UFR Sciences et T ec hniques Mathématiques … · Chapman-K olmogoro et la condition (de...

UFR S ien es et Te hniques Mathématiques Informatique AutomatiqueUniversité Henri Poin aré − Nan y 1Modélisation mathématiques des les d'attentesdans diérents ontextes (arrivées poissoniennes,les d'attente de plusieurs serveurs, . . . ) et miseen oeuvre de simulations.

RAPPORT DE PROJETremis le 20 septembre 2007pour l'obtention duMaster 2 de Mathématiques de l'Université Henri Poin aré(Spé ialité professionnelle)parTony BourdierEn adrant : Jean-Sébastien GIET Maître de Conféren es UHP, Nan y 1 (IECN)

Institut de Mathématiques Élie Cartan − U.M.R. 7502B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nan y Cedex, Fran e

1PréambuleL'objet de e projet long est d'approfondir la notion de les d'attente introduite en mo-délisation sto hastique dans un ertain nombre de ontextes : arrivées poissoniennes, lesd'attente de plusieurs serveurs, et ... Dans un premier temps, l'étude introduira les haînesde Markov à temps ontinu puis abordera plus pré isément les pro essus de naissan e etmort dont les les d'attente markoviennes sont des as parti uliers. Nous nous atta he-rons ensuite à ee tuer l'étude théorique du régime stationnaire de phénomènes d'attentesimples. Enn, nous tenterons de mener à bien des simulations de les d'attente plus om-plexes dont l'étude n'est pas (ou di ilement) réalisable dans l'obje tif de déterminer uneapproximation de leur régime stationnaire. Tony Bourdier

Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

Table des matières 2Table des matièresI Pro essus markoviens et les d'attente 31 Chaînes de Markov à temps ontinu 31.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Equations de Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Pro essus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Pro essus de renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Pro essus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Propriétés des pro essus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Loi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Pro essus de Naissan e et de Mort 152.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Un pro essus de naissan e et de mort parti ulier, la le M/M/1 . . . . . . . 173 Files d'attente 193.1 Introdu tion et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Retour sur la le M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 La le M/M/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 La le M/M/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II Simulations de les d'attente 271 Introdu tion 272 Files d'attente simples 272.1 File d'attente M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 File d'attente M/M/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Autres les d'attente 353.1 File d'attente M/M/s/k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.1 File M/M/1/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 File M/M/1/k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 File d'attente M/G/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Con lusion 42


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 3Première partiePro essus markoviens et les d'attente1 Chaînes de Markov à temps ontinu1.1 Introdu tionUne haîne de Markov à temps ontinu est un pro essus aléatoire (Xt)t≥0 ara térisé parune propriété de mémoire à ourt terme : onnaissant l'état du pro essus à l'instant pré-sent, la prédi tion de l'état futur est indépendante du passé du pro essus. La diéren eentre les haînes de Markov à temps ontinu et elles à temps dis ret réside dans le faitque le pro essus peut hanger d'état à n'importe quel instant t ∈ T = [0,+∞[= R+ et nonplus à t ∈ T = N.Dans la suite de ette partie, on onsidère un espa e probabilisé (Ω,F , P) et une fon tion

X : R+ × Ω → E(t, ω) 7→ Xt(ω)où E est l'espa e d'état dans lequel le pro essus prend ses valeurs et Xt(ω) l'état du systèmeà la date t pour une réalisation ω de Ω. On notera sous la forme d'un ve teur ligne p(t) laloi de Xt :

p(t) = ( P(Xt = x), x ∈ E )

Z Dénition 1.1 : On dit qu'un pro essus aléatoire (Xt)t≥0 est une haîne deMarkov à temps ontinu si ∀s, t ≥ 0, xt ∈ E :P(Xt+s = xt+s |Xt = xt , Xu = xu , ∀ 0 ≤ u < t) = P(Xt+s = xt+s |Xt = xt)

Z Dénition 1.2 : Pour toute haîne de Markov (Xt)t≥0, on appelle probabilité detransition la quantitépi,j(t, s) = P(Xt+s = j |Xt = i) ∈ [0, 1]pour t ∈ R

+, s ≥ 0 et i, j ∈ E qui représente la probabilité d'être à l'état j à l'instantt + s sa hant que l'on est à l'état i à l'instant t.

Remarque 1.3 : Si pi,j(t, s) = P(Xt+s = j |Xt = i) ne dépend pas de t mais uniquementde s, alors la haîne (Xt)t≥0 est dite homogène et on note :pi,j(s) = pi,j(0, s) = P(Xs = j |X0 = i)

Remarque 1.4 : On a naturellement la propriété suivante : ∀ i ∈ E, t ∈ R+,

∑

j∈E

pi,j(t) = 1Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 41.2 Equations de Chapman-KolmogorovThéorème 1.5 : Soit (Xt)t≥0 une C.M.H. ( haîne de Markov homogène), lesprobabilités de transitions vérient les équations suivantes appelées équations deChapman-Kolmogorov :pi,j(t + s) =

∑

k∈E

pi,k(t)pk,j(s)b

x Démonstration : Soit Xt = k, k ∈ E une partition de Ω. En appliquant la formuledes probabilités totales, on obtient :pi,j(t + s) = P(Xt+s = j |X0 = i) =

∑

k∈E

P(Xt+s = j |Xt = k,X0 = i).P(Xt = k |X0 = i)La propriété de Markov ainsi que l'homogénéité de (Xt)t≥0 nous permet d'é rire :P(Xt+s = j |Xt = k,X0 = i) = P(Xt+s = j |Xt = k) = pk,j(s)et naturellement : P(Xt = k |X0 = i) = pi,k(t), d'où le résultat.

Z Dénition 1.6 : Soit (Xt)t≥0 une C.M.H. ( haîne de Markov homogène), on appellematri e de transition et l'on note Π(t) la matri e dénie par :Π(t) = (pi,j(t))i,j∈E =

j ∈ E↓

...· · · pi,j(t) · · ·...

← i ∈ E

Remarque 1.7 : On peut don réé rire les équations de Chapman-Kolmogorov sous formematri ielle :Π(t + s) = Π(t).Π(s)

Remarque 1.8 : On peut don désormais ara tériser une haîne de Markov par une suitede matri es de transition (Π(t))t∈R+ vériant les équations de Chapman-Kolmogorov et la ondition (de régularité) à la limite lorsque t→ 0 :limt→0

Π(t) = I (matri e identité)Z Dénition 1.9 : Soit (Xt)t≥0 une C.M.H. ara térisée par la famille de matri esde transition (Π(t))t∈R+ , on appelle générateur innitésimal et l'on note Q lamatri e dénie par :

Q = Π′(0) = limh→0+

Π(h) − I

hMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 5Z Dénition 1.10 : Soit (Xt)t≥0 un C.M.H. de générateur innitésimal Q. Ondistingue les termes diagonaux de Q des autres termes et l'on note :

νi = −qi,i = − limh→0+

pi,i(h) − 1

h

qi,j = limh→0+

pi,j(h)

h

qi,j est appelé taux de transition instantané de l'état i vers l'état j. Remarque 1.11 : Le développement limité d'ordre 1 de pi,j(t) donne :

pi,j(t) = qi,jt + o(t) e qui signie que qi,jt représente une approximation de la probabilité que la haîne soit àl'état j à l'instant t sa hant qu'elle est initialement à l'état i pour t "petit". De même,1− pi,i(t) = νit + o(t)autrement dit, νit représente une approximation de la probabilité que la haîne de Markovquitte à l'instant t l'état i dans lequel elle était initialement pour t "petit".Théorème 1.12 : Les équations de Chapman-Kolmogorov permettent d'établir leséquations de Kolmogorov suivantes :

Π(0) = IΠ′(t) = Q.Π(t) = Π(t).Qsoit, ∀t ∈ R

+ :p′i,j(t) =

∑

k∈E

qi,k.pk,j(t) =∑

k∈E

pi,k(t).qk,j

b

x Démonstration : En reprenant la forme matri ielle des équations de Chapman-Kolmogorov, on peut é rire, ∀t, h ∈ R+ :

Π(t + h) = Π(t).Π(h)En dérivant par rapport à h, on obtient :Π′(t + h) = Π(t).Π′(h)Lorsque h = 0, l'égalité donne, ∀t ∈ R

+ :Π′(t) = Π(t).QPar symétrie des rles de t et de h, on a plus généralement, ∀t ∈ R

+ :Π′(t) = Π(t).Q = Q.Π(t)


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 6Proposition 1.13 : Les équations de Kolmogorov possèdent une unique solution :Π(t) = et.Q b

Remarque 1.14 : On rappelle que l'exponentielle d'une matri e A ∈ Mn(R) est déniepar :eA =

+∞∑

n=0

An

n!et qu'elle possède les propriétés suivantes : si A = diag(a1, . . . , an), alors eA = diag(ea1 , . . . , ean) si A est diagonalisable, i.e. ∃Q ∈ Gln(R), A = Q∆Q−1, alors eA = Qe∆Q−1 si A et B ommutent, alors eAeB = eBeA = eA+Bx Démonstration : (de la proposition 1.13)On vérie fa ilement que et.Q est solution. Supposons que M(t) soit une autre solution dusystème diérentiel. On note F (t) = M(t).e−t.Q. ∀t ∈ R+, :

F ′(t) = M(t).Q.e−t.Q −M(t).Q.e−t.Q = 0Don F (t) est une fon tion onstante sur R+, don en parti ulier, on a :

F (t) = F (0) = M(0).e0 = M(0) = Idon M(t).e−t.Q = I:M(t) = et.Q

On déduit du théorème 1.12 et de la proposition 1.13 la proposition suivante :Proposition 1.15 : La loi de la haîne de Markov à temps ontinu (Xt)t≥0, de loiinitiale µ et de générateur innitésimal Q est donnée, à la date t, par :p(t) = µ.et.Q

b

Remarque 1.16 : En parti ulier, on a, ∀t ≥ 0, p′(t) = p(t).Q. Remarque 1.17 : On peut don en on lure que toute haîne de Markov est entièrementdénie à partir des deux éléments suivants :

un générateur innitésimal Qune distribution initiale µ = p(0)1.3 Pro essus de PoissonAvant de donner les prin ipales dénitions relatives aux pro essus de Poisson, nous nousatta herons à présenter su intement quelques rappels on ernant les pro essus de renou-vellement.Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 71.3.1 Pro essus de renouvellementSoient (Xi)i∈[1,n] une suite de variables aléatoires presque-sûrement stri tement positives1.On pose :

T0 = 0

∀n > 0, Tn =

n∑

i=1

Xiet, pour tout t ≥ 0 :Nt = max (n ≥ 0 ; Tn ≤ t) = (n ≥ 0 ; Tn ≤ t < Tn+1)On peut interpréter es trois suites omme suit :

− (Xn) représente les durées entre deux événements su essifs− (Tn) représente les instants d'o uren es− (Nt) représente le nombre d'o uren es dans l'intervalle [0, t].

Z Dénition 1.18 : (Nt)t≥0 est appelé pro essus de omptage (ou pro essus dedénombrement).Nt

t

Xn+1

T1 Tn Tn+1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Illustration graphique d'un pro essus de omptage Remarque 1.19 : On a naturellement l'équivalen e suivante :

∀n ∈ N, t ∈ R+, (Nt ≥ n)⇔ (Tn ≤ t)

Remarque 1.20 : Dans l'étude des pro essus de omptage, les variables aléatoires Xi sontsouvent appelées durées de vie du pro essus (Nt)t≥0.Z Dénition 1.21 : On appelle pro essus de renouvellement tout pro essus de omptage pour lequel les durées de vie sont des variables aléatoires indépendantes etidentiquement distribuées.1Telles que ∀i ∈ [1, n], P(Xi ≤ 0) = 0Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 81.3.2 Pro essus de PoissonNous allons donner plusieurs dénitions (équivalentes) d'un pro essus de Poisson.Z Dénition 1.22 : On appelle pro essus de Poisson de taux λ un pro essus derenouvellement dont les durées de vie suivent la loi ε(λ).Théorème 1.23 : Si (Nt)t≥0 est un pro essus de Poisson de taux λ, alors ∀t ≥ 0 :

Nt ∼ P(λt) b

Remarque 1.24 : En parti ulier, le nombre moyen d'événements survenus entre 0 et t estde :E[Nt] = λt

Z Dénition 1.25 : Un pro essus de renouvellement (Nt)t≥0 tel que le nombred'o uren es dans un intervalle de temps quel onque de longueur t suit la loi dePoisson de paramètre λt, i.e. tel que :∀s, t ∈ R

+, n ∈ N, P(Nt+s −Ns = n) =eλt(λt)n

n!est un pro essus de Poisson de taux λ.On a vu dans la première partie que toute haîne de Markov à temps ontinu peut êtreentièrement dénie à partir de son générateur innitésimal ainsi que sa distribution initiale.On peut don donner la dénition suivante d'un pro essus de Poisson :Z Dénition 1.26 : On appelle pro essus de Poisson de taux λ une haîne deMarkov à temps ontinu (Nt)t≥0 à valeur dans N dont le générateur innitésimal Qest de la forme suivante :

−λ λ−λ λ. . . . . .. . . . . .. . .

Autrement dit, de terme général :qi,j =

−λ si j = iλ si j = i + 10 sinonMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 9 Remarque 1.27 : Le graphe de transitionss d'un pro essus de Poisson se représente sim-plement :

0 1 . . . i . . .λ λ λ λλ

Remarque 1.28 : Il est intéressant de donner une interprétation des quantités suivantes :− TNt représente le temps de la dernière o uren e− TNt+1 représente le temps de la pro haine o uren e− γt = TNt+1 − t, appelé temps résiduel ourant, représente le temps restant avant lapro haine o uren e− δt = t − TNt , appelé âge ourant, représente le temps é oulé depuis la dernièreo uren e− βt = TNt+1 −TNt = XNt+1 représente la durée séparant la pro haine o uren e de ladernièreLes dénitions que nous venons de présenter nous permettent d'établir un premier algo-rithme (naïf) de simulation d'un pro essus de Poisson. Nous verrons ultérieurement uneautre méthode fondée sur le onditionnement (plus e a e).Algorithme 1 Simulation d'un pro essus de Poisson de taux λ sur [0, t]Entrées: λ > 0, t > 0Sorties: T ontient les instants d'o uren e du pro essus de Poisson de paramètre λ.X ← ∅T ← ∅N ← 0tantque T < t faire

N ← N + 1X[N ] ← v.a. de loi ε(λ)T [N ] ← T [N − 1] + X[N ]n tantque1.3.3 Propriétés des pro essus de PoissonProposition 1.29 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de Poisson de taux λ > 0. Onsuppose que les événements omptabilisés par e pro essus peuvent être lassésdans r atégories distin tes de probabilités respe tives p1, . . . , pr. Les sous-pro essus

(Nkt )t≥0, k = 1, . . . , r omptabilisant les événements de type k sont des pro essus dePoisson indépendants de taux λpk. b


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 10Proposition 1.30 : Soient (N1t )t≥0, . . . , (N r

t )t≥0 r pro essus de Poisson indépen-dants de taux respe tifs λ1, . . . , λr. On a alors les propriétés suivantes : Le pro essus(Nt)t≥0 =

(r∑

k=1

Nkt

)

t≥0est un pro essus de Poisson de taux λ =∑r

k=1 λk. L'instant de la première o uren e T1 du pro essus (Nt)t≥0 suit une loi exponen-tielle de paramètre λ =∑r

k=1 λk. T1 = T k1 est indépendante du numéro (aléatoire) k ∈ [1, r] du pro essus (Nk

t )t≥0 omptant ette première o uren e et P(k = i) = λi

λ .b

Proposition 1.31 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de Poisson de taux λ > 0. Laloi onditionnelle des instants d'o uren e T1, . . . , TNt sa hant (Nt = n) est ellede n variables aléatoires indépendantes uniformes sur ]0, t[ ordonnées dans l'ordre roissant. bCe résultat nous permet de onstruire un algorithme de simulation d'un pro essus dePoisson de taux λ sur l'intervalle [0, t].Algorithme 2 Simulation d'un pro essus de Poisson de taux λ sur [0, t]Entrées: λ > 0, t > 0Sorties: T ontient les instants d'o uren e du pro essus de Poisson de paramètre λ.N ← v.a. de loi P(λt)U ← é hantillon de N v.a. de loi U(0, t)T ← tri(U)Proposition 1.32 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de Poisson de taux λ > 0. On a lerésultat suivant :

Nt

t

p.s.−−−−→t→+∞

λb

Proposition 1.33 : Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans R+, on a lapropriété suivante (absen e de mémoire) :

∃λ > 0, X ∼ ε(λ) ⇔ ∀s, t > 0, P (X > t + s | X > s) = P(X > t)b


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 11Proposition 1.34 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de Poisson de taux λ > 0. Si l'onnote Tn l'instant de la ne o uren e, on a :Tn ∼ Γ(n, λ)La densité de Tn est alors :

fTn(t) =(λt)n−1

(n − 1)!λ−λt

1[0,+∞[(t)

b

1.4 Comportement asymptotiqueUne parti ularité des pro essus de Poisson est que tous ses éléments (loi p(t) à haqueinstant, omportement asymptotique, ...) sont fa ilement al ulables, la forme de son gé-nérateur innitésimal permettant la résolution simple des al uls.Ce i n'est pas vrai pour tous les pro essus de Markov. Si l'on se donne un générateurinnitésimal Q quel onque, le al ul de eQ devient plus problématique et l'on ne disposealors plus de la loi du pro essus à haque instant. Toutefois, une étude du pro essus surune période [0, t[ susamment longue peut permettre d'émettre quelques hypothèses surle omportement de e dernier. La question prin ipale étant de savoir si la loi p(t) onvergevers une loi limite lorsque t tend vers l'inni.1.4.1 Dénitions et propriétésZ Dénition 1.35 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeursdans E. Un état j ∈ E est dit a essible à partir de i ∈ E et on note i→ j si :

∃s ∈ R+, P(Xs = j | X0 = i) > 0autrement dit, s'il existe un hemin allant de i à j dans le graphe de transitions dela haîne.Proposition 1.36 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeursdans E et de générateur innitésimal Q. Le temps de séjour dans l'état i ∈ E suitune loi exponentielle. bx Démonstration : Si l'on s'intéresse à deux instants d'observation pro hes t et dt, pardénition d'une haîne de Markov à temps ontinu, P(Xt+dt 6= i | Xt = i) est indépendantde tout e qui s'est produit antérieurement à t. Le temps passé à l'état i est alors lui aussisans mémoire (la probabilité de quitter l'état en dt ne dépend pas de la durée depuis laquelleon se trouve en i), don exponentiel. Proposition 1.37 : La probabilité que la haîne de Markov (Xt)t≥0 de générateurinnitésimal Q aille à l'état j ∈ E sa hant qu'elle quitte l'état i ∈ E est donnée par :

qi,j

νi

bMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

1 Chaînes de Markov à temps ontinu 12Cette proposition nous permet de donner une dénition équivalente de l'a essibilité :Z Dénition 1.38 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeursdans E. On a i→ j si :

∃i = i0, i1, i2, . . . , in−1, in = j ⊂ E, ∀k = 0, . . . , n− 1, qik,ik+1> 0

Z Dénition 1.39 : Les lasses d'équivalen e pour la relation↔ de double a essibi-lité (i.e. ∀i, j ∈ E, i↔ j ssi i→ j et j → i) sont appellées ensembles irrédu tiblesd'états. Il s'agit des omposantes fortement onnexes du graphe de transitions dela haîne.Z Dénition 1.40 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeurs dans

E. (Xt)t≥0 est irrédu tible ou ergodique si E est irrédu tible (i.e. si E possèdeune unique lasse d'équivalen e pour la relation↔). De manière équivalente, (Xt)t≥0est irrédu tible si son graphe de transitions est fortement onnexe. Remarque 1.41 : Dire que (Xt)t≥0 est irrédu tible revient à dire que ∀i, j ∈ E, i→ j. Remarque 1.42 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de Poisson de taux λ > 0. Il est lair que

i→ j si et seulement si j > i. Un pro essus de Poisson n'est don pas irrédu tible.Z Dénition 1.43 : Une probabilité π = (πi = P(X = i), i ∈ E) est dite invariante,ou stationnaire pour une haîne de Markov (Xt)t≥0 si :

∀t ∈ R+, π.Π(t) = πoù Π(t) est la matri e de transitions de la haîne.

Remarque 1.44 : Si le pro essus de Markov (Xt)t≥0 a pour loi initiale p(0) = µ, alors laloi de Xt est µ à haque instant.Z Dénition 1.45 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeursdans E et de générateur innitésimal Q. On appelle haîne de Markov à tempsdis ret in luse dans (Xt)t≥0 la haîne de matri e de transition P et de probabilitéinitiale µ telle que :

∀i 6= j ∈ E, qi,j = µ.pi,j


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 13Z Dénition 1.46 : On rappelle que pour une haîne de Markov à temps dis ret àvaleur dans E, un état i ∈ E est : transitoire si la probabilité de revenir en i après l'avoir quitté est < 1 ré urrent si ette probabilité est égale à 1 ré urrent nul si le temps moyen de retour est inni ré urrent positif si le temps moyen de retour est ni

Remarque 1.47 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeurs dans E.Un état i ∈ E est dit transitoire (resp. ré urrent nul, resp. ré urrent non nul) ssii est transitoire (resp. ré urrent nul, resp. ré urrent non nul) pour la haîne de Markov àtemps dis ret in luse.Proposition 1.48 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeurdans E. Si (Xt)t≥0 est irrédu tible, alors tous les états de E sont de même nature(i.e tous transitoires, tous ré urrents nuls ou tous ré urrents positifs). Le pro essusest alors transitoire, ré urrent nul ou ré urrent positif. b

1.4.2 Loi limiteThéorème 1.49 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu irrédu tible.Il existe une unique limite π = (πi, i ∈ E) telle que :∀i 6= j ∈ E, pi,j(t) −−−−→

t→+∞πjet, ∀f : E → R bornée ou positive :

1

t

∫ t

0f(Xs)ds −−−−→

t→+∞

∑

j∈E

f(j)π(j)

b

Remarque 1.50 : Dans le as général, rien n'indique que π soit un ve teur de probabilité.A noter également que la limite πj est indépendante de i, autrement dit on oublie laposition initiale du pro essus.Proposition 1.51 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu irrédu tible.Si elle admet une loi de probabilité invariante (stationnaire), alors elle est uniqueet l'on a, quelque soit la loi initiale µ = p(0) :µ.Π(t) −−−−→

t→+∞π

b


1 Chaînes de Markov à temps ontinu 14Z Dénition 1.52 : On appelle proportion de temps passé dans l'état j ∈ Eentre 0 et t et l'on note pj(t) la quantité :

pj(t) =1

t

∫ t

01Xs=jds

Théorème 1.53 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu irrédu tibleadmettant une loi de probabilité invariante (stationnaire) π, alors :∀i 6= j ∈ E, pi,j(t) −−−−→

t→+∞πjet

∀j ∈ E, pj(t) =1

t

∫ t

01Xs=jds −−−−→

t→+∞πj p.s.

b

Remarque 1.54 : Ce résultat signie qu'au bout d'un ertain temps, le système se stabilisedans un régime d'équilibre appelé régime stationnaire et que :(i) la probabilité d'être dans l'état j en régime stationnaire est πj

(ii) la proportion de temps passé dans l'état j entre les instants 0 et t est égalementdonnée par πj lorsque t est assez grandProposition 1.55 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu irrédu tibleà valeurs dans E. Si E est ni, alors il existe une unique loi stationnaire π. bThéorème 1.56 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu irrédu tible.On a l'équivalen e suivante :∃!π, ∀t ∈ R

+, π.Π(t) = π ⇔ tous les états sont ré urrents positifs b

Théorème 1.57 : Soit (Xt)t≥0 une haîne de Markov à temps ontinu à valeursdans E irrédu tible et de générateur innitésimal Q. Il existe une unique probabilitéinvariante (stationnaire) π = (πi = P(X = i), i ∈ E) solution de l'équation deFokker-Plank stationnaire :π.Q = 0 et ∑

i∈E

πi = 1si et seulement si (Xt)t≥0 est ré urrent positif. b


2 Pro essus de Naissan e et de Mort 152 Pro essus de Naissan e et de Mort2.1 DénitionL'étude des pro essus de Markov généraux onstitue une problématique allant bien au delàdes as qui nous intéressent dans le présent sujet. Aussi, intéressons-nous à des pro essusmarkoviens parti uliers, appelés pro essus de naissan e et de mort, à valeurs dans N et quiee tuent leurs sauts uniquement vers les états voisins les plus pro hes, autrement dit dontles transitions d'origine i ne peuvent avoir omme destination (i − 1) ou (i + 1). Le tauxde passage de l'état i à l'état (i+1), appelé taux de naissan e, est λi et le taux de passagede l'état i à l'état (i − 1), appelé taux de mort, est µi. De tels pro essus ara térisentintuitivement l'évolution d'une population dont la taille orrespond à l'état dans lequel setrouve le pro essus. Remarque 2.1 : Etant à l'instant t, seulement trois as sont possibles pour que le pro essussoit en i à l'instant t + ∆t :

− à t le pro essus était en i et rien ne s'est produit− à t le pro essus était en i− 1 et une naissan e s'est produite entre t et t + ∆t

− à t le pro essus était en i + 1 et une mort s'est produite entre t et t + ∆tCe i nous permet de donner la dénition suivante, plus formelle, d'un pro essus de nais-san e et de mort.Z Dénition 2.2 : On appelle pro essus de naissan e et de mort une haîne deMarkov à temps ontinu (Nt)t≥0 à valeur dans N dont le générateur innitésimal Qest de la forme suivante :

−λ0 λ0

µ1 −(λ1 + µ1) λ1

µ2 −(λ2 + µ2) λ2. . . . . . . . .

Autrement dit, de terme général :qi,j =

−(λi + µi) si j = i (µ0 = 0)λi si j = i + 1µi si j = i− 10 sinon

Remarque 2.3 : La remarque 2.1 nous permet d'é rire, ∀i ∈ N∗, t ∈ R

+ :P(Nt+∆t = i) = P(Nt = i)× (1− λi∆t− µi∆t)

+ P(Nt = i− 1)× λi−1∆t

+ P(Nt = i + 1)× µi+1∆t

+ o(∆t)Don P(Nt+∆t = i)− P(Nt = i)

∆t= −(λi+µi)P(Nt = i)+λi−1P(Nt = i−1)+µi+1P(Nt = i+1)+

o(∆t)

∆tMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Pro essus de Naissan e et de Mort 16On retombe alors exa tement2 sur les équations de Kolmogorov énon ées pré édemment :∀t ∈ R

+

p′0(t) = −λ0p0(t) + µ1p1(t)p′i(t) = λi−1pi−1(t)− (λi + µi)pi(t) + µi+1pi+1(t) ∀i ∈ N

+

Remarque 2.4 : Les pro essus de Poisson sont des pro essus de naissan e et de mortparti uliers :− il s'agit de pro essus de naissan e purs : ∀i ∈ N, µi = 0

− ∀i ∈ N, λi = λProposition 2.5 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de naissan e et de mort. On a les troispropriétés suivantes :− ∀i ∈ N, le temps de séjour dans l'état i est une variable aléatoire de loi ε(λi+µi)

− lorsque le pro essus quitte l'état i, la probabilité qu'il aille dans l'état i−1, i.e.qu'il s'agisse d'une mort, est de µi

λi + µi

− lorsque le pro essus quitte l'état i, la probabilité qu'il aille dans l'état i+1, i.e.qu'il s'agisse d'une naissan e, est de λi

λi + µi

b

2.2 Comportement asymptotiqueThéorème 2.6 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de naissan e et de mort. Si (Nt)t≥0 estirrédu tible, alors il admet une unique loi stationnaire si et seulement si la série :S =

∞∑

n=0

n∏

i=1

λi−1

µi onverge. Dans e as, la loi stationnaire est donnée par :π0 =

1

Set ∀i ∈ N

∗, πi = π0

n∏

i=1

λi−1

µi

b

x Démonstration : Puisque (Nt)t≥0 est irrédu tible, d'après le théorème 1.56, il ad-met une unique loi stationnaire si et seulement si tous les états de la haîne sont ré urrentspositifs. Or, le théorème 1.57 nous indique que tous les états sont ré urrents positifs siet seulement si il existe π, ve teur de probabilité, solution de l'équation de Fokker-Plankstationnaire :π.Q = 0 et ∑

n∈N

πn = 1Soit : λ0.π0 − µ1.π1 = 0

λi−1πi−1 − (λi + µi)πi + µi+1πi+1 = 0 ∀i ∈ N∗2Compte-tenu du fait que µ0 = 0Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Pro essus de Naissan e et de Mort 17On a don :∀n ∈ N

∗, πn =λ0λ1 . . . λn−1

µ1 . . . µnπ0 = π0

n∏

i=1

λi−1

µiDe plus, omme ∑n∈N

πn = 1,∞∑

n=0

π0

n∏

i=1

λi−1

µi= π0

∞∑

n=0

n∏

i=1

λi−1

µi= 1:π0 =

1

SEn on lusion, si la série S est onvergente3, alors la probabilité invariante existe et estdonnée par le théorème 2.6, sinon ∀n ≥ 0, πn = 0 et le pro essus est transitoire ouré urrent nul. Proposition 2.7 : Soit (Nt)t≥0 un pro essus de naissan e et de mort. Si (Nt)t≥0est irrédu tible, alors il est ré urrent si et seulement si la sérieSr =

∞∑

n=1

n∏

i=1

µi

λiest divergente. (Sinon, le pro essus est transitoire) b

Remarque 2.8 : On peut don représenter la lassi ation des pro essus de naissan e etde mort irrédu tibles sous la forme arbores ente suivante :(Nt)t≥0 pro essus de naissan e et de mort irrédu tible

HH

HH

HH

HH

HH

Sr =

∞∑

n=1

n∏

i=1

µi

λi onverge

(Nt)t≥0 transitoire Sr =

∞∑

n=1

n∏

i=1

µi

λidiverge

(Nt)t≥0 ré urrent

HH

HH

HH

H

S =∞∑

n=0

n∏

i=1

λi−1

µidiverge

(Nt)t≥0 ré urrent nul S =∞∑

n=0

n∏

i=1

λi−1

µi onverge

(Nt)t≥0 ré urrent positif2.3 Un pro essus de naissan e et de mort parti ulier, la le M/M/1Soit (Nt)t≥0 un pro essus de naissan e et de mort tel que pour tout i ∈ E = N, les tauxde naissan e et de mort sont onstants, de valeurs respe tives λ et µ. On fait l'analogie4suivante :3A noter que P

∞

n=0

Qn

i=1

λi−1

µi

= 1 +P

∞

n=1

Qn

i=1

λi−1

µi

ar Q0i=1 . . . = 1 par onvention. La plupart desouvrages note alors S =

P

∞

n=1

Qn

i=1

λi−1

µi

et ainsi π0 = 11+S

.4Le formalisme et les propriétés des les d'attente seront traités dans la se tion suivante, nous nousatta herons don i i à observer uniquement les propriétés énon ées pour les pro essus de naissan e et demort dans le as parti ulier onsidéré.Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Pro essus de Naissan e et de Mort 18− population ↔ nombre de lients dans une le d'attente à gui het unique− naissan e ↔ arrivée d'un nouveau lient− mort ↔ départ d'un lient ayant été serviLe pro essus (Nt)t≥0 omptabilise don le nombre de lients dans la le d'attente plus le lient en train d'être servi.

Remarque 2.9 : Les durées d'inter-arrivées sont représentées par une suite de variablesaléatoires indépendantes de loi ε(λ) et les durées de servi e par une suite de variables aléa-toires indépendantes de loi ε(µ).On a vu que pour déterminer la nature du pro essus (Nt)t≥0 il faut et il sut d'étudier la onvergen e des deux séries :Sr =

∞∑

n=1

n∏

i=1

µi

λi=

∞∑

n=1

n∏

i=1

µ

λ=

∞∑

n=1

(µ

λ

)netS =

∞∑

n=0

n∏

i=1

λi−1

µi=

∞∑

n=0

n∏

i=1

λ

µ=

∞∑

n=0

(λ

µ

)n

Théorème 2.10 : La série de terme général xn onverge si et seulement si |x| < 1.De plus, la somme est : s =∞∑

n=0

xn =1

1− x. bx Démonstration : n∑

k=0

xk =1− xn+1

1− xpour x 6= 1. 1− xn+1

1− xn'a de limite nie que si

|x| < 1, ette limite est alors 1

1− x. On a don :

(Nt)t≥0 pro essus de naissan e et de mort de taux onstants λ et µ > 0

HH

HH

HH

HH

HH

λ > µ(Nt)t≥0 transitoire λ ≤ µ

(Nt)t≥0 ré urrent

HH

HH

HH

H

λ = µ(Nt)t≥0 ré urrent nul λ < µ

(Nt)t≥0 ré urrent positifet ∀i ∈ N, πi =(1− λ

µ

)(λµ

)iIntuitivement, on omprend que si l'on sert les lients moins rapidement qu'ils n'arrivent(λ > µ), la le d'attente va exploser. A l'inverse, pour s'assurer que la le se vide réguliè-rement, on omprend qu'il est né essaire (et susant) de servir les lients plus rapidementqu'ils n'auent (µ > λ). La situation intérmédiaire (λ = µ) orrespond au as où la le nesera presque jamais vide mais n'explosera pas pour autant.Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Files d'attente 193 Files d'attente3.1 Introdu tion et notationsL'étude des phénomènes d'attente possède des appli ations dans de nombreux domaines :gestion de produ tion, réseaux informatiques, abilité des systèmes, évaluation des perfor-man es, . . . Une le d'attente est onstituée de lients qui arrivent de l'extérieur du systèmepour rejoindre ette le et de serveurs qui s'o upent des lients qui, après avoir été servis,sortent du système. Dans ertains as, les lients attendent dans une salle d'attente de apa ité limitée.Z Dénition 3.1 : Formellement, une le d'attente est omplètement dé rite selonla notation de Kendall par les six éléments suivants :1. la loi du pro essus des arrivées : on suppose que les lients arrivent indé-pendamment les uns des autres et don que les durées d'inter-arrivées orres-pondent à une suite de variables aléatoires (Xn)n∈N indépendantes (sauf asparti ulier pré isé plus loin) de même loi. Les arrivées les plus ourantes, suiviesde leur notation, sont : arrivées poissonniennes : M (Markov) arrivées à intervalles réguliers : D (Déterministe) arrivées dont les intervalles suivent une loi de Erlang : Ek arrivées dont les intervalles suivent une loi générale, les variables su essivesétant indépendantes : GI arrivées dont les intervalles suivent une loi générale, sans hypothèse d'indé-pendan e : G2. la loi des durées de servi e : les durées de servi e (Yn)n∈N∗ onstituent unesuite de variables aléatoires indépendantes (sauf as parti ulier, de la mêmefaçon que le pro essus des arrivées) de même loi. Les servi es les plus ourantsainsi que leurs notations sont identiques aux pro essus d'arrivée.3. le nombre de serveurs4. la apa ité maximale de la le : par défaut ∞5. le nombre maximal de lients potentiels : par défaut ∞6. une dis ipline de servi e : Les prin ipales dis iplines de servi e sont : FIFO (= FCFS) : premier arrivé, premier servi (par défaut) LIFO (= LCFS) : dernier arrivé, dernier servi RANDOM : séle tion au hasard d'un lient en attente Round-Robin : y liqueUne le d'attente est alors désignée par le symbole suivante :Arrivée / Servi e / Nombre de serveurs / Capa ité maximale de la le / Nombremaximal de lients potentiels / Dis ipline de servi e

Remarque 3.2 : Lorsqu'un élément n'est pas spé ié (uniquement pour les trois dernierséléments), ela signie que l'on onsidère la valeur par défaut de l'élément. Remarque 3.3 : La le d'attente M/M/2/3/∞/LIFO est une le dont les arrivées et lesservi es suivent une loi exponentielle, onstituée de 2 serveurs, ne pouvant a epter plusMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Files d'attente 20de 3 lients en attente simultanément mais dont le nombre de lients potentiels n'est paslimité et dont la dis ipline de servi e est elle du dernier arrivé premier servi.Z Dénition 3.4 : On appelle taux d'arrivée et on note λ la quantité :

λ =1

E[X1]où E[X1] est l'espéran e de la durée d'inter-arrivée.On appelle taux de servi e et on note µ la quantité :µ =

1

E[Y1]où E[Y1] est l'espéran e de la durée de servi e.Enn, on appelle intensité de tra et on note ρ le rapport :ρ =

λ

c.µoù c est le nombre de serveurs. Ce rapport, pourtant sans dimension, est souventexprimé en Erlang. Remarque 3.5 : On représente s hématiquement une le d'attente de la façon suivante :

λ ...︸︷︷︸Serveurs

µ

µ︸︷︷︸Attente︸︷︷︸Servi e (= Système)Représentation s hématique d'une le d'attentePour évaluer les performan es d'un modèle de le d'attente, on her he à déterminer leséléments suivants : le temps de séjour d'un lient dans le système en régime stationnaire : W le temps d'attente d'un lient en régime stationnaire : W q le nombre de lients dans le système en régime stationnaire : N le nombre de lients dans la le d'attente en régime stationnaire: N q l'intensité du tra : ρ la loi stationnaire : πDes résultats et formulations théoriques sont bien établis pour ertains modèles de lesd'attente, notamment eux ave arrivées poissonniennes et durées de servi es exponen-tielles, mais pas pour tous les systèmes omme par exemple les les d'attente ave arrivéespoissonniennes et durées de servi es non exponentielles M/G/c dont l'étude analytiqueMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Files d'attente 21est très omplexe. C'est pourquoi nous nous atta herons à exposer les résultats théoriquespour les les les plus simples puis dans une pro haine partie nous tenterons de déterminerpar simulation les éléments que nous venons de lister pour des les d'attente plus omplexes.Commençons par énon er un résultat de portée générale indépendant des lois des pro essusmis en oeuvre.Théorème 3.6 : Le temps moyen de séjour d'un lient dans le système et le nombrede lients dans le système en régime stationnaire sont liés par la formule de Little :E[N ] = λE[W ]

b

Remarque 3.7 : Cette formule est également vraie ave N q et W q.3.2 Retour sur la le M/M/1On onsidère désormais la le la plus simple : la le M/M/1 dont on a énon é quelquesrésultats dans la partie pré édente en tant que pro essus de naissan e et de mort parti ulier.λ

︸︷︷︸Serveurµ

︸︷︷︸Attente︸︷︷︸Servi e (= Système)Représentation s hématique d'une le d'attente M/M/1Proposition 3.8 : Comme nous l'avons vu, une le d'attente M/M/1 onverge ssi

λ < µ et alors, ave les notations introduites dans ette partie :∀i ∈ E = N, πi = P(N = i) = (1− ρ)ρidon π est une loi géométrique dé alée à gau he ( 'est à dire partant de 0). b

Remarque 3.9 : La ondition λ < µ est équivalente à ρ < 1, autrement dit, le régimestationnaire existe si et seulement si l'intensité du tra est inférieure à 100%. Remarque 3.10 : Les performan es d'une le M/M/1 sont don très simplement al u-lables :

− en régime stationnaire, le nombre moyen de lients dans la le estE[N ] =

∞∑

i=0

i.P(N = i) =

∞∑

i=0

i.πi =ρ

1− ρMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Files d'attente 22− le temps de séjour moyen dans le système en régime stationnaire est

E[W ] =E[L]

λ=

ρ

λ(1− ρ)

− le nombre moyen de lients en attente en régime stationnaire estE[N q] = E

[(L− 1)1(L≥1)

]=

∞∑

i=1

(i− 1)πi

k←i−1=

∞∑

k=0

k.ρk+1(1− ρ) = ρ

∞∑

k=0

k.ρk(1− ρ) =ρ2

1− ρ

− enn, le temps moyen d'attente en régime stationnaire est alors :E[W q] =

E[Lq]

λ=

ρ2

λ(1− ρ)Proposition 3.11 : En régime stationnaire, le temps W passé par un lient dansle système, appelé temps de séjour, suit une loi ε (µ− λ) bx Démonstration : Soit n ≥ 0 le nombre de lients déjà présents dans le systèmelors de l'arrivée d'un nouveau lient. En régime stationnaire, N ∼ π. On peut al uler ladensité fW de W par onditionnement :fW (t) =

∞∑

n=0

fW (t |n).P(N = n) =

∞∑

n=0

fW (t |n).πnLa durée de servi e né essaire des n lients déjà présents ainsi que du nouvel arrivant estla somme de (n + 1) variables aléatoires indépendantes de loi ε(µ), don une variable deloi Γ(n + 1, µ). Sa densité est don :fW (t |n) =

µntn

n!µ.e−µt

1R+(t)Ainsi, il vient :fW (t) =

∞∑

n=0

µntn

n!µ.e−µt

(1−

λ

µ

)(λ

µ

)n

= e−µt(µ− λ)∞∑

n=0

(λt)n

n!= (µ− λ)e−(µ−λ)t

Remarque 3.12 : Ce i nous permet de retrouver E[W ] =1

µ− λ=

ρ

λ(1− ρ).3.3 La le M/M/sOn s'intéresse désormais à une généralisation des les M/M/1 : les les d'attente M/M/soù s est le nombre de serveurs.


3 Files d'attente 23λ ...

︸︷︷︸s serveursµ

µ︸︷︷︸Attente︸︷︷︸Servi e (= Système)Représentation s hématique d'une le d'attente M/M/s

Remarque 3.13 : Tout omme une le M/M/1, une le d'attente M/M/s est un pro essusde naissan e et de mort tel que, ∀i ∈ N :

λi = λµi = min(i, s).µOn a µi = min(i, s).µ et non pas µi = s.µ ∀i ∈ N ar s'il y a moins de lients que deserveurs, alors tous les serveurs ne seront pas en servi e (mais seulement i).Proposition 3.14 : Le pro essus asso ié à une le d'attente M/M/s sera ré urrentpositif (i.e. onverge vers un régime stationnaire) si et seulement si ρ =

λ

s.µ< 1. bx Démonstration : Il sut d'étudier la onvergen e de la série de terme général

n∏

i=1

λi−1

µi=

λn

s!µs(sµ)n−s=

ss

s!

λn

(sµ)nCette série onverge si et seulement si λ

sµ= ρ < 1

Remarque 3.15 : La loi stationnaire s'é rit alors :πi =

smin(s−i,0)

min(i, s)!

(λ

µ

)i

π0etπ0 =

(s−1∑

n=0

1

n!

(λ

µ

)n

+1

s!(1− ρ)

(λ

µ

)s)−1

Proposition 3.16 : En régime stationnaire, le nombre moyen de serveurs o upésest λ

µ. b


3 Files d'attente 24x Démonstration : Si le nombre de lients i est inférieur à s, alors il y aura i serveurso upés, sinon, les s serveurs seront o upés, soit, si l'on note s le nombre moyen deserveurs o upés :s =

∑

i∈N

min(i, s).P(N = i) =∑

i∈N

min(i, s).πi =∑

i∈N

min(i, s)smin(s−i,0)

min(i, s)!

(λ

µ

)i

π0

=∑

i∈N

smin(s−i,0)

min(i− 1, s− 1)!

(λ

µ

)i

π0 =∑

i∈N

smin(s−i+1,0)

min(i− 1, s)!

(λ

µ

)i

π0

k←i−1=

λ

µ

∑

k∈N

smin(s−k,0)

min(k, s)!

(λ

µ

)k

π0 =λ

µ

∑

k∈N

πk

︸︷︷︸=1

=λ

µ

Remarque 3.17 : Pour fa iliter les al uls, on exhibe la relation existante entre πi pouri ≥ s et la quantité πs :

πi = πs.ρi−sProposition 3.18 : Le nombre moyen de lients en régime stationnaire est :

E[N ] =λ

µ+

ρ

(1− ρ)2πs bx Démonstration :

E[N ] =∑

i∈N

i.πi =∞∑

i=s

i.πi +s∑

i=0

i.πi +∞∑

i=s

s.πi

︸︷︷︸s

−∞∑

i=s

s.πi

= s +∞∑

i=s

(i− s)πi =λ

µ+ πs

∞∑

i=s

(i− s)ρi−s

k←i−s=

λ

µ+ πs

∞∑

k=0

k.ρk

=λ

µ+

ρ

(1− ρ)2πsCe i est vrai pour ρ < 1, e qui est le as (proposition 3.14) puisque le pro essus estré urrent positif5. Proposition 3.19 : En régime stationnaire, la probabilité que tous les serveurssoient o upés est :

P(N ≥ s) =1

1− ρπs b5Dans la mesure où l'on a supposé sa onvergen e vers un régime stationnaireMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Files d'attente 25x Démonstration :P(N ≥ s) =

∞∑

i=s

πi = πs

∞∑

i=s

ρi−s

k←i−s= πs

∞∑

k=0

ρk = πs1

1− ρ

Remarque 3.20 : Cette proposition est onnue sous le nom de formule Erlang-2.Proposition 3.21 : En régime stationnaire, le temps d'attente W q suit une loimélange de : la masse de Dira en 0 ave une probabilité de 1−πs

1− ρ la loi ε (sµ− λ) ave une probabilité de πs

1− ρ

bx Démonstration : La probabilité qu'un lient n'attende pas en régime stationnaire(i.e. que tous les serveurs ne soient pas o upés) est égale àP(W q = 0) = P(N < s) = 1− P(N ≥ s) = 1−

πs

1− ρSupposons désormais qu'à l'arrivée de e lient, il y ait déjà n ≥ s lients, le temps que e lient devra attendre est don la somme de (n− s + 1) variables aléatoires de loi ε(sµ),don une variable de loi Γ(n − s + 1, sµ). La suite de la démonstration se fait alors de lamême façon que elle de la proposition 3.11.

Remarque 3.22 : On déduit des propositions pré édentes les temps moyens d'attente etde séjour en régime stationnaire :− E[W q] =

πs

1− ρ×

1

sµ− λ=

sµ

(sµ− λ)2πs

− E[W ] =1

µ+ E[W q]3.4 La le M/M/∞On peut étendre les propriétés des les M/M/s lorsque s = ∞, autrement dit, à unservi e disposant d'une innité de serveurs et où tout lient est immédiatement servi, sansattendre.

Remarque 3.23 : Une le M/M/∞ est don un pro essus de naissan e et de mort telque, ∀i ∈ N : λi = λµi = i.µ


3 Files d'attente 26Proposition 3.24 : Quelques soient les valeurs des taux λ et µ, le pro essus asso iéà une le M/M/∞ est ré urrent positif et l'on a, ∀i ∈ N :πi =

1

i!

(λ

µ

)i

e−λµAutrement dit, le nombre de lients présents dans le système en régime stationnairesuit une loi de Poisson de paramètre λ

µ. b

x Démonstration : ∀λ, µ, ρ = λs.µ −−−−→s→+∞

0 < 1 don le pro essus est ré urrent positif.Sa loi stationnaire est donnée par (remarque 3.15) :πi =

smin(s−i,0)

min(i, s)!

(λ

µ

)i

π0 −−−−→s→+∞

1

i!

(λ

µ

)i

π0etπ0 =

(s−1∑

n=0

1

n!

(λ

µ

)n

+1

s!(1− ρ)

(λ

µ

)s)−1

−−−−→s→+∞

e−λ/µ

Il vient de la proposition 3.24 la proposition suivante :Proposition 3.25 : Le nombre moyen de lients en régime stationnaire est :E[N ] =

λ

µbx Démonstration : N ∼ P

(λµ

)

Remarque 3.26 : La formule de Little onrme le résultat obtenu en prenant la limitedes résultats de la remarque 3.22 :− E[W q] = 0

− E[W ] =1

µ


2 Files d'attente simples 27Deuxième partieSimulations de les d'attente1 Introdu tionDans un premier temps, nous allons simuler les les d'attente lassiques dont on a ee tuél'étude analytique dans la première partie an d'en vérier les résultats. Ensuite, nous nousatta herons à étudier par la simulation le omportement asymptotique des les d'attenteplus omplexes dont l'étude théorique est di ile voire impossible an d'en tirer, si possible,quelques résultats.2 Files d'attente simples2.1 File d'attente M/M/1La fon tion suivante permet de simuler une le d'attente M/M/1 de taux λ = lambda,µ = mu sur l'intervalle de temps [0,tmax.fun tion [T,N = MM1(lambda,mu,tmax)nombreMax = grand(1,1,'poi',lambda*tmax);Tentree = unique(rand(nombreMax,1))*tmax;S = grand(nombreMax,1,'exp',1/mu); // Durées de servi esEn eet, d'après la proposition 1.31, le pro essus d'entrée qui est un pro essus de Poissonde taux λ peut être simulé de la façon suivante :Algorithme 3 Simulation d'un pro essus de Poisson de taux λ sur [0, t]Entrées: λ > 0, t > 0Sorties: T ontient les instants d'o uren e du pro essus de Poisson de paramètre λ.N ← v.a. de loi P(λt)U ← é hantillon de N v.a. de loi U(0, t)T ← tri(U)Tsortie = zeros(nombreMax,1);for k=1:nombreMaxif k == 1Tsortie(k) = Tentree(k) + S(k);elseTsortie(k) = max(Tsortie(k-1),Tentree(k))+S(k);endendSi l'on appelle T s

n le temps de sortie du ne lient, T en l'instant auquel il est entré dans lesystème et Sn son temps de servi e, alors :

T s

0 = T e0 + S0

T sn = max(T s

n−1, Ten) + Sn ∀n ∈ N

∗Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Files d'attente simples 28T = unique([Tentree;Tsortie);N = [; iE=1; iS=1; Nt = 0;for t=1:length(T)if T(t) == Tentree(iE)Nt = Nt+1;iE = iE+1;endif iS<length(Tsortie) & T(t) == Tsortie(iS)Nt = Nt-1;iS = iS+1;endN = [N;Nt;if iE>nombreMax // le dernier lient est entrébreak; // on peut arrêter la simulationendendT = T(1:t);endfun tionL'évolution du nombre de lients dans le système donne, pour une simulation ave λ =2, µ = 3, t = 200, le graphe suivant :

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

12

14

On her he alors à vérier le théorème 1.5. Pour ela, on al ule la proportion de tempspassé en i ∈ E entre 0 et t :pi(t) =

1

t

∫ t

01Xs=ids =

1

t

∑

NTn=i

(Tn+1 − Tn)où (Tn)n∈N est l'instant du ne saut (positif ou négatif). Le théorème nous indique qu'entemps long (dans notre simulation t = 200, e qui semble susant), pi(t) onverge presquesûrement vers πi, don ∀i ∈ E = N, pi(200) ≈ πi e que l'on vérie sur le graphe suivant :Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Files d'attente simples 29

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Probabilité empirique

Pi

On estime désormais le nombre moyen de lients sur [0, t] dans le système par :M(t) =

1

t

∫ t

0NxdxComme Nx ne hange qu'aux instants de sauts, ette formule est équivalente à

M(t) =1

t

∑

Tn+1≤t

NTn × (Tn+1 − Tn)La remarque 3.10 nous indique que M(t) doit onverger vers ρ1−ρ = 2, e que l'on vériesur le graphique suivant :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0


2 Files d'attente simples 30On estime ensuite le temps moyen de séjour qui doit onverger, selon la remarque 3.10,vers ρλ(1−ρ) = 1 :

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Il est également intéressant de regarder l'évolution de la le d'attente dans le ras ré urrentnul et transitoire. Le as ré urrent nul, ave λ = µ = 2, donne le résultat suivant :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60


2 Files d'attente simples 31Et pour le as transitoire, ave λ = 3 > µ = 2, donne le suivant :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

On observe que le nombre de lients dans le système tend presque sûrement vers l'inni.2.2 File d'attente M/M/sPour simuler une le d'attente M/M/s, il sut de modier la partie du programme qui al ule l'instant de sortie du ne lient. Pour ela, on her he à onnaître l'instant auquel e lient va être servi. Il le sera dès qu'une ressour e sera disponible, 'est à dire : immédiatement s'il y a moins de lients dans le système que de serveurs dès que l'un des s lients en servi e sortira (et ainsi libèrera la ressour e6 qu'il utilisait)Autrement dit : Si l'on appelle T sn le temps de sortie du ne lient, T e

n l'instant auquel il estentré dans le système et Sn son temps de servi e, alors :

T sn = T e

n + Sn ∀n ≤ sT s

n = max(min(T sn′−1, . . . , T

sn′−s), T

en) + Sn ∀n > sEn prenant bien garde aux fait que T s

n′−1 6= T sn−1 ! Le terme FIFO est alors ambigüe, aril s'agit du 'premier arrivé, premier servi' et non pas du 'premier arrivé, premier sorti'. Ilne faut don pas oublier d'ordonner les temps de sortie pour tout k < n lors du al ul de

T sn, 'est pourquoi l'on adpote la notation (T s

n′−1, . . . , Tsn′−s) pour désigner les s derniers lients à être sortis avant que le ne lient ne soit servi par opposition à (T s

n−1, . . . , Tsn−s)qui désigne les s lients pré édant le ne lient dans la le d'attente.for k=1:nombreMaxif k <= nbServeursTsortie(k) = Tentree(k) + S(k);6Ressour e = seveurMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

2 Files d'attente simples 32elseTsortieOrder = unique(Tsortie);TsortieMin = TsortieOrder(k-nbServeurs);Tsortie = [Tsortie;(max(TsortieMin,Tentree(k))+S(k));endendEn ee tuant une première simulation ave λ = 10, µ = 6 et s = 2, on observe l'évolutionde la quantité pi(t), i ∈ E lorsque t roît et l'on remarque que pour t susament grand,on api(t) ≈ πi

−5 0 5 10 15 20 25 30 35 400.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

Probabilité empirique

Pi

La onvergen e s'ee tue assez rapidement : e graphe est obtenu pour t = 1000 mais àpartir de t = 400, pi(t) semble se stabiliser.On observe alors, omme pour la le M/M/1, l'évolution du nombre moyen de lients sur[0, t] quand t roît par la quantité :

M(t) =1

t

∫ t

0Nxdx =

1

t

∑

Tn+1≤t

NTn × (Tn+1 − Tn)Le graphique suivant illustre parfaitement la proposition 3.18 :M(t) −−−−→

t→+∞E[N ] =

λ

µ+

ρ

(1− ρ)2πs ≈ 5.45


2 Files d'attente simples 33

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

On her he enn à approximer E[W ] en observant l'évolution du temps moyen de séjourdans le système dont la limite est, en a ord ave la remarque 3.22, 1

µ+

sµ

(sµ− λ)2πs ≈

0.5454

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


2 Files d'attente simples 34On her he désormais à observer le omportement de la le d'attente dans le as ré urrentnul. Pour ela, on ee tue une simulation ave les paramètres suivants : λ = 12, µ = 6 ets = 2.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

100

120

140

La taille de la le d'attente prend des valeurs signi ativement grande (jusqu'à plus de 120 lients dans le système) sans pour autant tendre vers l'inni.Enn, on her he à onrmer le omportement asymptotique d'une le M/M/s dans le as transient. Pour ela, on ee tue une simulation ave λ = 15, µ = 6 et s = 2 :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

500

1000

1500

2000

2500

3000


3 Autres les d'attente 353 Autres les d'attente3.1 File d'attente M/M/s/kSelon les ouvrages, k désigne la apa ité de la le d'attente ou la apa ité du système. Pournotre part, nous onsidèrerons qu'il s'agit de la apa ité de la le d'attente et ainsi :E = 1, 2, . . . , k + sSeules quelques modi ations de la fon tion élaborée pour les les M/M/s sont né essaires.Lorsque le ne lient entre dans la salle, on onnaît : le nombre total de lients étant entrés dans le système : nbClients l'instant de sortie T s

k de tous les lients entrés avant T en : TsortieOn peut don al uler le nombre de lients dont la date de sortie est inférieure à T e

n etainsi en déduire le nombre de lients dans le système à haque entrée :nbClients - length(find(Tsortie<Tentree(k)))La modi ation à faire est don la suivante :nbClients = 0;for k=1:nombreMaxClientsnbClients = nbClients+1;if k <= nbServeursTsortie = [Tsortie;Tentree(k) + S(k);elseif (nbClients - length(find(Tsortie<Tentree(k))))<=(nbServeurs+ apa ite)TsortieOrder = unique(Tsortie);TsortieMin = TsortieOrder(nbClients-nbServeurs);Tsortie = [Tsortie;(max(TsortieMin,Tentree(k))+S(k));elsenbClients = nbClients-1;endendendDans l'obje tif de déterminer une expression générale de la loi stationnaire du pro essus,on se propose d'ee tuer plusieurs simulations en faisant varier les paramètres. A noter quele régime stationnaire existe ar le pro essus est irrédu tible à valeurs dans un ensembleni. Son générateur innitésimal est donné par :

qi,i+1 = λ ∀ 0 ≤ i ≤ k + s− 1qi,i−1 = min(i, s).µ ∀ 1 ≤ i ≤ k + sqi,i = −λ pour i = 0qi,i = −(λ + min(i, s).µ) ∀ 1 ≤ i ≤ k + s− 1qi,i = −s.µ pour i = k + sEt son graphe de transitionss (fortement onnexe) est le suivant :

0 1 2 . . . s . . . k + s

λ λ λ λ λ λ

sµsµsµ3µ2µµMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Autres les d'attente 36On obtient les résultats suivants, pour t grand :λ µ λ/µ s k p0(t) p1(t) p2(t) p3(t) p4(t) p5(t) M(t)

2 2 1 1 0 0.49985 0.50014 − − − − 0.24901

2 2 1 1 2 0.23575 0.25797 0.25872 0.24754 − − 0.75

2 2 1 3 0 0.33457 0.39663 0.20089 0.06790 − − 0.47676

2 2 1 3 2 0.32794 0.38234 0.20144 0.05749 0.02466 0.00610 0.50

2 3 2/3 1 0 0.59250 0.40749 − − − − 0.19242

2 3 2/3 1 2 0.44130 0.27778 0.16657 0.11433 − − 0.50089

2 3 2/3 3 0 0.50533 0.33347 0.13157 0.02962 − − 0.33058

2 3 2/3 3 2 0.51935 0.33203 0.11172 0.02633 0.00864 0.00190 0.34311

3 2 3/2 1 0 0.39261 0.60738 − − − − 0.30128

3 2 3/2 1 2 0.10942 0.18570 0.28455 0.42031 − − 1.0034

3 2 3/2 3 0 0.23701 0.35040 0.26949 0.14309 − − 0.66455

3 2 3/2 3 2 0.22453 0.33601 0.24537 0.11055 0.054406 0.02913 0.76132

3 3 1 1 0 0.50525 0.49474 − − − − 0.24637

3 3 1 1 2 0.24906 0.25210 0.262123 0.23670 − − 0.72012

3 3 1 3 0 0.38760 0.36451 0.18851 0.05935 − − 0.46018

3 3 1 3 2 0.35291 0.38997 0.17580 0.05949 0.01652 0.00529 0.51547

λ ...︸︷︷︸s serveurs

µ

µ︸︷︷︸Salle d'attente : k pla es

︸︷︷︸Servi e (= Système)Représentation s hématique d'une le d'attente M/M/s/k3.1.1 File M/M/1/0Une analyse rapide de la quantité p1(t)

p0(t)pour les quatres exemples nous permet de supposerqueπ1 =

λ

µπ0Or, π = π0, π1 don π1 = 1− π0, soit :

π1 =λ

µπ0 = 1− π0 ⇔ π0

(1 +

λ

µ

)= 1 ⇔ π0 =

1

1 + λµDon ∀i ∈ 0, 1 :

πi =

(λ

µ

)i 1

1 + λµMaster 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Autres les d'attente 373.1.2 File M/M/1/kOn remarque immédiatement que lorsque λµ = 1, p(t) = p0(t), . . . , pk+1(t) ∼ U (0, 1, . . . , k + 1),on peut don supposer que :

π =

1

k + 2, . . . ,

1

k + 2

On s'aperçoit également que ∀i ∈ 0, 1, . . . , k + 1 :pi(t)

p0(t)≈

(λ

µ

)i e qui généralise le résultat trouvé pour les les M/M/1/0.On sait que, lorsque k → +∞, la loi de π tend vers elle d'une le M/M/1.Une étude des valeurs de π0 aux limites donne : π0 −−−−→k→+∞

(1− λ

µ

) pour λµ < 1 π0 −−−−→

k→+∞0 pour λ

µ > 1 π0 −−−→λµ→0

1 π0 −−−−−→λµ→+∞

0On en déduit que π0 est de la forme 1−λµ

1−“

λµ

”α(k) où α(k) est une fon tion roissante de k.Compte tenu du fait que π est ontinue en 1 et que1− λ

µ

1−(

λµ

)α(k)

λµ→1=

1

k + 2don 1−

(λ

µ

)α(k) λµ→1=

(1−

λ

µ

)(k + 2)En notant x = 1− λ

µ , on a :DL0

((1 + x)α(k)

)= 1 + α(k) × x = 1 + (k + 2)xPar identi ation, on trouve α(k) = k + 2.3.2 File d'attente M/G/1Pour simuler une le d'attente M/G/1, il sut de reprendre l'algorithme utilisé pour lesles M/M/1 et de modier la ligne :S = grand(nombreMax,1,'exp',1/mu); // Durées de servi espar la génération d'un ve teur aléatoire de la loi souhaitée. Prenons par exemple le asd'une loi Γ(s, µ).On ee tue une première simulation pour λ = 1, µ = 3, s = 2. Le nombre de lients dansle système évolue alors de façon similaire à un pro essus ré urrent positif :Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007

3 Autres les d'attente 38

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

On her he alors une approximation de la loi stationnaire en al ulant la proportion detemps passé en i ∈ N entre 0 et t pour un temps t grand :

−2 0 2 4 6 8 10 12 140.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Le nombre moyen de lients M(t) entre 0 et t semble onverger vers 1.6 quand t→∞ :Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Le temps moyen de séjour semble également onverger vers une valeur pro he de 1.6 :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Ces deux observations sont onformes à la relation de Little :E[N ] = λE[W ]ave λ = 1, E[N ] = E[W ] ≈ 1.6.On hange désormais les paramètres λ, µ et s an de déterminer une ondition d'existen edu régime stationnaire. Pour λ = 2, µ = 4 et s = 2, on obtient le résultat suivant :Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ce qui semble orrespondre à un pro essus ré urrent nul. On vérie ela en observantl'évolution du nombre moyen de lients dans la le d'attente :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

5

10

15

20

25

30

35

Même pour des valeurs de t très grandes, ette quantité ne semble pas onverger.On ee tue alors une simulation ave λ = 2, µ = 4 et s = 3. Le résultat est sans ambigüité :Master 2 Mathématiques − Files d'attente − Version 1.0 − Bourdier Tony © 2007


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

200

400

600

800

1000

1200

1400

Le nombre de lients dans le système roît ave le temps. On re onnaît le as d'un pro essustransitoire.On peut induire de es trois études de as le résultat suivant : le pro essus de omptageasso ié à une le d'attente M/Γ(s, µ)/1 de paramètre λ est :− transitoire si sλ > µ

− ré urrent nul si sλ = µ

− ré urrent positif si sλ < µ


4 Con lusion 424 Con lusionL'existen e de situation d'équilibre pour un système dynamique ainsi que la onnaissan ede son omportement dans une telle situation sont des questions importantes dans denombreux domaines s ientiques. En eet, de telles informations permettent au prati iend'assurer la stabilité d'un système et également de ontrler l'évolution du phénomènedans une telle situation. Quand e type de phénomène est modélisé par un pro essusaléatoire, l'existen e de situations d'équilibre se ara térise par elle d'une probabilitéinvariante, i.e. d'une loi de probabilité telle que le pro essus aléatoire muni de ette loiinitiale est en régime stationnaire ( ela signie que la loi du pro essus est invariante partranslation du temps). Connaître sa probabilité invariante et plus généralement son régimestationnaire est alors utile dans deux situations : lorsque le pro essus est réellement enrégime stationnaire et lorsque le pro essus admet une probabilité invariante mais a unevaleur initiale donnée. Dans ette deuxième situation, le pro essus n'est pas en régimestationnaire mais sous ertaines onditions, il tend vers son régime stationnaire quandt→∞. Cette onvergen e signie pour le prati ien qu'au bout d'un temps plus ou moinslong, le phénomène tend vers une situation stable (dont on onnaît le omportement sil'on sait al uler le régime stationnaire). Nous nous sommes atta hés, après avoir exposéles notions requises, à al uler pour un ertain nombre de phénomènes d'attente simples ette loi stationnaire. Pour des les plus omplexes dont l'étude analytique ne semblaientpas possible, nous avons mis en oeuvre des simulations dans l'obje tif de déterminer uneapproximation de la loi stationnaire. La détermination des onditions de onvergen e s'estrévélée assez aisée dans les as traités et la stabilité du omportement des les en tempslong, sous les onditions adéquates, s'est vériée.


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