Turbomachines - cours, examens

Turbomachines

Bilan énergétique et applicationspar Michel PLUVIOSE

Professeur honoraire du Conservatoire national des arts et métiers (CNAM)

et Christelle PÉRILHONMaître de conférencesChaire de turbomachines du CNAM

1. Pertes et bilan énergétique d’une turbomachine ........................... BM 4 283 - 31.1 Classification des pertes ............................................................................. — 31.2 Analyse des pertes ...................................................................................... — 3

1.2.1 Pertes aérodynamiques (ou hydrauliques) dans les canaux .......... — 31.2.2 Pertes par frottement de disque........................................................ — 6

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique BM 4 283 − 1

a puissance réelle absorbée par une machine de compression est toujourssupérieure à celle d’une machine parfaite, c’est-à-dire sans pertes, qui fonc-

tionnerait entre les mêmes niveaux de pression. Entre ces mêmes niveaux depression, une machine de détente fournit une puissance plus faible que celleque l’on serait en droit d’attendre si la machine était parfaite.

Le but de cet article est de faire apparaître l’origine et la nature des pertes quialtèrent l’échange d’énergie dans une turbomachine.

On définit ensuite les rendements qui caractérisent l’importance des pertes surles transferts énergétiques.

1.2.3 Pertes par fuites dans les garnitures d’étanchéité........................... — 61.2.4 Pertes mécaniques ............................................................................. — 7

1.3 Puissance d’une turbomachine .................................................................. — 81.3.1 Puissance externe ou à l’accouplement ........................................... — 81.3.2 Puissance interne................................................................................ — 81.3.3 Relation entre les puissances externe et interne ............................. — 81.3.4 Relation entre la puissance interne et le couple interne ................. — 8

1.4 Rendement d’une turbomachine de compression ................................... — 81.4.1 Rendement global ou externe ........................................................... — 81.4.2 Rendement interne ............................................................................. — 81.4.3 Décomposition des rendements ....................................................... — 91.4.4 Calcul des rendements internes, pour une machine génératrice... — 91.4.5 Comparaison des rendements internes polytropique

et isentropique .................................................................................... — 10

2. Application à l’étude d’une turbomachine de détente ................. — 102.1 Application des principes de base ............................................................. — 10

2.1.1 Relations de base pour les turbines.................................................. — 112.1.2 Détente dans le distributeur .............................................................. — 112.1.3 Détente dans le mobile ...................................................................... — 12

2.2 Définition du degré de réaction.................................................................. — 142.3 Pertes par vitesse restante.......................................................................... — 142.4 Définition du rendement aérodynamique d’étage.................................... — 152.5 Analyse des détentes sur le diagramme entropique................................ — 15

2.5.1 Détente polytropique.......................................................................... — 162.5.2 Détente isentropique .......................................................................... — 162.5.3 Détente isothermique......................................................................... — 162.5.4 Détente réelle ...................................................................................... — 16

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. BM 4 284

L

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

Une application des principes à l’étude d’une turbine axiale conclut cet article ;elle récapitule les notions rappelées ou développées précédemment.

Cet article constitue le dernier volet d’une série consacrée aux turbomachines :

— BM 4 280 - Turbomachines. Description. Principes de base ;— BM 4 281 - Turbomachines. Mécanisme de la conversion d’énergie ;— BM 4 282 - Turbomachines. Thermodynamique de la conversion d’énergie ;— BM 4 283 - Turbomachines. Bilan énergétique et applications ;— Doc. BM 4 284 - Turbomachines. Pour en savoir plus.

Notations et symboles

Symboles Définitions

Cf,d Couple de frottement de disque

Ci Couple interne

Hauteur manométrique théorique effective

H Hauteur manométrique

Hth′

r Constante des gaz parfaits : r = R /M

u Vitesse d’entraînement

v Vitesse absolue

vu Vitesse absolue tangentielle moyenne

Notations et symboles

Symboles Définitions

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m

M Masse molaire

Ma Nombre de Mach

Pf,d Puissance perdue par frottement de disque

Pi Puissance interne

Pm Puissance des pertes mécaniques

R Constante universelle des gaz parfaits

Re Nombre de Reynolds

S Entropie massique

S Surface traversée par le fluide

Wi Travail interne (massique)

cp Capacité thermique massique à pression constante

cv Capacité thermique massique à volume constant

fext Fuites externes

f int Fuites internes

g Accélération de la pesanteur

h Enthalpie massique

hi Enthalpie d’arrêt (massique)

hir Enthalpie d’arrêt relative (massique)

k Exposant de la loi polytropique

l Longueur caractéristique du canal

p Pression

q Chute statique

qmi Débit interne

qmr Débit masse traversant la roue

qms Débit utile

w Vitesse relative

∆ff Pertes dans le canal fixe

∆fr Pertes dans le canal mobile

∆π Pertes adiabatiques

γ cp /cv

ε Hauteur des aspérités

ζa Coefficient des pertes par frottement (à l’adaptation)

ζf Fraction de l’énergie cinétique perduedans le canal fixe

ζi Coefficient des pertes par incidence

ζr Fraction d’énergie cinétique perdue dans le canal mobile

ηg Rendement global

ηi Rendement interne

ηm Rendement mécanique

µ Viscosité absolue

ρ Masse volumique

τ Travail (ou énergie massique) du fluide

τa Travail sur l’arbre

τad Travail adiabatique

τp Travail polytropique ou travail approché du fluide

τS Travail isentropique

τT Travail isotherme

ϕ , ψ Coefficients de ralentissement des vitesses

ω Vitesse angulaire constante de rotation

ϖ Poids volumique du fluide (ϖ = ρg)

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

1. Pertes et bilan énergétiqued’une turbomachine

1.1 Classification des pertes

On peut classer les pertes d’une turbomachine selon deux optiquesdifférentes :

— si l’on considère leur nature physique, elles se subdivisent en :• pertes aérodynamiques d’aubages (ou hydrauliques), qui ont

pour cause essentielle la viscosité du fluide, et qui se manifestentprincipalement dans tout canal fixe ou mobile par un terme deperte de charge (cf. § 1.2.1),

• pertes par frottement de disque (cf. § 1.2.2), dues à la visco-sité du fluide, qui sont aussi des pertes aérodynamiques agissantsur les surfaces inactives du rotor,

• pertes par fuites (ou volumétriques) (cf. § 1.2.3), dues à ce quede faibles fractions du fluide empruntent les passages étroits qu’ilfaut nécessairement ménager entre le rotor et le stator afin d’évi-ter des contacts mécaniquement dangereux. Ces fuites suivent dece fait une évolution particulière. On analysera séparément cellesqui traversent les garnitures d’étanchéité et celles qui seproduisent aux extrémités libres des aubages mobiles,

Dans le cas d’une grille d’aubes, on retient le plus souvent lavitesse théorique qui s’établirait à la sortie de la grille si l’écou-lement était monodimensionnel et sans pertes.

Figure 1 – Pertes dans un canal mobile de roue centrifuge

U1

w1

w 2th

β1

Profil théoriquedes vitesses w2th

Profil réeldes vitesses w2

Couches limites

O

l


• pertes mécaniques, qui correspondent à la puissanceconsommée par les organes (paliers, butée) dont le rôle est demaintenir le rotor en position, ainsi que par les auxiliaires de lamachine (pompe à huile de graissage, variateur de vitesse, etc.) ;— si l’on s’intéresse à la destination de la quantité d’énergie

dissipée, on est amené à identifier des :• pertes internes, lorsque cette énergie dégradée est recueillie

par l’écoulement principal,• pertes externes, lorsqu’elle échappe à ce dernier ;

— en combinant ces deux points de vue, on constate que :• les pertes aérodynamiques dans les aubages et les frot-

tements de disque sont de nature interne,• les fuites se partagent entre pertes internes, lorsque les

fractions de fluide en cause rejoignent le débit utile, et pertesexternes si elles quittent la machine,

• les pertes mécaniques sont en principe externes, sauf excep-tionnellement pour les paliers se lubrifiant d’eux-mêmes dans lefluide de la turbomachine.

1.2 Analyse des pertes

1.2.1 Pertes aérodynamiques (ou hydrauliques) dans les canaux

Elles affectent non seulement les couronnes (ou grilles) d’aubagesfixes et mobiles, mais aussi les passages qui guident le fluide àl’entrée et à la sortie de l’appareil, ou encore qui relient deux étagessuccessifs.

On les exprime sous la forme d’une fraction ζ de l’énergie ciné-tique associée à une vitesse de référence prise en un point donnédu canal :

— dans un canal fixe :

(1)

avec ∆ff perte dans le canal fixe, v vitesse absolue ;

— dans un canal mobile :

(2)

avec ∆fr perte dans le canal mobile, w vitesse relative.

À titre d’exemple, on a fait apparaître sur la figure 1, représen-tant la couronne d’aubages mobiles d’une cellule centrifuge, leprofil des vitesses réelles à la sortie de la roue, qui présente deszones de ralentissement correspondant aux sillages des aubes.Dans l’écoulement monodimensionnel moyen dépourvu de pertes,la vitesse de sortie théorique aurait la valeur de sorte que l’onécrit :

Selon les lois générales de la mécanique des fluides, les facteursphysiques qui déterminent le coefficient ζ sont :

— les frottements ;— les décollements (cf. [BM 4 281] figure 12) ;— la proximité ou le dépassement de la vitesse du son ;— la turbulence de l’écoulement ;— l’hétérogénéité du fluide.

1.2.1.1 Pertes par frottement

Ces pertes aérodynamiques dues au frottement sont liées :— à la forme du canal ;— à l’angle d’entrée du fluide dans le canal ;— au nombre de Reynolds de l’écoulement ;— à la rugosité.

■ Influence de la forme géométrique du canal

Ces pertes sont surtout dues aux proportions relatives considé-rées dans les trois dimensions [10] [12] [15] (cf. [Doc. BM 4 284]).

■ Influence de l’angle d’entrée dans les grilles fixes et mobiles

Le coefficient de pertes ζ d’une grille présente une sensibilitéplus ou moins marquée à l’angle d’entrée.

Toutes choses égales par ailleurs, on observe (figure 2) un mini-mum ζa pour une valeur particulière de l’angle d’entrée qui corres-pond, à quelques degrés près, à l’orientation du nez de l’aubage,matérialisée par la tangente au squelette (ou ligne moyenne) duprofil telle que l’on peut la construire au bord d’attaque(cf. figure 2a). De part et d’autre de cet angle optimal ditd’adaptation, les pertes augmentent de façon dissymétrique(cf. figure 2b). Elles varient plus lentement lorsque le fluide vientfrapper la face du profil qui, dans les conditions d’adaptation, setrouve naturellement en dépression ; cette situation se produit,dans l’exemple traité pour . Par contre, elles croissent plus

∆ff ζfv 2

2---------=

∆fr ζr w

2 2 ----------=

w 2th

∆fr ζr w

2

th

2

2 --------------=

β1a

β1 β1a>

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

rapidement lorsque le fluide frappe la face opposée, ce qui accroîtla dépression sur la première face ; pour la grille considérée, cettetendance se manifeste pour . Ces variations sont en accordavec le fait que toute dépression s’accompagne, en écoulementsubsonique, d’une survitesse locale, dont l’intensité influe directe-ment sur le niveau des pertes.

Figure 2 – Variation du coefficient de pertes d’une grille mobileen fonction de l’angle d’entrée

β1a

β1a

β1

ζi

ζ

ζa

β1

Bord d'attaque

Squelette

Tangente au squeletteau bord d'attaque

w1

a b

β1 β1a<

Figure 3 – Régimes de la couche limite sur une plaque plane

v0 v0

TT

Couchelaminaire

v0

Régimelaminaire

Régimede transition

Régimeturbulent

Coucheturbulente

Sous-couchelaminaire

Re croissant

l

v0

v0

ddx

x

Coucheslimites

v

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BM 4 283

−

4

© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique

Par conséquent, lors de la conception d’une turbomachine, ondessine les grilles d’aubes de manière qu’au régime nominal del’appareil, qui doit bénéficier du meilleur rendement possible, cesgrilles fonctionnent au voisinage immédiat de leur adaptation

. À l’occasion des régimes variés, l’écoulement se modifieet l’angle

β

1

s’écarte inévitablement de sa valeur optimale au prixde

pertes

supplémentaires qui sont dites

par incidence

ou

pardésadaptation

; on dit aussi parfois

pertes par choc

.

Quantitativement, l’incidence se mesure par l’angle .

Pour faciliter l’analyse des régimes variés, il peut s’avérer utilede décomposer le coefficient de pertes d’une grille en deux termes(figure 2) :

ζ = ζa + ζi

avec ζa coefficient de base des pertes par frottement (à l’adap-tation),

ζi coefficient des pertes par incidence.

■ Influence du nombre de Reynolds et de la rugosité

● Le nombre de Reynolds Re gouverne la contribution des effetsvisqueux. Il comprend :

— la masse volumique ρ du fluide et sa viscosité absolue µ (éva-luées en un point donné si le milieu est compressible) ;

— la vitesse de référence ;— une longueur caractéristique du canal l, qui, dans le cas d’une

grille, est en général la corde du profil.● La rugosité des parois est définie comme le rapport de la hau-

teur ε des aspérités laissées par le procédé de fabrication, à la lon-gueur caractéristique du canal, l.

Ces deux paramètres contrôlent le développement des coucheslimites sur les parois des canaux selon un mécanisme analogue àcelui bien connu qui se produit le long d’une plaque plane parcou-rue par un écoulement initialement uniforme.

— En partant d’un faible nombre de Reynolds, on constate qu’ilse crée d’abord (figure 3) une couche limite entièrement laminaire.Puis en augmentant le nombre de Reynolds Re , on voit apparaître,au-dessus de la couche laminaire, une zone turbulente d’abord peudéveloppée qui prend naissance en un point T appelé point detransition. Pour des nombres de Reynolds toujours croissants, T sedéplace vers l’amont en même temps que la couche turbulentegagne en importance et que, par contre, la couche laminairesous-jacente s’amincit et perd en partie son caractère strictementlaminaire. Cette phase, pendant laquelle le point T remonte le longde la plaque, correspond aux régimes dits de transition.

Au-delà d’un certain nombre de Reynolds, le point T reste fixé auvoisinage immédiat du bord d’entrée. La couche limite est entiè-rement turbulente, à l’exception d’une mince sous-couche lami-naire dont l’épaisseur décroît lorsque Re continue à augmenter.

Pour expliquer simplement comment ces phénomènes agissentsur les pertes d’un canal de turbomachine, on peut grossièrementassimiler celui-ci à deux plaques planes parallèles de longueur l,séparées par une distance d et entre lesquelles circule undébit-masse de fluide qm (figure 4). Ce canal possède un coeffi-cient de pertes ζ tel que :

avec dqm débit-masse élémentaire passant entre deux filets dis-tants de dx.

— Sur la figure 5a) sont représentées les variations de ζ, pourune rugosité ε /l donnée, en fonction du nombre de Reynolds :

• En régime laminaire, ζ décroît comme Re –0,5.

• Dans le domaine des régimes turbulents, on constate deuxcomportements possibles des couches limites, qui caractérisentl’évolution de ζ.

À partir de Re = Re1, point qui représente la fin du régime de tran-sition, le régime est dit turbulent lisse car la rugosité n’a pas encored’influence sur le niveau des pertes ; ζ suit une loi de la forme Re –0,20

tant que l’épaisseur h de la sous-couche laminaire reste supérieure àenviron 3ε, ce qui a lieu jusqu’à Re = Re2. Pour des nombres deReynolds plus grands, on pénètre dans le domaine turbulent rugueuxoù la courbe représentative de ζ se redresse pour tendre vers unevaleur asymptotique constante, pratiquement atteinte lorsque h estdevenue inférieure à, environ ε / 8. À ce dernier stade, les aspéritésémergent sur la presque totalité de leur hauteur dans la couche turbu-lente et déterminent à elles seules l’importance des pertes.

(β1 β1a= )

β1 β1a–

Figure 4 – Canal délimité par deux plaques planes parallèles

1 ζ–�

0

d

v 2 dqm

v 02 qm

--------------------------------=

Re ρ v

0 l

µ ----------=

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

laminaire

transition

lisse rugeux

ζ = k1Re-0,5

ζ = k2Re-0,2

turbulent

a canal simplifié

εl� � ε

l>'

εl� � ε

l>'

εl

donné

Re2 lg Re

lg ζ

lg ζ

Re1

a à la sortie d'uneroue centrifuge

b à la sortie des canauxd'une cellule axiale

w1

(d')

(d')

(d')(d')

(d)

(d)(d')

(d)

(d)(d)

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BM 4 283

−

5

• Pour une rugosité plus forte, le régime rugueux apparaît plustôt dans l’échelle des nombres de Reynolds et génère des pertesplus élevées.

À noter que

Re

1

dépend notablement de la turbulence amont etdiminue lorsque celle-ci augmente.

●

Bien que simple, ce modèle met en lumière les

principauxcaractères des pertes aérodynamiques dans une turbomachine,

mais appelle certains

commentaires

:

— la plupart des turbomachines fonctionnent dans le domaineturbulent, où le coefficient de pertes est peu sensible au nombre deReynolds, jusqu’à même devenir constant en régime rugueux. Celajustifie l’hypothèse simplificatrice couramment utilisée selonlaquelle, pour un angle d’entrée donné, les pertes par frottementd’un canal varient comme le carré de la vitesse d’écoulement ;

— en réalité, plusieurs effets viennent compliquer notablementle comportement des couches limites :

• en supposant, en première approximation, que l’écoulementreste bidimensionnel dans le canal, la pression et la vitesse sui-vent des lois différentes le long de l’intrados et de l’extrados,qui constituent les parois actives. Cette différence tend à créerune couche limite plus épaisse sur la face en dépression,

• il faut aussi prendre en considération les couches limites desparois inactives formant le plancher et le plafond du canal. Lechamp des pressions, de nature tridimensionnelle, et celui desforces d’inertie provoquent dans ce système complexe des déra-pages et des vrillages connus sous le nom d’

écoulementssecondaires,

essentiellement turbulents,• toutefois, ces phénomènes ne changent pas, dans son allure

générale, la variation du coefficient de pertes en fonction dunombre de Reynolds et de la rugosité (figure

5

b

) sinon que lafin du régime turbulent lisse et le début du régime rugueux sefondent en une évolution douce car ces deux états existentsimultanément en des endroits différents du canal ;

— l’analyse qui précède s’applique essentiellement à une grilleen état d’adaptation. Lorsque l’incidence augmente, par valeurspositives ou négatives, le caractère turbulent des couches limitess’accentue et le nombre de Reynolds

Re

1

diminue jusqu’à dis-parition presque complète du domaine de transition. On assisteenfin, pour les fortes incidences, à un décollement, représenté surla figure

6

d

qui s’accompagne de pertes très importantes.

1.2.1.2 Pertes par décollement

Il y a

décollement

chaque fois que le fluide se détache d’uneparoi, ce qui lui est imposé :

— sur le bord aval de toute surface servant de plancher ou de pla-fond à un canal fixe ou mobile (cf. figure

6

a

et

b

) ;— à l’extrémité des aubages car, pour des raisons de solidité

mécanique, leur bord de fuite possède nécessairement une certaineépaisseur, qui s’oppose à la confluence des deux filets provenantrespectivement de l’intrados et de l’extrados (figure

6

c

).

Il s’agit là d’imperfections inévitables. Mais des décollementspeuvent aussi se produire dans certains canaux ou passages entant que conséquences d’un tracé défectueux et, comme déjàmentionné, dans les régimes variés (voir paragraphe 2.2 del’article [BM 4 281]) ou lorsque les aubages sont attaqués sous unegrande incidence (figure

6

d

).

Aérodynamiquement, ces phénomènes s’apparentent à ceuxdéclenchés par une contraction ou un évasement brusque. On saitque les pertes ainsi créées sont pratiquement indépendantes dunombre de Reynolds et varient donc, selon les expressions (1)et (2), comme le carré de la vitesse du fluide.

1.2.1.3 Pertes liées aux écoulements transsoniqueset supersoniques

Le

nombre de Mach

Ma

prend en compte l’influence de lacompressibilité du fluide ; il est égal au rapport d’une vitesse deréférence à la célérité du son en un point défini du canal.

Figure 5 – Coefficient de pertes d’un canalen fonction du nombre de Reynolds

b canal réel

εl

donné

lg Re

Figure 6 – Exemples de décollements

c par épaisseurdu bord de fuite

d en régime varié dansun canal sous forteincidence

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

Lorsque la vitesse moyenne du fluide s’approche de la céléritédu son ou la dépasse, toute survitesse locale à la surface d’uneparoi se traduit par une poche supersonique bordée en aval par unfort gradient de recompression qui fait grossir la couche limite etprovoque le plus souvent son décollement.

Outre cet effet qui ne fait qu’aggraver les pertes par frottement,les écoulements supersoniques engendrent des irréversibilités paronde de choc qui leur sont bien spécifiques.

S’ajoutant à la compressibilité du fluide, qui agit déjà sur lechamp des vitesses théoriques, ces différents phénomènes font ducoefficient de pertes ζ une fonction directe du nombre de Mach dèsque celui-ci excède la valeur de 0,8.

1.2.1.4 Pertes par turbulence

La turbulence en amont est, d’après les lois de la statistique, lerapport entre la racine des carrés des moyennes des fluctuationsde vitesse et la vitesse moyenne de l’écoulement ; elle échappeaux actions du constructeur. Cette intensité atteint une valeur del’ordre de 5 à 10 % à l’intérieur d’une turbomachine et des valeursbeaucoup plus importantes (jusqu’à 30 %) dans le cas de machinessoumises aux actions du vent atmosphérique.

Les pertes par turbulence sont encore difficilement appréhen-

1.2.2 Pertes par frottement de disque

■ Si l’on se réfère au cas idéal d’un disque de rayon R (figure 7)tournant à la vitesse périphérique u dans un milieu de masse volu-mique ρ, un calcul simple d’analyse dimensionnelle montre que lapuissance consommée est de la forme :

Pf,d = k ρ u3 R2 (4)

Figure 7 – Pertes par frottement de disque

CylindreDisque

RR

L

e e

e


dées industriellement, et font aujourd’hui l’objet de dévelop-pements numériques importants. Par ailleurs, les résultatsexpérimentaux publiés dans de nombreux ouvrages mentionnentrarement l’intensité de la turbulence, donc son effet sur les pertes.

1.2.1.5 Pertes par hétérogénéité du fluide

Le fluide peut être hétérogène par la présence de corps en sus-pension ou peut le devenir par changement de phase (le plussouvent avec apparition d’un mélange liquide-vapeur) ou, s’il estliquide, par dégagement de gaz dissous.

Du fait de leur écart de densité, les éléments de volume présen-tant une nature différente acquièrent des vitesses inégales et nesuivent plus les mêmes trajectoires. En conséquence, des pertesapparaissent, d’une part, parce que le transfert d’énergie entre lerotor et l’un au moins des constituants du milieu s’effectue d’unemanière aérodynamiquement désadaptée et, d’autre part, mais àun moindre degré, à cause des frottements qui résultent de latraînée du constituant le plus lent. Enfin, il peut se produire unretard aux changements de phase, responsable d’une pertecomplémentaire par irréversibilité thermodynamique.

1.2.1.6 Pertes aérodynamiques globales

Bien qu’elles tirent leur origine de plusieurs mécanismes, parmilesquels le frottement visqueux aux parois joue toutefois un rôleprépondérant, on regroupe les pertes aérodynamiques de chaquecanal dans une expression de la forme (1) ou (2) de sorte qu’unétage donné se trouve finalement affecté par un total de pertesΣ∆f :

Σ∆f = ∆ff + ∆fr + Σ∆fp (3)

où les quantités du second membre lues dans l’ordre désignentrespectivement toutes les pertes qui se produisent dans lesaubages fixes (∆ff ), dans les aubages mobiles (∆fr ) et dans lesautres passages de la cellule (∆fp).

où le coefficient k, issu de l’expérience, dépend du nombre deReynolds Re = ρuR /µ, du rapport e /R (e désignant la distance quisépare le disque et le stator) et, enfin, de la rugosité du disque.

■ La surface externe d’un cylindre de longueur L , dissipe une puis-sance qui, de façon semblable, s’écrit, en l’admettant proportion-nelle à L :

Pf,d = k ′ ρu 3 RL (5)

où k ′ est fonction des mêmes grandeurs que le coefficient k d’undisque.

■ Malgré la forme complexe de certains rotors, leur décompositionen éléments assimilables à des disques et à des cylindres suffitgénéralement pour évaluer de manière satisfaisante la puissanceconsommée par le frottement de leur surface extérieure dans lemilieu ambiant, car celle-ci n’excède jamais une faible fraction de lapuissance utile de la machine.

Les frottements de disque appartiennent aux pertes aérodyna-miques internes puisque l’énergie dégradée de leur fait est géné-ralement balayée par une fuite qui réintègre ensuite l’écoulementdans la machine.

Ce n’est que dans des cas très particuliers, comme celui parexemple de certaines pompes multicellulaires dont le tambourd’équilibrage est volontairement balayé par un débit renvoyé versl’extérieur, que la fraction correspondante doit être traitée commeune perte externe.

1.2.3 Pertes par fuites dans les garnitures d’étanchéité

Une cause de pertes internes également importante provient desfuites internes. Les barrages prévus entre rotor et stator, tout enlimitant la quantité de fluide détournée, en laisse passer une partiequ’il ne faut pas négliger dans les bilans.

Une certaine quantité de fluide peut s’échapper vers l’extérieurprovoquant une perte externe. Il y a alors lieu de distinguer deuxéventualités :

— si la fuite se produit avant que le fluide ait pu échanger del’énergie avec le rotor, on dira qu’il s’agit d’une fuite externe de pre-mière espèce ;

— si la fuite a lieu après l’échange d’énergie, on dira qu’il s’agitd’une fuite externe de seconde espèce.

À titre d’exemples, on citera :— la cavitation, c’est-à-dire les troubles graves dont souffrent les

machines hydrauliques lorsque le liquide entre en ébullition ;— les pertes par humidité, qui se manifestent dans les turbines

à vapeur quand la détente pénètre dans le domaine d’équilibreliquide-vapeur et que des gouttelettes de condensation se forment etinterfèrent avec la phase gazeuse.

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

■ Machines réceptrices

Considérons une machine réceptrice monocellulaire dont lapression à l’échappement est supérieure à la pression atmo-sphérique (figure 9), on retrouve :

— une fuite interne f int à la périphérie de la roue ;

Figure 8 – Fuites d’une machine génératrice monocellulaire

fintf 'extf ''ext

fuite interne

fuite externe de première espèce

fuite externe de seconde espèce

fint

f ' ext

f ''ext

qms

qme

O O'

Figure 9 – Fuites d’une machine réceptrice monocellulaire

fint fuite internef'ext fuite externe de première espècef"ext fuite externe de seconde espèce

fint

f'ext f"ext

0 0'


1.2.3.1 Turbomachines monocellulaires

■ Machines génératrices

Considérons une machine génératrice monocellulaire, parexemple un compresseur (figure 8).

● Pour limiter la fuite interne f int , inévitable le long du barrage àl’ouïe, fuite qui retourne dans le débit aspiré par la roue, un disposi-tif spécial est prévu à cet endroit (chicanes, léchettes).

Cette fuite, avant d’atteindre le dispositif, balaye l’énergie defrottement du flasque. Quand elle rejoint le débit utile qme de fluidequi a pénétré par la bride amont, son enthalpie est supérieure àcelle de qme pour deux raisons :

— son passage antérieur dans la roue, dans laquelle elle a reçude l’énergie par l’arbre ;

— le balayage de l’énergie de frottement du flasque avant.

Le mélange qui se présente à l’ouïe, au bord d’attaque desaubages de la roue, possède donc une enthalpie un peu supérieureà ce qu’elle serait en l’absence de la fuite.

Il en résulte une augmentation de la puissance sur la jante de laroue, toutes choses étant égales par ailleurs. La perte interne cor-respondante provient donc de deux faits :

— la roue échange de la puissance avec une quantité inutile defluide ;

— la puissance spécifique absorbée traversant la roue est aug-mentée.

● Par ailleurs, cette turbomachine est munie sur l’arbre, à l’arrièrede la roue, de léchettes de labyrinthes limitant la fuite de fluide vers l’atmosphère. Comme il est naturel de rapporter la puissanceabsorbée par le rotor au débit utile qms traversant la bride de refou-lement, son existence, du point de vue du rendement, constitue uneperte, il s’agit d’une perte externe de seconde espèce.

● En résumé :

— la fuite interne f int provoque une perte due à sa compressioninutile dans le rotor ;

— la compression dans la roue, partant d’une enthalpie plusélevée que celle du fluide aspiré, il en résulte une seconde perte ;

— la fuite externe provoque une perte correspondant à sacompression inutile.

Bien entendu, des cas beaucoup plus complexes peuvent se pré-senter qui demandent une analyse spécifique. C’est le cas, parexemple, lorsqu’il existe des chambres intermédiaires faisant officede by-pass pour équilibrer les poussées axiales.

— une fuite externe de première espèce le long de l’arbre ducôté admission ;

— une fuite externe de seconde espèce le long de l’arbre ducôté échappement.

1.2.3.2 Turbomachines multicellulaires

Les fuites sont alors de natures diverses et dépendent des tech-nologies de construction.

Leur influence sur le bilan énergétique est plus ou moins aiséeà déterminer. Le calcul des débits de fuite présuppose, en effet, laconnaissance des conditions de pression, en particulier, en toutpoint où a lieu le piquage ou la réinjection. Et ces prélèvements dedébit et leur réintroduction dans la veine créent des perturbationslocales dont la prise en compte est délicate à appréhender.

Notons également qu’il existe parfois des fuites consenties, c’estle cas par exemple des fuites alimentant des aubages de turbinesà gaz ou de réacteurs aéronautiques qui doivent être refroidis. Ilfaut absolument tenir compte, même imparfaitement, de ces fuitesqui finissent par avoir une importance sur le bilan de l’installationà laquelle appartient la turbomachine.

1.2.4 Pertes mécaniques

Les pertes mécaniques représentent la somme des puissancesconsommées par tous les organes étrangers à l’écoulement princi-pal, mais cependant nécessaires au fonctionnement de la turboma-chine, c’est-à-dire :

— les paliers et la butée du rotor ;— le variateur de vitesse, qu’il soit à engrenages ou du type

hydraulique, lorsqu’il en existe un entre la turbomachine et l’appa-reil moteur ou résistant qui lui est accouplé ;

— les auxiliaires, qu’ils soient directement entraînés ou non,comme, par exemple, la pompe à huile de graissage, la pompe ali-mentant éventuellement des organes hydrauliques de réglage, ouencore le ventilateur d’aspiration des buées sur une turbine àvapeur ;

— le piston d’équilibrage de certaines pompes, dans le cas peufréquent où sa puissance de frottement est évacuée par une fuiteexterne.

La somme, Pm , de ces puissances, constitue naturellement uneperte externe, à la seule exception de la puissance des paliers dansle cas rare où ils se lubrifient d’eux-mêmes dans le fluide de laturbomachine.

f ′ext

f ′ext

f ′ext

f ′ ′ext

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

1.3 Puissance d’une turbomachine

1.3.1 Puissance externe ou à l’accouplement

L’accouplement concrétise la frontière entre la turbomachine etl’appareil, moteur ou résistant, avec lequel elle échange de l’éner-gie mécanique. Par unité de temps, cette énergie est égale à lapuissance P.

Dans le cas de la machine génératrice de la figure 8 parexemple, on a :

ou encore :P = qmr τa + Pf,d + Pm

La couronne d’aubages mobiles fournissant le travail sur l’arbreτa est traversée par le débit massique roue qmr .

1.3.2 Puissance interne

Le couple C exercé sur les aubages mobiles et qui constitue lamajeure partie du couple interne Ci peut, en principe, être calculéen utilisant le théorème d’Euler appliqué au champ réel desvitesses, à condition que ce dernier tienne compte non seulementdes pertes aérodynamiques mais aussi des perturbations dues auxfuites, que l’on ne sait pas bien représenter dans l’état actuel desconnaissances.

C’est pourquoi il subsistera une très légère différence entre lavaleur de Ci = Pi /ω issue du bilan énergétique et celle calculée parla relation Ci = C + Cf,d , où Cf,d est le couple de frottement dedisque.

1.4 Rendement d’une turbomachinede compression

1.4.1 Rendement global ou externe

Le rendement global (ou externe) compare la puissance utile-ment recueillie à celle globalement consommée dans le transferténergétique.

À cet égard, une machine génératrice consomme la puissanceexterne P alors que le débit sortant de fluide qms , mis à la dispo-

P (qms f int f ′ext ) τa Pf,d Pm+ + + +=


C’est la puissance Pi échangée entre le rotor et le fluide à l’inté-rieur de la turbomachine. Reprenons le cas précédent, il vient :

(6)

ou :Pi = qmr τa + Pf,d

D’autre part, d’après la définition du travail interne Wi , et dudébit interne relatif à l’ensemble de la machine qmi :

Pi = Wi · qmi (7)

On sait que, pour toute machine thermiquement isolée, Wi semesure, selon le Premier Principe de la thermodynamique, par lavariation d’enthalpie d’arrêt (cf. [BM 4 282]) :

Wi = ∆hi

soit encore :Pi = qmi · ∆hi

Ces deux méthodes de définition de la puissance interne (6)et (7) conduisent, bien entendu, au même résultat et peuvent êtreregroupées. Selon que l’on utilise l’une ou l’autre de ces relations,les niveaux enthalpiques à l’entrée de la roue, en particulier, serontdifférents [7] [15].

1.3.3 Relation entre les puissances externeet interne

La relation entre les puissances externe et interne s’écrit pourune machine génératrice :

Pi = P – Pm (8)

avec Pm pertes mécaniques.

1.3.4 Relation entre la puissance interneet le couple interne

Selon la définition du couple interne (Ci = C + Cf,d ; cf. [BM 4 281]§ 3.1), on a :

Pi = ωCi (9)

avec ω vitesse angulaire de rotation.

sition de l’utilisateur, reçoit la puissance τ qms où τ est le travail.

D’où les expressions du rendement global ηg :— pour une machine de compression à fluide compressible :

(10)

— pour une machine de compression à fluide incompressible,cette expression devient, en utilisant la relation (35) de l’article[BM 4 281] (§ 4.2.2) c’est-à-dire :

τ = g Hm

avec Hm hauteur manométrique, ϖ poids volumique du fluide (ϖ = ρg),

débit volumique utile, g accélération de la pesanteur.

Lorsque le fluide est compressible, il faut nécessairement pré-ciser la voie thermodynamique qui est suivie par la machine réver-sible de référence et qui sert à évaluer τ. Pour cette raison, onajoute au rendement global l’un des qualificatifs : polytropique,isentropique ou isotherme, selon que τ s’identifie respectivementà τp , τS ou τT (cf. [BM 4 282]).

Le rendement global isotherme ηg,T n’est en pratique utilisé quepour les compresseurs à réfrigération externe, où l’on cherche àréduire la puissance consommée en se rapprochant d’une évolu-tion isotherme. Pour cela, la compression est fractionnée en plu-sieurs étapes, chacune effectuée dans un corps de compresseurthermiquement isolé, et, entre deux étapes, le fluide est ramené àsa température initiale par un réfrigérant extérieur. La puissance Pqui figure dans l’expression de ηg, T est donc la somme des puis-sances externes des corps de compresseurs en général accouplésen série sur un même arbre.

1.4.2 Rendement interne

Le rendement interne compare la puissance d’une machineréversible qui véhiculerait le même débit interne qm i que lamachine réelle à la puissance interne de cette machine réelle, ouencore, par élimination de qm i , le travail réversible τ au travailinterne de la machine réelle Wi .

Pi (qms fint f ′ext ) τa Pf,d+ + +=

ηgτqms

P----------------=

ηg

ϖqϑs Hm

P------------------------=

qϑs

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

D’où les expressions du rendement interne ηi comportant aunumérateur l’énergie recueillie et au dénominateur celle qui estdépensée :

— pour une machine de compression à fluide compressible :

(11)

— pour une machine de compression à fluide incompressible :

avec hauteur théorique effective tenant compte des frot-tements de disque.

Par sa nature même, le rendement interne recense la totalité despertes internes.

Comme ce rendement ne s’applique qu’à des corps de machinethéoriquement isolés, ou à des étages pris séparément, il n’existe,pour les appareils à fluide compressible, que sous les formes poly-tropique ou isentropique selon le mode d’évaluation de τ (réver-sible).

Par exemple, la difficulté de définir un rendement volumétri-que provient d’une part des échanges d’énergie thermiqueentre les fuites et l’écoulement principal, et d’autre part de laprise en compte délicate de la perte d’énergie mécanique dueà cette fuite.

1.4.4 Calcul des rendements internespour une machine génératrice

Il suffit, si le fluide est incompressible, d’appliquer la définition,alors que le cas des fluides compressibles appelle d’autresconsidérations.

1.4.4.1 Rendement interne polytropique

Pour un gaz quelconque, le travail polytropique τp et le travailinterne Wi s’évaluent respectivement à l’aide des expressions (2)et (13) de l’article [BM 4 282].

Par contre, dans le cas d’un gaz parfait et en utilisant lesconditions d’arrêt isentropiques, on sait, selon l’équation (16) del’article [BM 4 282] que :

ηiτ

Wi----------=

ηiHm

H ′th-----------=

H ′th

k


1.4.3 Décomposition des rendements

Récapitulons d’abord les différents rendements, pour unemachine de compression à fluide compressible :

— le rendement global (10) s’écrit :

— le rendement interne, ηi , (11) est défini par :

— le rendement mécanique, ηm , est défini par :

(12)

— le rendement volumétrique externe (ou de fuite externe) .On se réfère au débit utile qms sortant de la bride de refoule-ment, pour une machine génératrice, de sorte que :

avec qmi débit interne participant au transfert d’énergie,

qms débit utile à la bride de refoulement,

débit de fuite externe qui s’échappe en aval de laroue, dans une machine génératrice.

Il vient :

(13)

On vérifie, a posteriori, que le rendement global est le produitdes trois rendements partiels :

(14)

Mais, en particulier pour les machines multiétages, les pertespar frottements de disques et les pertes par fuites modifiantl’état moyen du fluide à l’entrée de chaque organe, il est sou-vent difficile de distinguer chacun de ces rendements.

avec k exposant de la loi polytropique p υ k = cte (cf.[BM 4 282] § 3.2),

Ti,f température d’arrêt à l’état final,

Ti,0 température d’arrêt à l’état initial,

alors que :

avec cp capacité thermique massique à pression constante,

γ où cv capacité thermique massique à volume

constant,

r constante des gaz parfaits : où R est la constante

universelle des gaz parfaits et M la masse molaire,

Donc le rendement interne polytropique est :

(15)

Il faut prendre garde que l’exposant k est celui de la fonctionpolytropique qui passe par les états totaux, initial et final, de sorteque :

avec pi,f pression d’arrêt finale, pi,0 pression d’arrêt initiale.

ηg

τqms

P----------------=

ηiτ

Wi----------=

ηmPi

P-------- 1

Pm

P-----------–= =

ηf ′ext

qmi qms f ′ext+=

f ′ext

ηf ′ext

qms

qmi-------------- 1

f ′ext

qmi--------------–= =

ηg ηm= ηf ′extηi⋅ ⋅

Remarque : si, au lieu d’être parfaitement isolée thermi-quement, la machine cède une légère quantité de chaleur versl’extérieur, l’évaluation du travail interne Wi par la relation (2) del’article [BM 4 282] comme la relation (15) conduisent à une esti-mation par excès de ηi, p .

τp k 1–--------------- r T i , f T i ,0 – ( ) =

Wi ∆hi cp Ti,f Ti,0–( )γ

γ 1–--------------- r T i , f T i ,0 – ( ) = = =

cp

cv--------

r RM--------=

ηi,p

kk 1–( )

--------------------

γγ 1–( )

-----------------------------------------=

k 1–k

---------------

ln � Ti,f

Ti,0------------�

ln � pi,f

pi,0------------�

---------------------------=

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

1.4.4.2 Rendement interne par rapport à l’isentropique(ou rendement interne adiabatique)

■ Cas d’un fluide quelconque

Le travail isentropique, τS , et Wi sont calculés grâce au PremierPrincipe (cf. [BM 4 282] § 3.3), d’où :

(16)

avec f état final réel, f ′ état final dans le cas d’une évolution isentropique.

■ Cas d’un gaz parfait

Il existe une légère variation de la capacité thermique massiqueà pression constante cp , en fonction de la température, on posealors ∆h = cp ∆T, d’où :

(17)

1.4.5.3 Choix pratique

■ Pour tous les appareils qui véhiculent un fluide assimilable à ungaz parfait, ce qui est le cas de la plupart des compresseurs, on uti-lise de préférence le rendement polytropique à cause de sa signifi-cation physique et parce qu’il se prête commodément aux calculsthermodynamiques. Les utilisateurs de machines génératricessoupçonnent toutefois les constructeurs de succomber en cela à unpenchant commercial qui les pousse à mettre en avant la valeur laplus flatteuse.

■ Lorsque l’appareil met en œuvre un gaz réel, éloigné de l’état par-fait, comme par exemple une turbine à vapeur, on emploie plutôt lerendement isentropique, en dépit de son imperfection théoriqueparce que la référence à l’évolution isentropique simplifie les calculsque l’on effectue à l’aide des tables de propriétés thermodyna-miques ou d’un diagramme, comme celui de Mollier. Malgré cettejustification, le recours au rendement isentropique pour lesmachines de détente reste suspect aux yeux de certains, parce qu’ilfait apparaître le chiffre le plus élevé.

Il y aura donc lieu, en toutes circonstances, de bien préciser lerendement utilisé pour qualifier la machine : rendement internepolytropique ou rendement interne isentropique (ou adiabatique).

ηi,Shi,f ′ hi,0–

hi,f hi,0–-----------------------------

hf ′ h0v f

2 v 02

–

2------------------------+–

hf h0–v f

2 v 02

–

2------------------------+

----------------------------------------------------= =

ηi,S

c pmoy 0f ′(Ti,f ′ Ti,0– )

c pmoy 0f (Ti,f Ti,0– )

------------------------------------------------------(Ti,f ′ Ti,0– )(Ti,f Ti,0– )

--------------------------------≈=


Ces formules sont, par contre, tout à fait exactes, dans le casd’un gaz idéal parfait, pour lequel cp serait constant.

1.4.5 Comparaison des rendements internes polytropique et isentropique

1.4.5.1 Valeurs relatives

Pour une machine de compression :

τp > τS , donc : ηp > ηS

1.4.5.2 Signification physique du rendement interne polytropique

■ Étant donné que la différence τp – Wi mesure les pertes internes,à la seule imperfection près que τp constitue une approximation dutravail réversible τ du fluide, seul le rendement interne polytropiqueηp , qui compare τp et Wi a le mérite de jouer le rôle d’un rendementvrai.

À cette qualité fondamentale, il doit d’être souvent appelérendement réel approché et de jouir de deux propriétésimportantes :

— si l’on associe en série plusieurs cellules de même rendementpolytropique, ce dernier s’étend à tout le groupe d’étages ainsiconstitué s’il est parcouru par le même débit interne. Par contre,l’effet de fuites internes récupérées, si elles sont de quelque impor-tance, confère une valeur légèrement supérieure au rendementinterne de l’ensemble ;

— le rendement polytropique est invariant dans une similitudeaérodynamique, si l’on néglige l’influence du nombre de Reynolds.

■ En ce qui concerne le rendement isentropique, il se trouve asso-cié à des pertes conventionnelles qui sont calculées en se référant àune évolution idéale isentropique et que l’on distingue des irréversi-bilités réelles ∆f en les qualifiant de pertes adiabatiques ∆π .

2. Application à l’étuded’une turbomachinede détente

La plupart des expressions précédentes et celles des articles[BM 4 280] [BM 4 281] et [BM 4 282] ont été établies, pour ne pasalourdir le texte, dans le cas général des machines de compressionà fluide compressible ou incompressible.

Afin d’être complet, nous présentons ci-après l’analyse détailléed’une turbine axiale à réaction, exemple à partir duquel nous pour-rons préciser les notions introduites précédemment.

Il ne sera tenu compte ici que du fluide traversant la turboma-chine. Les pertes par fuites, par frottements de disque ainsi que lespertes mécaniques sont ici négligées et devraient faire l’objetd’une étude complémentaire.

Dans ces conditions, on a en particulier :

Wi = τa

2.1 Application des principes de base

Afin de tracer le diagramme de fonctionnement d’une turbineaxiale, écrivons d’abord les principes de base à utiliser. Pour lesmachines génératrices ou de compression, on a principalement :

— principe de conservation de la masse :

qm = ρSv = Cte donc ρ1S1v1 = ρ2S2v2

avec S1 , S2 surfaces traversées par le fluide au niveau dessections 1 et 2,

v1 , v2 vitesses du fluide en 1 et 2,

— principe fondamental de la mécanique, équation d’Euler[cf. [BM 8 281]), § 4 équation (29)] :

τa = u2v2u – u1v1u

avec vu la vitesse absolue tangentielle moyenne (cf. [BM 4 280]figure 5).

En définitive, le rendement polytropique caractérise la qualitétechnique d’un appareil.

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

● Premier Principe de la thermodynamique pour une machineadiabatique :

d’où

avec h enthalpie massique.

● Second Principe de la thermodynamique :

d’où

avec S entropie.

● Théorème de l’énergie cinétique :

Ce sont ces quatre principes et le théorème de l’énergie ciné-tique définis ci-dessus entre deux états 1 et 2 que nous allons uti-liser maintenant pour déterminer, point par point, les différentsétats du fluide dans un étage de turbine axiale.

Nous déterminerons le diagramme entropique et le diagrammeenthalpique pour une turbine axiale détendant un gaz réel ou une

τa h∆ v 2

2--------∆+=

τa h2 h1v 2

2 v 12

–

2----------------------+–=

∆f �T dS=

∆f1 2→ �1

2

T dS=

τa 1 2→ �1

2dpρ

--------- ∆ f1 2→v 2

2 v 12

–

2----------------------++=

Figure 10 – Schéma d’un distributeur

v0

v1v1d

S1

S0

F

Vue suivant F


2.1.1 Relations de base pour les turbines

Les habitudes ont conduit les constructeurs de turbines(machines réceptrices) à considérer que le travail spécifique fournipar leurs machines était positif. La thermodynamique nousapprend que ce travail, fourni à l’extérieur par l’intermédiaire d’unarbre de transmission, est, par convention, négatif puisque ce tra-vail est cédé par le système fluide à un milieu extérieur.

Nous céderons aux usages en nous affranchissant des conven-tions établies par le thermodynamicien ; mais auparavant nousprendrons soin de modifier en conséquence les écritures des prin-cipes de base avant de les appliquer de manière systématique.

Les principes de mécanique des fluides et le théorème de l’éner-gie cinétique deviennent :


qm = ρSv = Cte

d’où ρ1S1v1 = ρ2S2v2

— principe fondamental de la mécanique, équation d’Euler :

● Premier Principe de la thermodynamique :

d’où


d’où


vapeur. Nous ne tiendrons pas compte des fuites, car ce problèmene peut pas être abordé à ce niveau.

2.1.2 Détente dans le distributeur

Soit le distributeur schématisé sur la figure 10.

Les principes de mécanique des fluides et le théorème de l’éner-gie cinétique s’écrivent dans ce cas :


qm = ρSv = Cte

d’où ρ0S0v0 = ρ1S1

avec vitesse débitante (cf. figure 10)


d’où



2.1.2.1 Explicitation des aires sur un diagramme entropique

La figure 11a représente le diagramme entropique correspon-dant au cas étudié. On y retrouve les éléments suivants où A repré-sente l’aire :

• = A (α, 0i , a) enthalpie d’arrêt entrée distributeur,• h0 = A (β, 0, a ) enthalpie entrée distributeur,

• (α, 0i , 0, β) énergie cinétique à l’entrée,

• = A (γ, 1i , b) enthalpie d’arrêt sortie distributeur,• h1 = A (θ, 1, b) enthalpie sortie distributeur,

τa u1v1uu2v2u

–=

τa h∆ v 2

2--------∆+=

τa h1 h2v 1

2 v 22

–

2----------------------+–=

∆f �T dS=

∆f 1 2→ �1

2

T dS=

τa 1 2→ �1

2dpρ

--------- ∆f 1 2→v 1

2 v 22

–

2----------------------+––=

v1d

v1d

0 h0 h1v 0

2 v 12

–

2----------------------+–=

h0ih1i

=

∆ff 0 1→ �0

1

T dS=

0 �0

1 dpρ

--------- ∆ff 0 1→v 0

2 v 12

–

2----------------------+––=

h0i

v 02

2-------- A=

h1i

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

Il vient :

• avec = , comme il a été vu précédemment, on a :

ϕ 2 apparaît donc comme le rendement isentropique du distribu-teur, défini entre les conditions totales amont et statiques aval. Ausens du rendement isentropique, les pertes sont égales à l’aire(a, 1′, 1, b) c’est-à-dire à h1 – h1′ .

2.1.2.3 Calcul des pertes dites adiabatiques,ou hydrauliques du distributeur

Les pertes adiabatiques ∆πf sont :

1'

a"

1

0

0i

1i

h1

p0p0i

p1i

p1

h0i = h1i

h0

a diagramme entropique

α

γ

β

θ

T

S

2 cpm

v12

2 cpm

v02

ba

ϕ2v 1

2

v 1th

2-----------

h1ih1–

h0ih1 ′–

-----------------------= =

h1ih0i

ϕ2h0i

h1–

h0ih1 ′–

-----------------------A α, 0i , a( ) [A θ, 1 ′, a( ) A a, 1 ′, 1, b( ) ]+–

A α, 0i , a( ) A θ, 1 ′, a( )–----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= =

A α, 0i ,1 ′, θ( ) A a, 1 ′, 1, b( )–

A α, 0i ,1 ′, θ( )-------------------------------------------------------------------------------------=

v 1th

2 v 12

–


• (γ, 1i , 1, θ) énergie cinétique à la sortie du distributeur,

• (β, 0, 1, θ) travail polytropique de détente entre

les conditions statiques,• – ∆ff 0→1 = – A (a, 0, 1, b) pertes polytropiques du distributeur.

La figure 11b montre le diagramme enthalpique correspondant.

2.1.2.2 Pertes dans un distributeur

On pose :

La vitesse serait la vitesse théorique atteinte lors d’unedétente sans pertes ; elle est définie par la figure 1. ϕ est appelécoefficient de ralentissement des vitesses.

Si on appelle q1, la chute statique disponible dans le distributeur,il vient (cf. figure 11b ) :

Pour être complet, les pertes peuvent donc encore s’écrire :

On voit que l’utilisation du coefficient de ralentissement ϕ intro-duit la notion de rendement isentropique ; les pertes globales sontbien entendu toujours représentées par l’aire (a, 0, 1, b) et un ren-dement polytropique en tiendrait compte.

2.1.3 Détente dans le mobile

La figure 12 représente le schéma du mobile.

Figure 11 – Diagrammes entropique et enthalpique du distributeur

1'

1

0

0i 1i

T1

v1T0

p0

p1

q1

p0ip1iT0i T1i

b diagramme enthalpique

h

S

2

2

v02

2

v1th2

2

v 12

2-------- A=

�0

1 dpρ

---------– + A =

ϕv1

v1th

----------=

v1th

Figure 12 – Schéma du mobile

∆πf h1 h1 ′– h0ih1 ′–( ) h1i

h1–( )–2

------------------------= = =

v 1th

2

2----------- 1 ϕ2–( )

v 12

2-------- � 1 ϕ2–

ϕ2-----------------�==

v 1th

2

2----------- q1

v 02

2--------+=

∆πf �q1v 0

2

2--------+ � 1 ϕ2–( )=

v2

v1

u2

u

w2

w1

F

v2d

v1d

Vue suivant F

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

Les principes de la mécanique des fluides et le théorème del’énergie cinétique s’écrivent (l’indice r est utilisé pour l’écoule-ment relatif) :


— principe fondamental de la mécanique, équation d’Euler :




ρ1S1v1dρ2S2v2d

=

τa u1v1uu2v2u

–=

τa h1 h2v 1

2 v 22

–

2----------------------+– h1i

h2i–= =

∆fr ∆fr 1 2→ �1

2

T dS= =

τa 1 2→ �1

2 dpρ

--------- ∆fr 1 2→v 1

2 v 22

–

2----------------------+––=

2'

cb

1i

2i1

2

1ir

2ir

h2

p1

p2

p1i

h2i

h1i

p2i

p1ir

p2ir

h1


η

γ

ζ

σµ

θ

T

S

2 cpm

w 22

2 cpm

v12

w12

v22 cpm

h1ir

= h2ir

2 cpm

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique

BM 4 283

−

13

Le théorème d’Euler peut encore s’écrire :

Soit, en combinant avec le Premier Principe de la thermodyna-mique :

d’où :

Pour une turbine axiale :

u

2

=

u

1

et l’expression précédentedevient :

d’où =

L’enthalpie d’arrêt relative

h

ir

est constante dans un mobile deturbomachine axiale.

2.1.3.1 Explicitation des aires dans le diagramme entropique

La figure

13

a

représente le diagramme entropique de la détentedans la roue et la figure

13

b

montre le diagramme enthalpiquecorrespondant.

Les aires du diagramme entropique représentent des énergies ;on peut dresser la liste de certaines d’entre-elles :

• énergie cinétique relative à l’entrée du

mobile ;•

h

2

=

A

(

ζ

, 2, c) enthalpie à la sortie du mobile ;

• =

A

(

σ

, 2

i

, c) enthalpie d’arrêt à la sortie du mobile ;

• =

A

(

µ

, 2

ir

, c) enthalpie d’arrêt relative à la sortie du mobile ;

• énergie cinétique à la sortie du mobile ;

• énergie cinétique relative à la sortie du

mobile ;

• travail polytropique de détente dans la

roue ;

•

∆

f

r

1

→

2

= –

A

(b, 1, 2, c) pertes polytropiques dans le mobile.

τa u1 v1uu2 v2u

–v 1

2 v 22

–

2----------------------

u 12 u 2

2–

2----------------------

w 12 w 2

2–

2-------------------------–+= =

τa h1 h2–v 1

2 v 22

–

2----------------------+

v 12 v 2

2–

2----------------------

u 12 u 2

2–

2----------------------

w 12 w 2

2–

2-------------------------–+= =

h1 h2–u 1

2 u 22

–

2----------------------

w 12 w 2

2–

2-------------------------–=

h1w 1

2

2----------

u 12

2---------–+ h2

w 22

2---------

u 22

2--------–+=

h1w 1

2

2----------+ h2

w 22

2-----------+=

h1irh2ir

w 12

2---------- A= η, 1 ir , 1, θ( )

h2i

h2ir

Figure 13 – Diagrammes entropique et enthalpique de détentedans la roue

2'

2

1

1ir

2ir

2i

1i

a

p2

q2

T2i

h1i

T1i

h2i

p2ir

p1ir

p1i p1

p2i

b diagramme enthalpique

h

S

v12

2 w12

2 w2

2

2

v22

2 w2th

2

h1ir = h2ir

2

v 22

2-------- A σ, 2 i , 2, ζ( ) =

w 22

2---------- A µ, 2 ir , 2, ζ( ) =

�1

2dpρ

--------- A θ, 1, 2, ζ( ) =

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________

2.1.3.2 Pertes dans un mobile

On pose :

On appelle ψ, coefficient de ralentissement des vitesses dans lemobile.

Pour un aubage à action, on aurait (q 2 = 0) :

Il vient :

avec = , comme il a été vu précédemment :

ψ 2 apparaît donc comme le rendement isentropique du mobile,défini entre les conditions d’arrêt relatives amont et statiques aval.Au sens du rendement isentropique, les pertes sont égales à l’aire(2′, b, 2, c ) c’est-à-dire à h2 – h2′ .

ψw2

w2th

------------=

w2thw1=

ψ 2w 2

2

w 2th

2-------------

h2irh2–

h1irh2 ′–

------------------------= =

h2irh1ir

ψ 2A η, 1 ir , 2 ′ , ζ( ) A 2 ′ , b, 2, c ( ) –

A

η, 1 ir , 2 ′ , ζ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------=

c e d

3i

2

3

4

2i

p2

p2

p2i

p2i

h2i


ζ

σ

T

S

h

2 cp1

v22


BM 4 283

−

14


2.1.3.3 Calcul des pertes dites adiabatiques,ou hydrauliques du mobile

Les pertes adiabatiques

∆

π

r

s’écrivent :

Si on appelle

q

2

, la chute statique disponible dans le mobile, ilvient :

Les pertes

∆

π

r

peuvent donc encore s’écrire, pour être complet :

2.2 Définition du degré de réaction

On peut proposer

deux définitions du degré de réaction

ε

, selonque l’on raisonne sur les chutes statiques disponibles ou sur leschutes statiques réelles :

— en utilisant les chutes statiques disponibles :

avec :q2 = h1 – h2′ (cf. figure 11a )

q1 = h0 – h1′ (cf. figure 13b)

— en utilisant les chutes réelles :

avec :

2.3 Pertes par vitesse restante

À l’exception des turbines qui appartiennent aux moteursd’aviation, on vise à obtenir de toutes les machines de détente laplus forte puissance possible sur l’arbre, ce qui conduit à réduireau minimum l’énergie cinétique finale pour accroître le tra-vail τ puisé dans le fluide.

Bien que le fluide quittant le rotor ne traverse plus aucun organemobile susceptible de recueillir du travail, la présence du diffuseur,dispositif statique, accroît indirectement l’énergie reçue par le rotoret améliore ainsi le rendement.

Dans le diagramme entropique de la figure 14, est représen-tée par l’aire (σ, 2i , 2, ζ).

Plusieurs cas sont à considérer :

— lors d’une récupération complète de l’énergie cinétique desortie, c’est-à-dire lorsque un aubage distributeur est placé directe-ment derrière l’aubage mobile de l’étage étudié, le coefficient derécupération de l’énergie cinétique, m, est égal à 1. Le point repré-sentatif des conditions d’arrêt d’entrée de l’étage aval est en 2i ;

— lors d’une perte complète de l’énergie cinétique de sortie, ona m = 0. On perd , c’est-à-dire l’aire (σ, 2i , 2, ζ) ou (c, 2, 4, d ).L’évolution aval depuis la sortie du mobile de l’étage étudié

∆πr h2 h2 ′– h1irh2 ′–( ) h1ir

h2–( )–w 2th

2 w 22

–

2----------------------------= = =

w 2th

2

2------------- 1 ψ2–( )

w 22

2---------- � 1 ψ2–

ψ2------------------�==

w 2th

2

2------------- q2

w 12

2----------+=

∆πr �q2w 1

2

2----------+ � 1 ψ2–( )=

εq 2

q1 q2+---------------------=

ε*q*2

q*1

q*2+

---------------------------=

q*2 h1 h2–=

q*1 h0 h1–=

Figure 14 – Pertes par vitesse restante :diagrammes entropique et enthalpique

2

3

4

2i 3ihi2

b diagramme enthalpiqueS

2

mv21

2

v22

q1 distributeur suivant

v f2�2

v 22

2--------

v 22�2

_____________________________________________________________________________________________________________________ TURBOMACHINES

2

0

1

p1

p0i

p1i

p 2 = p 3 i

p2i

0i 1i

2iS

2S

2i

3i

1ir

p1ir

p2irp0

η

γ

β

α

σ

µθ

T

2 cp

v12

2 cp

v22

2 cp cp

w12

2 cp

w22

a

2

2ir

2 cp

v0DA

A1A2

A4

B

CC'

c' a b

p0

p0

p1f

pf

α

β

T

S

A


s’effectue à enthalpie d’arrêt constante et à pression statiqueconstante si le fluide est déversé dans un grand réservoir ;

— dans les cas intermédiaires, on ne perd pas complètement

l’énergie cinétique ; on récupère donc .

La perte est alors :

2.4 Définition du rendement aérodynamique d’étage

Ayant négligé les pertes par frottement de disque et les pertespar fuites dans cette application, pour simplifier l’exposé, nous uti-liserons le rendement aérodynamique défini par la relation (44) del’article [BM 4 281] § 4.2.2 pour qualifier les performances de la tur-bine.

Deux définitions sont utilisées :

●

le point étant à l’intersection de l’isentrope passant par 0i et del’isobare (figure 15).

Il s’agit du rendement entre les conditions d’arrêt ; c’est celui quireprésente le mieux la qualité intrinsèque de la turbine. Onl’appelle encore rendement total à total de l’étage ;

●

le point 2S étant à l’intersection de l’isentrope passant par 0i etde l’isobare (figure 15).

Il s’agit du rendement lorsque l’on tient compte de la perte parvitesse restante en l’attribuant à la turbine.

On pourrait tout aussi bien comptabiliser cette perte avec leréseau. On l’appelle encore rendement total à statique de l’étage.

Le diagramme entropique complet d’une turbine axiale à réac-tion, fonctionnant cette fois-ci avec un gaz parfait, fait l’objet de lafigure 15.

Dans le but de représenter sur un diagramme thermodynamiquele fonctionnement complet d’une turbine multiétage par exemple,il y a lieu de schématiser encore davantage le fonctionnement d’unétage unique. En particulier, on assimilera la ligne brisée (qui auraitdû être en pointillés) à une polytrope passant par les points 0i et2i , nous appellerons cette ligne AB sur la figure 16. Ceci serad’autant plus acceptable que le nombre d’étage sera élevé, car lapolytrope s’éloignerait moins de la ligne brisée représentant ladétente réelle.

La détente isentropique sera représentée sur la figure 16par la détente isentropique AC.

2.5 Analyse des détentessur le diagramme entropique

On a tracé sur la figure 16 les courbes AB, AC et AD qui repré-sentent respectivement les transformations réelle (ou polytro-pique), isentropique et isotherme.

Figure 15 – Diagramme entropique d’une turbine axiale à réaction fontionnant avec un gaz parfait

distributeur mobile

ζ

S

v 22�2 mv2

2�2

πp∆ 1 m–( )v 2

2

2-------- A c, 2, 3, e ( ) = =

ηA ηSτa

τ-------

h0ih2i

–

h0ih2is

–------------------------= = =

2isp2i

ηB ηSτa

h0ih2S

–-----------------------

h0ih2i

–

h0ih2s–

------------------------= = =

Figure 16 – Analyse des détentes sur le diagramme (

T

,

S

)

A3 = Σ∆f

BC

a b S

p2 p3 i=

0i 2is

TURBOMACHINES ______________________________________________________________________________________________________________________


BM 4 283

−

16


En plaçant sur l’isobare

p

0

un point C

′

à l’horizontale de C, onpeut délimiter une aire

A

1

ayant pour contour (c

′

C

′

Aa) ; cette aireest identique à celle (

α

AC

β

).

On peut décomposer le diagramme de détente en quatre aires :•

A

1

, surface du parallélépipède (c

′

C

′

Aa) (ou

α

AC

β

),•

A

2

, surface du triangle curviligne (ABC),•

A

3

, surface du parallélépipède curviligne (aABb),•

A

4

, surface du triangle curviligne (ABD).

2.5.1 Détente polytropique

Si l’on admet que la loi polytropique décrit la détente réelle demanière suffisamment approchée, c’est-à-dire que la loi

p

υ

k

=

cte

,qui par le choix de

k

passe par les points réels de détente A et Ben représentant assez fidèlement la courbe AB, le travail de détentepolytropique

τ

p

sera convenablement représenté par l’airepositive :

τ

p

=

A

1

+

A

2

=

A

(

α

AB

β

)

2.5.2 Détente isentropique

Le travail sur l’arbre d’une machine réversible détendant isentro-piquement le fluide de

p

0 et pf est représenté par l’aire positive :

τS = A1 = A (αACβ)

2.5.3 Détente isothermique

Le travail sur l’arbre d’une machine réversible détendant demanière isotherme le fluide de p0 et pf est représenté par l’airepositive :

τT = A1 + A2+ A4 = A (αADβ)

2.5.4 Détente réelle

On note A3 l’aire sous-tendue par la transformation réelle AB ;elle mesure les pertes Σ∆f.

Le travail fourni sur l’arbre est égal à :

τa = hA – hB = A (αAa) – A (βBb) = A1 + A2 – A3

On vérifie que la différence τp – τa qui, par définition, constitueles pertes internes (ou pertes polytropiques), est bien égale à A3 .

On trouve que les pertes adiabatiques :

Σ∆π = τs – τa = A3 – A2

comprennent encore les pertes vraies A3 , mais diminuées cette foisde A2 = τp – τs , c’est-à-dire, du supplément de travail réversible,déjà identifié dans les compresseurs, et qui est dû (cf. [BM 4 282]figure 9) à la dilatation du fluide par le réchauffage provenant despertes internes. Cette aire A2 représente la partie des pertes récupé-rables et réutilisée pour le réchauffage de la vapeur.

Le réchauffage dû aux pertes internes joue de manière défavo-rable dans un compresseur, où le supplément de travail doit êtrefourni au fluide, et favorable dans une turbine où le fluide le libère.

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