Interférences pardivisiondufrontd’onde...Chapitre 20 : Interférences par division du front...

BLAISE PASCALPT 2018-2019

Chapitre 20 – Optique

Interférencespar division du front d’onde

Au programmeExtrait du programme officiel : partie 3 « Optique », bloc 3 « Exemple de dispositif interférentiel par division dufront d’onde : trous d’Young ».

Dans le bloc 3, les trous d’Young permettent de confronter théorie et expérience. Les fentes d’Young sont abordéesde manière exclusivement expérimentale. Aucune connaissance sur un autre diviseur du front d’onde n’est exigible.

Notions et contenus Capacités exigibles

Trous d’Young ponctuels dans un milieu non dis-persif : source à distance finie et observation àgrande distance finie.Ordre d’interférences p.

Décrire et mettre en œuvre une expérience simpled’interférences : trous d’Young ou fentes d’Young.Montrer la non localisation des franges d’interfé-rences.Exprimer et utiliser l’ordre d’interférences.

Variations de l’ordre d’interférences p avec la po-sition du point d’observation. Franges d’interfé-rences. Interfrange.

Interpréter la forme des franges observées

Comparaison entre deux dispositifs expérimen-taux : trous d’Young et fentes d’Young.

Comparer les deux dispositifs en mettant en évidenceanalogies et différences.

Variations de l’ordre d’interférences p avec la po-sition ou la longueur d’onde de la source.Perte de contraste par élargissement spatial ouspectral de la source.

Utiliser le critère de brouillage des franges ∆p > 1/2 pourinterpréter des observations expérimentales.

En gras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Extrait du programme officiel : partie 3 « Optique », bloc 2 « Superposition d’ondes lumineuses ».

Notions et contenus Capacités exigibles

Superposition de N ondes monochromatiques co-hérentes entre elles, de même amplitude et dontles phases sont en progression arithmétique.Réseau par transmission.

Établir l’expression de la différence de marche entre deux mo-tifs consécutifs.Établir la relation fondamentale des réseaux liant la condi-tion d’interférences constructives à la valeur de la différencede marche entre deux motifs consécutifs.

Modéliser expérimentalement un spectroscope à l’aided’un réseau optique.

Lier qualitativement le nombre de traits d’un réseauà la largeur des fentes brillantes.

En gras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Au concours. Écrit : épreuve A 2014, 2016 et 2017.. Oral : régulièrement en ce qui concerne les réseaux, occasionnellement pour le reste.

1/21 Étienne Thibierge, 5 mars 2019, www.etienne-thibierge.fr

www.etienne-thibierge.fr

Chapitre 20 : Interférences par division du front d’onde Blaise Pascal, PT 2018-2019

Plan du coursI Préambule : rappels sur la diffraction 3II Trous d’Young 4

II.1 Dispositif et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.2 Différence de marche à grande distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.3 Différence de marche à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.4 Figure d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Extension spatiale de la source 8III.1 Source étendue dans la direction parallèle aux franges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.2 Source étendue dans la direction perpendiculaire aux franges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.3 Fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Extension spectrale de la source 14IV.1 Effet de la longueur d’onde sur la figure d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV.2 Source à spectre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

V Réseaux par transmission 17V.1 Principe : interférences à N ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17V.2 Formule des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.3 Utilisation en spectroscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20




Rappel : conditions d’interférences (critère de cohérence)

Pour que deux ondes puissent interférer, il faut qu’elles soient de même fréquenceet que leur déphasage soit constant, c’est-à-dire qu’elles soient issues du même train d’onde.

conséquence : les deux ondes doivent être issues de la même source primaire, mais avoir suivi deux cheminsdifférents pour atteindre le point d’observation.les deux ondes doivent être issues de la même source primaire, mais avoir suivi deux chemins différents pouratteindre le point d’observation.les deux ondes doivent être issues de la même source primaire, mais avoir suivi deux chemins différents pouratteindre le point d’observation.toto Espace 1

Un interféromètre est un dispositif permettant de diviser et recombiner les trains d’onde en vue d’observer lesinterférences. On les classe en deux catégories :. interféromètres par division du front d’onde : une source ponctuelle émet les mêmes trains d’onde de manièreisotrope, donc en déviant une partie de ces trains d’onde par un miroir ou grâce au phénomène de diffraction ilest possible de les superposer.

. interféromètres par division d’amplitude : un train d’onde est envoyé sur un dispositif semi-réfléchissant quile transmet et le réfléchit partiellement, le trajet des trains d’onde est ensuite contrôlé grâce à des miroirs poursuperposer la fraction transmise et la fraction réfléchie.

I - Préambule : rappels sur la diffractionOn appelle diffraction l’étalement d’une onde dans l’espace dû à son passage au travers d’un obstacle.

Toutes les figures de diffraction présentent une tâche centrale brillante entourée d’autres motifs, mais l’allureprécise dépend de la forme de l’objet diffractant.

Fente verticale Fente horizontale Disque Carré

Figure 1 – Exemples de figures de diffraction par différents obstacles.

objetdiffractant écran

θR

Lorsque l’observation se fait suffisamment loin de l’objet diffractant etque l’ouverture est de taille R > λ, alors l’ouverture angulaire θ de la

tâche centrale de la figure de diffraction est telle queθ ∼ λ

R

θ ∼ λR

θ ∼ λR

toto Espace 2

Sur un écran situé à distance D de la source,

` ∼ D tan θ = λD

R


R


Rtoto Espace 3

plus l’objet diffractant est étroit, plus la figure de diffraction est largeplus l’objet diffractant est étroit, plus la figure de diffraction est largeplus l’objet diffractant est étroit, plus la figure de diffraction est largetoto Espace 4




II - Trous d’YoungII.1 - Dispositif et modélisation

Le dispositif des trous d’Young est constitué d’un écran opaque percé de deux trous circulaires.

écran à grande distance

trous d'Young

S

DEUX trous : diffraction + interférences

écran à grande distance

trou d'Young

S

UN trou : diffraction

Figure de diffraction

Dans la figure de diffractionproduite par un trou,

on voit des interférences

Interprétation : les deux ondes diffractées sont cohérentes, la diffraction ne modifie pas les trains d’onde.les deux ondes diffractées sont cohérentes, la diffraction ne modifie pas les trains d’onde.les deux ondes diffractées sont cohérentes, la diffraction ne modifie pas les trains d’onde.toto Espace 5

partout où les ondes diffractées par les deux trous se superposent, des interférences sont observables.

On appelle champ d’interférences la zone de l’espace dans laquelle les deux ondes se superposent.

S

A priori, les interférences sont observables en toutpoint du champ d’interférences ... mais on montreraque c’est parfois moins simple au chapitre suivant.

Notre objectif est de comprendre la figure d’interférences, mais pas d’étudier la figure de diffraction : même si elleest la cause des interférences, elle sera « négligée » par la suite. les ondes diffractée seront supposées parfaitement isotropes : si un seul des trous est ouvert alors l’éclairement

sur l’écran est uniforme ; notre modélisation décrit l’éclairement à proximité du centre de l’écran.




II.2 - Différence de marche à grande distanceLes trous d’Young sont éclairés par une source ponctuelle S supposée monochromatique. Les deux sources

secondaires S1 et S2 sont donc également ponctuelles et monochromatiques. Les sources sont situées dans le plan x =0, mais le point M a une ordonnée y a priori non nulle. On suppose que la source et l’écran sont à grande distancedes trous,

d,D � a ,

et que l’observation se fait à proximité du centre de l’écran,

d,D � x, y .

On suppose le milieu homogène et non dispersif : les chemins optiques sont directement proportionnels aux distancesgéométriques.

zS

trous

S1

S2

M(x, y)

écranx

d D

a

(calculs au tableau)

II.3 - Différence de marche à l’infiniComment observer à l’infini ? observation dans le plan focal image d’une lentille convergente, les rayons qui interfèrentsont parallèles entre euxobservation dans le plan focal image d’une lentille convergente, les rayons qui interfèrent sont parallèles entre euxobservation dans le plan focal image d’une lentille convergente, les rayons qui interfèrent sont parallèles entre euxtoto Espace 6

zS

trous

S1

S2

M(x, y)

écranx

H

d f ′

aα

α




Principe du retour inverse de la lumière :Si la lumière allait du point d’observation vers la source, alors les rayons lumineux seraient les mêmesSi la lumière allait du point d’observation vers la source, alors les rayons lumineux seraient les mêmesSi la lumière allait du point d’observation vers la source, alors les rayons lumineux seraient les mêmes

toto Espace 7

Utilisation pratique : construction de « surfaces d’onde » en partant du point d’observation et interprétation entermes de chemin optique.

Si la lumière allait de M vers S, alors S1 et H seraient dans le même plan d’onde, il y a donc égalité entre leschemins optiques (S1M) = (HM)Si la lumière allait deM vers S, alors S1 et H seraient dans le même plan d’onde, il y a donc égalité entre les cheminsoptiques (S1M) = (HM)Si la lumière allait deM vers S, alors S1 et H seraient dans le même plan d’onde, il y a donc égalité entre les cheminsoptiques (S1M) = (HM)toto Espace 8

L L L Attention ! Ce ne sont pas des vraies surfaces d’onde, il y a un déphasage entre les différents rayons, mais unmoyen pratique de simplifier le calcul des chemins optiques.

Calcul de la différence de marche : on admet que le résultat ne dépend pas de y, donc pour simplifier le calculon prend y = 0.

δ = nS2H. Identifier sur le schéma l’angle α à l’intérieur du triangle.

sinα = S2H

aet tanα = x

f ′

Hypothèse des petits angles :

sinα ' tanα ' α d’où S2H

a= x

f ′et δ = nax

f ′.

δ = nS2H. Identifier sur le schéma l’angle α à l’intérieur du triangle.

sinα = S2H

aet tanα = x

f ′

Hypothèse des petits angles :

sinα ' tanα ' α d’où S2H

a= x

f ′et δ = nax

f ′.

toto Espace 9

• Calcul de la différence de marche à grande distance par le retour inverse

Le raisonnement sur les surfaces d’ondes peut également s’utiliser pour déterminer la différence de marche àgrande distance, voir figure 2.

Principe de retour inverse et théorème de Malus : Si la source était située en M , alors les surfaces d’ondeseraient les arcs de cercle, donc (S1M) = (HM), donc δ = (S2H)Si la source était située en M , alors les surfaces d’onde seraient les arcs de cercle, donc (S1M) = (HM), donc δ =(S2H)Si la source était située en M , alors les surfaces d’onde seraient les arcs de cercle, donc (S1M) = (HM), donc δ =(S2H)toto Espace 10

Approximation : si la distanceD est suffisante, on peut approximer l’arc de cercle S1H à la droite S1H′ orthogonale

au rayon (2).

dans ce cas δ = (S2H′)



toto Espace 11




zS

trous

S2

S1

M(x, y)

écranx

H H ′

d D

aαα

Figure 2 – Raisonnement en surfaces d’ondes à grande distance.

La différence de marche se calcule alors comme précédemment, en considérant l’angle α comme l’angle moyen souslequel les trous d’Young sont vus depuis le point d’observation.

sinα = S2H′

aet tanα = x

Dd’où δ = nax

D.

sinα = S2H′

aet tanα = x

Dd’où δ = nax

D.

toto Espace 12

II.4 - Figure d’interférences• Éclairement

Les deux trous sont supposés éclairer de la même façon.

E(M) = 2E0[1 + cos

(2πλδ

)]= 2E0

[1 + cos

(2πλ

nax

D

)]

E(M) = 2E0[1 + cos

(2πλδ

)]= 2E0

[1 + cos

(2πλ

nax

D

)]toto Espace 13

• Allure des frangesL’éclairement est périodique en x mais il est indépendant de la coordonnée y de M , il est donc invariant par

translation le long de cet axe, voir figure 3. franges rectilignes dans la direction y.

franges rectilignes dans la direction y.franges rectilignes dans la direction y.toto Espace 14

• Interfrange

On appelle interfrange i la période spatiale de la figure d’interférences.L’interfrange correspond à la distance entre deux franges sombres ou deux franges brillantes consécutives.

∆ϕ(x+ i) = ∆ϕ(x) + 2π p(x+ i) = p(x) + 1 δ(x+ i) = δ(x) + λ .




0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

x (mm)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

y(m

m)

i

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

E(M

) i

Figure 3 – Simulation de l’expérience des trous d’Young. La figure est réalisée pour λ = 580 nm, D = 1 m eta = 1 mm.

Calcul à partir de l’ordre d’interférence :

p(x) = δ

λ= nax

λDdonc nai

λD= 1 donc i = λD

na.

p(x) = δ

λ= nax

λDdonc nai

λD= 1 donc i = λD

na.

toto Espace 15

III - Extension spatiale de la sourcePourquoi est-il a priori intéressant d’utiliser une source large plutôt qu’une source ponctuelle ?

augmenter la luminosité absolue (6= contraste) de la figure d’interférences.augmenter la luminosité absolue (6= contraste) de la figure d’interférences.augmenter la luminosité absolue (6= contraste) de la figure d’interférences.toto Espace 16

Dans tout ce paragraphe, on se place dans l’hypothèse de source monochromatique utilisée dans l’air (n = 1).

III.1 - Source étendue dans la direction parallèle aux frangesOn a montré que la figure d’interférences était indépendante de l’ordonnée y du point d’observation, donc que

les franges étaient rectilignes dans cette direction. On étudie dans ce paragraphe l’effet de l’extension spatiale de lasource en la supposant étendue selon (Oy) mais toujours infiniment fine selon (Ox).

a) Effet d’une translation de la sourceMalgré la translation selon (Oy), on aura toujours

(SS1) = (SS2) .

une translation de la source selon (Oy) laisse la figure d’interférences inchangée.

b) Trous d’Young éclairés par deux sources ponctuellesRappel : deux ondes émises par deux sources physiquement différentes ne peuvent être cohérentes. l’éclairement résultant de leur superposition est simplement la somme des éclairements individuels.Si l’on éclaire les trous d’Young par deux sources S et S′ décalées dans la direction (Oy), elles produisent chacune

la même figure d’interférences. l’éclairement est doublé, la figure est deux fois plus lumineuse.

l’éclairement est doublé, la figure est deux fois plus lumineuse.l’éclairement est doublé, la figure est deux fois plus lumineuse.toto Espace 17

c) Trous d’Young éclairés par une source étendueOn décompose par la pensée la source étendue en une juxtaposition de sources ponctuelles incohérentes. Le même

raisonnement que précédemment montre que cela permet de rendre la figure d’interférence plus lumineuse sans lamodifier.

Utiliser une source étendue dans la direction des franges est bénéfique,car cela augmente la luminosité de la figure d’interférences.




III.2 - Source étendue dans la direction perpendiculaire aux frangesÉtudions maintenant la situation inverse : la source est étendue dans la direction (Ox), orthogonale aux franges.

a) Effet d’une translation de la sourceLa position de la source est caractérisée par son abscisse Xs, voir figure 4.

z

plan sourceXs

S

trous

S1

S2

M(x, y)

écranx

d D

a

Figure 4 – Translation de la source dans la direction perpendiculaire aux franges.

Calcul de la différence de marche : Décomposition entre avant/après les trous :

δ = (SS2M)− (SS1M) = (SS2)− (SS1) + (S2M)− (S1M) = aXs

d+ ax

D

Déplacer la source augmente la ddm d’une constante indépendante du point d’observation.Décomposition entre avant/après les trous :


d+ ax

D

Déplacer la source augmente la ddm d’une constante indépendante du point d’observation.Décomposition entre avant/après les trous :


d+ ax

D

Déplacer la source augmente la ddm d’une constante indépendante du point d’observation.toto Espace 18

Conséquence sur la figure d’interférences : d’après la formule de Fresnel,

E(M) = 2E0[1 + cos

(2πλδ

)]= 2E0

[1 + cos

(2πλ

ax

D+ 2π

λ

aXs

d

)] tout se passe comme s’il y avait un « déphasage spatial » dans l’éclairement : la figure d’interférences est

décalée sur l’écrantout se passe comme s’il y avait un « déphasage spatial » dans l’éclairement : la figure d’interférences estdécalée sur l’écrantout se passe comme s’il y avait un « déphasage spatial » dans l’éclairement : la figure d’interférences estdécalée sur l’écrantoto Espace 19




b) Trous d’Young éclairés par deux sources ponctuellesLes trous d’Young sont supposés être éclairés par deux sources ponctuelles incohérentes, placées de manière

symétrique par rapport à l’axe optique du montage. L’éclairement sur l’écran est la somme des deux éclairementsobtenus séparément.

• Simulations numériquesCas extrêmes : voir figure 5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S(M

)/E 0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S′ (M

)/E 0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

0

1

2

3

4

E tot

(M)/E 0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S(M

)/E 0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S′ (M

)/E 0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

0

1

2

3

4

E tot

(M)/E 0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

Figure 5 – Simulation de l’expérience des trous d’Young éclairés par deux sources ponctuelles décalées. La figureest réalisée pour λ = 580 nm, D = 1 m et a = 1 mm. La figure de gauche est tracée pour un décalage des figuresd’interférences égal à i, si bien qu’elles paraissent identiques, et celle de droite pour un décalage égal à i/2.

Cas quelconque : voir figure 6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S(M

)/E 0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

E S′ (M

)/E 0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

0

1

2

3

4

E tot

(M)/E 0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

+

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

=

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x (mm)

Figure 6 – Simulation de l’expérience des trous d’Young éclairés par deux sources ponctuelles décalées. La figureest réalisée pour λ = 580 nm, D = 1 m et a = 1 mm. La figure est tracée pour un décalage des figures d’interférenceségal à i/4.

Interprétation : Le décalage des figures d’interférences induit une perte de contraste de la figure d’interférences,qui peut aller jusqu’au brouillage total.Le décalage des figures d’interférences induit une perte de contraste de la figure d’interférences, qui peut aller jusqu’aubrouillage total.Le décalage des figures d’interférences induit une perte de contraste de la figure d’interférences, qui peut aller jusqu’aubrouillage total.toto Espace 20




• Mise en équationLes deux sources S et S′ sont placées de manière symétrique en ±b/2 par rapport à l’axe optique du montage,

doncδ(M) = ab

2d + ax

Det δ′(M) = −ab2d + ax

D

soit en termes d’ordre d’interférence

p(M) = ab

2λd + ax

λDet p′(M) = − ab

2λd + ax

λD.

Éclairement total : Incohérence des sources, donc

E = ES + ES′ = 2E0 [2 + cos(2πp) + cos(2πp′)] = 2E0[2 + 2 cos

(2πp− p

′

2

)cos(

2πp+ p′

2

)]

Incohérence des sources, donc


(2πp− p

′

2

)cos(

2πp+ p′

2

)]

Incohérence des sources, donc


(2πp− p

′

2

)cos(

2πp+ p′

2

)]

toto Espace 21

Terme en p+ p′ :p+ p′

2 = ax

λD: idem une seule source placé au milieu, donne la position des franges brillantes et sombres ainsi

que l’interfrange qui est inchangé. Appelé terme d’interférencesp+ p′

2 = ax

λD: idem une seule source placé au milieu, donne la position des franges brillantes et sombres ainsi que

l’interfrange qui est inchangé. Appelé terme d’interférencesp+ p′

2 = ax

λD: idem une seule source placé au milieu, donne la position des franges brillantes et sombres ainsi que

l’interfrange qui est inchangé. Appelé terme d’interférencestoto Espace 22

Terme en p− p′ :p− p′

2 = ab

2λd : indépendant de x, donne le contraste global de la figure d’interférences. Appelé facteur decontrastep− p′

2 = ab

2λd : indépendant de x, donne le contraste global de la figure d’interférences. Appelé facteur de contrastep− p′

2 = ab

2λd : indépendant de x, donne le contraste global de la figure d’interférences. Appelé facteur de contrastetoto Espace 23

• Critère de brouillageIl y a brouillage total de la figure d’interférences si les franges sombres créées par une source se superposent aux

franges brillantes créées par la deuxième source.

Mathématiquement, 2π p−p′

2 = π

2 soit p− p′ = 1/2

2π p−p′

2 = π

2 soit p− p′ = 1/2

2π p−p′

2 = π

2 soit p− p′ = 1/2toto Espace 24

Il y a brouillage total entre les interférences crées par deux sources S et S′lorsque la différence d’ordre d’interférences est égale à 1/2.

∆p = p′(M)− p(M) = 1/2 .




c) Trous d’Young éclairés par une source étendueOn décompose par la pensée la source étendue en une juxtaposition de sources ponctuelles incohérentes.

• Critère semi-quantitatif de brouillage

La figure d’interférences formée par une source étendue est considérée comme brouilléesi la différence d’ordre d’interférences entre les ondes issues de son centre et de ses extrémités est supérieure à 1/2

∆p = pext(M)− pcentre(M) > 1/2

Origine de ce critère : voir figure 7.il y a brouillage total entre certains points de la source, donc le contraste de la figure d’interférences est dégradé.

il y a brouillage total entre certains points de la source, donc le contraste de la figure d’interférences est dégradé.il y a brouillage total entre certains points de la source, donc le contraste de la figure d’interférences est dégradé.toto Espace 25

L L L Attention ! C’est un critère qualitatif (et conventionnel), et surement pas un critère de brouillage total : mêmesi ∆p > 1/2, des franges d’interférences pourront parfois être observables ... mais elles seront très mal contrastées.

z

plan sourceXs trous

S1

S2

M(x, y)

écranx

d D

a

ordre pext(M)

ordre pcentre(M)

Figure 7 – Trous d’Young éclairés par une source étendue.

• Mise en équation (complément hors programme)Modélisation d’une source étendue : La source est découpée en bandes infinitésimales de largeur dX incohérentesles unes avec les autres. Une bande de largeur dX située entre X et X + dX créé sur l’écran un éclairement

dEX(M) = EX(M)dX

où EX(M) s’interprète comme l’éclairement produit par unité de longueur de la source. Si chaque élément de sourceest identique, on peut ensuite appliquer la formule de Fresnel à chaque élément de source sous la forme

dEX(M) = E0 dX (1 + cos(2πpX(M)))

où l’ordre d’interférence p dépend à la fois de la position du point d’observation M et de l’abscisse X de la bandesource considérée.

Si la luminosité de la source n’est pas uniforme, l’éclairement E0dX peut dépendre de X.

Calcul de l’éclairement : les différentes bandes étant incohérentes,

E(M) =ˆ

sourcedEX(M) =

ˆsource

E0dX (1 + cos(2π pX(M)))

Illustrons le calcul pour une source de largeur b comprise entre −b/2 et b/2 dans l’air. On a alors

pX(M) = aX

λd+ ax

λD

et ainsi

E(M) =ˆ b/2

−b/2E0

{1 + cos

(2πaλ

(X

d+ x

d

))}dX




Le calcul complet de l’intégrale est laissé aux amateurs ! Ceci fait et en utilisant des relations trigonométriques,

E(M) = 2E0b

{1 + λd

πabsin(πab

λd

)cos(

2πλ

ax

D

)}identifier le terme d’interférences et le facteur de contraste

Le facteur de contraste est représenté figure 8. Il s’annule une première fois lorsque

πab

λd= π soit b = λd

a.

Il diminue rapidement lorsque la largeur de la source augmente.

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(−π, 0) (π, 0)

πab

λd

Visibilité

Figure 8 – Facteur de contraste d’une source rectangulaire.

Remarque : Le facteur de contraste est donné par la fonction x 7→ sin(x)/x, appelée « sinus cardinal ».Elle se rencontre très fréquemment dans le contexte de l’optique ondulatoire.

Comparaison avec le critère semi-quantitatif de brouillage : ∆p = pb/2(x)− p0(x) = a× b/2λd

Il y a brouillage lorsque ∆p > 1/2 ce qui donne ici ab

2λd >12 soit b > λd

asoit au delà de la première annulation.

∆p = pb/2(x)− p0(x) = a× b/2λd




∆p = pb/2(x)− p0(x) = a× b/2λd




toto Espace 26

• Conclusion

Utiliser une source étendue dans la direction perpendiculaire aux frangespermet d’augmenter la luminosité de la figure d’interférences,

mais au prix d’une diminution de contraste.

La largeur de source pour laquelle le contraste s’annule une première fois est appelée largeur de cohérencespatiale de la source.




III.3 - Fentes d’YoungDans le but d’obtenir une figure plus lumineuse, on peut aussi poser la question d’élargir les objets diffractants

en remplaçant les pupilles circulaires des trous d’Young par des fentes. on admet que les résultats se généralisent.

Utiliser des fentes d’Young parallèles à la place de trous d’Youngpermet d’augmenter la luminosité de la figure d’interférences.

Cependant, comme la figure d’interférences apparaît à l’intérieur de la figure de diffraction par l’un des trous oul’une des fentes l’observation sur l’écran est modifiée, voir figure 9.

Une fente Deux fentes Un trou Deux trous

Figure 9 – Comparaison entre fentes d’Young et trous d’Young.

Tous les résultats établis jusqu’à présent se généralisent au cas des fentes d’Young. L’ani-mation ci-contre, développée par l’école Supoptique, permet de les observer. Elle est très bienfaite, je vous encourage à l’utiliser largement lors de vos révisions.

IV - Extension spectrale de la source

zS

fentesd’Young

S1

S2

M(x)

écranx

D

a

L’objectif de ce paragraphe est d’étudier l’in-fluence du caractère polychromatique de la sourcesur la figure d’interférences obtenue. On considèreun interféromètre de fentes d’Young, invariant partranslation selon (Oy). Dans tout ce paragraphe,la source est supposée ponctuelle et située sur l’axeoptique du montage.

IV.1 - Effet de la longueur d’onde sur la figure d’interférences

Ordre d’interférences au point M : p(x) = ax

λD

Interfrange : p(x+ i) = p(x) + 1 donc i = λD

a

modifier la longueur d’onde modifie l’interfrange. vérifier anim Supoptique

La figure d’interférences est plus « dilatée » aux grandes longueurs d’onde qu’aux petites.La figure d’interférences est plus « dilatée » aux grandes longueurs d’onde qu’aux petites.La figure d’interférences est plus « dilatée » aux grandes longueurs d’onde qu’aux petites.

toto Espace 27




• Simulation numérique : fentes d’Young éclairées par un doublet spectralPour illustration qualitative, on considère que le spectre de la source ne contient que deux longueurs d’onde λ1

et λ2.

Rappel : deux longueurs d’onde différentes ne donnent pas lieu à des interférences, donc

E(M) = Eλ1(M) + Eλ2(M) .

L’éclairement calculé est représenté figure 10.

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

E λ1(M

)/E 0

+

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

E λ2(M

)/E 0

=

0 2 4 6 8 10 12 14

x (mm)

0

1

2

3

4

E tot

(M)/E 0

0 2 4 6 8 10 12 14+

0 2 4 6 8 10 12 14=

0 2 4 6 8 10 12 14

x (mm)

Figure 10 – Simulation de l’expérience des fentes d’Young éclairées par un doublet spectral. La figure est réaliséepour λ1 = 550 nm, λ2 = 600 nm, D = 1 m et a = 1 mm.

Interprétation : Comme les interfranges ne sont pas égaux, les franges brillantes à une longueur d’onde se super-posent par endroits aux franges brillantes de l’autre longueur d’onde, mais par endroit aux franges sombres, ce quidonne lieu à un brouillage.Comme les interfranges ne sont pas égaux, les franges brillantes à une longueur d’onde se superposent par endroitsaux franges brillantes de l’autre longueur d’onde, mais par endroit aux franges sombres, ce qui donne lieu à unbrouillage.Comme les interfranges ne sont pas égaux, les franges brillantes à une longueur d’onde se superposent par endroitsaux franges brillantes de l’autre longueur d’onde, mais par endroit aux franges sombres, ce qui donne lieu à unbrouillage.toto Espace 28

L L L Attention ! L’extension spatiale de la source entraîne une perte de contraste globale, uniforme sur toute lafigure d’interférences. Au contraire, l’extension spectrale entraîne une modulation du contraste, qui n’est uniforme.

Critère de brouillage : Il y a brouillage en un point M si une frange brillante se superpose à une frange sombre,c’est-à-dire si au même point M l’ordre d’interférence pour une longueur d’onde est entier alors qu’il est demi-entierpour l’autre.




IV.2 - Source à spectre continuOn considère maintenant le cas d’une source dont le spectre d’émission est continu de largeur ∆λ, c’est-à-dire

restreint à un intervalle [λ0 −∆λ/2;λ0 + ∆λ/2].

• Critère semi-quantitatif de brouillage

La figure d’interférences formée par une source à spectre continu est considérée comme brouillée en un point Msi la différence d’ordre d’interférences entre la longueur d’onde centrale λ0

et les longueurs d’onde extrêmes λ0 ±∆λ/2 y est supérieure à 1/2

∆p(M) = pλ0(M)− pλ0±∆λ2

(M) > 1/2

L L L Attention ! Ce n’est pas un critère de brouillage total de type « tout ou rien » : il peut y avoir des interférencesvisibles, mais elles seront très mal contrastées.Illustration : voir figure 11.

−10 −5 0 5 100.0

0.5

1.0

1.5

2.0

E(M

)/E 0

−10 −5 0 5 10

x (mm)

Figure 11 – Simulation de l’expérience des fentes d’Young éclairées par une source à spectre continu. La figureest réalisée pour λ0 = 600 nm, ∆λ = 40 nm, D = 1 m et a = 1 mm. Le spectre de la source est choisi gaussien, lestraits verticaux bleus matérialisent l’abscisse à partir de laquelle le critère de brouillage est vérifié.

• Lien au modèle des trains d’ondePhysiquement, ∆λ est relié à la durée (ou la longueur) des trains d’onde émis par la source, cf. chapitre précédent,

appelée temps (ou longueur) de cohérence de la source,

τc = λ 20

c∆λ ou Lc = λ 20

∆λ .

Le critère de brouillage s’écrit

∆p = δ

λ0− δ

λ0 + ∆λ2

>12 soit δ

∆λ2

λ0

(λ0 + ∆λ

2

) >

12

En supposant la raie étroite, λ0

(λ0 + ∆λ

2

)' λ 2

0 , et ainsi le critère de brouillage s’écrit

δ∆λ2λ 2

0>

12

ou encoreδ >

λ 20

∆λ = Lc .

Traduction du critère de brouillage en termes de train d’onde :

Il y a brouillage à partir du moment où la différence de marche est trop grande pour qu’un train d’ondes puisseinterférer avec lui-même.



toto Espace 29




V - Réseaux par transmissionV.1 - Principe : interférences à N ondes

Les dispositifs d’Young étudiés jusqu’à présent n’impliquent que deux chemins optiques différents pour aller dela source au point d’observation, ceux passant par les deux fentes d’Young. qu’en est-il si l’on utilise un dispositif permettant à N rayons lumineux d’interférer ?

1 fente

2 fentes

3 fentes

4 fentes

5 fentes

6 fentes

Figure 12 – Figure obtenue par passage d’un laser au travers de 1 à 6 fentes.

Observation : voir figure 12. compléter « diffraction » et « Young »Plus il y a de fentes au travers desquelles la lumière peut passer, plus celle-ci se retrouve concentrée sur les points

les plus lumineux. Ces points coïncident avec la position des franges brillantes lors du passage au travers de deuxfentes.Plus il y a de fentes au travers desquelles la lumière peut passer, plus celle-ci se retrouve concentrée sur les points lesplus lumineux. Ces points coïncident avec la position des franges brillantes lors du passage au travers de deux fentes.Plus il y a de fentes au travers desquelles la lumière peut passer, plus celle-ci se retrouve concentrée sur les points lesplus lumineux. Ces points coïncident avec la position des franges brillantes lors du passage au travers de deux fentes.toto Espace 30

On appelle réseau optique un instrument constitué d’une série de motifs identiques, répétés périodiquement,permettant la réflexion ou la transmission d’ondes lumineuses.

La répétition est caractérisée par la période spatiale du réseau a, appelée pas du réseau,ou par la fréquence spatiale n = 1/a, usuellement nommée nombre de traits par millimètre.

a

Ordre de grandeur : les réseaux usuels comptent quelques centaines de traits par millimètre.

Restrictions :. conformément au programme, on ne s’intéresse qu’aux réseaux par transmission ;. dans la pratique expérimentale, les réseaux sont toujours éclairés en éclairage parallèle et l’observation est faite àl’infini : on se limite à cette situation.Éclairage parallèle = source S au foyer objet d’une lentille ; observation à l’infini = observation enM dans le plan

focal image d’une lentille.Éclairage parallèle = source S au foyer objet d’une lentille ; observation à l’infini = observation en M dans le planfocal image d’une lentille.Éclairage parallèle = source S au foyer objet d’une lentille ; observation à l’infini = observation en M dans le planfocal image d’une lentille.toto Espace 31




V.2 - Formule des réseauxa) Différence de marche entre motifs consécutifs

θiθt

Sj

Sj+1

On cherche δ = (SSj+1M)− (SSjM).Th de Malus :H et Sj+1 appartiennent au même plan d’onde, donc (SH) =(SSj+1).Th de Malus et retour inverse : K et Sj sont tels que (KM) = (SjM)Conclusion : δ = (Sj+1K)− (HSj)On cherche δ = (SSj+1M)− (SSjM).Th de Malus :H et Sj+1 appartiennent au même plan d’onde, donc (SH) =(SSj+1).Th de Malus et retour inverse : K et Sj sont tels que (KM) = (SjM)Conclusion : δ = (Sj+1K)− (HSj)On cherche δ = (SSj+1M)− (SSjM).Th de Malus :H et Sj+1 appartiennent au même plan d’onde, donc (SH) =(SSj+1).Th de Malus et retour inverse : K et Sj sont tels que (KM) = (SjM)Conclusion : δ = (Sj+1K)− (HSj)toto Espace 32

sin θi = HSja

et sin θt = Sj+1K

ad’où δ = a(sin θt − sin θi)

sin θi = HSja

et sin θt = Sj+1K

ad’où δ = a(sin θt − sin θi)

toto Espace 33

b) Position des franges brillantesPour un grand nombre de traits éclairés, les maxima sont très concentrés : on ne s’intéresse donc qu’à la position

des franges brillantes.Comme les motifs sont répartis régulièrement, alors la différence de marche entre deux motifs consécutifs est

partout la même. si les ondes issues des motifs j et j + 1 sont en phase, alors celle issue du motif j + 2 est en phase avec j + 1

et donc également avec celle de j, etc.

Si les ondes issues de deux motifs consécutifs du réseau sont en phase au point d’observation,alors toutes les ondes issues de touts les motifs sont en phase en ce point.

Condition d’interférences constructives : p = δ

λ= a

λ(sin θt − sin θi) est entier.


λ= a



λ= a


toto Espace 34

Notations spécifiques aux réseaux : L’angle de transmission dans la direction donnant un ordre d’interférences pest noté θp, et comme l’angle d’incidence correspond à l’ordre 0 il est noté θ0. Plus généralement, on se méfiera duléger glissement de notations et de vocabulaire entre les interférences à deux ondes et les réseaux.

Formule des réseaux :Les raies formées par un réseau sont celles pour lesquelles

sin θp − sin θ0 = pλ

aavec p ∈ Z .

La valeur de p est appelée ordre de la raie.

Remarque : Un sinus devant être inférieur à 1, le nombre d’ordre visibles est nécessairement limité.

La direction des maxima est représentée figure 13. La figure exploite le fait qu’un sinus correspond à l’ordonnéesur d’un point situé sur un « cercle trigonométrique ».




−4

−3

−2

−1

0

1

2

sin θ0

sin θ0 + λ

a

sin θ0 + 2λa

sin θ0 −λ

a

sin θ0 − 2λa

sin θ0 − 3λa

Figure 13 – Direction des maxima d’intensité en sortie d’un réseau.

c) Intensité en sortie du réseau

La démonstration est hors programme, mais le résultat doit être connu qualitativement.

Considérons un réseau formé de N fentes, notées S1 à SN . Notons s1(M, t) l’amplitude complexe instantanée aupointM d’observation, situé dans le focal image d’une lentille convergente dans la direction θ. Compte tenu du calculde différence de marche mené précédemment, l’amplitude de l’onde passée par la fente S2 est déphasée de

∆ϕ = 2π δλ

= 2π aλ

(sin θ − sin θ0) .

La différence de marche étant la même entre deux motifs consécutifs, on en déduit

s2 = s1 e−i∆ϕ s3 = s2 e−i∆ϕ = s1 e−2i∆ϕ s4 = s3 e−i∆ϕ = s1 e−3i∆ϕ

et plus généralementsn = s1 e−(n−1)i∆ϕ .

L’amplitude complexe total au point M s’écrit donc

s(M, t) =N∑n=1

sn(M, t) = s1

N∑n=1

e−(n−1)i∆ϕ = s1

N−1∑n=0

(e−i∆ϕ)n .

Ce changement d’indice permet de faire apparaître la somme des N premiers termes d’une suite géométrique, d’où

s(M, t) = s1(M, t)1− e−iN∆ϕ

1− e−i∆ϕ .

Une factorisation du numérateur et du dénominateur permet d’écrire

s(M, t) = s1(M, t)e−iN∆ϕ/2

e−i∆ϕ/2sin(N∆ϕ/2)sin(∆ϕ/2) .

L’intensité s’obtient alors par

I(M) = |s| =∣∣s1(M, t)

∣∣× 1× sin2(N∆ϕ/2)sin2(∆ϕ/2)

.

En posant I0 =∣∣s1(M, t)

∣∣ l’intensité observée sur l’écran lorsqu’une seule fente est ouverte, on trouve

I(M) = I0sin2(N∆ϕ/2)sin2(∆ϕ/2)

.

La figure 14 représente l’intensité I en fonction de l’ordre p. En particulier, on peut noter que I(M) vaut N2I0lorsque ∆ϕ = 0 (démonstration via un équivalent).




Les raies brillantes (ordre entier) sont d’autant plus lumineuses et d’autant plus étroites que le réseau compte demotifs.



toto Espace 35

p = a

λ(sin θ − sin θ0)

I(θ)N2I0

-1 1 20

N = 2

N = 3

N = 10

Figure 14 – Intensité en sortie d’un réseau. Pour que la figure reste lisible, l’axe des ordonnées est normalisé.

V.3 - Utilisation en spectroscopieLa positions des ordres du réseau dépend de la longueur d’onde : un réseau peut donc être utilisé pour séparer

spatialement les différentes composantes spectrales d’une lumière incidente.D’après la formule des réseaux,

sin θp = sin θ0 + pλ

a.

Connaissant a, en ayant repéré le numéro de l’ordre et mesuré les angles, par exemple avec un goniomètre, on peuten déduire la longueur d’onde.Position des raies :

plus la longueur d’onde est grande, plus elle apparaît déviée par le réseauplus la longueur d’onde est grande, plus elle apparaît déviée par le réseauplus la longueur d’onde est grande, plus elle apparaît déviée par le réseautoto Espace 36

L L L Attention ! Il ne s’agit pas du tout d’une déviation géométrique comme peut le faire un prisme, mais bien d’unphénomène d’interférences. Cependant, l’abus de langage est permis par l’analogie des observations : « un réseaudévie davantage le rouge que le bleu ».

Observations classiques :. Certains ordres peuvent ne pas apparaître en entier sur l’écran si certaines raies sont déviées.. Dans certains cas, on rencontre également du recouvrement d’ordres : les raies les plus externes de l’ordre nsont davantage déviées que certaines raies de l’ordre n+ 1. Les ordres apparaissent alors mélangés.

. Enfin, si le nombre de traits éclairés (c’est-à-dire le nombre de fentes utiles) n’est pas assez grand les raies sontélargies et peuvent être mal séparées dans les premiers ordres : on dit alors qu’elles ne sont pas résolues par leréseau.

Animation permettant l’étude d’un réseau par transmission avec différents curseurs per-mettant de régler les paramètres du réseau.




Figure 15 – Utilisation d’un réseau en spectroscopie.



Interférences pardivisiondufrontd’onde...Chapitre 20 : Interférences par division du front...

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