UE7 C Automatique et Signal AU209 - Systèmes Non Linéaires...
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UE7 C – Automatique et Signal AU209 - Systèmes Non Linéaires 1 Patrick LANUSSE Pierre MELCHIOR IPB 2016/2017 Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche
Transcript of UE7 C Automatique et Signal AU209 - Systèmes Non Linéaires...
UE7 C – Automatique et Signal
AU209 - Systèmes Non Linéaires 1
Patrick LANUSSE
Pierre MELCHIOR IPB 2016/2017
Ministère de l'Enseignement
Supérieur et de la Recherche
2
1 - Définition
"Un système non linéaire est un système qui n'est pas linéaire", c'est-à-dire un
système pour lequel le principe de superposition ne s'applique pas.
e(t) s(t)H
tststetetstetete
tetste
tetste
21213213
222
111
alors
et
systèmedu ceransmittanpérateur to : si
H
H
HH
3
Exemple 1
•
présence des fonctions carré et multiplication de signaux
202
12
2
2 tetsatsdtdtsats
dt
da
e(t)
2
1a
2x
0a
2x1a
s(t)+
-
-
4
Exemple 2
•
présence de la fonction saturation dont la sortie est conditionnelle
10pour 10
10pour 10
10pour
102
2
2
102
2
2
012
2
2
tsdtdatetsats
dt
da
tsdtdatetsats
dt
da
tsdtdtetsats
dtdats
dt
da
e(t)
2
1a
0a
1a
s(t)
+-
-
sat
5
2 - Analyse des systèmes non linéaires 1/2
• Un système ayant un comportement linéaire pour tout son domaine de
fonctionnement n'existe pas (souvent)
• Cependant, si le caractère non linéaire est faible devant le comportement
linéaire (dans son domaine de fonctionnement le plus probable), il est possible
de ne caractériser le système que par son comportement linéaire
+e(t) s(t)
Hnl
H
H0
systèmedu linéarité-non : systèmedu linéaire artiep :
nl0
nl
0
nl0
HH
HH tetetststste
onmodélisati deerreur : systèmedu nominale nce tranmitta:
et 0nl0
nl
0
0
HH
HH tstststs
6
Analyse des systèmes non linéaires 2/2
• Le seul caractère linéaire ne permet pas toujours d'expliquer des phénomènes
non négligeables observés :
•distorsion (création d'harmoniques)
•précision d'asservissement attendue mais non obtenue (présence de zone
morte, de jeu, de saturation, etc.)
•régime oscillatoire non amorti (système bouclé comportant hystérésis,
saturation de l'entrée, interne ou en sortie, élément à comportement binéaire,
etc.)
Il faut alors :
•identifier les causes de ces phénomènes (parfois elles ont été volontairement
introduite dans le système),
•les modéliser pour qu'elles puissent être prises en compte
•en réduire les effets indésirables
7
3 - Classification des principales non-linéarités
Dans un asservissement, que les non-linéarités appartiennent à la loi de
commande, au procédé ou au capteurs, elles peuvent généralement être
modélisées à l'aide de quelques éléments linéaires et non-linéarités de base
s
e
courbure (xn, tanh, etc.)
s
e
seuil ± D/2
D/2
D/2
e
hystérésis ± h/2
h/2
-h/2
s
e
plus ou moins ± M
Ms
-M
8
Exemple 1
s
e
seuil ± eM (gain 1)
eM
- eM
+
e(t) s(t)M/eM
-
e(t)
gain M/eM et saturation ± M
s
e
eM
- eM
M
-M
s(t)
9
e
hystérésis ± h/2
h/2
-h/2
s
e
plus ou moins ± M
Ms
-M
Exemple 2
e(t)
s
e
plus ou moins avec hystérésis
h/2- h/2
M
-M
s(t)
e(t) s(t)
10
On définit un système de Lur'e comme l'interconnexion :
• d'un système linéaire L (stable et non oscillant) défini par une fonction de
transfert L(p)
• d'un élément non linéaire H dont la sortie est définie par w(t) = H(x(t), t)
H(x,t)
-L(p)
w
x
w = H(x,t)
k max
x
x
xktxH max,0
4 - Stabilité d'un système non linéaire bouclé
11
Un système de Lur'e est stable s'il existe un nombre q réel permettant à L et à H de
respecter la relation
H(x,t)
-L(p)
w
xw = H(x,t)
k max
x
x
0 01
jj1emax
k
Lq
0
1je
jm max
q
kL
L
Im L'
max
1
k
Re L'
1q
Lieu de Popov L' : partie réelle Re{L(j)}
partie imaginaire Im{L(j)}
Critère de stabilité de Popov (1962)
Vasile Mihai Popov
(1928)
12
Non-linéarités de type secteur
txktxtxtwtxtxk 22
21 H
w = H(x)
xk1
k2
x(t) w(t)
w=Hx
-L(p)
x(t) w(t)w=H'x
-L(p)
k1 +
Thathachar et al. [1966] : utilisation du critère de Popov en prenant en compte
1 1
1pLk
pL
pW
pXsL
et kmax = k2 - k1
w = H'(x)
x
k2-k1
-L1(p)
13
Critère du cercle (Zames – 1966)
H non-linéarité statique (sans mémoire)
x(t) w(t)
w=Hx
-L(p)
George Zames
(1934-1997)
w
xk1
k2
txktxtxtwtxtxk 22
21 H
Re-1/k1
-1/k2
L(j)
Im
0
• Simplification de l'analyse de stabilité
(travail direct avec L et H)
• Réponse à la conjecture d'Aizerman
[1965] qui mettait plutôt en avant le
segment [-1/k1,-1/k2]
Le système bouclé est stable si L(j), le lieu de Nyquist de L(p) qui
ne possède aucun pôle à partie réelle positive, ne pénètre pas dans le
cercle ayant pour extrémités les points d'affixe -1/k1 et -1/k2.
14
Exemple
Prenons une non-linéarité de type plus-ou-moins associée à une fonction de
transfert du 2nd ordre (à paramètres positifs).
Le domaine du plan de Nyquist "interdit"
est donc tout le 1/2 plan gauche.
Le critère du cercle ne permet pas de
conclure à la stabilité de ce système
(pourtant stable M, k, z et n).
w
x
-M
M
2n
2
n
22
11
21
01
10
z
pp
kpL
kk
kk
Im
Re
-1/k2
L(j)
-1/k10
15
Critère du cercle désaxé
H non-linéarité statique et monotone
x(t) w(t)
w=Hx
-L(p)
w
xk1
k2
txktxtxtwtxtxk 22
21 H
Cho et Narendra [1968] (off-axis circle
criterion) montrent que le système bouclé stable si
le lieu de Nyquist de L ne pénètre pas dans un
cercle passant par les points (-1/k1, 0) et
(-1/k2, 0) et de centre (-a, b), a étant la moyenne
de 1/k1 et de 1/k2, et b un réel quelconque-1/k1
-1/k2
L(j)
Re
a
b
Im
16
Exemple (bis)
Reprenons une non-linéarité de type plus-ou-moins associée à une fonction de
transfert du 2nd ordre.
Le domaine du plan de Nyquist "interdit" peut
être tout le 1/2 plan du haut avec b →∞
Le critère du cercle désaxé permet ici de
conclure à la stabilité inconditionnelle du
système.
w
x
-M
M0
1et
1
21
kk
Im
Re
-1/k2
L(j)
-1/k10
17
Application
Considérons un moteur comportant une dynamique non stationnaire asservi par
une commande proportionnelle.
En utilisant le théorème du cercle, déterminer la condition nécessaire portant sur
a et assurant la stabilité de l'asservissement.
e(t)a
w(t)
+
yref(t) y (t)
sin(t)
-
u(t)
x(t) 21
1
p
ReL(j)
Im
0-1 1
Solution : La non-linéarité peut être considérée
comme un gain compris entre -1 et 1. La zone
interdite est donc tout le plan complexe sauf le
cercle de rayon passant par les point -1 et 1.
L(j) n'est compris dans le cercle que si a 1
L(j)
-1 a < 0 < a 1
18
Conclusion
• Critère extrêmement facile à mettre en œuvre
• Ne permet pas de prouver l'instabilité sachant qu'il exprime une
condition suffisante mais non nécessaire pour la stabilité
• Prouve la stabilité sans informer sur le degré de stabilité
aucune performance ne peut en être déduite
19
5 - Méthode du Premier Harmonique
(describing function - 1947)
• Méthode approchée d'étude des systèmes non linéaires bouclés
• Fournit des prévisions proches de la réalité si :
le système "fonctionne" en régime sinusoïdal
les harmoniques d'ordre supérieurs sont effectivement négligeables
• Consiste à généraliser la notion de fonction de transfert aux systèmes non linéaires afin de
bénéficier des outils fréquentiels utilisés pour l'analyse et la synthèse des systèmes linéaires
Le système bouclé est décomposé en une partie non linéaire caractérisée par N(x1,) et une
partie linéaire assimilable à un filtre de type passe-bas caractérisé par sa réponse fréquentielle
L(j).
x(t) w(t)
N(x1,)
-L(j)
Nikolai Bogolyubov
1909-1992
Nikolay Krylov
(1879 – 1955)
20
5.1 - Détermination de la fonction de transfert généralisée d'une non-linéarité
L'entrée x(t) de la non-linéarité est supposée sinusoïdale
En régime permanent, la sortie w(t) est périodique (période T) est décomposable
en série de Fourier
L'approximation du premier harmonique consiste à considérer les variations de
la sortie comme équivalente à son premier harmonique (les harmoniques d'ordre
supérieurs pouvant être négligés puisque filtrés par le système linéaire)
x(t) w(t)N(x1,)
Ttxxtx /2 avec sin10
...3sin32sinsin 322110 twtwtwwtw
111 sin D twtwtw
21
Par analogie avec le cas linéaire, on défini la notion de fonction de transfert généralisée
(ou gain complexe équivalent)
Les différences avec le cas linéaire sont les suivantes :
• les paramètres , x0 et x1 de x(t) sont choisis afin de permettre de caractériser l'ensemble
du domaine de fonctionnement de la non-linéarité
• la fonction de transfert obtenues dépend de mais aussi de x0 et x1
• pour un couple (x0, ) donné, la fonction de transfert peut être représentée par un
ensemble de lieux de transfert gradués en amplitude x1
Pour une non-linéarité statique, symétrique et attaquée autour de x = 0 :
• r et f sont indépendants de x0 et
• un seul lieu paramétré en x1 caractérise la non-linéarité
x(t) w(t)N(x1,)
f r ,
11
1
1
11
11 ,,xjj
exex
w
tx
twxN
Gain équivalent
22
Le premier harmonique de w(t) s'écrit
avec
On a bien sûr
Le gain complexe est alors
Si la fonction non linéaire est
• paire a1 = 0
• impaire b1 = 0
1
1
1
1
1
11 j, 1
x
b
x
ae
x
wxN
j
Rappel
tbtatwtw cossinsin 11111
2
001
2
001
cos1 cos2
sin1 sin2
tdttwdtttwT
b
tdttwdtttwT
a
T
T
1
11
21
211 a
barctgetbaw
23
La fonction non linéaire est impaire b1 = 0
Pour x0 = 0, le gain réel est
M1M
1
M121
2M
1
M
1
M
M1
pour
pour 1arcsinπ2
xxxMxN
xxx
xxx
xx
xMxN
Exemple 1 : gain et saturation
x(t)
w
x
xM
- xM
M
-M
w(t)
M
xxN M1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
M
1
x
x
24
La fonction non linéaire n'est ni paire, ni impaire
Le gain complexe est
2pour défininon
2pour
2arcsin avec e
π4
11
11
j-
11
hxxN
hxxh
xMxN aa
Exemple 2 : plus ou moins avec hystérésis
x(t)
w
x
h/2- h/2
M
-M
w(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.5-1
-0.50
0.5
11.52
2.53
M
hx1r
h
x12
1xf
25
La fonction non linéaire impaire
donc N(x1) est réel (f(x1) = 0).
Donner son allure.
Exemple 3 : tracé de l'allure d'un gain équivalent
x(t)
w
x
M
-M
w(t)
xA xB xC
-xC -xB-xA
x1
M/xA
xA xB xC
1xN
Attention, le gain complexe
équivalent n'est pas un gain
local, mais un gain global.
26
5.2 - Pompage des systèmes non linéaires
Le pompage (ou auto-oscillation) apparaît (ou peut apparaître suivant les
conditions initiales) dans les systèmes bouclés non linéaires.
Il est caractérisé par un signal x(t) périodique, plus ou moins sinusoïdal, et
d'amplitude constante (non amortie).
Quand l'approximation du premier harmonique se justifie, la présence et les
caractéristiques (amplitude et fréquence) du phénomène de pompage peuvent
être définies en utilisant une extension du critère du revers.
x(t) w(t)
N(x1,)
-L(j)
27
5.2.1 - Ré-écriture du critère du revers
A partir de l'étude de sa boucle ouverte, le
critère du revers permet de statuer sur la
stabilité du système en boucle fermée et donc
de situer les racines de son équation
caractéristique (pôles) : 1 + kL(p) = 0.
Il consiste à localiser kL(j) par rapport au
point critique (-1,0). Si le point critique est
laissé à gauche par kL(j),, toutes les racines
sont dans le 1/2 plan gauche et le système est
donc stable en boucle fermée.
Le critère du revers peut aussi s'appliquer en
localisant L(j) par rapport au point critique
(-1/k,0).
x(t) w(t)
k
-L(p)
k > 0 et L(p) 0 pour Re{p} > 0
Im{kL(j)}
Re{kL(j)}
-1
Im{L(j)}
Re{L(j)}
-1/k
0
0
28
5.2.2 - Extension aux systèmes non linéaires
L'équation caractéristique s'écrit maintenant
1 + N(x1)L(p) = 0.
et l'extension du critère du revers consiste à
localiser L(j) par rapport au lieu critique
-1/N(x1).L(p) 0 pour Re{p} > 0
Im
Re
-1
x(t) w(t)
N(x1)
-L(j)
L(j)
-1/N(x1)x1
-/2--3/2
x1
L(j)-1/N(x1)|
|dB
arg0
0
Les points du lieu critique -1/N(x1) laissés à gauche par le lieu de Nyquist de
L(j) correspondent à des valeurs de x1 pour lesquelles le système bouclé est
dans des configurations stables, c'est-à-dire pour lesquelles les signaux (et
notamment x(t)) ont des amplitudes décroissantes.
29
Exemple 1 - Asservissement incluant une saturation
N(x1) étant un réel positif variant de k à 0 pour x1 allant de xM à l'infini, -1/N(x1)
est donc un réel négatif variant de -1/k à -.
L'ensemble du lieu critique -1/N(x1) est laissé à gauche par le lieu de Nyquist de
L(j). L'asservissement est donc dans une configuration stable pour toutes les
valeurs de x1.
x(t) a donc tendance à décroître quel que soit son état initial et x1 tend vers zéro.
e(t)
x(t)
w
xxM
- xM
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
M11
M121
2M
1
M
1
M1
M21y0y
pour
pour 1arcsinπ
2
0et 11
, ,0
xxkxN
xxx
x
x
x
x
xkxN
x
Mk
ppp
KpLtuppte
Im
Re-1/k
L(j)
-1/N(x1)
x1
0
x1 xM
30
Exemple 1 (suite)
Prenons maintenant une valeur de K plus importante telle qu'existe un point
commun à -1/N(x1) et L2(j) défini par -1/N(x10) = L2(j0).
•La partie du lieu critique -1/N(x1) définie pour
x1 > x10 est laissé à gauche par L2(j) et correspond
donc à des valeurs de x1 pour lequel l'asservissement
est dans une configuration stable
•La partie du lieu critique -1/N(x1) définie pour
x1 < x10 est laissé à droite par L2(j) et correspond donc
à des valeurs de x1 pour lequel l'asservissement est dans
une configuration instable
e(t)
x(t)
w
xxM
- xM
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
Im
Re
-1/k
L1(j)
-1/N(x1)
x1
0
x1 xM
L2(j)
x10
0
x1 xM config instable x10 config stable
x1x1 x1
31
Exemple 1 (suite et fin)
Quel que soit son état initial et x1 (notamment fixé par la valeur de py0), x(t) tend
donc vers un signal sinusoïdal d'amplitude x10 et de pulsation 0.
Le couple (x10, 0) correspond à un point de fonctionnement stable. On parle
d'autooscillation, d'oscillation limite, ou de phénomène de pompage.
Remarque : Sans saturation ±M, ce système avec L2(j0)<-1/k serait instable
(k L2(j0) < -1 pour argL2(j0) = -). La saturation a donc un rôle stabilisant.
e(t)
x(t)
w
xxM
- xM
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
- Im
Re-1/k-1/N(x1)
x1
0
x1 xM
L2(j)
x10
0
x1 xM config instable x10 config stable
x1x1 x1
32
Exemple 2 - Asservissement par +ou- avec seuil et hystérésis
e(t)
x(t)
w
xD/2
- D/2
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
D
D
D
π2
arcsin2
πet
2
π
2arcsin0
22
πet
2sin
π
4
avec
e ,2
Pour
11 , ,0
11
1
111
21y0yref
1
hh
xx
Mx
xxNh
x
ppp
KpLtuppty
xj
ba
baf
abr
r
f
Im
Re
L(j)
-1/N(x1)
x1 0
h
h
2 1
hx
D
x10''
0'x10'
0''
33
Exemple 2 - Asservissement par +ou- avec seuil et hystérésis (suite)
Si x(0) est inférieur à x10', x(0) a tendance à décroître et x1 tend vers une valeur de
l'ordre de (D+h)/2. Si x(0) est supérieur à x10', x(t) tend donc vers un signal
sinusoïdal d'amplitude x10'' et de pulsation 0''.
x10' est la valeur maximale de py0 qui permette une stabilité totale.
e(t)
x(t)
w
xD/2
- D/2
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
Im
Re
L(j)
-1/N(x1)
x1 0h
h
2 1
hx
D
x10''
0'x10'
0''
config stable x10' config instable x10'' config stable x1
x1 x1 x1
2 1
hx
D
34
Exemple 3
L'ensemble du lieu critique -1/N(x1) est laissé à droite par le lieu de Nyquist de
L(j). L'asservissement est donc dans une configuration instable pour toutes les
valeurs de x1.
x(t) a donc tendance à diverger
e(t)
x(t)
w
xD/2
- D/2
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
pp
KpL
1
2
Im
Re
L(j)
-1/N(x1)
x1 0
h
h
2 1
hx
D
Prenons maintenant un élément linéaire différent
35
Exemple 4
Si x(0) est inférieur à x10'', x(t) tend vers un signal sinusoïdal d'amplitude x10' et de
pulsation 0'. Si x(0) est supérieur à x10'', x(t) diverge.
x10'' est la valeur maximale de py0 qui permette une certaine stabilité de
l'asservissement.
e(t)
x(t)
w
xD/2
- D/2
M
-M
w(t)L(p)
+
yref(t) y (t)
py(t)
+
-
ppp
ppKpL
412
32
11
11
Im
Re
L(j)
-1/N(x1)x1 0
h
h
2 1
hx
D
x10'' 0'x10'
0''
config instable x10' config stable x10'' config instable x1
x1 x1 x1
Prenons maintenant un élément linéaire différent
2 1
hx
D
36
Application - Asservissement par +ou- avec hystérésis
1 - Déterminer l'expression de N(x1)
2 - Pour h = 0, étudier la stabilité de cette commande et la présence d'un
phénomène de pompage (quand la valeur initiale de e(t) est différente
de zéro) en traçant dans le plan de Nichols l'allure de la réponse
fréquentielle G(j) et du lieu critique -1/N(x1).
3 - Pour éviter des commutations trop fréquentes du signal de commande
w(t), on décide d'introduire un phénomène d'hystérésis avec h = 0.06.
Etudier de nouveau la stabilité de cette commande et déterminer les
caractéristiques du phénomène de pompage s'il existe.
4 - Reprendre h = 0 et étudier la stabilité pour un procédé maintenant
défini par G'(p) = G(p)e-0.02p.
πet 16.01
10
M
pppG
e(t)
x(t)
w(t)G(p)
+
yref(t) = 0 y (t)
-
w
xh/2
- h/2
M
-M
37
Application (suite)
10-1
100
101
102
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-300-280-260-240-220-200-180-160-140
G&G'
G
G
'
h = 0 & h = 0.06
h = 0.06
h = 0
10-1
100
101
102
11
11111
2arcsinet
π
4 avec e ,
2Pour 1
x
hx
x
MxxxN
hx
xj frr f1 -
2 - Pour h = 0, le lieu de Nichols de G(j) laisse toujours le lieu
critique -1/N(x1) à droite. Il n'y a donc pas de phénomène de
pompage et x(t) converge vers zéro.
-300 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140-50
-40
-30
-20
-10
0
10
x1x1
GG'
h = 0
h = 0.06
Module et argument et lieux de Nichols G(j) et G'(j)
ainsi que des lieux critiques –1/N(x1) avec et sans hystérésis
38
Application (suite)
3 - Pour h = 0.06, le lieu de Nichols de G(j) coupe le lieu critique -
1/N(x1) au point (-170.4°, -26.9dB). Il y a un phénomène de pompage
et x(t) tend vers un signal sinusoïdal d'amplitude x10 = 0.18 et de
pulsation 0 = 36.9 rad/s.
0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Evolution de l'entrée et de la sortie de G(j) avec h = 0 Evolution de l'entrée et de la sortie de G(j) avec h = 0.06
0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x10
-4
39
Application (suite et fin provisoire)
4 - Pour h = 0, le lieu de Nichols de G'(j) coupe le lieu critique -1/N(x1) au
point (-180°, -13.3dB). Il y a un phénomène de pompage et x(t) tend vers
un signal sinusoïdal d'amplitude x10 = 0.82 et de pulsation 0 = 16.9 rad/s.
0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Evolution de l'entrée et de la sortie de G'(j) avec h = 0
40
5.2.3 - Modification du phénomène de pompage
Mise à part lorsque l'on souhaite réaliser un
oscillateur, le pompage n'est pas un phénomène
recherché.
La modification de la période et de l'amplitude
de ce phénomène peut être obtenue en
modifiant les points d'intersection du lieu
critique -1/N(x1) et du lieu L(j), soit par la
modification :
•de l'élément linéaire
•de l'élément non linéaire
La non-linéarité est généralement un élément
non (ou difficilement) modifiable.
La solution la plus simple consiste à modifier
l'élément linéaire en lui adjoignant par exemple
un élément correctif
L(p) 0 pour Re{p} > 0
x(t) w(t)
N(x1)
-L(j)
L'(p) = C(p) L(p)
Im
L(j)
-1/N(x1) x1
0
-1/N'(x1)
x1
Re
A : point de pompage initial
B : point de pompage après modif de N(x1)
C : point de pompage après modif de L(j)
A
B
C
41
Atténuation d'une amplitude de pompage
Considérons une non-linéarité +ou- en cascade
avec un système de 3e ordre
x(t) w(t)
L(p)
w
x
M
-M
2n
2
n
11
21
et π4
z
a
ppp
pLxMxN
arg-180°
dB
0°
-1/N(x1)x1
L(j)
L'(j)
Sachant que l'on souhaite diminuer l'amplitude
de la sortie s(t) de l'élément linéaire, la solution
la plus simple semble être de modifier la partie
linéaire de telle façon que
x10
0
1 avec KpWKpL
-pWp-L'pX
-1s(t)
x'10
0
Kts
-tx
Ceci est permis en intercalant entre s(t) et x(t)
un gain 1/K
K
K
42
Atténuation d'une amplitude de pompage (suite)
•Avant modification
•Avec modification
•Sachant que
x(t) w(t)
L(p)
w
x
M
-M 01010 j
π4 LMsx
arg-180°
dB
0°
-1/N(x1)x1
L(j)
L'(j)
x10
0
-1/Ks(t)
x'10
0
Kts
-tx
Cette modification de la partie linéaire n'a donc
absolument rien apporté …
… ce qui est normal car dans le cas traité, elle
ne modifie pas la pulsation de pompage
K
K
010 jπ4 ' L
KMx
1001010 jπ
4'' sLM Kxs
43
Atténuation d'une amplitude de pompage (suite et fin)
•Avant modification
•Avec modification
•Sachant que
01010 jπ
4 L
Msx
arg-180°
dB
0°
-1/N(x1)x1
L(j)
L'(j)
0
x(t) w(t)
L(p)
w
x
M
-M
-C(p)s(t)
x'10
'0C(j)
00010 'j'jπ
4'j'π
4 ' LCMLMx
00100
0
1010 'car 'j
π4
'j
''
sLM
C
x s
x10
La bonne solution consiste dans ce cas à
intercaler entre s(t) et x(t) un élément correctif
C(p) de type avance de phase, soit
pWpLp-CpWp-L'pX
pSp-CpX
C'est donc bien l'augmentation de la pulsation
de pompage qui permet la réduction de son
amplitude
'0
44
Elimination d'un phénomène de pompage
Considérons une non-linéarité +ou- en
cascade avec le système modélisé par
2n
2
n
21
22
211
1
z
a
pppp
ppL
arg
-180°
dB
0°
-1/N(x1)
x1L(j) L'(j)
x10
0
x10
'0
'
x10'
'
0'
'
Si x(0) est inférieur à x10', x(t) tend vers un signal sinusoïdal d'amplitude x10 et de
pulsation 0. Si x(0) est supérieur à x10', x(t) tend vers un signal sinusoïdal
d'amplitude x10'' et de pulsation 0''.
Un filtre à effet avance de phase en basse fréquence permet de faire disparaître le
phénomène de pompage d'amplitude importante x10''.
conf. inst. x10 conf. stab. x10' conf. inst. x10'' conf. stab.
x1 x1 x1 x1
45
Application - Asservissement par +ou- avec hystérésis (suite)
5 - Afin de réduire l'amplitude du phénomène de pompage induit par la
commande en +ou-, déterminer les paramètres du filtre à avance de
phase
sachant que l'on s'autorise à prendre un a = 5 (sur-amplification de 25
des hautes fréquences/basses fréquences) et que l'on désire une
oscillation en sortie d'amplitude aussi petite que possible.
πet 16.01
e10 02.0
Mpp
pGp
x(t) w(t)G(p)
+
yref(t) = 0 y (t)
-
w
x
M
-M
C(p)e(t)
appa
pC
1
1
46
Application (suite)
• L'avance de phase apportée par le filtre est maximale en = 1/
fm = 2arctan(a) - 90° = 67.38°
• Pour que la pulsation de pompage 0 soit la plus grande possible, faisons en sorte
que 0 = 1/. On a alors
argG(j0) + fm = - 180° 0 = 63 rad/s
Module et argument et lieu de Nichols de G(j) et de –1/N(x1)
10-1
100
101
102
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-300-280-260
-240-220-200-180
-160-140
G
G
r(x1)
10-1
100
101
102-300 -280 -260 -240 -220 -200 -180 -160 -140
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
N(x1)
x1
G(j) f(x1)
47
Application (suite et fin)
Evolution de l'entrée et de la sortie de G(j)
0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
• L'amplitude de pompage est alors
063.0jπ
4 j 0
0
1010
GM
C
xs
48
5.2.4 - Asservissement non linéaire de système linéaire
La méthode du premier harmonique permet aussi de synthétiser et/ou de prévoir
les performances d'une commande non-linéaire asservissant un système linéaire.
x(t) = e(t) w(t) = u(t)
N(x1,)
-G(j)
Im
-1
G(j)
0Re
Considérons un système de type passe-bas et
caractérisée par un argument tendant vers -3/2
en haute fréquence.
Etudions l'effet d'une non-linéarité définie par
txKsigntxtw
49
Asservissement non linéaire de système linéaire (suite)
Im
-1
G(j)
-1/N(x1)
x1
0Re
Le gain équivalent de la non-linéarité est
•pour x1 = 0, N(x1) j -1/N(x1) 0j
•pour x1 , N(x1) 1 -1/N(x1) -1
G(j) laisse donc toujours le lieu critique sur
sa gauche. Le système est donc stable quel que
soit x1(0).
Prenons
jπ41
11 x
KxN
30et 1
2 , 1 12
x
pppGK
0 5 10 15 20-1
-0.50
0.51
1.52
2.53
x(t) est en effet stable, mais on
peut remarquer que sa valeur
finale est différente de zéro
50
Im
-1
G(j)
-1/N(x1)
x1
0Re
Considérons le système bouclé précédent avec
maintenant
G(j) laisse toujours le lieu critique sur sa
gauche et on devrait conclure que le système est
stable quel que soit x1(0).
ppp
pG
1
)1(
0 5 10 15 20-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
5.2.5 - Mise en défaut de la méthode du premier harmonique
Contrairement à la prévision, x(t) présente un
phénomène de pompage.
Explication : L'élément linéaire ne filtre pas
assez les harmoniques générés par la non-
linéarité. Comportement de type faiblement
passe-bas (1er ordre en haute fréquence).
