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Una famiglia di manoscritti Una famiglia di manoscritti latini di algebra araba latini di algebra araba

nellnell’’Europa Europa tra Medioevo e Rinascimento: tra Medioevo e Rinascimento:

la la ““Modus FamilyModus Family””

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Al-Khawarizmi

Al-Kitab al-muktasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabalah (“Breve opera sul calcolo con restaurazione e riduzione”)

breve introduzione sulle finalità dell’opera tre capitoli di varia lunghezza su:

• algebra;

• geometria piana e solida;

• problemi di spartizione di eredità, secondo il diritto coranico.

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Traduzioni latine

Limitate ai contenuti di • Algebra:

• Roberto di Chester (1145 ca)

• Gerardo da Cremona (1170 ca)

• Guglielmo de Lunis (1250 ca)

• Geometria• Platone da Tivoli (1145 ca) per il tramite ebraico di

Savasorda

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Manoscritti della traduzione di Gerardo da Cremona

2 gruppi secondo Hughes (1986)

• Più antico, con minore frequenza di varianti o errori o anche di rielaborazioni lessicali: base per l’edizione critica di Hughes. Costituito di 7 manoscritti

• Più recente, costituito da testimoni della diffusione dell’opera di al-Khawarizmi in Europa; non utilizzato per l’edizione critica. Costituito di 8 manoscritti

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Stemma del primo grupposecondo Hughes (1986)

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Il secondo gruppo

Modus Family• New York, Columbia University Library, Plimpton 188,

1456• Vaticano, Biblioteca Vaticana, Cod. Urb. Lat. 1329,

1458• Milano, Biblioteca Ambrosiana, Cod. lat. P 81 Sup.

metà XV secolo • Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, H V 45,

fine XV secolo Berlino, Deutsche Staatsbibliothek, Lat. qu.529, metà XV sec. Parigi, Bibliothèque nationale, Cod. lat. 949, 1450 Madrid, Biblioteca Nacional, Cod. lat. 9119, inizio XVI sec. Berlino, Deutsche Staatsbibliothek, Hamilton 692, inizio XVI sec.

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Modus family

Individuata da Hughes sulla base della presenza di paragrafi aggiuntivi (Modus dividendi) o differenti rispetto alle altre copie delle traduzioni di Gerardo.

I manoscritti presentano un uso indifferenziato di numerali romani ed indo-arabici

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I quattro manoscritti

NY = New York, Columbia University, Butler Library, Plimpton 188, ff. 73r-82v. Germania, 1456

VU = Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Urbinates Latini 1329, ff. 43r-63r. Roma, XXIIII ottobre 1458.

MP = Milano, Biblioteca Ambrosiana, P 81 Sup. (olim YS), ff. 1r-22r. Italia, metà XV secolo.

T = Torino, Biblioteca Nazionale Universitaria, H V 45, ff.1r-38r. Italia, fine secolo XVI

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NY

Dono di D. E. Smith (1860-1944) a G. A. Plimpton (1855-1936), è il prodotto del lavoro di più mani, essendo costituito di sei parti datate diversamente.

• La parte contenente la traduzione di Gerardo data 1450-1499

• La copia è attribuibile a Regiomontanus (1436-1476), che ne è stato uno dei proprietari.

• È seguito da:

• una raccolta di problemi risolti retoricamente e simbolicamente (Collectanea mathematica),

• una sintesi dell’algebra di al-Khawarizmi, sul cui foglio iniziale compare la data 1456

• altri problemi risolti simbolicamente

• osservazioni su aritmetica, algebra e geometria solida.

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Possibili fonti

Grafia di area germanica Forti contatti fra Roma e Germania Cospicua presenza di copisti tedeschi a

Roma Viaggio di Regiomontanus a Roma con

Bessarione negli anni Sessanta del Quattrocento

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VU

Il committente è Francesco da Borgo San Sepolcro, apostolicus scriptor e familiaris optimus di papa Pio II, nel 1458. Francesco da Borgo San Sepolcro, dal 1450 risulta attivo a Roma nella Camera Apostolica come contabile, lavora alla dogana di Ripa ed è membro della tesoreria segreta di papa Niccolò V; negli anni successivi, è responsabile dei lavori in Campidoglio ed in Vaticano.

Il copista è Michael Foresius Gnycensis; notizie su di lui sono estremamente esigue: nel Vat. Lat. 2224, da lui copiato per lo stesso committente, si definisce “Gallicus”; invece “Gnycensis” nell’Urb. Lat. 1329.

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VU

Negli anni fra il 1457 e il 1458 la committenza di Francesco da Borgo a Micheal Foresius comprende• Geometria di Euclide (Vat. Lat. 2224)

• Ottica di Euclide (Urb. Lat. 1329)

• astronomia (De iis quae in coelo aspiciuntur) di Tolomeo (Urb. Lat. 1329)

• algebra di al-Khawarizmi nella traduzione di Gerardo (Urb. Lat. 1329).

• una raccolta di opere di Archimede tradotte in latino a Roma per Niccolò V (Urb. Lat. 261);

Affida invece ad altro copista il De sphaera et cylindro di Archimede (Parigi, Bibliothèque Nationale, Nouv. Acq. Lat.1538, 1r-52v), da lui commentato

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Francesco da Borgo e Alberti

Attivo sul fronte del rinnovamento architettonico ed urbanistico di Roma voluto da papa Niccolò V in vista del giubileo del 1450 e diretto da Leon Battista Alberti

I monumenti presenti nello scorcio miniato della città (le mura di Borgo, le basiliche, Castel Sant’Angelo) che decora il Vat. Lat. 2224 coincidano con quelli per i quali il papa prevedeva interventi di risanamento o di ampliamento, in cui il ruolo dell’Alberti doveva essere significativo.

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Francesco da Borgoe Piero della Francesca Mentre si trovava a Roma a dipingere i palazzi vaticani, Piero

potrebbe aver frequentato la biblioteca di Francesco ed aver consultato i manoscritti del concittadino.

A Roma Piero ha copiato e illustrato il trattato di Archimede sulla spirale (Firenze, Biblioteca Riccardiana, MS lat. 106), che forse lo spinge a dedicarsi al suo trattato De prospectiva pingendi.

Anche nel caso del Urb. Lat. 1329, la presenza di Piero della Francesca, grande esperto di prospettiva, a Roma negli stessi anni della copiatura del manoscritto appare una coincidenza di sicuro interesse, per l’influenza che potrebbe aver esercitato sulla decorazione del manoscritto, dal momento che i tratti stilistici in Vat. Urb. 1329 mostrano una competenza prospettica ben superiore.

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L’ipotesi di King (2006)

Una teoria recentissima mette in relazione attraverso un astrolabio Piero con Regiomontanus e il suo patrono, il cardinale Bessarione (1408-1472)

la tesi, affascinante, permetterebbe anche di gettare nuova luce sulla tanto discussa iconografia di uno dei capolavori di Piero, la Flagellazione di Cristo;

va tuttavia segnalato che mancano prove documentate di un incontro.

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MP Appartenuto a Gian Vincenzo Pinelli (1535-1601), il manoscritto viene

datato genericamente al XV secolo da alcuni, mentre altri lo collocano ad inizio secolo. Tuttavia, la datazione all’inizio del secolo sembra verosimilmente da scartare • sulla base dell’esame del tipo di scrittura utilizzato, del tutto simile a quello

presente nel codice Vaticano Urbinates Latini 1329, con cui il manoscritto P 81 evidenzia significative quanto palesi affinità,

• uso di numerali romani (esclusivo nella prima parte, meno costante negli ultimi paragrafi)

• compresenza nello stesso codice dell’Ottica di Euclide e dell’opera di Tolomeo intitolata De hiis quae in coelo aspiciuntur, oltre ad altri testi di contenuto scientifico,

• pressoché perfetta somiglianza dei disegni, anche nei minimi particolari (lettere utilizzate, quadrettatura delle aree, indicazione delle misure delle lunghezze o delle superfici con numerali romani, compresenza e disposizione degli ultimi due disegni nella stessa pagina).

• Al di là delle somiglianze, il manoscritto P 81 Sup. appare incompleto: • mancano i capilettera, anche se è stato predisposto lo spazio necessario; • i simboli di paragrafo sono meno curati; • sono presenti solo i disegni tecnici, strettamente funzionali all’esposizione del

contenuto.

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T Il manoscritto, danneggiato e mutilato nella parte dei disegni

dall’incendio del 1904, è stato restaurato nel 1982. Presenta un gran numero di errori, indicati già da Hughes come uno dei grossi limiti allo studio del manoscritto, che sono verosimilmente derivati dal passaggio dalla numerazione romana a quella araba oppure provocati da erronea interpretazione di abbreviazioni (dria viene sistematicamente trascritto come dragma, anziché come differentia).

La datazione di Hughes alla fine del XV secolo va spostata di un secolo in avanti, sulla base dell’esame prosopografico.

Dalla presenza del numero di catalogo sul manoscritto, si può dedurre che esso appartenesse alla biblioteca già dall’inizio dell’XVIII secolo. Esso non compare tuttavia nei cataloghi.

Sulla base di queste considerazioni, si ritiene del tutto improbabile l’ipotesi, pur conciliabile dal punto di vista cronologico, che Cristini ne sia stato anche il copista.

Dal punto di vista storico, il manoscritto è una copia di VU, con cui presenta frequenti e forti analogie

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T Sulla ragione dell’esclusione, si possono solo avanzare ipotesi:

infatti lo stesso fu per un rilevante numero di manoscritti scientifici della biblioteca, già appartenuti a Bartolomeo Cristini (1547-1610 circa), precettore del principe Vittorio Amedeo I, fu lettore di matematica, ingegnere reale, gnomonista, astronomo, scrittore e custode dei manoscritti della biblioteca.

Appare del tutto verosimile sia per il suo ruolo sia per la coincidenza fra l’epoca del suo incarico e la possibile datazione del manoscritto H V 45 ipotizzare che sia stato proprio Cristini ad acquisirlo per la biblioteca;

Se questa ricostruzione trovasse conferma, si potrebbe anche supporre che la ragione dell’accantonamento del manoscritto sia stata la presenza di tanti e gravi errori e forti inconsistenze, che non potevano sfuggire ad un matematico come Cristini.

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Come e quando nasce il Modus?

• Ipotesi 1: Intervento esterno alla tradizione da parte di maestri di algebra (come Regiomontanus) i quali hanno integrato il materiale presente con ulteriori osservazioni, esempi e commenti, verosimilmente ripresi dalla tradizione algebrica dei trattati d’abaco.

• Ipotesi 2: parte della traduzione di Gerardo è stata realizzata a partire da un altro libro (forse una copia di al-Khawarizmi), di cui potrebbe esserci stata una seconda traduzione, uguale nel senso, ma non nella forma.

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Dove si trovava il suo antigrafo? Infatti, VU, MP e T sono strettamente connessi fra loro e

all’ambiente romano; per quanto riguarda NY, quasi contemporaneo a VU, si possono formulare le seguenti ipotesi • La data 1456, riportata su NY, compare sul folio 85, non

recante la copia della traduzione di Gerardo, che sta invece nei ff. 73r-82v; se la data non si riferisse anche alla copia Modus, si potrebbe ipotizzare che Regiomontanus, che in quegli anni era a Vienna, abbia trovato il manoscritto a Roma, alla Biblioteca Vaticana, o comunque in Italia, nel 1460, durante il suo viaggio con il cardinale Bessarione.

• Diversamente, si deve concludere che la stessa traduzione elaborata da un maestro sia arrivata a Vienna, a disposizione di Regiomontanus, ipotesi del tutto plausibile, per la folta presenza di copisti tedeschi a Roma.

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Modus dividendi Il contenuto è la razionalizzazione di

frazioni aventi al denominatore un binomio in cui compare un termine sotto radice.

L’esempio numerico è La ragione della presentazione di una

procedura tanto farraginosa, per ottenere un risultato pressoché immediato, appare subito dopo, quando l’autore invita a fare la verifica diretta ed aggiunge che si tratta di un esempio da estendersi anche a numeri con radici non discrete.

Segue un ulteriore esempio di uso della divisione in cui compare l’incognita al denominatore;

non è necessario porre condizioni di esistenza per evitare la divisione per 0, dal momento che, come già in al-Khawarizmi, radici nulle o negative non sono ammesse.

8

3 4

71

1212

xx

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Varianti ed errori Dal paragrafo 6 le differenze rispetto al testo dell’edizione critica di

Hughes si fanno continue: per lo più, il contenuto è il medesimo, ma la forma espressiva è vistosamente diversa.

Le differenze dei quattro manoscritti rispetto all’edizione critica sono: • nelle questiones varie: • nel Capitulum Convencionum Negociatorum: il testo è completamente diverso,

sia per forma, sia per contenuto. Manca del tutto la parte introduttiva teorica e l’unico esempio proposto prende spunto da un contesto commerciale: un tale acquista un certo numero di braccia per 36 ducati, se si aggiungessero 6 braccia per la stessa somma, un braccio sarebbe stato venduto per un ducato meno di quanto fu venduto. Quante braccia sono state acquistate? La soluzione viene ottenuta come segue:

• si pone x come numero di braccia;• si divide 36 per x;• si constata che (36/x)+1=36/(x+6) ;• si risolve con lo stesso algoritmo presentato nel modus

• nell’appendix: • Forte discrepanza fra le batterie di problemi

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Locus desperatus et cetera

Probacio satis pulchra: ripercorrere a ritroso il calcolo fino a ritrovare i dati iniziali (non presente in al-Khawarizmi)

Uso del termine salva nella questio 12 delle questiones varie, per indicare la memorizzazione temporanea di un risultato da utilizzare in un secondo tempo;

Locus desperatus comune: appendix, quaestio 14• Et si dixerit [quis]: est census a quo 1/3 eius ablato

residuum multiplicatum in 3 radices illius census, producit ipsum censum. Oportet te multiplicare totum censum in 3 suas radices, antequam extrahes illam tertiam, et veniet census unus et 1/2. Ex quo enim suae 2/3 multiplicate in 3 suas radices faciunt ipsum censum; ergo totus census, qui est 3 tertie, multiplicatus in easdem 3 radices suas est census 1 1/2. Quod patet per regulam †iustitie†

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Errori e varianti Per ricostruire lo stemma codicum, sono state individuati in

seguito a collazione integrale dei quattro manoscritti (con l’edizione critica e fra loro per l’ultima parte) i seguenti errores coniunctivi e separativi:

E-1: verbis (I.7) E-2: veris (I.7) E-3: ad infinitam numerorum quantitatem (I.13-14) E-4: ad infinitam numerorum comprehensionem (I.13-14) E-5: iam fuit (III.65) E-6: nusquam iam (III.65) E-7: nusquam fuit (III.65) E-8: et sic (VII.30) E-9: ut scis (VII.30) E-10: vel sic (VII.30)

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Errori e varianti

E-1 E-2 E-3 E-4 E-5 E-6 E-7 E-8 E-9E-

10

NY X X X X

MP X X X X

VU X X X X

T X X X X

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Stemma modus

γ

δ

MP VU

T

NY

NY si scosta frequentemente dagli altri tre e mostra maggiori somiglianze con il testo ricostruito nell’edizione critica; per questa ragione è stato scelto come base di collazione per le parti che si scostano dal testo di Hughes;

MP si distingue da NY, ma anche da VU/T che invece mostrano ripetutamente di seguire la stessa lezione e di essere pertanto più strettamente legati (la datazione dei manoscritti permette inoltre di ritenere che T sia apografo di VU).

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Nella tradizione di Gerardo

Lo stemma integrato con quello proposto da Hughes risulta quindi

γ

δ

MP VU

T

NY

βα

P

C N Q

F M V