Travaux Dirigés Interférences,...

UNIVERSITÉ PARIS SUD

L3 PAPP

Optique Appliquée

Travaux Dirigés

Interférences, polarisation

2014 - 2015

Table des matières

1 Interférences 11.1 Le vélocimètre laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mesure interférométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Interférences àN ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Interférences à deux sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Interférences à N sources régulièrement espacées . . . . . . . . .. 51.3.3 Relation de Bragg (démonstration simplifiée) . . . . . . . . . . . . 5

2 Notion de cohérence 72.1 Exercices d’application sur la cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . .72.2 Interférences avec une source étendue. Localisation des franges. . . . . . . 82.3 Interférométrie à longue base en astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Principe de la tomographie par coherence optique (OCT) . . . . . . . . . .11

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 utilisation d’une source polychromatique . . . . . . . . . . . . . . 132.4.3 Principe de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.4 Contrôle du spectre de la source (Spectroscopie TF) . . . . . . . . 13

3 Interféromètres 153.1 Traitement antireflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Montage de Fizeau. Mesure de la forme d’une optique . . . . . . . . . . . 153.3 Miroir de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Polarisation 214.1 Polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.2 Interférences en lumière polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Mesure d’un champ magnétique intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Milieu birefringent, spectre cannelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Cellule de Pockels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4.1 Principe de Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4.2 Fonctionnement en modulateur d’intensité . . . . . . . . . . . . . . 244.4.3 Fonctionnement en porte optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Isolateur de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Interférences

Dans ce premier TD, nous supposerons que les ondes lumineuses onttoutes la mêmefréquence et ont des phases stables dans le temps (c’est à dire qu’il n’y a pas de problèmede cohérence). Une telle situation peut être approchée en utilisant de la lumière issue d’unLASER. Nous reviendrons sur cette approximation dans le TD 2. Par ailleurs, dans cer-tains exercices, nous ferons intervenir des particules suffisamment petites pour diffuser lalumière. Eclairées par une onde lumineuse incidente, elles réémettent unefraction de lapuissance lumineuse incidente dans toutes les directions. Loin de la particule, le champréémis sera assimilé à celui d’une onde sphérique avec une amplitude complexe propor-tionnelle à l’amplitude de l’onde incidente. Nous aurons l’occasion de revenir sur cettesituation dans le cours sur la diffraction.

1.1 Le vélocimètre laser

On souhaite mesurer la vitesse locale d’un fluide qui s’écoule dans un tuyau transpa-rent. On ensemence l’écoulement avec des petites particules capables de diffuser la lumière(bulles, poussières...). Ces dernières sont emportées par l’écoulementet on pourra assimilerleur vitesse à celle du fluide. Afin de mesurer cette vitesse, on éclaire un point de l’écoule-ment à l’aide du dispositif représenté dans la figure 1.

Figure 1.1 – Principe du vélocimètre

1

2 CHAPITRE 1. INTERFÉRENCES

La puissance de la lumière diffusée par la particule est proportionnelle à l’intensitélumineuse locale incidente. Les ondes 1 et 2 seront assimilées à des ondes planes au niveaudu point de croisement O. Elles ont la même fréquenceν et leurs intensités égales (notéeI0).

1. Rappeler la forme générale de l’amplitude complexeS d’une onde plane.

2. Ecrire les composantes des vecteurs d’ondek1 etk2 des ondes 1 et 2.

3. Donner les amplitudesS1 etS2 des ondes 1 et 2 en fonction des coordonnées x,y,z.

4. En déduire l’intensité totaleI (x, y, z) en un point M(x,y,z) proche du point de croise-ment. Montrer queI est invariante dans la directiony et sinusoidale dans la directionx.

5. En déduire la période spatialei de l’intensité, aussi appeléeinterfrange.

Supposons qu’une particule passe à travers le champ d’interférence avec unevitesse uniformev. Notonsv// la composante de cette vitesse dans la direction demodulation de l’intensité.

6. Quelle est la périodeT du signal lumineux enregistré par le détecteur ? Expliquer leprincipe de la mesure de vitesse et montrer qu’il n’est pas possible d’en déduire lesens de l’écoulement.

Pour lever cette ambiguïté, on utilise la méthode suivante. On place sur le trajetde l’onde 1 un dispositif optoélectronique composé d’un matériau transparent delongueurL. Soumis à une tensionV(t), l’indice de réfraction de ce matériau varielinéairement avec celle-ci :n(t) = n0 + aV(t).

7. Calculer le déphasage supplémentaire qu’apporte ce matériau à l’onde 1en fonctionde la tensionV. Quel est l’effet de la tensionV sur la structure deI (x, y, z) ?

8. Quelle forme temporelle faut-il donner àV(t) pour obtenir des franges d’interfé-rences se déplaçant à une vitesse constanteVd dans la directionx > 0, puis dans ladirectionx < 0 ?

9. Si la particule se déplace suivantx > 0, comment évolue la périodeT du signalmesuré en fonction det ?

1.2 Mesure interférométrique

On considère le dispositif expérimental suivant. Deux fibres optiques sont éclairées parla même source lumineuse supposée ponctuelle et monochromatique (longueurd’ondeλ).Initialement, les deux fibres ont la même longueurL et le même indice de réfractionn.Les sortiesS1 et S2 des deux fibres sont placées à une distance D d’un écran (caméra)d’observation. La distance entre les deux sorties esta. On assimile le champ émis parchaque fibre par une onde sphérique. La phase initialeφ1 (ouφ2) de ces ondes sphériquesdépend du déphasage introduit par la propagation de l’onde source dans la fibre.

1.3. INTERFÉRENCES ÀN ONDES SPHÉRIQUES 3

Figure 1.2 – Schéma de l’interféromètre

On suppose que les coordonnées des sorties des fibres sontS1(a/2,0,0) etS2(−a/2,0,0). On considère un point de l’écranM(x, y,D). L’intensité lumineuse en cepoint seraI (x, y). On suppose que a,x et y«D.

1. Calculer la différence de marcheδ12 entre les ondes émises parS1 etS2 au point M.En déduire la différence de phase∆φ12.

2. En utilisant les approximations de l’introduction et en faisant intervenir undévelop-pement limité à l’ordre 1, donner une forme simplifiée àδ12 puis∆φ12.

3. Calculer l’amplitude totale puis l’intensité totaleI (x, y) résultant de la superpositiondes deux ondes en M.

4. A quoi ressemble la figure d’interférence ? où sont les maximas d’intensité ?

La fibre numéro 2 est soumise progressivement à une contrainte mécanique qui mo-difie sa longueur et son indice de réfraction. Le changement de chemin optique estnoté∆δ. La différence de phase initiale entreS1 etS2 est alorsφ2 − φ1 = 2π∆δ/λ.

5. Montrer que sous l’effet de ce changement la figure d’interférence est simplementtranslatée.

6. Supposons que∆δ soit petit devantλ. Est-il possible de déterminer sa valeur et sonsigne en comparant uniquement l’interférogramme final et l’interférogramme ini-tial ?

7. Même question si∆δ >> λ.

1.3 Interférences àN ondes sphériques

On considère un ensemble de N sources ponctuellesS1, S2...SN émettant des ondessphériques ayant la même amplitudeA0 et la même phaseφ initiale. Ces sources sont


réparties le long de l’axe (0x) comme indiqué sur la Figure 2. On notera leurscoordonnéesSi(xi , yi). On observe la figure d’interférence sur un écran perpendiculaireà l’axe (Oz) etplacé à la distance D du plan des sources. On noteM(X,Y) un point de l’écran. On feral’hypothèse queD >> SiS j et D >> X,Y.

Figure 1.3 – Interférences à N sources

1.3.1 Interférences à deux sources

On considère uniquement deux sourcesSn+1 etSn. On notexn+1 = naet xn = (n−1)a.On suppose quey1 = y2 = 0.

1. Calculer la différence de marcheδn entre les ondes émises parSn+1 et Sn au niveaudu pointM(x, y) en fonction de D, X, Y, n et a. En faire un développement limité àl’ordre 1. La différence de marcheδn dépend-elle de Y ?

2. En déduire le déphasage∆φn entre les ondesSn+1 et Sn au niveau du pointM(x, y).Montrer que ce déphasage est la somme de deux termes : un terme qui dépend li-néairement de X et a, et un terme que ne dépend que de la position des sources parrapport à l’axe optique et deD.

On suppose que les sources sont vraiment très proches de l’axe (Oz)et que D esttrès grand. En optique, ceci se traduit par l’approximation suivante :N2a2/λD << 1(Approximation de Fraunhofer).

3. Que devient le second terme du déphasage ?

Si Y=0, le point M peut être repéré par l’angleθ (voir figure 2).

1.3. INTERFÉRENCES ÀN ONDES SPHÉRIQUES 5

4. Exprimerδn en fonction de l’angleθ (on supposera queθ est petit). Ce résultatdépend-il de la distance D ?

5. Déterminer l’amplitude totaleStot du champ lumineux enM.

6. En déduire l’intensité lumineuseItot enM.

1.3.2 Interférences à N sources régulièrement espacées

On considère maintenant le champ lumineux généré enM par les N sources régulière-ment espacées. On aa = SnSn−1. On se placera encore dans le cadre des approximationsfaites dans la partie précédente.

1. SoitAn l’amplitude de l’onde émise parSn enM(θ). RelierAn à An−1 puis àA1.

2. En déduire l’amplitude totaleAtot du champ enM(θ) en fonction deA1 etφ = 2πaθλD .

3. Montrer que l’intensité se met sous la forme suivante :

I (θ) = I0sin2(Nφ/2)sin2(φ/2)

(1.1)

où I0 est l’intensité générée en M par une seule des sources.

4. Déterminer le(s) angle(s) donnant un maximum d’intensité, ainsi que l’intensitémaximale correspondante.

5. Quel est alors le déphasage entre les champs émis par deux sources consécutives auniveau de M ?

1.3.3 Relation de Bragg (démonstration simplifiée)

Il est possible de déterminer la structure d’un cristal en étudiant la manièredont ildiffracte un faiceau incident de rayons X. Lorsqu’un atome est éclairé parune onde X,il diffuse celle-ci dans toutes les directions. Le champ ainsi diffusé est modélisé par uneonde sphérique centrée sur l’atome et dont l’amplitude et la phase initiale sont celles del’onde incidente au niveau de l’atome, l’amplitude étant proportionnelle à celledu champincident.

Supposons que les atomes du cristal soient répartis régulièrement suivant deux direc-tions de l’espace formant un angleβ (Figure 3) entre elles. Le cristal est éclairé par uneonde plane monochromatique (longueur d’ondeλ). Nous observons le rayonnement dif-fusé en un point M situé très loin du cristal, dans la directionθ′. Nous allons chercher desdirections de diffusion pour lesquelles TOUS les atomes rayonnent des ondes qui interfé-reront constructivement à l’infini.

Intéressons-nous dans un premier temps aux atomes d’une même ligne horizontale.

1. Calculer la différence de marche en M(θ′) entre les ondes émises par deux sourcesponctuelles placées en A et B. En déduire leur déphasage.

2. Les ondes émises par A et B ont par ailleurs des phases initialesφA et φB. Calculerla différence de phase totale entre les ondes A et B au point d’observation M(θ′).


Figure 1.4 – Diffraction de rayons X par un cristal

Les ondes émises par A et B résultent de la diffusion de l’onde incidente par lesatomes A et B. Ceci se traduit par le fait que les phases initialesφB etφA sont égalesà la phase de l’onde incidente au niveau des atomes B et A.

3. Calculer la différence de marche puis la différence de phase de l’onde incidente entreles points B et A.

4. Montrer qu’il peut y avoir interférences constructives entre A et Bet, par extension,entre toutes les ondes émises par les atomes de la ligne horizontale siθ = θ′ (Re-marque : ce n’est pas la seule possibilité).

Cherchons à présent une condition pour que tous les atomes de toutes les lignesparallèles à (Ox) émettent des ondes interférant constructivement à l’infini dans unedirectionθ′. Il s’agit d’une condition qui s’ajoute à la précédente : il faut que lesondes émises par deux lignes consécutives soient déphasées d’un multiple entier de2π.

5. En vous inspirant des raisonnements précédents, calculer le déphasage total entre lesondes diffusées par les atomes A et C, au point M situé dans la directionθ′ = θ.

6. En déduire que la condition pour obtenir un signal intense dans la direction θ′ = θest :

2dsin(θ) = pλ (1.2)

où d est la distance entre deux lignes (distance interréticulaire) et p un entier. Il s’agitde larelation de Bragg.

Chapitre 2

Notion de cohérence

2.1 Exercices d’application sur la cohérence temporelle

On observe sur un écran les franges d’interférence produites par un dispositif de type"trous d’Young" éclairé par une source ponctuelle. La distance entre les trous est notéea,la distance entre le diaphragme des trous et l’écran est notéeD.

1. Rappeler rapidement les propriétés de la figure d’interférence si la source est mono-chromatique (une seule fréquence).

En réalité la source émet à deux fréquencesν1 etν2 avec des puissances équivalentes.

2. La source est un laser doublé en fréquence. La lumière émise est telle queν2 = 2ν1.Décrire qualitativement l’interférogramme observé à l’écran.

3. La source est maintenant une lampe à sodium suivie d’un filtre selectionnant le dou-blet jaune du sodium. On a alorsν2 = ν1 + ∆ν avec∆ν petit. Pour quelle(s) diffé-rence(s) de marche obtient-on un brouillage des franges ?

La source a cette fois un spectre large continu : elle émet avec une puissanceuniforme entreν1 et ν1 + ∆ν (∆ν grand). On perce un petit trou au centre de l’écrand’observation. la lumière passant par ce trou est envoyée dans un spectromètre quidonne l’intensité lumineuseI (ν) en fonction de la fréquenceν.

4. Donner l’allure deI (ν). Pour quelle(s) valeur(s) deν obtient-on une intensité mini-male ?

L’holographie est une technique interférométrique faisant intervenir degrandes diffé-rences de marche (plusieurs centimètres) entre les ondes qui interfèrent. On disposeau laboratoire des sources listées dans le tableau ci-dessous.

5. Donner un ordre de grandeur de la longueur de cohérence de cessources. Quelle estla plus pertinente pour réaliser l’expérience d’holographie ?

Source longueur d’onde (nm) largeur spectraleLaser Helium-Neon 632.8 1400 MHzRaie du mercure (ampoule basse pression) 546 3 GHzRaie du mercure (ampoule haute pression) 546 50 GHZ

7

8 CHAPITRE 2. NOTION DE COHÉRENCE

2.2 Interférences avec une source étendue. Localisation desfranges

Une source lumineuse monochromatique S est placée au dessus d’un miroir plan hori-zontal (Figure 1). La distance de la source au miroir est notéeh. Un écran perpendiculaireau miroir est placé à une distance z de la source.

Figure 2.1 –

On suppose tout d’abord que la source est suffisamment petite pour être considéréecomme ponctuelle.

1. Montrer que cette expérience est équivalente à une expérience d’interférence entredeux sources ponctuellesS etS′ mutuellement cohérentes. Où se situeS′ ?

2. Déterminer l’intensité en chaque point M(x,y) de l’écran. Comment évoluel’inter-frange lorsqueh augmente ?

3. Quel est le contrasteC de la figure d’interférence ?

On suppose à présent que la source est étendue dans la direction (Ox): c’est un traitde lumière situé entreh0 − ∆h/2 eth0 + ∆h/2. On suppose par ailleurs que cette source estspatialement incohérente. On se propose de déterminer l’intensité I(x,y) entout point del’écran et d’en déduire le contraste des franges.

1. Décomposer la source en une superposition de sources infinitésimales de longueurdhet déterminer l’intensitédI(x, y) produite sur l’écran par l’une de ces sources.

2. En déduire l’intensité totaleI (x, y) sur l’écran. Justifier.

3. Montrer queI (x, y) peut être mise sous la formeI (x, y) = 2Itot(1+ C(x, y)cos(mx)),oùm= 2πh0/(λz).

2.3. INTERFÉROMÉTRIE À LONGUE BASE EN ASTRONOMIE 9

4. Pour une position z donnée tracer le contraste en fonction de x. Pour quelle valeurx0

s’annule t-il une première fois ? Comment évoluex0 avec z ?

2.3 Interférométrie à longue base en astronomie

Le diamètre apparent est l’angle sous lequel on voit un objet étendu situéà l’infini.Dans les meilleures conditions d’observation (pas de turbulence atmosphérique), lediamètre apparent du plus petit détail que l’on puisse observer avec un télescope est del’ordre deαmin ∼ λ/D où D est le diamètre du télescope (ceci sera démontré dans le courssur la diffraction !). Plus le diamètre D est grand, plus on pourra discerner des détails fins.La taille du miroir du télescope est cependant limitée par la technologie. L’interférométrieà longue base permet de contourner ce problème. L’idée consiste à utiliserun ensemble de"petits" télescopes éloignés les uns des autres pour synthétiser un "super-télescope" de trèsgrand diamètre.

Supposons pour simplifier que l’objet observé soit constitué de sourcesponctuelles mo-nochromatiques à l’infini (étoile double) nommées S et S’. La Terre reçoit en provenancede celles -ci deux ondes planes dont les directions forment un petit angleα entre elles.

Question préliminaire : ces deux ondes sont-elles mutuellement cohérentes ?On considère le dispositif ci-dessous. Il est purement académique mais permettra de

comprendre le principe de la méthode. Les miroirs M1 et M2 modélisent deux "petits"télescopes mobiles (sur rails). Ils sont séparés par la distance L. Ils collectent la lumièreprovenant de l’objet et la renvoie sur les trous d’Young identiquesO1 etO2 respectivement.Les trous d’YoungO1 et O2 diffractent la lumière incidente dans toutes les directions. OnnoteM(x, y) un point sur l’écran d’observation situé à la distance D des trous. L’amplitudeémise par chacun des trous est proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente, c’est àdire l’amplitude de l’onde collectée par les miroirs M1 ou M2. On suppose que les anglessont faibles et que D»a,x,y. On suppose de plus, que l’axe du dispositif pointe vers lasource S. On s’intéresse dans un premier temps au rayonnement émis par lasource S seule.

1. Déterminer la différence de marche entre les rayonsO1M etO2M.

2. Que peut-on dire de la phase initiale des sourcesO1 etO2 ?

3. En déduire la répartition de l’intensité lumineuseI (x) sur l’écran.

On considère à présent uniquement l’onde provenant de S’. Elle arrive sur le dispositifavec un angleα.

1. Calculer le déphasage entre les sources O1 et O2 en fonction deα, L etλ.

2. En déduire l’intensitéI ′(x) dans le plan de l’écran.

Considérons à présent les deux sources S et S’ simultanément.

3. Que peut-on dire de l’intensité totaleItot(x) sur l’écran ?

4. A quelle condition surL les franges se brouillent-elles ?


Figure 2.2 –

Figure 2.3 –

2.4. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 11

5. Si Lmax est la distance maximum que les miroirs peuvent effectuer, Quel est le pluspetit angleαmin qui conduit à un brouillage des franges observable ? Comparer cetangle au plus petit angle que l’on peut discerner avec un miroir de diamètreLmax.

Généralisation. L’objet que l’on observe est maintenant un objet complexe (disquestellaire...) émettant sur une plage continue et étroite d’anglesα avec une répartitionangulaire d’intensitéI0(α) centrée surα = 0. Supposons que l’on place un détecteur auniveau de l’écran de telle sorte queO1M = O2M. On va enregistrer l’intensité en ce pointlorsque l’on augmente progressivementL. On poseτ = L/c.

1. Calculer l’intensité sur le détecteur produite par les ondes émises entreα etα + dα(l’intensité incidente estdI = I0(α)dα).

2. En déduire l’intensité totale sur le détecteurItot(L).

3. Etablir une relation entreItot(L) et la transformée de Fourier deI0(α).

4. A une constante près, la fonctionItot(L) est un sinus cardinal modulé par une sinu-soïde. Quelle était la forme deI0(α) ?

2.4 Principe de la tomographie par coherence optique (OCT)

La tomographie par cohérence optique (ou Optical Coherence Tomography, OCT enanglais) est une technique non invasive permettant d’identifier et de mesurer l’épaisseurdes différentes couches constituant un tissus vivant comme la peau ou la rétine. Cetteméthode est employée entre autre pour diagnostiquer la dégénérescencemaculaire. Cetexercice a pour but d’en comprendre les grandes lignes.

Une source ponctuelle est placée au foyer d’une lentille de focale f’. Sil’on néglige leseffets de diffraction celle-ci transforme l’onde sphérique en une onde plane se propageantsuivant l’axe optique. L’onde plane est ensuite séparée en amplitude par une lame semi-réfléchissante. La moitié de l’intensité tranverse la lame l’autre moitié est réfléchie. Lapartie transmise arrive en incidence normale sur un miroir M et s’y réfléchit.Cette ondesera nommée "onde de référence". L’autre moitié de l’intensité est réfléchie par la lame etse dirige vers un échantillon à étudier. Celui-ci se compose de deux couches de matériaux1 et 2 formant deux dioptres plans séparés d’une épaisseure que l’on souhaite déterminer.L’onde arrive en incidence normale sur ces dioptres. Une fraction de l’amplitude incidenteest réfléchie par chaque dioptre. Les ondes réfléchies par les dioptres et l’onde réfléchie parle miroir M émergent de la lame semi-réfléchissante avec la même direction et sont ensuiteconcentrées sur un détecteur ponctuel par une lentille convergente.

On note :– r1,t1 et r2,t2 les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude sur le pre-

mier et deuxième dioptre.– φ1 et φ2 les déphasages introduits par les réflexions sur le premier et deuxième

dioptre.– n1 etn2 les indices de refraction des milieux 1 et 2.


Figure 2.4 – Principe de l’OCT

– L la distance initiale entre la lame séparatrice et le miroir M. On poseδL = L − d.Le miroir M est monté sur un dispositif de translation motorisé, L peut être changéeet balayée automatiquement.

– On noteA0 et I0 l’amplitude et l’intensité de l’onde émise par la source dans un plansitué avant la séparatrice, perpendiculaire à la direction de propagation

2.4.1 Introduction

Nous allons supposer dans un premier temps que la source ponctuelle est monochro-matique (sa fréquence est notéeν).

1. Quelle est l’effet de la lame séparatrice sur l’intensité et donc sur l’amplitude desondes ?

2. Calculer l’amplitude complexe de l’onde de référence dans un plan juste avant lalentille L2.

3. Calculer l’amplitude complexe des ondes réfléchies par les deux dioptresdans unplan juste avant la lentille.

4. Calculer l’amplitude complexe du champ total incident sur le détecteur. Les dépha-sages introduits par la lentille doivent-ils être pris en compte ?

5. Calculer l’intensitéI moyenne au niveau du détecteur. Montrer que cette intensitépeut être mise sous la forme d’une somme de six termes : 3 termes constants et 3termes sinusoïdaux d’interférence.

On suppose que la distanceδL peut être variée au cours du temps de manière uni-forme.

6. Montrer queI (δL) et doncI (t) est un signal sinusoïdal à une constante près.

2.4. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 13

2.4.2 utilisation d’une source polychromatique

Nous allons maintenant supposer que la source ponctuelle a un spectre large. On posedI0 = J(ω)dω où J(ω) est le spectre de la source etω = 2πν. La fonctionJ(ω) est réelleet positive. Elle est définie sur l’intervalle de fréquence [0,+∞[. On peut étendre sondomaine de validité en supposant queJ(ω) = 0 sur l’intervalle ]−∞,0].

1. Reprendre les calculs précédents pour calculer l’intensitédI correspondant à un in-tervalle spectral [ω,ω + dω].

2. Calculer l’intensitéI (δL) sur le détecteur intégrée sur tout le spectre. Pour allégerl’expression obtenue et préparer l’analyse du résultat, on pourra introduire les nota-tions suivantes :

K(τ) = 2Re

(∫J(ω)e−iωτdω

)(2.1)

I0 =

∫J(ω)dω (2.2)

τ = 2δL/c (2.3)

2.4.3 Principe de l’OCT

NotonsJ, la transformée de Fourier deJ.

1. ExprimerK(τ) en fonction deJ.

2. Si le spectre de la source est large, que peut on dire de sa transformée de Fourier ?

Pour fixer les idées, nous allons prendre un spectre rectangulaire, centré surω0 et delargeur spectrale∆ω.

3. ExpliciterK(τ), puisI (δL).

4. Comment peut-on déterminer l’épaisseure? Pourquoi est-il important d’utiliser unesource avec un spectre large ?

2.4.4 Contrôle du spectre de la source (Spectroscopie TF)

Le spectreJ de la source a ici une grande importance. Cette source peut être une diodeblanche, un laser Titane-Saphir...On souhaite calibrer le spectre de la source avant de procé-der à une analyse d’échantillon. On remplace pour cela l’échantillon de la partie précédentepar un miroir plan de réflectivitér1 = 1.

1. Montrer que l’expression deI (δL) prend la forme d’un terme constant et d’un termeproportionnel à la partie réelle de la transformée de Fourier deJ.Lorsque l’on fait varierδL on constate que l’intensité sur le détecteur varie de lamanière suivante :

I (τ) = B+ Aexp−τ2

4T2cos(ω0τ)τ = 2δL/c (2.4)


2. En déduire la forme du spectreJ de la source ainsi que la fréquence centrale de cespectre.

Chapitre 3

Interféromètres

3.1 Traitement antireflet

Les traitements antireflets ont pour but d’éviter les pertes de flux lumineux dans lessystèmes optiques composés de lentilles. La lentille est modélisée par un substrat de verred’indice Ns. Elle est environnée d’air d’indicena=1. On suppose que la courbure de la len-tille est suffisamment faible pour considérer que, localement, sa surface est plane. Afin deminimiser la réflexion autour d’une longueur d’ondeλ0, et autour d’une direction d’inci-dence normale au dioptre, on dépose sur le substrat une fine couche dematériau d’indiceN et d’épaisseure.

Notations :– Les coefficients de réflexion et de transmission sur les dioptres sontr1 =

na−Nna+N ,

r2 =N−nsN+ns

, t1 = 21+N , t2 = 2N

1+N– on rappelle que les indices de réfraction sont proches de 1.– on noteI0 l’intensité d’une onde plane incidente sur la lentille en incidence quasi-

normale.

1. Montrer quet1 et t2 sont proches de 1. Que dire alors der1 et r2 ?

2. Justifier que seules les ondes issues d’une seule réflexion sur le premier dioptre etsur le deuxième dioptre sont susceptibles de donner des interférences contrastées.

3. Montrer que pour maximiser l’effet d’interférence il faut quer1 = r2. En déduirequ’idéalement il faut choisir l’indice de la couche d’antireflet de telle sortequeN =√

ns. ComparerN àns.

4. Calculer la différence de marche entre les deux ondes pour des interférences locali-sées à l’infini.

5. A quelle condition a t-on interférence destructive ?

6. En déduire les différentes valeurs deepossible.

7. On souhaite pouvoir minimiser la reflexion sur une plage importante de longueurd’onde autour deλ0. Quel est l’intérêt de choisir la plus petite valeur dee?

3.2 Montage de Fizeau. Mesure de la forme d’une optique

Le montage interférométrique de Fizeau est à la base de nombreux instrumentsde ca-ractérisation d’optiques (interféromètres "Zygo"). Le schéma de ce système est représentésur la figure ci-dessous. Nous supposerons que la source de lumière est monochromatique.La lentille L2 fait l’image d’un plan proche de la surface sur le détecteur avec un grandis-sementγ.

15

16 CHAPITRE 3. INTERFÉROMÈTRES

Figure 3.1 – Montage de Fizeau

Figure 3.2 – Montage de Fizeau

3.3. MIROIR DE BRAGG 17

On repère un point au voisinage de la surface à étudier par (O,x,y,z). O est au centre dela surface. Les directions horizontales sont x et y tandis que z est la profondeur. Le champd’observation correspond à un carré de largeurL centré sur la surface à caractériser.La surface étudiée est tout d’abord un coin de verre d’angleα séparé de la surface deréférence par une distanceeau bord du champ d’observation.

1. Où sont localisées les franges d’interférence ?

2. Calculer I(x,y) l’intensité dans le plan de référence.

3. Déterminer la forme et la position des franges brillantes. Comment peut-on détermi-ner l’angleα à partir de l’image enregistrée par la caméra ?

4. Peut-on savoir siα est positif ou négatif ? L’interféromètre est équipé d’un dispositifpermettant de translater la surface de référence précisément deλ/8.

5. Que devient l’interférogramme siα est positif ? siα est négatif ?

La surface étudiée est maintenant une portion de sphère convexe, de rayon de cour-bureR1. On suppose queR1 est grand devant la largeur du champ observé.

6. Quelle est la forme des franges obtenues ?

7. Montrer que la différence de marche en chaque point du plan de référence est de laforme :

ρ2= x2

+ y2

δ ∼ 2(e+ρ2

2R1) (3.1)

8. Comment évolue la distance entre franges brillantes loin du sommet de la sphère(vers le bord du champ d’observation) ?

9. On suppose que le détecteur est une caméra dont les pixels font 5µmde côté. Le tailledu détecteur est de 5 mm (1000 pixels). Le grandissement introduit par la lentille estγ = 3. Quel est le plus petit interfrange que l’on puisse distinguer ?

10. En déduire le rayon de courbure le plus petit que l’on puisse étudier.

Pour caractériser des courbures plus prononcées, on remplace la surface de référenceplane par une surface sphérique concave, de rayon de courbure proche de celui de lasurface à étudier.

11. Quel est l’intérêt de ce dispositif ?

3.3 Miroir de Bragg

Un miroir de Bragg est un empilement périodique de couches dielectriques d’indicesde réfraction différents. La réflectivité d’une seule de ces couche est de l’ordre de quelquespourcents. En revanche, l’empilement dans son ensemble peut se comporter comme un mi-roir ayant une excellente réflectivité pour une longueur d’onde et un angle d’incidence bienprécis. Ces miroirs "interférométriques" constituent un exemple d’application des micro-nanotechnologies à l’optique. On utilise des miroirs de Bragg en optique intégrée (miroirsde cavité de diodes laser entièrement intégrée sur une puce), en optique guidée (miroirs de


Bragg "inscrits" en différents points d’une fibre optique), en technologie laser ou en optiquedes très courtes longueurs d’onde (miroirs pour les rayons X "mous").

l’onde incidente est une onde plane arrivant en incidence normale sur lepremierdioptre. Son amplitude enz = 0, juste avant le premier dioptre estS0 et son intensitéI0. Au fur et à mesure de sa propagation elle génère à chaque dioptre une onde réfléchie.L’empilement a, comme nous le verrons, une épaisseur totale négligeable devant la lon-gueur de cohérence de la source. En conséquence, les ondes réfléchies peuvent interférer àla sortie du miroir (z>0). Nous allons chercher la condition pour obtenir des interférencesconstructives pour une longueur d’onde particulièreλ0, puis, regarder ce qu’il se passe pourune autre longueur d’onde.

Figure 3.3 – Miroir de Bragg

On introduit les notations suivantes :– da, db et na, nb les épaisseurs et indices des couches de matériaux "a" et "b". On

suppose quena > nb.– n=1,2...2N+2 le numéro du dioptre.– n0 et n3 les indices du milieu d’entrée et du substrat. On a habituellementn0 = 1,

n3 = 1,5. De plusna, nb etn3 proche.– r i j etRi j les coefficients de réflectivité en amplitude et en intensité du dioptre séparant

le milieu d’entrée i du milieu de sortie j. On note de la même manièreti j et Ti j lescoefficients de transmission en amplitude et en intensité de ce dioptre.

On rappelle les relations suivantes pour un dioptre éclairé en incidence normale :

r i j =ni − n j

ni + n jRi j = r2

i j Ti j = ti j t ji = 1− Ri j (3.2)

1. Montrer querab = −rba.

2. Montrer que les réflectivités en amplitude et en intensité de chaque dioptresont très

3.3. MIROIR DE BRAGG 19

faibles devant 1 et que la transmission en intensité est au contraire très proche de 1.

On suppose que l’onde incidente a une longueur d’ondeλ0.

3. Montrer que sinada = nbdb = λ0/4 les deux ondes réfléchies par deux dioptresconsécutifs sont en phase à la sortie de l’empilement et donc également loin de celui-ci.

4. Que peut-on alors dire de l’ensemble des ondes réfléchies ?

On suppose que l’onde a maintenant une longueur d’ondeλ quelconque.

5. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le premier dioptre en fonctionder0a etS0.

6. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le deuxième dioptre en fonctiondeT0a,rab, k = 2π/λ, na etda. Simplifier l’expression en faisant apparaîtreλ0.

7. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le troisième dioptre en fonctiondeT0a, Tab, k = 2π/λ, na, da, nb, db. Simplifier l’expression en faisant apparaîtreλ0.

8. Exprimer l’amplitude en z=0 de l’onde réfléchie par le dioptren en fonction den,T0a,Tab, k etλ0.

9. Calculer l’amplitude totaleStot. Indication : on pourra faire apparaître la somme despremiers termes d’une suite géométrique.

Supposons que le réseau de Bragg soit "inscrit" dans la masse d’une fibre optique.On a alors,n0 = n3 = na.

10. Que devient l’expression deStot ?

11. En déduire l’amplitude totaleItot, ainsi que la reflectivitéR= Itot/I0 lorsqueλ = λ0.

12. Pour quelles valeurs deλ la réflectivité est-elle maximale ?

13. On définit la bande passante∆λ du miroir comme étant l’écart en longueur d’ondeentre les deux points d’annulation de R entourant un maximum. Déterminer∆λ.

Chapitre 4

Polarisation

4.1 Polarisation de la lumière

4.1.1 Loi de Malus

Une onde lumineuse est polarisée suivant la direction (Oy). Son intensité est I0. Ellepasse à travers un polariseurP1 dont la direction de polarisation forme un angle de 30˚ avec(Oy).

1. Que vaut l’intensitéI1 en sortie du polariseurP1 ?

2. On place aprèsP1 un deuxième polariseurP2 sur le trajet de la lumière. Sa directionde polarisation est tournée de 60˚ par rapport à (Oy). Quelle est l’intensitéI2 en sortiedu polariseur ?

3. Une onde circulaire gauche est envoyée surP1. Quelle est la polarisation aprèsP1 ?Calculer l’intensitéI1 aprèsP1.

4.1.2 Interférences en lumière polarisée

On réalise une expérience d’interférence avec des trous d’Young. Les trous, dénommésO1 et O2, sont placés suivant la direction (Ox) et séparés d’une distancea. La lumièreincidente est monochromatique et polarisée suivant (Oy). On place une lame demi-ondesur le trouO1. Ses lignes neutres sont orientées à 45˚ des axes (Ox) et (Oy). Elle faittourner la polarisation de l’onde incidente de 90˚.

1. Déterminer l’amplitude et la phase des ondes émises par chacun des trousen un pointM(x, y) d’un écran d’observation situé à la distanceD des trous.

2. En déduire la forme du champ total en M(x,y).

3. En quels points obtient-on une lumière polarisée linéairement ? circulairement ?

4. Que vaut l’intensité totale en chaque point de l’écran ?

5. L’écran est une caméra CCD qui enregistre la répartition d’intensité dans son plan.Qu’observe t’on si l’on place un film polariseur juste avant la caméra : (i)polarisantsuivant (Ox) ? (ii) suivant (Oy) ? (iii) à 45˚ de (Ox) ?

4.2 Mesure d’un champ magnétique intense

Les lasers intenses actuels permettent de générer des champs magnétiquesénormespendant des durées suffisantes pour permettre des expériences de simulation d’objetsastrophysiques, de physique du solide...Parmi les nombreux défis à relever dans une telleexpérience, il faut pouvoir mesurer le champ magnétique produit. La méthode doit être

21

22 CHAPITRE 4. POLARISATION

fiable, précise et peu coûteuse car l’expérience est pulvérisée par lelaser après quelquesdizaines de nanosecondes ! Un échantillon à étudier est placé au centre d’une boucle demétal reliée à un condensateur. Des impulsions laser intenses sont focalisées sur unedes plaques du condensateur où elles créent une grande quantité d’électrons rapides.Une énorme impulsion de courant est alors générée dans la boucle. Pendant quelquesnanosecondes l’échantillon sera soumis à un champ magnétique intense (B=1000 T !),sans être (trop) chauffé par le laser.

Figure 4.1 – Expérience de génération de champ magnétique intense.

Pour mesurer le champ magnétique produit, l’échantillon est placé près d’unpetit cy-lindre de verre. Celui-ci en présence d’un champ magnétique présente une biréfringencecirculaire dans la direction du champ (supposé ici orienté suivant l’axe du cylindre) : uneonde qui se propage dans la direction du champ ne verra pas le même indice si elle est cir-culaire droite ou gauche. Cette onde "sonde" est une impulsion laser produite à l’aide d’unelame semi-réfléchissante placée sur le laser principal et qui prélève une infime fraction del’énergie.

Notonsnd et ng les indices du verre pour les ondes circulaires droite et gauche. Ladifférence entre les deux indices est proportionnelle au champ magnétiqueB. L’impulsionde mesure est une onde plane polarisée linéairement suivant (Ox) et qui se propage dans lemilieu suivant la direction (Oz) sur une distanceL.

1. Montrer que l’onde incidente est la somme de deux ondes circulaires droite etgauche.

2. Donner l’expression du champ de l’onde après propagation dans le verre sur la dis-tanceL.

3. Montrer que cette onde est linéaire et que sa direction de polarisation fait un angleαavec (Ox), proportionnel à (nd − ng)L.

4.3. MILIEU BIREFRINGENT, SPECTRE CANNELÉ 23

La mesure de champ magnétique est réalisée en utilisant un dispositif séparant ensortie la polarisation suivant (Ox) et suivant (Oy). Les intensités correspondant à cesdeux composantes sont enregistrées simultanément au cours du temps (on utilise desdétecteurs ultrarapides !).

4. Quel est le signal sur la voie (Oy) en l’absence de champ magnétique ?

5. A un instant donné, le signal sur la voie (Oy) est égal au signal sur lavoie (Ox).Quelle est la valeur du champ magnétique à cet instant ?

Données : On fait apparaître la constante de VerdetV telle que :α = VBL, avec L=0.1mm, la longueur du verre etV = 298deg−1T−1m−1 pour ce matériau et la longueur d’ondede l’impulsion de sonde.

4.3 Milieu birefringent, spectre cannelé

Une lame biréfringente a ces lignes neutres orientées suivant (Ox) et (Oy). L’épaisseurde la lame est notée L les indices correspondant aux lignes neutres sont notésnx etny. Uneonde plane de fréquenceν arrive sur cette lame avec une incidence normale et une directionde polarisation inclinée de 45˚ par rapport à l’axe (OX).

1. Calculer le champ à la sortie de la lame.

2. On place derrière la lame un second polariseur. Sa direction de polarisation est per-pendiculaire à celle de l’onde incidente. Que vaut l’intensité en sortie de l’analyseur ?

3. Si l’onde incidente avait un spectre large (lumière blanche), à quoi ressembleraitle spectre observé en sortie du dispositif ? Pour quelles fréquences obtient-on unmaximum d’intensité ?

4. Même question si l’on tourne le second polariseur de 90˚.

4.4 Cellule de Pockels

4.4.1 Principe de Fonctionnement

Une cellule de Pockels est composée d’un milieu de forme parallélepipédique,trans-parent, biréfringent et uniaxe suivie d’un polariseur linéaire. La biréfringence est modifiéepar l’application d’un champ électrique E par l’intermédiaire de deux électrodes placéessur deux faces parallèles du parallelépipède. Notons (Oz), la direction de propagation dela lumière. L’axe (OX) est l’axe optique, et constitue la première ligne neutre de la cellule(indicene). Par conséquent, (OY) est l’autre ligne neutre (indiceno). La différence d’indiceentre l’indice ordinaire et extraordinaire estno−ne = (no−ne)ini −αE = (no−ne)ini −αV/doù d est la distance entre les deux électrodes (épaisseur de la cellule suivant(Oy) etV ladifférence de potentiel. L’épaisseur suivant (Oz) est notéee.

Une onde plane monochromatique (longueur d’ondeλ) polarisée linéairement, d’in-tensitéI0, se propage suivant (Oz) et traverse la cellule de Pockels. On suppose qu’elle estpolarisée suivant la bissectrice de (Ox,Oy). A la sortie du milieu biréfringent, un polariseurest installé. Sa direction de polarisation est placée à 90˚ de celle de l’onde incidente.


Figure 4.2 – Cellule de Pockels.

1. Si V=0 quelle est l’intensité en sortie du dispositif ? Quelle épaisseure faut-il donnerà la cellule pour obtenir une extinction ?

2. Quelle est l’intensitéI en sortie du dispositif en fonction de V ? Quelle tension faut-ilappliquer pour obtenir une intensité égale à l’intensité incidente ?

4.4.2 Fonctionnement en modulateur d’intensité

On ajoute entre la cellule étudiée plus haut et le polariseur une lame quart d’onde.Ses lignes neutres sont parallèles à celles de la cellule. Quelle est l’effet sur l’intensité ensortie ? Montrer que pour de petites variations deV, l’intensité de sortieI est une fonctionaffine deV. On réalise ainsi un modulateur linéaire d’intensité.

4.4.3 Fonctionnement en porte optique

Les cellules de Pockels sont couramment utilisées en technologie laser pourgénérer etmanipuler des impulsions lasers de durées inférieures à la nanoseconde.Supposons qu’unpremier laser génère une impulsion lumineuse très courte (quelques centaines de picose-condes). Cette impulsion est très peu intense et on souhaite l’amplifier. On va, pour cela,faire passer cette impulsion un grand nombre de fois dans un milieu amplificateur(milieulaser). Au delà d’un certain nombre de passages, l’impulsion ne peut plusêtre amplifiée :le milieu à gain est saturé. L’impulsion doit alors être dirigée vers un nouveauchemin pourêtre utilisée. Le dispositif ci-dessous permet de réaliser cette opération avec une très grandeprécision.

Le milieu amplificateur laser est placé entre deux miroirs M1 et M2. L’impulsion àamplifier rentre dans ce dispositif par le chemin IN. Sa polarisation est linéaireet conte-nue dans le plan horizontal (polarisation dite "P"). Elle se réfléchie sur unséparateur de

4.5. ISOLATEUR DE FARADAY 25

Figure 4.3 – Etage d’amplification laser (Amplificateur "régénératif").

polarisation. Celui-ci réfléchit la polarisation P mais est transparent pourla polarisationverticale (dite "S"). On place une cellule de Pockels suivie d’une lame quart d’ondeλ/4.Leurs lignes neutres sont à 45˚ de la verticale. Lorsqu’aucune tensionn’est appliquée, laPockels se comporte comme une lame "λ" : le déphasage entre les deux lignes neutres estun multiple entier de 2π, elle n’a aucun effet sur la polarisation. Lorsque la tensionVpiege

est appliquée, elle se comporte comme une lameλ/4.

1. Décrire la propagation de l’impulsion lorsque la tension appliquée à la Pockels estnulle.

2. Décrire le comportement de l’impulsion lorsque la tension appliquée à la Pockels estVpiege.

3. A quel moment faut-il appliquerVpiege et à quel moment faut-il l’interrompre pourque l’impulsion fasse N passages dans le milieu amplificateur laser ?

4. La distance entre les deux miroirs est de l’ordre de 1,5m. Donner un ordre de gran-deur du temps de montée ou de descente de la tension pour que ces opérations depiégeage-amplification-libération s’effectuent correctement.

5. Dans ce montage, le faisceau OUT risque de revenir vers la source. Proposer unmontage placé sur l’axe d’entrée-sortie, utilisant un séparateur de polarisation et unePockels, et permettant de séparer le faisceau "IN" du faisceau "OUT"(on supposeque l’on peut appliquer la tension que l’on souhaite à la Pockels et à l’instant quel’on souhaite).

4.5 Isolateur de Faraday

Dans cet exercice, nous allons étudier le principe d’un isolateur de Faraday. Il s’agitd’une sorte de diode optique qui ne laisse passer la lumière que dans une direction. Ces


isolateurs sont utilisés sur les dispositifs laser où des réflexions parasitespeuvent renvoyerde la lumière vers la source et la perturber. Considérons une onde planemonochromatiquese propageant suivant (Oz) et polarisée suivant (Ox). Elle passeau travers d’un polariseurP1 orienté suivant (Ox), puis se propage dans un milieu matériel soumis à un champ ma-gnétique statiqueB orienté suivant (Oz). Sous l’effet de ce champ, le matériau acquièreune biréfringence rotatoire : après propagation, la direction de polarisation de la lumièrea tourné d’un angleαpar rapport à sa direction initiale avecα = VeBL. La constanteVe

est la constante de Verdet qui dépend du matériau.L est la longueur du milieu, etB est lacomposante du champ magnétiquesuivant la direction de propagation de l’onde : suivantl’orientation du champ par rapport à la direction de propagation, B peut être positif ounégatif.

Figure 4.4 – Isolateur de Faraday

1. Quelle doit être la valeur du produitBL pour obtenir une rotation de 45˚ de la direc-tion de polarisation à la sortie du milieu ? Application numérique :Ve = 3750T−1m−1

pour ZnS.

L’onde se réfléchie sur un miroir et se propage maintenant suivant (Oz) mais dans ladirection des z décroissants.

2. Comment est orientée la polarisation avant le milieu rotateur ? après ?

3. La lumière peut-elle franchir le polariseurP1 ?

Travaux Dirigés Interférences,...

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