U.S.T.O. L.M.D. MIAS – MASTER M1FACULTÉ DES SCIENCES / DÉPT. INFORMATIQUE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE II

FICHE TD N°3

PARTIE I   : NO LINEAR PROGRAMMING EXERCICE N°1   :

Soit le Programme Quadratique suivant :

{Max Z=x12+3 x1 x2+x2 x3

¿ Avec x1+2 x2+x3=6- Déterminer la matrice Hessienne.- Donner la relaxation semi-définie correspondante.- En déduire le(s) point(s) stationnaire(s).

PARTIE II   : GAMES THEORY

EXERCICE N°2   : Deux conducteurs (A et B) dirigent leur voiture l'une contre l'autre dans une rue trop étroite pour qu'elles

puissent se croiser sans provoquer d'accident. Si un conducteur ralentit tandis que l'autre garde la même vitesse, il perd la partie : il obtient alors une utilité de 0 et son adversaire obtient 4. Si les deux ralentissent en même temps alors le jeu se termine en égalité et les deux obtiennent une utilité de 2. Si aucun ne ralentit alors l'accident arrive et chacun obtient une utilité de -2.

1. Donnez l'ensemble des joueurs et l'ensemble des stratégies de chaque joueur.2. Représentez ce jeu sous forme stratégique.

EXERCICE N°3   : On considère le jeu sous forme stratégique suivant :

Joueur 2M B

Joueur 1 G (2 , 0) (0 , -2)D (-1 , -1) (-2 , -2)H (2 , 2) (-1 , 2)

Trouvez les ensembles de: – Stratégies Dominantes du Joueur 1, – Stratégies Dominantes du Joueur 2, – Equilibres en Stratégies Dominantes.

EXERCICE N°4   : Considérons le jeu suivant :

Joueur 2G M D

Joueur 1 H (2 , 2) (1 , 1) (4 , 0)B (1 , 2) (4 , 1) (3 , 5)

– Utilisez le processus de dominance successive pour résoudre ce jeu.

EXERCICE N°5   : On considère le jeu sous forme stratégique suivant :

Joueur 2M B V

G (-1 , -1) (-2 , -1) (0 , -1)Joueur 1 D (-2 , 1) (0 , 1) (0 , 0)

H (2 , 0) (-2 , 0) (2 , -1)F (-1 , 0) (-1 , -1) (-2 , 0)

Trouvez les équilibres de Nash de ce jeu.

Solution Fiche TD N°3

PARTIE I   : PROGRAMMATION NON LINÉAIRE

EXERCICE N°1   :

Soit le Programme Quadratique suivant :

{Max Z=x12+3 x1 x2+x2 x3

¿ Avec x1+2 x2+x3=6

- Matrice Hessienne H (Matrice des dérivées secondes)

Min Z = CX + 12 XT H X

Dans notre cas C = [0 , 0 , 0] et H = [2 3 03 0 10 1 0 ]

Vérification. : Z=12 [ x1 x2 x3 ] [2 3 0

3 0 10 1 0][ x1

x2

x3]=x1

2+3 x1 x2+x2 x3

- Relaxation semi-définie :L ( x1 , x2 , x3, λ )=x1

2+3x1 x2+x2 x3+λ (6−x1−2 x2−x3)

- Points stationnaires :x L(x,) = 0 (Conditions du premier ordre)

∂ L∂ x1

=2 x1+3 x2−λ=0

∂ L∂ x2

=3 x1+x3−2 λ=0

∂ L∂ x3

=x2−λ=0

∂ L∂ λ

=6−x1−2 x2−x3=0

Après résolution, on trouve le point stationnaire ( x1¿ , x2

¿ , x3¿ , λ¿ )=(−1, 1 , 1 , 5 )

PARTIE II   : THÉORIE DES JEUXEXERCICE N°2   :

1. Ensemble de joueurs (agents) : N = {A , B}

Ensemble de stratégies : SA = {"ralentit", "garde la même vitesse"}SB = {"ralentit", "garde la même vitesse"}

2. Jeu sous forme stratégique

Joueur B                  Ralentit                     Garde la même vitesse

Joueur A Ralentit (2 , 2) (0 , 4)Garde la même vitesse (4 , 0) (-2 , -2)

EXERCICE N°3   : On considère le jeu sous forme stratégique suivant :J 2

M BJ 1 G (2 , 0) (0 , -2)

D (-1 , -1) (-2 , -2)H (2 , 2) (-1 , 2)

Définition d’une stratégie dominante :

si Si et si si' , les inégalités ui(si

' , s−i) ≥ ui(si, s−i) sont satisfaites pour tout s−i S−i.

si désigne une stratégie du joueur i N. s−i S−i toutes les stratégies choisies sauf celle du joueur i.

ui(s) ℝ est la fonction de gain (ou utilité) du joueur i N.– Stratégie dominante de J1 :

u1 (G, M) = 2, u1 (D, M) = -1, u1 (H, M) = 2u1 (G, B) = 0, u1 (D, B) = -2, u1 (H, B) = -1

Donc G est une stratégie dominante pour J1.

– Stratégie dominante de J2 :

u2 (M, G) = 0, u2 (B, G) = -2u2 (M, D) = -1, u2 (B, D) = -2u2 (M, H) = 2, u2 (B, H) = 2

Donc M est une stratégie dominante pour J2.

– Equilibres en stratégies dominantes :

( M , G) utilité = (2,0)

EXERCICE N°4   :  Processus de dominance successive :Joueur 2

G M DJoueur 1 H (2 , 2) (1 , 1) (4 , 0)

B (1 , 2) (4 , 1) (3 , 5)

Elimination des stratégies si' Si strictement dominée pour le joueur i et ceci s’il existe une autre stratégie

si Si telle que : ui(si, s−i) > ui(si' , s−i) pour tout s−i S−i.

Pour le joueur 1, aucune stratégie n’est dominée

Pour le joueur 2, la stratégie M est strictement dominée par la stratégie G. Elimination de la stratégie Mu2(M,H) = 1, u2(G,H) = 2u2(M,B) = 1, u2(G,B) = 2

Joueur 2G M D

Joueur 1 H (2 , 2) (1 , 1) (4 , 0)B (1 , 2) (4 , 1) (3 , 5)

Pour le joueur 1, la stratégie B devient strictement dominée par la stratégie H Elimination de BJoueur 2

G M DJoueur 1 H (2 , 2) (1 , 1) (4 , 0)

B (1 , 2) (4 , 1) (3 , 5)

Et enfin pour le joueur 2, la stratégie D est strictement dominée par la stratégie G Elimination de D

Joueur 2G M D

Joueur 1 H (2 , 2) (1 , 1) (4 , 0)B (1 , 2) (4 , 1) (3 , 5)

Le processus de dominance successive conduit à la solution (H,G) d’utilité (2,2)

EXERCICE N°5   :

Equilibres de Nash :

On dit qu’une combinaison de stratégies s* est un équilibre de Nash si l’inégalité suivante est satisfaite :

pour chaque joueur i = 1, 2, ....n : ui(si¿ , s−i

¿) ui(si

❑ , s−i¿

) pour tout si Si

Joueur 2M B V

G (-1 , -1)o (-2 , -1)o (0 , -1)oJoueur 1 D (-2 , 1)o (0 , 1)xo (0 , 0)

H (2 , 0)xo (-2 , 0)o (2 , -1)xF (-1 , 0)o (-1 , -1) (-2 , 0)o

Pour chaque stratégie d’un joueur, nous allons marquer le choix rationnel de l’autre joueur :

J2, Stratégie M le choix de J1 sera H (marque x)J2, Stratégie B le choix de J1 sera D (marque x)J2, Stratégie V le choix de J1 sera H (marque x)

J1, Stratégie G le choix de J2 sera M ou B ou V (marque o)J1, Stratégie D le choix de J2 sera M ou B (marque o)J1, Stratégie H le choix de J2 sera M ou B (marque o)J1, Stratégie F le choix de J2 sera M ou V (marque o)

Les couples de stratégies doublement marqués correspondent à des équilibres de Nash, à moins que son utilité soit plus petite que d’autres couples trouvés. Ici ce n’est pas le cas. Ce jeu possède donc deux équilibres de Nash :

- (H,M) d’utilité (2,0)- (D,B) d’utilité (0,1)