UN PARCOURS POSSIBLE AUTOUR DU

CALCUL LITTÉRAL

Calcul Mental

Pascale Boulais et Maxime CambonStage 2013

Pour commencer, quelques erreurs d’élèves

(métaphore et analogie)

2

2

2 4 6

2 4 6

2 (3 ) 2 3 2

2 4 6

3 7

x x x

x x x

x x

x x

x

ne peut pas être

réduit

Constat et conséquence

Constat :« Les élèves sont dans un brouillard

algébrique » (Jean Pierre Richeton)

Un choix assumé pour l’enseignement du calcul littéral :

Les élèves doivent pouvoir contrôler leur activité en se référant à des règles/théorèmes en algèbre comme en géométrie

Quel rôle peut jouer le calcul mental ?

Extrait des programmes de l’école primaire :

«L’entraînement quotidien au calcul mental permet une appropriation des nombres et de

leurs propriétés.»

Les travaux de Denis Butlen et Monique Pezard montrent que le calcul mental est un moment privilégié pour développer les connaissances sur les nombres et leurs propriétés.

Du calcul mental pour :Remobiliser des connaissances :

Distributivité, commutativité, associativité Priorités opératoires, utilisation des parenthèses

Consolider et entretenir des connaissances nouvelles : Calculs avec des nombres relatifs, avec des fractionsTravailler des techniques, automatiser certaines procédures: Réduire , développer, factoriser une expression

Préparer le terrain pour les enseignements futurs Ecrire une formule correspondant à un problème

numérique ou géométrique Sens du signe = Equations, fonctions…

Propriétés des opérations

8 64Calculer : Ou

encore1,35 3 1,35 7

Dans chacun des cas suivants, peut-on utiliser l’égalité suivante : ? Si oui, écrire l’égalité obtenue.

( )k a b k a k b

5 (20 2) 9 (10 2)

5 (8 7) 7 (4 5 2)

4 (3 6 2)

Propriétés des opérations

137 56 57 Calculer : 134 2356 136

2 8 25 5,64 2 5

Ajouter 17 et soustraire 24 revient à…

Ecrire trois calculs différents dont le résultat est -5

Quelle est la somme de 8 et de -11 ?

Sens du signe = et rôle des parenthèses

«Ecrire une égalité avec une opération de chaque côté» «Ecrire une égalité avec une opération différente de chaque côté ?» «Ecrire une égalité avec plus d'une opération de chaque côté ?» «Ecrire une égalité utilisant des parenthèses ?» Traduis ces étapes de calcul en une seule chaîne d'opérations : b) étape 1 :     3 x 4 + 2x8

= 28 étape 2 :     28 x 2 = 56

c) étape 1 :     42 - 15 = 27 étape 2 :    2 7 x 2 = 54 étape 3 :     54 - 16 = 38

a) étape 1 :  72 : 8 = 9 étape 2 :     9 + 11 = 20 étape 3 :     20 : 2 = 10

Quel est le nombre manquant dans l’égalité ?

4 ... 2 6

Calcul mental et calculatrice

23,142

36

hV d D

Calculer le volume du tonneau lorsque h=1,6m ; d=0,86m et D=1,34m.

Calcul mental et calculatrice

24xCalculer : Lorsque x=-13,57

173

Lorsque x=

Des programmes de calculs

Programme de calcul :Choisir un nombre, Ajouter 3, multiplier le résultat par 5Effectuer ce programme de calcul avec le nombre 23Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 50 ?

Ecrire la formule correspondant à ce programme

Ecrire le programme de calcul correspondant à la formule 2 7x

Des programmes de calculs

Une proposition de l’IREM de Lyon en deux phases :

Phase 1 : Recherche individuelle puis mise en commun

On a obtenu les nombres de droite à partir des nombres de gauche en appliquant un programme de calcul. Trouver ce programme.

Des programmes de calculs

Phase 2 : Utilisation de la relation

Ecrire une formule

On appelle N un nombre. Ecrire en fonction de N :Le nombre suivant, le précédent, écrire que N est un nombre est pair, qu’il est impair, qu’il est un multiple de 7…

Pour chacune des figures, écrire une formule qui permette de calculer son périmètre

Exprimer l’aire d’un carré de côté x+3 en fonction de x

Ecrire une formule

Travailler et automatiser des techniques

Réduire des expressions (exercice classique)

Ecrire sous la forme d’une somme puis sous la forme d’un produit

24 4a 218k

Compléter  l’égalité : 2k+3=k+3+… 2k+3=k-7+…

Trouver cinq formules différentes qui donneront 2x-7 une fois réduite

En conclusion :

Le calcul mental est un outil pour travailler dans la durée ce qui est plus efficace que l’entrainement mécanique ponctuel (qui prouve chaque année son inefficacité)

Le calcul mental existe sous des formes très variées (calculs numériques classiques, avec calculatrice, registre géométrique, QCM, Vrai ou faux…)

Le calcul mental peut répondre à de nombreux objectifs (Travailler une technique, construire une connaissance nouvelle, remobiliser des connaissances anciennes, préparer le terrain pour des enseignements futurs)