation sous-critique dans Zd. Nous montrons que, selonla force du ralentissement, la marche se place dans un regime sous-diffusif ou diffusif.

Mots-cles : marches aleatoires, milieux aleatoires, chaıne de Markov, structurede renouvellement, percolation, environnement vu depuis la particule.

Random walks in random environments :Study of some multidimensional models

Abstract : This dissertation is devoted to different models of random walks inrandom environments ; it is made of 5 Chapters. Chapter 1 and 4 are surveys of lit-erature devoted, respectively, to i.i.d model and models where environments is givenby a percolation. In Chapter 2 we study the class of walks admitting an asymptoticdirection in the case of i.i.d. model, i.e. walks such that Xn/|Xn| has a deterministiclimit under the annealed law. We prove that a walk belongs to this class if andonly if it is transient in any direction of a non empty open set of Rd. In Chapter 3we study a model of continuous time random walk in a random i.i.d. environment.More precisely, we describe how the coupling of the transition vectors and the jumprates modify the speed of the walk. Chapter 5 is devoted to a model of walk de-layed by clusters of a site subcritical percolation. We find two distinct regimes : aballistic one and a subballistic one taking place when the attraction is strong enough.

Keywords : random walks, random media, Markov chains, renewal structure, per-colation, environment seen from the particle.

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