Trigonométrie · 2014-01-22 · Chapitre 12 Trigonométrie 153 16 Dans le triangle TRI rectangle...

Chapitre 12 Trigonométrie 151

EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires

3. Géométrie

3.1 Figures planesTriangle rectangle, relations trigonométriques.

– Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle.– Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées :• du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné ;• de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.

La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu sont introduits comme rapports de longueurs.Les formules suivantes sont à démontrer :

sin2A + cos2A = 1 et tan A = sin Acos A

.

La seule unité utilisée est le degré décimal.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture

5,2 cm

5,4 cm

A

Ces trois triangles sont rectangles et ont un angle commun de sommet A. Leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.

cos A = 5,25,4

.

On peut en déduire une valeur approchée de la mesure de l’angle A : A ≈ 15,6°.

Pour chacun des trois triangles, le quotient de la longueur du côté opposé à l’angle A par la longueur du côté adjacent à l’angle A est environ égal à 0,28.

Je prends un bon départ

QCM

1 B 2 C 3 B 4 B5 C 6 A 7 A 8 C

9 1.

10 cm6,7 cm

A B

C

2.Dans le triangle ABC rectangle en A :

cos ACB = CACB

6,710

= , d’où : ACB ≈ 47,9°.

10 1.

8 cm4 cm

A B

C

2. Dans le triangle EGF rectangle en E :

cos EGF = FEFG

48

12

= = , d’où : EGF = 60°.

On en déduit : EGF = 90° − 60° = 30°.

11 Dans le triangle KLM rectangle en K :

cos KML = KMML

, d’où : KM = ML × cos KML = 13,6 cos 28°,

soit : KM ≈ 12,0 cm.

12 Dans le triangle GHI rectangle en H :

cos IGH = GHGI

, d’où : GI = GH

cos IGH =

5,5cos 57°

,

soit : GI ≈ 10 cm.

13 a. x = 85 b. 143

x = c. 4

15x =

d. 103

x = e. 95

x = f. 252

x = = 12,5

g. 367

x = h. 557

x =

Trigonométrie

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2.

152

1 Objectifs − Découvrir les défi nitions du sinus et de la tangente d’un angle aigu.− Conjecturer que le sinus et la tangente d’un angle aigu ne dépendent que de la mesure de cet angle.

3. a. Quelle que soit la position du point E sur la

demi-droite [OM), les quotients EHOE

et EHOH

ne varient pas.

b. Lorsque l’on modifie la mesure de l’angle MON,

donc la mesure de l’angle EOH, les quotients EHOE

et EHOH

varient.

c. L’angle MON étant fixé, lorsque l’on déplace

le point E sur la demi-droite [OM), les quotients EHOE

et EHOH

ne varient pas.

2 ObjectifSavoir exprimer le sinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

1. a. sin ABC = ACBC

.

b. Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.

2. a. tan ABC = ACAB

.

b. Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.

3. sin ABC = ACBC

, d’où : sin ABC = 8

1045

= .

tan ABC = ACAB

, d’où : tan ABC = 86

43

= .

sin ACB = ABBC

, d’où : sin ACB = 6

1035

= .

tan ACB = ABAC

, d’où : tan ACB = 68

34

= .

3 Objectif Savoir que le sinus d’un angle est égal au cosinus de son angle complémentaire.

1. a.

C

B

A

c. En déplaçant l’un des points B ou C, pour modifierles mesures des angles ABC et ACB, on remarque que : cos ABC = sin ACB et cos ACB = sin ABC.

2. a. Les angles ABC et ACB sont complémentaires.

b. sin ABC = ACBC

et cos ACB = ACBC

;

on remarque que : sin ABC = cos ACB.

sin ACB = ABBC

et cos ABC = ABBC

;

on remarque que : sin ACB = cos ABC.c. Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son angle complémentaire.

4 ObjectifConnaître les deux relations trigonométriques :

tan A = sin A

cos A et sin2 A + cos2 A = 1.

1. a. • sin A = BCAB

• cos A = ACAB

• tan A = BCAC

• sin Acos A

= BCAC

b. tan A = sin Acos A

.

2. a. • (sin A)2 = BCAB

BCAB

2 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

• (cos A)2 = ACAB

ACAB

2 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .

b. Le théorème de Pythagore, appliqué dans le triangle ABC rectangle en C, permet d’écrire BC2 + AC2 = AB2.

c. (sin A)2 + (cos A)2 = BCAB

ACAB

BC ACAB

2

2

2

2

2 2

2+ =

+

ABAB

12

2= = .

d. On obtient l’égalité : sin2 A + cos2 A = 1.

Savoir-faire

14 a. Dans le triangle ABC rectangle en A :

tan ABC = ACAB

8,46

= , d’où : ABC ≈ 54,5°.

b. Dans le triangle DEF rectangle en D :

sin DEF = DFEF

6,811,7

= , d’où : DEF ≈ 35,5°.

c. Dans le triangle GHI rectangle en I :

sin HGI = IHGH

7,716,9

= , d’où : HGI ≈ 27,1°.

15 1.

C

B

A

3 cm

62°

2. Dans le triangle ABC est rectangle en A :

tan ABC = ACAB

, d’où : AC = AB × tan ABC = 3 × tan 62°,

soit : AC ≈ 5,6 cm.

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2.


16 Dans le triangle TRI rectangle en I :

sin IRT = ITRT

, d’où : RT = IT

sin IRT =

9sin 72°

,

soit : RT ≈ 9,5 cm.

17 1.

2. On entre dans la cellule A1 , le titre AB

On entre dans la cellule B1 , le titre BC

On entre dans la cellule C1 , le titre BE

On entre dans la cellule D1 , le titre AB/BC

On entre dans la cellule E1 , le titre BC/BE

On entre dans la cellule A2 , la valeur AB

On entre dans la cellule B2 , la valeur BC

On entre dans la cellule C2 , la valeur BE

On entre dans la cellule D2 , le calcul AB/BC

On entre dans la cellule E2 , le calcul BC/BEEn déplaçant le point C, on vérifie l’égalité

des quotients ABBC

et BCBE

.

3. On peut conjecturer que : BE = BC2.On pourra proposer aux élèves de démontrer la conjecture :Les angles BEC et BCA sont complémentaires au même angle ECB, donc ils sont égaux. Par conséquent, tan BCA = tan BEC, d’où :

ABBC

= BCBE

, d’où : BC2 = AB × BE.Or AB = 1, donc : BE = BC2.

Exercices

À l’oral

18 • Le triangle ABC est rectangle en C, donc l’hypoténuse est [AB], le côté adjacent à l’angle A est [AC], le côté opposé à l’angle A est [BC], donc :

• cos A = ACAB

• sin A = BCAB

• tan A = BCAC

.

• Le triangle NMR est rectangle en N, donc l’hypoténuse est [MR], le côté adjacent à l’angle M est [MN], le côté opposé à l’angle M est [NR], donc :

• cos M = MNMR

• sin M = NRMR

• tan M = NRNM

.

19 a. cos D = DADE

b. sin D = AEDE

c. tan D = AEAD

d. sin E = ADDE

20 Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1.

a. 0147

1� � ; on peut donc tracer un tel triangle

rectangle.

b. 1714

1� ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle

rectangle.

c. 1417

0�− ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle

rectangle.d. 0 � 0,0001 � 1 ; on peut donc tracer un tel triangle rectangle.

21 Dans le triangle ABC rectangle en C : sin B = ACAB

.

Dans le triangle BEG rectangle en E : sin B = EGBG

.

22 Dans le triangle CLR rectangle en C : tan C = LRLC

.

Dans le triangle CMS est rectangle en S : tan C = MSCS

.

23 1. Les triangles rectangles de la figure sont :• GJH rectangle en H• IJG rectangle en G• GIH rectangle en H

2. a. sin GJI = GHGJ

dans GJH rectangle en H

et sin GJI = GIIJ

dans IJG rectangle en G.

b. sin GIH = GHGI

dans GIH rectangle en H

et sin GIH = GJIJ


c. cos GJI = JHJG


et cos GJI = JGJI


d. cos GIH = IHIG


et cos GIH = GIIJ


e. tan GJI = GHHJ


et tan GJI = GIGJ


f. tan GIH = HGHI


et tan GIH = GJGI


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2.

154

29 • cos D = DADE

• sin D = AEDE

• tan D = AEAD

• cos E = AEDE

• sin E = DADE

• tan E = ADAE

30 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)

2. a. cos ITR = ITRT

b. tan ITR = IRIT

c. sin IRT = ITRT

d. tan IRT = ITIR


2. a. KLLM

= cos KLM = sin KML

b. KMLM

= cos KML = sin KLM

c. KMLK

= tan KLM d. LKKM

= tan KML


2. a. sin HIG = GHGI

b. sin IGH = HIGI

c. tan HIG = GHHI

d. tan IGH = HIGH

33 • Dans le triangle ABE rectangle en E :

sin CAD = BEBA

et tan CAD = EBEA

.

• Dans le triangle ABD rectangle en B :

sin CAD = BDAD

et tan CAD = BDBA

.

• Dans le triangle ACD rectangle en D :

sin CAD = CDCA

et tan CAD = DCDA

.

34

B

A

C

2 cm5 cm

Dans le triangle ABC rectangle en C :

sin ABC = 25

ACAB

= .

On peut donc choisir : AC = 2 cm et AB = 5 cm.

35

E

D

F

3 cm6 cm

Dans le triangle DEF rectangle en F : sin DEF = 12

DFDE

= .Or DF = 3 cm, d’où : DE = 2 × 3 = 6 cm.

24 Dans le triangle ABC rectangle en B :

• sin A = BCAC

915

35

= = • cos A = BAAC

1215

45

= =

• tan A = BCBA

912

34

= = .

25 1. Vrai. En effet, si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.2. Faux. En effet : (sin 30° + cos 30°)2 = sin2 30° + cos2 30° + 2 sin 30° cos 30°3. Vrai. En effet : sin2 60° + cos2 60° = 1, d’où : sin2 60° = 1 − cos2 60°.

4. Faux. En effet : tan A = sin Acos A

.

26 a. Vrai. En effet : cos B = BCAB

5AB

= ,

d’où : AB = 5cos B

.

b. Vrai. En effet : cos A = ACAB

7AB

= ,

d’où : AB = 7cos A

.

c. Faux. En effet : tan A = BCAC

57

= ,

d’où : 5tan A

= 5 : 57

= 7. Or AB ≠ 7.

d. Vrai. En effet : sin B = ACAB

7AB

= ,

d’où : AB = 7sin B

.

e. Faux. En effet : sin A = BCAB

5AB

= ,

d’où : AB = 5sin A

.

f. Faux. En effet : tan B = ACBC

75

= ,

d’où : 7 × tan B = 495

. Or AB ≠ 495

.

27 1. a. ABsin C

permet de calculer la longueur

du côté [BC].

b. ACsin B

permet de calculer la longueur du côté [BC].

c. ACtan B

permet de calculer la longueur du côté [AB].

2. a. BC × sin B permet de calculer la longueur du côté [AC].b. BC × sin C permet de calculer la longueur du côté [AB].c. AC × tan C permet de calculer la longueur du côté [AB].

Je m’entraîne


a. [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC rectangle en A.b. [AB] est le côté opposé à l’angle ACB.c. [AC] est le côté adjacent à l’angle ACB.

d. cos ACB = ACBC

. e. sin ACB = ABBC

.

f. sin ABC = ACBC

. g. tan ABC = ACAB

.

h. cos ABC = ABBC

. i. tan ACB = ABAC

.

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2.


43 27° + 63° = 90°, d’où : cos 27° = sin 63°.On obtient ainsi : A = 3 tan 27° sin 63°

= 3 sin 27°cos 27°

sin 63° = 3 sin 27°sin 63°

sin 63° = 3 sin 27°.

44 a. 10° + 80° = 90°, d’où : sin 80° = cos 10°.On obtient ainsi : A = cos 10° − sin 80° = cos 10° − cos 10° = 0.b. 45° + 45° = 90°, d’où : cos 45° = sin 45°.On obtient ainsi : B = sin 45° − cos 45° = sin 45° − sin 45° = 0.c. 41° + 49° = 90°, d’où : cos 41° = sin 49° et cos 49° = sin 41°.On obtient ainsi :C = (cos 41° − cos 49°) + (sin 41° − sin 49°) = sin 49° − sin 41° + sin 41° − sin 49° = 0.


sin ACB = ABBC

610,5

= , d’où : ACB ≈ 34,8°.

b. Dans le triangle DEF rectangle en D :

sin DEF = DFEF

7,212,8

= , d’où : DEF ≈ 34,2°.

46 Dans le triangle ABC rectangle en A :

sin ACB = ABBC

12,530

= , d’où : ACB ≈ 24,6°.

47 Dans le triangle SRT rectangle en S :

tan SRT = STRS

4,53

= , d’où : SRT ≈ 56,3°.


tan C = ABAC

58,3

= , d’où : C ≈ 31,1°.

b. Dans le triangle CRI rectangle en I :

tan C = IRIC

6,23,1

= , d’où : C ≈ 63,4°.

49 1. Dans le triangle GHI rectangle en H,

tan HIG = GHIH

102,5

= , d’où : HIG ≈ 76°.

2. On en déduit : HGI ≈ 14°.

50 JL2 = 132 = 169 et JK2 + KL2 = 122 + 52 = 169 ; donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en K.

D’où : tan KJL = KLKJ

512

= , d’où : KJL ≈ 22,6°.

On en déduit : KLJ ≈ 67,4°.

51 MR2 = 6,52 = 42,25 et ME2 + RE2 = 3,32 + 5,62 = 42,25 ; donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle MER est rectangle en E.

D’où : tan ERM = MERE

3,35,6

= , d’où : ERM ≈ 30,5°.

On en déduit : EMR ≈ 59,5°.

36

H

G

I

4 cm

7 cm

Dans le triangle GHI rectangle en I : tan GHI = 47

IGIH

= .

On peut donc choisir : IG = 4 cm et IH = 7 cm.

37 Dans le triangle KLMrectangle en L :

tan LMK = 53

LKLM

= .

Or LK = 2,5 cm, d’où :

LM3 2,5

51,5=

×= cm.


Mesure de C 3° 27° 45° 67° 81° 85°cos C 1 0,89 0,71 0,39 0,16 0,09sin C 0,05 0,45 0,71 0,92 0,99 1tan C 0,05 0,51 1 2,36 6,31 11,43

39 1. cos B = 45

, donc : sin2 B = 11625

925

− = .

Or sin B est un nombre positif, donc : sin B = 35

.

2. tan B = sin Bcos B

= 34

.

40 1. 0,9696

1002425

= = .

2. sin A = 2425

, donc : cos2 A = 12425

4925

2

2− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = .

Or cos A est un nombre positif, donc : cos A = 725

.

3. tan A = sin Acos A

= 247

.

41 cos E = 13

, donc : sin2 E = 1 − cos2 E = 119

89

− = .

Or sin E est un nombre positif, donc : sin E = 89

2 23

= .

Et tan E = sin Ecos E

= 2 2.

42 a. sin C = 0,6, donc : cos2 C = 1 – sin2 C = 1 – 0,62 = 0,64.Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = 0,8.

b. sin C = 3

2, donc :

cos2 C = 1 − sin2 C = 13

21

34

14

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = .

Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = 12

.

M

K

L

2,5 cm

1,5 cm

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2.

156

52 SL2 = 102 = 100 et SO2 + OL2 = 62 + 82 = 100 ; donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle SOL est rectangle en O.

D’où : sin OSL = OLSL

810

= ,

d’où : OSL ≈ 53,1°.On en déduit : OLS ≈ 36,9°.

53 Soit A l’angle formé par la route et l’horizontale.

a. tan A = 10100

, d’où : A ≈ 5,7°.

b. tan A = 8

100, d’où : A ≈ 4,6°.

c. tan A = 4

100, d’où : A ≈ 2,3°.

54 1.

Arrivée

DépartCâble

Horizontale40 m

2. L’écart entre la hauteur de départ et la hauteur d’arrivée est égal à : 10 − 4,5, soit 5,5 m.Soit A l’angle formé avec l’horizontale par le cable.

tan A = 5,540

, d’où : A ≈ 7,8°.

55 Le triangle OAB est rectangle en O,

donc : sin OAB = OBAB

, d’où :

OB = AB × sin OAB = 5,2 × sin 42°.Soit : OB ≈ 3,5 cm.

56 1.

37°

8,5 cmB A

C

2. a. Dans le triangle ABC rectangle en C :

sin BAC = BCBA

,

d’où : BC = BA sin BAC = 8,5 × sin 37°,

soit : BC ≈ 5,1 cm.

57 Dans le triangle GHT rectangle en H :

sin GTH = GHGT

,

d’où : GT = GHsin GTH

= 3

sin 52°.

Soit : GT ≈ 3,8 cm.

58 1.

6,5 cm

41°

F

D

E

2. a. Dans le triangle DEF rectangle en F :

tan FDE = EFFD

, d’où : EF = FD × tan FDE = 6,5 × tan 41°,

soit : EF ≈ 5,7 cm.

59 1. BAC = 45°.2. Dans le triangle ABC rectangle en B :

cos BAC = ABAC

, d’où : AB = AC × cos BAC = 4 × cos 45°,

soit : AB ≈ 2,8 cm.

60 1. HNI = 26°.2. a. Dans le triangle NIH rectangle en H :

sin INH = HIIN

, d’où : HI = IN × sin INH = 10 × sin 26°,

soit : HI ≈ 4,4 cm.b. On en déduit : ID ≈ 8,8 cm, d’où : PNID ≈ 28,8 cm.

61 1. Le triangle AOB est isocèle en O.2. a. H est le milieu de [AB].b. La demi-droite [OH) est la bissectrice de l’angle AOB.3. Dans le triangle OHB rectangle en H :

sin BOH = BHBO

, d’où : BH = BO × sin BOH et donc :

AB = 2 × BO × sin BOH.a. AOB = 70°, donc BOH = 35°, d’où : AB = 2 × 5 sin 35°, soit : AB ≈ 5,736 cm.b. AOB = 100°, donc BOH = 50°, d’où : AB = 2 × 5 × sin 50°,soit : AB ≈ 7,660 cm.c. AOB = 130°, donc BOH = 65°, d’où :AB = 2 × 5 × sin 65°, soit : AB ≈ 9,063 cm.

62 Soit � la longueur du côté de l’angle droit opposé à l’angle de 30°.

sin 30° = 18�

, donc : � = 18 × sin 30° = 9 cm.

Soit �’ l’autre côté de l’angle droit.Le triangle est rectangle, donc d’après le théorème de Pythagore :� 2 + �’2 = 182,d’où : �’2 = 182 − � 2 = 182 − 92 = 243.Or : �’ est un nombre positif, donc :

’ 243 9 3� = = , d’où : �’ ≈ 15,6 cm.

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2.


63 1. et 2.

3. On peut remarquer que les quotients BHAB

, ABBC

et AHAC

sont égaux.4. CAH = ABH = 90° − ACH, donc les angles CAH et ABH ont la même mesure.Les angles ABH et ABC sont confondus, donc : CAH = ABH = ABC.• Dans le triangle ACH rectangle en H : cos CAH =

AHAC

.

• Dans le triangle ABH rectangle en H : cos ABH = BHAB

.

• Dans le triangle ABC rectangle en A : cos ABC = ABBC

.

D’où : BHAB

ABBC

AHAC

= = .

64 Soit K le milieu de [BE].Dans le triangle ABK rectangle en K :

cos ABE = BKAB

, d’où : AB = BKcos ABE

.

a. ABE = 20°, donc : AB4

cos20=

° ≈ 4,257 m.

On en déduit l’aire totale des panneaux solaires installés : 4,257 × 12 ≈ 51,08 m2.

b. ABE = 50°, donc : AB4

cos50=

° ≈ 6,223 m.


c. ABE = 35°, donc : AB4

cos35=

° ≈ 4,883 m.


brevetJe m’entraîne au

65 1. Dans le triangle BCD rectangle en D :

cos CBD = BDBC

, d’où : BC = BD

cos CBD =

4cos 60°

,

soit : BC = 8 cm.2. Dans le triangle BCD rectangle en D :

tan CBD = CDBD

, d’où : CD = BD tan CBD = 4 × tan 60°,

soit : CD ≈ 6,9 cm.

Thème de convergence

3. Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100.Or AC est un nombre positif, donc : AC = 10 cm.4. Dans le triangle ABC rectangle en B :

tan BAC = BCAB

86

= , d’où : BAC ≈ 53°.

66 1. BAC = 90° − 10° = 80°.2. Les points A, H et B sont alignés dans cet ordre, donc : AB = AH + HB = 100 + 400 = 500 m.Dans le triangle ABC rectangle en A :

tan BCA = ABAC

, d’où : AC = BA

tan BCA =

500tan80°

,

soit : AC ≈ 88 m.3. Dans le triangle ABC rectangle en A :

cos ABC = ABBC

, d’où : BC = AB

cos ABC =

500cos10°

,

soit : BC ≈ 508 m.4. Dans le triangle DBH rectangle en H :

cos DBH = BHBD

, d’où : BD = BH

cos DBH =

400cos10°

,

soit : BD ≈ 406 m.

67 1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2 = AC2 + BC2,d’où : BC2 = AB2 − BC2 = 302 − 252 = 275.Or BC est un nombre positif, donc :BC 275 5 11= = cm.2. Dans le triangle ACD rectangle en C :

tan CAD = CDAC

, d’où : CD = AC × tan CAD = 25 × tan 49°,

soit : CD ≈ 28,8 cm.Les points B, C et D sont alignés dans cet ordre, donc : BD = BC + CD.On obtient : BD 5 11 28,8≈ + , soit : BD ≈ 45,4 cm.

68 1. Le cercle � de centre O est le cercle circonscrit au triangle AMB.2. L’image du point A par la symétrie de centre O est le point B.3. Dans le triangle ABM rectangle en M :

cos BAM = AMAB

, d’où :

AM = AB × cos BAM = 6 × cos 60°, soit : AM = 3 cm.4. Le triangle OAM est un triangle isocèle en O ayant un angle de 60°, donc OAM est un triangle équilatéral, donc : AOM = 60°.On en déduit : BOM = 180° − 60° = 120°.

69 1. A

BCD

E

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

158

2. Le triangle ABF est inscrit dans un demi-cercle dediamètre [BF]. Le triangle ABF est donc rectangle en A.3. Dans le triangle ABF rectangle en A :

sin AFB = ABBF

2880

= , d’où : AFB ≈ 20,5°.

5. Dans le triangle OEF rectangle en E :

cos EFO = EFOF

, d’où : EF = OF × cos EFO ≈ 40 × cos 20,5°.

Soit : EF ≈ 37 mm.

84 1.

O

H

A

B C

D

2. a. Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2, d’où : AC2 = BC2 − AB2 = 52 − 32 = 16.Or AC est un nombre positif, donc : AC 16 4= = cm.b. O est le milieu de la diagonale [AC], donc : OC = 2 cm.3. a. • Dans le triangle ABC rectangle en A :

sin ACB = ABBC

.

• Dans le triangle OHC rectangle en H : sin ACB = OHOC

.

b. ABBC

OHOC

= , d’où : OHAB OC

BC3 2

5=

×=

×,

soit : OH = 1,2 cm.4. • Dans le triangle AOB rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BO2 = AB2 + AO2,donc : BO2 = 32 + 22 = 13.Or BO est un nombre positif, donc : BO 13= cm.• Dans le triangle BOH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : BO2 = BH2 + HO2, d’où : BH2 = BO2 − HO2 = 13 − 1,22 = 11,56.Or BH est un nombre positif, donc :BH 11,56= cm = 3,4 cm.

5. • �HOB = 12

OH BH12

1,2 3,4× × = × × .

Soit : �OHB = 2,04 cm2.• �HOB = OH BO BH 1,2 13 3,4+ + = + + .Soit : �HOB ≈ 8,2 cm.

85 1. ACH = BAH = 90° − CAH.2. Dans le triangle ACH rectangle en H :

tan ACH = AHHC

4,86,4

4864

34

= = = .

3. Dans le triangle ABH rectangle en H :

tan BAH = BHAH

, d’où :

BH = AH × tan BAH = AH × tan ACH = 4,834

× .Soit : BH = 3,6 cm. 4. • Les points B, H et C sont alignés dans cet ordre, donc : BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10 cm.

2. a. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B, donc : ACB = 45°.b. Les angles ACB et DCE sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure. D’où : DCE = 45°.3. Dans le triangle DCE rectangle en E :

sin DCE = DEDC

, d’où : DE = DC × cos DCE = 6 × cos 45°,

soit : DE ≈ 4,2 cm.

70 1. a. Le triangle SAO est rectangle en O.b. S

6,5 cm

2,5 cmO A

2. Dans le triangle SAO rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : SA2 = SO2 + OA2, d’où : SO2 = SA2 − OA2 = 6,52 − 2,52 = 36.Or SO est un nombre positif, donc : SO 36 6= = cm.

3. Volume du cône : 13

� = × Aire de la base × hauteur.

13

� = × π OA2 × SO = 13

× π × 2,52 × 6 = π × 2,52 × 2,

soit : � ≈ 39,3 cm3.4. Dans le triangle SAO rectangle en O :

sin ASO = OASA

2,56,5

= , d‘où : ASO ≈ 23°.

71 1. Le triangle PRC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [RP]. Le triangle PRC est donc rectangle en C.2. Dans le triangle PRC rectangle en C :

cos PRC = RCRP

, d’où : RC = RP × cos PRC = 3 000 × cos 60°.

Soit RC = 1 500 brasses.

J’approfondis

83 1. et 4.

O

E

A

B F

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ns B

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, 201

2.


AC2 = AH2 + HC2 = 52 + 32 = 34.Or AC est un nombre positif, donc : AC 34 5,8= ≈ cm.• Dans le triangle ABH rectangle en H :

tan ABH = AHBH

, d’où : BH = AHtan ABH

donc : BH5

tan31≈

°, soit : BH ≈ 8,3 cm.

• Les points B, H et C sont alignés dans cet ordre, donc : BC = BH + HC, d’où : BC ≈ 11,3 cm.• Dans le triangle AHB rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + BH2,donc : AB2 ≈ 52 + 8,32.Or AB est un nombre positif, donc : AB ≈ 9,7 cm.

88 1. EF FG (3 3 ) 3 362 2 2 2+ = + = et EG2 = 62 = 36.EF2 + FG2 = EG2, donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.2. Dans le triangle EFG rectangle en F :

cos EGF = GFGE

36

= , d’où : EGF = 60°.

3. • Dans le triangle AEB rectangle en B :

cos AEB = EBAE

, d’où : EB = AE × cos AEB = 9 × cos 30°.

Soit : EB 4,5 3= cm.• Dans le triangle AEB rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore : AE2 = AB2 + BE2, d’où : AB2 = AE2 − BE2.Donc : AB 9 (4,5 3 ) 20,252 2 2= − = .Or AB est un nombre positif, donc : AB = 4,5 cm.4. Dans le triangle ADB rectangle en B :

tan BAD = DBAB

, d’où :

DB = AB × tan BAD = 4,5 × tan 30° = 4,51

3× ,

soit : DB 1,5 3= cm.5. �AGFD = �ADE + �EFG.

�AGFD = 12

(4,5 6 3 3 3 3) 18 3× × + × = cm2.

89 1.

B EH

c

A

2. ABH = 60° et BAH = 30°.

3. BH = 2c

.

4. Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + BH2, d’où :

AH2 = AB2 − BH2 = 2 4

34

22

22

2cc

cc

c− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − = .

Or AH est un nombre positif, donc :

AH3

43

2

2c c= = .

• Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :AB2 = BH2 + HA2 = 3,62 + 4,82 = 36.Or AB est un nombre positif, donc : AB 36 6= = cm.• Dans le triangle ACH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :AC2 = AH2 + HC2 = 4,82 + 6,42 = 64.Or AC est un nombre positif, donc : AC 64 8= = cm.• �ABC = AB + BC + AC = 6 + 10 + 8 = 24 cm.

• �ABC = 12

BC AH12

10 4,8 24× × = × × = cm2.

86 1. Le triangle AHG est rectangle en H.2. • On construit un carré ADHE de 5 cm de côté. • On construit la diagonale [AH] du carré.• On construit une demi-droite perpendiculaire à (AH) passant par H.• On construit le point G sur cette demi-droite tel que : HG = 5 cm.• On trace le côté [AG].3. • AH AD 2 5 2= × = cm.• Dans le triangle AHG rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :AG2 = AH2 + HG2 = 50 + 25 = 75.Or AG est un nombre positif, donc :AG 75 5 3= = cm.4. Dans le triangle AHG rectangle en H :

tan HAG = HGAH

5

5 2= , d’où : HAG ≈ 35,3°.

87

I

C

H

BA

1. Le triangle AHB est rectangle en H et I est le milieu de son hypoténuse [AB], donc : IA = IH = IB. Les triangles HAI et HBI sont donc isocèles en I.2. a. Le triangle IBH est isocèle en I, donc : IHB = IBH.D’autre part : IBH = HAC = 90° − BAH.Donc : IHB = IBH = HAC.b. Le triangle IAH est isocèle en I, donc : IAH = IHA.D’autre part : IAH = ACH = 90° − HAC.Donc : IAH = IHA = ACH.3. a. CH = 3 cm et AH = 5 cm.

Dans le triangle ACH rectangle en H : tan ACH = AHCH

53

= ,

d’où : ACH ≈ 59°. On en déduit HAC ≈ 31°. b. • Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :

5 cmD

5 cm

A

G

H E

© É

ditio

ns B

elin

, 201

2.

160

On obtient : x = 64 tan25

tan34 tan25°

° − °,

b. h = x × tan SIH = 64 tan25

tan34 tan25°

° − ° × tan 34°.

Soit : h ≈ 96,7 m.

93 1. Dans le triangle ABH rectangle en H et dans le triangle ABC rectangle en A :

cos ABC = BHBA

BABC

= , d’où : BA2 = BH × BC.

2. Dans le triangle ACH rectangle en H et dans le triangle ABC rectangle en A :

cos ACB = CHCA

CACB

= , d’où : CA2 = CH × CB.

3. HAC = ABH = 90° − ACB. • Dans le triangle ACH rectangle en H : tan HAC =

HCAH

.

• Dans le triangle ABH rectangle en H : tan ABH = AHHB

.

Or HAC = ABH, donc : tan HAC = tan ABH,

d’où : HCAH

AHHB

= , soit : AH2 = HB × HC.

94 (sin B + cos B)2 − 2sin B × cos B = sin2 B + cos2 B + 2 sin B × cos B − 2 sin B × cos B = sin2 B + cos2 B = 1

95 1. • [AC] est la diagonale d’un carré de côté 6 cm, donc : AC 6 2= cm.• O est le milieu de [AC], donc : AO

12

6 2 3 2= × = cm.

2. a. Le triangle SOA est rectangle en O.b. Dans le triangle AOS rectangle en O :

tan ASO = AOSO

3 210

= , d’où : ASO ≈ 23,0°.

96 • En utilisant la propriété : cos2 F + sin2 F = 1,

on obtient : sin2 F = 1 − cos2 F = 19

167

16− = .

Donc : sin F = 7

167

4= .

• En utilisant la propriété : tan F = sin Fcos F

, on obtient :

tan F = sin Fcos F

,

d’où : sin F = cos F × tan F = 34

73

74

× = .

97 • cos2 A − sin2 A = (1 − sin2 A) − sin2 A = 1 − 2 sin2 A • cos2 A − sin2 A = cos2 A − (1 − cos2 A) = 2 cos2 A − 1.

98 1 + tan2 B = 1 + sin2 Bcos2 B

1 + tan2 B = cos2 Bcos2 B

+ sin2 Bcos2 B

1 + tan2 B = cos2 B + sin2 Bcos2 B

1 + tan2 B = 1cos2 B

.


• sin ABH = AHAB

32

= • cos ABH = BHAB

12

=

• tan ABH = AHBH

3= .


• sin BAH = BHAB

12

= • cos BAH = AHAB

32

=

• tan BAH = BHAH

1

3=

7. a. sin 60° = 3

2 b. cos 60° =

12

c. tan 60° = 3 d. sin 30° = 12

e. cos 30° = 3

2 f. tan 30° =

1

3

90 1. Le triangle REC est rectangle et isocèle en R, donc : REC = 45°.2. EC 2a= .

3. • sin REC = REEC

22

= • cos REC = REEC

22

=

• tan REC = RCRE

1= .

4. a. sin 45° = 2

2 b. cos 45° =

22

c. tan 45° = 1.

91 1. • Soit [AS], une génératrice du cône de sommet S et de diamètre [AB].Soit [OS], la hauteur de ce cône.Dans le triangle AOS rectangle en O : cos SAO =

AOAS

,

d’où : AS = AO

cos SAO =

3cos 60°

, soit : AS = 6 cm.

• Dans le triangle AOS rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : AS2 = AO2 + OS2, d’où :OS2 = AS2 − AO2 = 62 − 32 = 27. Or OS est un nombre positif, donc : OS 27 3 3= = cm.2. Contenance du verre lorsqu’il est rempli aux deux

tiers : � = 13

× Aire de la base × 23

× hauteur.

� = 13

323

3 3 6 3 32,6482× π × × × = π ≈ cm3.

92 1. a. Dans le triangle ISH rectangle en H :

tan SIH = hx

.

b. Dans le triangle OSH rectangle en H :

tan SOH = 64

hx +

.

c. • tan SIH = hx

, d’où : h = x × tan SIH.

• tan SOH = 64

hx +

, d’où : h = (x + 64) × tan SOH

2. a. x × tan SIH = (x + 64) × tan SOH.

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, 201

2.


4. Vrai. En effet : 45° − A + 45° + A = 90°.Les deux angles 45° − A et 45° + A sont complémentaires.Or, si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.5. Vrai. En effet, on obtient un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont 3,4 et 5.6. Vrai. En effet, lorsque tan B = 1, les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle sont de même mesure, donc le triangle est isocèle en A.

101 On utilise la propriété : Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre. D’où : cos 30° + cos 45° + cos 60° = sin 60° + sin 45° + sin 30°.

102 1. Le triangle AOB est isocèle en O.Les triangles AOH et BOH sont rectangles en H.2. Dans le triangle AOH rectangle en H :

tan x = OHAH

, d’où : OH = AH × tan x = AB2

tan x× .

3. OH = 3,25 × tan 86°, soit : OH ≈ 46,5 cm.4. OH = 1 m = 100 cm.On obtient ainsi : 100 = 3,25 × tan x,

d’où : tan1003,25

x = , soit : x ≈ 88°.

Atelier découverte

99 cos 15 1 sin 15 16 2

42 2

2

° = − ° = −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

16 2 2 12

168 2 12

16= −

+ −=

+.

Or : 6 2

46 2 2 12

168 2 12

16

2+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + + = +

D’où : cos2 15° = 6 2

4

2+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Or : cos 15° et 6 2

4+

sont positifs,

donc : cos 15° = 6 2

4+

.

100 1. Vrai. En effet, si deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.Donc : cos2 A + cos2 A = cos2 A + sin2 A = 1.

2. Vrai. En effet, tan A = sin Acos A

,

d’où : cos A = sin Atan A

.

3. Faux. En effet : (cos E + sin E)2 = 1 + 2 sin E × cos E.

Argumenter et débattre

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2.

Trigonométrie · 2014-01-22 · Chapitre 12 Trigonométrie 153 16 Dans le triangle TRI rectangle...

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